Bevezetés a MuPAD használatához
|
|
- Barnabás Bognár
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Bevezetés a MuPAD használatához 1. Bevezetés A segédanyag a MuPAD Light használatáról szól. (Az anyoghoz a MuPAD-ot Linux operációs rendszer alatt használtam.) A továbbiakban a MuPAD szó mindig erre utal. Indítsuk el a MuPAD-ot! A megjelenő ablakot a továbbiakban munkalapnak nevezem. Gépeljük be a kiszámítani kívánt kifejezést: >> sin(5*pi/3) A MuPAD nem képes a képernyőre formázott matematikai outputot írni az ASCII szinten felül. Az eredmény kijelzését a képernyőn kétféle módon lehet beállítani a View menüpontban. Ha a Pretty Print gomb be van nyomva, akkor egy viszonylag jól olvasható, több sorban nyomtatott kimenetet kapunk, ha pedig nincs benyomva, akkor egy nehezebben olvasható, de egysoros és így más programokba könnyebben átemelhető kimenetet kapunk. Például az előbb: -1/2*3^(1/2) Ebben a segédanyagban vagy az előbbi kimenet típust alkalmazom, vagy a könnyebb olvashatóság végett a kimenetet átírom L A TEX-be: 1/2 3 1/2 Egymás mellé több kifejezést is gépelhetünk, vesszővel, vagy pontosvesszővel elválasztva. (Próbáljuk ki, mi a különbség!) >> sin(pi/2),sin(pi/3) Ha a sort kettősponttal zárjuk (:), akkor az után a sor végrehajtódik, de az eredmény nem jelenik meg a képernyőn. A MuPAD-ban szigorú lineáris rendben lehet haladni fentről lefelé, egyszer már begépelt sort utólag nem lehet megváltoztatni. Ha korábban bevitt kifejezést újra be kell gépelnünk, akkor használjuk a Copy Paste módszert. A MuPAD megkülönbözteti a kis betűt és a nagy betűt, erre a gépelésnél vigyázni kell. Az előbbi példában láttuk, hogy a Ludolf-féle számot a PI gépelésével lehet elérni, azaz mindkét betű nagy. A rendszermagot a File menüben található Restart Kernel utasítással újraindíthatjuk, ekkor minden korábban bevitt anyag törlődik. Tanulmányozzuk a menüsorban található Help mezőt! Egy MuPAD parancsról rövid információt írhatunk ki a képernyőre az info paranccsal. PI 1
2 >> info(sin) info Részletes leírást (és példákat) is kaphatunk: >>?sin A megjelenő lapon kattintsunk rá a promt jelre (>>)! Ekkor az ott leírt parancs automatikusan megjelenik a saját MuPAD munkalapunkban.? 2. A MuPAD, mint számológép A kiszámítani kívánt kifejezést a zsebszámológépeknél megszokott módon kell bevinni. Természetes számokkal és közönséges tört alakban bevitt racionális számokkal az eredmény egzakt, vagy ha a Mupad az egzakt eredményt nem képes megadni, akkor visszakapjuk az inputot. A tizedes törteket tizedes ponttal kell bevinni. >> (1 + (5/2*3))/(1/7 + 7/9)^ /6728 Matematikai konstansok: PI, E, I. >> sin(pi/9) PI, E, I sin(1/9*pi) Az eredményt most azért nem kaptuk meg, mert az egzakt értéket a MuPAD nem tudta. A közelítő értéket természetesen ilyenkor is megkaphatjuk: >> float(sin(pi/9)) float >> arcsin(-1) 1/2 π Ha nem definiált értéket akarunk kiszámítani, akkor hibaüzenetet kapunk: >> tan(pi/2) Error: singularity [tan] Faktoriális: >> 100!! 2
3 Az előbbi szám hány jegyű? >> length(100!) length Négyzetgyök: >> sqrt(24) sqrt 2 6 Hasonlítsuk össze: >> sqrt(24.0) >> a:=e Abszolút érték: >> abs(3+4*i) abs, I 5 Értékadás. Az a változónak az e(= exp(1)) értéket adjuk. Az értékadás jele :=. := >> a:=e: Ezután a az előbbi értéket jelenti: >> ln(a) 1 A változó értékét a delete paranccsal törölhetjük: delete >> delete(a) >> ln(a) ln(a) 1. Feladat. Írassuk ki a nevezetes szögek különféle szögfüggvényeinek pontos és közelítő értékét! Írassuk ki π/8 szögfüggvényeit is. 2. Feladat. Számítsuk ki 101 közelítő értékét 35 értékes jegy pontossággal! Az értékes jegyek számának beállításához olvassuk el a float helpjében a példákat. (Segítség a margón.) A feladat elvégzése után állítsuk vissza az értékes jegyek számát az alapértelmezésre. (delete(digits).) DIGITS 3
