Geoinformatika alapjai ea. VI. Bevezetés GIS mőveletek I. Tematika Számonkérés Irodalom Transzformáció 28.5.6.
Transzformációk típusai formátum geometriai 28.5.6. 2
Geometriai transzformáció I. Célja: a, geometriai adatok átalakítása ismert vetületi rendszerbe b, térbeli adatok átalakítása egyik vetületi rendszerbıl a másikba 28.5.6. 3
Matematikai alapok Síkbeli geometriai transzformációk és mátrixok 28.5.6. 4
Problémafelvetés légifotók mőholdképek digitális és analóg térképek egymásra illesztése:??????????? =>GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK 28.5.6. 5
Jól ismert transzformációk tengelyes tükrözés középpontos tükrözés elforgatás eltolás középpontos nagyítás fentiek kombinációja (merıleges) affinitás egybevágóságok hasonlóságok egyenestartó transzformációk 28.5.6. 6
Affinitás Definíció: egyenestartó transzformáció Egy affinitás esetén tengelynek nevezzük az affinitásra fix egyenest. A sík önmagára való, nem identikus affinitását tengelyes affinitásnak nevezzük, ha van tengelye. Pl.: a tengelyes tükrözés, mint affinitás esetében az affinitás tengelye a tükörtengely. 28.5.6. 7
Belátható, hogy a sík önmagára való, nem identikus affinitásának legfeljebb egy tengelye van. A tengelyes affinitás megfelelı pontjait összekötı egyenesek irányát az affinitás irányának nevezzük. Ha a tengelyes affinitás iránya merıleges a tengelyre, akkor merıleges vagy ortogonális affinitásról, ha párhuzamos az affinitás iránya a tengellyel, akkor párhuzamos affinitásról, egyéb esetben ferde affinitásról beszélünk 28.5.6. 8
Ha a tengelyes affinitás iránya nem párhuzamos az affinitás tengelyével, akkor bármely nem fix pontot ( pl. P, Q) a képponttal összekötı egyenesnek és a tengelynek a P t, Q t metszéspontjára minden esetben igaz: PP t /P t P = QQ t /Q t Q (osztóviszony) 28.5.6. 9
Affinitások legfontosabb ismérvei Bármely tengelyes affinitás megadható tengelyével, irányával és tetszıleges pont esetén a PP t /P t P hányadossal (osztóviszony) Minden affinitás megadható három nem kollineáris pontpárral. Minden affinitás elıállítható egy hasonlósági transzformáció és egy tengelyes affinitás szorzataként. 28.5.6.
Affin transzformációk hatásai (ezeket nevezzük lineáris transzformációknak, mivel a pontképpont párok között lineáris (elsıfokú) egyenletrendszer 28.5.6. teremt kapcsolatot)
Mi más lehet még? Az alábbi felületek nemlineáris* transzformációkkal vihetık egymásba gömbfelület síkbafejtésénél ezek szükségszerőek. * ezek általában másodfokú, harmadfokú... polinomiális 28.5.6. egyenleteket jelentenek 2
Segédeszközök : a mátrixok Definíció: n oszlopból és m sorból álló táblázat a a M a 2 m a a a 2 22 M m2 Mivel ennek a mátrixnak m sora és n oszlopa van, m n típusú mátrixnak nevezzük. A mátrixban levı a ij számok a mátrix elemei. a ij az i-edik sor j-edik eleme, az i- t sorindexnek, a j-t pedig oszlopindexnek nevezzük. Két mátrix egyenlı, ha ugyanolyan típusúak és megfelelı elemeik megegyeznek. Ha m = n, akkor a mátrixot négyzetes mátrixnak nevezzük Ha a mátrixnak egy sora vagy egy oszlopa van, azaz n-es vagy m -es, akkor sor-, illetve oszlopvektornak nevezzük. 28.5.6. 3......... a a a n 2n M mn
28.5.6. 4 Négyzetes mátrix: Spec. esete az egységmátrix: E = Sorvektor: (-2 5), (2 3-3); Oszlopvektor: Példák mátrixokra 2 4 3 2 5 4 5......... M O M M 7 2, 5 4
28.5.6. 5 Összeadás: csak az azonos típusú mátrixokat lehet összeadni Két m n típusú A és B mátrix összegén azt az m n típusú C mátrixot értjük, amely i-edik sorának j-edik oszlopában áll a ij, b ij elemek összege, azaz: c ij = a ij + b ij, i =,, m; j =,.., n. Például: A = ; B =, ekkor A + B = Mőveletek mátrixokkal I. 3 2 2 3 2 2 2 3 4
Mőveletek mátrixokkal II. Szorzás: csak olyan két mátrixra vonatkozik, ahol az elsı mátrixnak annyi oszlopa van, ahány sora a másodiknak Az A m n típusú és a B n l típusú mátrixok AB szorzatán azt a m l típusú C mátrixot értjük, melyben c ij = a i b j + a i2 b 2j + + a in b nj (i =,, m; j =,, l) Azaz: (a ij ) m n (b ij ) n k = (c ij ) m k,ahol c ij = n k= a ik b kj (i =,, m; j =,, l) 28.5.6. 6
28.5.6. 7 Mátrixszorzás 2 3 5 2 6 5 2 3 4 3 2 3 * = 33 32 3 23 22 2 3 2 a a a a a a a a a
A mátrixok szorzásának tulajdonságai (A B) C = A (B C), vagyis a mátrixok szorzása asszociatív. A B B A, azaz a mátrixok szorzása nem kommutatív, ez következik a definícióból is, hiszen például egy A 3 5 típusú mátrixot és egy B 5 4 típusú mátrixot össze tudunk szorozni, de a B-t A-val már nem. Egy v valós szám és egy A mátrix szorzatán azt a mátrixot értjük, melyet A-ból úgy kapunk, hogy A minden elemét v-vel szorozzuk. Például: 4 3 8 3 2 = 24 9 28.5.6. 8
28.5.6. 9 Mátrix inverze Definíció: Az A négyzetes n n mátrix inverzén értjük azt a négyzetes n n A - mátrixot, amelyre teljesül, hogy A A - = E Pl. * = (értelemszerően a két mátrix egymás inverze) 2 2
Geometriai transzformációk megadása mátrixokkal 28.5.6. 2
28.5.6. 2 Jelölések Vizsgált pont a koordinátasíkon (oszlopvektorként): A transzformáció melletti képe (képpont): Transzformációmátrix általános alakja: A transzformáció egyenlete: (használatos a sorvektorként való felírás is, akkor értelemszerően jobbról szorzunk) y x y x = 22 2 2 a a a a A = y x y x A
Képpont megadása A mátrixszorzás szerint az új koordináták értéke kiszámítható: x = a x + a 2 y y = a 2 x + a 22 y 28.5.6. 22
28.5.6. 23 Transzformációk I. identikus transzformáció origóra történı középpontos tükrözés x-tengelyre történı tükrözés = A E A = = = A = y x y x = y x y x
28.5.6. 24 Transzformációk II. y-tengelyre történı tükrözés merıleges affinitás (t = y) (léptékváltás x mentén!) merıleges affinitás (t = x) (léptékváltás y mentén!) = λ A = A = λ A = y x y x λ λ = y x y x λ λ
28.5.6. 25 Transzformációk III. x=y egyenesre történı tükr. origó körüli elforgatás ϕ szöggel pozitív irányba Példák: 9 -os elforgatás, 45 -os elforgatás, 6 -os elforgatás (sin 6 =,866, cos 6 =,5) = A = ϕ ϕ ϕ ϕ cos sin sin cos A + = ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ cos sin sin cos cos sin sin cos y x y x y x = x y y x
Példák transzformációkra 28.5.6. 26
Mely transzformáció maradt ki? (origóból mi lesz?) 28.5.6. 27
28.5.6. 28 Az eltolás ugyancsak megadható 2x2-es mátrixszal. Eltolás + + = + = 2 ' ' 2, c y c x C y x A c c C
Nemlineáris transzformációk A transzformáció mátrixát a pont-képpont párok koordinátái alapján számítjuk ki. A mátrix a koordinátatranszformációhoz használt polinom (transzformációs függvény) együtthatóiból áll. Mérete függ a transzformáció fokától. 28.5.6. 29
Egy ismert pont-képpont pár (illesztési pont) segítségével két egyenlet írható fel, melyben az együtthatók lesznek az ismeretlenek => Kiszámítható, hogy ((n+)*(n+2))/2 számú illesztési pont szükséges a transzformációs mátrix egyértelmő megadásához, ahol n a polinom fokszámát (x, y legmagasabb hatványkitevıjét) jelöli 28.5.6. 3
Nemlineáris transzformációk hatása 28.5.6. 3
Geometriai transzformáció II. Típusai:. Kép a képhez 2. Kép a térképhez Gyakran elıfordul, hogy egy területrıl több különbözı mőszerrel készített kép áll rendelkezésünkre. A pixelenkénti összehasonlításhoz a képeket azonos hálózatba kell vinni. A képek átfedetéséhez nem mindig szükséges a térképi koordináta rendszer. Ezt a kép a képhez (image to image) átalakítást hozzáillesztésnek (registration) nevezzük. Ha a képi adatokat vetületi rendszerhez illesztjük, és vetületi koordinátákkal látjuk el, akkor a folyamatot geokódolásnak (georeferencing) nevezzük. A képtranszformáció definíció szerint tartalmazza a geokódolást is. A kép a képhez átalakítás csak akkor lesz geokódolás, ha az a kép rendelkezik térképi koordinátákkal, amelyhez a többi képet illesztjük. 28.5.6. 32
Mikor elégséges csak a geokódolás? A képtranszformációt nem szükséges elvégezni, ha a felvételen nincs torzulás, pl. ha a.img file olyan térképlapról készült (letapogatóval, vagy digitalizálással), amelynek a vetületi rendszere megfelelı. Ebben az esetben csak a megfelelı térképi koordinátákat kell a felvétel header-én (Image info) feltüntetni. A képtranszformáció hátrányai A képtranszformálás folyamán a transzformált pixel-értékeket át kell mintázni, hogy illeszteni tudjuk az új pixel-hálózatra. Bár az új értékeket kiszámító algoritmusok megbízhatóak, a transzformálás folyamán elveszhetnek bizonyos spektrális adatok. Ha az alkalmazás során nincs szükség a térképi koordinátákra és egységekre, akkor helyesebb elkerülni a képtranszformációt. 28.5.6. 33
Mikor alkalmazzuk a képtranszformációt? A képtranszformáció elkerülhetetlen azokban az esetekben, amelyekben a kép pixelhálózatát egy térképi vetületi rendszerhez, avagy egy másik képhez akarjuk illeszteni. A képillesztésnek több oka is lehet: * pixelenkénti változás vizsgálat * GIS adatbázis-fejlesztés * tanulóterületek kijelölése térképi koordináták alapján * méretarányos fotótérkép készítés * vektoradatok (pl. ARC/VIEW/INFO) alkalmazása * különbözı méretarányú képek összehasonlítása * távolság és területmérés * képek összeillesztése (mozaikolás) 28.5.6. 34
Geometriai transzformáció III. Transzformáció lépései kép a térképhez típusnál a, illesztıpontok keresése, b, transzformációs függvény keresése, megadása, c, transzformáció végrehajtása, átmintázás 28.5.6. 35
Geometriai transzformáció IV. a, illesztıpontok: GCP keresése, látható legyen mind a képen mind a térképen kép pont (pixel) input adat (x,y, esetleg z) térképi pont referencia adat (X,Y, esetleg Z) lehet (ϕ, λ, h) illesztıpont lehet: pl. útkeresztezıdés, felbontástól függıen egy kút, telekhatár, stb. 28.5.6. 36
Geometriai transzformáció V. b, transzformációs függvény keresése, megadása, f(x,y)=(x,y), transzformációs függvény fokszáma, rangja (elsı-, másodfokú függvény) X=a x + a 2 y + a 3 és Y= a 2 x + a 22 y + a 3 (elsıfokú), X=a x 2 + a 2 y 2 + a 3 xy + a 4 x + a 5 y + a 6 Y=a 2 x 2 + a 22 y 2 + a 23 xy + a 24 x + a 25 y + a 26 és (másodfokú) Jelentése: eltolás, elforgatás, nyújtás 28.5.6. 37
Geometriai transzformáció VI. Az illesztıpontok (GCP) minimális száma (ISZ min ) a transzformációs függvény fokszámától (n) függ: ISZ min = (n+)*(n+2)/2 28.5.6. 38
Geometriai transzformáció VII. Transzformáció mátrixa: F Transzformáció inverzmátrixa: F - Hibája rms hiba rms x = x - F - (X,Y), rms y = y - F - (X,Y), rms (x,y) = sqrt(rms x 2 + rms y2 ) 28.5.6. 39
A transzformáció mátrixa A transzformáció mátrixát a GCP-ból számítjuk ki. Célunk, hogy a lehetı legkisebb legyen a hiba a GCP vonatkoztatási koordinátáinak a forrás koordinátákba való transzformációjakor. Nem mindig lehetséges az együtthatókat úgy származtatni, hogy a hiba zérus legyen.. ábra Polinomiális görbe a forrás és a referencia koordinátarendszerben (X koordinátákra) A transzformációs mátrix kiszámításához a legkisebb négyzetek regressziós módszert használják, amely ismert statisztikai eljárás. 28.5.6. 4
Geometriai transzformáció VIII. c, transzformáció végrehajtása, átmintázás (raszteres adatokon) Miért kell csinálni? 28.5.6. 4
Geometriai transzformáció IX. átmintázás (raszteres adatokon) módszerei: legközelebbi szomszéd elve bilineáris interpoláció köbös konvolúció Mikor melyiket? 28.5.6. 42
Legközelebbi szomszéd (nearest neighbor) Egy output pixel legközelebbi szomszédjának meghatározásához a pixel transzformált (x,y) koordinátáit a transzformációs mátrix inverzének felhasználásával visszatranszformáljuk az eredeti (forrás) koordináta rendszerbe (xr,yr).az a pixel lesz a legközelebbi szomszéd, amelynek a távolsága a legkisebb a visszatranszformált (xr,yr) koordinátától. E pixel intenzitás értéke lesz az output felvétel képpontjának keresett értéke. 28.5.6. 43
28.5.6. 44
Bilineáris interpoláció A bilineáris interpoláció végrehajtásánál a transzformált pixel intenzitás értéke a visszatranszformált koordinátához legközelebb esı négy input pixelértékbıl számítható ki. A 4. ábrán látható példában a szomszéd pixeleket az,2,3 és 4 számok jelzik, amelyek értékei az adatfile-ben adottak, kiszámolandó az r koordináta intenzitás értéke (Vr). 28.5.6. 45
28.5.6. 46
Köbös konvolúció A köbös konvolúció hasonló a bilineáris interpolációs módszerhez, az eltérés csak annyi, hogy: * 6 pixelt 4x4-es elrendezésben használ az output intenzitás érték meghatározásához, és * harmadfokú polinomot illeszt a visszatranszformált pont 4x4-es környezetére. A visszatranszformált (xr,yr) koordináta környezı 6 pixelének (6. ábra) kijelöléséhez a (i,j) pixelt használjuk: i=int(xr) j=int(yr) 28.5.6. 47
28.5.6. 48
Példa affin transzformációra 28.5.6. 49
Internet-alapú, osztottan közcélú árvízvédelmi információs rendszer projekt SZTE Természeti Földrajzi és Geoinformatikai Tanszék Geoview Systems Kft. 28.5.6. 5
28.5.6. 5
Síkvidéki tározó tervezésének geoinformatikai támogatása domborzatmodell és terepmodell elıállítása kivezethetı vízmennyiség számítása töltésépítés és magasítás tervezése lokalizációs tervkészítés virtuális térbeli megjelenítés alkalmazása a tervkészítésben Ópusztaszeri Emlékpark? Baks Levelényi major 8 m-es szint Dóc 28.5.6. 52