Logikai áramkörök, Boole algebra A digitális techiká alapuló eszközök már régóta a köryezetük részei. A mérökök mideapi mukaeszközei a számítógépek és a digitális műszerek. Ezért működésük alapelveit azokak sem árt ismeri, akik csak haszálják, de em tervezik ezeket. Logikai érték, műveletek a Boole algebrába A algebrákba egy halmazo értelmezek műveleteket. A Boole algebrába a halmaz a logikai kostasok (0, 1) és a logikai változók (melyek a kostasok értékét vehetik fel). A műveleteket az alábbiakba vezetjük be. Az ÉS (AND) művelet Az alábbi ábrá sorba kötött kapcsolók szerepelek. A kapcsoló le va yomva állítás 2 értéket vehet fel: igaz, hamis Az igaz értéket 1-el, a hamisat 0-val jelöljük. 1
A B F ÉS (AND) kapu A F B Az F lámpa akkor világít, ha A ÉS B kapcsoló le va yomva. Ez a logikai ÉS (AND) művelet. Leírása a Boole algebrába: F = A*B Az alapműveleteket egy digitális áramkörbe (többek között) logikai kapukkal lehet megvalósítai. A valóságos logikai kapu be és kimeetei az igaz (1) értékek egy magasabb feszültség, a hamisak (0) egy alacsoyabb feszültséget feleltetek meg. Ez tulajdoképpe az egyik legegyszerűbb logikai függvéy. A logikai függvéyeket logikai változóko végzett logikai műveletekkel állíthatjuk elő. A logikai változók és a belőlük előállított függvéy a (2 értékű logikába) csak a 0 és 1 értéket vehetik fel. 2
Az AND függvéy csak akkor 1, ha mide változója 1. (Itt a lámpa csak akkor világít, ha midkét kapcsoló le va yomva.) A logikai függvéyeket táblázat segítségével teljese meg lehet adi. Mide lehetséges bemeethez meg tudjuk adi a kimeetet. (Ez em igaz pl. a valós függvéyekre.) A logikai függvéyek táblázatos megadását igazságtábláak evezzük. A 2 változós AND művelet igazságtáblája: A B F 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Tetszőleges számú változó AND kapcsolata csak akkor 1, ha midegyik 1. F = A*B*C*.= 1, ha A,B,C.. = 1 A szorzás műveleti jelét többyire em szokták kiíri: F = A*B*C = ABC 3
(Tetszőleges sok sorbakapcsolt kapcsoló és lámpa eseté a lámpa csak akkor világít, ha az összes kapcsoló be va kapcsolva.) További tulajdoságok: A*0 = 0 A*1=A A VAGY (OR) művelet Az alábbi ábrá párhuzamosa kötött kapcsolók szerepelek. A B F VAGY (OR) kapu A F B Az F lámpa akkor világít, ha A VAGY B kapcsoló le va yomva. Ez a logikai VAGY (OR) művelet. Leírása a Boole algebrába: F = A + B Értéke akkor 1, ha bármely változója 1. 4
A 2 változós OR művelet igazságtáblája: A B F 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Tetszőleges számú változó OR kapcsolata akkor 1, ha bármelyik 1. (Akkor 0, ha mid 0.) F = A+B+C+.= 0, ha A,B,C.. = 0 Tetszőleges számú párhuzamosa kapcsolt kapcsolóval sorbakötött lámpa világít, ha bármely kapcsoló be va kapcsolva. (Nem világít, ha egyik sics bekapcsolva.) További tulajdoságok: A + 0 = A (Ha a kapcsolóval egy szakadást kötük párhuzamosa, az em befolyásolja a kapcsoló működését.) A + 1 = 1 (Ha a kapcsolóval rövidzárat kötük párhuzamosa, a lámpa midig világít.) 5