4 3. Adattípusok A MuPAD fontos adattípusai a (kifejezés)sorozat, a lista és a halmaz. A kifejezéssorozat MuPAD objektumok vesszővel elválasztott felsorolása: >> sorozat:=pi/2,pi/3,pi/4,pi/6 (A bal oldalon szereplő sorozat egy változó!) Egy függvényt alkalmazhatunk a sorozat minden elemére: >> sin(x)$ x in sorozat $ A dollár jel a MuPAD sorozatképző operátora. Ismerjük meg a használatát! A négyzetszámok 1-től 10-ig: >> i^2$i=1..10 Az előbbi sorozatot most eljelöljük F -nek: >> F:=i^2$i=1..10 A sorozat elemeire az elem sorszámával hivatkozhatunk: >> F[5] A sorozatból törölhetünk elemet: >> delete(f[5]): F A sorozat legnagyobb, legkisebb eleme és elemszáma: >> max(f),min(f),nops(f) max, min, nops A sorozat elemeinek összeadása: _plus(f) _plus 3. Feladat. Egy mértani sorozat első eleme 2, kvóciense 3. Írassuk ki a sorozat első 5 elemét a sorozatképző operátorral. Adjuk össze a sorozat elemeit. 4. Feladat. Írassuk ki sin(k π 4 ) értékét k=0-tól 8-ig a sorozatképző operátort használva! 5. Feladat. Adjuk össze a köbszámokat 1-től a 10. köbszámig! A kifejezéssorozat formálisan abban különbözik a listától, hogy a MuPAD elemek vesszővel ellátott felsorolását még szögletes zárójelbe tesszük. >> sorozat:=i^2$i=1..10:lista:=[sorozat] A lista elemeire hasonlóan hivatkozhatunk, mint a sorozat elemeire, ugyanúgy adjuk meg a sorozat elemszámát is. (Próbáljuk ki.) A contains paranccsal eldönthetjük, hogy egy elem benne van-e egy sorozatban, s ha igen, hányadik eleme annak: contains >> contains(lista,23) Az eredmény 0 lesz, ami azt jelenti, hogy a 23 az előbbi sorozatban nincs benne. A map parancs segítségével egy függvény értékeit számíthatjuk ki egy listán: map 4
5 >> map(lista,sqrt) Az op parancs a listát kifejezéssorozattá konvertálja: >> op(lista) op A halmazokat a MuPAD a szó matematikai értelmében kezeli. 6. Feladat. Keressük meg a MuPAD beépített Tutorial Sets fejezetét (4.7). Hajtsuk végre a példákat (kattintsunk a promt jelekre), magyarázzuk meg az eredményeket. 4. Elemi számelmélet div, ifactor, igcd, ilcm, isprime, ithprime, nextprime 7. Feladat. Keressük ki az előbbi parancsokat a helpben. Tanulmányozzuk a példákat! (Végezzük el a behelyettesítést.) Használatukról készítsünk rövid feljegyzést. A MuPAD indításakor nem minden parancs áll rögtön a rendelkezésünkre. Bizonyos parancsok úgynevezett könyvtárakban vannak. Ilyen könyvtár például a numlib, amely különböző számelméleti függvényeket tartalmaz. A könyvtárban elhelyezett parancsokról az alábbiak szerint kaphatunk információt: >> info(numlib)?numlib -re bejön a Tutorial megfelelő oldala. A könyvtár által tartalmazott parancsok elérése: >> numlib::numdivisors( ) :: Azaz könyvtárnév::parancs módon. numdivisors(n) megadja n pozitív osztóinak számát. 8. Feladat. Adjuk meg az előbbi szám prímosztóit. primedivisors 5. Algebrai kifejezések Helyettesítsünk be x = 4-et az f = 3 x kifejezésbe! >> f:=3*x^2+8; subs(f,x=4) subs A subs parancs kifejezésekkel is működik. Helyettesítsünk az alőbbi f kifejezésbe x = u-t: >> f1:=subs(f,x=5+2*u) Az expand paranccsal felbonthatjuk a zárójelet: >> expand(f1) A subs paranccsal egyenletekbe is behelyettesíthetünk: >> eq:=x^3-5*x^2+7*x-12=0;subs(eq,x=4) expand 9. Feladat. Helyettesítsük be 10-től 10-ig az egész számokat az x 3 5x 2 + 7x 12 algebrai kifejezésbe. (Használjuk a sorozatképző operátort!) 5
6 Polinomok szorzattá alakítására a factor parancsot használhatjuk: factor 10. Feladat. Alakítsuk szorzattá az előző feladatban szereplő harmadfokú polinomot! Ha a factor parancsot törtkifejezésre alkalmazzuk, akkor a számláló és a nevező szorzattá alakítása után a MuPAD még a lehetséges helyettesítéseket is elvégzi: >> A:=x^10-1; B:=x^2-1; factor(a); factor(b); factor(a/b) A simplify paranccsal nagyon rugalmasan tudunk kifejezéseket egyszerűbb alakra hozni. Például az előző tört esetében: simplify >> simplify(a/b) 6. Egyenletek A solve parancs a Maple-hoz nagyon hasonlóan, ugyanakkor különbségekkel működik. solve 11. Feladat. Vessük össze a Maple és a MuPAD eredményeit az alábbi egyenletek megoldásában: x 3 11x 2 + 7x = 0, sin(x) = 1/2, x 3 11x 2 + 7x + 10 = 0. Az utóbbi egyenletnél a MuPAD látszólag nem ad eredményt. Tegyük azonban a következőt: >> N:=solve(x^3-11*x^2+7*x+10=0,x): float(n) Numerikus megoldás keresésénél a numeric::solve parancsot kell alkalmazni. numeric::solve 12. Feladat. Oldjuk meg numerikusan a sin(x) = 0.3x egyenletet. Útmutatás: Az intervallumok kereséséhez a plotfunc2d paranccsal először kirajzoljuk a függvény grafikonját: plotfunc2d >> plotfunc2d(sin(x),0.3*x, x=0..5) 7. Határérték Sorozat határértéke Számítsuk ki a lim n ( n n 1) határértéket! >> limit(sqrt(n)-sqrt(n-1),n=infinity) limit 13. Feladat. Számítsuk ki MuPAD-dal a következő határértékeket: lim n 1 n n! A következő határértékkel első nekifutásra a MuPAD nem boldogul: n k lim n a n. (Próbáljuk ki!) A paraméterekre feltételeket kell adnunk: >> assume(k,type::posint):assume(a>1): 6
7 Ezek után: >> limit(n^k/a^n,n=infinity) Tisztítsuk a változókat! 14. Feladat. Számítsuk ki lim n n q n értékét, ha 0 < q < 1. Útmutatás. A q-ra előírt feltétel: >> assume(q<1),assume(-1<q,_and) 15. Feladat. Állítsuk elő a mértani sor összegképletét! Számítsuk ki: n i=1 1 i(i + 1) és 1 i(i + 1) értékét! i=1 >> sum(1/(i*(i+1)),i=1..n), limit(sum(1/(i*(i+1)),i=1..n),n=infinity) Vagy az utóbbi határérték röviden: >> sum(1/(i*(i+1)),i=1..infinity) 16. Feladat. Számítsuk ki: lim n [ n 1 2 n Függvény határértéke. Határozzuk meg az f: R \ {3} R, f(x) = x + 3 x 3 függvény határértékét az értelmezési tartomány határpontjaiban. Figyeljük meg a függvény definícióját, mely a Maple-höz hasonló: >> f:=x->(x+3)/(x-3) A szemléletesség kedvéért vázoljuk a függvényt: >> plotfunc2d(f(x),x=-1..7) >> limit(f(x),x=-infinity); limit(f(x),x=3,left);limit(f(x),x=3, Right); limit(f(x),x=infinity) Természetesen x = 3-ra: >> limit(f(x),x=3) undefined Felsőbb éveseknek: az előbbi függvény teljes függvényvizsgálata. (Magyarázzunk meg és értelmezzünk minden lépést!) A függvény első és második deriváltja: >> f1:=diff(f,x); f2:=diff(f,x$2); Növekedés fogyás: ]. 7
8 >> solve(f1>0,x);solve(f1<0,x) Lokális szélsőérték: >> X:=solve(f1=0,x); >> subs(f2,x=x[1]); subs(f2,x=x[2]) >> subs(f,x=x[1]); subs(f,x=x[2]) Görbület: >> solve(f2>0,x);solve(f2<0,x) Vázoljuk a grafikont! (Először magunk, majd:) >> plotfunc2d(f,x=-4..4,y=-3..3) 17. Feladat. Számítsuk ki a következő függvények határértékét az értelmezési tartomány határpontjaiban. Készítsünk a függvényekről vázlatot is. f: R \ {0} R, f(x) = g: R \ {0} R, g(x) = x2 1 x 3 Számítsuk ki a lim x 0 sin(1/x) határértéket! >> limit(sin(1/x),x=0) [-1, 1] exp(1/x) ; A függvény a 0 bármely környezetében a [ 1, 1] intervallumból minden értéket felvesz. Rajzoljuk meg a grafikont: >> plotfunc2d(sin(1/x),x= ,grid=5000) 8. Mátrixok, determinánsok, lineáris egyenletrendszerek Mátrixok A mátrixok megadása lehetséges a sorvektorokkal: >> A := matrix([[1, 5], [2, 3]]) ( ) Hivatkozás egy mátrixelemre: 8
