GÖRBÉK ÉS FELÜLETEK. (előadásvázlat)

Átírás

1 GÖRBÉK ÉS FELÜLETEK előadásvázla 8

2 . A görbék alakleírásának köveelménye A felhasználó és a számíógé CAD génye együesen szabják meg a modellező görbék álalánosíva: felüleek, esrmívek szükséges lajdonsága: Mnden le lehessen rajzoln a modellező görbével flexblás Gyorsan számíhaó legyen egyszerűen legyen dfferencálhaó és negrálhaó Kevés és nvaráns koordnáa rendszeről függelen adaal legyen megadhaó Szemléleesen jól köveheő módon haározzák meg a görbé Merőleges veüleük s eljesíse ezeke a feléeleke A modellező görbe menjen á bzonyos rögzíe onokon

3 . Görbemodellezés módszerek Imlc függvény rendszerrel: l: Vvan féle görbe, amely egy R sgarú gömb és R/ sgarú érnő henger áhaása: x x y y z R Rx Pl.: Exlc függvénnyel: r x [ x y x z x] Pl.: z = x y Paraméeres függvénnyel: r [ x y z ] Pl.:

4 Ponsorozaal és az az összeköő ör vonallánccal srng: Pl.: NC-ályák Slne kejése: szlájn alkalmazásával: A ör vonallánc helye harmadrendű olnom szakaszokkal, görbüleben s folyonosan összeköö onsoroza: 4

5 Szabályos görbék: geomera feléellel méran helyekkel, dfferencál-egyenleel, sb. meghaározva: Szabad formájú görbék: bonyoll görbék megjeleníésére: - nyo görbék - zár görbék nyo görbe zár görbe 5

6 . A görbék lajdonsága Illeszkedés megado onokra: neroláló görbe: áhalad a megado onokon. neroláló görbe Veszély: a onok közö a görbe erősen oszcllálha! aroxmáló görbe: csak bzonyos onokon halad á, máshol megközelí a megado onoka aroxmáló görbe 6

7 A görbeszakaszok csalakozása: nlladrendű: rányöréssel G elsőrendű: érnőben folyonosan G másodrendű: érnőben és görbüleben folyonosan G 7

8 A görbe alakjának módosíhaósága: globáls: bármlyen beavakozás a görbe eljes alakjá megválozaja lokáls: a görbe alakja egy ks részén s megválozahaó globáls módosíás lokáls módosíás 8

9 4. Lagrange nerolácó Legyen ado a érben n+ darab =,,,n on, melyeken a hozzájk rendel araméeres Lagrange-görbe az álalnk felveheő, =,,,n belső araméer érékeknél sorban áhalad. n n L Q j n j j j n j j n L ahol: 9

10 Pl. harmadfokú nerolácós olnom Vegyük észre, hogy az. onhoz arozó n ed rendű alaolnom az = araméernél érékű, a öbb megado onnál.

11 Összefoglaló érékelés A Lagrange-görbe: mnden konrollonon ámegy három, nem egy egyenesen fekvő on eseén arabola egy egyenesre eső onok eseén egyenes oszcllálha keőnél öbb on eseén az alakja függ a koordnáa rendszer megválaszásáól alakja szne eljesen függelen a konrollonok elhelyezkedéséől, az araméerekkel lehe az alakjá módosían.

12 5. Herme ív Harmadrendű nerolácós görbe : a kezdő- és végonja,, valamn kezdő- és végérnő vekora, alaján haározhaó meg. A görbe araméerének éréke --g válozk a görbe kezdeéől a végég. A görbe olnomja: a a a a A görbe derválja: a a a

13 A harmadfokú Herme-olnomok H sorvekora: * H H H H H r r r r r H r A olnomba vsszahelyeesíve és behelyeesíve: Az smer onok és érnők r vekora:

14 Herme-olnomok 4

15 Összefoglaló érékelés A Herme-ív: gyorsan, könnyen számíhaó kevés és nvaráns koordnáa rendszeről függelen adaal adhaó meg alakjá módosían a végérnők hosszával lehe, ez szemléleesen nem köveheő módon haározza meg a görbé 5

16 6. A decaselja szerkeszés Másodfokú arabola P onja szerkeszheő P, P, P ado onoka összeköő vonallánchoz, hogy megfelezzük mndké szakaszá, majd megfelezzük a P, P szakasz s, am egyúal érnő s az új onban P. 6