Az ivertálás Az alábbi kapcsoló kikapcsol, ha leyomják. A F INVERTER A F Az F lámpa akkor világít, ha A kapcsoló ics leyomva. Ez az ivertálás (egálás) művelet. (Mert a kapcsoló leyomott állapotához redeltük az A változó igaz értékét.) F Leírása a Boole algebrába: Ezt billetyűzete egyszerűbb így íri: F = /A A egálás igazságtáblája: A F 0 1 1 0 További tulajdoságok: /1=0, /0=1, A*/A=0, A+/A =1, //A = A páros számú egálás ömagát adja, ///A = /A páratla számú egálás a egáltat adja A 6
Az előbbi kapukak a egált változata is létezik, ezek igazságtáblájába a kimeet az eredeti egáltja. A egálást itt egy kis kör jelöli (ezt máshol is szokás így jelöli): NAND (NEM ÉS) kapu A B F F = /(A*B) NOR (NEM VAGY) kapu A B F F = /(A+B) Külöleges kapu a KIZÁRÓ VAGY kapu (exclusive OR) amit XOR kapuak evezek. Eek kimeete csak akkor 1, ha a két bemeetéek logikai értéke elletétes. A B F 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Rajzjele: A B F Felépítése kapukkal: F = A XOR B = A/B+/AB A/B /AB A B 7
Néháy további Boole algebrai azoosság: Kommutativitás (felcserélhetőség): A + B = B + A, A*B = B*A Asszociativitás (csoportosíthatóság): A + ( B + C) = (A + B) + C A*(B*C) = (A*B)*C Disztributivitás (feloszthatóság): A*(B + C) = A*B + A*C A + (B*C) = (A + B)(A + C) szokatla! Elyelés: A + A*B = A A*(A + B) = A De Morga azoosságok: /A + /B = /(A*B), /A*/B = /(A + B) A fetiek beláthatók a jobb és baloldal igazságtábláiak felírásával. Dualitás elve: A + *, és 0 1 felcserélésével is igazak maradak a Boole algebrai azoosságok. Pl. Lásd De Morga, és alább A*1 =A, A+ 0 = A 8
Tervezzük az összes műveletet felhaszáló áramkört! A riasztó akkor jelezze, ha az ajtó érzékelő (A) vagy az ablak érzékelő (B) jelez és a riasztó tiltó kapcsoló (C) ics tiltás állapotba. A kapcsolási rajz kapcsolókkal és kapukal: B A C A logikai függvéy megadása a kapcsolás alapjá, általáos Boole algebrai alakba: F A B C F F = (A + B)*/C Az F függvéy igazságtáblája: A B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 9
A logikai függvéy felírható az igazságtábla alapjá. Itt az ú. SOP (Sum Of Product, szorzatok összege) kaoikus alakú (egyszerűsítetle) alakú felírást mutatjuk meg. Az igazságtábla 1-eseit logikai szorzatokkal fejezzük ki. Az egyes szorzatokba az 1 értékű logikai változók poálta, a 0 értékűek egálta szerepelek, mivel így a szorzat potosa ilye változó értékekél ad 1-et. A B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 /AB/C A/B/C AB/C Ezek OR kapcsolata akkor 1, ha bármely szozat tag 1, így a teljes függvéyt megadja. R = /AB/C + A/B/C + AB/C A közvetleül az igazságtábla alapjá felírható a függvéy többyire em a legegyszerűbb alakú. Itt a legegyszerűbb alak: F = (A + B)/C 10
A logikai függvéyeket megvalósító logikai hálózatot kombiációs hálózatak evezzük. Tervezés sorá általába az igazságtáblából kiidulva egyszerűsítő (miimalizáló) eljárások alkalmazásával jutuk el a legegyszerűbbe megvalósítható kombiációs hálózathoz. Itt em foglalkozuk az egyszerűsítéssel. 11
Kombiációs fukcioális elemek A tervezés sorá bizoyos fukciókra gyakra szükség va. Ezért megalkották az ú. fukcioális elemeket. A kombiációs fukcioális elemeket kombiációs hálózat valósítja meg. Itt a teljesség igéye élkül csak éháyal foglalkozuk. Multiplexer A multiplexer fukciója adat választás. rajzjele: viselkedését magyarázó ábra: MSB cím bemeetek s1 s0 kimeet y MPX 0 1 2 3 s1 s0 adat bemeetek a) b) A feti a ábrá egy 4 db 1 bites adat bemeet küzül választai képes ú. 4/1-es multiplexer rajzjele látható. A jobb oldali b ábra a működés megértését segíti. A bemeet kiválasztása az s1s0 select jelekkel törtéik. Az y kimeete a kiválasztott bemeete levő 12
logikai érték jeleik meg. Pl. ha s1s0 = 01, akkor az I1 bemeete levő érték. 0 1 s1 s0 0 y MPX I0 I1 I2 I3 1 0 1 0 A bemeetek több bitesek is lehetek. Pl. 2 db 8 bites bemeetből választai képes multiplexer, ha s = 1, az I1 bemeeti adatot választja ki: 1 s y MPX I0 0x1a 0xbf 8 I1 8 8 0xbf A legegyszerűbb a 2/1-es multiplexer amelyek 1 bitesek a bemeetei. Eek a belső felépítését is lerajzoltuk. 1 s y MPX I0 I1 0 1 s=1 I0= 0 I1= 1 13
Összeadó Az összeadó az A és B bemeetére adott bites számok összegét adja az S bites kimeeté és Co kimeté jelzi, ha túlcsordulás va. Ci egy bites meeté az előző egységről jövő túlcsordulást veszi figyelembe (Ci = 1 eseté 1-et hozzáad az eredméyhez). S Co A B Ci Ikremeter 1-et ad hozzá az bites bemeetére érkező számhoz. (Összeadóból is köye készíthető, de aál egyszerűbb.) Out +1 I 14
ALU (aritmetikai logikai egység) mûvelet választó k ALU out m status Egy viszoylag boyolult kombiációs fukcioális elem az ALU. Ez aritmetikai és logikai műveleteket tud végezi a bemetére adott adatoko. A művelet eredméye az adat kiemeté (out) jeleik meg. A művelet eredméye alapjá bizoyos többlet iformációkat is ad, ezt evezik státus kimeetek (pl. hogy az összeadás sorá volte átvitel, azt a carry státus bit jelzi). Magát az elvégzedő műveletet a művelet választó bemeetre adott kombiációval lehet kijelöli. Aritmetikai műveletek pl. összeadás, kivoás Logikai műveletek pl. bitekéti AND, OR, XOR, ivertálás stb. 15
Egyszerű példa ALU-ra mûvelet választó 2 ALU 8 out 8 8 3 status Adat bemeetek mérete 8 bit műveletek: 2-es komplemes összeadás, kivoás, AND, OR (művelet kiválasztó bemeetek: s1,s0) státus iformáció: Z (a művelet eredméye 0), N (az előjel bit 1 értékű, vagyis egatív), C (túlcsordulás volt a művelet sorá) Példakét megmutatjuk, milye kimeetet ad, az alább megadott műveleti kódok eseté, ha az operadusok: op1 = 11001011 op2 = 01010101 s1s0 művelet eredméy Státus:Z,C,N 00 ADD 00100000 0,1,0 01 XOR 10011110 1,0,1 10 OR 11011111 0,0,1 16
