Kedvenc rejtvényeim Mit tudok és mit hiszek el?

Kedvenc rejtvényeim Mit tudok és mit hiszek el?

Mottó A matematikus azt old meg, amit tud A mérnök azt old meg, amit kell Ebből következik, hogy Nem tudunk minden részletében tökéleteset csinálni Sok mindent el kell hinnünk De mindig legyen valami, amit tudunk

1. Mennyit várunk a villamosra? Rejtvény: A villamosok a megállóhoz átlagosan 10 percenként érkeznek, véletlenszerűen kimegyünk a megállóba, várhatóan mennyi ideig kell várnunk? Ez a rejtvény eredetileg a tömegkiszolgálás híres paradoxonja.

Ha a követési távolság fixen 10 perc Ha véletlenszerűen érkezem az alábbi időtengelyre, akkor mindig 10 perces követési távolságot kapok el, Mivel véletlenszerűen várhatok többet vagy kevesebbet, a várható várakozási időm 10/2 = 5 perc 10 perc 10 perc 10 perc 10 perc 10 perc

Ha követési távolság hol 5 perc, hol 15 perc, de a várható érték most is 10 perc Véletlenszerűen háromszor gyakrabban érkezem a hosszabb intervallumba, ezért várhatóan (3/4 * 15 + 1/4 * 5) / 2 = 6.25 percet várok, 5 perc 15 perc 5 perc 15 perc 5 perc többet, mint az előbb

Általánosságban: Ha a követési távolságok sűrűségfüggvénye: f(t) A mekkora intervallumba érkezem sűrűségfüggvénye: g(τ) Akkor g(τ) = c. τ f(τ), És a mekkora intervallumba érkezem várható értéke: E (τ) = ( VAR (t) + E 2 (t) ) / E (t)

Bosszantási tényező Joggal nevezhetjük bosszantási tényezőnek a E (τ) / E (t) = VAR (t) / E 2 (t) + 1 hányadost. Ez a hányados 1 a fix követési távolságoknál és minden más esetben nagyobb mint 1! Mekkora a maximuma? Mondják, hogy az örökifjú követési távolságnál van a maximum, ennél a bosszantási tényező : 2.

A bosszantási tényező néhány eloszlásnál Exponenciális: 2.00 Egyenletes: 1.37 0.12 0.12 0.1 0.1 0.08 0.08 f(t) g(t) 0.06 f(t) g(t) 0.06 0.04 0.04 0.02 0.02 0 0 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 Háromszög: 1.55 Poisson : 1.10 0.07 0.14 0.06 0.12 0.05 0.1 f(t) g(t) 0.04 0.03 f(t) g(t) 0.08 0.06 0.02 0.04 0.01 0.02 0 0 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8

2. Mikor maximális a bosszantási tényező?

Íme két diszkrét eloszlás: Ha vannak nagyon pici követési távolságok, akkor az utasok nagy részét a ritkábban közlekedő járatok viszik el. Pedig ennek költsége majdnem ugyanannyi! 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 50 50% : 1.88 f(t) g(t) 0 Tanulság: a természetes sztochasztika még elviselhető, 1.2 1 90 10% : 10.00 a direkt bosszantós azonban már nagyon bosszantó 0.8 0.6 0.4 f(t) g(t) 0.2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

3. Hány jó egyed kell egy jó rendszerhez? Ez az egyedek tulajdonságától függ A fontosabb válaszok: Mind: soros rendszer, redundancia és hibatűrés nincs Majdnem mind: a szokásos hibatűrő rendszer, pl. ECC Több mint a fele: demokrácia, bináris szavazás Néhány: a jók kiválasztása, nem bináris szavazás Legalább egy: önellenőrző egységek

N/m rendszer javítás nélkül A megbízhatósági függvények és az MTTF 1.2 Összesen 15 egység, ebből m = a jó egységek minimális száma R / 1.00 1 / 3.32 2 / 2.32 3 / 1.82 4 / 1.48 valószínűség 1 0.8 0.6 0.4 Szavazó Szimplex m = 8 Önellenőrző m = 1 Nem bin szavazás m = 2 0.2 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 5 / 1.23 6 / 1.03 7 / 0.87 8 / 0.73 9 / 0.6 10 / 0.49 11 / 0.39 12 / 0.3 13 / 0.22 14 / 0.14 15 / 0.07 relatív élettertam

