1 Kerekes kút 2.: A zuhanó vödör mozgásáról Előző dolgozatunkban melynek címe: A kerekes kútról a végén azt írtuk, hogy Az elengedett vödör a saját súlya hatására erősen felgyorsulhatott. Ezt személyes tapasztalatunk alapján állítottuk. Most ennek részletesebb vizsgálatát tűzzük ki célul magunk elé. Az első, ami eszünkbe jutott, hogy ekkor már figyelembe kell venni a kötél / lánc súlyát, valamint a henger - kerék + kötél változó tehetetlenségi nyomatékát is. A második, hogy meglehet, láttunk már ehhez hasonló számítást. És valóban: az [ 1 ] fe - ladatgyűjteményben talált egyik feladat erősen hasonlít az ittenire. Egy ehhez igen hason - lót találtunk [ 2 ] - ben is. A kifejtéshez tekintsük az 1. ábrát is! 1. ábra Itt azt láthatjuk, hogy a G v súlyú vödör egy l hosszúságú, q folyómétersúlyú kötél végén lóg, amely lecsévélődik az r és R sugarú hengerkerék hengeréről. A kötél átmérője a hen - ger átmérőjéhez képest elhanyagolható. A hengerkerék tehetetlenségi nyomatéka az O - n átmenő, vízszintes helyzetű forgástengelyre: J 0. A nehézségi gyorsulás nagysága: g. A mozgás kezdetén a t 0 = 0 pillanatban fennáll, hogy a teljes rendszer szögelfordulása: φ 0 = 0. A mozgást akadályozó tényezőket pl.: légellenállás, csapsúrlódás, stb. elhanya - goljuk. Eszerint a kötél hajlítómerevségétől is eltekintünk, azonban húzásra végtelenül merevnek vesszük. Minthogy a kötél a hengerről lefejtődik, fennállnak az alábbi összefüggések: ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
2 Fontos, hogy a rendszer merev, így a vödör és a függesztő kötél is ugyanakkora utat tesz meg, ugyanakkora sebességgel és gyorsulással mozogva. A továbbhaladáshoz tekintsük a 2. ábrát is! 2. ábra Itt alkalmaztuk a részekre osztás módszerét. Mindhárom, átmenetileg különálló részre felírjuk a saját mozgásegyenletét, majd ezekkel képezzük az egész mozgásegyenletét. 1. A vödör mozgásegyenlete ( 4 ) 2. A hengerkerék mozgásegyenlete ( 5 ) A J inercianyomaték egy állandó és egy változó részből áll: ( 6 ) Itt J 0 a hengerkerék tehetetlenségi nyomatéka a forgástengelyre, a második tag pedig a kötél változó inercianyomatéka. Ez úgy jön ki, hogy ha s hosszúságú kötél már
3 letekeredett a hengerről, akkor már csak ( l s ) hosszú darab van a hengeren. Ennek súlya q ( l s ), tömege q ( l s ) / g, így tehetetlenségi nyomatéka mintegy q ( l s ) r 2 / g. Most ( 5 ) és ( 6 ) szerint, elvégezve a kijelölt differenciálást: Majd ( 2 ), ( 3 ) és ( 7 ) szerint: vagyis ( 7 ) ( 8 ) Ezután ( 5 ) és ( 8 ) - cal: ( 9 ) 3. A lógó kötél mozgásegyenlete ( 10 ) A bal oldalhoz: ( 11 ) Most ( 10 ) és ( 11 ) - gyel: ( 12 ) Ezután ( 4 ), ( 9 ) és ( 12 ) szerint: rendezve: innen:
4 ( 13 ) A ( 13 ) egyenlet a rendszer mozgásegyenlete. A kényelmesebb kezelhetőség céljából átírjuk ( 13 ) - at: ( 14 ) ahol: ( 15 ) ( 16 ) Minthogy ( 17 ) így ( 14 ) és ( 17 ) - tel ( 18 ) Majd ezt s szerint integrálva: ( 19 ) A c állandó meghatározása: s = 0 esetén v = 0, ezzel ( 19 ) - ből: Most ( 19 ) és ( 20 ) szerint: ( 20 ) ( 21 ) innen: ( 22 ) A ( 22 ) képlettel már számítható a vödör leérkezési sebessége, a teljes l kötélhossznak a
5 hengerről való letekeredése után: ( 23 ) Egy konkrét feladatban ( 15 ), ( 16 ) és ( 23 ) segítségével számszerű eredményhez jutunk, a közelebbről még nem ismert J 0 meghatározása után. Ez a kerék kialakítási módjától füg - gően többféle képlet - alakot is jelenthet. Folytassuk a mozgás vizsgálatát! ( 22 ) - t átírva: ( 24 ) innen a változók szétválasztásával: ( 25 ) integrálva: ( 26 ) Integráltáblázattal [ 3 ] : ( 27 ) Most abból a feltételből, hogy t = 0 esetén s = 0, ( 27 ) - ből: ( 28 ) Majd ( 27 ) és ( 28 ) - cal: tehát: ( 29 ) A vödör T futási ideje a t ( l ) = T feltételből:
6 ( 30 ) Most előállítjuk ( 29 ) inverz függvényét. ( 29 ) - ből átalakításokkal: innen v. ö.: [ 3 ]! : ( 31 ) Ez a vödör pályabefutási törvénye. Ezután ( 1 ), ( 2 ), valamint ( 22 ) és ( 31 ) szerint kifejezhetjük a többi változót is, egy - mással, pl.: ( 32 )
7 Megjegyzések: M1. Az [ 1 ] műben megadták a leérkezés végsebességét is, paraméteres alakban. Ezt az eredményt összehasonlíthatjuk az itt kapottal. A ( 23 ) képlettel, s = l - lel: ( 33 ) most ( 15 ), ( 16 ) és ( 33 ) - mal: bevezetve a vödör súlyának ( 34 ) ( 35 ) képletét, ( 34 ) és ( 35 ) - tel: ( 36 ) Most nézzük a hengerkerék inercianyomatékénak kifejezését! Felvéve, hogy a helyzet az 1. ábra szerinti: innen: ( 37 ) Majd ( 36 ) és ( 37 ) - tel: ( 38 ) ami a jelöléstől eltekintve megegyezik a más úton kapott [ 1 ] - beli eredménnyel. Kis átalakítással: ( 39 ) Ebből a végsebesség képlete:
8. ( 40 ) Innen leolvasható, hogy a vödör végsebessége kisebb a szabadesésnél adódó értéknél. M2. A differenciálegyenletekkel közelebbi ismeretségben lévő Olvasó talán gyorsabban is eljuthat a fenti eredményekhez, a ( 14 ) - ből adódó egyenlet közvetlen megoldásával. M3. A ( 14 ) egyenletből azonnal kiolvasható, hogy a vödör gyorsulása folyton növekszik, bár csak a nehézségi gyorsulás töredékéről indul. Ez annak fényében lehet érdekes, ha belegondolunk, hogy a szabadesés gyorsulása állandó. Számításra alkalmas képlethez juthatunk ( 13 ) - ból: ( 41 ) Látjuk, hogy a vödör legnagyobb gyorsulása is kisebb a szabadesésinél. M4. Javasoljuk, hogy az Olvasó határozza meg a kötél végein ható erők nagyságát, a mozgás kezdetén és végén. M5. A vödör zuhanása egyszer véget ér; vagy a levegőben, vagy a kút vizében. Ez az l kötélhossztól függ. M6. Ne feledjük, itt csak egy lehetséges és viszonylag egyszerű(sített) fizikai modellel dolgoztunk. A fizikai valóság ettől igen gyakran jócskán eltérhet. Például: ~ a kötél több sorban tekeredik fel a hengerre; ~ a kötél egyik része kenderkötél, a másik része acéllánc; ~ a kerék küllős kialakítású; ~ a csapsúrlódás jelentős, stb. M7. Az a gyerekkori élményünk, hogy az elszabadult vödör erősen felgyorsul, itt magya - rázatra lelt. Ezzel a dolgozattal egy régi adósságunkat rendeztük. De még nem mindet
9 Irodalom: [ 1 ] Ferdinand Wittenbauer ~ Theodor Pöschl: Aufgaben aus der Technischen Mechanik, I. Band.: Allgemeiner Teil 6. Auflage, Berlin, Verlag von Julius Springer, 1929. [ 2 ] Karl Federhofer: Prüfungs - und Übungsaufgaben aus der Mechanik des Punktes und des starren Körpers III. Teil: Kinematik und Kinetik starrer Systeme Springer - Verlag, Wien, 1951. [ 3 ] I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv több kiadásban, Műszaki Könyvkiadó, Budapest Sződliget, 2015. július 28. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár