(a nevező mindig az össztömeg)

Fizika számgyak zh gyakorló 014 EBBEN AZ ANYAGBAN UGYANAZOK AZ ANYAGOK VANNAK EGYBESZERKESZTVE, AMIK HETENKÉNT KI VOLTAK RAKVA, CSAK SZÜRKÉVEL MEG VANNAK JELÖLVE AZOK A RÉSZEK, AMIK NEM ZH SZINTŰ KÉRDÉSEK. Tömegközéppont Tömegekkel súlyozott átlagos helyvektor - pontszerű testeknél = - kiterjedt testeknél = () () (a nevező mindig az össztömeg) A tömegközéppont számításánál a testet tetszőlegesen bonthatjuk részekre, és a tömegközéppontot számolhatjuk úgy, hogy a részek tömegét az adott rész tömegközéppontjába helyezve a pontszerű testekre érvényes képletet alkalmazzuk. (Számolhatunk negatív tömegekkel is, ha egy testet két test különbségeként tudunk előállítani.) Homogén, szimmetrikus tömegeloszlású testek tömegközéppontja a szimmetriasíkon, -tengelyen, illetve a szimmetriacentrumban van. (Pl. homogén lapháromszög tömegközéppontja a háromszög geometriai súlypontjában van.) Határozzuk meg a vízmolekula tömegközéppontját! A kötéshossz 95,8 pm, a kötésszög 104,45. H y Helyezzük el így a vízmolekulát. Akkor x H1 = d sin(104,45 /) = 75,7 pm, y H1 = 0 és m H1 = 1 x H = d sin(104,45 /) = 75,7 pm, y H = 0 és m H = 1 x O = 0, y O = d cos(104,45 /) = 58,7 pm és m O = 16 M = m H1 + m H + m O = 18. Tehát = (, ), ( ) O ϕ=104,45 d=95,8 pm H x =0 és = ( )( )(, ) = 5, pm. Azonos keresztmetszetű, homogén vas és alumínium rudat a végüknél összeragasztunk, majd az egészet a tömegközéppontjánál kettévágjuk. Mennyi lesz a két rész tömegének aránya? A sűrűségek: ρ Fe = 7,8 kg/dm 3, ρ Al =,7 kg/dm 3. = %! "# $ & %! "# $ & )%! '( $ % )%! '( $ % =! "# * +) % ),! '( * +) )% & ), %! "# -. % &! '( -.)% =, % ) ) /,0%) ) %, 1/, 1 0,757 5. Az egyik darab (m 1 ) tehát a vasrúd 0,757-ed része, a másik darab (m ) a vasrúd 1 0,757=0,43-ad része plusz az egész alumíniumrúd: 6 7 6 ) = Fe Al 0 L L x! "#,1 8! "#,/9:1 8! '( 1 8 1,85. zh / 1

Fizika számgyak zh gyakorló 014 L hosszúságú rúd sűrűsége egyik végén ρ 0, másik végén ρ 0, közben egyenletesen változik. A rúd keresztmetszete mindenütt azonos. Hol van a súlypontja? A rúd az x tengely mentén van 0-tól L-ig, a sűrűsége x=0-ban ρ 0, x=l-ben ρ 0, így a sűrűsége x függvényében ρ(x) = ρ 0 ( 1 + x/l ). A súlypontjának x koordinátája % = &!( ) $ 1 %!( ) $ &, ahol >?() @ =>? (1+ 5 )@ =? >B+ / 5 C@ 1 1 1?()@ =? H1+ 1 I@ =? J+ ) =? 55 / 6 35? = 5 9 5 1 /1 K 1 =? H5+ 1 I=? / =? D / 1 +: 35 F =? B 5/ +5/ 3 C=? 55 / 6 :1 /, tehát Határozzuk meg egy homogén lemezből kivágott síklap súlypontjának helyzetét, ha annak alakja a/ félkör; b/ derékszögű háromszög; c/ általános háromszög; d/ α nyílásszögű körcikk! a/ A lemez vastagsága legyen D, így a sűrűség? = A félkört szeleteljük fel az ábrán látható módon: dv = D y* dx = D R / x / dx Z M //O ) P Q. xρ dv x = ρ dv = xρd R/ x / dx = 4 Z M R / π > x^r / x / dx = 9 Z ) _ J : (`/ / ) :// K O = 9 Z ) _ Z0 : = 9 :_ R y y* dx x Hol helyezkedik el egy homogén tömegeloszlású kúp súlypontja? Szeleteljük fel a kúpot a szimmetriatengelyére a z tengelyre merőlegesen korongokra. Egy korong magassága dz, sugara r = x = R (1 z/h), térfogata dv = A(z) dz = x π dz = R (1 z/h) π dz. A kúp sűrűsége ρ = m / V kúp = m / (R πh/3). A kúp tömegközéppontjának z koordinátája a = c & b! 8(b) $b = 6 6 d d :6 a O Pd `/H1 b ) d I/ e @a= = : a (h a) / @a = : (h / a ha / +a : )@a = d 0 d 0 = : d 0Jd) b ) / /db0 : d + bg K d d = = 9 9 z h r R dz y x zh /

Fizika számgyak zh gyakorló 014 66 kg tömegű kötéltáncos súlypontja a kötél felett 1 m magasságban van. Ugyanezen magasságban tartja a kezében lévő 6 m hosszú, 4 kg tömegű merev rudat, melynek két végén levő m-es fonálon egy-egy ólomgolyó függ. Legalább milyen tömegűeknek kell lenniük a golyóknak ahhoz, hogy a rendszer (kötéltáncos + rúd + golyók) súlypontja a kötél alá essék? (A rudat középütt fogja, a m távolság a rúdtól a golyó középpontjáig értendő.) Határozzuk meg egy homogén félgömb súlypontjának helyzetét! Egy egyenes csonkakúp alaplapjának sugara R, fedőlapjáé r. Milyen arányban osztja a súlypontja a magasságát? A csonkakúp anyaga homogén. Egy háromszög három csúcsában egyenlő tömegű golyók vannak. Mutassuk meg, hogy a három golyóból álló pontrendszer tömegközéppontja a háromszög súlypontjában helyezkedik el!?=? i j &kc l& formulával leírható módon függ a h magasságtól. ρ 0 = 1, kg/m 3, A levegő sűrűsége a p 0 = 10 5 Pa. Milyen magasan van egy egyenletes keresztmetszetű levegőoszlop tömegközéppontja? Határozzuk meg a hamisjátékos 15 mm élhosszú, fából készült dobókockája súlypontjának helyzetét, ha egyik oldalába 1 mm vastag vaslemezt épített be. A fa sűrűsége 0,5 g/cm 3, a vasé 7,8 g/cm 3. 01 zh. A törpök fel szeretnének lépni a cirkuszban. A mutatvány az lesz, hogy gúlát alkotnak magukból ahogy a képen láthatjuk. A keresztek az egyes törpök tömegközéppontját jelölik. A törpök az alsó sorban balról jobbra: Törperős 1,5 kg; Törpapa 1, kg; Tréfi 1, kg; a középső sorban: Okoska 0,9 kg; Törpilla 1,1 kg; legfelül Törpicur 0,5 kg. Hol van a hat törp tömegközéppontja? Milyen messze van Törpapa tömegközéppontjától? Válasszuk Törpapa tömegközéppontját origónak, akkor az egyes törpök helyvektorai (cm-ben): Törperős ( 10;0), Törpapa (0;0), Tréfi (10;0), Okoska ( 5;0), Törpilla (5;0), Törpicur (0;30). A hat törp tömegközéppontja: r s = (m 1 r 1 + +m 6 r 6 ) / (m 1 + +m 6 ) a vízszintes koordinátája x s = ( 10 1,5+0 1,+10 1, 5 0,9+5 1,1+0 0,5)/(1,5+1,+1,+0,9+1,1+1,5) = / 6,4 = 0,315 cm a függőleges koordinátája y s = (0 1,5+0 1,+0 1,+0 0,9+0 1,1+30 0,5)/(1,5+1,+1,+0,9+1,1+1,5) = 55 / 6,4 = 8,59375 cm A tömegközéppont távolsága Törpapától @ =^0,315 / +8,59375 / 8,60 cm zh / 3