N/m rendszer javítással A javítási folyamat Markov modellje Μλ (Μ 1)λ (Μ 2)λ 2λ λ 0 1 2 M-1 M μ μ μ μ μ

N/m rendszer javítás nélkül és javítással 1,E+16 1,E+14 összesen 15 egység Adatok: MTTF = 1 év MTTR = 0.01 év 1,E+12 MTTF [év] 1,E+10 1,E+08 1,E+06 1,E+04 1,E+02 1,E+00 1,E-02 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 jó egységek minimális száma javítás nélkül javítással a naprendszer életkora homo sapiens Javítással a majdnem mind - en kívül minden megoldás jó Sőt, gyanúsan túl jó!

N/m rendszer javítással 1,E+13 1,E+11 m = a jó egységek minimális száma Adatok: MTTF = 1 év MTTR = 0.01 év MTTF [év] 1,E+09 1,E+07 1,E+05 1,E+03 m=1 m=2 m=3 a naprendszer életkora homo sapiens Néhány tartalék elég a tökéleteshez 1,E+01 1,E-01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 a rendszer mérete

A rendszervizsgálat egyfajta megközelítése: a rendszerszintű önellenőrzés Az egységek véleményt alkotnak egymásról (tesztelik egymást) és ezekből a véleményekből áll elő a rendszer minősítése A szavazás eredményét vagy egy központ vagy elosztott módon maga a rendszer állapítja meg

4. Hány jó egyed kell egy jó rendszerhez? A tesztérvénytelenítés PMC modellje: A jó a jóról jót mond, a rosszról rosszat (tehát a jó igazat mond teljes teszt) A rossz bárkiről bármit mondhat (tehát a rossz tévedhet vagy hazudik tesztérvénytelenítés)

A tesztérvénytelenítés PMC modellje Véletlen hibák esetén kevés jó sok rosszat is le tud győzni JÓK: igazat mondanak Te rossz vagy ROSSZAK és BUTÁK: Össze-vissza hazudoznak Te jó vagy Logikátlan állítások

A tesztérvénytelenítés PMC modellje Tervszerű, rosszindulatú hibák esetén a többség győz JÓK: igazat mondanak Te rossz vagy ROSSZAK, de OKOSAK tervszerűen hazudoznak Te jó vagy Te jó vagy Te rossz vagy

Véletlen klikkek kialakulásának valószínűsége Összesen 16 egység N=16 ; k=4 Mindenki a 4 másikat teszteli Valószínűség 1,E+00 1,E-01 1,E-02 1,E-03 1,E-04 1,E-05 1,E-06 1,E-07 1,E-08 1,E-09 1,E-10 1 2 3 4 5 6 7 8 n a rossz jónak látszik lottó ötös n a jó egységek száma Az ábra annak a valószínűségét mutatja, hogy véletlenül a rosszak n-nél nagyobb klikkje alakuljon ki ez kicsi

Véletlen klikkek kialakulásának valószínűsége Összesen 64 egység N=64 ; k=4 Mindenki a 4 szomszédját teszteli Valószínűség 1,E+00 1,E-03 1,E-06 1,E-09 1,E-12 1,E-15 1,E-18 1,E-21 1,E-24 1,E-27 1,E-30 1,E-33 1,E-36 1,E-39 4 8 12 16 20 24 28 32 n a rossz jónak látszik lottó ötös n a jó egységek száma Az ábra annak a valószínűségét mutatja, hogy véletlenül a rosszak n-nél nagyobb klikkje alakuljon ki ez nagyon kicsi

Véletlen klikkek kialakulásának valószínűsége Látható, hogy véletlenül a rosszak már kevés számú jót sem tudnak legyűrni néhány jó elég a jó rendszerhez Tudatos rosszak esetén (worst case szemlélet) viszont a többség győz, tehát jó rendszerben több jó kell, mint rossz Lehet, hogy a véletlen emberibb, mint az ember?

