. Hidrosztatika A idrosztatika alapegyenlete vektoriális alakban: p = ρg (..) Az egyenletet vonal mentén integrálva a és b pont között, kiasználva a gradiens integrálási tulajdonságait: 2. Feladat b a pds = p b p a = b a ρgds (..2) Határozzuk meg az ábrán látató cső két szárában létrejövő folyadékszint különbséget ( ), a) a nincs gyorsulás (a = ), b) a van gyorsulás (a = 3 m s 2 ). Határozzuk meg a benzin nyílt folyadékfelszínének magasságát is mindkét esetben! z p p 2 5 a üvegcső 3 4 x L Δ H 2.. Adatok = 8 mm = 8 3 m H = 55 mm = 55 3 m L = 2 mm =.2 m ρ v = kg m 3 ρ b = 7 kg m 3 a uvegcso = 3 m s 2 g neezsegi = m s 2
2.2. Megoldás Felasználva a vonal menti integrálás szabályait, a..2 egyenlet az 5 pont között szakaszokon vett integrálok összegeként írató: p 5 p = ρ b ( g)(z 2 z ) + ρ v ( g)(z 3 z 2 ) + ρ v a(x 4 x 3 ) + ρ v ( g)(z 5 z 4 ) Beelyettesítve: Ebből a gyorsulás nélküli esetben: = ρ b g + ρ v g(h + ) + ρ v al ρ v gh = (ρ v ρ b ) ρ v = 5.4 mm z benzin = z = H + = 6.4 mm Ha van x irányú gyorsulás, az üvegcső mindkét függőleges szárában elmozdul a folyadék (ellentétes irányban). A jobb oldali szárban H, a baloldali szárban pedig H + magasságú lesz a folyadékoszlop. A kontinuitásnak köszönetően igaz az, ogy 2H + = 2H +, azaz H =.5(2H + ). Ennek megfelelően: = (ρ v ρ b )g ρ v al ρ v g = 54.6 mm z benzin = z = H + =.5(2H + ) + = 3.4 mm 3. Modell légkörök A nyomásváltozás magasság szerinti megadása a légkörben attól függ, ogy milyen egyszerűsítéseket alkalmazunk. A legegyszerűbb esetben izocor közelítést alkalmazunk, azaz ρ =áll., amely közelítés csak igen kis magasságkülönbségek esetén alkalmazató. Az izotermikus közelítés (T =áll.) alkalmazatósági tartománya is korlátozott. Jobb eredményeket kapatunk a őmérséklet magasság szerinti változásának figyelembe vételével, bár az a rétegződéstől, azaz az aktuális időjárási elyzettől is függ. A standard nemzetközi műlégkörben (ISA) rögzített állapotatározók segítségével, relatív pontosan kiszámolatjuk a légnyomást, őmérsékletet és a sűrűséget egy adott magasságban. Ez utóbbi modell képezi az ICAO standard légkör alapját is, amelyet a repülésben asznált barometrikus fedélzeti műszerek (sebességmérő, magasságmérő, variométer) kalibrálására asználnak. A következő táblázatban foglaltuk össze a őmérsékletre és a sűrűségre vonatkozó összefüggéseket a különböző műlégkörökre. 2
Modell őmérséklet sűrűség Izocor T = T =áll. ρ = p RT Izotermikus T = T =áll. ρ = p RT ISA T = T γz ρ = p RT Az ISA (ICAO) műlégkör rögzített állandói a troposzférára a következők: Tengerszinti őmérséklet: T = 5 C = 288.5 K Tengerszinti légnyomás: p = 325 Pa Száraz adiabatikus őmérsékleti gradiens: γ = dt dz =.65 K m Száraz levegő specifikus gázállandója: R = 287.53 J kg K Neézségi gyorsulás: g = 9.8665 m s 2 A idrosztatika alapegyenletét asználva kiszámítató a nyomás egy adott magasságban. Az egyenlet a légkörre a következőképp írató: 3.. Izocor légkör dz Izocor légkör esetén szétválasztva az 3..-es egyenletet: p(z) p majd integrálva z magasságig: = ρg (3..) = ρg z dz, (3..) p(z) = p ρgz (3..2) 3.2. Izotermikus légkör Izotermikus légkör esetén légkör esetén az 3..-es egyenlet a következő alakot ölti: dz = pg (3.2.) RT 3
Ezt szétválasztva: majd integrálva z magasságig: p(z) p p = g RT 3.3. ISA (ICAO) standard légkör z dz, (3.2.2) p(z) = p e gz RT (3.2.3) Beelyettesítve az állapotegyenletből (p = ρrt) kifejezett sűrűséget 3..-be: majd a őmérséklet magasság függő alakját T-be: dz = pg RT, (3.3.) dz = pg R(T γz) (3.3.2) Az így kapott közönséges differenciálegyenletet szétválasztva: majd integrálva z magasságig: p(z) p p = g z dz, (3.3.3) R (T γz) A megfelelő műveleteket elvégezve: ln(p(z)) ln(p ) = g ln (T γz) R γ ( p(z) = p γ z ) g Rγ T (3.3.4) (3.3.5) 4
3.4. Feladatok Számoljuk ki a árom különböző módszerrel a toronyáz felső ablakára ató erőt, és asonlítsuk össze az eredményeket! Legyen a toronyáz alapja a tengerszinten, az négyzetméteres ablak pedig 3 méter magasan. A talaj közelében a szabadban legyen -5 C a őmérséklet, a toronyázban pedig vegyük a őmérsékletet konstans 2 C-nak, iszen az ajtót csak most nyitottuk ki! Ablak z Nyitott ajtó 3.4.. Izocor közelítés Számoljuk ki a sűrűségeket, amelyez asználjuk a tengerszinti légnyomás értékét: ρ b = p RT b =.24 kg m 3 (3.4.) ρ k = p RT k =.36 kg m 3 (3.4.2) A nyomás az ablak magasságában a ázban, illetve a szabadban: p b () = p ρ b g = 97.75Pa (3.4.3) 5
p k () = p ρ k g = 937.73Pa (3.4.4) A kifelé ató erő: F = [ p b () p k () ] A = 33.3N (3.4.5) 3.4.2. Izotermikus közelítés A külső és a belső őmérséklet is legyen állandó. A nyomás az ablak magasságában a ázban, illetve a szabadban: p b () = p e g RT b = 97.37Pa (3.4.6) A kifelé ató erő: p k () = p e g RT k = 938.46Pa (3.4.7) F = [ p b () p k () ] A = 32.9N (3.4.8) 3.4.3. ISA (ICAO) standard közelítés A külső őmérsékleti gradiens legyen egyenlő a száraz adiabatikus őmérsékleti gradiensel, a belsőt pedig számítsuk a belső őmérséklet megváltozása alapján (γ b = T/ z = (T k T b )/). A nyomás az ablak magasságában a ázban, illetve a szabadban: ( ) g Rγ b p b () = p γ b = 97.37Pa (3.4.9) T b A kifelé ató erő: ( ) g Rγ k p k () = p γ k = 938.32Pa (3.4.) T k F = [ p b () p k () ] A = 33.5N (3.4.) 6
3.4.4. Összeasonlítás Látató, ogy 3 méteres magasság esetén nincs jelentős különbség a különböző módszerek között. Ha kiszámoljuk az ablakra ató erőket a dubai Burj Kalifa felőkarcoló 829.8 méteres magasságával, akkor már nagyobb eltérést tapasztalunk. Az ICAO standard atmoszféra 923.79 N, az izotermikus közelítés 825.59 N, az izocor közelítés pedig 93.52 N erőt eredményez. Fontos azt is figyelembe venni, ogy a légkör alsó rétegében, a troposzférában uralkodó légnyomást az izocor modell jelentősen alul, az izoterm modell pedig jelentősen felülbecsli az ICAO standard atmoszféráoz képest. Az izocor modell 7849 méter felett negatív nyomást eredményez, azonban ez a fizika törvényszerűségeibe ütközik. A különböző modellek által számított nyomásmeneteket és az ablakra ató erőket a következő ábrán szemléltetjük. a) Izocor Izoterm ISA (ICAO) Izocor Izoterm ISA (ICAO) b) 8 8 6 z [m] 6 z [m] 4 4 2 2 2 4 6 8 p k [Pa] 2 4 6 8 2 F [N] 7