Fizika számgyak zh gyakorló 014 4 m hosszú, 40 kg tömegű csónak egyik végéből megy át a másikba egy 80 kg tömegű ember. Mennyit mozdul el a csónak a vízparthoz viszonyítva, ha mozgása a vízben jó közelítéssel közegellenállás-mentesnek tekinthető? /1 tömegközépponti tétellel Mivel a közegellenállás elhanyagolható, külső erő nem hat a csónak + ember rendszerre, így a tömegközéppont gyorsulása zérus, és mivel induláskor nem mozgott a csónak, a tömegközéppont nem mozdulhat el a parthoz képest. Számoljuk ki a tömegközéppont helyét: % = mno & % $ 1 M 6 no M = 6 no % ) 1 M 6 no M = : p vagyis L x s = / m attól a végétől, ahonnan indul az ember. : L = 4 m x s d s (Persze számolhattuk volna rögtön ezt is: % % $ = 6 no 6 no M = mno & % ) Az ábráról látható, hogy 6 no M = / : p ) s = L d = m. : d / impulzus-megmaradással Ha a csónak mozgása a vízben közegellenállás-mentesnek tekinthető, akkor a csónak + ember rendszerre nem hat vízszintes külső erő, tehát összes (vízszintes) impulzusuk állandó; méghozzá zérus, mert először álltak. Ha a csónak s távolságot mozdul el a parthoz viszonyítva, akkor sebessége v = s/ t, ugyanakkor az ember (L-s) távolságot mozdul el a parthoz képest az ellenkező irányba, tehát sebessége V = - (L-s)/ t. 0 = mv + MV = m s/ t M (L-s)/ t s = L M/(M+m) = 8/3 m. Impulzusmegmaradás Impulzus: I = mv (vektor!) Impulzustétel: q r =st, F k a külső erők eredője. Zárt rendszer (ahol F k =0) impulzusa (időben) állandó. Az impulzustétel, -megmaradás alkalmazásának előnye, hogy nem kell ismernünk a belső erőket. Ütközések: - Tökéletesen rugalmatlan ütközés: a több testből egy test lesz, aminek a sebessége az ütközés előtti sebességekből az impulzus-megmaradást felírva számolható. Az energia nem marad meg, mivel a két test egybegyűrődésekor az energia egy része deformációs munka végzésére fordítódik. - Tökéletesen rugalmas ütközés: a több test az ütközés után külön-külön testként mozog, a sebességük meghatározásához az impulzus-megmaradáson kívül a mozgási energia megmaradását is felírhatjuk. Az impulzus-megmaradást az egyes irányokra külön-külön írjuk fel, a pozitív irányt megválasztva az azzal egyező irányú sebességeket pozitívnak, az ellentéteseket negatívnak véve. Több komponens (pl. szöget bezáró ütközés) esetén az energia-megmaradást nem kell komponensenként írni. 30 kg tömegű súrlódásmentes kiskocsin 40 kg tömegű gyerek ül, és van még a kocsin db 5 kg tömegű tégla. A kocsi sebessége m/s. A gyerek eldobja először az egyik téglát menetirányba, majd a másikat ellenkező irányba. A téglákat a kocsihoz képest 5 m/s sebességgel dobja el. Mekkora lesz a kocsi sebessége a második tégla eldobása után? És mekkora lesz a kocsi sebessége akkor, ha az első téglát dobja hátrafelé és a másodikat előrefelé? zh / 4

A kocsi+gyerek tömege M = 30+40 = 70 kg, a tégláké m 1 = m = m = 5 kg, a kiindulási sebesség v 0 = m/s, a tégla relatív sebessége v t = 5 m/s. Az impulzus-megmaradás az első tégla kidobására, ha előrefelé dobja: (M+m) v 0 = m (v 0 +v t ) + (M+m) v 1 v 1 a kocsi sebessége az első tégla kidobása után; a második tégla kidobására, ha hátrafelé dobja: (M+m) v 1 = m (v 1 v t ) + M v v a kocsi sebessége a második tégla kidobása után. Ezekből v 1 = v 0 m/(m+m) v t, v = v 0 + m /M(m+M) v t ; behelyettesítve v 1 = 5/3 m/s, v,04 m/s. Ha az első téglát dobja hátrafelé: (M+m) v 0 = m (v 0 v t ) + (M+m) v 1 v 1 a kocsi sebessége az első tégla kidobása után; és a másodikat előrefelé: (M+m) v 1 = m (v 1 +v t ) + M v v a kocsi sebessége a második tégla kidobása után. Behelyettesítve v 1 = 7/3 m/s, v 1,976 m/s. zh / 5 Fizika számgyak zh gyakorló 014 Rugalmas ütközés egy egyenes mentén: m tömegű testet u sebességgel nekilövünk egy álló M tömegű testnek. Határozzuk meg a két test ütközés utáni sebességét, és vizsgáljuk meg azokat a speciális eseteket, amikor a/ m = M; b/ m M; c/ m M. Mivel az ütközés tökéletesen rugalmas, a két testből álló rendszer össz-impulzusa és mozgási energiája állandó: mu = mv + MV ½ mu = ½ mv + ½ MV Az első egyenletből kifejezve v-t v = u (M/m)V, ennek négyzetét írjuk be a másodikba: mu = m(u (M/m)uV+(M /m )V ) + MV, amiből m V = u és m M v = u. m + M m + M Nézzünk meg speciális eseteket: 1. m = M (a két golyó egyforma tömegű) v = 0, V = u sebességet cserélnek. m<<m (nagy tömegű álló golyónak v -u, V 0 a kis golyó visszapattan, ütközik elhanyagolható tömegű golyó) 3. m>>m (elhanyagolható tömegű golyónak ütközik nagy tömegű golyó) v u, V u a nagy meg se mozdul a nagy golyó változatlan sebességgel megy tovább, a kis golyó kétszer akkora sebességgel indul Ballisztikus inga (rugalmatlan ütközés): l hosszú fonálon lógó M tömegű zsákba vízszintes u sebességgel belelövünk egy m tömegű testet, ami benne ragad a zsákban, és azzal együtt ϕ szöggel kilendül. Mekkora volt az u sebesség? Az ütközés tökéletesen rugalmatlan, és az ütközés során külső erő nem hat a zsák + lövedék rendszerre, tehát össz-impulzusuk állandó: mu = (M+m) v v = u m/(m+m) Innen energiamegmaradással az emelkedés magassága ½ (M+m) v = (M+m) gh h = v / g = u m /[g(m+m) ] és az ehhez tartozó szög h = l (1 cosϕ) cosϕ = (l-h)/l = 1 h/l = 1 u m /[gl(m+m) ] 011 zh 4.a) Vízszintes súrlódásmentes asztalon egyik végén rögzített, k = 10 N/m rugóállandójú, l = 4 cm hosszú rugó fekszik, és a végéhez van rögzítve egy m 1 = 40 dkg tömegű test. Az asztalon a rugó tengelyében nekilökünk egy m = 0 dkg tömegű testet v = 1, m/s sebességgel. (A testek nem gurulnak, hanem súrlódásmentesen csúsznak az asztalon.) A két test tökéletesen rugalmasan ütközik. a) Mekkora lesz az m 1 tömegű test sebessége az ütközés után?

a) Az ütközés tökéletesen rugalmas, tehát megmarad az impulzus és az energia is. Impulzus-megmaradás: m v = m 1 v 1 + m v. Energia-megmaradás: m v / = m 1 v 1 / + m v /. Ezt az egyenletrendszert megoldva v 1 -re és v -re: v / = )x 7 7 ) v= 0,4 m/s és v = / ) 7 ) v=0,8 m/s. Fizika számgyak zh gyakorló 014 011 pótzh. Jancsi ül egy kis kocsiban két téglával, és úgy akarja elindítani a kocsit, hogy a téglákat kidobja a kocsiból. Jancsi tömege 48 kg, a kocsié 1 kg, egy tégláé 4 kg. Jancsi a kocsihoz képest 3 m/s-os sebességgel tudja eldobni a téglákat. A kocsi súrlódásmentesen mozoghat. Mekkora lesz a sebessége a két tégla kidobása után, ha azokat a/ egyszerre, b/ egymás után dobja ki? impulzus-megmaradást felírva, a tégla sebességét véve pozitív iránynak a/ (48+1+ 4) 0 = 4 3 + (48+1) v v = 4/60 = 0,4 m/s b/ (48+1+ 4) 0 = 4 3 + (48+1+4) v 1 v 1 = 1/64 = 0,1875 m/s (48+1+4) v 1 = 4 (v 1 +3) + (48+1) v v = ( 1 11,5)/60 = 0,3875 m/s. 01 pótzh. a)b) mint a 011 pótzh. c/ Ha egymás után dobja ki a téglákat, mennyi Jancsi mozgási energiájának változása az első és a második tégla kidobása utáni állapotokat összehasonlítva? c/ E kin = ½ m J (v v 1 ) = 0,5 48 (0,3875 0,1875 ) =,76 J 01 iv 4. Jancsi ül egy kis kocsin. A kocsi állandó 4 m/s sebességgel megy. Jancsinak van egy téglája a kocsin. Kipróbálja, mennyit tud változtatni a kocsi sebességén azzal, ha kidobja a téglát a kocsiból. Jancsi tömege 48 kg, a kocsié 1 kg, a tégláé 4 kg. Jancsi a kocsihoz képest 5 m/s-os sebességgel tudja eldobni a téglát. A kocsi súrlódásmentesen mozoghat. Mekkora lesz a kocsi sebessége a tégla kidobása után, ha azt a/ menetirányban előrefelé b/ hátrafelé dobja ki Jancsi? c/ Mennyi Jancsi mozgási energiájának változása az a/ ill. b/ esetben, a tégla kidobása előtti ill. utáni állapotokat összehasonlítva? 01 zh 1. Hókuszpók maga nem síel, de kiment leskelődni a síelő törpök után. A hegy aljában sétálgat a vízszintes mezőn, amikor egy lavina megindul a hegyről. Meglátja, hogy egy óriási, 110 kg tömegű hógömb tart feléje 1 m/s sebességgel. Megpróbál elfutni előle. 8 m/s sebességgel fut, merthogy annál gyorsabban nem tud, - így aztán a lavina utoléri őt. A lavina elragadja Hókuszpókot; ezt úgy is fogalmazhatjuk, hogy Hókuszpók a hógömbbel tökéletesen rugalmatlanul ütközik. Hókuszpók tömege 50 kg. a./ Mennyi lesz a hógömb sebessége, miután bekebelezte Hókuszpókot? Az alábbi kérdésekre a válaszokat előjellel együtt adjuk meg: b./ Mennyi Hókuszpók impulzusának változása a lavinával való találkozásakor? Mennyi a hógömb impulzusának változása? Mennyi a Hókuszpók+lavina rendszer impulzusának változása? zh / 6

zh / 7 Fizika számgyak zh gyakorló 014 c./ Mennyi Hókuszpók mozgási energiájának változása a lavinával való találkozásakor? Mennyi a hógömb mozgási energiájának változása? Mennyi a Hókuszpók+lavina rendszer mozgási energiájának változása? a./ m hg v hg + M HP V HP = (m hg +M HP )U U = (m hg v hg +M HP V HP )/(m hg +M HP ) = (110 1+50 8)/(110+50) = 10,75 m/s b./ I HP = M HP (U V HP ) = 50 (10,75 8) = +137,5 kgm/s I hg = m hg (U v hg ) = 110 (10,75 1) = 137,5 kgm/s és I össz = 0 c./ E kin,hp = ½ M HP (U V HP ) = ½ 50 (10,75 8 ) = +189,065 J E kin,hg = ½ m hg (U v hg ) = ½ 110 (10,75 1 ) = 1564,065 J E kin,össz = E kin,hp + E kin,hg = 189,065 15674,065 = 75 J Miért nehezebb egy kisebb tömegű csónakból kiugrani a partra, mint egy nagyobb tömegű hajóból? A kérdés az, hogy mekkora munkával tudjuk magunkat és a csónakot felgyorsítani az álló helyzetből az ugrás sebességére. A munkatételt használva W = E kin = E kin ugráskor 0 M a csónak tömege, V lesz a csónak sebessége, m az ember tömege, v lesz a csónak sebessége, ezzel W = ½ MV + ½ mv Másrészt, mivel csak belső erő fog hatni (amikor elrugaszkodunk a csónakról), ezért az ember+csónak rendszer impulzusa állandó marad, méghozzá zérus, mert kezdetben nyugalomban voltak: MV + mv = 0 Innen V = m/m v és W = ½ M ( m/m v) + ½ mv = = ½ m ( 1 + m/m) v, vagyis minél nagyobb az m/m hányados, annál nagyobb munkát kell befektetni ahhoz, hogy egy bizonyos v sebességre felgyorsítsuk magunkat. Egy 7 kg-os lövedék pályájának legfelső pontján, a kilövés után 3 s-mal két darabra robban szét. A robbanás egy, a kilövési ponttól 100 m távolságban tartózkodó őrmester feje fölött történt, majd a robbanás után 1 s-mal egy kg- os repeszdarab az őrmester lába elé esett. A kilövés helyétől milyen távolságban keressék a másik repeszdarabot? Mivel a kilövéstől a robbanásig 3 s telt el és ezalatt 100 m-t tett meg vízszintesen a lövedék, vízszintes sebessége v x = v 0 cos α = d / t h = 100 / 3 = 400 m/s. Ez lesz a sebessége a robbanáskor, a robbanás ugyanis a pálya csúcspontján történik, amikor a repesz függőleges sebessége zérus: v z = v 0 sin α - gt h = 0. Utóbbiból kiszámítható a robbanás helyének magassága: a lövedék kezdősebességének függőleges komponense v 0z = v 0 sin α = gt h = 10 3 = 30 m/s volt, amivel h = (v 0 sin α) t h ½ g t h = 30 3-5 3 = 45 m. A robbanás után az m 1 = kg tömegű repeszdarab ebből a magasságból érkezett le t 1 = 1 s alatt, vagyis h + v 10 t 1 ½ g t 1 = 0 v 10 = 40 m/s függőleges kezdősebessége volt a robbanás után. Az impulzus-megmaradást felírva a robbanásra: M (v 0 cos α) i = m 1 v 10 k + m v v = (M v 0 cos α) / m i (m 1 v 10 ) / m k = (7 400/5) i ( 40/5) k = 560 i + 16 k (m/s) lesz az 5 kg tömegű darab kezdősebessége. A helyvektora r(t) = (100 + 560 t) i + (45 + 16 t 5 t ) k (m). Ebből ki tudjuk számolni, hogy mikor és hol ér földet: 45 + 16 t t 5 t = 0 t 5 s alatt ér földet d = 100 + 560 t = 4000 m távolságban a kilövés helyétől. A 8-as úton 108 km/h sebességgel megy egy 8 tonnás kamion, mögötte 18 m-rel szintén 108 km/h sebességgel egy 1 tonnás személyautó. A kamionos meglát egy őzet és elkezd fékezni. Az út nedves, a kamion csúszni kezd és µ = 0,9 -es súrlódási együtthatóval fékeződik. Az autó vezetője elbóbiskolt, nem fékez. a) Mennyi idő alatt éri utol az autó a kamiont? b) Mekkora ekkor a kamion sebessége? Az autó a kamionnal tökéletesen rugalmatlanul ütközik. c) Mennyi lesz az összetapadt roncs sebessége az ütközés után?

Fizika számgyak zh gyakorló 014 d) Mennyi az autó impulzusának változása az ütközés során? Mennyi a kamioné? Mennyi az autó + kamion rendszer teljes impulzusának változása? e) Mennyi az autó mozgási energiájának változása az ütközés során? Mennyi a kamioné? Mennyi az autó + kamion rendszer teljes mozgási energiájának változása? 011 iv zh 5. Jancsi és Juliska állnak a jégen egymástól 1 m-re, fogják egy kötél két végét. Jancsi 35 kg, Juliska 5 kg tömegű. ((Hol van a tömegközéppontjuk az őket összekötő egyenes mentén, ha Jancsi 35 kg, Juliska 5 kg tömegű?)) Jancsi hirtelen elkezdi húzni a kötelet. Egy pillanat alatt felgyorsulva mindketten súrlódásmentesen csúszni kezdenek egymás felé állandó sebességgel. Jancsi sebessége 1,5 m/s. a/ Mennyi Juliska sebessége? b/ Milyen távol lesznek egymástól, amikor Jancsi 3 m-t csúszott? c/ Mekkora munkát végzett Jancsi, amikor a kötél meghúzásával mozgásba hozta saját magát és Juliskát? Amikor összeütköznek, az ütközésük tökéletesen rugalmatlan ütközésnek tekinthető (összekapaszkodnak, nem eresztik el egymást). d/ Mennyi lesz a közös sebességük ütközés után? e/ Mennyi Juliska impulzusának változása az ütközés során? Az ütközésük 0,05 s-ig tartott. f/ Mekkora erő hatott Juliskára, ha feltesszük, hogy ütközéskor a köztük ható erő állandó volt? g/ Hány g gyorsulást jelentett ez Jancsinak? a/ impulzus-megmaradással (mivel csak belső erő hat) m Jancsi v Jancsi = m Juliska v Juliska v Juliska =,1 m/s ( ha Jancsi sebessége pozitív ) b/ s Juliska / s Jancsi = v Juliska / v Jancsi, amíg Jancsi s Jancsi = 3 m-t tesz meg, addig Juliska s Juliska = 4, m-t, tehát a távolság köztük d = 1 (3+4,) = 4,8 m c/ munkatétellel W = E kin = (½ m Jancsi v Jancsi 0 ) + (½ m Juliska v Juliska 0) = 94,5 J d/ impulzus-megmaradással (mivel csak belső erő hat) m Jancsi v Jancsi + m Juliska v Juliska = 35 1,5 + 5 (,1) = 0 e/ I = 5 ( 0 (,1) ) = 5,5 kgm/s (vagy negatív, ha a sebességek előjele fordított volt) f/ F = I / t = 5,5/0,05 = 1050 N a köztük ható erő nagysága. g/ a Jancsi = F / m Jancsi = 1050 / 35 = 30 m/s, ami 3g! Harmonikus rezgőmozgás (csillapítás, gerjesztés nélkül) Rugó végéhez rögzített test vízszintes (súrlódásmentes) síkon: A mozgásegyenlet mx{ = kx, ahol x a megnyúlás: x = l l0 (előjelek!) x = A cos(ωt+ϕ 0 ), v = Aω sin(ωt+ϕ 0 ), a = Aω cos(ωt+ϕ 0 ) = ω x, F = maω cos(ωt+ϕ 0 ) = mω x, ahol } =~ 6 = /P ; A és ϕ 0 pedig a kezdeti feltételekből határozhatók meg: x(0) = x 0 = A cosϕ 0 és v(0) = v 0 = Aω sinϕ 0 =~ / +H & ƒ I/, = ˆ H & ƒ & I. zh / 8

zh / 9 Fizika számgyak zh gyakorló 014 Vigyázni kell az előjelekre, és arra, hogy a sinϕ 0 =, cosϕ 0 = egyenletekből ϕ 0 -nak azt az értékét válasszuk ki, amivel a kezdeti feltétel teljesül. (Pl. sinϕ 0 =0 ϕ 0 =0 vagy ϕ 0 =π: ϕ 0 =0 esetén a test az egyensúlyi helyzethez képest A-nyival megnyúlt állapotból indul, míg ϕ 0 =π esetén A-nyival összenyomott állapotból indul.) A maximális sebesség az egyensúlyi helyzeten való áthaladáskor v max = Aω. Energia-megmaradás (ld. lejjebb): ½ ka = ½ kx + ½ mv = ½ mv max. Rugó végéhez rögzített test függőleges helyzetben: Lefelé irányított x-tengelyt felvéve a mozgásegyenlet mx{ =mg kx, ahol x most is a rugó megnyúlása. Olyan rezgés jön létre, aminek az egyensúlyi helyzete nem a rugó nyugalmi hossza, hanem ahol az eredő erő zérus (a = 0): x es = mg/k. Tehát az egyensúlyi helyzetben F e = 0; a többi helyzetben mg és a rugóerő eredője az egyensúlyi helyzet felé mutat, a szélső helyzetekben az eredő erő nagysága F max = maω. A felső szélső helyzetben a rugóerő mutathat felfelé vagy lefelé is, attól függően, hogy a nyugalmi hossz alatt vagy felett van a test. A periódusidő és a körfrekvencia változatlan: } =~ 6 = /P, az amplitúdót és a kezdőfázist a vízszintes helyzethez hasonlóan kell meghatározni. Energia-megmaradást felírva mgx tagot is be kell venni (megfelelő x=0 választással). Vízszintes, súrlódásmentes asztalon a rugó végéhez rögzített m = 100 g tömegű golyó 10 cm-rel való kihúzásához 1 N erőre van szükség. a/ A golyót elengedve mekkora lesz a rezgésidő? b/ Mekkora a golyó sebessége a nyugalmi helyzeten való l0 áthaladáskor? c/ Az elengedés után s múlva hol lesz a golyó? d/ Mekkora ebben a pillanatban a kinetikus energia? a/ k = F/x = 1 / 0,1 = 10 N/m = 10 kg/s. 0 x =e~ 6 =e~, =0,e 0,68 Œ. b/ v max = Aω : A = 0,1 m, }=~ 6 =~ =10, Œ, v max = 1 m/s. c/ x = A cos(ωt+ϕ 0 ) = 0,1 cos (10t) ( ϕ 0 = 0, mert kezdősebesség nélkül indul a test a maximális kitérésről) x() = 0,1 cos (10 ) 0,0408 m = 4,08 cm. d/ v(t) = 0,1 10 sin(10t) = sin(10t) v() = sin(0) 0,913 m/s E kin () = ½ 0,1 ( 0,913) 0,04 J. VAGY: ½ kx + ½ mv = konst. = ½ ka E kin = ½ mv = ½ k (A x() ) = ½ 10 (0,1 0,0408 ) 0,04 J. Egy tömegpont harmonikus rezgőmozgást végez az x tengely mentén: x(t) = x* cos (ω t + π), ahol x* = m, ω = π/5 s -1 a/ Ábrázoljuk a test x koordinátáját a [0, T] időintervallumban! (Mennyi a T periódusidő? Mekkora az A amplitúdó? Honnan indul a test a t = 0 s-ban?) b/ Mennyi a sebesség átlagértéke egy teljes periódusra? c/ Mennyi a sebesség nagyságának átlagértéke egy teljes periódusra?

a/ A = x = m, T = π/ω = π/(π/5) = 5 s, x(0) = x* cosπ = x* = m, x(t) = cos((π/5) t) b/ v átl = [x(t) x(0)] / T = 0 c/ v á = 4A / T = 1,6 m/s Fizika számgyak zh gyakorló 014 Írjuk fel a mozgásegyenletét a két rugóval kifeszített m = 3 g tömegű testnek, ha csak az AB egyenes mentén történő mozgásokra szorítkozunk! A két rugó rugóállandója k 1 = 0,1 N/m ill. 0, N/m, nyugalmi hosszaik l 01 = 10 cm ill. l 0 = 1 cm, az AB távolság 5 cm. Adjuk meg a mozgásegyenlet általános megoldását! Milyen mozgásnak felel ez meg? ma = mx{ = F 1 + F, l 1 l ahol F 1 és F a két rugó által kifejtett erő: F 1 = k 1 l 1, F = + k l ; A B l 1 = l 1 l 01 = x l 01, l = l l 0 = (L x) l 0 ; tehát a mozgásegyenlet L mx{ = k 1 (x l 01 ) + k (L x l 0 ) (1) 0 azaz mx{ = (k 1 +k ) x + [k 1 l 01 +k (L l 0 )]. A mozgásegyenletben a [k 1 l 01 +k (L l 0 )] tag azért jelenik meg, mert a rugók rögzítési pontja közötti távolság nagyobb, mint a két rugó nyugalmi hosszának összege. Az x e egyensúlyi helyzetben az eredő erő zérus: F 1e + F e = k 1 (x e l 01 ) + k (L x e l 0 ) = mx{ = 0 () Vonjuk ki ()-t az (1)-ből, azaz írjuk most úgy fel a mozgásegyenletet, hogy a testre ható erők aktuális értékének az egyensúlyi helyzetben ható erőktől való eltérését tekintjük: mx{ mx{ = (F 1 F 1e ) + (F F e ) = = [ k 1 (x l 01 ) + k (L x l 0 )] [ k 1 (x e l 01 ) + k (L x e l 0 )] = k 1 (x x e ) k (x x e ). Vezessük be új változónak az x e -től való eltérést: y = x x e, ezzel a mozgásegyenlet my{ = (k 1 +k ) y. A test tehát az x e egyensúlyi helyzet körül harmonikus rezgőmozgást végez. ()-ből x e = (k 1 l 01 +k L k l 0 )/(k 1 +k ) = 1 cm. A rezgőmozgás periódusideje T=π^m/(k +k / ) = 0,π 0,63 s (az amplitúdója és fázisállandója pedig a kezdeti feltételektől függ) x 011 pótzh1. Vízszintes, súrlódásmentes síkon egy rugó végére m = 1 kg tömegű golyót rögzítettünk. A rugó másik vége rögzítve van. A 45 cm-es rugó 0 cm-rel való kihúzásához 5 N erőre van szükség. a/ A golyót elengedve mekkora lesz a rezgésidő? b/ Írjuk fel a golyó kitérését az idő függvényében! c/ Mekkora a golyó maximális sebessége? d/ Mekkora a golyó gyorsulása 10 s-mal a golyó elengedése után? a/ k = 5 / 0, = 5 N/m, ω = ^ /p = 5 s 1, =e~ 6 = /P 1,6 s b/ A = 0, m, tehát x(t) = 0, cos (5t) [m] c/ v max = Aω = 1 m/s d/ a(t) = ω x(t) = Aω cos(ωt) = 0, 5 cos(5 10) = 4,8 m/s zh / 10

Fizika számgyak zh gyakorló 014 011 iv 6. Egyik végénél felfüggesztett rugóra 90 dkg tömegű testet erősítettünk. Ekkor a rugó megnyúlása 1 cm. a/ Mekkora a rugó rugóállandója? b/ Mennyi munkát végzünk, amíg a rugót további 6 cm-rel megnyújtjuk? a/ k = mg / l 0 = 75 N/m b/ a rugó nyújtásához W r = ½ k ( l 1 l 0 ) = ½ 75 (0,18 0,1 ) = 0,675 J munkát kell végeznünk, de közben a test lejjebb került, így a nehézségi erőtér W g = mg ( l 1 l 0 ) = 0,9 10 (0,18 0,1) = 0,54 J munkát végzett rajta, tehát nekünk összesen W = W r W g = 0,135 J munkát kell végeznünk. 01 pótzh 3. Vízszintes, súrlódásmentes síkon egy rugó végére m = 1 kg tömegű golyót rögzítettünk. A rugó másik vége rögzítve van. A 45 cm-es rugó 0 cm-rel való kihúzásához 5 N erőre van szükség. a/ Mekkora munkát végeztünk a rugó kihúzásakor? b/ A golyót elengedve mekkora lesz a rezgésidő? c/ Írjuk fel a golyó kitérését az idő függvényében! d/ Mekkora a golyó maximális sebessége? e/ Mekkora a golyó gyorsulása 4 s-mal a golyó elengedése után? a/ k = 5 / 0, = 5 N/m, W = ½ k ( l) = 0,5 5 0, = 0,5 J b/ ω = ^ /p = 5 s 1, =e~ 6 = /P 1,6 s c/ A = 0, m, tehát x(t) = 0, cos (5t) [m] d/ v max = Aω = 1 m/s e/ a(t) = ω x(t) = Aω cos(ωt) = 0, 5 cos(5 4) =,04 m/s 01 6. házi feladat Van egy l 0 = 3 cm hosszú, k = 5,6 N/m rugóállandójú rugónk. Ezt a rugót függőlegesen fellógatjuk és a végére akasztunk egy m tömegű testet, majd meghúzzuk lefelé, hogy a hossza 60 cm legyen, elengedjük, és megmérjük 10 rezgés idejét: t 10 = 9, s. a. Mekkora a rugó végére akasztott test tömege? b. Mekkora a rezgés amplitúdója? c. Rajzoljuk meg a testre ható erőket a rezgőmozgás alsó és felső pontjában! a. A rezgésidőből =e~ 6 = 7& p= ) 9P ) 0,10 kg b. Függőleges helyzetben a rezgőmozgás egyensúlyi helyzete nem a rugó nyugalmi hossza lesz, mert az m tömegű testet ráakasztva a rugó a nyugalmi hosszához képest megnyúlik annyit, hogy a testre ható erők eredője zérus legyen: k x e = mg x es = mg/k = (0,1 10/5,6) m = 1,5/7 0,143 m. A rugó az egyensúlyi helyzetben l es = l 0 + x es = 0,3 + 1,5/7 0,5343 m hosszú. Az amplitúdó ennek és az elengedéskori hossznak a különbsége: A = 0,60 (0,3 + 1,5/7) = 0,8 1,5/7 0,0657 m = 6,57 cm. zh / 11

A rezgéskor tehát a rugó hossza l es + A = 0,60 m és l es A = (0,3 + 1,5/7) (0,8 1,5/7) = 0,04 + 3/7 0,4686 m között változik. c. A testre ható erők: a nehézségi erő (mg = 0,1 10 = 1, N) lefelé és zh / 1 Fizika számgyak zh gyakorló 014 a rugóerő (F r = k l) a rugó nyugalmi hosszának megfelelő pont felé. Az alsó helyzetben a rugó megnyúlása 0,60 0,3 = 0,8 cm, a rugóerő F ra = 5,6 0,8 = 1,568 N felfelé, az eredő 1,568 1, = 0,368 N felfelé; a felső helyzetben a rugó megnyúlása (0,04 + 3/7) 0,3 = 3/7 0,8 0,148 m, a rugóerő F ra = 5,6 (3/7 0,8) = 0,83 N felfelé, az eredő 1, 0,83 = 0,368 N lefelé. 013 5. házi feladat Egy 4 cm hosszú, 8 N/m rugóállandójú rugó végéhez rögzítünk egy 1,5 dkg tömegű testet. Írjuk fel a test kitérését az idő függvényében (a körfrekvencia, amplitúdó, kezdőfázis kiszámolásával), ha a) vízszintes, súrlódásmentes síkon rögzítjük a rugó végét, majd a rugót 10 cm-rel kihúzzuk és úgy engedjük el, hogy a testnek 0,8 m/s kezdősebességet adunk az egyensúlyi helyzete felé; b) a rugó végét a plafonhoz rögzítjük, és kezdősebesség nélkül elengedjük a testet úgy, hogy a rugó hossza éppen a nyugalmi hossz! (a rugó függőleges) Az x = 0 pont legyen a rugó rögzítési pontja mindkét esetben. a) Legyen y az egyensúlyi helyzettől való eltérés, vagyis a rugó nyugalmi hosszától mért távolság, ezzel a mozgásegyenlet ma = my{ = ky a körfrekvencia =^k/m= ^8/0,15= 8 s 1 A kitérés ill. a sebesség: y(t) = A cos(ωt+ϕ 0 ) = A cos(8t+ϕ 0 ) ill. v(t) = Aω sin(ωt+ϕ 0 ) = 8A sin(8t+ϕ 0 ) A kezdeti feltételek szerint: y 0 = 0,1 m és v 0 = 0,8 m/s, azaz y(0) = A cos(8 0+ϕ 0 ) = 0,1 ill. v(0) = 8A sin(8 0+ϕ 0 ) = 0,8 A cos(ϕ 0 ) = 0,1 és A sin(ϕ 0 ) = 0,1 A = 0,1 0,141 [m] és ϕ 0 = arc tg 1 = π/4 0,785 rad A rugó rögzítési pontjához rakott x koordináta 0,4 m-rel van eltolva, x(t) = 0,4 + y(t), azaz x(t) = 0,4 + 0,1 cos(8t + π/4) [m] vagy: x(t) = 0,4 + 0,1 sin(8t + 3π/4) [m] b) Írjuk fel a mozgásegyenletet az x koordinátával (aminek zérus pontja a rugó rögzítési pontja); ekkor a rugóerőt a nyugalmi hossztól (0,4 m-től) kell számolni: ma = mx{ = mg k (x 0,4) Ennek a rezgésnek az egyensúlyi helyzete most nem a rugó nyugalmi helyzete lesz, hanem ahol x{ = 0, azaz mg k (x es 0,4) = 0 x es = 0,4 + mg/k = 0,4 + 0,15 10/8 = 0,4 + 0,1565 = 0,5765 m. Írjuk most át a mozgásegyenletet úgy, hogy bevezetjük y-t, az egyensúlyi helyzettől való eltérést: y(t) = x(t) x es, amivel x(t) = x es + y(t), tehát m(x +y) { = mg k ( (x es +y) 0,4). Mivel x(t) és y(t) csak egy konstansban különböznek, ezért a második deriváltjuk egyenlő. my{ = mg k ((0,4 + mg/k + y) 0,4) = mg k (mg/k + y) = mg mg ky = ky, vagyis az egyensúlyi helyzettől való eltérésre felírt differenciálegyenletünk ugyanolyan, mint a vízszintesen elhelyezkedő rugó mozgásegyenlete: my{ = ky. A körfrekvencia tehát ugyanannyi lesz a függőleges rezgésnél is, mint a vízszintesnél, ω = 8 s 1.

A kezdeti értékek pedig y 0 = 0,1565 m Fizika számgyak zh gyakorló 014 [vagy: x 0 = 0,4 m] és v 0 = 0, azaz y(0) = A cos(8 0+ϕ 0 ) = 0,1565 [vagy: x(0) = 0,5765 + A cos(8 0+ϕ 0 ) = 0,4] és v(0) = 8A sin(8 0+ϕ 0 ) = 0. A sebességből sin ϕ 0 = 0 ϕ 0 = 0 vagy π, a kitérésből y(0) = A cos ϕ 0 = 0,1565 [vagy: x(0) = 0,5765 + A cos ϕ 0 = 0,4] A = 0,1565 és ϕ 0 = π, vagyis x(t) = 0,5765 + 0,1565 cos(8t + π) vagy: x(t) = 0,5765 + 0,1565 sin(8t + 3π/) vagy: x(t) = 0,5765 0,1565 cos(8t) Vízszintes, súrlódásmentes síkon egy rugó végére m = 1 kg tömegű golyót rögzítettünk. A rugó másik vége rögzítve van. A rugó 0 cm-re való kihúzásához 5 N erőre van szükség. a/ A golyót elengedve mekkora lesz a rezgésidő? b/ Mekkora a golyó sebessége a nyugalmi helyzeten való áthaladáskor? m tömegű golyót erősítünk k rugóállandójú rugóra. Az egyik végén rögzített rugó az x tengelyen van, egyensúlyi helyzete legyen az origó. A golyót t=0 időben v 0 kezdősebességgel meglökjük a x tengely irányába, ezután az harmonikus rezgőmozgást végez. a/ Határozzuk meg és ábrázoljuk x-et az idő függvényében! b/ Határozzuk meg a gyorsulás átlagértékét az első félperiódusban! c/ Milyen összefüggés van a gyorsulás és x között? Ebből határozzuk meg az x kitérés átlagértékét az első félperiódusban! Közegellenállás A testre ható közegellenállási erő mindig ellentétes irányú a test sebességével, nagyságára pedig különböző tartományokban különböző közelítéseket alkalmazunk. Mivel ilyenkor a testre ható erők nem állandó nagyságúak, a v(t) = v 0 + at és r(t) = r 0 + v 0 t + ½ at képletek nem érvényesek, hanem az adott a(v) differenciálegyenlet megoldásával kaphatjuk meg a v(t) és r(t) függvényeket, ami nem mindig könnyű feladat. Könnyen kiszámolható viszont a test stacionárius (állandósult) sebessége (vagyis az a sebesség, aminél a test nem gyorsul). α = 30 -os lejtőn halad felfelé egy m = 30 t tömegű szerelvény. A légellenállás F = kv, ahol k = 15000 Ns/m. A vonat sebessége v 0 = 54 km/h. a/ Mennyi a mozdony húzóereje? b/ A mozdony motorja elromlik. Mennyi idő alatt és mekkora úton csökken nullára a vonat sebessége? c/ Mi történik ezután? Feltéve, hogy a lejtő nagyon hosszú, mennyi lesz a vonat végsebessége? a/ A mozgásegyenlet: ma = F húzó mgsinα kv. Amikor állandó v 0 = 54 km/h = 15 m/s sebességgel megy a vonat, a gyorsulás zérus, tehát F húzó = mgsinα + kv 0 = 375 kn. b/ F húzó = 0, ma = m š = mgsinα kv. 6 Szeparáljuk és integráljuk: @Ÿ 6 œ ž = 6 zh / 13 6 œ ž/ @Ÿ =@ˆ

ˆ = 6 H6 œ ž tehát ˆ = 6 mko Fizika számgyak zh gyakorló 014 +ŸI+, és mivel t = 0 -nál v = v 0, ezért = 6 H6 œ ž +Ÿ I, mko Mikor áll meg? v = 0, ha ˆ= 6 Mekkora utat tesz meg, amíg megáll?, azaz Ÿ(ˆ)=H 6 œ ž & H +1I 1,83 s. 6 œ ž +Ÿ I i x m 6 œ ž integráljuk a v(t) függvényt: Œ = 6 H6 œ ž +Ÿ I 1 i x m Behelyettesítve s = 11,7 m. c/ A vonat sebességét a v(t) függvény megadja a pillanatnyi megállás utánra is; látható, hogy t esetén i x m 0, így v Ÿ ª = 6 œ ž, 6 œ ž tehát a vonat v stac = 10 m/s = 36 km/h állandósult sebességgel megy majd lefelé a lejtőn. (vagy: a stacionárius sebesség kifejezhető a mozgásegyenletből is) Mekkora út megtétele után áll meg egy vízszintes úton haladó Polski Fiat a motor kikapcsolása után, ha rá a súrlódási erőn kívül a sebesség négyzetével arányos közegellenállási erő is hat? A gépkocsi tömege m = 650 kg, sebessége a motor kikapcsolásának pillanatában v 0 = 80 km/h, a súrlódási együttható µ = 0,015; a közegellenállási erő 40 km/h sebességnél 54 N. b/ Milyen húzóerőt képes a gépkocsi motorja kifejteni, ha a maximális sebesség 100 km/h? a/ A mozgásegyenlet: ma = F motor µmg kv, ahol k = 54 N / (40/3,6 m/s) = 0,4374 kg/m. Ha a motor ki van kapcsolva: ma = µmg kv. Ennek a differenciálegyenletnek a megoldása írja le, hogyan változik a sebesség az idő függvényében. A kérdés viszont most az, hogy hogyan változik a sebesség a megtett út függvényében ezért átalakítjuk a diffegyenletet: = $ = $ $ $ $ $ =Ÿ$ $, azaz pÿ $ $ = «p Ÿ/. Szeparáljuk és integráljuk: @Œ = 6 6 )@Ÿ = 6 / / 6 / )@Ÿ Œ = 6 / H 6 +Ÿ/ I+, és mivel s = 0 -nál v = v 0, ezért = 6 / H 6 +Ÿ / I, tehát Œ = 6 mk & ) mk. / ) A megtett út, amíg megáll, azaz v = 0: Œ = 6 mk & ) mk = 6 H1+ & ) I 868 p. / / 6 b/ A maximális sebességnél a = 0 F motor = µmg + kv stac = 435 N. Függőlegesen felhajítunk egy követ, és az s múlva esik vissza. A kőre a közegellenállás miatt F = kv fékező erő hat. A kő tömege m = 0, kg, k = 0,1 Ns/m. a/ Írjuk fel a kő mozgásegyenletét! b/ Mennyi volt a kezdősebesség? c/ Mennyi az emelkedési és esési idő? d/ Milyen magasra emelkedett a kő? e/ Mekkora sebességgel érkezett vissza a földre? a/ p =p $ = p Ÿ (a z tengely felfelé mutat) $ Behelyettesítve m és k értékét: = $ = 10 0,5Ÿ ( v m/s-ban értendő) $ b/ A kezdősebességet úgy tudjuk meghatározni, hogy két integrálással meghatározzuk a z(t) függvényt, amiben a v 0 kezdősebesség paraméterként szerepel, majd a z() = z(0) feltételből kiszámoljuk v 0 -t. Tehát: szeparáljuk és integráljuk a mozgásegyenletet:. ˆ zh / 14

