Statisztika II. tantárgyi kalauz

Balog Margit - Monoriné Szabó Edit Statisztika II. tantárgyi kalauz Szolnoki Főiskola Szolnok 006.

Statisztika II. Tantárgyi kalauz Ez a kalauz az alábbi tankönyvekhez készült: Általános statisztika II. Főiskolai tankönyv szerkesztette: Korpás Attiláné dr. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1997.) Általános statisztika példatár II. Főiskolai tankönyv (4 49/P) (Molnár Máténé dr. Tóth Mártonné dr. Nemzeti Tankönyvkiadó, Bp. 001.) Általános statisztika I. Főiskolai tankönyv (szerkesztette: Korpás Attiláné dr. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1996.) Általános statisztika példatár I. Főiskolai tankönyv (4 491/P) (Molnár Máténé dr. Tóth Mártonné dr. Nemzeti Tankönyvkiadó, Bp. 001.) Képletgyűjtemény: A tantárgyi kalauz I. melléklete Tananyagíró: Balog Margit - Monoriné Szabó Edit Távoktatási szerkesztő: Fazekas Judit Kiadványszerkesztő: Román Gábor Sorozatszerkesztő: Zarka Dénes Kiadja a Szolnoki Főiskola. Felelős kiadó: dr. Törzsök Éva rektor Szolnoki Főiskola, 006. Minden jog fenntartva. A kalauzt, vagy annak részeit tilos bármilyen formában, illetve eszközzel másolni, terjeszteni vagy közölni a Kiadó engedélye nélkül.

Tartalom Tartalom... 3 A kalauz szerkezete... 4 Bevezetés... 5 Mintavétel... 9 Statisztikai becslések egyszerű véletlen minta esetén... 13 Statisztikai becslések rétegzett minta esetén... 17 Hipotézisvizsgálat. Paraméteres statisztikai próbák... 1 Hipotézisvizsgálat. Nemparaméteres statisztikai próbák... 6 Beküldendő feladatok I.... 3 A korreláció elemzése csoportosított adatokból kiindulva. Kétváltozós korrelációszámítás... 38 Kétváltozós regresszió: lineáris regresszió... 44 Kétváltozós regresszió: nemlineáris regresszió... 49 Többváltozós regressziószámítás... 55 Többváltozós korrelációszámítás...6 Beküldendő feladatok II.... 70 Idősorok összetevőinek vizsgálata: trendszámítás... 79 Idősorok összetevőinek vizsgálata: a szezonhatás vizsgálata, a véletlenhatás kimutatása, előrejelzés készítése... 84 Melléklet I.... 93 Melléklet II... 96 3

A kalauz szerkezete A kalauz feldolgozásakor fontos, hogy értse jelrendszerünket. Íme a legfontosabbak: Így adjuk meg, hogy mennyi ideig tart egy lecke feldolgozása. Célkitűzés: így jelöljük, ha a tantárgy, vagy lecke célkitűzését adjuk meg. Ha ezt az ikont látja, a tankönyvet kell fellapoznia. Önellenőrző feladat Ha ezt a keretet látja, arra kérjük, oldja meg egy erre rendszeresített füzetében a feladatot, ha elkészült, ellenőrizze magát a lecke végén található megoldás alapján! Beküldendő feladat Ha ezt az ikont látja, a megoldást nem találja meg, feladatát be kell küldenie a főiskolára tutorának. 4

Bevezetés Kedves Hallgatónk! Örömmel üdvözöljük a Statisztika II. tantárgyat választók körében! A tantárgy legfontosabb feladata - a Statisztika I. tantárgyhoz hasonlóan -, hogy segítse a hallgatók közgazdasági gondolkodásának megalapozását, valamint elemző készségének és problémamegoldó képességének fejlesztését. Bízunk abban, hogy a tantárgy tanulása során sok hasznos ismeretre tesz szert, amelyeket felhasznál majd a szaktantárgyak tanulásakor, illetve a későbbiekben, a gyakorlati munkája végzése közben. A tantárgyi kalauz készítésénél azt tartottuk szem előtt, hogy Ön lépésről-lépésre megismerve a tananyagot, egyre nagyobb jártasságot szerezzen a feladatmegoldások terén, úgy mintha közvetlenül a szemináriumon ülve hallgatná a tanára magyarázatait. Ebben a félévben támaszkodunk az Analízis, a Valószínűségszámítás és a Statisztika I. keretében tanultakra. Reméljük, segíthetünk Önnek abban, hogy sikeren készüljön fel a tanulmányait lezáró vizsgára. Hogyan használja a Tantárgyi kalauzt? A tantárgyi kalauz célja, hogy megkönnyítse elsajátítani Önnek a Statisztika II. tantárgyat, és segítségével teljesítse a követelményeket, valamint támogassa Önt a vizsgára való eredményes felkészülésben. Ehhez a tananyagot kisebb egységekre, leckékre osztottuk fel. A leckék feldolgozása az elmélet megtanulásával kezdődik, majd az elmélet gyakorlati alkalmazására kerül sor, feladatmegoldásokon keresztül. Pontosan megjelöljük, hogy az adott lecke megértéséhez mely részeket kell elolvasnia a tankönyvből, és mely feladatokat kell megoldania a példatárból. Esetenként saját feladatokat is adtunk. Ha az eredményeket ellenőrizni szeretné, a feladat végén felhívjuk a figyelmét arra, hogy hol találja a megoldását. Egyes leckéknél felhívjuk a figyelmet a korábban más tantárgyak keretében - megtanultak alkalmazására. Ha szükséges, vegye elő ismét a régebbi tananyagot, és ismételjen! Kérjük, gondosan olvassa el a lecke elején található célokat, ezek ugyanis tartalmazzák a tantárgyat lezáró kollokvium követelményeit is! A tantárgy kreditszáma A tantárgy 4 kredites, tehát összesen 10 tanulási óra szükséges a feldolgozásához. Az egyes leckéknél külön is jeleztük, hogy mekkora időráfordítást igényelnek Öntől. 5

A tantárgy tanulásának célja, hogy a kurzus végére Ön megértse a statisztikának a gazdasági folyamatokban betöltött szerepét; felismerje a megadott statisztikai adatokat; el tudja dönteni, hogy a megadott statisztikai adatokat milyen statisztikai elemzési eszközökkel lehet feldolgozni; képes legyen elvégezni a szükséges számításokat (kiszámítani a megfelelő statisztikai mutatószámokat); képes legyen értékelni, és szövegesen elemezni a kiszámított statisztikai mutatószámokat. A tantárgy lezárása A szorgalmi időszak aláírással és kollokviummal zárul. Az aláírás és vizsgára bocsátás feltétele a két beküldendő feladatsor hiánytalan beadása az előre egyeztetett időpontra. A vizsgakövetelmény: kollokvium. A kollokviumon a számonkérés írásban történik, egy 60 perces dolgozat formájában. A dolgozatban elérhető maximális pontszám 50 pont. Az értékelés az elért teljesítményszázalék alapján történik: 0 50% elégtelen (1) 51 66% elégséges () 67 79% közepes (3) 80 89% jó (4) 90 100% jeles (5) A számonkéréskor saját számológép és központilag kiosztott képletgyűjtemény használható. A kollokviumi feladatsor felépítése: 5 feladatban a tananyag hosszabb számításokkal, részletesebb elemzésekkel járó részeit kérjük számon feladatonként 6-15, összesen 50 pontért. Ezek a tananyagrészek: 1. feladat: Mintavétel, becslés (Egyszerű véletlen mintából, vagy rétegzett mintából.). feladat: Hipotézisvizsgálat (Paraméteres próbák: átlagra, arányra; Nemparaméteres próbák: illeszkedésre, függetlenségre.) 3. feladat: Kétváltozós regresszió (Lineáris vagy nemlineáris kapcsolat elemzése.) 4. feladat: Idősorok vizsgálata (Trend, szezonhatás, véletlen hatás) 5. feladat: Többváltozós korreláció- és regressziószámítás A kalauzhoz mellékelünk egy kidolgozott kollokviumi feladatsort. 6

Hogyan tanuljon? Legfontosabb, hogy rendszeresen és alaposan! Ehhez a tantárgyi kalauzban sok segítséget nyújtunk. A bevezető rész végén talál egy táblázatot, ennek alapján készítsen magának tanulási ütemtervet! Az ütemtervet készítheti a saját füzetébe, vagy a főiskolától kapott naptárba. Fontos, hogy az Ön által választott tempó szerint, a tervezett vizsgaidőpontra minden leckét befejezzen, és a beküldendő feladatokat időben elküldje a főiskolára. Figyeljen arra, hogy egyenletesen ütemezze az anyagot. Javasoljuk, hogy a leckék megtanulásánál kövesse a tantárgyi kalauz útmutatásait. Először a megjelölt kisebb egységeket tanulja meg a könyvből, majd oldja meg az önellenőrző feladatokat. Ezeket úgy állítottuk össze, hogy ellenőrizze az elmélet megértését, gyakorlati alkalmazását. Ezeken kívül a példatárból érdemes minél több példát önállóan is megoldani, a különböző feladat-megoldási technikák gyakorlásához. Végül mindig ellenőrizze a tudását a kijelölt feladatatok alapján. Csak akkor lépjen tovább egy-egy leckéről az újabbhoz, ha a megfelelő tudásszintet már elérte. Ha egy önellenőrző feladatot nem tud megoldani, akkor érdemes azzal az anyagrésszel tovább foglalkozni, nehogy a vizsgáztató hívja fel a hiányosságaira a figyelmet! Amennyiben úgy érzi, hogy nem sikerül megoldani egy feladatot, keresse meg tanulótársait, bizonyára tudnak segíteni. További lehetőség, hogy írjon vagy telefonáljon a főiskola megadott címére, telefonszámára, és mi segítünk Önnek. A beküldendő feladatot mindenképpen oldja meg! Ezzel egyrészt gyakorol, másrészt még a vizsga előtt egy szakértő tutorunk értékeli munkáját. Ezzel időben segíthet helyre tenni bizonyos félreértéseket, feltárni olyan hiányosságokat, melyek a vizsga eredményességét veszélyeztetik. Ezen kívül tanácsokat is kaphat, hogy miként javíthatja teljesítményét. Kérjük, hogy a megoldásokat lehetőleg e-mail-ben esetleg kék tintával írottan postai úton küldje el a főiskolára, a tantárgy felvételekor egyeztetett címre. A dolgozat megérkezése napján (legkésőbb másnap) e-mailben visszajelzést kap arról, hogy az írásművet megkaptuk. Szöveges értékelésre egy héten belül számíthat. A tanuláshoz a következő kiadványokat használja Általános statisztika II. Főiskolai tankönyv (szerkesztette: Korpás Attiláné dr. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1997.) Általános statisztika példatár II. Főiskolai tankönyv (4 49/P) (Molnár Máténé dr. Tóth Mártonné dr. Nemzeti Tankönyvkiadó, Bp. 001.) Képletgyűjtemény: A tantárgyi kalauz I. melléklete Általános statisztika I. Főiskolai tankönyv (szerkesztette: Korpás Attiláné dr. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1996.) Általános statisztika példatár I. Főiskolai tankönyv (4 491/P) (Molnár Máténé dr. Tóth Mártonné dr. Nemzeti Tankönyvkiadó, Bp. 001.) A két utóbbi kötetre csak a 7. leckében lesz szüksége. Ajánlott irodalom Kerékgyártó Györgyné Mundruczó György Sugár András: Statisztikai módszerek és alkalmazásuk a gazdasági, üzleti elemzésekben (AULA 719) 7

A tantárgy tanulás-támogatása, azaz milyen segítséget kap tanulmányai során A tantárgyat alapvetően önállóan kell elsajátítania, hagyományos előadás, vagy gyakorlat nem tartozik hozzá. A tantárgy feldolgozása során lehetősége lesz egy alkalommal személyesen konzultálni szakértő tutorával, ennek részleteiről a tantárgy felvételekor tájékoztattuk. Ehhez fel kell vennie a kapcsolatot a képzésszervező tutorral, akinek nevét és elérhetőségét a tantárgy felvételekor megadtuk Önnek. Tanulási ütemtervem A tanulási ütemterv elkészítése előtt arra kérjük, hogy vegye elő a füzetét és naptárát, valamint nyomtassa ki a táblázatot! A kialakított tervet a tantárgy tanulása közben tegye jól látható helyre! Munkája megkönnyítésére az alábbi tanulási ütemtervet állítottuk össze Önnek: Lecke száma Lecke címe Időigény Típus Mikor tanulom? l. Mintavétel 6 óra Feldolgozó. Statisztikai becslések egyszerű véletlen minta esetén 3. Statisztikai becslések rétegzett minta esetén 4. Hipotézisvizsgálat. Paraméteres statisztikai próbák 5. Hipotézisvizsgálat. Nemparaméteres statisztikai próbák 1 óra Feldolgozó 1 óra Feldolgozó 10 óra Feldolgozó 8 óra Feldolgozó 6. Beküldendő feladatok I. 4 óra Beküldendő 7. A korreláció elemzése csoportosított adatokból kiindulva. Kétváltozós korrelációszámítás 8. Kétváltozós regressziószámítás: lineáris regresszió 9. Kétváltozós regressziószámítás: nemlineáris regresszió 8 óra Feldolgozó 1 óra Feldolgozó 8 óra Feldolgozó 10. Többváltozós regressziószámítás 8 óra Feldolgozó 11. Többváltozós korrelációszámítás 8 óra Feldolgozó 1. Beküldendő feladatok II. 4 óra Beküldendő 13. Idősorok összetevőinek vizsgálata: trendszámítás 14. Idősorok összetevőinek vizsgálata: a szezonhatás vizsgálata, a véletlenhatás kimutatása, előrejelzés készítése 10 óra Feldolgozó 10 óra Feldolgozó Reméljük, bevezetőnkben minden lényeges információt megtalált, és nincs akadálya annak, hogy elkezdje az első lecke feldolgozását! Jó tanulást, sikeres felkészülést kívánunk Önnek! 8

1. lecke Mintavétel Bevezetés Ebben a leckében a mintavétel alapfogalmaival és a véletlen mintavételi eljárásokkal ismerkedünk meg. Megtanuljuk, miről ismerhetők meg az egyes mintavételi eljárások, átismételjük az átlag és a szórás számítását. Az új sokasági jellemzők kiszámításában segítségére lesznek a Valószínűségszámítás és a Statisztika I. keretében megismert alapfogalmak. A lecke feldolgozásához szükséges idő: 6 óra A lecke feldolgozása után Ön képes lesz definiálni a mintavétel legfontosabb alapfogalmait; megkülönböztetni a véletlen mintavételi eljárásokat; meghatározni a különböző rétegzett minták rétegenkénti elemszámát; kiszámítani a minta átlagát, szórását; kiszámítani és értelmezni a mintaátlag standard hibáját; megítélni a korrekciós tényező szükségességét. Kérjük, gondosan tanulmányozza a tankönyv 9-13. oldalain a Mintavétel: Alapfogalmak, jelölések című tananyagot! Soknak tűnhet az új fogalmak mennyisége, de higgye el, hogy ismeretük fontos a feladatok megértéséhez. Az 1. önellenőrző feladat megoldásával ellenőrizheti, hogy hogyan sikerült elsajátítani őket. 1. önellenőrző feladat Egészítse ki az alábbi mondatokat, úgy, hogy az alattuk lévő fogalmak betűjeleit a számokkal párosítja! Egy fogalom több mondatba is illeszkedhet, és lesz, amelyik sehová! Azt a sokaságot, amelyre a mintavétel segítségével következtetni szeretnénk, 1 -nak hívjuk. Azt a sokaságot, amely alapján a következtetéseket levonjuk, -nak nevezzük. Elemszámuk alapján megkülönböztetünk 3 és 4 sokaságot. 5 sokaság esetén az egyedeket, ill. azok ismérvértékeit nagyság szerint sorba rendezhetjük, és a minta fontos jellemzője a 6, amely azt mutatja meg, hogy a sokaság elemeinek mekkora hányada kerül a mintába. A minta elemszáma alapján azt mondhatjuk, hogy n 100 már 7 mintának tekinthető, azaz az egyes mintajellemzők eloszlásfüggvényei már közelítőleg 8 eloszlásúvá válnak. Fogalmak: a) véges; b) alapsokaság; c) kiválasztási arány; d) nem normális; e) kis; f) mintasokaság; g) nagy; h) végtelen; i) normális. 9

