Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Hasonló dokumentumok
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Diszkrét matematika 2.

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Diszkrét matematika 2.C szakirány

1. Polinomok számelmélete

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

1. A maradékos osztás

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

1. Egész együtthatós polinomok

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz

Polinomok (el adásvázlat, április 15.) Maróti Miklós

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

1. Interpoláció. Egyértelműség Ha f és g ilyen polinomok, akkor n helyen megegyeznek, így a polinomok azonossági tétele miatt egyenlők.

Polinomok (előadásvázlat, október 21.) Maróti Miklós

DISZKRÉT MATEMATIKA 2 KIDOLGOZOTT TÉTELSOR 1. RÉSZ

1. A Horner-elrendezés

1. Hatvány és többszörös gyűrűben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Diszkrét matematika 1. estis képzés

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás március 24.

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Diszkrét matematika 2.

Matematika A1a Analízis

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

1. A polinom fogalma. Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1. = x egyenletet.

Diszkrét matematika 1. estis képzés

Diszkrét matematika I.

FFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2.

1. Polinomfüggvények. Állítás Ha f, g C[x] és b C, akkor ( f + g) (b) = f (b) + g (b) és ( f g) (b) = f (b)g (b).

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Alapfogalmak a Diszkrét matematika II. tárgyból

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

LÁNG CSABÁNÉ POLINOMOK ALAPJAI. Példák és megoldások

Diszkrét matematika 2.C szakirány

FELADATOK A BEVEZETŽ FEJEZETEK A MATEMATIKÁBA TÁRGY III. FÉLÉVÉHEZ. ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LÁNG CSABÁNÉ ELTE IK Budapest

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

1. Gráfok alapfogalmai

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz

1. A maradékos osztás

Diszkrét matematika 2.C szakirány

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

1. Komplex szám rendje

GPK M1 (BME) Interpoláció / 16

Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c. tárgyhoz. 1. Integritástartományok, oszthatóság

Határozatlan integrál

Diszkrét matematika 1.

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 14.

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika I.

Vizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz tavasz esti tagozat

Diszkrét matematika alapfogalmak

0 ; a k ; :::) = ( 0: x = (0; 1; 0; 0; :::; 0; :::) = (0; 1)

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Bevezetés az algebrába 2

Polinomgy r k. 1. Bevezet. 2. Polinomok. Dr. Vattamány Szabolcs.

Diszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek

Gy ur uk aprilis 11.

Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G)

Interpolációs eljárások

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 1.

Diszkrét matematika 2.

LNM folytonos Az interpoláció Lagrange interpoláció. Lineáris algebra numerikus módszerei

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

1. Interpoláció. Egyértelműség (K2.4.10) Ha f és g ilyen polinomok, akkor n helyen megegyeznek, így a polinomok azonossági tétele miatt egyenlők.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7.

Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a) Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét.

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Diszkrét matematika 2.C szakirány

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

3. Lineáris differenciálegyenletek

Polinomosztás. Összeállította: Bogya Norbert. Diszkrét matematika I.gyakorlat

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Banach-algebrákban. Darvas Tamás Babeş-Bolyai Tudományegyetem Matematika-informatika szak, II. év május 10.

Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban

Átírás:

Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2018. ősz

Polinomok Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 2. Polinomok algebrai deriváltja Álĺıtás Ha R egységelemes integritási tartomány, c R és n N +, akkor ((x c) n ) = n(x c) n 1. Bizonyítás n szerinti TI: n = 1 esetén (x c) = 1 = 1 (x c) 0. Tfh. n = k-ra teljesül az álĺıtás, vagyis ((x c) k ) = k(x c) k 1. Ekkor ((x c) k+1 ) = ((x c) k (x c)) = ((x c) k ) (x c)+(x c) k (x c) = = k(x c) k 1 (x c) + (x c) k 1 = (k + 1)(x c) k. Ezzel az álĺıtást beláttuk. Álĺıtás (NB) Ha R integritási tartomány, char(r) = p, és 0 r R, akkor n r = 0 p n.

