SE EKK EIFTI Matematikai analízis

SE EKK EIFTI Matematikai analízis 2. Blokk A számelmélet a matematikának a számokkal foglalkozó ága. Gyakran azonban ennél sz kebb értelemben használják a számelmélet szót: az egész számok elméletét értik rajta. Oszthatóság: Ha az a és b egészekhez van olyan c egész, hogy ac = b, akkor azt mondjuk, hogy a osztója b- nek vagy a osztja b-t vagy b többszöröse a-nak. Ezt a relációt oszthatóságnak nevezzük. Jele: a b. Tagadásának jele: a b. Oszthatósággal kapcsolatos állítások: 1. Az oszthatóság reexív, tranzitív. 2. Az oszthatóság nem szimmetrikus és nem antiszimmetrikus. 3. Tulajdonságok: (a) Ha a b és a c, akkor a b ± c. (b) Ha a b vagy a c, akkor a bc. (c) a 0 és 1 a. Asszociáltság: Ha a b és b a, akkor vagy a = b vagy a = b. Ilyenkor a-t és b-t asszociáltaknak nevezzük. Jele: a b. Asszociáltság kapcsolatos állítások: 1. Az asszociáltság ekvivalenciareláció. 2. Az asszociáltság az oszthatóságot meg rzi: ha a osztója b-nek, akkor asszociáltjai (tehát a és a) osztója b asszociáltjainak. (Ezért az oszthatóságra vonatkozó meggondolásokban rendszerint elegend a pozitív egész számokat vizsgálnunk.) Prímszám: A p 2 természetes szám prímszám, ha a, b N : p ab, akkor p a vagy p b. Irreducibilis szám = Felbonthatatlan szám: Egy k egész számot irreducibilisnek nevezzük, ha k 0, ±1, és k-nak nincs más osztója, mint ±1 és ±k. (Speciálisan: Egy természetes szám irreducibilis, ha nagyobb 1-nél, és nincs más osztója csak 1 és önmaga.) Irreducibilis számmal kapcsolatos állítások: 1. Ha p prím, akkor irreducibilis. Legnagyobb közös osztó: Nevezzük a és b egészek legnagyobb közös osztójának a d egész számot, ha d közös osztója a-nak és b-nek (azaz d a és d b), emellett a-nak és b-nek minden közös osztója d-nek is osztója. Jele: lnko (a, b) vagy (a, b). 1

Legnagyobb közös osztóval kapcsolatos állítások: 1. A deníció értelmében minden a, b egész számpárnak létezik legnagyobb közös osztója, és két legnagyobb közös osztója van: d és d. (Közülük rendszerint a pozitívat használjuk.) Kivéve a triviális a = b = 0 esetet, amelyre a legnagyobb közös osztót nem deniáljuk. 2. Ugyanilyen módon vezethet be kett nél több szám legnagyobb közös osztója. Relatív prímek: Ha (a, b) = 1, akkor azt mondjuk, hogy a és b relatív prímek. (Vagy a relatív prím b-vel, vagy a prím b-hez.) Legkisebb közös többszörös: Nevezzük a és b egészek legkisebb közös többszörösének a c egész számot, ha c közös többszöröse a-nak és b-nek, emellett a-nak és b-nek minden közös többszöröse c-nek is többszöröse. Jele: lkkt (a, b) vagy [a, b]. Legkisebb közös többszörössel kapcsolatos állítások: 1. A deníció értelmében minden a, b egész számpárnak létezik legkisebb közös többszöröse, és két legkisebb közös többszöröse van: c és c. (Közülük rendszerint a pozitívat használjuk.) 2. Ugyanilyen módon vezethet be kett nél több szám legkisebb közös többszöröse. 3. (a, b) [a, b] ab. Maradékos osztás tétele: Ha a, b Z és b 0, akkor létezik egyetlen olyan q és egyetlen olyan r egészek szám, amelyre a = bq + r és 0 r < b. Maradékos osztás: Adott a-hoz és b-hez q és r kiszámítását a-n és b-n végzett maradékos osztásnak nevezzük. Osztandó: Maradékos osztásnál a az osztandó. Osztó: Maradékos osztásnál b az osztó. Hányados: Maradékos osztásnál q a hányados. Maradék: Maradékos osztásnál r a maradék. Maradékos osztással kapcsolatos állítások: 1. r 0. 2. b a pontosan akkor, ha r = 0. 3. q = [a/b], azaz a közönséges osztás eredményének egészrésze. Euklideszi algoritmus: Az euklideszi algoritmus két természetes szám legnagyobb közös osztójának kiszámítására szolgáló eljárás. Diofantoszi egyenlet: Az olyan egyenletet, amelynek az együtthatói is és a megoldásai is az egész számok köréb l valók, diofantoszi egyenletnek nevezzük. Számelmélet alaptétele természetes számokra: Bármely természetes szám felbontható prímszámok szorzatára, és ez a felbontás sorrendt l eltekintve egyértelm. 2