A következőkben figyelmesen olvassa el a tankönyv 13-17. oldalain a Véletlen mintavételi eljárások című részt!. önellenőrző feladat Párosítsa össze az alábbi rétegzési eljárásokat és képleteket! a) Arányos elosztás b) Nem arányos elosztás (általában) c) Egyenletes elosztás d) Optimális elosztás 1) ) n n n j j N N j N jσ j n N σ j j 3) 4) n j n n j N N n M j Ugye, sikeresen megoldotta a. önellenőrző feladatot? Most olvassa el a 1-7. oldalak anyagát, amely a mintajellemzők fontosabb tulajdonságaival foglalkozik! A következő feladatok segítségével ismételheti a tanultakat. 3. önellenőrző feladat Egészítse ki az alábbi mondatokat, úgy, hogy az alattuk lévő fogalmak betűjeleit a számokhoz párosítja! Minden fogalomhoz egy képlet is tartozik. A mintaátlag szórását a mintaátlag 1 -jának nevezzük. Számítása egyszerű véletlen mintavétel esetén, konkrét mintából: Egyszerű véletlen mintavétel esetén a mintaátlag szórása jelentős mértékben függhet a 3 -tól (számítása: 4 ), amely ha viszonylag magas (nagyobb, mint 5%), akkor 5 alkalmazására feltétlenül szükség van, melynek számítása: 6 A) standard hiba, B) korrekciós tényező, C) kiválasztási arány. a) n 1 b) σ x N σ n c) n N 4. önellenőrző feladat Oldja meg a példatár 7. feladatát! Értelmezze a standard hibát! 10

5. önellenőrző feladat A példatár 8. példája alapján oldja meg az alábbi feladatokat! a) Számítsa ki az átlagos születési súlyt! b) Mennyi az egyes újszülöttek születési súlyának eltérése az átlagostól? c) Számítsa ki és értelmezze a standard hibát! Befejezés A következő leckében azt tanuljuk meg, hogyan lehet egy konkrét mintából következtetni az alapsokasági jellemzőkre, valamint, hogyan lehet meghatározni a szükséges mintaelemszámot, adott feltételek mellett. 11

Megoldások 1. megoldás A helyes megoldás: 1-b; -f; 3-a; 4-h; 5-a; 6-c; 7-g; 8-i.. megoldás A helyes megoldás: a)-3.; b)-1.; c)-4.; d)-. 3. megoldás A helyes megoldás: 1-A); -b); 3-C); 4-c); 5-B); 6-a). 4. megoldás Kiválasztási arány: n / N 0,04 tonna / tonna 0,0 % Az alacsony kiválasztási arány miatt korrekciós tényezőt nem alkalmazunk. 7 0 +... + 1 9 x 4 db 400 σ 7(0 4) +... + 1(9 4) 400 σ x σ 1,83 0, 09 db n 400 1,83 db Az egyes mintaátlagok átlagosan 0,09 db-bal térnek el az ismeretlen alapsokasági átlagtól. 5. megoldás A magas kiválasztási arány (10%) miatt korrekciós tényezőt is alkalmazunk. 17 150 +... + 8 450 a) x 313 gramm 170 b) c) σ σ 17(150 313) σ n n 1 N +... + 8(450 313) 170 577,6 x 1 0,1 15, 4 170 gramm 577,6 gramm Az egyes mintaátlagok átlagosan 15,4 gramm-mal térnek el az ismeretlen alapsokasági átlagtól. 1

. lecke Statisztikai becslések egyszerű véletlen minta esetén Bevezetés Ebben a leckében megismerkedünk a statisztikai becslés alapfogalmaival, a becslőfüggvényekkel, az intervallumbecsléssel, valamint a minta elemszámának meghatározásával. A lecke feldolgozásához szükséges idő: 1 óra A lecke feldolgozása után Ön képes lesz meghatározni a becslés hibahatárát (maximális hibáját); a sokaság várható értékének intervallumát; a sokasági értékösszeg konfidencia-intervallumát; a sokasági arány - és ebből a gyakoriság - konfidencia-intervallumát; a minta elemszámát adott feltételek mellett. Olvassa el figyelmesen a tankönyv 30-31., és a 35-47. oldalak anyagát! Megjegyzés az olvasottakhoz: Ugye megfigyelte, hogy a továbbiakban a standard hiba meghatározásához a korrigált tapasztalati szórást ( s -t) használjuk? Ugyanezt alkalmazza az alábbi feladatok megoldásakor is! A számológépén vagy s vagy σ n-1 jelöli a megfelelő műveletet. 1. önellenőrző feladat Oldja meg a példatár 4. példájának a) és b)/1. feladatait! Mennyi a becslés maximális hibája? 1. megoldás A feladatok megoldását a példatár 96. oldalán ellenőrizheti. A kiegészítő kérdésre a választ a lecke végén találja meg.. önellenőrző feladat Oldja meg a példatár 6. a) feladatát!. megoldás Az eredményt megtalálja a példatár 97. oldalán. 13

3. önellenőrző feladat Oldja meg a példatár 8. a) feladatát! Az átlag eredményét az első lecke 5. feladatának megoldásánál találja, de a szórást most már az s alapján számolja ki! 3. megoldás A megoldást a példatár 97. oldalán ellenőrizheti, amelyhez kiegészítést is talál a lecke végén. 4. önellenőrző feladat Oldja meg a példatár 11. a) feladatát! 4. megoldás Az eredményt ellenőrizheti a példatár 98. oldalán. A lecke végén talál néhány részeredményt is. A következőkben tanulmányozza a tankönyv 47-48. oldalait, ahol megismerkedhet a sokasági értékösszeg becslésével! A következő feladatok megoldásával ellenőrizheti tudását. 5. önellenőrző feladat Oldja meg a példatár 1. a) feladatát! 5. megoldás A megoldást a példatár 98-99. oldalain ellenőrizheti. 6. önellenőrző feladat Oldja meg a példatár 16. feladatát! 6. megoldás A megoldás a példatár 100. oldalán található. Tegye próbára tudását! Olvassa el a tankönyv 49-51. oldalak anyagát, ahol a sokasági arány becsléséhez talál útmutatást! 7. önellenőrző feladat Oldja meg a példatár 6. b) feladatát! 7. megoldás A megoldást a példatár 98. oldalán ellenőrizheti. 14

8. önellenőrző feladat Készítse el a példatár 8. b) feladatát, a következő kiegészítéssel: Becsülje meg 95%-os megbízhatósággal a koraszülöttek maximális számát! 8. megoldás A megoldást elolvashatja a példatár 98. oldalán, valamint a lecke végén. Tanulmányozza a tankönyv 63-64. oldalait, ahol a minta elemszámának meghatározási módjaival ismerkedhet meg! Alkalmazza a megtanultakat a következő önellenőrző feladatok megoldásánál! 9. önellenőrző feladat Oldja meg a példatár 11. b) feladatát! 9. megoldás A megoldást ellenőrizeti a példatár 98. oldalán, valamint a lecke végén. 10. önellenőrző feladat Oldja meg a példatár 1. b) feladatát! 10. megoldás A megoldást megtalálja a lecke végén. További gyakorlási lehetőséget kínálnak a következő feladatok: 9., 10.a) és b), 14., 15.a), 17. Befejezés Nagyon sokat tanult ebben a leckében! Pihenjen egy kicsit, majd vágjon bele az új tananyagba! Tovább folytatódik a becslés, de most már rétegzett minták alapján. 15