Polinomok Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 3. Polinomok algebrai deriváltja Definíció Legyen R egységelemes integritási tartomány, 0 f R[x] és n N +. Azt mondjuk, hogy c R az f egy n-szeres gyöke, ha (x c) n f, de (x c) n+1 f. Ekkor c multiplicitása n. Megjegyzés A definíció azzal ekvivalens, hogy f (x) = (x c) n g(x), ahol c nem gyöke g-nek. (Miért?) Tétel Legyen R egységelemes integritási tartomány, f R[x], n N + és c R az f egy n-szeres gyöke. Ekkor c az f -nek legalább (n 1)-szeres gyöke, és ha char(r) n, akkor pontosan (n 1)-szeres gyöke.

Polinomok Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 4. Polinomok algebrai deriváltja Bizonyítás Ha f (x) = (x c) n g(x), ahol c nem gyöke g-nek, akkor f (x) = ((x c) n ) g(x) + (x c) n g (x) = = n(x c) n 1 g(x) + (x c) n g (x) = (x c) n 1 (ng(x) + (x c)g (x)). Tehát c tényleg legalább (n 1)-szeres gyöke f -nek, és akkor lesz (n 1)-szeres gyöke, ha c nem gyöke ng(x) + (x c)g (x)-nek, vagyis 0 ng(c) + (c c)g (c) = ng(c) + 0 g (c) = ng(c). Ez pedig teljesül, ha char(r) n. Példa Legyen f (x) = x 4 x Z 3 [x]. Ekkor 1 3-szoros gyöke f -nek, mert f (x) = x(x 3 1) Z 3 = x(x 3 3x 2 + 3x 1) = x(x 1) 3. f (x) = 4x 3 1 Z 3 = x 3 3x 2 + 3x 1 = (x 1) 3, tehát 1 3-szoros gyöke f -nek is.

Polinomok Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 5. Lagrange-interpoláció Tétel Legyen R test, c 0, c 1,..., c n R különbözőek, továbbá d 0, d 1,..., d n R tetszőlegesek. Ekkor létezik egy olyan legfeljebb n-ed fokú polinom, amelyre f (c j ) = d j, ha j = 0, 1,..., n. Bizonyítás Legyen l j (x) = i j (x c i) i j (c j c i ), a j-edik Lagrange-interpolációs alappolinom, és legyen n f (x) = d j l j (x). l j (c i ) = 0, ha i j, és l j (c j ) = 1-ből következik az álĺıtás. j=0

Polinomok Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 6. Lagrange-interpoláció Példa Adjunk meg olyan f R[x] polinomot, amelyre f (0) = 3, f (1) = 3, f (4) = 7 és f ( 1) = 0! A feladat szövege alapján c 0 = 0, c 1 = 1, c 2 = 4, c 3 = 1, d 0 = 3, d 1 = 3, d 2 = 7 és d 3 = 0 értékekkel alkalmazzuk a Lagrange-interpolációt. l 0(x) = (x 1)(x 4)(x+1) = 1 x 3 x 2 1 x + 1 (0 1)(0 4)(0+1) 4 4 l 1(x) = (x 0)(x 4)(x+1) = 1 x 3 + 1 x 2 + 2 x (1 0)(1 4)(1+1) 6 2 3 l 2(x) = (x 0)(x 1)(x+1) = 1 x 3 1 x (4 0)(4 1)(4+1) 60 60 l 3(x) = (x 0)(x 1)(x 4) = 1 x 3 + 1 x 2 2 x ( 1 0)( 1 1)( 1 4) 10 2 5 f (x) = 3l 0(x) + 3l 1(x) + 7l 2(x) + 0l 3(x) = 22 x 3 3 x 2 + 68 x + 3 60 2 60 22 60 3 2 68 60 3 1 22 60 68 60 0 3 4 22 60 2 60 1 7 1 22 60 112 60 3 0

Polinomok Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 7. Lagrange-interpoláció Alkalmazás A Lagrange-interpoláció használható titokmegosztásra a következő módon: legyenek 1 m < n egészek, továbbá s N a titok, amit n ember között akarunk szétosztani úgy, hogy bármely m részből a titok rekonstruálható legyen, de kevesebből nem. Válasszunk a titok maximális lehetséges értékénél és n-nél is nagyobb p prímet, továbbá a 1, a 2,..., a m 1 Z p véletlen együtthatókat, majd határozzuk meg az f (x) = a m 1 x m 1 + a m 2 x m 2 +... + a 1 x + s polinomra az f (i) értékeket, és adjuk ezt meg az i. embernek (i = 1, 2,..., n). Bármely m helyettesítési értékből a Lagrange-interpolációval megkapható a polinom, így annak konstans tagja is, a titok. Ha m-nél kevesebb helyettesítési értékünk van, akkor nem tudjuk meghatározni a titkot, mert tetszőleges t esetén az f (0) = t értéket hozzávéve a többihez létezik olyan legfeljebb m-ed fokú polinom, aminek a konstans tagja t, és az adott helyeken megfelelő a helyettesítési értéke.

Polinomok Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 8. Titokmegosztás Példa Legyen m = 3, n = 4, s = 5, p = 7, továbbá a 1 = 3 és a 2 = 4. Ekkor f (x) = 4x 2 + 3x + 5 Z 7 [x], a titokrészletek pedig f (1) = 5, f (2) = 6, f (3) = 1 és f (4) = 4. Ha rendelkezünk például az f (1) = 5, f (3) = 1 és f (4) = 4 információkkal, akkor c 0 = 1, c 1 = 3, c 2 = 4, d 0 = 5, d 1 = 1, és d 2 = 4 értékekkel alkalmazzuk a Lagrange-interpolációt. l 0 (x) = (x 3)(x 4) (1 3)(1 4) = 1 6 (x 2 7x + 12) = 1 1 ( 6x 2 2) = 6x 2 + 2 l 1 (x) = (x 1)(x 4) (3 1)(3 4) = 1 2 (x 2 5x + 4) = 4(x 2 + 2x + 4) = 3x 2 + 6x + 5 l 2 (x) = (x 1)(x 3) (4 1)(4 3) = 1 3 (x 2 4x + 3) = 5(x 2 + 3x + 3) = 5x 2 + x + 1 f (x) = 5l 0 (x)+l 1 (x)+4l 2 (x) = 30x 2 +10+3x 2 +6x +5+20x 2 +4x +4 = = 53x 2 + 10x + 19 = 4x 2 + 3x + 5

Polinomok Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 9. Polinomok felbonthatósága Definíció Legyen R egységelemes integritási tartomány. Ha a 0 f R[x] polinom nem egység, akkor felbonthatatlannak (irreducibilisnek) nevezzük, ha a, b R[x]-re f = a b = (a egység b egység). Ha a 0 f R[x] polinom nem egység, és nem felbonthatatlan, akkor felbonthatónak (reducibilisnek) nevezzük. Megjegyzés Utóbbi azt jelenti, hogy f -nek van nemtriviális szorzat-előálĺıtása (olyan, amiben egyik tényező sem egység). Emlékeztető Nullosztómentes gyűrű (így test) fölötti polinomok esetén deg(f g) = deg(f ) + deg(g).

Polinomok Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 10. Polinomok felbonthatósága Álĺıtás Legyen (F ; +, ) test. Ekkor f F [x] pontosan akkor egység, ha deg(f ) = 0. Bizonyítás = Ha deg(f ) = 0, akkor f nem-nulla konstans polinom: f (x) = f 0. Mivel F test, ezért létezik f 1 0 F, amire f 0 f 1 0 = 1, így f tényleg egység. = Később.