9 >> A[2,1] 2 Megadhatjuk az i-edik sor j-edik elemét függvénnyel: >> matrix(2, 2, (i, j) -> 1/(i+j)) ( 1/2 1/3 1/3 1/4 ) 18. Feladat. Állítsuk elő a 3 3 típusú egységmátrixot az előbbi módon. Útmutatás: A Kronecker delta definíciója: >> f:=(i,j)->(if i=j then 1 else 0 end_if) Diagonális mátrixot a főátlóban lévő elemek felsorolásával is megadhatunk: >> matrix(3, 3, [1, 2, 3], Diagonal) Állítsuk elő a 2 2 típusú forgatási mátrixot: >> A:=matrix([[cos(x),-sin(x)],[sin(x),cos(x)]]) ( cos(x) sin(x) ) sin(x) cos(x) A subs operátor közvetlen használata nem ad megfelelő eredményt: >> B:=subs(A,x=PI/2) ( cos(0) sin(0) ) sin(0) cos(0) Igazi behelyettesítést a következő módon kapunk: >> map(b,eval) ( ) 9
10 A mátrixműveletek operátorai a számok műveleti operátoraival megegyeznek. 19. Feladat. Képezzük a tér z tengely körüli π/3 szögű elforgatásának mátrixát! Forgassuk el az (1, 1, 1) t vektort a z tengely körül π/3 szöggel. Képezzük az előző mátrix inverzét, négyzetét! 20. Feladat. Tanulmányozzuk a linalg könyvtár helpjében az alábbi parancsokat linalg::det, linalg::matdim, linalg::rank, linalg::gausselim 21. Feladat. Oldjuk meg t-re az alábbi egyenletet: t t 2 1 = Lineáris egyenletrendszerek megoldása Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszert: x + y + 2z + w = 1 3x 4y + z + w = 2 4x 3y + 3z + 2w = 3 Az alapmátrix: >> A:=matrix([[1,1,2,1],[3,-4,1,1],[4,-3,3,2]]) A jobb oldali konstansok: >> B:=matrix(3,1,[1,2,3]) A kibővített alapmátrix: >> C:=linalg::concatMatrix(A,B) A megoldhatóság vizsgálata: >> linalg::rank(a), linalg::rank(c) Mindkét mátrix rangja 2, tehát az egyenletrendszer megoldható, s a megoldástér két dimenziós. A megoldás: >> sol:=linalg::matlinsolve(a,b) A behelyettesítés eredménye egy vektor és egy vektorpár. (Nem írom le, mert Murphy szerint úgysem azt fogja kapni, amit én.) A vektor a lineáris egyenletrendszer egy partikuláris megoldása: >> A*sol[1] A B-t kellett megkapnia. A másik két vektor az iránytér bázisát adja, azaz ezek a vektorok az alapmátrixszal képezett homogén lineáris egyenletrendszer megoldásai: >> A*sol[2][1], A*sol[2][1] Mindkétszer nullvektort kapott. Tehát egy tetszőleges megoldás: mo:=sol[1]+lambda*sol[2][1]+mu*sol[2][2], A*mo 22. Feladat. Oldjuk meg a Maple-ös segédanyagban szereplő lineáris egyenletrendszereket! 10
11 9. MuPAD programozás 9.1. Ciklusok A hosszú input sorok) gépelésénél a sort Shift Enter-rel törjük. (Az Enter és a Shift Enter szerepét a View menüpontban fel lehet cserélni. A ciklusok szervezésének szokásos módjai a MuPAD-ban is lehetségesek: for ciklus >> for i from 101 to 110 do print(i=ifactor(i)) end_for 23. Feladat. Szervezzük meg az előbbi ciklust a sorozatképző operátorral is ($). 24. Feladat. Tanulmányozzuk a for használatát:?for. while ciklus Emlékeztetőül, a while ciklusban a ciklusmag végrehajtása előtt vizsgáljuk a leállási feltételt. >> i:=1;while i*i<50 do print(i*i);i:=i+1; end_while: 9.2. Feltételvizsgálat Az if then else konstrukciót egy szakaszonként definiált függvény megadásán keresztül illusztráljuk: >> f:=x->(if x<0 then x^2; else if x=0 then 1; else x end_if end_if) Helyettesítsünk be különböző számértékeket, ábrázoljuk a függvényt Eljárások Hasonlítsuk össz az alábbi half eljárást az analóg Maple eljárással: >> Half:=proc(n)/*comment: n/2*/ begin float(n/2) end_proc; proc Half(n)... end >> Half(2/3) Az eljárás kezdő sora megegyezik a Maple eljáráséval: megadjuk az eljárás nevét, maga az eljárás a proc és az end_proc közé kerül. A MuPAD parancsok sorozata itt a begin és az end_proc közé kerül 11