6 @Ÿ = mk mk @Ÿ = & 6 @ˆ mk mk & @Ÿ = 6 @ˆ Fizika számgyak zh gyakorló 014 Jln ( 6 +Ÿ )K = -ˆ. & 6 = 6ˆ Ÿ =H6 +Ÿ I i x m 6 = $b $ majd integráljuk a v(t) függvényt: b @a =a= ²H 6 +Ÿ I i x m ³ 6 @ˆ a = 6 H6 +Ÿ I 1 i x 6 m ˆ m és k értékét behelyettesítve a =(0+Ÿ )H1 i xµ )I 0ˆ =H 6 +Ÿ I* 6 ix m ³, 6 -ˆ. A z() = z(0) = 0 feltétel: (0+Ÿ )1 i x/// 0 =0, amiből v 0 11,64 m/s. c/ Az emelkedés addig tart, amíg v értéke zérusra csökken, azaz v(t fel ) = 0: H 6 +Ÿ I i x m #( 6, így az esés ideje t le = t össz t fel 1,08 s. d/ A maximális magasságot a t fel időben éri el: =0 ˆ ¹ = 6 mk a(ˆ ¹ )=(0+11,64)H1 i x&,º) ) I 0 0,9 4,9 p e/ Földet éréskor mk & = 6 lnh1+ & 6 I 0,9 s Ÿ()=H 6 +Ÿ I i x m 6 =(0+11,64) ix/// 8,36 p/œ (negatív, mert lefelé esik) h = 6 m mély vízmedence tetején r = 1,5 mm sugarú golyót v 0 = 0 kezdősebességgel elengedünk. A golyóra a nehézségi és a felhajtóerőn kívül még egy 6πηrv nagyságú fékező erő is hat, ahol v a golyó sebessége, η = 1 g/ms. (A golyó sűrűsége ρ = g/cm 3.) a/ Írjuk fel a golyó mozgásegyenletét, és adjuk meg annak általános megoldását! b/ Ábrázoljuk a golyó sebességét és megtett útját az idő függvényében! c/ Mennyi idő alatt és milyen sebességgel ér le a golyó a medence fenekére? d/ Mennyi a golyó átlagsebessége, és hol éri el ezt a sebességet? e/ Oldjuk meg az előző részfeladatokat arra az esetre is, ha v 0 = 10 m/s és függőlegesen lefelé irányul! a/ Felfelé mutató z tengelyt felvéve a mozgásegyenlet 6 pa{ = p +» ¹d ¼ ó» öb ¹¹ = p +? íb (6eÁ )Ÿ À µ#oµ Az adatokat behelyettesítve a{ = $ = (Ÿ+5) $ Integrálással = ˆ Ÿ =(Ÿ & +5)i x 5 és a =(Ÿ +5)(1 i x ) 5ˆ A feladat első részében v 0 = 0, azaz Ÿ =5i x 5 és a =5(1 i x ) 5ˆ. c/ Mikor ér le a medence fenekére: a z(t) = 6 egyenlet megoldása (numerikusan!) t,08 s, ekkor a sebessége v(,08) 4,4 m/s. d/ Az átlagsebesség v átl = 6/,08,88 m/s; a v(t) =,88 egyenlet megoldása t 0,86 s; ekkor z(0,86) 1,4 m. e/ Ha a kezdősebesség lefelé mutat, akkor v 0 = 10 m/s (mivel a z tengely felfelé mutat) és a v(t) ill. z(t) függvények Ÿ = 5i x 5 és a = 5(1 i x ) 5ˆ Így a z(t) = 6 egyenlet megoldása t 0,7 s (ekkor ér le) és v(0,7) 7,5 m/s (ekkora sebességgel); v átl 8,6 m/s, ezt 0,33 s-nál éri el 3,0 m mélységben. zh / 15

Fizika számgyak zh gyakorló 014 011 pótzh1 4.b)c) 1400 m magasan álló helikopterből kiesik egy 80 kg-os kezdő ejtőernyős. Az ejtőernyős akkor rántja meg az ernyő nyitózsinórját, amikor eléri a 30 m/s-os sebességet, de az ernyő nem nyílik ki rögtön, csak 1 s múlva (addig egyáltalán nem kezd fékezni). g = 10 m/s a/ Mekkorára nő a sebessége és mennyit zuhan ez alatt az 1 s alatt? b/ Írjuk fel az ejtőernyős mozgásegyenletét az ejtőernyő kinyílása előtt ill. után! Az ernyő fékezőereje az ejtőernyős sebességének négyzetével arányos, az arányossági tényező c = 00 kg/m. c/ A fékezőhatás következtében az ejtőernyős sebessége közelít egy határértékhez. Mekkora ez a határsebesség? (azaz a stacionárius sebesség?) a/ v = gt, a 30 m/s-ot 3 s-nál éri el, v(4) = 40 m/s nagyságú lesz, és közben d = z(4) z(3) = 10/ 4 10/ 3 = 35 m -t zuhan b/ vektorként: ma = mg és ma = mg + cv k ha felfelé pozitív: ma = mg és ma = mg + cv ha lefelé pozitív: ma = mg és ma = mg cv c/ v stac = áll. a = 0 v stac = mg/c, v stac = m/s. 011 iv 3. Egy m = 80 kg tömegű síelő α = 30 -os, µ = 0,1 súrlódási együtthatójú sípályán csúszik le. A síelőre ható közegellenállási erő a sebességének négyzetével arányos, az arányossági tényező c = 1, kg/m, g = 10 m/s. a/ Írjuk fel a síelő mozgásegyenletét a lejtővel párhuzamos és arra merőleges komponensekre bontva! b/ Mekkora maximális sebességet érhet el a síelő? a/ lejtőre merőleges: F ny mg cosα = m a = 0 lejtővel párhuzamos: mg sinα F s F k = mg sinα µ mg cosα cv = m a ǁ = m s{, ha s a lejtőn megtett út b/ a maximális sebességnél a ǁ = 0 v=^(sinα μcosα)mg/c = 16,6 m/s = 59,8 km/h 011 5. házi feladat Egy repülőgép v 0 = 7 km/h kezdősebességgel ér földet és gurulni kezd. A fékezőerő nagysága F(v) = k(v+b) [N], ahol b = 10 m/s és v a pillanatnyi sebesség nagysága m/s-ban, k = 1 kg/m. A gép tömege m = 500 kg. a/ Mennyi idő alatt áll meg a gép? b/ Mekkora utat tesz meg addig? A mozgásegyenlet p $ $ = (Ÿ+Ç)/. Szeparáljuk és integráljuk: (Ÿ +Ç) x/ @Ÿ = @ˆ & 6 J K È = -ˆ. & 6 azaz Ÿ = 6 m (É&ÊË) Ç =500 10 Ì& 0 = È & È 6ˆ zh / 16

a/ v = 0 ha ˆ = 6 H È & È I 33,3 Œ b/ A megtett utat megkapjuk a v(t) függvény integrálásával: @ = B 6 m ÇC@ˆ (É&ÊË) = 6 J1+ (Ÿ 6 +Ç)ˆK Lj =500 H1+ ˆI 10 : ˆ a megállásig megtett távolság x(33,3) 16 m. VAGY: a $ = $ $ $ $ $ =Ÿ$ $ ezt szeparálva @Œ = 6 ( È) )@Ÿ és integrálva 10Ÿ+10 átalakítással p Ÿ $ $ = (Ÿ+Ç)/, Œ = 6 Jln(Ÿ+Ç)+ È È K & = 6 A megállásig (v=0) megtett út s(0) = 500(ln3 /3) 16 m. Fizika számgyak zh gyakorló 014 H È + È È : I=500H & È È & È + : A vonat egy mozdonyból és három kocsiból áll, mindegyik rész tömege m = 1 t. A vonatot fékezi egyrészt a súrlódási erő, másrészt a vonat sebességével arányos közegellenállási erő. A szerelvény állandó v 0 = 7 km/h-ás sebességgel halad, ekkor a mozdony F 1 = 440 N húzóerőt fejt ki. A vonatról menet közben lekapcsolják az utolsó kocsit. Az elülső rész továbbra is v 0 = 7 km/h-ás sebességgel halad tovább, de most a mozdony húzóereje csak F = 340 N. Mennyi idő múlva áll meg a lekapcsolt kocsi? (A k közegellenállási együttható csak a menetirányba eső felület nagyságától és alakjától függ, a kocsik számától, stb. nem.) Munka, potenciál Az F erő által végzett munka, ha a test adott pályán mozog az r 1 helyvektorú P 1 pontból az r helyvektorú P pontba, az alábbi vonalintegrállal számolható: Ï Í Î7 Î ) = @Í Ï Ð Ï = Ñ ÒÏ Ï Ð Az erő függ a helytől: F(r) = F x(x,y,z) i + F y(x,y,z) j + F z(x,y,z) k A pálya, amin a test mozog: r = x i + y j + z k dr = dx i + dy j + dz k Ï ezekkel Í Î7 Î ) = Ñ ÒÏ Ï Ð Ï = Ó» (,,a)@ +» Ô (,,a)@ +» b (,,a)@aõ Ï Ð Ez így csak akkor számolható ki, ha a pálya párhuzamos valamelyik koordinátatengellyel, azaz dx, dy, dz közül csak egy nem zérus. Általánosan esetben a pályát t-vel (az idővel) paraméterezve adjuk meg: r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k ÒÏ=J $ $ Ö+$Ô $ +$b $ ØK@ˆ és az erőt is t-vel paraméterezve fejezzük ki: F(r) =» ((ˆ),(ˆ),a(ˆ)) i +» Ô ((ˆ),(ˆ),a(ˆ)) j +» b ((ˆ),(ˆ),a(ˆ)) k ) ezekkel Í Î7 Î ) = Ù» ((ˆ),(ˆ),a(ˆ)) $ +» $ Ô((ˆ),(ˆ),a(ˆ)) $Ô +» $ b((ˆ),(ˆ),a(ˆ)) $b Ú@ˆ $ 7 zh / 17

Fizika számgyak zh gyakorló 014 Konzervatív az F(r) erőtér akkor, ha rot F = 0. Ekkor két pont között a munka független a választott úttól (azaz zárt görbére a munka zérus); létezik egy E pot (r) potenciálfüggvény, hogy F(r) = grad E pot (r), és az F erő által végzett munka az A kiindulási és a B végpont potenciáljának különbségeként számolható: W AB = E pot (A) E pot (B) = E pot. A munka előjelet vált, ha az ellentétes irányba megyünk az adott görbén. A fentiek szerint kiszámolt munka az a munka, amit az adott erő végez a testen; az általunk az erőtér ellenében végzendő munka ennek ellentettje. Ö Ø ß rot F kiszámolása: ÏÛÜ Ñ=Ý Ý=H à Ô b ß á Ô b IÖ Hß à ß + b I +Hß á ß +»» Ô» b Ô IØ Az erőtér meghatározása a potenciálfüggvényből: Ñ= âïãò ä åæ = H ç lèµ Ö+ç lèµ Ô +ç lèµ b ØI A potenciálfüggvény meghatározása az erőtérből: a potenciál zéruspontját önkényesen választhatjuk meg. Ha E pot (0,0,0) = 0, akkor,, ä åæ = Ù» @,,,Ô, +» Ô @,,,Ô,b,Ô, +» b @aú Egy F = (Ax+B) i + Cz j + (Dx+E) k [N] erőtérben egységnyi tömegű anyagi pont mozog. a/ Mekkora munkát végez az erőtér, ha a test a P 0 (a,0,1) [m] pontból a P 1 (0,a,1) [m] pontba mozog egyenes pályán? b/ Határozzuk meg az erőtér munkáját, ha a test a P 0 pontból először a P (0,0,1) pontba megy az x tengellyel párhuzamosan! c/ Határozzuk meg az erőtér munkáját a êêêêêê P / P szakaszra! d/ Határozzuk meg a munkát az x,y síkban fekvő a sugarú, origó középpontú körön végzett teljes körülfordulásra! e/ Konzervatív-e a fenti erőtér? f/ Határozzuk meg az erőtér munkáját az x,z síkban fekvő a sugarú, origó középpontú körön végzett teljes körülfordulásra! b/ Mivel az x tengellyel párhuzamosan megyünk, ezért dy = dz = 0, tehát (,,) ) Í Î& Î 7 = Ñ ÒÏ (,,) =» @ = ( +ë) @ =J +ëk / = ) ë / c/ Most az y tengellyel párhuzamosan megyünk, tehát dx = dz = 0: Í Î7 Î ) = (,,) (,,) Ñ ÒÏ =» Ô @ = ìa / @ = ì 1 / @ =ì-. =ì. zh / 18

Fizika számgyak zh gyakorló 014 a/ Írjuk fel az egyenes egyenletét t-vel paraméterezve, úgy, hogy t 0 = 0-ban legyen a test a P 0 pontban és t = 1 ben legyen a test a P pontban (így könnyű lesz az integrálási határokat behelyettesíteni a végén). $ Az r(t) komponensei tehát x = a(1 t), y = at, z = 1, amiből =, $Ô $b =, =0 ; $ $ $ a dr komponensei dx = a dt, dy = a dt, dz = 0; és t: 0 1 (,,) Í Î& Î ) = Ñ ÒÏ (,,) = H» (ˆ),(ˆ),a(ˆ) $ +» $ Ô(ˆ),(ˆ),a(ˆ) $Ô I@ˆ = $ = í( +ë) ( )+ì a / î @ˆ = / + /ˆ ë +ì @ˆ = Ó (1 ˆ)+ë ( )+ì 1 / Õ @ˆ = = 8 ) / ë +ì vagyis ugyanannyi a munka a P 0 és P pontok között, akár egyenes úton megyünk, akár a P 1 pont közbevetésével a koordinátatengelyekkel párhuzamosan. d/ Az xy síkban fekvő a sugarú (origó középpontú) kör paraméteres alakja: válasszuk a t paraméter értékét 0-nak a kiindulási pontban és π-nek a végpontban, így $ az r(t) komponensei x = a cost, y = a sint, z = 1 = Œï ˆ, $Ô $b = ðœˆ, =0 ; $ $ $ a dr komponensei dx = a sint dt, dy = a cost dt, dz = 0; t: 0 π /P Í = í( ðœˆ+ë) ( Œï ˆ)+(ì 1 / ) ( ðœˆ)+(ñ ðœˆ+ä) (0)î@ˆ = /P = í / Œï ˆ ðœˆ ë Œï ˆ+ì ðœˆî @ˆ= Ù / / Œï ˆ ë Œï ˆ+ì ðœˆú@ˆ = =J 8 ) ðœˆ+ë ðœˆ+ì Œï ˆK 9 vagyis zárt görbére zérus volt a munka. e/ ÏÛÜ Ñ=Ý Ö Ø Ô b +ë ìa / ñ+ä /P =0 /P Ý= ìa Ö ñ, tehát nem konzervatív az erőtér Zárójelben: az xy síkban azért nézett ki konzervatívnak, mert rot F -nek a k komponense zérus és az xy síkban fekvő pályákkal számoltunk, aminek a vektora: da = da k, így ÏÛÜ Ñ Òò=0, és a Stokes-tétel szerint ÏÛÜ Ñ Òò= Ñ ÒÏ zérus a vonalintegrál értéke zárt görbére. f/ Az xz síkban fekvő a sugarú (origó középpontú) kör paraméteres alakja, t: 0 π $ az r(t) komponensei x = a cost, y = 0, z = a sint = Œï ˆ, $Ô $b =0, = ðœˆ; $ $ $ a dr komponensei dx = a sint dt, dy = 0, dz = a cost dt /P Í = í( ðœˆ+ë) ( Œï ˆ)+(ì( Œï ˆ) / ) (0)+(ñ ðœˆ+ä) ( ðœˆ)î@ˆ = /P = í / Œï ˆ ðœˆ ë Œï ˆ+ñ / ðœ /ˆ+ä ðœˆî@ˆ = =J 8 ) /P =Jñ / 9 ðœˆ+ë ðœˆ+ñ / œ ªæ H + I+ä Œï ˆK K /P / / / =ñ / e VAGY: Í = Ñ ÒÏ=ÏÛÜ Ñ Òò felhasználásával: kiszámoltuk, hogy ÏÛÜ Ñ= ìa Ö ñ és mivel a kör az xz síkban fekszik, aminek a normálvektora j, ezért tehát Í =ÏÛÜ Ñ Òò=( ñ)@ = ñ@ =( ñ) / e mivel az a sugarú kör területe a π, azaz @ = a π. (A munka előjele a körüljárási iránytól függ) = da = da j Adott a következő erőtér: E = (xy+z) i x j (x+5) k [N/kg] Mekkora munkát kell végeznünk, ha egy m = 5 kg tömegű testet mozgatunk az r(t) = (t+) i 3t j + (t +1) k görbe mentén a P 0 (,0,1) pontból a P 1 (1,3,) pontba? zh / 19

Fizika számgyak zh gyakorló 014 1.) Behelyettesítéssel látható, hogy P 0 -ban t 0 = 0, P 1 -ben t 1 = 1, tehát az integrálási határok: t: 0 1. A dr vektor: $ $ $Ô $b =1, = 3, =ˆ, tehát dr = ( i 3 j + t k ) dt $ $ A térerősség most egységnyi tömegű testre van megadva ( E = F / m ), tehát W = m ô ÒÏ : W = m = 5 r1 t1 dz dt E dr = m E x + E y + E z dt = r0 t0 dx dt dy dt 1 {[ ( (t + ) ( 3t) + (t + 1) )] 1+ [ (t + ) ] ( 3) + [ (t + ) + 5] (t)} 0 1 = 5 (3t 0 + 6t + 10)dt =... = 40 [J].) Más megoldás: konzervatív-e az erőtér? ÏÛÜ ô=ý Ö Ø Ô b (+a) / (+5) tehát az erőtér konzervatív dt = Ý=(0 0)Ö ( ) + ( )Ø=õ, létezik potenciálfüggvény (.A): előállítjuk az E pot (r) függvényt és abból számoljuk ki a munkát: W = E pot = E pot (P 0 ) E pot (P 1 ); a munka tetszőleges úton számolva ugyanannyi (.B): egyszerűbb utat választunk az integráláshoz..a) Határozzuk meg az E pot (r) potenciálfüggvényt: tudjuk, hogy F = grad E pot. Most F helyett E = F/m van megadva, számoljunk ezzel, így az egységnyi tömegre vonatkozó potenciális energiát kapjuk meg, jelöljük ezt U-val: U = E pot /m. A komponensekkel is kiírva ö= øù U= H ûü ûý +ûü ûþ +ûüi=e û ý+e þ +E. A megfelelő komponenseknek egyenlőknek kell lenni, vagyis U/ x = E x, U/ y = E y, U/ z = E z, vagyis tudjuk az U(r) függvény parciális deriváltjait. Ezekből integrálással összerakjuk az U függvényt: U/ x = E x = (xy+z) U = (xy+z)dx = x y + xz + k 1 (y,z) itt k 1 olyan konstans, ami x-től nem függ, de függhet y-tól és z-től; ezért jelöli k 1 (y,z). U/ y = E y = x U = x / dy = x y + k (x,z) U/ z = E z = x+5 U = (x+5)dz = xz + 5z + k 3 (x,y) Gyűjtsük össze a tagokat: (mindegyiket csak egyszer!) U(r) = x y + xz + 5z ( + konstans, de azt vehetjük 0-nak), ez a potenciálfüggvény egységnyi tömegre. Az erőtér által végzett munka a kezdő- és a végpont potenciáljának a különbsége: W/m = U(P 0 ) U(P 1 ). A P 0 (,0,1) pontban x 0 =, y 0 =0, z 0 =1 és a P 1 (1,3,) pontban x 1 =1, y 1 =3, z 1 =, behelyettesítve W/m = U(,0,1) U(1,3,) = [ 0 + 1 + 5 1] [1 3 + 1 + 5 ] = 9 17 = 8 J/kg, tehát az m = 5 kg tömegű testen az erőtér által végzett munka W = 5 ( 8) = 40 J..B) Mivel az erőtér konzervatív, választhatunk más, a megadottnál egyszerűbb utat is a P 0 és P 1 pontok között (mivel ekkor a munka csak a kezdő- és végpontoktól függ). Válasszuk azt az utat, amikor rendre az x,y,z tengelyek mentén megyünk: P 0 (,0,1) (1,0,1) Ô (1,3,1) b P 1 (1,3,) Amikor az x tengely mentén megyünk, behelyettesítjük E x -be y és z értékét ( y=0, z=1 ) és x: 1 ; amikor az y tengely mentén megyünk, behelyettesítjük E y -ba x és z értékét ( x=1 lett, z=1 ) és y: 0 3; zh / 0

Fizika számgyak zh gyakorló 014 amikor a z tengely mentén megyünk, behelyettesítjük E z -be x és y értékét ( x=1, y=3 lett) és z: 1. W r1 (1,0,1) (1,3,1) (1,3,) = m E dr = 5 ( xy + z) dx + x dy + (x + 5) dz = r0 (,0,1) (1,0,1) (1,3,1) 1 3 = 5 ( x 0 + 1) dx + 1 dy + ( 1+ 5) dz =... = 40 [ J ] 0 1 Keressük meg az alábbi helyzeti energia függvényekhez tartozó erőtereket! 1/ E pot = ax + by + cz 3/ E pot = A z e ax + by / E pot = A e ax + by + cz 4/ E pot = A (ax + by + cz) 1 1/ F = grad E pot = (a i + b j + c k) / F = A (a e ax + by + cz i + b e ax + by + cz j + c e ax + by + cz k ) = A e ax + by + cz (a i + b j + c k)= E pot (a i + b j + c k) Zárójelben: bevezetve az a i + b j + c k = v vektort az E pot felírható E pot = A e v r alakban. Keressük meg az alábbi erőterekhez tartozó helyzeti energia függvényt, ha van! (Ha csak bizonyos feltételek teljesülése esetén létezik helyzeti energia, akkor adjuk meg a szükséges feltételeket!) 1/ F = a i + b j + c k 3/ F = ay i + bx j + cz k / F = ax i + by j + cz k 4/ F = a (x + y + z ) ( x i + y j + z k ) 1/ rot F = 0, E pot = (ax + by + cz) ( ami felírható rövidebben: E pot = F r ) / rot F = 0, E pot = ½ ( a x + b y + c z ) 3/ ÏÛÜ Ñ=Ý Ö Ø Ô b Ý=(Ç ) Ø Ç a vagyis akkor van csak potenciál, ha b = a; ekkor E pot = ( a xy + ½ c z ) Egy E = (x+4) i 3z j + x k [N/kg] erőtérben egy m = kg tömegű anyagi pont mozog az r 1 (3, 1,) (m) és az r (3,1,) [m] pontok között egyenes pályán. Határozzuk meg az erőtér által a testen végzett munkát! A mozgás itt csak az y tengellyel párhuzamosan történik, így dx = dz = 0. r r 1 { (x + 4)dx 3z dy + x dz} = 3 dy =... = 48 [J] (3,1,) W = F dr = m E dr = r1 r1 (3, 1,) Határozzuk meg az erőtér által végzett munkát akkor, ha az m = kg tömegű anyagi pont a fenti erőtérben az r 3 (0,0,0) (m) és az r 4 ( 5,4,3) (m) pontok között mozog rendre az x,y,z tengelyekkel párhuzamosan! r4 ( 5,4,3) ( 5,0,0) ( 5,4,0) ( 5,4,3) = = = + + + W F dr m E dr (x 4)dx 3z dy x dz = r3 (0,0,0) (0,0,0) ( 5,0,0) ( 5,4,0) 5 4 3 = (x + 4)dx + 3 0 dy + ( 5) dz = 0 0 0 1 { 15 + 0 + 150} = 70 [J] zh / 1

Adott a következő erőtér: E = (y 3) i + (x z ) j 4yz k [N/kg] Mekkora munkát kell végeznünk, ha egy egységnyi tömegű testet mozgatunk az x = 3 [m] síkban fekvő y + z = 4 egyenletű kör mentén pozitív irányban a P 0 (3,,0) [m] pontból a P 1 (3,-,0) [m] pontba? r(t) = 3 i + cos t j + sin t k dr = (- sin t j + cos t k) dt P 0 -ban t = 0, P 1 -ben t = π W π = [(3 4sin t)( sin t) (4 cos t sin t) (cos t) ] dt =... = 0 π 3 48cos t sin t 48cos t = ( 38sin t + 48sin t)dt = 38cos t = 1 [J] 3 3 0 0 tehát W = 1 J munkát végezne az erőtér, azaz nekünk 1 J munkát kell végeznünk. Más megoldás: rot E =... = 0, tehát az erőtér potenciálos. Az egységnyi tömegre vonatkoztatott potenciál U = 3x xy + yz az általunk végzendő munka W/m = U = U(P 0 ) U(P 1 ) =... W = 1 J. π Fizika számgyak zh gyakorló 014 Adott a térerősség a következő alakban: E = (3x+xz) i + (y +5xz) j + 5xy k [N/kg]. a/ Állapítsuk meg, létezik-e potenciál, és ha igen, adjuk meg! b/ Mekkora munkát végez az erőtér, ha egy m = kg tömegű test mozog egy egyenes mentén a P 1 (1,, 1) [m] pontból a P ( 1,,0) [m] pontba? i j k a/ rot E = = (5x 5x) i (5y x) j + (5z 0) k = (x 5y) j + 5zk 0 x y z 3x + xz y + 5xz 5xy tehát nem létezik potenciál. b/ A P 0 -ból P 1 -be mutató egyenes egyenlete t-vel paraméterezve, P 0 -nál t=0, P 1 -nél t=1 választással: r(t) = ( t+1) i + j + (t 1) k és dr = ( i + k) dt W = m 1 r1 t1 dz dt E dr = m E x + E y + E z dt = r0 t0 dx dt dy dt {[ 3 ( t + 1) + ( t + 1) (t 1) ] ( ) + [ + 5( t + 1) (t 1) ] 0 + [ 5( t + 1) ] 1} = dt = 0 1 = 0 4 { 8t 0t + 8} dt =... = J 3 011 zh 1. Egy E = (3 y) i (x+yz) j y k alakú erőtérben egységnyi tömegű test mozog az r = (t +1) i + (t 1) j + t k görbe mentén. a) Konzervatív-e az erőtér? b) Mekkora munkát végez az erőtér, míg a P 0 (,, ) pontból a P 1 (,0,) pontba jut a test? zh /