Megoldások 1. megoldás Kiegészítés: kis minta student-t eloszlás t érték kikeresése, n-1 szabadságfok és p 1-α/ mellett. A becslés maximális hibája: 0,034 liter/100 km. 3. megoldás Kiegészítés: nagy minta standard normális eloszlás z érték kikeresése, p 1-α/ mellett. α 5% z 0,975 1,96 4. megoldás Részeredmények: s 13,87 z,01 s x 1,7,55 8. megoldás A kiegészítő feladat megoldása: N meghatározása a kiválasztási arány ismeretében: 170 / 0,1 1700 fő 95%-os megbízhatósági szinten a koraszülöttek maximális száma: NX max :1700 0,108 1371,6 137 fő 9. megoldás Ha a becslés pontosságát a kétszeresére kívánjuk növelni, a maximális hibát a felére kell csökkenteni: /,55 / 1,75 új maximális hiba Új z érték: z 0,9875,4 z s N nem ismert, ezért az új mintaelemszám meghatározására a n képletet használjuk 10. megoldás A példatári megoldás sajnos nem helyes. Ön is figyeljen arra, hogy az új mintaelemszám meghatározása mindig a megváltozott feltételekkel számítandó! Új feltétel: / 0,07 / 0,035. Az N ismert, és a kiválasztási arány (50/850 5,9%) nagyobb, mint 5%, ezért az alábbi módon számolunk: N t s 850,01 0,7 n 187,4 188 iroda N + t s 850 0,035 +,01 0,7 Figyelem! Az új minta elemszámának meghatározásakor mindig felfelé kerekítünk! 16

3. lecke Statisztikai becslések rétegzett minta esetén Bevezetés Mostanra már nagyon sok mindent megtanult arról, hogyan kell mintából megbecsülnie egy alapsokasági jellemzőt, és hogyan kell meghatározni a minta elemszámát. Eddig ezeket egyszerű véletlen kiválasztás alapján készült mintákból tette. Ebben a leckében arra is választ kap, mi a teendője rétegzett kiválasztásból származó minta esetén. A lecke feldolgozásához szükséges idő: 1 óra A lecke feldolgozása után Ön képes lesz meghatározni a rétegzett minta átlagát különböző rétegzési eljárások esetén; meghatározni a rétegzett minta standard hibáját; megadni az arányosan rétegzett minta: átlagának konfidencia-intervallumát, értékösszegének konfidencia-intervallumát, aránybecslésének konfidencia-intervallumát; megadni a nem arányosan rétegzett minta: átlagának konfidencia-intervallumát, értékösszegének konfidencia-intervallumát, aránybecslésének konfidencia-intervallumát; átszámítani az arányosan rétegzett mintában megadott rétegenkénti elemszámot az optimális rétegzés esetére. A következőkben olvassa el figyelmesen a tankönyv 54-6. oldalait, A konfidencia-intervallum meghatározása rétegzett mintavétel esetén című részt! Ugye kellően felkészült, hogy megoldja az alábbi feladatokat? 1. önellenőrző feladat Oldja meg a példatár 18. feladatát! 1. megoldás Az a) és b) feladat megoldását a példatár 100. oldalán, a c)-t a lecke végén ellenőrizheti.. önellenőrző feladat Oldja meg a példatár 19. feladatát! 17

. megoldás A feladatok megoldását megtalálja a példatár 101-10. oldalán. 3. önellenőrző feladat Oldja meg a példatár 0. feladatát! 3. megoldás A feladatok megoldása a példatár 10-103. oldalán található. Kiegészítést a lecke végén talál. 4. önellenőrző feladat Oldja meg a példatár 1. feladatát! 4. megoldás A feladatok eredményét a példatár 103. oldalán ellenőrizheti. A lecke végén olvashatja a kiegészítést és a standard hiba értelmezését. 5. önellenőrző feladat Oldja meg a példatár 4. feladatát a következő kiegészítéssel: Becsülje meg változatlan megbízhatósági szinten, mennyi a régióban az összes javítási és szolgáltatási kiadás minimális összege, ha a vizsgált régióban összesen 750 000 a háztartások száma! 5. megoldás A feladatok eredményét részben a példatár104. oldalán, részben a lecke végén ellenőrizheti. Javasoljuk, ismételje át a tankönyv 17. oldalán található, a Neymanféle optimális elosztásról szóló szakaszt! A következő feladat az arányos rétegzésről az optimális rétegzésre történő áttérést gyakoroltatja. 6. önellenőrző feladat A példatár 19. példájához visszatérve, válaszoljon az alábbi kérdésekre: Mennyi lenne a rétegenkénti elemszám optimális rétegzés esetén, és hogyan alakulna ekkor a standard hiba? 6. megoldás A megoldást a lecke végén ellenőrizheti. További gyakorlási lehetőséget kínálnak a példatárban a következő feladatok:., 3., 7. Befejezés A következő lecke a hipotézisvizsgálat témakörébe kalauzol el bennünket. Mivel hipotéziseinket minta alapján ellenőrizzük, felhasználjuk azokat az ismereteket, amiket az előző leckékben tanultunk. 18

Megoldások 1. megoldás c) megoldás: A példatári megoldás, sajnos, nem helyes. A feladat csupán a városi háztartásokra vonatkozott. Egy rétegen belül a kiválasztás egyszerű véletlen mintavétellel történik, tehát a standard hiba a már ismert módon számítandó: s 0 sx( városiháztartások) 0, 67 ezerft n 900 Ekkor a városi háztartások összes élelmiszerkiadásának konfidencia-intervalluma: 180 (106 ± 0,67) 18838,8;1931, millió [ ] Ft 3. megoldás Kiegészítés az a) 1. megoldáshoz: A 5-35 ezer Ft jövedelmű háztartások mintabeli aránya: p 50/500 0,5 50%. 0,5 0,5 s p 0,0 500 z 0,985,17 Az átlagos baromfihús fogyasztás és az átlagbecslés standard hibája a rétegben:,6 x 7 sx 0,164 50 4. megoldás Optimális rétegzés történt, mert 7 : 704 : 80! Így a mintaátlagot az alapsokaság megoszlásával súlyozzuk! A standard hiba értelmezése: Az egyes mintaátlagok átlagosan 0,8 százalékponttal térnek el az ismeretlen alapsokasági átlagtól. 5. megoldás Optimális rétegzés történt, mert 1000 : 1500 0,6! Így a mintaátlag: x 0,6 30 + 0,4 5 8 ezerft A kiegészítő kérdés megoldása: NX min : 750000 7,9 095 millióft 6. megoldás Válasz a kiegészítő kérdésre: Az optimális rétegzés rétegenkénti elemszámát a Neyman-féle képlettel határozzuk meg. Ehhez először az alapsokasági rétegenkénti elemszámokat (N j ) kell kiszámítanunk. Ezeket a példatár 101. oldalán lévő, megoldást segítő táblázatban megtaláljuk: A gépkocsik életkora (év) A gépkocsik száma a sokaságban (Nj) - 700 3-5 15 6-15 9875 16-5300 Összesen 0 000 19

A Neyman-féle képletbe rétegenként behelyettesítünk: N j s j 700 6 n( ) n 1600 57,54 57 N j s j 700 6 + 15 18 + 9875 4 + 5300 30 15 18 n ( 3 5) 1600 135,86 136 700 6 + 15 18 + 9875 4 + 5300 30 n 841,8 84 (6 15) n(16 ) 564,77 565 Összesen: 57+84+136+565 1600 Figyelem! Ha a kerekítési szabályoknak megfelelően járunk el, az elemszám1601 lesz. Ezért az első (vagy bármelyik másik) kategóriában lefelé kerekítünk, így már n 1600. Optimális rétegzés esetén a standard hiba a következő lesz: (Az N j / N adatok a megoldás táblázatában, a 101. oldalon megtalálhatók, innen helyettesítünk be!) 6 57 30 565 sx 0,135 1 +... + 0,65 1 0,89 57 700 565 5300 s 0,538 ezerft < s 0,568 ezerft x opt. xar. Tehát, optimális rétegzés esetén a standard hiba kisebb, mint arányos rétegzés esetén. 0

4. lecke Hipotézisvizsgálat. Paraméteres statisztikai próbák Bevezetés Ebben a leckében a hipotézisvizsgálattal ismerkedünk meg. Megtanuljuk hipotéziseinket matematikai formába ölteni, és azt is megismerjük, milyen lépések kellenek ahhoz, hogy a feltevésünk helyességét ellenőrizni tudjuk. Elsőként a paraméteres próbákkal foglakozunk. A lecke feldolgozásához szükséges idő: 10 óra A lecke feldolgozása után Ön képes lesz definiálni a hipotézisvizsgálat alapfogalmait; megfogalmazni a nullhipotézist és az alternatív hipotézist; kiválasztani a próba végrehajtásához a megfelelő próbafüggvényt; kiszámítani a próbafüggvény aktuális értékét; meghatározni a próbafüggvény lehetséges értékeinek tartományát (elfogadási tartományt); dönteni a nullhipotézisről és az alternatív hipotézisről; végrehajtani az egymintás statisztikai próbákat átlagra és arányra. Most pedig figyelmesen olvassa el a tankönyv 70-78. oldalait, a 78. oldalon lévő példáig! Ez a szakasz hipotézisvizsgálat alapfogalmaival ismerteti meg Önt. Ellenőrizze tudását a következő feladat megoldásával! 1

1. önellenőrző feladat Párosítsa össze az alábbi fogalmakat a megfelelő jelöléssel! Egy fogalomhoz több jelölés, ill. egy jelöléshez több fogalom is tartozhat! Fogalmak: a) Szignifikancia szint b) Nullhipotézis c) Elfogadási tartomány d) Kritikus értékek e) Baloldali kritikus tartomány f) Másodfajú hiba g) Alternatív hipotézis h) Kétoldali kritikus tartomány i) A próba megbízhatósági szintje j) Elsőfajú hiba k) Jobboldali kritikus tartomány Jelölések: 1. c a ; c f. 1-α 3. H 1 : µ m 0 4. α 5. H 0 : µm 0 6. [c a ; c f ] 7. H 1 : µ<m 0 8. β 9. H 1 : µ>m 0 Kérjük, olvassa el a tankönyv 85-91. oldalait! Ebben a szakaszban az átlagra vonatkozó próbákat ismerheti meg. Lássuk, mennyire volt eredményes a tanulás!. önellenőrző feladat Oldja meg a példatár 3. feladatát!. megoldás A helyes megoldást megtalálja a lecke végén. 3. önellenőrző feladat Készítse el a példatár 33. a) feladatának megoldását! 3. megoldás A megoldást a példatár 106. oldalán ellenőrizheti. Kiegészítést a lecke végén talál. 4. önellenőrző feladat Oldja meg a példatár 35. feladatát! 4. megoldás Megoldását ellenőrizheti a példatár 106. oldalán. Kiegészítést a lecke végén talál.

5. önellenőrző feladat Olvassa el a példatár 38. példáját, majd oldja meg az alábbi feladatot! Ellenőrizze 5%-os szignifikancia-szinten azt a feltevést, hogy a gumiabroncsok élettartama legalább 80 ezer km! 5. megoldás A megoldást a lecke végén találja. További önellenőrzésre alkalmas példatári feladatok: 34., 36., 39., 41., 4. Következzenek a tankönyv 93-95. oldalai! Ebben a szakaszban az arányra vonatkozó próbákat ismerheti meg. Most remekül kamatoztathatja az előző részben megtanultakat. Ellenőrizze tudását a következő feladatok megoldásával! 6. önellenőrző feladat Oldja meg a példatár 43. feladatát! 6. megoldás Munkáját ellenőrizheti a példatár 107. oldalán. 7. önellenőrző feladat Oldja meg a példatár 45. feladatát! 7. megoldás A jó megoldást a lecke végén ismerheti meg. 8. önellenőrző feladat Oldja meg a példatár 47. feladatát! 8. megoldás A válaszát ellenőrizze a példatár 107. oldalán. Kiegészítést a lecke végén talál. Önellenőrzésre alkalmas példatári feladat még a 46. is. Befejezés A következő leckében a nemparaméteres próbákkal ismerkedünk meg. Az eddig megtanultak hasznos segítőink lesznek az új anyag elsajátításában. 3

Megoldások 1. megoldás A helyes megoldás: a)-4.; b)-5.; c)-6.; d)-1.; e)-7.; f)-8.; g)-3.,7.,9.; h)-3.; i)-.; j)-4., k)-9.. megoldás m 0 7,75 σ 0,75 n 5 x 7,5 s 0,85 α 0,05 1. lépés: Hipotézisek felírása H0 : µ 7,75 ( Megfelel a szabványnak...) H1 : µ 7,75 ( Nem felel meg a szabványnak...). lépés: Próbafüggvény kiválasztása Mivel σ ismert, z-próbát alkalmazunk: x m0 7,5 7,75 z0 3,33 σ 0,75 n 5 3. lépés: Elfogadási tartomány kijelölése Kétoldali kritikus tartomány esete: z 0,975 1,96 Elfogadási tartomány: [-1,96 ; 1,96] 4. lépés: Döntés a nullhipotézis helyességéről A z 0 nem eleme az elfogadási tartománynak, így a nullhipotézist elvetjük, a fogkrém phértéke 5%-os szignifikancia-szinten nem felel meg a szabványnak. 3. megoldás Kiegészítés a megoldáshoz: - mivel σ ismert, z-próbát alkalmazunk; - az alternatív hipotézis alapján jobboldali kritikus tartományunk lesz; - a kritikus értéket 1-α mellett keressük meg, tehát z 0,95 1,645 4. megoldás Kiegészítés a megoldáshoz: - mivel σ nem ismert és kis mintánk van, t-próbát alkalmazunk; - szabadságfok: n-130-19 - az alternatív hipotézis alapján jobboldali kritikus tartományunk lesz; - a kritikus értéket 1-α mellett keressük meg, tehát t 9 0,95 1,7 5. megoldás H H 0 1 : µ 80 : µ < 80 ( Az élettartam nem kisebb 80 ezer km nél) (... kisebb...) 78 80 z 0 1,11 18 100 Baloldali kritikus tartományunk lesz, z 0,95 1,645, tehát az elfogadási tartomány: [-1,645 ; [ A nullhipotézist elfogadjuk, 5%-os szignifikancia-szinten a gumiabroncsok élettartama megfelel az elvárásnak, nem kisebb, mint 80 ezer km. 4

7. megoldás P 0 0,15 15% k 80 n 500 p 80 / 500 0,16 α 0,05 H H 0 1 : P 0,15 : P > 0,15 ( Nem rendelkezik több 15% nál...) (15% nál több rendelkezik...) p P 0 0,16 0,15 z0( P 0 ) P0 (1 P0 ) 0,15(1 0,15) 500 0,63 n Elfogadási tartomány: ]- ; 1,645] A nullhipotézist elfogadjuk, 5%-os szignifikancia-szinten nem mondhatjuk, hogy a háztartások több mint 15%-a rendelkezik személyi számítógéppel. 8. megoldás p 08 / 400 0,5 H 0 : P 0,5 ( Nem építik meg...) H1 : P > 0,5 ( Megépítik...) 0,5 0,5 z 0( P 0 ) 0,8 0,5(1 0,5) 400 Elfogadási tartomány: ]- ; 1,645] 5