Számelmélet alaptétele egész számokra: Minden nullától különböz egész szám prímszámok szorzatára bontható, és ez a felbontás asszociáltságtól és sorrendt l eltekintve egyértelm. (Mivel az asszociáltág meg rzi az oszthatóságot, ezért ez az egész számokra való általánosítás helytálló.) Prímhatványszorzat alak: A számelmélet alaptétele szerint minden természetes szám felírható p e1 1... pe k k alakban, ahol k 0, a p 1,..., p k számok különböz prímek, és i = 1,..., k-ra e i > 0. Ez az adott szám prímhatványszorzat alakja. Prímhatványszorzat alakkal kapcsolatos állítások: 1. Legyen a = p α1 1... pαn n és b = pβ1 1... pβn n (azokat a prímeket, amelyek csak az egyik számban fordulnak el, a másikban nulla kitev vel tüntetjük fel). Ekkor: (a) lnko (a, b) = p min(α1,β1) 1... p min(αn,βn) n (b) lkkt (a, b) = p max(α1,β1) 1... p max(αn,βn) n 2. A matematika és számítástudomány jelenlegi állása mellett nem nehéz 100 jegy prímszámokat találni, de két ilyen prím szorzatát felbontani prímtényez ire gyakorlatilag lehetetlen! Ez a matematikai háttere a nyilvános rejtjelez -kulcsú titkosírásnak, röviden az RSA-kódolásnak, amelyet az 1970-es években fedezett fel Rivest, Shamir és Adleman. Elemi állítások a prímszámok eloszlásáról: 1. Végtelen sok prímszám van. Akárhány prímszámunk van, mindig tudunk egy továbbit találni, ha ugyanis p 1, p 2,..., p n prímszámok, akkor p 1 p 2... p n + 1 legkisebb 1-t l különböz osztója prímszám, amely nem lehet egyenl p 1, p 2,..., p n egyikével sem. Q.E.D. 2. Szomszédos (azaz a nagyság szerinti rendezésben egymást követ ) prímszámok között bármilyen nagy hézag lehet. 3. Végtelen sok 4k 1 alakú prímszám van. 4. Végtelen sok 4k + 1 alakú prímszám van. 5. Dirichlet tétele: Ha egy nem konstans számtani sorozat kezd tagja és dierenciája egymáshoz relatív prím, akkor a számtani sorozatban végtelen sok prímszám található. 6. Csebisev tétele: Bármely szám és kétszerese között van prímszám. (Azaz n N p prím : n < p 2n.) 7. Az n-edik prímszám nem nagyobb, mint 2 2n 1. 3

Eratoszteneszi szita: Egyszer módszer van arra, hogy a 2, 3,..., n természetes számok közül kiszitáljuk a nem prímeket. Írjuk fel sorba e számokat, s húzzuk át el ször a párosakat, vagyis 2 összes többszörösét, majd a legkisebb megmaradt szám összes többszörösét, és így tovább. Ha ezt addig folytatjuk, míg a legkisebb megmaradt szám nem éri el a n-t, akkor csak a [ n, n] intervallumban lév prímszámok maradnak áthúzatlanul. Ez az eljárás az eratoszteneszi szita. Ikerprím: Ikerprímnek nevezünk két prímszámot, ha különbségük kett. Példák ikerprímre: 1. 3 és 5. 2. 5 és 7. 3. 11 és 13. Ikerprímekkel kapcsolatos állítások: 1. Nem tudjuk, hogy végtelen sok ikerprím van-e. Kongruencia: Legyen m 2, a, b, m Z. Ha a b osztható m-mel, akkor azt mondjuk, hogy a kongruens b-vel modulo m. Jele:. (Azaz a b (mod m) m a b.) (Azaz a és b számok m-mel való maradékos osztásuk maradéka egyenl.) Modulus: Az m számot a kongruencia modulusának nevezzük. Kongruenciával kapcsolatos állítások: 1. A mod m kongruenciákat szabad összadni, kivonni és összeszorozni. 2. A mod m kongruencia ekvivalenciareláció az egész számok halmazán. Maradékosztály: A mod m kongruenciához tartozó ekvivalenciaosztályokat modulo m maradékosztályoknak nevezzük. Jele: a, ahol a Z. Maradékosztályok halmaza: A modulo m maradékokosztályok halmazát Z m jelöli. (Azaz Z m := {a : a Z} = { 0, 1,..., m 1 }.) Maradékosztályok halmazával kapcsolatos állítások: 1. A Z m -en értelmezzük az els három alapm veletet a következ képpen: tetsz leges a, b Z esetén (a) a + b := a + b. (b) a b := a b. (c) a b := a b. 4

A matematikában és az alkalmazásai során is gyakran fellépnek olyan struktúrák, melyek egy halmazból és a rajta értelmezett m veletekb l állnak. Az absztrakt algebra a matematikának az az ága, mely e struktúrák szerkezetét vizsgálja. Az absztrakt szó arra utal, hogy a szerkezet szempontjából els sorban nem az a fontos, mik az algebra elemei, hanem az hogy a m veleteket hogyan végezzük rajta. M velet: M veletnek a H halmazon olyan leképezést nevezünk, amely minden H-ból képzett elem-n-eshez H egy elemét rendeli, a m velet tehát a H n halmaznak a H-ba való leképezése. (Ekkor a m velet n változós.) (Nullaváltozós: egy elemet jelöl ki H-ban. Egyváltozós:, azaz a negáció.) Kétváltozós m velet = Bináris m velet: Legyen A nemüres halmaz. Az f : A 2 A leképezéseket kétváltozós m veleteknek nevezzük. Jele:. (Kétváltozós: +, azaz az összeadás.) Algebrai struktúra = Algebra: Algebrai struktúrának nevezzük az olyan legalább kéttagú (S; f, g,...) rendszert, amelynek els eleme egy S halmaz, a többi pedig S-en értelmezett valamilyen algebrai m velet. Tartóhalmaz: Ekkor S-t az algebrai struktúra tartóhalmazának nevezzük. M velethalmaz: Az algebrai struktúra m veleteinek halmazát m velethalmaznak nevezzük. Algebrai struktúra típusa: Legyen (A; F ) algebrai struktúra, ahol F = {f 1, f 2,..., f m }, s az f 1, f 2,..., f m m veletek legyenek rendre n 1, n 2,..., n m változósak. A (n 1, n 2,..., n m ) sorozatot az A algebra típusának nevezzük. Hasonlóság: Két algebra hasonló, ha azonos típusúak. Példák algebrai struktúrára: 1. (N; +). 2. (N; +, ). 3. (N 0 ;, ), ahol jelenti a legnagyobb közös osztó képzését. Grupoid: Ha az algebrai struktúrában csak egy kétváltozós m velet van, akkor grupoidnak nevezzük. Jele: (A; f) vagy (A; ). Példák grupoidra: 1. (N; +). 2. (N; ). 3. (Z; ). Véges grupoid: Az (A; ) grupoid véges, ha A véges halmaz. M veletek tulajdonságai: Legyen (A; ) grupoid. 1. Asszociatív: A m velet asszociatív, ha a, b, c A esetén a (b c) = (a b) c. 2. Kommutatív: A m velet kommutatív, ha a, b A esetén a b = b a. 3. Invertálható: A m velet invertálható, ha a, b A esetén az a x = b és y a = b egyenletek megoldhatók, azaz c, d A, hogy a c = d és d a = b. 5

4. Egyszer sítéses = Kancelatív: A m velet egyszer sítéses, ha a x = b és y a = b egyenleteknek legföljebb 1-1 megoldása van. Egységelem: Azt mondjuk, hogy e A az (A; ) grupoid egységeleme, ha a A esetén a e = a és e a = a. Addtitív egységelem: A 0-t additív (összeadásra vonatkozó) egységelemként is szoktuk említeni. Multiplikatív egységelem: Az 1-t multiplikatív (szorzásra vonatkozó) egységelemként is szoktuk említeni. Zéróelem: Azt mondjuk, hogy o A az (A; ) grupoid zéróeleme, ha a A esetén a o = o és o a = o. Invertálható elem: Legyen A egységelemes grupoid. Azt mondjuk, hogy az a A elemnek van inverze vagy másnéven invertálható elem, ha a A elem, hogy a a = a a = e. Elem inverze: Ezen a elemet a egy inverzének nevezzük. Jele: a 1. Additív inverz: Szám additív inverze az ellentetje (vagy negatívja). Jele: a. Multiplikatív inverz: Szám multiplikatív inverze reciproka. Jele: Félcsoport: A grupoid félcsoport, ha m velete asszociatív. Példák félcsoportra: 1 a. 1. (N; +), (N; ). 2. (Z; +), (Z; ). Monoid: Az egységelemes félcsoport a monoid. Csoport: 1. Legyen G monoid. Azt mondjuk, hogy G csoport, ha minden elemének van inverze. 2. Az (A; ) algebrai struktúra csoport, ha (a) : A A A, (x, y) x y (1 darab kétváltozós m velet adott), (b) a, b, c A : (a b) c = a (b c) (asszociatív a m velet), (c) e A a A : e a = a e = a (létezik egységelem), (d) a A a A : a a = a a = e (minden elemnek létezik inverze). Példák csoportra: 1. (Z; +), (Q; +), (R; +), (C; +). 2. (Q + ; ), (R + ; ). 3. (Z/n; +), aminek a neve a modulo n maradékosztály additív csoportja. 4. (D m ; ), ahol D m a szabályos m szög szimmetria halmaza. Ezen csoport neve m-edfokú diédercsoport. 6

5. ([0, 1] -en értelmezett valós függvények; +). Véges csoport: Azt mondjuk G véges csoport, ha G véges halmaz. Abel-csoport: A kommutatív m velet csoportot Abel-csoportnak nevezzük. Példák Abel-csoportra: 1. (Z; +), (Q; +), (R; +), (C; +) 2. (Q + ; ), (R + ; ) Részcsoport: Legyen G csoport. Azt mondjuk A G részcsoport G-ben, ha A zárt a G m veletére, tartalmazza G egységelemét, továbbá minden elemével együtt annak inverzét is. örökölt m velettel.) Példák részcsoportra: (Tehát A csoport a G-b l 1. ({páros számok} ; +) részcsoporja (Z; +)-nak. Részcsoporttal kapcsolatos állítások: 1. Csoport részcsoportjai tetsz leges rendszerének metszete részcsoport. 2. Csoport részcsoportjai egyesítése általában nem részcsoport. A csoport fogalomra építve és ennek kib vítését elvégezve jutunk a gy r fogalmához. Gy r : Az (R; +, ) algebrai struktúra gy r, ha 1. az (R; +) algebra Abel-csoport, 2. az (R; ) algebra félcsoport, 3. x, y, z R esetén x (y + z) = x y + x z és (x + y) z = x z + y z, azaz a szorzás balról és jobbról is disztributív az összeadásra. (Teljesülnie kell a bal és a jobb oldali disztributivitásnak is, mivel a szorzás itt nem kommutatív!) Gy r additív csoportja: Az (R; +) csoportot a gy r additív csoportjának nevezzük. (Ennek megfelel en beszélhetünk additív egységelemr l és additív inverzr l. Ezek jelei: 0 és a.) Gy r multiplikatív félcsoportja: Az (R; ) félcsoportot a gy r multiplikatív félcsoportjának nevezzük. Részgy r : Legyen R egy gy r és S R. Ha S az R-b l örökölt m veletekkel maga is gy r, akkor azt mondjuk, hogy S részgy r je az R gy r nek. 7

Kommutatív gy r : Az R gy r kommutatív gy r, ha az (R; ) félcsoport kommutatív. Egységelemes gy r : Az R gy r egységelemes gy r, ha az (R; ) félcsoport egységelemes. (Ennek megfelel en akkor beszélhetünk multiplikatív egységelemr l. Ennek jele: 1.) Zérusosztó: Ha egy gy r a, b elemeire ab = 0 teljesül, de se a, se b nem nulla, akkor azt mondjuk, hogy a és b zérusosztók. Zérusosztómentes gy r : Az R gy r zérusosztómentes gy r, ha R-ben nincsenek zérusosztók (azaz nullától különböz elemek szorzata sosem nulla). Integritástartomány: A kommutatív, egységelemes, zérusosztómentes gy r neve integritástaromány. Példák gy r re: 1. (Z; +, ) és (Z/n; +, ) kommutatív gy r k. 2. (Q; +, ), (R; +, ), (C; +, ) integritástartomány. 3. (Z/n; +, ) n N esetén nem integritástartomány, mivel pl.: n = 6 esetén 2 3 = 0, de 2 0 és 3 0; tehát 2 és 3 zérusosztók. 4. (Z/p; +, ), ahol p prím integritástartomány. 5. A [0; 1]-en értelmezett folytonos valós függvények halmaza a függvények közötti f (x) + g (x) összeadás és f (x) g (x) szorzás szerint gy r t alkot. Egység: Legyen R egységelemes gy r. Az a R elemet egységnek nevezzük, ha létezik multiplikatív inverze, azaz létezik olyan a 1 R elem, amelyre aa 1 = a 1 a = 1 teljesül, ahol 1 a multiplikatív egységelem. Példák egységre: 1. (Z; +, ) egységelemes gy r ben az egységek a 1 és az 1. A gy r fogalomra építve és ennek kib vítését elvégezve jutunk a test fogalmához. Ferdetest: Az olyan egységelemes gy r t, amelynek minden nem zéróeleme invertálható ferdetestnek nevezzük. Test: 1. A kommutatív ferdetesteket testeknek nevezzük. 2. (T ; +, ) algebrai struktúra test, ha (a) a (T ; +) algebra Abel-csoport, (b) a (T \ {0} ; ) algebra Abel-csoport, (c) x, y, z T esetén x (y + z) = x y + x z, azaz a szorzás disztributív az összeadásra. (Így teljesül a bal és a jobb oldali disztributivitás is, mivel a szorzás itt már kommutatív!) 8