Szikro sorredi hálózatok (állapotgépek, sychroous Fial State Machies) A kombiációs hálózatok kimeete midig csak az aktuális bemeettől függ. Ezzel szembe a sorredi hálózatok emlékezek valamire az előző bemeeti sorozatból. Így ugyaarra a bemeeti kombiációra később más kimeeti értéket adhatak. Itt csak szikro sorredi hálózatokról lesz szó. Ezek működését egy periodikus égyszögjel, az órajel éle ütemezi. Tipikusa mide változás csak az órajel (clock) felfutó élre törtéhet. Az emlékezetet memória jellegű logikai áramkörök biztosítják. Ezek a flip-flop-ok. Több típusa va itt csak a legyakrabba haszált szikro D flip-flopról beszélük. D felfutó él érzékey D flip-flop A D bemeet értékét megjegyzi az órajel felfutó éléél és a kimeeté ezt az értéket tartja a következő órajel felfutó élig. 17
CLOCK D A több közös órajelű D flip-flopból készített tárolót regiszterek evezzük. Ez tulajdoképpe egy sorredi fukcioális elem. D0 D 0 REG D0 0 D1 D 1 D1 1 D D D 18
A szikro sorredi hálózat felépítése aktuális állapot kódja t állapot regiszter kimeeti logika X t m g(t,x) t+1 D t Z k Z következõ állapot logika következõ állapot kódja: t+1 (órajel) reset (kezdõállapot beállítás) Mealy automata eseté: Z(t, X) Moore automata eseté: Z(t) A regiszter tárolja az emlékezi valót, ez egy -bites kód, ezt evezzük az aktuális állapot kódjáak. 19
aktuális állapot kódja t állapot regiszter kimeeti logika X t m g(t,x) t+1 D t Z k Z következõ állapot logika következõ állapot kódja: t+1 (órajel) reset (kezdõállapot beállítás) Mealy automata eseté: Z(t, X) Moore automata eseté: Z(t) A g(x,t) kimeetű logikai függvéy ( db logikai függvéy, melyekek ugyaazok a változói) az aktuális állapotkód (t) és bemeet (X) alapjá előállítja a következő állapot kódját (t+1). Ez a következő órajel felfutó élére eltárolódik az állapotregiszterbe. (Ez lesz az új aktuális állapot.) Az állapotregiszter tartalma tehát megváltozik, az órajel felfutó élre ha a következő állapot kódja eltér az aktuális állapot kódjától. A kimeetet a Z kimeeti függvéy állítja elő az aktuális állapotkód és esetleg az aktuális bemeet alapjá. Mivel a kimeet em csak az aktuális bemeettől (X), haem az állapottól (az állapot kódjától) is függ, ugyaazo bemeetre a későbbiekbe más lehet a Z kimeet. 20
A sorredi hálózatokat állapotgráffal írjuk le (specifikáljuk). A gráfpotokat az állapotokak (emlékezet), az iráyított éleket az állapotátmeetekek (állapot váltás) feleltetjük meg. Pl. Egy 4 állapotú olya hálózat állapot gráfja, melyek ics bemeete (az órajelet em tekitjük bemeetek) és kimeete közvetleül az állapotregiszter: reset 00 01 0t+1 D0 0 0t Z0 = 0t 10 11 1t+1 D1 1 1t Z1 = 1t reset A következő állapotot meghatározó függvéy: D0 = 0t+1= /1t, D1 = 1t+1 = 0t A kimeeti függvéy: Z0 = 0t, Z1 = 1t 21
reset 00 01 0t+1 D0 0 0t Z0 = 0t 10 11 1t+1 D1 1 1t Z1 = 1t reset Az állapotváltozások 1t0t = 00 kezdő állapotból idulva: Aktuális állapot következő állapot 10t 10t+1 00 01 01 11 11 10 10 00 Ez tulajdoképpe egy speciális (Gray) kódolású számláló, mely az órajel hatására az alábbi kimeeti sorozatot ismételgeti: 00, 01, 11, 10,. 22
Egészítsük ki egy x egedélyező bemeettel. Ne váltso állapotot, ha x = 0, a fetiek szerit működjö, ha x = 1. reset /x x 00 01 x x 10 x 11 /x /x /x x MPX I00 I01 I10 I11 s O1 O0 0t+1 1t+1 D0 D1 reset 0 1 0t 1t Z0 = 0t Z1 = 1t A regiszter elé teszük egy multiplexert, mely x = 0 eseté a regiszter kimeetét választja ki a bemeetére (az órajelre ugyaaz az érték íródik vissza), x=1 eseté pedig az eredeti függvéyeket. A multiplexer belső felépítését em rajzoltuk ki kapu szite. 23
Egészítsük ki a logikát, hogy a 4 db LED közül (L0,L1,L2,L3) az első 3 állapotba midig csak az állapothoz redeltet kapcsolja be, az utolsó állapotba pedig midet! Az igazságtábla: 10t L0 L1 L2 L3 00 1 0 0 0 01 0 1 0 0 11 0 0 1 0 10 1 1 1 1 A függvéyek kiolvashatók az igazságtáblából: L3 = 1/0 L0 = /1/0 + L3 L1 = /10 + L3 L2 = 10 + L3 L0 1t 0t MPX I00 I01 I10 I11 s O1 O0 0t+1 1t+1 D0 D1 reset 0 1 0t 1t L1 L2 L3 x 24
Az alábbi ábráko látható hogy mi valósítja meg az általáosított állapotgép egyes részeit (következő állapot logika, állapotregiszter, kimeeti logika) visszacsatolás (aktuális állapot kódja) t állapot regiszter X t m g t+1 t Z k Z következõ állapot logika kimeeti logika reset clock Moore modell: Z(t) következõ állapot logika 1t 0t kimeeti logika L0 x MPX I00 I01 I10 I11 s O1 O0 állapot regiszter 0t+1 1t+1 D0 D1 0 1 0t 1t reset L1 L2 L3 25
Sorredi fukcioális elemek A kombiációshoz hasolóa sorredi fukcioális elemek is vaak. Regiszer Ezt az előbbiekbe már megismertük. Eek fukciója, hogy mide aktív órajel élél, eltárolja a bemeté levő adatot. Regiszter betöltés vezérlő bemeettel (Ld) Ebbe a regiszterbe csak akkor íródik be a bemetére adott érték, ha az Ld bemeetével ezt egedélyezik. (A jel törli a regisztert.) belsõ felépítés REG D Ld REG D Y MPX 0 1 S Ld D 26
Számláló (couter) COUNTER COUNTER D REG D +1 e ld REG D Y Ld 0 MPX 1 S D Y 0 MPX 1 S e +1 egyszerû számláló belsõ felépítése ics egedélyezõ bemeete mide órajelre számol egedélyezhetõ (e), tölthetõ (Ld) számláló belsõ felépítése A számláló mide órajelre öveli 1-el a kimeete értékét, ha egedélyezett (e=1). Ha elérte a végértéket (biáris számlálóál az 111 1), akkor átfordul (000 0) és újrakezdi. Pl. 2 bites biáris számláló egymást követő állapotai: 00,01,10,11,00 Lehet tölthető. Betölti a D bemeetére adott értéket, ha ld = 1 az órajel aktív élére. Modulusak evezik a számláló állapotaiak számát. Sokszor biáris számlálókat haszálak. Ezek modulusa 2, bites számláló eseté. A számlálóak sok változata va, em részletezzük. 27
Shiftregiszter A shiftregiszter fukciója, hogy elshiftelje (eltolja) a bee lévő adatbiteket valamely iráyba. SHR SI D D D D 3 2 A legegyszerűbb shiftregiszer csak sorba kötött, közös órajelű D flip-flopokat tartalmaz. Pl. 4 bites balra shiftelő shiftregiszter állapotai, ha a kezdőértéke 0000 és a belépő bit (SI) az első órajelél 1, utáa pedig 0: 0001, 0010, 0100, 1000, 0000 Boyolultabb változatait em részletezzük. 1 0 SI 28
Memóriák A memóriákat adatok tárolására haszáljuk. Írhatóság szempotjából két fajtát külöböztetük meg, ROM és RAM. ROM A ROM csak olvasható memória. Az adatot megtartja a kikapcsolás utá is. A cím bemeeteivel (A[2-0]) lehet kiválasztai a kimeeté (D[7-0]) megjeleítedő adatot tartalmazó rekeszt. 11101110 D7-D0 11000011 0. cím ROM adat m 1 1 0 A2 A1 A0 00101101 10011111 00010100 11110110 10110000 11101110 11000111 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Bizoyos fajta ROM-ok speciális módo írhatók. Pl. a mikrokotrollerek kód memóriája, amelyet FLASH memóriával valósítaak meg. 29
RAM A RAM írható memória, ezért adat bemeete (DI) és írás vezérlő bemeete (WE) is va. Bizoyos típusál az adat be és kimeet ugyaaz. Szikro RAM szétválasztott adat be (DI) és kimeettel (DO) A-A0 DI DO w WE Az olvasás a ROM-éhoz hasoló. Az bites cím bemeettel címezhető (A[-0]) Az írás a szikro RAM-ok eseté az írás egedélyező jel (WE) alatti órajel () felfutó élre törtéik meg. 30
Szikro dual port RAM (szétválasztott adat be és kimeettel) m A DI WE DA SPO DPO m m A dual port RAM két bites cím bemeettel (A, DA) egy m bites adat bemeettel (DI) és két m bites adat kimeettel (SPO, DPO) redelkezik. Olvasáskor egyszerre megcímezhető két rekesze (A és DA bites cím bemeetekkel). Az íráshoz csak az egyik cím haszálható (A). 31
Általáos számítási műveletek elvégzésére alkalmas logika Az eddigi fukcioális elemek ismeretébe már megérthetjük a számítógépekbe megvalósított általáos számítási műveletek elvégzésére képes logika fukcioális blokkvázlatát. A regiszter tömböt pl. szikro dual port RAM valósíthatja meg. külsõ adat MPX s adatforrás kiválasztása Wx 3 Ax2-Ax0 Wxe Ax RIN REG TÖMB RXO RYO Ay 3 Ay2-Ay0 opx opy ALU mûveleti kód eredméy Mi törtéik az alábbi processzor utasítások végrehajtásakor? Pl: MOV R0, #17 ;R0 = 17 (0x11) MOV R1, #43 ;R1 = 43 (0x2B) ADD R0, R1 ;R0=R1+R0 (R1=60 (0x3C) lesz a művelet utá) 32
A külső adatokat először adatmozgató utasításokkal be kell íri a regisztertömb megfelelő rekeszeibe (Ax, Ay: regiszter címek Wx: Rx írás egedélyezés), mert az ALU csak regiszterek között képes műveletet végezi. (opx, opy az Ax ill. Ay címe található regiszterek értéke.) MOV R0, #17 ;R0 = 17 MOV R1, #43 ;R1 = 43 külsõ adat: 17 adatforrás kiválasztása: MPX s külsõ adat külsõ adat: 43 adatforrás kiválasztása: MPX s külsõ adat Wx 3 Ax2-Ax0 000 17 Wxe Ax opx RIN REG TÖMB RXO RYO ALU 3 Ay Ay2-Ay0 opy mûveleti kód Wx 3 Ax2-Ax0 001 43 Wxe Ax opx RIN REG TÖMB RXO RYO ALU 3 Ay Ay2-Ay0 opy mûveleti kód eredméy eredméy 33
Az ALU művelethez operadusokat ki kell választai (Ax, Ay), a műveleti kódot be kell állítai és az eredméy Ax címre való visszaírását egedélyezi kell (Wx). ADD R0, R1 ;R0=R1+R0 ;R0=60 (0x3C) lesz a művelet utá külsõ adat 60 adatforrás kiválasztása: MPX s ALU R0 + R1 60 Wx Wxe RIN 3 R0=R0+R1 REG 3 Ay Ax TÖMB Ax2-Ax0 RXO RYO Ay2-Ay0 000 opx:r0 17 43 opy:r1 001 ALU 60 mûveleti kód: ADD kódja eredméy: R0 + R1 34