17 Magasabb fokú arabolákra s álalánosíhaó az eljárás: l. négy konrollon P, P, P, P eseén harmadfokú görbé kank. 7

18 7. Bézer-görbék Adoak P, P,, P n onok a érben. Mnden [,] számra legyen P = P, P = P,, P n = P n, ovábbá mnden j {,,,,n} és {,,,,n-j} és [,] eseén legyen P j = - P j- + P + j-. Ekkor az a görbe, melye a P n on leír, ahogy a véggf a [,] nervallmon, a P, P,, P n konrollonokhoz arozó Bézer-görbe, melye Q-vel jelölünk. A felső ndexek a olgon sorszámá, az alsók a on sorszámá jelölk. A konrollonok álal meghaározo sokszöge konrollolgonnak, az n számo a görbe rangjának nevezzük. Ez a defncó a konrollolgonok oldalanak /- arányú feloszásával eggyel csökkenő oldalszámú újabb konrollolgonoka eredményez. Végül az n-edk léésben már csak egyelen ono kank, am a Bézergörbe araméerhez arozó onja. Mn láhaó, a Bézer-görbe lényegében a de Caselja szerkeszés álalánosíásával áll elő. 8

19 Álalános araméerű Bézer-görbe szerkeszése: 9

20 A szakaszoszások: Elvégezve a behelyeesíéseke elhagyva a konrollonoknál a felső ndexe, a kövekező kélee kajk a Bézer-görbére: B Q ahol mnden egyes konrollon szorzója egy harmadrendű n= Bernsen-olnom.

21 Bersen-olnomok: B B B n n n B B n n n n B R B n ] [, n Tlajdonságok: Maxmm: n n n B

22 Különböző fokszámú Bézer-görbék szerkeszése: Fokszám = konrollon Fokszám = konrollon Fokszám = 4 konrollon Fokszám = 4 5 konrolon

23 8. Raconáls Bézer-görbék B-slne Ha a Bézer-görbe ké vagy öbb szomszédos konrollonja egybeesk, akkor a öbbszörös konrollon lászólag jobban vonzza a görbé. A P konrollonban alkalmazo különböző súlyényező w haása a Bézer-görbe alakjára:

24 Más magyarázaal élve: a konrollonokhoz -ől elérő akár örszám érékű w súlyényező s rendelheünk. Az lyen álalánosabb görbeoszály raconáls Bézer vagy B-slne görbének nevezk. n j n j j n n B w B w b r w : súlyényező. Bézer-görbe eseén w = w = = w n 4

25 B-slne görbék: egymással kacsolódó szegmensekből állnak 5

26 Összefoglaló érékelés A raconáls Bézer görbék B-slne: A konrollonjanak konvex brkán belül halad Szmmerks: fordío onsorrende és súlyényezőke megadva gyanaz a görbé kajk A végonokon nerolál Az affn araméer-ranszformácóval szemben nvaráns 6

27 9. NURBS-görbék Non Unform Raonal B-Slne: magyarl: nem-egyenközű raconáls Bézer-görbe. Ez egy még álalánosabb, raconáls B-slne-okból összefűzö görbeoszály jelen. Egyenközű B-slne Nem egyenközű B-slne 7

28 A legfonosabb új lajdonsága: a lokáls válozahaóság. A CAD-szofverek kernelje lyen görbékkel modellez mnden. 8

29 . Felüleek A görbemodellezés kerjeszése Paramerks leírás: =,v 9

30 . Ineroláló felüleek Lneárs neroáló vonalfelüle: ké nerolácós vagy aroxmácós görbe megfelelő araméerű onja összeköő egyenesek v álal meghaározo felüle. helyes rányíoság hbás rányíoság

31 A felüle araméeres egyenlee:, v r vr S ahol: és v A lneársan neroláló vonalfelüleek defnálásakor előfordló ks hba, ha nem azonos araméerű onoka köünk össze azaz nem azonos rányíoságú görbefeleke, akkor jellegzeesen orz, elcsavar felüleeke kank.

32 Coons-fol: Görbehálóra lleszkedő vonalfelüle Ado ké egymás mesző érbel görbeár: ; a ; b v; b v a

33 A megoldáshoz vonalfelüleeke használnk: S S a b,v,v v a b va v b v A vonalfelüleek összeadása + a szemben fekvő görbéke nerolálja, de nem haladnak á a másk ké haároló görbén.