A tesztérvénytelenítés BGM modellje Nem csak igen/nem válasz alapján minősítünk, hanem egy összetett válasz alapján, ekkor kicsi a valószínűsége, hogy két rossz egyforma eredményt mondjon, és szerencsés esetben már két jó is elég a jók és a rosszak szétválasztásához (ehhez mindenkinek mindenkit tesztelnie kellene), Praktikusabb a néhány (kettőnél több) jó egység, mert ilyenkor kevesebb teszt kell.

5. Mik a diagnosztizálhatóság korlátjai?

Hány egység nem diagnosztizálható egy nagy rendszerben? Pl. egy négyzethálós elrendezésű végtelen tömbben mindenki teszteli a négy szomszédját:

Hány egység nem diagnosztizálható? A sok jó könnyen minősíti a kevés rosszat

Hány egység nem diagnosztizálható? Kivéve, ha a rosszak körbezárnak néhány jót, ilyenkor ezek a jók PMC modellben diagnosztizálhatatlanok

Perkoláció elmélet Végtelen kiterjedésű hálóban élek (vagy csúcsok) p valószínűséggel nem járhatóak Mi a valószínűsége végtelen nagy járható területnek? különböző méretű zárványok kialakulásának? mennyi a várható össz-zárvány? Előszeretettel használják Kristályosodás, gélesedés leírására Olaj és földgáz kutatásban

Perkoláció elmélet a diagnosztikában Hamar kialakul végtelen nagy JÓ tenger Felső határt a diagnosztizálhatatlan szigetekre nem tudunk adni

Perkoláció elmélet a diagnosztikában Analitikus eredményt tehát nem tudtunk adni (Polgár Balázs egy éve ráment ), maradt a szimuláció

Bartha Tamás eredményei Félediagnosztizált jó egységek Félrediagnosztizált rossz egységek 0.9 3.5 0.8 0.7 0.6 3 2.5 % 0.5 0.4 0.3 0.2 Majority Election Clicque % 2 1.5 1 Majority Election Clicque 0.1 0.5 0 0 10 20 30 40 50 60 70 0 0 10 20 30 40 50 60 70 hibaarány [%] hibaarány [%]

Polgár Balázs eredményei Félrediagnosztizált egységek 8 7 6 % 5 4 3 4x4 6x6 8x8 10x10 2 1 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 hibaarány Mindkét vizsgálat azt mutatta, hogy véletlen hibázások esetén még magas hibaarány esetén is alacsony a diagnosztika hibaaránya

6. Mikor elég egyetlen jó egység? Nem elég a jókra bízni a rosszak kiválasztását, öntesztelő tulajdonságú egység kell Szokásos megoldások: Watch-dog timer Watch-dog processzor Master-checker Önellenőrző áramkörök használata ezek az áramkörök inherens módon hibajelző kódokkal dolgoznak (pl. paritáskód) és kis redundanciával nagy megbízhatóságot képesek biztosítani

Önellenőrző áramkörök meghibásodásbiztonság: a hibát vagy tolerálja, vagy kimutatja Megengedett bemenet Nincs hiba Megengedett kimenet Bemenet az I halmazból Hiba a hibakészletbõl Vagy jó kimenet vagy hibás kimenet 1. ábra Meghibásodásbiztos áramkör

Önellenőrző áramkörök Önellenőrzés: a hiba (legalább teszt üzemmódban kimutatható) Megengedett bemenet Nincs hiba Megengedett kimenet Létezik megengedett bemenet Hiba a hibakészletbõl Hhibás kimenet 2. ábra Öntesztelõ áramkör

Önellenőrző áramkörök és az önellenőrzés: Jó bemeneti kódszó Önellenőrző funkcinális áramkör Kimenet Ellenőrző Hibajel 3. ábra Önellenőrző áramkör

Mit tudok és mit hiszek el? A tanulási eredmények (~ tudás) szintjei Bloom szerint: értékelés szintézis analízis alkalmazás megértés ismeret

Mit tudok és mit hiszek el? Azt tudom, amit ki tudok számítani (modell és ez alapján analízis) = értékelés Azt hiszem el, amit barátaim ki tudnak számítani = szintézis, analízis A többit kénytelen vagyok használni = alkalmazás, megértés, ismeret