Szakác Jenő Megyei Fizikavereny 06/07. tanév I. forduló 06. deceber 5.
. Egyenleteen haladó kaion konvojt egy 90 k/h nagyágú egyenlete ebeéggel haladó zeélyautó 4 perc alatt előz eg. A gépkoci vizafelé jövet ugyanakkora ebeéggel perc alatt halad el a konvoj ellett. Milyen hozú volt a konvoj é ekkora egyenlete ebeéggel haladt indvégig? (0 pont) A zeélyautó ebeége va=90 k/h=5 /, a konvoj haladái ebeége vk, a hoza pedig L. Az előzé időtartaa te=4 perc=40, a zeben elhaladá időtartaa pedig tz= perc=60. Az előzé orán a zeélyautó é a konvoj egyához vizonyított (relatív) ebeége (va-vk), így az L elozdulá-különbégre: L va vk te. () (4 pont) A zebeni elhaladánál az egyához vizonyított (relatív) ebeég (va+vk), így az L elozdulá-különbégre ezúttal: L va vk tz. () (4 pont) Az () é () egyenletek két ieretlene egyenletrendzert alkotnak vk é L értékekre, aely egoldáa: va=5 /=54 k/h é L=400 =,4 k. ( pont). Egy cónak vízhez képeti ebeége 5 k/h. Az evező egy 6, k-re ézakra levő zigetre zeretne eljutni, de ézrevezi, hogy az áralatok iatt az ézaki iránytól 0 -kal keletre kell korányoznia, hogy tarta a tervezett irányt. Az út óra 40 percet vez igénybe. Határozza eg az víz ebeégének nagyágát é irányát! (0 pont) 6, k óra alatt tezi eg ( pont), ez =,66 k/h- ebeé h vvf get ( pont) ad, de a egadottal ellentétben ez a cónaknak ne a vízhez, hane a e É É zárazföldhöz képeti ebeége: 60 vcf =,66 k/h ( pont), ill. adva volt, b hogy vcv = 5 k/h. A cónak vízhez képeti ebeége azért vcf c a különbözik a földhöz képetitől, ert a víz vcv d odráa (a földhöz képeti ebeége) 0 0 ahhoz ég hozzáadódik ( pont): vcf = vcv + vvf ( pont). Ez egy vektori özefüggé, ely rajzban egy vektorhározöggel jeleníthető eg ( pont). A cónak a 6, k-e utat
A víz földhöz képet ebeége zögfüggvények egítégével könnyen kizáítható lenne (l. a Megjegyzét), de a 9. oztályo tanulók i boldogulhatnak a eghatározáával, ha egy ézakdéli irányú átfogójú (ai legyen c =,66 egyég hozú) é egy azzal kelet felé 0 -ot bezáró befogójú (hoza a) derékzögű hározöget rajzolnak ( pont). Ennek oldalarányai záukra i iertek. Ne irrealitá ennek elváráa, ert ilyen irányú oldalakkal cak két derékzögű hározög létezik [l. az ábrát, ahol a áik derékzögű hározög (a c d eoldalú) i be van rajzolva]. Mivel c az a b c-oldalú hározögben átfogó, b pedig a 0 -o zöggel zeközti oldal,,66,66 ezért b = =,8 ( pont), é a =,7 ( pont). (Ugyanakkor c a nagyobbik hározögben a 60 -o zöggel zeközti befogó, ezért az átfogó d =, 66 4,6, é a áik befogó e =, 66,.) Ézrevehető, hogy v cv érőzáa éppen b + a ( pont), ai a következő hározögben lehetége ( pont): Ny 5 v vf É c 60 0 45 b f a 45 b Tehát v vf = f k/h = b k/h =,8 k/h =,59 k/h ( pont), é iránya a nyugati iránytól dél felé 5 -kal tér el ( pont). Megjegyzé: a ebeég-özeadá vektorhározögére fölírható a kozinuztétel: v v v v v co0 = vf cv cf cv cf k = 5,66 5,66 co0 =,59 k/h (4 pont), h a v cv -vel zeközti zögre, ai 90 -kal nagyobb a nyugati iránytól délre való eltérénél, a in 90 in 0 zinuztétel alkalazható: (4 pont). Itt figyelebe kell vennünk, hogy v v cv vf 90 + é 90 zinuza egegyezik, de az inverz zinuz záítáánál ez utóbbi adódik, in 90 in 0 v cv eiatt (5 pont), aiből 90 arcin in 0 vcv v = 90 vf vvf 5 arcin in0 5,5 (4 pont).,59. Egy rövidtávfutó cúcebeége /. Ha álló helyzetből állandó gyoruláal indul, egtétele után éri el cúcebeégét. Ezután a 00 - e táv fennaradó rézén tartja a ebeéget. (a) Mennyi idő alatt futja a 00 -t a printer? (b) Hogy idejét egjavíta, a printer elhatározza, hogy cökkenti a cúcebeég elérééhez zükége távot. Mekkorára cökkente, hogy 0 áodperc alatt tudja lefutni a 00-at? (0 pont)
A leggyorabb záítát az tezi lehetővé, ha figyelebe vezük, hogy az indulákori állandó gyoruláú zakaz ideje ugyanannyi, intha azt a printer a kezdőebeég (0) é a végebeég ( /) középértékével tette volna eg (4 pont). gyorul egyenlete Ezt kihaználva a telje futái idő t tgyorul tegyenlete (4 pont), ai az v v 00 88 (a) rézben t a = 0,8 (4 pont). 0 5,5 gyorul 00 gyorul A (b) rézben vizont egyenletet kapunk t b 0 (4 pont), ai 0 könnyen egoldható: gyorul 00 gyorul gyorul 00 gyorul 00 gyorul 0, bezorozva a 5,5 nevezővel 0 0 00 gyorul, tehát a cúcebeéget 0 egtételével kell elérnie a printernek (4 pont). Megjegyzé: ha a tanuló a futá v t-diagrajait (ún. enetábráit) ábrázolja, abból i könnyen kijönnek a fenti eredények, ha ézrevezi, hogy a enetábrák a vízzinte tengellyel derékzögű trapézt zárnak be, é a enetábrát téglalappá kiegézítő hározög területe éppen a gyorulái zakaz hoza. közép cúc 4. Aztallapon guruló golyó 5 / ebeéggel ér az aztallap pereén levő A ponthoz. Milyen aga az aztal, ha a golyó olyan B pontban ér talajt, aely,7 távolágra (!) van az A ponttól? (A talaj é az aztallap i vízzinte íkú.) (0 pont) v=5 /; d=,7 ; g=0 /. A golyó vízzinte é függőlege elozduláa t eéi idő alatt: x v t y g t (8 pont) Az A é B pontok d távolága a Pitagoraz-tétellel: g 4 g d x y v t g t v t t v, (6 pont) 4 4
ahol bevezettük a t változót, így egy áodfokú egyenlethez jutottunk, aely egoldáa 0, 4, tehát a golyó eéi ideje t 0, 49 (4 pont), aiből az aztal y agaága: y g t,. ( pont) 5. A londoni Big Ben órazerkezet percutatói 4,5, órautatói,7 hozúak. Mekkorák a utatók végeinek gyoruláai? óra után ikor leznek a utatók újra erőlegeek egyára? (0 pont) Az egyenlete körozgát végző pont centripetáli gyoruláára iert, hogy a r, ahol r a körpálya ugara, é a zögebeég ( pont). Helyetteítünk be a percutatóra, figyelebe véve, hogy az óra = 600 = T p ( pont) alatt fordul körbe egyzer, így zögebeége p ( pont): a cp, p p 4,5 = T 600 = 4,5 =,95 0 5 / ( pont). Az órautató óra = 4 00 = T ó ( pont) 600 alatt fordul körbe, így arra ó ( pont) é végpontjára a cp,ó ó,7 = T 4 00 ó =,7 = 5,7 0 8 / ( pont). 4 00 órakor a utatók erőlegeek egyára, é az órautató előrébb van pályáján, int a percutató ( pont). Negyed négy után röviddel a percutató utoléri az órautatót, ezután az tart előrébb a ozgáában. A kérdée pillanat, aikor újra erőlegeek leznek, ne okkal fél négy után ( óra után egy egyelőre ieretlen t-vel) lez ( pont), addigra a percutató éppen 80 = rad-nal többet fordul el, int az órautató ( pont): t t p ó t t, ai egoldható t-re: 600 4 00 t = 964 =,7 perc ( pont). 600 4 00 p cp 6. Egy labdát é a tetején egy labdát,5 agaan tartunk, ajd elengedjük őket. (a) Mekkora ebeéggel éri el a labda a talajt? (b) Tegyük fel, hogy a talajjal való tökéleteen rugala ütközé pillanatzerűen egfordítja a labda ebeégét, é ezután a két labda tökéleteen rugalaan ütközik. Milyen agara repül a labda? A labda töege 590 g, a labdáé 57 g. (0 pont)
(a) A tetek h =,5 -e eée iatti helyzetienergia-cökkené fedezi a ozgái energia egnövekedéét az álló helyzetből v ebeégűre gyorulá orán ( pont): E E, helyzeti aiből g h v. Innen kapható, hogy v g h = = 0,5 = 5 / ( pont). (b) A kapott eredénynek egfelelve a lefelé utató ebeégeket tekintjük pozitívnak. A feladat leíráa zerint a labda ebeége pillanatzerűen egfordul é v = 5 / lez ( pont), é így ütközik a ég indig v = 5 /-al ozgó labdával. A tökéleteen rugala ütközé utáni ebeégeket jelöljük w betűkkel! Előzör a rövid egoldát iertetjük, a hozabb a Megjegyzében található. A Függvénytáblázatokban kézen egtalálható képletbe a tökéleteen rugala ütközének egfelelő k = ütközéi záot v v ( pont) kell behelyetteíteni: w k k v = ozgái 590 g 5 57 g 5 = 5 =,4 / (7 pont). 590 g 57 g A negatív előjel fölfelé irányuló ozgára utal. Újra alkalazva a ozgái energia helyzeti energiává alakuláának egyenletét: g H w ( pont), aiből a - labda eelkedée,4 w H = 8,76 ( pont). g 0 Megjegyzé: ha a tanuló ne akarja a kézen kapott képletet haználni az ütközé után ebeégek eghatározáára, kiindulhat abból, hogy az ütközében ind a lendület ( pont), ind a ozgái energia egarad ( pont): v v w w v v w w ( pont). ( pont), valaint Mindkét egyenletben egy oldalra rendezhetők az azono töeget tartalazó tagok: v w w v v w w v, ill. ( pont). Eloztva az elővel a áodikat v w w v adódik ( pont), aiből kifejezhetjük a labdának a példában ne kérdezett ütközé utáni ebeégét: w v w v ( pont), ajd ezt haználhatjuk a lendület egaradáát leíró egyenletben: v v v w v w ( pont), é ezt a labda ebeégére egoldva v v v w v w, ill. w v v = = -,4 / ( pont). v 590 g 5 5 57 g 5 = 590 g 57 g
7. Egy 40 kg-o gyerek egy 70 kg töegű, 4 hozú, zietriku cónak óló felőli végén áll. A cónak kezdetben -re van a ólótól. A gyerek ézrevez egy teknőbékát a cónak áik vége közvetlen közelében egy kövön, é elindul felé, hogy egfogja. (a) Milyen eze lez a cónak a ólótól, aikor a gyerek átér a cónak túlvégébe? (b) Meg tudja fogni a teknőt? Tegyük fel, hogy -re tud kinyúlni a cónakból. (0 pont) A cónakból é utaából álló rendzer töegközéppontja egy helyben fog aradni, ert a rájuk ható erők eredője az egéz folyaat alatt 0 (6 pont). A töegközéppont helyének eghatározáához zükégünk van egy koordináta-rendzerre, ainek origójául válazthatjuk pl. a óló végét ( pont). Ha így tezünk, akkor a gyerek vízzinte pozíciója x gy = ( pont), a cónak középpontjáé x c = + = 5 ( pont), a teknőbékáé pedig x t > + 4 = 7. A töegközéppont koordinátája felírható a folyaat előtt é után i: xgy gy xc c xgy gy x c c xtkp, ahol a vező koordináták a folyaat végén gy c gy c értendők. 40 kg 5 70 kg x gy 40 kg x c 70 kg Behelyetteítve x TKP (5 pont), egkapható, 40 kg 70 kg 40 kg 70 kg hogy a töegközéppont a 4,7 -rel jellezett pontban van, a egoldá zepontjából azonban fontoabb, hogy egyenletként egoldva i adódik x c -re. A gyerek új koordinátája, ai további ieretlen, kiküzöbölhető, ha figyelebe vezük, hogy a ólótól a cónak közepénél -rel távolabb lez: x x ( pont). 40 kg 5 70 kg x c 40 kg xc 70 kg Ezt felhaználva, a nevezővel való 40 kg 70 kg 40 kg 70 kg bezorzá é a kilograal való egyzerűíté után: 470 0 x c 80, adódik, hogy x c =,55 (4 pont), ai a cónak közepének távolága a ólótól, ahhoz közelebbi vége -rel közelebb lez, távoláguk,55 ( pont). gy c A gyerek -rel távolabb lez a ólótól, int a cónak közepe: x gy = 5,55 ( pont), é ivel tőle a teknőbéka pozíciójáig (x t > 7 ) -nél nagyobb a távolág, a gyerek ne tudja egfogni a teknőcöt ( pont). 8. Az egy eber által végezhető fizikai unka axiáli teljeíténye kb. / lóerő. Hány kilokalória energiatartalú táplálék zükége egyórányi ilyen unkához? Vegyük figyelebe, hogy az eberi zervezet a táplálék energiatartalának cak kb. 0 %-át képe unkává alakítani! (0 pont)
A Függvénytáblázatok zerint a lóerő átváltáa SI-alapértékegyégbe: LE = 75,5 W ( pont), a kilokalóriáé pedig kcal = 487 J ( pont). 75,5 Az egyórányi unka joule-ban: LE h W 600 88 600 J ( pont). 88 600 J Ez cak 0 %-a az elfogyaztott táplálék energiatartalának, ai 4 4 000 J 0, ( pont), é zorozva a váltózáal (ai valójában perze egy -gyel való zorzá, kcal bővíté), 4 4 000 J = 054 kcal ( pont), ai pl. integy 40 dkg fehér kenyérnek, 487 J 0 dkg ült ertéhúnak vagy 5 dkg ajtnak felel eg. 9. Az erdéz egy nagy adarat lát, aint egy karcú faág végén hibálózik. 4 alatt 6 telje rezgét végez a adár, ajd elrepül. Ezután az erdéz kg-o botját ráakaztja erre a faágra é azt tapaztalja, hogy az ennek hatáára c-rel lehajlik. Ezután kizáolja a adár töegét. Milyen eredényt kap? (0 pont) A hibálózá perióduideje T = 4 /6 = 0,667 volt ( pont), a faág hajlítáának rugóállandója D = 0 N/ c = 0 N/0, = 8, N/ ( pont), ahol a 0 N a bot úlya. Iert, hogy a haroniku rezgőozgá perióduideje a T alakban függ a rezgő D töegtől é a rugóállandótól. Így egy egyenletünk adódik a adár töegére: egoldáa = 0,98 kg ( pont). 0,667 ( pont), ainek 8, N 0. Egy állatkert arkvidéki állatokat beutató akváriuába új jégtáblákat hoznak é helyeznek az akváriu vizébe. Egy fóka felázik az egyik jégtáblára, elynek 50 centiéter aga oldalának vízből kilátzó réze ennek hatáára a felére cökken. Mekkora a fóka töege, ha a jégtáblák alapterülete,8? (A jég űrűége legyen 900 kg/.) (0 pont) A jégtábla vízből kilátzó rézének agaága, aikor a fóka ég ninc a jégtáblán:
g A( h x ) g A h V J h x h J V kg 900 J ( ) 0,5 x h 0, 05 kg V 000 (8 pont) A jégtábla vízből kilátzó rézének agaága, aikor a fóka ár rajta van a jégtáblán: x x 0, 05. ( pont) A fóka töegének eghatározáa: g A( h x ) M g g Ah V J kg kg M AV h x J h,8 000 0,5 0, 05 900 0, 5 45kg (0 pont). Egy kezdetben üre léggöböt liter térfogatúra fújunk fel. A léggöbbe 5 C hőérékletű levegőt fújunk, iközben belégzékor 0 C hőérékletű levegőt lélegzünk be. A léggöbben a felfújá után 5 kpa a nyoá, íg a külő légnyoá 00 kpa. (a) Hány liter levegőt kellett belélegeznünk, hogy felfújjuk a léggöböt? (6 pont) (b) Mekkora a lufiban lévő gáz belő energiája? (6 pont) (c) Mekkora a lufiban egy átlago energiájú oxigénolekula ebeége? (8 pont) (Tegyük fel, hogy a belélegzett é a kifújt levegő i cak nitrogénből, oxigénből é zéndioxidból áll, valaint arányuk a tüdőben e változik eg.) (a) A belélegzett levegő térfogatának kizáítáa: 6 pont p V p V T T p T 5kPa 9K V V d 4, 69d p T 00kPa 08K (6 pont). (b) A lufiban lévő gáz belő energiájának kizáítáa: 6 pont f 5 EB p V 5 kpa d 750 J (6 pont) (c) Egy átlago energiájú oxigénolekula ebeégének kizáítáa:
v k T O MO v k T N A v J,8 0 08K 60 k T N K ol 488,96 0 ol A M O kg (8 pont). Egy hajzárító az átáraló levegőt 0 C-ról 90 C-ra elegíti fel állandó nyoáon. A hajzárítón a beáralái nyílá kereztetzete hározoroa a kilépő fúvóka kereztetzetének. Hányzoroa a fúvókán kiáraló levegő ebeége a beáralái ebeégnek? (0 pont) A hajzárító beenténél (zívóoldal) az adatok: a hőéréklet T be = 0 C=9 K, a kereztetzet A be, a légára ebeége v be, a nyoá p be. A hajzárító kienténél (fúvóka) az adatok: a hőéréklet T ki = 90 C=6 K, a kereztetzet A ki, a légára ebeége v ki, a nyoá p ki. Tudjuk ég, hogy: p be = p ki é A be = A ki. ( pont) A kontinuitái törvény zerint: A v A v, (4 pont) be be be ki ki ki aiből a ebeégek kereett aránya: vki Abe be be v A. (4 pont) be ki ki ki Az ideáli gáz állapotegyenlete: pv R T, e (4 pont) aiből: p T =állandó (ivel jelen eetben p állandó), R azaz: T e T, be be ki ki így: be Tki 6, 4. (4 pont) T 9 ki be
Ezzel a ebeégek aránya: vki be, 4,7. ( pont) v be ki A kiáraló levegő ebeége tehát,7-zeree a beáralái ebeégnek. (Jellező érték pl. a -4 / beáralái é -6 / kiáralái ebeég.). Az alábbi ábra egy háro éréhatárú voltérő bekötéi rajzát utatja. A érendő fezültég negatív oldalát indegyik éréhatárnál a COM feliratú catlakozóhoz kell kapcolni. A űzer belő ellenálláa 5 Ω, é A áraerőég ellett jelez végkitérét a utatója. Határozzuk eg az R, R é R ellenálláokat! (0 pont) V R R R COM +V +5V +50V Ha a V é a COM jelzéű kapcok közé éréhatárnyi, V-o fezültéget kapcolunk, akkor éppen végkitérében van a űzer, azaz A erőégű áranak kell folynia rajta kereztül ( pont). A űzer belő ellenálláa orba van kapcolva R -gyel ( pont). Ezeket az adatokat Oh V törvénye köti öze: R belő R 000 ( pont), aiből a belő ellenállá levonáa A után R = 985 ( pont). Folytathatjuk a 5 V-o kapoccal: 5 V R belő R R 5 000 ( pont), aiből a A belő ellenállá é R levonáa után R = 000 ( pont). Az utoló, 50 V-o kapoccal haonlóképpen záolhatunk: 50 V R belő R R R 50 000 ( pont), aiből a belő ellenállá, R é R levo- A náa után R = 5 000 ( pont).