12 A változó típusa Kérjünk információt a változók MuPAD álatl ismert típusairól:?type Módosítsuk az előző eljárást úgy, hogy numerikus n változónál írja ki n/2 numerikus értékét, egyébként pedig formálisan n/2-t. >> Half:=proc(n)/*comment: n/2*/ begin if testtype(x,type::numeric) then return(float(x/2)) else print(n/2) end_if end_proc; (Próbáljuk ki az eljárásunkat!) Rekurzió A rekurzió szervezése is a Maple-höz hasonló. Figyeljük meg az remember opció helyét a következő (már jól ismert) példában: >> Fibo:=proc(n) option remember; begin if n<2 then n; else Fibo(n-2)+Fibo(n-1); end_if end_proc 25. Feladat. írassuk ki az első 30 Fibonacci számot! (Próbáljuk ki a remember opció nélkül is.) 26. Feladat. Írjunk eljárást az n n típusú egységmátrix definiálására. 27. Feladat. Írjunk eljárást, mely egy véletlen n n típusú invertálható mátrixot generál. 28. Feladat. Írjunk eljárást, mely egy listából olyan diagonális mátrixot képez, amely főátlója a lista elemeiből áll. 29. Feladat. Írjunk eljárást, mely az (a 1, a 2,..., a n elemek által generált Vandermond determinánst adja meg, azaz a következő determinánst: 1 a 1 a 2 1 a n a 2 a 2 2 a n a n a 2 n a n 1 n 12
Maple. Maple. Dr. Tóth László egyetemi docens Pécsi Tudományegyetem, 2007
Maple Dr. Tóth László egyetemi docens Pécsi Tudományegyetem, 2007 A Maple egy matematikai formula-manipulációs (vagy számítógép-algebrai) rendszer, amelyben nem csak numerikusan, hanem formális változókkal
RészletesebbenA számok kiíratásának formátuma
A számok kiíratásának formátuma Alapértelmezésben a Matlab négy tizedesjegy pontossággal írja ki az eredményeket, pl.» x=2/3 x = 0.6667 A format paranccsal átállíthatjuk a kiíratás formátumát. Ha több
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
RészletesebbenA MATLAB alapjai. Kezdő lépések. Változók. Aktuális mappa Parancs ablak. Előzmények. Részei. Atomerőművek üzemtana
A MATLAB alapjai Kezdő lépések - Matlab Promt: >> - Help: >> help sqrt >> doc sqrt - Kilépés: >> quit >> exit >> Futó script leállítása: >> ctrl+c - Változók listásása >> who >> whos - Változók törlése
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenMathematica automatikusan dolgozik nagy pontossággal, például 3 a 100-dik hatványon egy szám 48 tizedes jeggyel:
Mathematica mint egy számológép Használhatja a Mathematica-t, mint egy közönséges számológépet, begépelve egy kifejezést, és a SHIFT + ENTER gombok egyidejű lenyomása után a Mathematica kiszámítja és megadja
RészletesebbenA MATLAB alapjai. Kezdő lépések. Változók. Aktuális mappa Parancs ablak. Előzmények. Részei
A MATLAB alapjai Atomerőművek üzemtanának fizikai alapjai - 2016. 03. 04. Papp Ildikó Kezdő lépések - Matlab Promt: >> - Help: >> help sqrt >> doc sqrt - Kilépés: >> quit >> exit - Változók listásása >>
RészletesebbenBaran Ágnes. Gyakorlat Függvények, Matlab alapok
Matematika Mérnököknek 1. Baran Ágnes Gyakorlat Függvények, Matlab alapok Matematika Mérnököknek 1. A gyakorlatok fóliái: https://arato.inf.unideb.hu/baran.agnes/oktatas.html Feladatsorok: https://arato.inf.unideb.hu/baran.agnes/oktatas.html
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
RészletesebbenBaran Ágnes. Gyakorlat Halmazok, függvények, Matlab alapok. Baran Ágnes Matematika Mérnököknek Gyakorlat 1 / 34
Matematika Mérnököknek 1. Baran Ágnes Gyakorlat Halmazok, függvények, Matlab alapok Baran Ágnes Matematika Mérnököknek 1. 1.-2. Gyakorlat 1 / 34 Matematika Mérnököknek 1. A gyakorlatok fóliái: https://arato.inf.unideb.hu/baran.agnes/oktatas.html
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai
HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;
RészletesebbenA PiFast program használata. Nagy Lajos
A PiFast program használata Nagy Lajos Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3 2. Bináris kimenet létrehozása. 3 2.1. Beépített konstans esete.............................. 3 2.2. Felhasználói konstans esete............................