34 A megoldáshoz a négy meszéson blneárs nerolácójá le kell vonn - a vonalfelüleekből. S, S, v S ab, v S, S, v 4

35 Tehá a felüleekkel elvégzendő műveleek: S, v S, v S, v S, v a b ab 5

36 Eredményül kajk a Coons-folo: Bzonyíhaó, hogy amennyben a csúcsonok nem esnek egy síkba, az S,v felüle Coons-fol vagy Gregory-felüle egy nyeregfelüle herbolks arabolod: 6

37 A blneársan nerolál Coons-folok összekacsolódásánál a haármen kereszrányú derválak nem mndg folyonosak, az egymással kacsolódó felüleelemek a csalakozó görbék menén felszakadhanak. Megoldáskén a bkbks súlyozás alkalmazzák, azaz eremfeléelkén megadják a haárgörbék menén a kereszrányú derválaka az érnőszalagoka s : felszakad felszakad Ebben az eseben a súlyfüggvények harmadfokú Herme-olnomok lesznek 7

38 Gordon-felüle: az álalánosío Coons-fol, amellyel bonyoll felüle s leírhaó anélkül, hogy elem folok hálójá kellene lérehozn. A Gordon-felüle a vonalfelüleek álalánosíására a Lagrange-nerolácó használja. 8

39 4. Mozgó görbe álal súrol neroláló felüleek Transzlácós felüleek: vezérgörbe menén elcsúszao generáló görbe álal súrol felüleek 9

40 Forgásfelüleek: engely körül elforgao generáló görbe álal súrol felüle 4

41 Válozó generáló görbe álal súrol felüleek: az a alagörbé véggoljk a ályagörbén úgy, hogy a P on mndg lleszkedjen a ályagörbre 4

42 5. Aroxmáló felüleek Elem Bézer-felüle: úgy kajk, hogy egy Bézer-görbé úgy mozgank, hogy konrollonja sznén Bézer-görbéken mozognak. A szemköz görbék konrolonjanak száma megegyezk. A kelekeze felüle megegyezk a haárgörbék álal meghaározo, blneársan nerolál Coons-folal. 4

43 Összefoglaló érékelés Elem Bézer felüle: A Bezer-felüle affín nvaráns egymással rokon lekézés, azaz síkra veíve a haároló síkgörbék megszerkeszheők a síkra veíe konrolonok alaján, A konrolonok konvex brkán belül marad, A haároló görbé olnomálsak. NURBS-felüle: olyan elem Bezer-felüle, amelynek haároló görbé B-szlájnok lokálsan s válozahaók. Összee szájnfelüle: elem Bezer-négyszögfelüleekből összeállío dfferencálhaó felüle 4

44 Bézer négyszögfelüle: egy mxn aróonú hálóval kéezzük, ahol a négyszögfelüle oldala alkoó olgonokra szerkeszheő Bézer vonalakra lleszkedk a felüle. A háló-onok álal haárol ks négyszögek herbolks arabolodok. A négyszögfelüleek belső onja készeres lneárs nerolácóval lehe meghaározn. A ks négyszögek, v araméerű belső onja segíségével eljnk a legfelső ks négyszöghöz, melynek,v araméerű belső onja a kerese felülee érn. 44

45 Bézer háromszögfelüle: egy n+n+/ aróonú hálóval kéezzük, ahol a háromszögfelüle oldala alkoó olgonokra szerkeszheő Bézer vonalakra lleszkedk a felüle. A háló onok álal haárol ks háromszögek síkok. A háromszögfelüleek belső onja készeres lneárs nerolácóval lehe meghaározn. 45

46 Irodalom [] Krsa Szemők: A számíógées ábrázoló geomera alaja Polygon [] Horváh Jhász: Számíógéel segíe géésze ervezés Műszak Könyvkadó [] Jhász: Számíógé geomera és grafka Mskolc Egyeem Kadó [4] Reman Nagyné: Geomera feladaok Műegyeem Kadó [5] Nagyné: CAD-skola TyoTEX Kf Elekronks Kadó [6] Newman Sroll: Inerakív számíógées grafka Műszak Könyvkadó 46

47 VÉGE 47