Test tartóhalmaza: A T halmazt a test tartóhalmazának nevezzük. Test additív csoportja: A (T ; +) csoportot a test additív csoportjának nevezzük. (Ennek megfelel en beszélhetünk additív egységelemr l és additív inverzr l. Ezek jelei: 0 és a.) Test multiplikatív csoportja: A (T \ {0} ; ) csoportot a test multiplikatív csoportjának nevezzük. (Ennek megfelel en beszélhetünk multiplikatív egységelemr l és multiplikatív inverzr l. Ezek jelei: 1 és 1 a.) Résztest: Legyen T egy test és S T. Ha S a T -b l örökölt m veletekkel maga is test, akkor azt mondjuk, hogy S részteste a T testnek. Példák ferdetestre: 1. Kvaterniók ferdetest: Legyen i, j, k olyan szimbólumok, melyekre i 2 = j 2 = k 2 = 1 és ij = k, jk = i, ki = j és ha x, y {i, j, k}, x y, akkor xy = yx. A Q = {a + bi + cj + dk a, b, c, d R} halmaz amennyiben az összeadást és a szorzást a négytagú kifejezések szokásos összeadásaként és szorzásaként végezzük (gyelembe véve az i, j, k-ra megadott szorzási eljárást, valamint e szimbólumokat a valós számokkal a szorzásnál felcserélhet knek tekintjük), ferdetest. E ferdetestet kvaternió ferdetestnek nevezzük. Példák testre: 1. (Q; +, ), (R; +, ), (C; +, ) 2. (Z/p; +, ), ahol p prím. 3. ({i, h} ;, ) Véges test: Egy test véges test, ha tartóhalmaza véges halmaz. Példák véges testre: 1. Z/p = Z p maradékosztály-gy r, ahol p prím. Azaz a modulo p maradékosztály-test. Véges testtel kapcsolatos állítások: 1. Minden véges test elemszáma prímhatvány. 2. Bármely p prímhez és n természetes számhoz izomorától eltekintve pontosan egy p n elem test létezik. Ennek jele: GF (p n ), ahol a G Galois nevére utal, akinek munkásságában el ször fordultak el véges testek a 19. században; míg az F a eld (= test) szóra utal. Sándor Zoltán (sandor.zoltan.14@gmail.com) 9

Feladatok 1. Bontsa fel a következ számokat prímszámok szorzatára! (a) 2520 (b) 57600 (c) 1016400 (d) 28665 (e) 29808 2. Melyik az a szám, amely prímtényez s felbontásában a kettes, a hármas, az ötös, a hetes, a tizenegyes,... prímek hatványkitev je rendre x, x 2, x 3, x 4, x 5,..., illetve azt tudjuk még a számról, hogy a prímtényez s felbontásában pontosan tíz darab különböz prím szerepel valamilyen hatványon, és a prímek növekv sorrendjében az utolsó hatványa 1024? (x Z + ) 3. Adja meg annak a számnak a prímtényez s felbontását, amely felbontható kettes, hármas, négyes, ötös, hatos,... számok szorzatára, ahol a számok hatványkitev je rendre x, 2x, 3x, 4x, 5x,..., illetve azt tudjuk még a számról, hogy az el bb leírt felbontásában az utolsó tag a tizenegyes, ami a 30-adik hatványon szerepel! (x Z + ) 4. Csoportot alkotnak-e a következ algebrai struktúrák? A csoportok közül melyek Abel-csoportok? (a) (R; +) (b) (Z; +) (c) (N; +) (d) (R + ; ) (e) (Z; ) (f) (Q + ; ) (g) ({páros számok} ; +) (h) ({igaz, hamis} ; ) (i) ({páratlan számok} ; ) 5. Bizonyítsa be, hogy egy (A; ) csoport két részcsoportjának metszete is az (A; ) csoportnak a részcsoportja! 6. Gy r t alkotnak-e a következ algebrai struktúrák? (a) (R; +, ) (b) (Z; +, ) (c) (N; +, ) 10

(d) (Q; +, ) (e) (Z;, +) 7. Testet alkotnak-e a következ algebrai struktúrák? (a) (R; +, ) (b) (N;, +) (c) (Q; +, ) ({( a (d) c b d ) } ), ahol (a, b, c, d R) ; +,, ahol a + jelentése ( a c b d ) ( + x p y q ) ( := a + x c + p b + y d + q ), és a jelentése ( a c b d ) ( x p y q ) := ( ax + bp cx + dp ay + bq cy + dq ). Sándor Zoltán (sandor.zoltan.14@gmail.com) 11

Megoldások 1. (a) 2520 = 2 3 3 2 5 7 (b) 57600 = 2 8 3 2 5 2 (c) 1016400 = 2 4 3 5 2 7 11 2 (d) 28665 = 3 2 5 7 2 13 (e) 29808 = 2 4 3 4 23 2. A keresett n szám felírható n = 2 x 3 x2 5 x3 7 x4 11 x5... p xm alakban, ahol p prím és m, x Z +. A prímtényez s felbontásában pontosan tíz darab különböz prím szerepel valamilyen hatványon, azaz p pontosan a tizedik prím lesz és m = 10. A tizedik prím a 29, tehát p = 29. Valamint a prímek növekv sorrendjében az utolsó hatványa 1024, azaz p xm = 29 x10 esetén x 10 = 1024, azaz 10 x 10 = 10 1024 x = 2 és mivel x Z +, ezért x = 2. Ekkor a keresett szám n = 2 2 34 58 716 1132 1364 17128 19256 23512 291024. 3. A keresett n szám felírható n = 2 x 3 2x 4 3x 5 4x 6 5x... t mx alakban, ahol t, m, x Z +. Ebben a felbontásban az utolsó tag a tizenegyes, ami a 30-adik hatványon szerepel, azaz t = 11 és mx = 30. Ha a 11 az utolsó tag, akkor az hatványa a szabály szerint a 10x, tehát m = 10. Ekkor 10x = 30 x = 3. Tehát a keresett szám n = 2 3 3 6 4 9 5 12 6 15 7 18 8 21 9 24 10 27 11 30. Ezek alapján a szám prímtényez s felbontása n = 2 3 3 6 (2 2) 9 5 12 (2 3) 15 7 18 (2 3) 21 ( ) 3 2 24 27 (2 5) 11 30 = 2 126 3 69 5 39 7 18 11 30. 4. (a) Az összeadás egy kétváltozós m velet a valós számok halmazán, mert + : R R R és (a, b) a+b. Az összeadás ezen a halmazon asszociatív m velet, mert a, b, c R : (a + b) + c = a + (b + c). Létezik e := 0 R egységelem, melyre a R : 0 + a = a + 0 = a. Minden elemnek létezik inverze, mert a R ( a) R : a + ( a) = ( a) + a = e = 0. (Tehát a R esetén az elem inverze a mínusz egyszerese, azaz a.) (R; +) csoport. Az (R; +) csoport Abel-csoport is, mert az összeadás kommutatív m velet ezen a halmazon, mivel a, b R : a + b = b + a. (b) Az összeadás egy kétváltozós m velet az egész számok halmazán, mert + : Z Z Z és (a, b) a+b. Az összeadás ezen a halmazon asszociatív m velet, mert a, b, c Z : (a + b) + c = a + (b + c). Létezik e := 0 Z egységelem, melyre a Z : 0 + a = a + 0 = a. Minden elemnek létezik inverze, mert a Z ( a) Z : a + ( a) = ( a) + a = e = 0. (Tehát a Z esetén az elem inverze a mínusz egyszerese, azaz a.) (Z; +) csoport. Az (Z; +) csoport Abel-csoport is, mert az összeadás kommutatív m velet ezen a halmazon, mivel a, b Z : a + b = b + a. (c) Az összeadás egy kétváltozós m velet a természetes számok halmazán, mert + : N N N és (a, b) a + b. Az összeadás ezen a halmazon asszociatív m velet, mert a, b, c N : (a + b) + c = a + (b + c). 12

Létezik e := 0 N egységelem, melyre a N : 0 + a = a + 0 = a. Nem minden elemnek létezik inverze, mert a N a N : a + a = a + a = e = 0. Például az a = 6 N, mert 6 + a = 0 a = 6, de a = 6 / N. (N; +) nem csoport. (d) A szorzás egy kétváltozós m velet a pozitív valós számok halmazán, mert : R + R + R + és (a, b) a b. A szorzás ezen a halmazon asszociatív m velet, mert a, b, c R + : (a b) c = a (b c). Létezik e := 1 R + egységelem, melyre a R + : 1 a = a 1 = a. Minden elemnek létezik inverze, mert a R + 1 a R+ : a 1 a = 1 a a = e = 1. (Tehát a R+ esetén az elem inverze a reciproka, azaz 1 a.) (R + ; ) csoport. Az (R + ; ) csoport Abel-csoport is, mert a szorzás kommutatív m velet ezen a halmazon, mivel a, b R + : a b = b a. (e) A szorzás egy kétváltozós m velet az egész számok halmazán, mert : Z Z Z és (a, b) a b. A szorzás ezen a halmazon asszociatív m velet, mert a, b, c Z : (a b) c = a (b c). Létezik e := 1 Z egységelem, melyre a Z : 1 a = a 1 = a. Nem minden elemnek létezik inverze, mert a Z a Z : a a = a a = e = 1. Például az a = 0 Z, mert 0 a = 1 0 = 1, ami ellentmondás. (Z; ) nem csoport. (f) A szorzás egy kétváltozós m velet a pozitív racionális számok halmazán, mert : Q + Q + Q + és (a, b) a b. A szorzás ezen a halmazon asszociatív m velet, mert a, b, c Q + : (a b) c = a (b c). Létezik e := 1 Q + egységelem, melyre a Q + : 1 a = a 1 = a. Minden elemnek létezik inverze, mert a Q + 1 a Q+ : a 1 a = 1 a a = e = 1. (Tehát a Q+ esetén az elem inverze a reciproka, azaz 1 a.) (Q + ; ) csoport. Az (Q + ; ) csoport Abel-csoport is, mert a szorzás kommutatív m velet ezen a halmazon, mivel a, b Q + : a b = b a. (g) Az összeadás egy kétváltozós m velet a páros számok halmazán, mert + : {páros számok} {páros számok} {páros számok} és (a, b) a + b. Az összeadás ezen a halmazon asszociatív m velet, mert a, b, c {páros számok} : (a + b) + c = a + (b + c). Létezik e := 0 {páros számok} egységelem, melyre a {páros számok} : 0 + a = a + 0 = a. Minden elemnek létezik inverze, mert a {páros számok} ( a) {páros számok} : a + ( a) = ( a) + a = e = 0. (Tehát a {páros számok} esetén az elem inverze a mínusz egyszerese, azaz a.) ({páros számok} ; +) csoport. A ({páros számok} ; +) csoport Abel-csoport is, mert az összeadás kommutatív m velet ezen a halmazon, mivel a, b {páros számok} : a + b = b + a. (h) A vagy egy kétváltozós m velet az {igaz, hamis} halmazon, mert : {igaz, hamis} {igaz, hamis} {igaz, hamis} és (a, b) a b. A vagy ezen a halmazon asszociatív m velet, mert a, b, c {igaz, hamis} : (a b) c = a (b c). Létezik e := hamis {igaz, hamis} egységelem, melyre a {igaz, hamis} : hamis a = a hamis = a. (Az igaz nem lehet egységelem, mert a {igaz, hamis} : igaz a = a igaz = igaz.) Nem minden elemnek létezik inverze, mert a {igaz, hamis} a {igaz, hamis} : a a = a a = e = hamis. Például az igaz {igaz, hamis}, mert igaz a = hamis, de b {igaz, hamis} : igaz b = igaz igaz = hamis, ami ellentmondás. ({igaz, hamis} ; ) nem csoport. 13

(i) A szorzás egy kétváltozós m velet a páratlan számok halmazán, mert : {páratlan számok} {páratlan számok} {páratlan számok} és (a, b) a b. A szorzás ezen a halmazon asszociatív m velet, mert a, b, c {páratlan számok} : (a b) c = a (b c). Létezik e := 1 {páratlan számok} egységelem, melyre a {páratlan számok} : 1 a = a 1 = a. Nem minden elemnek létezik inverze, mert a {páratlan számok} a {páratlan számok} : a a = a a = e = 1. Például az a = 3 {páratlan számok}, mert 3 a = 1 a = 1 3 / {páratlan számok}. ({páratlan számok} ; ) nem csoport. 5. Bizonyítandó, hogy egy (A; ) csoport két részcsoportjának metszete is az (A; ) csoportnak a részcsoportja. Legyen (A; ) csoportnak két részcsoportja (A 1 ; ) és (A 2 ; ). Ekkor bizonyítandó, hogy (A 1 A 2 ; ) is az (A; ) csoportnak a részcsoportja. Ehhez szükséges, hogy A 1 A 2 A, és A 1 A 2 zárt az A m veletére, és A 1 A 2 tartalmazza A egységelemét, és A 1 A 2 tartalmazza minden elemével együtt annak inverzét is. (A 1 ; ) és (A 2 ; ) részcsoportok A 1, A 2 A A 1 A 2 A. (A 1 ; ) és (A 2 ; ) részcsoportok A 1 és A 2 is zárt az A m veletére, azaz p, q A 1 esetén p q A 1, illetve p, q A 2 esetén p q A 2 p, q A 1 A 2 esetén p q A 1 A 2 A 1 A 2 zárt az A m veletére. (A 1 ; ) és (A 2 ; ) részcsoportok A 1 és A 2 is tartalmazza A egységelemét A 1 A 2 tartalmazza A egységelemét. (A 1 ; ) és (A 2 ; ) részcsoportok A 1 tartalmazza minden elemével együtt annak inverzét is, valamint A 2 is tartalmazza minden elemével együtt annak inverzét is, azaz p A 1 esetén p 1 A 1, illetve p A 2 esetén p 1 A 2 p A 1 A 2 esetén p 1 A 1 A 2 A 1 A 2 tartalmazza minden elemével együtt annak inverzét is. Q.E.D. 6. (a) A 4. feladat (a) részében láttuk, hogy (R; +) Abel-csoport. A szorzás egy kétváltozós m velet a valós számok halmazán, mert : R R R és (a, b) a b. A szorzás ezen a halmazon asszociatív m velet, mert a, b, c R : (a b) c = a (b c). (R; ) félcsoport. A szorzás balról és jobbról is disztributív az összeadásra ezen a halmazon, mert x, y, z R esetén x (y + z) = x y + x z és (x + y) z = x z + y z. (R; +, ) gy r. (b) A 4. feladat (b) részében láttuk, hogy (Z; +) Abel-csoport. A szorzás egy kétváltozós m velet az egész számok halmazán, mert : Z Z Z és (a, b) a b. A szorzás ezen a halmazon asszociatív m velet, mert a, b, c Z : (a b) c = a (b c). (Z; ) félcsoport. A szorzás balról és jobbról is disztributív az összeadásra ezen a halmazon, mert x, y, z Z esetén x (y + z) = x y + x z és (x + y) z = x z + y z. (Z; +, ) gy r. (c) A 4. feladat (c) részében láttuk, hogy (N; +) nem csoport. (N; +, ) nem gy r. (d) Az összeadás egy kétváltozós m velet a racionális számok halmazán, mert + : Q Q Q és (a, b) a + b. 14

Az összeadás ezen a halmazon asszociatív m velet, mert a, b, c Q : (a + b) + c = a + (b + c). Létezik e := 0 Q egységelem, melyre a Q : 0 + a = a + 0 = a. Minden elemnek létezik inverze, mert a Q ( a) Q : a + ( a) = ( a) + a = e = 0. (Tehát a Q esetén az elem inverze a mínusz egyszerese, azaz a.) (Q; +) csoport. Az (Q; +) csoport Abel-csoport is, mert az összeadás kommutatív m velet ezen a halmazon, mivel a, b Q : a + b = b + a. A szorzás egy kétváltozós m velet a racionális számok halmazán, mert : Q Q Q és (a, b) a b. A szorzás ezen a halmazon asszociatív m velet, mert a, b, c Q : (a b) c = a (b c). (Q; ) félcsoport. A szorzás balról és jobbról is disztributív az összeadásra ezen a halmazon, mert x, y, z Q esetén x (y + z) = x y + x z és (x + y) z = x z + y z. (Q; +, ) gy r. (e) A 4. feladat (e) részében láttuk, hogy (Z; ) nem csoport. (Z;, +) nem gy r. 7. (a) A 4. feladat (a) részében láttuk, hogy (R; +) Abel-csoport. A szorzás egy kétváltozós m velet az R \ {0} halmazon, mert : R \ {0} R \ {0} R \ {0} és (a, b) a b. A szorzás ezen a halmazon asszociatív m velet, mert a, b, c R \ {0} : (a b) c = a (b c). Létezik e := 1 R \ {0} egységelem, melyre a R \ {0} : 1 a = a 1 = a. Minden elemnek létezik inverze, mert a R \ {0} 1 a R \ {0} : a 1 a = 1 a a = e = 1. (Tehát a R \ {0} esetén az elem inverze a reciproka, azaz 1 a.) (R \ {0} ; ) csoport. Az (R \ {0} ; ) csoport Abel-csoport is, mert a szorzás kommutatív m velet ezen a halmazon, mivel a, b R \ {0} : a b = b a. A szorzás disztributív az összeadásra ezen a halmazon, mert x, y, z R esetén x (y + z) = x y+x z. (R; +, ) test. (b) Az (N;, +) nem test, mert az (N; ) nem Abel-csoport, mivel nem minden elemnek létezik inverze, például az a = 5 N elemnek nincs inverze, mert 5 a = 1 a = 1 5 (c) A 6. feladat (d) részében láttuk, hogy (Q; +) Abel-csoport. A szorzás egy kétváltozós m velet az Q \ {0} halmazon, mert : Q \ {0} Q \ {0} Q \ {0} és (a, b) a b. A szorzás ezen a halmazon asszociatív m velet, mert a, b, c Q \ {0} : (a b) c = a (b c). / N. Létezik e := 1 Q \ {0} egységelem, melyre a Q \ {0} : 1 a = a 1 = a. Minden elemnek létezik inverze, mert a Q \ {0} 1 a Q \ {0} : a 1 a = 1 a a = e = 1. (Tehát a Q \ {0} esetén az elem inverze a reciproka, azaz 1 a.) (Q \ {0} ; ) csoport. Az (Q \ {0} ; ) csoport Abel-csoport is, mert a szorzás kommutatív m velet ezen a halmazon, mivel a, b Q \ {0} : a b = b a. A szorzás disztributív az összeadásra ezen a halmazon, mert x, y, z Q esetén x (y + z) = x y+x z. (Q; +, ) test. ({( ) } ) a b (d) Az, ahol (a, b, c, d R) ; +, nem test, mert c d 15

({( ) } {( )} ) a b 0 0 az, ahol (a, b, c, d R) \ ; nem Abel-csoport, mivel c d 0 0 ( ) ( ) 1 2 0 1 például és esetén 3 4 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0 1 2 1 0 1 1 2 3 4 = és =, de 3 4 1 0 4 3 1 0 3 4 1 2 ( ) ( ) 2 1 3 4, azaz m velet ezen a halmazon nem kommutatív. 4 3 1 2 Sándor Zoltán (sandor.zoltan.14@gmail.com) 16