Részletesebben12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?
Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!
RészletesebbenMaple: Bevezetés. A Maple alapjai
Maple: Bevezetés A Maple alapjai A Maple egy hatékony matematikai program személyi számítógépekre, melynek segítségével algebrai és formális matematikai műveletek végezhetőek el. Képes továbbá numerikus
RészletesebbenI. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
RészletesebbenLINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK október 12. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak
LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 004. október. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László:
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.
RészletesebbenAlgoritmusok Tervezése. 1. Előadás MATLAB 1. Dr. Bécsi Tamás
Algoritmusok Tervezése 1. Előadás MATLAB 1. Dr. Bécsi Tamás Tárgy adatok Előadó: Bécsi Tamás, St 106, becsi.tamas@mail.bme.hu Előadás:2, Labor:2 Kredit:5 Félévközi jegy 2 db Zh 1 hallgatói feladat A félév
RészletesebbenSzámítási feladatok a Számítógépi geometria órához
Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát
RészletesebbenVIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3
RészletesebbenGauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás
Közelítő és szimbolikus számítások 4. gyakorlat Mátrix invertálás Gauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei
Részletesebben12. előadás. Egyenletrendszerek, mátrixok. Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor
12. előadás Egyenletrendszerek, mátrixok Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 2015 2016 1 Tartalom Matematikai alapok Vektorok és mátrixok megadása Tömbkonstansok Lineáris műveletek Mátrixok szorzása
RészletesebbenAbszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások
Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és b) jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása
RészletesebbenP ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ. 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP
J UHÁSZ I STVÁN P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ T é m a k ö r ö k é s p r ó b a f e l a d a t s o r 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP 1. oldal 9. OSZTÁLYOS PÓTVIZSGA TÉMAKÖRÖK: I.
Részletesebben12 48 b Oldjuk meg az Egyenlet munkalapon a következő egyenletrendszert az inverz mátrixos módszer segítségével! Lépések:
A feladat megoldása során az Excel 2010 használata a javasolt. A feladat elvégzése során a következőket fogjuk gyakorolni: Egyenletrendszerek megoldása Excelben. Solver használata. Mátrixműveletek és függvények
RészletesebbenFüggvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:
Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független
RészletesebbenBASH script programozás II. Vezérlési szerkezetek
06 BASH script programozás II. Vezérlési szerkezetek Emlékeztető Jelölésbeli különbség van parancs végrehajtása és a parancs kimenetére való hivatkozás között PARANCS $(PARANCS) Jelölésbeli különbség van
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
RészletesebbenMaple: Deriváltak és a függvény nevezetes pontjai
Maple: Deriváltak és a függvény nevezetes pontjai Bevezető Tudjuk, hogy a Maple könnyűszerrel képes végrehajtani a szimbólikus matematikai számításokat, ezért a Maple egy ideális program differenciál-
RészletesebbenKomplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18
Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök
Részletesebben9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2
RészletesebbenKomplex számok. A komplex számok algebrai alakja
Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j
RészletesebbenNumerikus matematika
Numerikus matematika Baran Ágnes Gyakorlat Nemlineáris egyenletek Baran Ágnes Numerikus matematika 9.10. Gyakorlat 1 / 14 Feladatok (1) Mutassa meg, hogy az 3x 3 12x + 4 = 0 egyenletnek van gyöke a [0,
Részletesebben3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek
3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!
RészletesebbenFüggvények december 6. Határozza meg a következő határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. Megoldás: lim. 2. Feladat: lim.
Függvények 05. december 6. Határozza meg a következő határértékeket!. Feladat: ( + 7 5 ) ( + 7 5 ) ( + 0 ). Feladat: ( + 7 5 ) ( + 7 5 ) ( + 0) 3. Feladat: ( + 0 7 5 ) 4. Feladat: ( + 0 7 5 ) ( + 7 0 5
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x
RészletesebbenFüggvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim.
Függvények 205. július 3. Határozza meg a következ határértékeket!. Feladat: 2. Feladat: 3. Feladat: 4. Feladat: (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0 ) (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0) (2 + 0 7 5 ) (2 + 0 7 5 ) (2
Részletesebben2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?
= komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve
Részletesebben1. Alapok. #!/bin/bash
1. oldal 1.1. A programfájlok szerkezete 1. Alapok A bash programok tulajnképpen egyszerű szöveges fájlok, amelyeket bármely szövegszerkesztő programmal megírhatunk. Alapvetően ugyanazokat a at használhatjuk
RészletesebbenA DERIVE kezelése. 1. A DERIVE ablaka. Amikor elindítod a DERIVE-ot ez az ablak jelenik meg:
A DERIVE kezelése A számítógépes DERIVE (CAS DERIVE) algebrai rendszer-t gyakran matematikai asszisztens-nek is nevezik. Ez egy hatékony és könnyen használható programcsomag amely bizonyos típusú matematikai
RészletesebbenMatlab alapok. Baran Ágnes
Matlab alapok Mátrixok Baran Ágnes Mátrixok megadása Mátrix megadása elemenként A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9] vagy A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] eredménye: A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (Az egy sorban álló elemeket
Részletesebben1. zárthelyi,
1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y
RészletesebbenMatematika elméleti összefoglaló
1 Matematika elméleti összefoglaló 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... 2 1. Sorozatok jellemzése, határértéke... 3 2. Függvények határértéke és folytonossága... 5 3. Deriválás... 6 4. Függvényvizsgálat...
RészletesebbenBaran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba. Gyakorlat Differenciálegyenletek numerikus megoldása
Matematika Mérnököknek 2. Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Gyakorlat Differenciálegyenletek numerikus megoldása Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Matematika Mérnököknek 2. Gyakorlat 1 / 18 Fokozatos
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenFüggvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
RészletesebbenObjektumorientált Programozás III.
Objektumorientált Programozás III. Vezérlési szerkezetek ismétlés Matematikai lehetőségek Feladatok 1 Hallgatói Tájékoztató A jelen bemutatóban található adatok, tudnivalók és információk a számonkérendő
Részletesebben8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.
8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az
RészletesebbenProgramozás I. Matematikai lehetőségek Műveletek tömbökkel Egyszerű programozási tételek & gyakorlás V 1.0 OE-NIK,
Programozás I. Matematikai lehetőségek Műveletek tömbökkel Egyszerű programozási tételek & gyakorlás OE-NIK, 2013 1 Hallgatói Tájékoztató A jelen bemutatóban található adatok, tudnivalók és információk
RészletesebbenBevezetés a MATLAB programba
Bevezetés a MATLAB programba 1. Mi az a MATLAB? A MATLAB egy olyan matematikai programcsomag, amely mátrix átalakításokat használ a komplex numerikus számítások elvégzésére. A Mathematica és Maple programokkal
RészletesebbenGauss elimináció, LU felbontás
Közelítő és szimbolikus számítások 3. gyakorlat Gauss elimináció, LU felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 EGYENLETRENDSZEREK 1. Egyenletrendszerek
Részletesebben1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki.
Számítás:. Olvassuk be két pont koordinátáit: (, y) és (2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. 2. Olvassuk be két darab két dimenziós vektor komponenseit: (a, ay) és (b, by). Határozzuk
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
Részletesebbenfüggvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(
FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek V.
Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c
RészletesebbenMATLAB OKTATÁS 1. ELŐADÁS ALAPOK. Dr. Bécsi Tamás Hegedüs Ferenc
MATLAB OKTATÁS 1. ELŐADÁS ALAPOK Dr. Bécsi Tamás Hegedüs Ferenc BEVEZETŐ A Matlab egy sokoldalú matematikai programcsomag, amely a mérnöki számításokat egyszerusíti le. (A Matlab neve a MATrix és a LABoratory
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenFüggvények vizsgálata
Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =
Részletesebben2014. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia
24. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia A differenciálszámítás az emberiség egyik legnagyobb találmánya és ez az állítás nem egy matek-szakbarbár fellengzős kijelentése. A differenciálszámítás segítségével
RészletesebbenFigyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait!
Elméleti kérdések: Második zárthelyi dolgozat biomatematikából * (Minta, megoldásokkal) E. Mit értünk hatványfüggvényen? Adjon példát nem invertálható hatványfüggvényre. Adjon példát mindenütt konkáv hatványfüggvényre.
Részletesebbenkonvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!
1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,
Részletesebben9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:
9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y
RészletesebbenFeladat Nézzük meg a súgóban (help és doc) a sin parancs használatáról olvasható információt! Próbáljuk ki a kirajzoltató utasítást.
1 1. GYAKORLAT A MATLAB ALAPJAI KÖRNYEZET, SÚGÓ Először a D:\ meghajtón hozzuk létre a munka könyvtárat, hogy itt dolgozhassunk, majd indítsuk el a ot! Windows alatt a ot az ikonjára kattintva indíthatjuk
Részletesebbena) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
Részletesebben6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének
6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
Részletesebben9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Tegyük fel, hogy egy elemi bázistranszformáció kezdetekor a sor- és oszlopindexek sorban helyezkednek
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
RészletesebbenKomputeralgebra Rendszerek
Komputeralgebra Rendszerek Számkezelés Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. február 24. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 53 TARTALOMJEGYZÉK 1 TARTALOMJEGYZÉK 2 Az egzakt aritmetika Bignum aritmetika
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenMatematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont:
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
Részletesebbenn n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )
Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: Z) a) (x 1) (x + 1) 7x + 1 = x (4 + x) + 2 b) 1 2 [5 (x 1) (1 + 2x) 2 4x] = (7 x) x c) 2 (x + 5) (x 2) 2 + (x + 1) 2 = 6 (2x + 1) d) 6 (x 8)
RészletesebbenTaylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!
Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el
RészletesebbenS z á m í t ó g é p e s a l a p i s m e r e t e k
S z á m í t ó g é p e s a l a p i s m e r e t e k 7. előadás Ami eddig volt Számítógépek architektúrája Alapvető alkotóelemek Hardver elemek Szoftver Gépi kódtól az operációs rendszerig Unix alapok Ami
RészletesebbenMatematika 11. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Humán tagozat Matematika 11. osztály I. rész: Hatvány, gyök, logaritmus Készítette: Balázs Ádám Budapest, 018 . Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék
RészletesebbenGauss-Seidel iteráció
Közelítő és szimbolikus számítások 5. gyakorlat Iterációs módszerek: Jacobi és Gauss-Seidel iteráció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 ITERÁCIÓS
RészletesebbenMásodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:
Részletesebben2018, Diszkrét matematika
Diszkrét matematika 4. előadás mgyongyi@ms.sapientia.ro Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tanszék Marosvásárhely, Románia 2018, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? számtartományok: racionális
RészletesebbenMatematikai problémák vizsgálata a Maple programcsomag segítségével
Matematikai problémák vizsgálata a Maple programcsomag segítségével Tengely Szabolcs tengely@science.unideb.hu http://www.math.unideb.hu/~tengely Tengely Szabolcs 2014.04.26 Matematikai problémák és a
RészletesebbenGPK M1 (BME) Interpoláció / 16
Interpoláció Matematika M1 gépészmérnököknek 2017. március 13. GPK M1 (BME) Interpoláció 2017 1 / 16 Az interpoláció alapfeladata - Példa Tegyük fel, hogy egy ipari termék - pl. autó - előzetes konstrukciójának
RészletesebbenLineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport
Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,
RészletesebbenFÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer
FÜGGVÉNYEK A derékszögű koordináta-rendszer Az. jelzőszámot az x tengelyről, a 2. jelzőszámot az y tengelyről olvassuk le. Pl.: A(-3;-) B(3;2) O(0;0) II. síknegyed I. síknegyed A (0; 0) koordinátájú pontot
RészletesebbenMATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA
MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító ME-III.1./1 2 Azonosító: Változatszám : Érvényesség kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK-DC-2013 2013. 09. 01. MATEMATIKA
RészletesebbenFelügyelt önálló tanulás - Analízis III.
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:
RészletesebbenNULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI
A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával
RészletesebbenAlapok. tisztán funkcionális nyelv, minden függvény (a konstansok is) nincsenek hagyományos változók, az első értékadás után nem módosíthatók
Haskell 1. Alapok tisztán funkcionális nyelv, minden függvény (a konstansok is) nincsenek hagyományos változók, az első értékadás után nem módosíthatók elég jól elkerülhetők így a mellékhatások könnyebben
RészletesebbenAnalízis házi feladatok
Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
RészletesebbenPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak
PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky
Részletesebben1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!
Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,
Részletesebben