5. lecke Hipotézisvizsgálat. Nemparaméteres statisztikai próbák Bevezetés Ebben a leckében a nemparaméteres hipotézisvizsgálatokkal ismerkedünk meg. Ide soroljuk az illeszkedésvizsgálatot, a függetlenségvizsgálatot, valamint a varianciaanalízist. Továbbra is támaszkodunk a Valószínűségszámítás és a Statisztika I. keretében tanultakra. A lecke feldolgozásához szükséges idő: 8 óra A lecke elvégzése után Ön képes lesz ellenőrizni egy valószínűségi változó eloszlására vonatkozó állítás vagy feltételezés helyességét; elvégezni két minőségi ismérv függetlenségének hipotézisvizsgálatát ellenőrizni, hogy egy mennyiségi ismérv átlagos nagysága függ-e valamilyen minőségi ismérvtől Olvassa el figyelmesen a tankönyv 104-109. oldalain az illeszkedésvizsgálat menetét! Amennyiben szükséges, ismételje át a Statisztika I. tankönyvből a Sztochasztikus kapcsolatok című fejezetben a χ számítását! Következik a tudáspróba! 1. önellenőrző feladat Oldja meg a példatár 60. a) feladatát! Ennél a feladatnál még nyugodtan használhatja a tankönyvet. 1. megoldás A megoldás a példatár 110-111. oldalain szerepel.. önellenőrző feladat Oldja meg a példatár 61. a) feladatát, most már tankönyvhasználat nélkül!. megoldás A megoldást a példatár 11. oldalán ellenőrizheti. A lecke végén megtalálja a megoldás kiegészítését. 3. önellenőrző feladat Oldja meg a példatár 63. b) feladatát, ha ismert, hogy χ 13,07! 6

3. megoldás A helyes megoldást elolvashatja a példatár 113. oldalán. 4. önellenőrző feladat Oldja meg a példatár 67. feladatát! 4. megoldás A megoldás a példatár 113-114. oldalain található. 5. önellenőrző feladat Oldja meg a példatár 68. feladatát! 5. megoldás A megoldást a példatár 114. oldalán ellenőrizheti. Önellenőrzésre alkalmas példatári feladatok még: 64. c), 65. b), 69., 70., 71. Következzen a tankönyv 109-11. oldalain a függetlenségvizsgálattal foglalkozó rész! Hasznos lehet átismételni a Statisztika I. tankönyvből a Sztochasztikus kapcsolatok című fejezetben az asszociációról tanultakat. Ellenőrizze tudását a következő feladatok segítségével! 6. önellenőrző feladat Oldja meg a példatár 7. b) feladatát! 6. megoldás A megoldást leírjuk a lecke végén. 7. önellenőrző feladat Oldja meg a példatár 73. feladatát! 7. megoldás A megoldás ellenőrizhető a példatár 115. oldalán. Önellenőrzésre alkalmas példatári feladatok még: 74., 75. a), 76. a) A következőkben olvassa el a tankönyvben a Varianciaanalízis című részt a 11-118. oldalakon! Segítséget jelenthet, ha feleleveníti a Statisztika I. tankönyv a Sztochasztikus kapcsolatok című fejezetében a vegyes kapcsolatról tanultakat. 8. önellenőrző feladat Oldja meg a példatár 81. feladatát! 7

8. megoldás A megoldást a lecke végén ellenőrizheti. 9. önellenőrző feladat Oldja meg a példatár 86. feladatát, azzal a kiegészítéssel, hogy a részeredmények alapján töltse ki a varianciaanalízis táblát! 9. megoldás A megoldást a lecke végén olvasható. 10. önellenőrző feladat Oldja meg a példatár 89. c) feladatát! 10. megoldás Munkáját a lecke végén vesse össze az ott leírtakkal. További önellenőrzésre alkalmas feladatok a példatárban: 8. b), 83., 85. Befejezés A következő leckében a beküldendő feladatokat találja meg. Javasoljuk, hogy a gondosság és pontosság mellett törekedjen a gyorsaságra is, hiszen a vizsgán meghatározott idő alatt kell jól elkészítenie a feladatokat! 8

Megoldások. megoldás A táblázat kiegészítése: Élekor (év) Létszám, fő (n i ) z if x if x s Φ(z if ) P i P i ν i * np i ( n i ν ν i ) i 0 0-1,50 0,0668 0,0668 17 0,594 1 30 30-0,67 0,515 0,1847 46 5,565 31 40 90 0,17 0,5674 0,3159 79 1,5317 41 50 75 1,00 0,8413 0,739 68 0,706 51 60 30 1,83 0,9664 0,151 31 0,033 61 5 1,0000 0,0336 9 1,7778 Összesen 50 (n) - - 1,0000 50 10,157 x1 f x 0 38 z1 f 1,5 s 1 x f x 30 38 z f 0,67 s 1 Megjegyzés: A z 1f kiszámításakor a számlálóban az intervallum felső határa szerepel, ugyanígy a z f esetében is! Csupán a véletlennek köszönhető, hogy ezek a számadatok mindkét kategóriában megegyeznek a létszám adatokkal is. Φ(z 1f ) kikeresése: ha z 1,50 Φ(z) a táblázatban 0,933, de z negatív, így Φ(z 1f ) 1-0,933 0,0668 Φ(z f ) 0,5674-0,31590,515 (vagy a z táblázat alapján, az előző módon) szabadságfok: k-b-16--13 χ 0,95 (3)7,81 6. megoldás Megnevezés n ij n * ij Férfi Felsőfokú Középfokú Alapfokú 0 0 40 46,7 40 33,3 Nő Felsőfokú Középfokú Alapfokú 10 10,0 30 3,3 10 16,7 Összesen 150 150,0 9

Pl. n * 1 (70 100) : 150 46,7 Emlékeztetőül: A Statisztika I. keretében, az asszociációs kapcsolatoknál tanultuk a számítását, akkor a független elemet f * ij-vel jelöltük! H 0 : Pij Pi P j ( A két ismérv független egymástól, nincs kapcsolat...) H1 : Pij Pi P j ( A két ismérv nem független egymástól, van kapcsolat...) A példatári megoldás, sajnos, nem helyes, lássuk a pontos eredményt! ( n n ) * ij ij χ 0 6, 94 * n ij Szabadságfok: (s-1)(t-1) (-1)(3-1) α 0,05 Elfogadási tartomány: [0 ; 5,99] Válasz: 5%-os szignifikancia-szinten a függetlenségre vonatkozó nullhipotézist elvetjük, a minta alapján nem állíthatjuk, hogy a nemhez való tartozás és az iskolai végzettség között nincs kapcsolat. 8. megoldás H 0 : Nem szignifikáns a kapcsolat a település típusa és az élvezeti cikkekre fordított kiadás között (Nincs kapcsolat ) H 1 : Szignifikáns a kapcsolat a település típusa és az élvezeti cikkekre fordított kiadás között (Van kapcsolat ) n 70 x 1, 7 S K 14(3,4-1,7) + 30(1,0-1,7) + 6(1,6-1,7) 55,4 S B 13 3,6 + 9 3, + 5 3,4 755,44 szf 1 3-1 szf 70-367 F 3, 18 55,4 67 (0,95) F 0,46 754 Elfogadási tartomány: [0 ; 3,18],44 67 H 0 -t elfogadjuk, 5%-os szignifikancia-szinten nem szignifikáns a kapcsolat a település típusa és az élvezeti cikkekre fordított kiadás között. (Sajnos, a példatári válaszból kimaradt a nem szó!) 9. megoldás H 0 : Nem szignifikáns a kapcsolat az üdülési körzet típusa és a szállásdíj között. (Nincs kapcsolat ) H 1 : Szignifikáns a kapcsolat az üdülési körzet típusa és a szállásdíj között. (Van kapcsolat ) n 30 s 0,5 (adott volt!) x 3,4 S K 10 (,9-3,4) + +10 (3,6-3,4) 4,5 S s 0,5 S 30 0,5 7,5 30 S S K +S B S B 7,5-4,5 3,0 30

Varianciaanalízis-tábla: Összetevő Eltérés-négyzetösszeg Szabadságfok Becsült szórásnégyzet Külső S K 4,5 3-1 Belső S B 3,0 30-3 4,5 3,0 7 Teljes S 7,5 30-1 --- 4,5 F 0 0, 5 3 > F 7 (0,95) 3, 35,0 7 H 0 -t elvetjük, 5%-os szignifikancia-szinten szignifikáns a kapcsolat az üdülőkörzet és a szállásdíj között. 10. megoldás H 0 : Nem szignifikáns a kapcsolat a háztartások taglétszáma és az 1 főre jutó jövedelem nagysága között. (Nincs kapcsolat ) H 1 : Szignifikáns a kapcsolat a háztartások taglétszáma és az 1 főre jutó jövedelem nagysága között. (Van kapcsolat ) x 45,9 S K (549-45,9) + +8 (360-45,9) 145 68, S (teljes eltérés-négyzetösszeg) 434 300 S B 434 300-145 68, 89031,8 F 0 9,46 F,31 5 94 (0,95) 5%-os szignifikancia-szinten szignifikáns a kapcsolat a háztartások taglétszáma és az 1 főre jutó jövedelem nagysága között. 31

6. lecke Beküldendő feladatok I. A lecke feldolgozásához szükséges idő 4 óra, ebből a feladatok megoldása kb. 3 óra, a többi idő a megoldások letisztázásához szükséges. Amennyiben azt tapasztalja, hogy 3 óra kevésnek bizonyul a megoldáshoz, akkor érdemes gyakorolnia hasonló feladatokat. Bevezetés A következő feladatsor megoldásával ellenőrizheti az első öt leckében megtanultakat. A feladatsort igyekeztünk úgy összeállítani, hogy átfogják az eddig tanult tananyagot, és egyben segítsenek Önnek felkészülni az év végi számonkérésre. A feladatok típusa, nehézsége megfelel a vizsgakövetelményeknek. Javasoljuk a feladatok kinyomtatását. A feladatok megoldása során számológépet és Képletgyűjteményt használhat. Ha egy feladat megoldásakor elakad, folytassa egy másikkal, majd a végén térjen vissza a meg nem oldotthoz. Előfordulhat azért, hogy továbbra sem boldogul; ilyen esetben hívja segítségül a tankönyvet, a tantárgyi kalauz már megoldott önellenőrző feladatait. A lecke elvégzése után Ön képes lesz átlagot, értékösszeget becsülni egyszerű véletlen mintából, meghatározni a minta elemszámát megváltozott feltételek esetén; arányt, gyakoriságot becsülni egyszerű véletlen mintából; átlagot, értékösszeget becsülni arányosan rétegzett mintából; átlagot, értékösszeget becsülni nem arányosan rétegzett mintából; meghatározni a mintában a rétegek elemszámát optimális rétegzés esetén; átlagra, arányra vonatkozó hipotézisvizsgálatot végezni; normális és egyenletes eloszlásra vonatkozó hipotézisvizsgálatot végezni; minőségi ismérvek közötti kapcsolat hipotézisvizsgálatára; minőségi és mennyiségi ismérvek közötti kapcsolat hipotézisvizsgálatára. 3

Beküldendő feladatok (1) 1. Egy vállalkozás 1000 főt alkalmaz. Egyszerű véletlen mintavétellel vizsgálták a dolgozók megoszlását a havi nettó keresetek nagysága szerint: Kereset, ezer Ft/hó Létszám, fő 70 3 71 100 36 101 150 18 151 50 10 50 3 Összesen 90 Feladat: a) Számítsa ki és értelmezze a standard hibát! (5) b) A minta alapján adjon konfidencia-intervallumot a dolgozók átlagos keresetére, 95%-os megbízhatósági szinten! (5) c) Becsülje meg a vállalkozás által kifizetett összes bér maximális összegét! (1) d) Becsülje meg a havi 150 ezer Ft-nál többet keresők arányát és minimális számát, 95%- os megbízhatósággal! (5) e) Hány elemű mintát kell választani ahhoz, hogy változatlan megbízhatósági szinten az átlagbecslés pontosságát a kétszeresére növeljük? (3) (összesen 19 pont) 33

Beküldendő feladatok (-3). Egy 5000 főt foglalkoztató vállalatnál 00-ben a dolgozók állománycsoportja és havi nettó átlagkeresete közötti kapcsolatot vizsgálták, arányosan rétegzett minta alapján. A mintába került dolgozók adatai: Állománycsoport Létszám, fő Havi nettó kereset átlaga, szórása, ezer Ft ezer Ft Szellemi 0 90 30 Fizikai 80 65 1 Együtt 100.. Feladat: a) A minta alapján adjon konfidencia-intervallumot a dolgozók átlagos keresetére, 95,5%- os megbízhatósági szinten! (6) b) Számítsa ki, hogyan alakulna a rétegenkénti elemszám optimális rétegzés esetén? (3) c) Mennyi lenne ekkor (optimális rétegzés esetén) a standard hiba? () d) Vizsgálja meg, érdemes volt-e rétegezni a mintát! (4) (összesen 15 pont) 3. (Tankönyv 118. o.. feladata alapján.) Egy konzervgyárban a húskonzervek töltését automata gép végzi. A dobozok szabvány szerinti töltési tömege 450 gramm, szórása 10 gramm. A gyár egyik szállítmányából 30 darabból álló véletlen mintát vettek. A mintába került dobozok átlagos töltési tömege 448 gramm, a szórása 1 gramm. A dobozok töltési tömeg szerinti eloszlása normális. Feladat: Vizsgáljuk meg annak a hipotézisnek a helyességét, hogy a konzervek töltési tömege nem tér el a szabványtól (α 5%): a) a megengedett szórás felhasználásával, (6) b) a mintából becsült szórás felhasználásával! (5) (összesen 11 pont) 34

Beküldendő feladatok (4-5) 4. (Tankönyv 119. o. 4. feladata alapján.) Egy titkárnőképző hirdetésében azt állítják, hogy a végzettek legalább 90%-ának garantálják az elhelyezkedést. Az utolsó tanfolyamon 100-an végeztek, és közülük 84-nek sikerült elhelyezkedni. Feladat: Mondjunk véleményt a hirdetésről 5, illetve 1%-os szignifikancia-szinten! (összesen 8 pont) 5. Egy üzemben vizsgálták a dolgozók teljesítményét (%). Az eredményt teljesítménykategóriák szerint csoportosítva az alábbi táblázat tartalmazza: Teljesítmény % Létszám z if Ф(z if ) P i ν* χ i -85,0 8 -,1 0,0131 0,0131 85,1-95,0 16-1,68 0,0465 0,0334 90,1-95,0 34-1,16 0,130 0,0765 95,1-105,0 46-0,63 0,643 0,1413 100,0-105,0 78-0,11 0,456 0,1919 105,1-115,0 8 0,4 0,668 0,066 110,1-115,0 64 0,95 0,889 0,1661 115,1-15,0 56 1,47 0,99 0,1003 10,1-15,0 13,0 0,977 0,0480 15,1-7 1,0000 0,08 Összesen 400 - - 1,0000 A megfigyelés eredményei: az átlagos teljesítmény 106%, a szórás 9,5%. Feladat: Ellenőrizzük azt a feltevést, hogy a dolgozók teljesítménye normális eloszlású! (α5 %) (összesen 8 pont) 35

Beküldendő feladatok (6-7) 6. (Tankönyv 13.o. 14. feladata alapján) Egy piackutatás során különböző csomagolásban (A, B, C, D, E) mutattak be egy terméket. 300 vevő az alábbi megoszlásban választott: Csomagolás Vevők száma A 45 B 55 C 70 D 65 E 65 Összesen 300 Feladat: Ellenőrizze 5%-os szignifikancia-szinten, hogy egyenlő arányban választják-e az egyes csomagolási fajtákat! (összesen 6 pont) 7. Egy vállalatnál a dolgozók köréből (fő) származó 450 elemű véletlen mintáról az alábbi adatokat rögzítették: Iskolai végzettség szellemi Állománycsoport fizikai Összesen Felsőfokú 48 50 Középfokú 10 00 30 Alapfokú 5 75 80 Összesen 173 77 450 105, 39 A kapcsolatot jellemző mutató: C 0, 48 450( 1) Feladat: Vizsgálja meg, hogy a munkavállalók besorolása (állománycsoport) és az iskolai végzettség közötti kapcsolat szignifikánsnak tekinthető-e (α 5%)? (összesen 5 pont) 36

Beküldendő feladatok (8) 8. Egy 5000 főt foglalkoztató vállalatnál 00-ben a dolgozók állománycsoportja és havi nettó átlagkeresete közötti kapcsolatot vizsgálták, arányosan rétegzett minta alapján. A mintába került dolgozók adatai: Állománycsoport Létszám, fő Havi nettó kereset átlaga, szórása, ezer Ft ezer Ft Szellemi 0 90 30 Fizikai 80 65 1 Együtt 100.. Feladat: a) Állítsa össze a varianciaanalízis-táblát! (6) b) Vizsgálja meg, hogy a munkavállalók besorolása (állománycsoport) és havi nettó keresete közötti kapcsolat szignifikánsnak tekinthető-e (α 5%)? (5) (összesen 11 pont) Befejezés A megoldott feladatsort a tantárgy felvételekor meghatározott időpontra kell elküldenie tutorához, aki a feladatokat 1 héten belül kijavítja, és visszajelzést küld Önnek. Javasoljuk, hogy a hibás feladatokat újra oldja meg az értékelés segítségével. Ha ezek után is vannak kérdései, kérjen segítséget tutorától. Kérjük, hogy a megoldásokat jól olvashatóan letisztázva juttassa el tutorához. Természetesen, amennyiben Ön használja a számítógép egyenletszerkesztőjét, azzal is elkészítheti és elküldheti. A visszajelzésig se hagyja abba a tanulást, folytassa a következő leckével a munkát! A 7. leckében a mennyiségi ismérvek közötti sztochasztikus kapcsolatok vizsgálatával, a kétváltozós korrelációszámítással ismerkedünk meg. A közgazdasági elemző munkában kiemelkedő jelentősége van ennek a témakörnek. Továbbra is számítunk meglévő matematikai és statisztikai ismereteire! 37

7. lecke A korreláció elemzése csoportosított adatokból kiindulva. Kétváltozós korrelációszámítás Bevezetés Ebben a leckében a sztochasztikus kapcsolatok előző félévben megismert két fajtája (asszociációs és vegyes kapcsolat) után a harmadik, a korrelációs kapcsolat vizsgálatával, annak mutatószámaival, elemzési eszközeivel ismerkedünk meg. A lecke feldolgozásához szükséges idő: 8 óra A lecke feldolgozása után Ön képes lesz kiszámítani és szövegesen értékelni: a korrelációs hányadost és a determinációs hányadost; felsorolni és értékelni a kétváltozós korrelációszámítás mutatószámait; kiszámítani és értékelni: a kovarianciát, a lineáris korrelációs együtthatót, a determinációs együtthatót; vizsgálni a sorrendi skálán mért tulajdonságok közötti összefüggést a rangkorrelációs együtthatóval. A korreláció elemzése csoportosított adatokból kiindulva A lecke tanulásakor először az előző félévben használt Általános statisztika I. Tankönyv 3.4. A kombinációs táblák (a sztochasztikus kapcsolatok) elemzése fejezet 3.4.4. A korreláció elemzése csoportosított adatokból kiindulva pontjának feldolgozására és az ehhez kapcsolódó példatári példák (Általános statisztika példatár I.) megoldására lesz szükség. Javasoljuk, hogy ismeretei felfrissítésére olvassa el, ismételje át az Általános statisztika I. tankönyv 14-15. és 143-153. oldalán leírtakat, majd folytassa az e félévi új anyaggal a 154-160. oldalakon! Ugye emlékszik? Súlyozott átlag számításakor súlyként a súlyok megoszlási viszonyszámai is használhatók! 38

1. önellenőrző feladat Párosítsa a következő fogalmakat és meghatározásokat! Egy fogalomhoz több meghatározás is tartozhat! a) X b) Y c) korrelációs kapcsolat d) pozitív korreláció e) negatív korreláció A) ha X nagyobb értékeihez általában nagyobb Y érték tartozik B) az okozat szerepét betöltő mennyiségi ismérv C) független változó, tényező változó D) két mennyiségi ismérv közötti kapcsolat E) az ok szerepét játszó mennyiségi ismérv F) függő változó, eredmény változó G) ha X nagyobb értékeihez általában kisebb Y érték tartozik. önellenőrző feladat Párosítsa a következő fogalmakat és meghatározásokat! Egy fogalomhoz több meghatározás is tartozhat. a) determinációs hányados b) korrelációs hányados A) megmutatja, hogy milyen szoros a kapcsolat X és Y ismérvek között B) H (Y X) C) értéke 0 és 1 közé esik D) H (Y X) E) megmutatja, hogy az X ismérv mekkora hányadát magyarázza meg az Y ismérv szórásnégyzetének 3. önellenőrző feladat Oldja meg a példatár I. 154. feladatát! 3. megoldás A lecke végén. További gyakorló feladatok: példatár I. 15. a-b), 153. A folytatásban a mennyiségi ismérvek közötti kapcsolatvizsgálat speciális eszközeivel ismerkedünk meg. Ebben a leckében először a korrelációszámítás eszközeiről tanulunk. 39

Kétváltozós korrelációszámítás Az Általános statisztika I. tankönyvet és példatárat elteheti, a tanulást az Általános statisztika II. tankönyv és példatár tananyagával folytatjuk. Kérjük, olvassa el a tankönyv 14-137. oldalain található tananyagot és a példatár 49. oldalán a 97. c) feladatot, majd annak megoldását a 14. oldal alján! Megjegyzés az olvasottakhoz: A kovariancia és a lineáris korrelációs együttható mutatószámait (és a következő leckékben tanulandó mutatószámokat is) többféleképpen ki lehet számítani. Ezért talál a Képletgyűjteményben is többféle képletet. Ha a feladat az eredeti adatokat (X, Y) adja meg, Önre van bízva, hogy melyikkel számol. A későbbiekben a számítások megkönnyítésére részeredményeket kap, akkor ezek felhasználásával kell (tud) számolni. Vannak olyan tudományos számológépek, melyek statisztikai üzemmódban regressziós függvények meghatározására is alkalmasak. Amennyiben Ön ilyennel dolgozik, a feladatmegoldások során felhasználhatja részeredményeit (és ellenőrizheti a végeredményeket), de a számítások kijelölése akkor is szükséges, nem elég a végeredmény közlése. 4. önellenőrző feladat Párosítsa a következő fogalmakat és meghatározásokat! Egy fogalomhoz több meghatározás is tartozhat. a) korrelációszámítás b) kovariancia c) lineáris korrelációs együttható d) determinációs együttható A) nem dimenzió nélküli szám, nagysága függ a vizsgált ismérvek mértékegységétől, ezért csak a kapcsolat irányát mutatja, szorosságát nem B) a sztochasztikus kapcsolatok szorosságának mérésére szolgáló dimenzió nélküli mérőszám C) az átlagtól való eltérések szorzatának számtani átlaga D) célja a kapcsolat intenzitásának és irányának mérése E) a kapcsolat szorosságát és irányát is mutatja F) megmutatja, hogy hány %-ban magyarázza X változó Y változó szóródását A következő három önellenőrző feladatban a tananyagrészhez tartozó számításokat gyakorolhatja, különböző módon megfogalmazott kérdések/feladatok alapján. Nem kérjük a teljes feladatmegoldást, mert vannak a még nem tanult részekre vonatkozó kérdések is. Ezeket a következő leckében fogjuk kérdezni, ezért számítson rá, hogy ezekhez a feladatokhoz még visszatérünk, a most kiszámított eredményeket esetleg újrahasznosítjuk. 40