1 Már megint az esővíz lefolyásáról Már korábban is elmélkedtünk e témáról; ennek honlapunkon bemutatott eredményei: ~ KD 1: Két kereszttetőről; ~ KD 2: Egy modellről; ~ KD 3: Egy kérdés: merre folyik le az esővíz az úttestről?. Hogy ismét visszatérünk rá, annak az az oka, hogy két különböző helyen is találkoztunk egy feladattal, amin elgondolkodtunk. Most erről lesz szó. Először tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra forrása: https://books.google.hu/books?id=k0qebaaaqbaj&pg=pa168&lpg=pa168&dq=georg+glaeser:+d er+mathematische+werkzeugkasten:+anwendungen+in+natur+und+technik+pdf&source=bl&ots=osh RKpEe9n&sig=3pB6W4z3tfJYJM2s27Dxe3tUng&hl=ru&sa=X&ved=0ahUKEwjV4vbzm7TYAhVlQZoKHRznBC44ChDoAQg1MAI#v=onepage&q &f=true
2 Itt az optimális tetőhajlás számítását mutatják be. Optimális a tetőhajlás abban az értelem - ben, hogy ennél a tetőt az esővíz a lehető leggyorsabban hagyja el:. A második találkozás rögtön az elsőt követő keresés után egy mechanika - példatár feladatával történt [ 1 ]. Ez az alábbi. Feladat: Ház födémét tető zárja le 2. ábra. Mekkora hajlásszögű legyen a tető, hogy legfelső pontjáról leghamarabb folyjon le a víz? 2. ábra Megoldás: Az út. Az idő - nál. Ennek minimuma van Eddig a pirossal írt idézet. Eszerint is az optimális tetőhajlás 45. Ez a feladat a példa - tárban a hajítások és lejtők témához tartozik, így nem vitás, hogy a tetőn lefolyó vízcsep - peket mozgó tömegpontoknak tekintik. Ugyanis e modell szerint a vízcsepp pontosan úgy mozogna, mint a sima súrlódásmentes lejtőre helyezett, majd kezdősebesség nélkül el - engedett tömegpont. Ez azonban felvet néhány kérdést. Annál is inkább, mert az 1. ábrán látottakkal együtt komolyan felmerülhet a gondolat, hogy ezt a modellt valóban műszaki - lag alkalmazhatónak tartják - e, vagyis pl. tetőtervezési számítási modell lehet - e. Emiatt most hangot adunk néhány észrevételünknek. Észrevételeink: É1. A tömegpont / sörétgolyó ~ modell szerint a vízcsepp állandó, nagyságú gyorsulással mozog a lejtőn lefelé. Már mindenki látott ablakon lefolyó vízcseppeket: ezek nagyjából / átlagosan állandó sebességgel mozognak, lefelé, normál esetben. Ez itt egy eléggé durva ellentmondásnak tűnik.
3 É2. Módosítsunk a fenti legegyszerűbb modellen! A vízcsepp mint egy tömegpont most egy nem súrlódásmentes lejtőn végezze haladó mozgását! Ekkor a tömegpontra ható R eredő erő vetületei 3. ábra : 3. ábra ~ n - irányban: ~ s - irányban, ( 1 ) - gyel is, Coulomb - súrlódással, ahol : ( 1 ) ( 2 ) Az s - irányú mozgásegyenlet, ( 2 ) - vel is: egyszerűsítés után, felhasználva, hogy ( 3 ) kapjuk, hogy ( 4 ) ezt az idő integrálva: ( 5 ) majd alkalmazva, hogy
4, ( 6 ) ( 5 ) és ( 6 ) - tal: ( 7 ) ezt az idő szerint integrálva: ( 8 ) azt választva, hogy ( 4 ), ( 5 ), ( 8 ) és ( 9 ) - cel: A mozgás végére t = T, ekkor s( T ) = L, így ( 10 ) - zel is: ( 9 ) ( 10 ) ( 11 ) ( 12 ) ( 13 ) innen: ( 14 ) mivel ( 15 ) így ( 14 ) és ( 15 ) - tel:. ( 16 ) Ha T minimális, akkor T 2 is az, így ekkor a számláló állandó értéke mellett a nevező maximális értéket vesz fel. A szélsőérték szükséges feltétele: ( 17 ) Elvégezve a kijelölt műveletet:
5 kifejtve: trigonometriai azonosságokkal: rendezve, majd azonos átalakításokat végezve: innen: végül: ( 18 ) Látjuk, hogy állandó súrlódási együtthatót feltételezve a modell egy ( 18 ) - cal adott, az előző modellel kapott értéktől eltérő optimális tetőhajlásra vezet. Ha μ 0, akkor, mint előbb. É3. Most vegyük komolyan azt a lehetőséget, hogy a tetőről lefolyó vízcseppek, illetve patakocskák sebessége állandó. Ez bekövetkezhet úgy is, ahogyan a szabadon eső víz - cseppeknél is: egy elegendő hosszú idő után a gyorsulás zérussá válik, az esés sebessége állandó lesz. Ekkor a víznek a tetőn való mozgását akadályozó súrlódási erő a sebesség - nek valamilyen függvénye lehet, pl.: lineáris. Ebben az esetben a vízrészecske feltételezett mozgásegyenlete [ v. ö.: 2!], v s helyett csak v - t írva: ( 19 ) Feltesszük, hogy Most ( 19 ) és ( 20 ) - szal: ( 20 ) ( 21 ) a változókat szétválasztva: ( 22 ) integrálva a ( 23 ) kezdeti feltétellel:
6 innen: ebből: innen:, innen: ( 24 ) Mivel így ( 24 ) és ( 25 ) - ből kapjuk, hogy ( 25 ) ( 26 ) Most ( 24 ) - ből: ( 27 ) integrálva: tehát: ( 28 ) A mozgás végére: ( 29 ) így ( 28 ) és ( 29 ) szerint: ( 30 ) rendezve: ( 31 )
7 Most ( 20 ) és (31 ) - gyel: ( 32 ) T minimális, ha a 2. tag nevezője maximális, ami ( 17 ) szerint ( 18 ) - ra vezet. Ha akkor α 45, mint korábban. Megjegyzések: M1. Az utóbbi modell esetében felvett súrlódási erő kifejezése az alábbi: ( 33 ) M2. Azt találtuk, hogy több számítási modellel is ugyanazon tetőhajlás - érték(ek)re jutunk. Meglehet, az történhetett, hogy egy bonyolultabb modellel kiadódó eredményt az egyszerűbb, ámbár kevésbé hihető modell alkalmazásával hozták ki. Ők tudják M3. Tudjuk, a tetőhajlás megválasztásakor a gyors csapadékvíz - lefolyás biztosítása csak egy a sok műszaki szempont közül. Nem elhanyagolható észrevétel, hogy az alpesi tető 20-30 körüli ( hajlású); a tetőn lévő és le nem csúszó hó télen jól hő - szigetel [ 3 ]. M4. Nem feledkezhetünk meg a tetővel szemben támasztott esztétikai követelményekről sem. Ilyen pl. ez is [ 3 ] : A mi viszonyaink között a szabadon álló épület fedele általában ne legyen meredekebb, mint 40, mert az ennél meredekebb tetők idegenek a magyar tájban. Majd kicsit később a szerző még hozzáfűzi: A magyar tájba most épülő tetők hajlásszögére az előbbiekben mondottakat nem lehet kategorikusan hangoztatni. Így megy ez M5. Fentiek egy magánvélemény. Alaposabb, szakirányú tanulmányozás után ez is megváltozhat. Azonban az mégiscsak eléggé fura dolog, hogy hosszas keresés után sem találtunk többet a fentieknél, melyek nagy része feltevéseken alapul. Meglehet, a jelenség sokkal összetettebb, mint amiről itt szó esett. Gondoljuk csak meg: más a helyzet az esőzés kezdetekor és a végekor. A kezdetben száraz tetőfedő anyag bizonyára nagyobb ellenállást jelent, mint a már átnedvesedett, a lefolyó víz útjában, vagyis a lefolyási idő az esőzés folyamán is változik vélhetően.
8 M6. A tetőépítési gyakorlatban nem ritka eset, hogy ugyanazon tető különböző hajlású sí - kokkal, illetve egyéb felület - darabok felhasználásával készül. Pl.: egy gömbkupola haj - lása jelentősen eltérő lehet a tető felső és alsó részein. Úgy tűnik, ezekben az esetekben nincs értelme a fenti értelemben vett optimális tetőhajlásról beszélni. M7. Valószínűleg van értelme más szempont(ok) szerinti optimális tetőhajlásról, illetve tetőalakról beszélni. Ilyen szempontok lehetnek pl.: teherbírás, alakváltozás, kivitelezhe - tőség, gazdaságosság, stb. Ám ez már egy másik történet. Források: [ 1 ] Vermes Miklós: Mechanika példatár Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1972., 89. és 101. o. [ 2 ] V. M. Sztarzsinszkij: Tyeoretyicseszkaja mehanyika Moszkva, Nauka, 1980., 251. o. [ 3 ] Széll László: Magas - és lapostetők Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1975., 19. és 21. o. Sződliget, 2018. 01. 02. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár