Statisztikai folyamatszabályozás (statistical process control, SPC)

Statisztikai folyamatszabályozás (statistical process control, SPC) Solymosi Norbert Állathigiéniai, Állomány-egészségtani és Állatorvosi Etológiai Tanszék Állatorvostudományi Egyetem Budapest 2016 október 18 december 6

Tartalomjegyzék 1 Telepi adatok 2 Shewhart-chart Ellenőrzési határok Minta mérete, mintavétel gyakorisága, csoportok Mintázat elemzése I és II fázis 3 Cause-and-effect diagram 4 Méréses ellenőrző diagramok x-diagram R-diagram x- és R-diagram s-diagram 5 Minősítéses ellenőrző diagramok p-diagram np-diagram c-diagram u-diagram 6 Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM EWMA 7 Mikor, melyiket? 8 ARL x-diagram p-diagram SPC (2016X18 XII6) 2 / 26

Telepi adatok telepirányító rendszerek folyamatos adatgyűjtés, de csak pont/periódus-statisztika PLF (pl vezetőképesség) limitált beépített elemzési lehetőségek rengeteg adat képződik, alig feldolgozva környezeti (pl meteorológia) adatok illesztését nem teszik lehetővé a telepi szoftverek állomány-egészségügyi vizsgálatok állatorvosi feladatok átalakulása adatfeldolgozási, elemzési képességek új lehetőségeket jelenthetnek mivel arra nem lehet várni, hogy minden elemzésre alkalmas telepirányító szoftverek legyenek, olyan eszközt érdemes használni, amelynek segítségével mindenféle adatot kezelhetünk, elemezhetünk SPC (2016X18 XII6) 3 / 26

Telepi adatok SPC (2016X18 XII6) 3 / 26

Telepi adatok Mihez viszonyítsuk a telepi mutatókat? a viszonyítási alap mennyire felel meg az állománynak? fajta, takarmányozás, tartás USA 2016-2 nd Quarter Summary Number of Farms = 344 Variable Median Upper Mean SD Lower 10th 10th Percentile Percentile Total number of services 126235 1113040 86500 302600 29500 Number repeat services 7997 92448 4600 21200 600 Percent repeat services 651 5187 556 1317 119 Number of sows farrowed 109739 994380 77700 267800 24600 Total pigs born 1552132 14126790 1073550 3580000 329700 Average total pigs 1395 1080 1401 1520 1260 per litter Total pigs born alive 1400268 12779200 964250 3296800 288300 Average pigs born alive/litter 1260 0944 1268 1376 1152 Liveborn/female/yr 2776 4510 2802 3275 2275 Total stillborn pigs 106851 1020770 76850 228000 17300 Average stillborn pigs 099 0374 094 148 056 Total mummified pigs born 45014 732814 24250 102600 2000 Average mummies per litter 035 0365 030 061 007 Farrowing rate 8403 7405 8497 9145 7607 Pre-weaning mortality 1444 6889 1310 2100 822 (n=343) Sows farrowed and weaned 111477 996678 76050 262500 24000 Average age at weaning 2030 2105 2011 2244 1831 Total pigs weaned 1169424 10334080 812400 2718900 258200 Average litter weaning weight 14048 27806 14300 16800 11503 (n=73) Pigs weaned per litter 1110 0903 1117 1217 1002 weaned Pigs wnd / mated female / yr 2493 4641 2525 3030 1928 Pigs wnd / female / year 2379 4542 2411 2895 1830 Females entered 038 2996 000 000 000 Sow and gilt deaths 5150 57378 2800 11900 800 Death rate 997 6941 879 1534 471 Sows and gilts culled 21397 210251 13450 48000 4200 Culling rate (n=340) 4431 18386 4247 6926 2072 Total sows 188568 1686490 129400 457500 45200 Ending boar inventory 734 30348 300 1400 000 SPC (2016X18 XII6) 3 / 26

Telepi adatok Folyamatos adatgyűjtés, értékelés, táblázatok SPC (2016X18 XII6) 3 / 26

Telepi adatok Folyamatos adatgyűjtés, értékelés, ábrák SPC (2016X18 XII6) 3 / 26

Telepi adatok TECHNICAL COMMENT This difference in As amount seems well beyond a reasonable standard fluctuation Averaging together such bimodal data renders it difficult to Comment on A Bacterium That Can draw meaningful conclusions from them Wolfe-Simon et al used high-resolution secondary ion mass spectrometry to identify As in Grow by Using Arsenic Instead extracted, gel-purified DNA Table S2 in (2) reports elemental concentrations and ion ratios of Phosphorus for one +As/ P experiment, two As/+P experiments, and one baseline measurement made István Csabai 1,2 * and Eörs Szathmáry 3,4 on a blank agarose gel The baseline value for P was 820 T 143 parts per billion (ppb), yet the P Wolfe-Simon et al (Research Articles, 3 June 2011, p 1163; published online 2 December 2010) reported that bacterial strain GFAJ-1 can substitute arsenic for phosphorus in its biomolecules, including nucleic acids and proteins Unfortunately, their study lacks crucial experimental evidence to support this claim and suffers from inadequate data and poor presentation and analysis concentration in the +As/ P DNA sample was only 299 T 36 ppb These two values alone indicate large fluctuations in the measurements and raise concerns about their accuracy One possible solutionis touse the reported baseline value he basic principles of life rest on the organization of different autocatalytic re- this value, we can calculate the P:As ratio that is a sample would contain less P than the blank gel based on these values, we arrive at 505 From in further calculations, because there is no reason Taction systems (1), the exact chemical the reciprocal of 505, namely 0198, and conclude itself If we do so, we see that the amount of P is realization of which depends on the laws of chemistry, environmental conditions, and evolution Finding that one element can be replaced by a similar one under certain conditions does not seem implausible, although finding such a system wouldbe a major discovery Wolfe-Simon et al (2) reported that the bacterial strain GFAJ-1 can use arsenic (As) instead of phosphorus (P) in its basic biomolecules, but their conclusion is not well supported by the presented data To show the arsenate-dependent growth of strain GFAJ-1, Wolfe-Simon et al measured the percentage of As and P in the dry weight of the bulk intracellular material of their samples In table 1 in (2), they report that the mean intracellular As in +As/ P cells was 019 T 025% by dry weight, but only 0001 T 00005 for cells SPC growninthe As/+P (2016X18 condition XII6) To summarize the that on average, there is much more As than P in our samples If we instead calculate the average P:As ratio first, it would be 505 and the As:P ratio 0198, suggesting much more PthanAsWolfe-Simonet al report a As:P ratio of 73 [shown in table 1 in (2)], but if calculated in reverse, this value would be a much less impressive 159 Another concern with the data reported in table 1 (2) involves the calculated errors The error for the As percent by dry weight (T025%) is larger than the value itself (019%), so the null hypothesis that the +As/ P sample contains no As, cannot be excluded Although the P concentration seems to be considerably smaller for the +As/ P grown sample (0019%) than for the As/+P (054%), the authors do not discuss whether this amount is sufficient to sustain the only slightly higher in the As/+P samples For the measurement of As concentration, the baseline value with estimated error is 15 T 3ppbHowever, this error estimate appears to be too optimistic: The As concentrations reported for the two As/+P experiments are 14 T 3 ppb and 5 T 1 ppb, meaning that even in three measurements, the value could fluctuate from 15 ppb down to 5 ppb, which suggests that the correct error should be around 10 ppb If we take this value, we see that the As concentration reported for +As/ P sample (27 T 10 ppb) is not significantly larger than the As concentration for the As/+P sample or the baseline (15 T 10 ppb) In several other places in their Research Article, Wolfe-Simon et al do not provide specific error estimates, but rather use the ad hoc value of 10% as standard deviation In addition, some of their figuresvisually suggest 3 / 26 on October 15, 2016 m http://sciencesciencemagorg/

Telepi adatok Idősorok 18 Minta minőségi mutatója 16 14 0 5 10 15 20 25 Mintavétel időpontja SPC (2016X18 XII6) 3 / 26

Shewhart-chart A statisztikai folyamatszabályozás nagyszerű hetese (magnificent seven): 1 Histogram (stem-and-leaf plot) 2 Check sheet 3 Pareto chart 4 Cause-and-effect diagram 5 Defect concentration diagram 6 Scatter diagram 7 Control chart Walter Andrew Shewhart (1891-1967) SPC (2016X18 XII6) 4 / 26

Shewhart-chart Shewhart: A folyamatot akkor nevezzük stabilnak vagy statisztikailag kézbentartottnak (in statistical control), ha az ingadozás véletlenszerű, időben állandó, nincsenek jól felismerhető és megnevezhető okai, a jellemző jövőbeli értékei statisztikai módszerekkel megadható határok között vannak 1 A megfigyelt variabilitás oka lehet: véletlen (chance causes of variation) azonosítható (assignable causes of variation) A variabilitás azonosítható okainak jelenléte esetén a folyamat kikerült az ellenőrzés alól (out-of-control) A cél, hogy csökkentsük annak esélyét, hogy a folyamat kikerüljön az ellenőrzésünk alól Illetve, ha kikerült, akkor gyorsan tudjuk detektálni Ebben nyújthatnak segítséget az ellenőrző diagramok 1 Kemény (2006) SPC (2016X18 XII6) 4 / 26

Shewhart-chart 200 Upper control limit Minta minőségi mutatója 175 150 125 Center line Lower control limit 0 5 10 15 20 25 Mintavétel időpontja A center line a folyamat stabil állapotának megfelelő minőségi mutató átlagát jelzi SPC (2016X18 XII6) 4 / 26

Shewhart-chart 200 Upper control limit Minta minőségi mutatója 175 150 125 Center line Lower control limit 0 5 10 15 20 25 Mintavétel időpontja Az alsó és felső ellenőrzési határok a stabil folyamat határait jelzik SPC (2016X18 XII6) 4 / 26

Shewhart-chart Montgomery (2009) SPC (2016X18 XII6) 4 / 26

Shewhart-chart Ellenőrzési határok Egy sertéstelepen Shewhart-diagram használunk a malacok születési súlyának ellenőrzésére Zimmerman et al (2012) által bemutatott táblázatból tudjuk a malacok születési súlyának átlagát és szórását Litter Size 9 10 11 12 13 14 15 16 % of litters 122 96 173 247 363 Parity 26 23 25 26 35 Litter size : total born 71 106 126 145 177 Litter size : live born 69 102 120 137 161 Litter size : stillborn 03 04 06 08 15 Mean birth weight (kg) 188 167 157 148 138 Within-litter SD (kg) 028 029 032 032 033 Coefficient of variation (%) 15 18 21 22 24 % small piglets 6 9 12 13 16 A 14-15 malacot fialó kocák malacainak átlagos súlya x = 148 kg, a szórás pedig σ = 032 kg SPC (2016X18 XII6) 5 / 26

Shewhart-chart Ellenőrzési határok Az ellenőrző diagramunk rajzolásához minden nap lemérünk 5-5 újszülött malacot Ezek súlyának átlagát pontokkal jelöljük az ábrán Az ellenőrző diagram határértékeit a standard hiba segítségével számítjuk: σ x = σ n = 032 5 = 01431084 Ha n, akkor σ x!!! Ha feltételezzük, hogy a kézbentartott malactermelési folyamat születési súly minták x átlaga közelítőleg normális eloszlású, akkor várhatóan az x mintaátlagok 100(1 α)%-a fog a 148 Z α/2 01431084 és 148 + Z α/2 01431084 közötti tartományba esni A Z α/2 önkényes konstans értéke 3, 1 így a határértékek: UCL = 148 + 3 01431084 = 1909325 és LCL = 148 3 01431084 = 1050675 1 three-sigma control limits SPC (2016X18 XII6) 5 / 26

Shewhart-chart Ellenőrzési határok Ha az ellenőrzési tartomány határait távolítjuk a centrális értéktől, akkor csökkentjük az I típusú hiba valószínűségét, de növeljük a II típusúét Az ellenőrzési tartomány szűkítésével az ellenkező hatást érjük el A 3-szigma esetén α = 00027, vagyis 9973% a valószínűsége, hogy x ebbe a tartományba esik Vagyis 10000-ből 27 esetben tévesen jelezheti, hogy a folyamat kikerül az ellenőrzésünk alól Ez mindkét irányban való határtúllépést jelent, az egyoldali ennek a fele, vagyis 000135 Esetenként nem szigmával adják meg az ellenőrzési tartományt, hanem az I típusú hiba valószínűségének meghatározásával, így pl ha ennek értéke 0001 (egyik irányban), akkor az előző formulákban 309-es szorzót használunk: és UCL = 148 + 309 01431084 = 1922205 LCL = 148 309 01431084 = 1037795 Ezeket gyakran hívják 0001 valószínűségi határoknak, azonban ez nem helyes, mert a két irányban 0002 valószínűségi határnak kellene nevezni SPC (2016X18 XII6) 5 / 26

Shewhart-chart Ellenőrzési határok 200 Upper control limit Malac születési súly (kg) 175 150 125 Center line 100 Lower control limit 0 5 10 15 20 25 Mintavétel időpontja SPC (2016X18 XII6) 5 / 26

Shewhart-chart Ellenőrzési határok Vannak, akik nem csak egy határértéket használnak, hanem kettőt vagy hármat Ha két határértéket használunk az ellenőrzési tartomány meghatározására, akkor a legkülsőt cselekvési határnak (action limits), a belsőt figyelmeztetési határnak (warning limits) nevezzük Ez utóbbi számszerűen: és UCL = 148 + 2 01431084 = 1766217 LCL = 148 2 01431084 = 1193783 Ha valószínűségi határokat használunk, akkor a cselekvési limit 0001, a figyelmeztetési pedig 0025 A figyelmeztetési határ használata növeli a diagram szenzitivitását, így gyorsabb reakciót tesz lehetővé Azonban több téves riasztást is ad SPC (2016X18 XII6) 5 / 26

Shewhart-chart Ellenőrzési határok Malac születési súly (kg) 175 150 125 0 5 10 15 20 25 Mintavétel időpontja Ha egy vagy több pont a figyelmeztetési és cselekvési határ közé vagy a figyelmeztetési határhoz közel esik, akkor feltételezhetjük, hogy a folyamat nem működik tökéletesen SPC (2016X18 XII6) 5 / 26

Shewhart-chart Ellenőrzési határok Előfordul, hogy egy-szigmányira is meghúznak egy határt, amit alsó (a két-szigmányit felső) figyelmeztetési határnak nevezzük A három határérték által létrehozott tartományok: A, B, C A Malac születési súly (kg) 175 150 125 B C C B A 0 5 10 15 20 25 Mintavétel időpontja SPC (2016X18 XII6) 5 / 26

Shewhart-chart Minta mérete, mintavétel gyakorisága, csoportok a legjobb lenne, ha a lehető leggyakrabban, a lehető legtöbb mintát vehetnénk nagyobb mintamérettel kisebb változások könnyebben észlelhetők ésszerű mintavételi csoportok: a csoportok közötti, az azonosítható okoknak tulajdonítható eltérések maximalizálhatók lehessenek a csoporton belüli, az azonosítható okoknak tulajdonítható eltérések minimalizálhatók lehessenek 1 azonos vagy nagyon közeli időpontban veszünk mintát (snapshot approach) 2 az előző mintavétel óta létrejött egységeket reprezentáló minta (random sample approach) SPC (2016X18 XII6) 6 / 26

Shewhart-chart Mintázat elemzése ha egy vagy több pont túl van az ellenőrzési határokon, vagy a pontok valamilyen nem véletlen mintázatot mutatnak, feltételezhető, hogy a folyamat kikerült az ellenőrzésünk alól az ábrán az 5-8 pontok mind az átlag felett helyezkednek el a 15 ponttól kezdve 4 pont folyamatos növekedést mutat (run, sorozat), ebben az esetben felfelé irányuló (run up) utána egy run down látható annak a valószínűsége, hogy 20-25 megfigyelt érték közül egy run 8 hosszúságú legyen, nagyon kicsi, így valamilyen rendellenességre utalhat ugyanígy, ha 8 egymást követő pont az átlag egyik oldalán helyezkedik el, akkor is gyanúnk lehet arra, hogy a folyamat kicsúszott a kezünkből ciklikus mintázatok utalhatnak arra, hogy a nem véletlen lefutás valamilyen szisztematikus hatás miatt lehet, még akkor is, ha a pontok egyébként a határok között vannak SPC (2016X18 XII6) 7 / 26

Shewhart-chart Mintázat elemzése Western Electric Statistical Quality Control Handbook (1956) által meghatározott döntési szabályok a nem véletlen mintázat detektálására: 1 egy pont kívül esik a három-szigma határon 2 három egymást követő pont közül kettő kívül esik a két-szigma figyelmeztetési határon 3 öt egymást követő pont közül négy egy-szigma távolságban vagy azon túl helyezkedik el 4 nyolc egymást követő pont a középvonal egyik oldalán helyeződik el A szabályok a középvonal egyik oldalára vonatkoznak A szenzitivitást növeli a 2-4 pont az 1 ponthoz viszonyítva SPC (2016X18 XII6) 7 / 26

Shewhart-chart Mintázat elemzése További érzékenyítő szabályok: 5 hat egymást követő pont folyamatosan növekvő vagy csökkenő értékekkel 6 tizenöt egymás utáni pont a C-zónában (a középvonal alatti és feletti) 7 tizennégy egymás utáni pont váltakozva le és fel 8 nyolc pont, ami egyik oldali C-zónába sem esik 9 szokatlan vagy nem véletlen mintázat az adatokban 10 egy vagy több pont közel a figyelmeztetési vagy cselekvési határhoz SPC (2016X18 XII6) 7 / 26

Shewhart-chart I és II fázis I fázis: retrospektív adatok vizsgálata stabil időszak, 20-25 időpontból, mintavételből származó minták célérték és hatérértékek számítása az alapnak tekintett időszak mintáiból határértéket meghaladó értékek ellenőrzése tisztáztuk, hogy mi lehet az oka ha egyértelműen tisztázódik (azonosítható okot találunk), kihagyhatjuk és újra számolhatjuk a diagram értékeit II fázis: monitoring folyamatos értékelés, minden új minta esetén ha szükséges, akkor a diagram értékeit módosítjuk SPC (2016X18 XII6) 8 / 26

Shewhart-chart I és II fázis 200 Malac születési súly (kg) 175 150 125 A B C C B A 100 0 5 10 15 20 25 Mintavétel időpontja SPC (2016X18 XII6) 8 / 26

Cause-and-effect diagram Kocák visszaivarzásának részaránya (%) Morrison et al (2006) SPC (2016X18 XII6) 9 / 26

Cause-and-effect diagram Morrison et al (2006) SPC (2016X18 XII6) 9 / 26

Méréses ellenőrző diagramok gyakori, hogy a termelés valamely jellemzőjét számszerűleg mérjük (numerical measurement) pl: testsúlyok, tejmennyiség, takarmány-, vízfogyasztás változónak nevezzük a minőséget jellemző egyszerű mértéket ha a minőségi jellemző egy ilyen változó, akkor mind az átlagát, mind a variabilitását be kell vonnunk az ellenőrzési folyamatba az átlagot általában az ún x-diagrammal ellenőrizzük a variabilitást a szórás felhasználásával, ekkor s- vagy az értékek terjedelmével, R-diagrammal ellenőrizzük a diagram értékeit a termelés stabil időszakában mért adatok alapján becsüljük a populáció valódi átlagának (µ) és varianciájának (σ 2 ) pontbecslése a mintából számított x és s 2 a σ 2 becslése n 6 esetén pontosabb az úgynevezett range módszerrel n 10 esetén a szórás alapján javasolható SPC (2016X18 XII6) 10 / 26

Méréses ellenőrző diagramok x-diagram x = x 1 + x 2 + + x n n x = x 1 + x 2 + + x m m R = x max x min R = R 1 + R 2 + + R m m A relatív terjedelem (relative range): W = R σ W az n mintaméret függvénye, W átlaga d 2 Ebből következik σ becslése: ˆσ = R d 2 n d 2 2 1128 3 1693 4 2059 5 2326 6 2534 7 2704 8 2847 9 2970 10 3078 11 3173 12 3258 13 3336 14 3407 15 3472 16 3532 17 3588 18 3640 19 3689 20 3735 21 3778 22 3819 23 3858 24 3895 25 3931 Montgomery (2009) SPC (2016X18 XII6) 11 / 26

Méréses ellenőrző diagramok x-diagram A diagram paramétereit a mintából becsülve: Ha n > 25: CL = x LCL = x 3 d 2 n R UCL = x + 3 d 2 n R A 2 = 3 d 2 n LCL = x A 2 R UCL = x + A 2 R Montgomery (2009) A = 3 A 3 = 3 c 4 4(n 1) = n c 4 n 4n 3 n A A 2 A 3 c 4 1/c 4 2 2121 1880 2659 07979 12533 3 1732 1023 1954 08862 11284 4 1500 0729 1628 09213 10854 5 1342 0577 1427 09400 10638 6 1225 0483 1287 09515 10510 7 1134 0419 1182 09594 10423 8 1061 0373 1099 09650 10363 9 1000 0337 1032 09693 10317 10 0949 0308 0975 09727 10281 11 0905 0285 0927 09754 10252 12 0866 0266 0886 09776 10229 13 0832 0249 0850 09794 10210 14 0802 0235 0817 09810 10194 15 0775 0223 0789 09823 10180 16 0750 0212 0763 09835 10168 17 0728 0203 0739 09845 10157 18 0707 0194 0718 09854 10148 19 0688 0187 0698 09862 10140 20 0671 0180 0680 09869 10133 21 0655 0173 0663 09876 10126 22 0640 0167 0647 09882 10119 23 0626 0162 0633 09887 10114 24 0612 0157 0619 09892 10109 25 0600 0153 0606 09896 10105 SPC (2016X18 XII6) 11 / 26

Méréses ellenőrző diagramok x-diagram I fázis Malac születési súly (kg) 175 150 125 máj 25 jún 01 jún 08 Mintavétel időpontja SPC (2016X18 XII6) 11 / 26

Méréses ellenőrző diagramok x-diagram II fázis 200 Malac születési súly (kg) 175 150 125 jún 15 jún 22 jún 29 júl 06 Mintavétel időpontja SPC (2016X18 XII6) 11 / 26

Méréses ellenőrző diagramok R-diagram A korábbiak alapján: R = W σ, illetve az R hibája: σ R = d 3 σ mivel σ nem ismert így becsülhetjük: ˆσ R = d 3 R d 2 így az R-diagram paraméterei: CL = R LCL = R 3ˆσ R = R 3d 3 R d 2 = D 3R UCL = R +3ˆσ R = R +3d 3 R d 2 = D 4R D 3 = 1 3 d3 d 2 Montgomery (2009) és D 4 = 1 + 3 d3 d 2 n d 3 D 1 D 2 D 3 D 4 2 0853 0 3686 0 3267 3 0888 0 4358 0 2574 4 0880 0 4698 0 2282 5 0864 0 4918 0 2114 6 0848 0 5078 0 2004 7 0833 0204 5204 0076 1924 8 0820 0388 5306 0136 1864 9 0808 0547 5393 0184 1816 10 0797 0687 5469 0223 1777 11 0787 0811 5535 0256 1744 12 0778 0922 5594 0283 1717 13 0770 1025 5647 0307 1693 14 0763 1118 5696 0328 1672 15 0756 1203 5741 0347 1653 16 0750 1282 5782 0363 1637 17 0744 1356 5820 0378 1622 18 0739 1424 5856 0391 1608 19 0734 1487 5891 0403 1597 20 0729 1549 5921 0415 1585 21 0724 1605 5951 0425 1575 22 0720 1659 5979 0434 1566 23 0716 1710 6006 0443 1557 24 0712 1759 6031 0451 1548 25 0708 1806 6056 0459 1541 SPC (2016X18 XII6) 12 / 26

I fázis ( R ± 3d 3 R d 2 ) Méréses ellenőrző diagramok R-diagram 15 Malac születési súly terjedelem (kg) 10 05 00 máj 25 jún 01 jún 08 Mintavétel időpontja SPC (2016X18 XII6) 12 / 26

Méréses ellenőrző diagramok R-diagram I fázis (D 3 R és D 4 R) 15 Malac születési súly terjedelem (kg) 10 05 00 máj 25 jún 01 jún 08 Mintavétel időpontja SPC (2016X18 XII6) 12 / 26

Méréses ellenőrző diagramok R-diagram II fázis (D 3 R és D 4 R) 15 Malac születési súly terjedelem (kg) 10 05 00 jún 15 jún 22 jún 29 júl 06 Mintavétel időpontja SPC (2016X18 XII6) 12 / 26

Méréses ellenőrző diagramok x- és R-diagram az x-diagram a minták közötti, az R-diagram a mintán belüli variabilitást mutatja be az x-diagram a közepes vagy nagy változások vizsgálatát teszi lehetővé az n = 4, 5 mintaméret, kisebb változások nagyobb n = 15,, 25 mintákkal vizsgálhatók ennek alternatívája az érzékenyítő szabályok vagy CUSUM-, EWMA-diagramok alkalmazása a diagramok paramétereit időről időre felül kell vizsgálni, hogy az aktuális termelési folyamathoz igazodjon ezt meg lehet tenni hetente, havonta, vagy 25, 50, 100 mintánként az ellenőrző diagramokat kiegészíthetjük boxplotokkal (tier chart, tolerance chart) annak vizsgálatára, hogy bizonyos változásokat csak egy-egy mérési pont okoz-e vagy általános jelenségről van-e szó előfordul, hogy szakmai tapasztalatok alapján adnak meg felső és alsó határértékeket, ezeket ekkor nem control limitnek, hanem specification limitnek nevezik (nincs matematikai/statisztikai kapcsolat köztük) SPC (2016X18 XII6) 13 / 26

Méréses ellenőrző diagramok x- és R-diagram előfordul, hogy az n nem állandó, hanem változik mintáról mintára ilyen esetben nem szokták használni az x- és R-diagramot olyan eset is előfordul, hogy a mintaméret tartósan megváltozik, ilyenkor az alábbi formulák segíthetnek: CL = x [ ] d2new LCL = x A 2new R old d 2old [ ] d2new UCL = x+a 2new R old d 2old CL = R new = [ d2new d 2old ] R old { [ ] } d2new LCL = max 0, D 3new R old d 2old [ ] d2new UCL = D 4new R old d 2old SPC (2016X18 XII6) 13 / 26

Méréses ellenőrző diagramok s-diagram habár az x- és R-diagramokat széleskörben használják, előfordul, hogy az R helyett közvetlenül a folyamat szórásával vizsgálják a variabilitást az x- és s-diagramot az alábbi esetekben érdemesebb az x- és R-diagram helyett használni: 1 ha a minta n nagysága nagyobb, mondjuk n 10 vagy 12 2 ha az n mintaméret változó ha az σ 2 variancia nem ismert, akkor a mintából becsülhetjük: ni=1 s 2 (x i x) 2 = n 1 érdemes megjegyezni, hogy s nem torzítatlan becslése σ-nak ha a vizsgált változó normális eloszlású, akkor s a c 4 σ becslése c 4 állandó, ami n-től függ ugyanakkor s hibája σ 1 c4 2 SPC (2016X18 XII6) 14 / 26

Méréses ellenőrző diagramok s-diagram s = s 2 m CL = s = 1 s i m i=1 B 3 = 1 3 c 4 1 c 2 4 B 4 = 1 + 3 c 4 1 c 2 4 LCL = s 3 s c 4 1 c 2 4 = B 3 s UCL = s + 3 s c 4 1 c 2 4 = B 4 s LCL = x UCL = x + CL = x 3 s c 4 n = x A 3 s 3 s c 4 n = x + A 3 s n B 3 B 4 B 5 B 6 2 0 3267 0 2606 3 0 2568 0 2276 4 0 2266 0 2088 5 0 2089 0 1964 6 0030 1970 0029 1874 7 0118 1882 0113 1806 8 0185 1815 0179 1751 9 0239 1761 0232 1707 10 0284 1716 0276 1669 11 0321 1679 0313 1637 12 0354 1646 0346 1610 13 0382 1618 0374 1585 14 0406 1594 0399 1563 15 0428 1572 0421 1544 16 0448 1552 0440 1526 17 0466 1534 0458 1511 18 0482 1518 0475 1496 19 0497 1503 0490 1483 20 0510 1490 0504 1470 21 0523 1477 0516 1459 22 0534 1466 0528 1448 23 0545 1455 0539 1438 24 0555 1445 0549 1429 25 0565 1435 0559 1420 Montgomery (2009) SPC (2016X18 XII6) 14 / 26

I fázis ( s ± 3 s c 4 1 c4 2 ) Méréses ellenőrző diagramok s-diagram 06 Malac születési súly szórása (kg) 04 02 00 máj 25 jún 01 jún 08 Mintavétel időpontja SPC (2016X18 XII6) 14 / 26

Méréses ellenőrző diagramok s-diagram I fázis (B 3 s és B 4 s) 06 Malac születési súly szórása (kg) 04 02 00 máj 25 jún 01 jún 08 Mintavétel időpontja SPC (2016X18 XII6) 14 / 26

Méréses ellenőrző diagramok s-diagram II fázis (B 3 s és B 4 s) 06 Malac születési súly szórása (kg) 04 02 00 jún 15 jún 22 jún 29 júl 06 Mintavétel időpontja SPC (2016X18 XII6) 14 / 26

Méréses ellenőrző diagramok s-diagram változó n mintaméret esetén a súlyozott átlag módszerrel becsüljük x és s értékeit x = mi=1 [ n i x mi=1 i (n i 1)s 2 ] 1/2 i mi=1 ; s = n mi=1 i n i m a középső egyenes ezekkel megrajzolható azonban a határértékek számításához a minták méretétől függően különböző A 3, B 3 és B 4 konstans értékeket kell használnunk a változó szélességű ellenőrzési tartomány helyett használhatjuk az n átlagos mintaméretet az ellenőrzési határok számítására ha a mintaméreten nem nagyon különbözőek, akkor ez jó közelítés lehet azonban mivel n nem egész szám lesz, érdemesebb a mintaszámok móduszát használni SPC (2016X18 XII6) 14 / 26

Minősítéses ellenőrző diagramok vannak a termelési folyamatnak olyan mutatói, amelyek nem mérhetők numerikusan abban az értelemben, mint a fent említett mutatók esetén ezeket minősítéses adatokkal (attributes data) fejezzük ki ilyen pl az, amikor a termelési folyamat eredményét jelentő elem lehet megfelelő (conforming) és nem megfelelő (nonconforming) természetesen ennek eldöntésében szerepelhetnek ún méréses adatok, azonban a minősítésüket tekintve csak két kimeneti érték egyike rendelhető hozzájuk az ilyen adatokat eredményező termelési folyamatok statisztikai felügyeletére további ellenőrző diagramokat használnak: p: nem megfelelő elemek részaránya (control chart for fraction nonconforming) c: nem megfelelő elemek száma (control chart for nonconformities) u: nem megfelelő elemek egységenkénti száma (control chart for nonconformities per units) SPC (2016X18 XII6) 15 / 26

Minősítéses ellenőrző diagramok p-diagram n méretű mintából D számú nem megfelelő elem esetén ˆp = D n µˆp = p σ 2ˆp p (1 p) = n ha a termelési folyamatra vonatkozó p ismert vagy standard érték: CL = p p (1 p) LCL = p 3 n p (1 p) UCL = p + 3 n ha nem ismert vagy standard érték, akkor becsüljük: ˆp i = D i n i = 1, 2,, m m legalább 20-25 legyen a ˆp i értékek átlaga: mi=1 ˆp mi=1 i D i p = = m m n CL = p p (1 p) LCL = p 3 n p (1 p) UCL = p + 3 n SPC (2016X18 XII6) 16 / 26

Minősítéses ellenőrző diagramok p-diagram ha standard p-t használunk, akkor nincsen szükség a populációból való becslésére azonban óvatosan kell bánni a standard értékekkel, mivel nagyon ritka eset az, hogy valóban jól ismerhető a p a standard értéket inkább úgy kell értelmezni, mint egy célértéket pl ha a standard (pl p = 001) alapján meghatározott határértékeket meghaladják a II fázis adatai, akkor nem eldönthető, hogy valóban kibillent-e a termelési folyamat, vagy csak más p jellemző rá (pl p = 005) a p-diagram létrehozásához meg kell határozni a mintanagyságot, a mintavételi gyakoriságot, az ellenőrzési határokat előfordul, hogy a folyamat során, bevett periódusban képződő összes eredményt jelentő elemét megvizsgálják azonban általában az a cél, hogy csak n mintát használjunk SPC (2016X18 XII6) 16 / 26

Minősítéses ellenőrző diagramok p-diagram ha p nagyon kicsi, akkor megfelelően nagy n szükséges ha n kicsi, akkor kisebb valószínűséggel azonosíthatunk nem megfelelő elemet a mintában pl ha p = 001 és n = 8, akkor a felső ellenőrzési határérték: UCL = p+3 p (1 p) n = 001+3 001 (1 001) 8 = 01155 ha a mintában van egy nem megfelelő elem, akkor ˆp = 1/8 = 0125, vagyis azt gondolhatjuk, hogy a folyamat kikerült a kezünkből mivel valamely p > 0 esetén van valamekkora valószínűsége annak, hogy a termelési folyamatban tökéletlen termék jön létre, ezért nem szükségszerű egyetlen ilyen nem megfelelő elem észlelése során arra következtetnünk, hogy a folyamat kikerült a kezünkből mekkora n-t kell használnunk SPC (2016X18 XII6) 16 / 26

Minősítéses ellenőrző diagramok p-diagram 1 megközelítés: tegyük fel, hogy p = 001 mekkora n szükséges ahhoz, hogy a mintában lévő nem megfelelő elemet legalább 95%-os valószínűséggel megtaláljunk? ha D a nem megfelelő elemek száma a mintában, akkor keressük azt az n-t, aminél P{D 1} 095, vagy máshogy megfogalmazva P{D = 0} = 005: P{D = x} = P{D = 0} = n = n! x!(n x)! px (1 p) n x n! 0!(n 0)! 0010 (1 001) n 0 005 = (1 001) n log(005) log(1 001) 298 SPC (2016X18 XII6) 16 / 26

Minősítéses ellenőrző diagramok p-diagram Mean percent repeat services: 651% 1 n = log(005) log(1 00651) 45 CL = p = 00651 NB: LCL < 0!!! LCL = 00651 3 UCL = 00651 + 3 00651 (1 00651) = 00452 45 00651 (1 00651) = 01754 45 1 USA 2016-2nd Quarter Summary SPC (2016X18 XII6) 16 / 26

Minősítéses ellenőrző diagramok p-diagram 2 megközelítés ha alacsony a p, akkor könnyen lehet, hogy az LCL értéke kisebb lesz, mint 0, ami valószínűségek esetén nem értelmezhető ha azt szeretnénk, hogy az LCL is pozitív érték legyen, akkor az n meghatározása a következők szerint történhet: p (1 p) LCL = p L > 0 n, amiből levezethető, hogy, ha a p = 00651 n > 1 p p n > 1 00651 00651 L 2 3 2 = 129 Így ha n 130, akkor az LCL pozitív értékű lesz SPC (2016X18 XII6) 16 / 26

Minősítéses ellenőrző diagramok p-diagram 3 megközelítés: a mintaszámnak elég nagynak kell lennie ahhoz, hogy kb 50%-os valószínűséggel észlelhető legyen a folyamat egy meghatározott mértékű eltolódása pl tegyük fel, hogy p = 001 és szeretnénk tudni azt az n mintaméretet, ami a p = 005 szintre való eltolódását 50%-os valószínűséggel lehetővé teszi feltételezve, hogy a binomiális eloszlás normális eloszlással való közelítése helytálló, és ha folyamatban detektálandó eltolódás δ: p (1 p) δ = L n, amiből ( ) 2 ( ) 2 L 3 n = p (1 p) = 001 099 δ 005 001 = 56 SPC (2016X18 XII6) 16 / 26

Minősítéses ellenőrző diagramok p-diagram Mean percent repeat services: 651% 1 Median percent repeat services: 556% 1 Upper 10th percentile percent repeat services: 1317% 1 mekkora n mintaméret szükséges, hogy a 1317%-ra való eltolódást 50%-os valószínűséggel detektálhassuk? ( ) 2 3 n = 00651 (1 00651) 01317 00651 = 123 ( ) 2 3 n = 00556 (1 00556) 01317 00556 = 82 1 USA 2016-2nd Quarter Summary SPC (2016X18 XII6) 16 / 26

Minősítéses ellenőrző diagramok p-diagram Nem állandó n mintaméret gyakori, hogy nem mintát vesznek, hanem egy időben, időszakban képződő összes elemet bevonnak a vizsgálatba a haszonállattartásban ez a leginkább jellemző (pl alomméret) a korábbiak alapján látható, hogy a változó mintaméret (n) befolyásolja az ellenőrzési tartományokat: p (1 p) p ± 3 n a probléma kezelésére gyakoribb megoldások: 1 átlagos mintaméret ( n) 2 mindegyik mintaméretre külön ellenőrzési határok (n i ) 3 standardizált határok: Z i = ˆp i p σˆp = ˆp i p p (1 p) n i SPC (2016X18 XII6) 16 / 26

Minősítéses ellenőrző diagramok p-diagram n Holtan született malacok részaránya 02 01 00-01 180 185 190 195 200 205 Ellés sorszáma SPC (2016X18 XII6) 16 / 26

Minősítéses ellenőrző diagramok p-diagram n i Holtan született malacok részaránya 03 02 01 00-01 -02 180 185 190 195 200 205 Ellés sorszáma SPC (2016X18 XII6) 16 / 26

Minősítéses ellenőrző diagramok p-diagram Z i 2 Z-érték 0-2 180 185 190 195 200 205 Ellés sorszáma SPC (2016X18 XII6) 16 / 26

Minősítéses ellenőrző diagramok np-diagram arra is lehetőség van, hogy a nem megfelelő adatokat ne részarányként fejezzük ki, hanem azok előfordulási gyakoriságával erre használják az np-diagramot CL = n p LCL = n p 3 n p (1 p) UCL = n p + 3 n p (1 p) ha p-re vonatkozóan nem elérhető standard érték, akkor becsülhetjük a mintából ( p) az np-diagram sokszor jobban értelmezhető a statisztikában nem jártas felhasználók számára SPC (2016X18 XII6) 17 / 26

Minősítéses ellenőrző diagramok c-diagram a c-diagram esetén a nem megfelelő elemek számát használjuk az ellenőrzési ábra létrehozásához pl lehetne valamely betegség incidenciája, azonos méretű állatcsoportokban (időben, térben) p(x) = e c c x, ahol x a nem megfelelő elemek száma, c > 0 a Poisson-eloszlás paramétere CL = c x! LCL = c 3 c UCL = c + 3 c ha az LCL < 0, akkor nullára állítjuk be ha nem ismert a standard c, akkor c-t becsülhetjük a mintából SPC (2016X18 XII6) 18 / 26

Minősítéses ellenőrző diagramok u-diagram ha x a megfigyelt összes nem megfelelő elem száma, a megvizsgált n egységben pl n = 6 kutrica, amelyekben azonos számú sertés van x Poisson-eloszlású változó u = x n CL = ū ū LCL = ū 3 n ū UCL = ū + 3 n SPC (2016X18 XII6) 19 / 26

Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM 14 Malacok súlya (kg) 12 10 0 5 10 15 20 25 Mintavétel időpontja Hathetes malacok súlyának átlaga 125 kg, σ = 1 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM A Shewhart-diagramok megfelelő érzékenységűek, ha a folyamat-eltérés 15-2σ Ennél kisebb eltolódást csak az érzékenyítő szabályokkal detektálhatunk, amelyek viszont növelik a téves riasztások számát A célértéktől való eltérés halmozódó összegének (cumulative sum, CUSUM) számítása, ha n 1: Egyedi x-ek (n = 1) esetén: C i = i C i = ( x j µ 0 ) j=1 i (x j µ 0 ) j=1 i 1 = (x i µ 0 ) + (x j µ 0 ) j=1 = (x i µ 0 ) + C i 1 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM i x i C i 1 134 2 143 3 109 4 122 5 122 6 129 7 112 8 149 9 126 10 140 11 106 12 134 Mivel C 1 1 = C 0 = 0 C 1 = (x 1 µ 0 ) + C 0 = (134 125) + 0 = 09 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM i x i C i 1 134 09 2 143 3 109 4 122 5 122 6 129 7 112 8 149 9 126 10 140 11 106 12 134 Mivel C 2 1 = C 1 = 09 C 2 = (x 2 µ 0 ) + C 1 = (143 125) + 09 = 27 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM i x i C i 1 134 09 2 143 27 3 109 4 122 5 122 6 129 7 112 8 149 9 126 10 140 11 106 12 134 Mivel C 3 1 = C 2 = 27 C 3 = (x 3 µ 0 ) + C 2 = (109 125) + 27 = 11 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM i x i C i 1 134 09 2 143 27 3 109 11 4 122 5 122 6 129 7 112 8 149 9 126 10 140 11 106 12 134 Mivel C 4 1 = C 3 = 11 C 4 = (x 4 µ 0 ) + C 3 = (122 125) + 11 = 08 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM i x i C i 1 134 09 2 143 27 3 109 11 4 122 08 5 122 6 129 7 112 8 149 9 126 10 140 11 106 12 134 Mivel C 5 1 = C 4 = 08 C 5 = (x 5 µ 0 ) + C 4 = (122 125) + 08 = 05 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM i x i C i 1 134 09 2 143 27 3 109 11 4 122 08 5 122 05 6 129 7 112 8 149 9 126 10 140 11 106 12 134 Mivel C 6 1 = C 5 = 05 C 6 = (x 6 µ 0 ) + C 5 = (129 125) + 05 = 09 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM i x i C i 1 134 09 2 143 27 3 109 11 4 122 08 5 122 05 6 129 09 7 112 8 149 9 126 10 140 11 106 12 134 Mivel C 7 1 = C 6 = 09 C 7 = (x 7 µ 0 ) + C 6 = (112 125) + 09 = 04 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM i x i C i 1 134 09 2 143 27 3 109 11 4 122 08 5 122 05 6 129 09 7 112-04 8 149 9 126 10 140 11 106 12 134 Mivel C 8 1 = C 7 = 04 C 8 = (x 8 µ 0 ) + C 7 = (149 125) 04 = 20 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM i x i C i 1 134 09 2 143 27 3 109 11 4 122 08 5 122 05 6 129 09 7 112-04 8 149 20 9 126 10 140 11 106 12 134 Mivel C 9 1 = C 8 = 20 C 9 = (x 9 µ 0 ) + C 8 = (126 125) + 20 = 21 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM i x i C i 1 134 09 2 143 27 3 109 11 4 122 08 5 122 05 6 129 09 7 112-04 8 149 20 9 126 21 10 140 11 106 12 134 Mivel C 10 1 = C 9 = 21 C 10 = (x 10 µ 0 ) + C 9 = (140 125) + 21 = 36 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM i x i C i 1 134 09 2 143 27 3 109 11 4 122 08 5 122 05 6 129 09 7 112-04 8 149 20 9 126 21 10 140 36 11 106 12 134 Mivel C 11 1 = C 10 = 36 C 11 = (x 11 µ 0 ) + C 10 = (106 125) + 36 = 17 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM i x i C i 1 134 09 2 143 27 3 109 11 4 122 08 5 122 05 6 129 09 7 112-04 8 149 20 9 126 21 10 140 36 11 106 17 12 134 Mivel C 12 1 = C 11 = 17 C 12 = (x 12 µ 0 ) + C 11 = (134 125) + 17 = 26 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM 0 C i -5 0 5 10 15 20 25 Mintavétel időpontja SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM Az egyoldali felső és alsó CUSUM számítása: C + i C i = max = max [ ] 0, x i (µ 0 + K) + C i 1 + [ ] 0, (µ 0 K) x i + Ci 1 A kezdő értékek C + 0 = C 0 = 0 A K referencia-érték, mely a µ 0 és az ellenőrzés alól kikerült folyamat µ 1 közti különbség fele K = δ 2 σ = µ 1 µ 0 2 Mivel a példánkban a σ = 1 és egy σ eltérést szeretnénk detektálni (δ = 1), így K = 05 A CUSUM módszernél az ellenőrzési tartományokat ún H-értékkel állítjuk be, aminek értéke első közelítésben a σ ötszöröse SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM i x i C i C + i 1 134 09 2 143 27 3 109 11 4 122 08 5 122 05 6 129 09 7 112-04 8 149 20 9 126 21 10 140 36 11 106 17 12 134 26 C i Mivel C + 1 1 = C + 0 = 0 C 1 + = max [ 0, x 1 (µ 0 + K) + C 0 + ] = max [0, 134 (125 + 05) + 0] = max [0, 04] = 04 Mivel C 1 1 = C 0 = 0 C 1 = max [ 0, (µ 0 + K) x 1 + C ] 0 = max [0, (125 05) 134 + 0] = max [0, 14] = 00 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM i x i C i C + i C i 1 134 09 04 00 2 143 27 3 109 11 4 122 08 5 122 05 6 129 09 7 112-04 8 149 20 9 126 21 10 140 36 11 106 17 12 134 26 Mivel C + 2 1 = C + 1 = 04 C 2 + = max [ 0, x 2 (µ 0 + K) + C 1 + ] = max [0, 143 (125 + 05) + 04] = max [0, 17] = 17 Mivel C 2 1 = C 1 = 00 C 2 = max [ 0, (µ 0 + K) x 2 + C ] 1 = max [0, (125 05) 143 + 00] = max [0, 23] = 00 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM i x i C i C + i C i 1 134 09 04 00 2 143 27 17 00 3 109 11 4 122 08 5 122 05 6 129 09 7 112-04 8 149 20 9 126 21 10 140 36 11 106 17 12 134 26 Mivel C + 3 1 = C + 2 = 17 C 3 + = max [ 0, x 3 (µ 0 + K) + C 2 + ] = max [0, 109 (125 + 05) + 17] = max [0, 04] = 00 Mivel C 3 1 = C 2 = 00 C 3 = max [ 0, (µ 0 + K) x 3 + C ] 2 = max [0, (125 05) 109 + 00] = max [0, 11] = 11 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM i x i C i C + i C i 1 134 09 04 00 2 143 27 17 00 3 109 11 00 11 4 122 08 5 122 05 6 129 09 7 112-04 8 149 20 9 126 21 10 140 36 11 106 17 12 134 26 Mivel C + 4 1 = C + 3 = 00 C 4 + = max [ 0, x 4 (µ 0 + K) + C 3 + ] = max [0, 122 (125 + 05) + 00] = max [0, 08] = 00 Mivel C 4 1 = C 3 = 11 C 4 = max [ 0, (µ 0 + K) x 4 + C ] 3 = max [0, (125 05) 122 + 11] = max [0, 09] = 09 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM i x i C i C + i C i 1 134 09 04 00 2 143 27 17 00 3 109 11 00 11 4 122 08 00 09 5 122 05 6 129 09 7 112-04 8 149 20 9 126 21 10 140 36 11 106 17 12 134 26 Mivel C + 5 1 = C + 4 = 00 C 5 + = max [ 0, x 5 (µ 0 + K) + C 4 + ] = max [0, 122 (125 + 05) + 00] = max [0, 08] = 00 Mivel C 5 1 = C 4 = 09 C 5 = max [ 0, (µ 0 + K) x 5 + C ] 4 = max [0, (125 05) 122 + 09] = max [0, 07] = 07 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM i x i C i C + i C i 1 134 09 04 00 2 143 27 17 00 3 109 11 00 11 4 122 08 00 09 5 122 05 00 07 6 129 09 7 112-04 8 149 20 9 126 21 10 140 36 11 106 17 12 134 26 Mivel C + 6 1 = C + 5 = 00 C 6 + = max [ 0, x 6 (µ 0 + K) + C 5 + ] = max [0, 129 (125 + 05) + 00] = max [0, 01] = 00 Mivel C 6 1 = C 5 = 07 C 6 = max [ 0, (µ 0 + K) x 6 + C ] 5 = max [0, (125 05) 129 + 07] = max [0, 02] = 00 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM i x i C i C + i C i 1 134 09 04 00 2 143 27 17 00 3 109 11 00 11 4 122 08 00 09 5 122 05 00 07 6 129 09 00 00 7 112-04 8 149 20 9 126 21 10 140 36 11 106 17 12 134 26 Mivel C + 7 1 = C + 6 = 00 C 7 + = max [ 0, x 7 (µ 0 + K) + C 6 + ] = max [0, 112 (125 + 05) + 00] = max [0, 18] = 00 Mivel C 7 1 = C 6 = 00 C 7 = max [ 0, (µ 0 + K) x 7 + C ] 6 = max [0, (125 05) 112 + 00] = max [0, 08] = 08 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM i x i C i C + i C i 1 134 09 04 00 2 143 27 17 00 3 109 11 00 11 4 122 08 00 09 5 122 05 00 07 6 129 09 00 00 7 112-04 00 08 8 149 20 9 126 21 10 140 36 11 106 17 12 134 26 Mivel C + 8 1 = C + 7 = 00 C 8 + = max [ 0, x 8 (µ 0 + K) + C 7 + ] = max [0, 149 (125 + 05) + 00] = max [0, 19] = 19 Mivel C 8 1 = C 7 = 08 C 8 = max [ 0, (µ 0 + K) x 8 + C ] 7 = max [0, (125 05) 149 + 08] = max [0, 21] = 00 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM i x i C i C + i C i 1 134 09 04 00 2 143 27 17 00 3 109 11 00 11 4 122 08 00 09 5 122 05 00 07 6 129 09 00 00 7 112-04 00 08 8 149 20 19 00 9 126 21 10 140 36 11 106 17 12 134 26 Mivel C + 9 1 = C + 8 = 19 C 9 + = max [ 0, x 9 (µ 0 + K) + C 8 + ] = max [0, 126 (125 + 05) + 19] = max [0, 15] = 15 Mivel C 9 1 = C 8 = 00 C 9 = max [ 0, (µ 0 + K) x 9 + C ] 8 = max [0, (125 05) 126 + 00] = max [0, 06] = 00 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM i x i C i C + i C i 1 134 09 04 00 2 143 27 17 00 3 109 11 00 11 4 122 08 00 09 5 122 05 00 07 6 129 09 00 00 7 112-04 00 08 8 149 20 19 00 9 126 21 15 00 10 140 36 11 106 17 12 134 26 Mivel C + 10 1 = C + 9 = 15 C 10 + = max [ 0, x 10 (µ 0 + K) + C 9 + ] = max [0, 140 (125 + 05) + 15] = max [0, 25] = 25 Mivel C 10 1 = C 9 = 00 C 10 = max [ 0, (µ 0 + K) x 10 + C ] 9 = max [0, (125 05) 140 + 00] = max [0, 20] = 00 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM i x i C i C + i C i 1 134 09 04 00 2 143 27 17 00 3 109 11 00 11 4 122 08 00 09 5 122 05 00 07 6 129 09 00 00 7 112-04 00 08 8 149 20 19 00 9 126 21 15 00 10 140 36 25 00 11 106 17 12 134 26 Mivel C + 11 1 = C + 10 = 25 C 11 + = max [ 0, x 11 (µ 0 + K) + C 10 + ] = max [0, 106 (125 + 05) + 25] = max [0, 01] = 01 Mivel C 11 1 = C 10 = 00 C 11 = max [ 0, (µ 0 + K) x 11 + C ] 10 = max [0, (125 05) 106 + 00] = max [0, 14] = 14 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM i x i C i C + i C i 1 134 09 04 00 2 143 27 17 00 3 109 11 00 11 4 122 08 00 09 5 122 05 00 07 6 129 09 00 00 7 112-04 00 08 8 149 20 19 00 9 126 21 15 00 10 140 36 25 00 11 106 17 01 14 12 134 26 Mivel C + 12 1 = C + 11 = 01 C 12 + = max [ 0, x 12 (µ 0 + K) + C 11 + ] = max [0, 134 (125 + 05) + 01] = max [0, 05] = 05 Mivel C 12 1 = C 11 = 14 C 12 = max [ 0, (µ 0 + K) x 12 + C ] 11 = max [0, (125 05) 134 + 14] = max [0, 0] = 0 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM 3 Halmozódó összeg 0-3 CUSUM lower upper -6 0 5 10 15 20 25 Mintavétel időpontja SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

Kisebb eltérések vizsgálata Binomiális CUSUM Ha n állandó: C + 0 = H+ C 0 = H C i + = max[0, C i 1 + + x i n k u + ] Ci = min[0, Ci 1 + x i n ku ] Ha n változó, akkor ún súlyozott binomiális CUSUM: C + i = max[0, C + i 1 + x i n i k + u ] C i = min[0, C i 1 + x i n i k u ], ahol az emelkedő és csökkenő k + és k referenciaértékek egyaránt a n k u szorzatból adódnak, ahol a k u az egységenkénti referenciaérték, ami csak a stabil folyamat π 0 és az ellenőrzés alól kikerült folyamat π 1 értékétől függ: Hawkins and Olwell (1998) ( k u = ln 1 π1 ln ) 1 π ( 0 π1 (1 π 0 ) π 0 (1 π 1 ) SPC (2016X18 XII6) 21 / 26 )

Kisebb eltérések vizsgálata Binomiális CUSUM Tegyük fel, hogy egy olyan folyamatot ellenőrzünk, amelyben a π 0 = 001 és ettől fölfelé a π 1 = 003 elcsúszást szeretnénk detektálni CUSUM-mal: ( ) ( ) k u + = ln 1 003 1 001 ) = ln 1 003 1 001 ( ) = 002040885 = 0018 ln ln 003 099 1119021 001 097 ( 003 (1 001) 001 (1 003) Ugyanezen az ellenőrző diagramon a negatív irányba való eltérés vizsgálatára π 1 = 0005 szeretnénk használni: ( ) ( ) ku = ln 1 0005 1 001 ) = ln 0995 099 ( ) = 0005037794 ln ln 0005 099 0698185 = 00072 001 097 ( 0005 (1 001) 001 (1 0005) C + i = max[0, C + i 1 + x i n 0018] C i = min[0, C i 1 + x i n 00072] Hawkins and Olwell (1998) SPC (2016X18 XII6) 21 / 26

Kisebb eltérések vizsgálata EWMA Exponenciálisan súlyozott mozgóátlag (Exponentially Weighted Moving Average, EWMA) z i = λx i + (1 λ) z i 1, ahol 0 < λ 1, és a z 0 = µ 0, illetve korábbi mintából becsülve z 0 = x Az a tapasztalat, hogy a 005 λ 025 jól használható; gyakran használt értékek a λ = 005, λ = 010 és λ = 020 A kisebb λ-értékek kisebb eltérések detektálására jobban használhatók Az ellenőrző diagramhoz szükséges formulák: CL = µ 0 λ LCL = µ 0 L σ 2 λ [1 (1 λ)2i ] λ UCL = µ 0 + L σ 2 λ [1 (1 λ)2i ], ahol L az ellenőrzési tartomány szélességét meghatározó érték Nagyobb λ esetén az L = 3 megbízható érték Azonban kisebb λ esetén, pl λ 01, tanácsos csökkenteni az értékét (pl L = 27) SPC (2016X18 XII6) 22 / 26

Kisebb eltérések vizsgálata EWMA i x i z i LCL i UCL i 1 134 2 143 3 109 4 122 5 122 6 129 z 1 = λx 1 + (1 λ)z 0 = 01 134 + (1 01) 125 = 1259 λ l 1 = L σ 2 λ [1 (1 λ)2 1 ] 01 = 27 1 2 01 [1 (1 01)2 1 ] = 027 λ = 01, L = 27, z 0 = µ 0 = 125, σ = 1 LCL 1 = 125 027 = 1223 UCL 1 = 125 + 027 = 1277 SPC (2016X18 XII6) 22 / 26

Kisebb eltérések vizsgálata EWMA i x i z i LCL i UCL i 1 134 1259 1223 1277 2 143 3 109 4 122 5 122 6 129 z 2 = λx 2 + (1 λ)z 1 = 01 143 + (1 01) 1259 = 1276 λ l 2 = L σ 2 λ [1 (1 λ)2 2 ] 01 = 27 1 2 01 [1 (1 01)2 2 ] = 036 λ = 01, L = 27, z 0 = µ 0 = 125, σ = 1 LCL 2 = 125 036 = 1214 UCL 2 = 125 + 036 = 1286 SPC (2016X18 XII6) 22 / 26

Kisebb eltérések vizsgálata EWMA i x i z i LCL i UCL i 1 134 1259 1223 1277 2 143 1276 1214 1286 3 109 4 122 5 122 6 129 z 3 = λx 3 + (1 λ)z 2 = 01 109 + (1 01) 1276 = 1257 λ l 3 = L σ 2 λ [1 (1 λ)2 3 ] 01 = 27 1 2 01 [1 (1 01)2 3 ] = 042 λ = 01, L = 27, z 0 = µ 0 = 125, σ = 1 LCL 3 = 125 042 = 1208 UCL 3 = 125 + 042 = 1292 SPC (2016X18 XII6) 22 / 26

Kisebb eltérések vizsgálata EWMA i x i z i LCL i UCL i 1 134 1259 1223 1277 2 143 1276 1214 1286 3 109 1257 1208 1292 4 122 5 122 6 129 z 4 = λx 4 + (1 λ)z 3 = 01 122 + (1 01) 1257 = 1254 λ l 4 = L σ 2 λ [1 (1 λ)2 4 ] 01 = 27 1 2 01 [1 (1 01)2 4 ] = 047 λ = 01, L = 27, z 0 = µ 0 = 125, σ = 1 LCL 4 = 125 047 = 1203 UCL 4 = 125 + 047 = 1297 SPC (2016X18 XII6) 22 / 26

Kisebb eltérések vizsgálata EWMA i x i z i LCL i UCL i 1 134 1259 1223 1277 2 143 1276 1214 1286 3 109 1257 1208 1292 4 122 1254 1203 1297 5 122 6 129 z 5 = λx 5 + (1 λ)z 4 = 01 122 + (1 01) 1254 = 1250 λ l 5 = L σ 2 λ [1 (1 λ)2 5 ] 01 = 27 1 2 01 [1 (1 01)2 5 ] = 047 λ = 01, L = 27, z 0 = µ 0 = 125, σ = 1 LCL 5 = 125 050 = 1200 UCL 5 = 125 + 050 = 1300 SPC (2016X18 XII6) 22 / 26

Kisebb eltérések vizsgálata EWMA i x i z i LCL i UCL i 1 134 1259 1223 1277 2 143 1276 1214 1286 3 109 1257 1208 1292 4 122 1254 1203 1297 5 122 1250 1200 1300 6 129 z 6 = λx 6 + (1 λ)z 5 = 01 122 + (1 01) 1254 = 1250 λ l 6 = L σ 2 λ [1 (1 λ)2 6 ] 01 = 27 1 2 01 [1 (1 01)2 6 ] = 047 λ = 01, L = 27, z 0 = µ 0 = 125, σ = 1 LCL 6 = 125 050 = 1200 UCL 6 = 125 + 050 = 1300 SPC (2016X18 XII6) 22 / 26

Kisebb eltérések vizsgálata EWMA 128 EWMA 124 120 0 5 10 15 20 25 Mintavétel időpontja SPC (2016X18 XII6) 22 / 26

Mikor, melyiket? Méréses Adatok Minősítéses Minta mérete Részarányok Darabszámok n > 1 n = 1 Eltérés Eltérés Eltérés Eltérés nagy nagy nagy nagy x, R x, s kis x (egyedi) MR kis p np kis c u CUSUM EWMA CUSUM EWMA p használatával CUSUM EWMA c, u használatával, események közti idő SPC (2016X18 XII6) 23 / 26

ARL x-diagram Átlagos sorozathossz (average run length, ARL): azoknak a pontoknak a száma, amelyek megelőzik azt a pontot, amikor a folyamat kikerül az ellenőrzés alól Ha nincsen autokorreláció a folyamatban, akkor: ARL = 1 p, ahol p annak a valószínűsége, hogy a folyamat kikerül az ellenőrzés alól Average time to signal (ATS), ha a mintavételek között eltelt idő (h) mindig azonos: ATS = ARL h A három szigma x-diagram esetén annak a valószínűsége, hogy egy pont kívülesik az ellenőrzési tartományon p = 00027, így az ARL 0 (a kézben tartott folyamat ARL-je): ARL 0 = 1 α = 1 00027 = 370 Vagyis átlagosan minden 370 pont fog kívülesni az ellenőrzési tartományon, még abban az esetben is, ha a folyamat valójában nem tért el a céltól Az az ideális, ha az ARL 0 nagy SPC (2016X18 XII6) 24 / 26

ARL x-diagram II típusú hiba: ha a H 0 -t nem utasítjuk el, pedig nem igaz Ennek valószínűségét a β fejezi ki Annak a valószínűsége, hogy NEM detektáljuk a folyamat eltérését az eltérés bekövetkezte utáni első mintában: β = P{LCL x UCL µ = µ 1 = µ 0 + kσ}, ahol µ 0 a kézben tartott folyamat célértéke, µ 1 = µ 0 + kσ az ellenőrzés alól kikerült folyamat átlaga Ha a folyamatbeli elcsúszás megtörtént, annak a valószínűsége, hogy: NEM detektáljuk az eltérést az első mintán: β detektáljuk az eltérést az első mintán: 1 β Out-of-control ARL: amikor a folyamat kikerül az ellenőrzés alól, az eltérés detektálása előtti pontok átlagos száma: Ideális esetben kicsi ARL 1 = 1 1 β SPC (2016X18 XII6) 24 / 26

ARL x-diagram OC curves for xbar chart Prob type II error 00 02 04 06 08 10 n = 5 00 05 10 15 20 25 30 Process shift (stddev) Operating-characteristic curve: az y-tengelyen a β (annak a valószínűsége, hogy az ellenőrző diagram NEM jelez eltérést a folyamatban), az x-tengelyen a k, vagyis a stabil folyamat átlagától való eltérés mértéke σ szorzatként kifejezve SPC (2016X18 XII6) 24 / 26

ARL x-diagram Ha a malacok 1495 kg-os átlag testsúlya, mondjuk 15 szigmányival alacsonyabb szintre (1495 (15 031) = 103 kg) süllyed, akkor β 036-ra csökken ARL 1 = 1 1 β = 1 1 036 = 156 Ami azt jelenti, hogy átlagosan 156 minta szükséges ahhoz, hogy a folyamatbeli ekkora eltérést detektálhassuk Ha mondjuk a malacsúly-mintavételünk hetente történik, vagyis hetente mérjük a malacokat, akkor: ATS = ARL 1 h = 156 7 = 1092 Azaz 11 nap szükséges ahhoz, hogy az eltérést észleljük Túl késő: 1 Ha gyakrabban veszünk mintát, akkor csökkenthetjük a h-t és így hamarabb észlelhetjük az eltérést SPC (2016X18 XII6) 24 / 26

ARL x-diagram OC curves for xbar chart Prob type II error 00 02 04 06 08 10 n = 5 n = 10 00 05 10 15 20 25 30 Process shift (stddev) 2 Ha növeljük az n mintaméretet, akkor is csökkenthetjük a detektáláshoz szükséges időt, pl ha n = 10: ARL 1 = 1 1 β = 1 1 0041 = 104 SPC (2016X18 XII6) 24 / 26

ARL p-diagram OC curves for p chart Prob type II error 00 02 04 06 08 10 00 02 04 06 08 10 p A választásig történő elhullás valószínűsége a korábbi példából 5% Ha n = 10, a 10%-os elhullás esetén a β = 093, így: ARL 1 = 1 1 β = 1 1 093 = 1429 SPC (2016X18 XII6) 25 / 26

ARL p-diagram OC curves for p chart Prob type II error 00 02 04 06 08 10 00 02 04 06 08 10 p A választásig történő elhullás valószínűsége a korábbi példából 5% Ha n = 50, a 10%-os elhullás esetén a β = 088, így: ARL 1 = 1 1 β = 1 1 088 = 833 SPC (2016X18 XII6) 25 / 26