Genomátrendeződések. Miklós István. Rényi Intézet, összintézeti szeminárium, március 13.
|
|
- Mariska Hegedűs
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Genomátrendeződések Miklós István Rényi Intézet, összintézeti szeminárium, március 13.
2 A mai előadás Genomátrendeződések biológiai jelentősége Filogenetikai elemzések Genomátrendeződés rákos sejtekben Matematikai modellek Előjeles permutációk és rajtuk ható mutációk Valóság és kívánalom gráfja, graph of desire and reality Parszimónia módszerek Hannenhalli-Pevzner elmélet inverziókra (reverzálokra) Approximációk más esetekre Összes optimális reverziós útvonal megkeresése Statisztikus módszerek MCMC, Sztochasztikus optimalizálás Bayes statisztika Központi kérdés: Markov láncok konvergenciája Analitikus megoldások
3 Humán egér összehasonlítás
4 Humán egér összehasonlítás Probléma: az két vonalon az mutációk akkumlálásának a sebessége nem biztos, hogy azonos volt!
5 Többszörös genomátrendeződések Humán, egér és patkány genomok összehasonlítása
6 Folytatás Egér, patkány: átrendeződés / millió év Humán ágon 1.6 átrendeződés / millió év
7 Sok genom bevonásával még pontosabb képet kapunk
8 Genomátrendeződés az immunrendszerben D H 4 nonamer C C A A A C A C A G G T T T T T G T JH JH J H RAG D H kivágás JH JH J H D D D H H H G T G A C A C C A C T G T G 12 bp 23 bp heptamer J J J H H H D-J kapcsolódás D D D --J J J H H H H H H
9 Génátrendeződés tumor genomokban mfish Minden szín egy kromoszóma egészséges genomban Többszínű kromoszóma az ábrán: átrendezett Alacsony felbontás, pontos térkép nem állapítható meg
10 Szekvenálással a kép pontosítható (ESP technológia)
11 Geneológia ESP a tumor számos fázisában és áttételében Mi az ősi genom, amely a rákosodási folyamatot kiváltotta? Gyógyszer Prevenció
12 A mai előadás Genomátrendeződések biológiai jelentősége Filogenetikai elemzések Genomátrendeződés rákos sejtekben Matematikai modellek Előjeles permutációk és rajtuk ható mutációk Valóság és kívánalom gráfja, graph of desire and reality Parszimónia módszerek Hannenhalli-Pevzner elmélet inverziókra (reverzálokra) Approximációk más esetekre Összes optimális reverziós útvonal megkeresése Statisztikus módszerek MCMC, Sztochasztikus optimalizálás Bayes statisztika Központi kérdés: Markov láncok konvergenciája Analitikus megoldások
13 Genomátrendező mutációk Inversions... π π... π π... π π... π π i i+ 1 j j + 1 i j i+ 1 j + 1 Transpositions π iπ k... π j+ 1π i π jπ k + π π i... π jπ j+ 1 π kπ k Inverted Transpositions i π i π k... π j+ 1π i π jπ k+ π π i... π jπ j+ 1 π kπ k Translocations i 1... π π... π π... ρ π... π ρ i i+ 1 j j+ 1 k i+ 1 j k
14 Valóság és kívánalom gráfja Reality L R Desire edges Reality edges Desire L R Based on basic group theory, transforming π 1 to π 2 is equivalent with transforming π 1 2 π1 to the identical permutation. The graph of desire and reality of the identical permutation is n+1 cycle, all other permutations have less cycles:
15 Cirkuláris és lineáris permutációk Egy n hosszú cirkuláris permutáció modellezhető egy n-1 hosszú lineáris permutációval
16 A mai előadás Genomátrendeződések biológiai jelentősége Filogenetikai elemzések Genomátrendeződés rákos sejtekben Matematikai modellek Előjeles permutációk és rajtuk ható mutációk Valóság és kívánalom gráfja, graph of desire and reality Parszimónia módszerek Hannenhalli-Pevzner elmélet inverziókra (reverzálokra) Approximációk más esetekre Összes optimális reverziós útvonal megkeresése Statisztikus módszerek MCMC, Sztochasztikus optimalizálás Bayes statisztika Központi kérdés: Markov láncok konvergenciája Analitikus megoldások
17 Hannenhalli-Pevzner elmélet Megadja a minimálisan szükséges inverziók (reverzálok) számát, amely egy előjeles permutáció rendezéséhez kell. Hannenhalli-Pevzner (1995): O(n 4 ) algoritmus Kaplan, Shamir, Tarjan, (1997) O(n 2 ) algoritmus Bader, Moret, Yan (2001) O(n) algoritmus, csak a távolságot adja meg, útvonalat nem ad. Carpara (1997) Ha a permutáció nem előjeles, a probléma NP-teljes!
18 Alsó becslés az inverziós távolságra A körök számát a valóság és kívánalom gráfjában egy iverzió maximum eggyel növeli, így d( π ) n + 1 c( π ) a b c d a c b d a b c d a c b d
19 Problémás permutációk Az alábbi permutációban nem lehet a körök számát növelni egy lépésben:
20 Szükséges definíciók Egy kivánalom él irányított, ha a körön tett sétán a két szomszédos valóság élen ellenkező irányba megyünk Két kívánalom él metszi egymást, ha a végpontjaik által megadott intervallumok metszik egymást. A metszési gráf pontjai a valóság és kivánalom gráf nem triviáslis körein található kívánalom élek, két pont a metszési gráfon akkor van összekötve, ha a két kívánalom él metszi egymást. A metszési gráf egy komponense irányított komponens, ha van irányított kívánalom éle, egyébként a komponens irányítatlan. Egy irányítatlan komponens védett nem-gát, ha van két irányítatlan komponens, amelyeket elválaszt, azaz az egyik komponens alatta, a másik pedig felette, vagy rajta kívül van a valóság és kívánalom gráfban.
21 Szükséges definíciók, folytatás Egy irányítatlan komponens gát, ha nem védett nem-gát Egy gát szupergát, ha van olyan védett nem-gát, amely ezen gát nélkül maga is gát lenne (azaz a védett nem-gát egyik felén a szupergát az egyetlen irányítatlan komponens) Egy permutáció erőd, ha minden gátja szupergát, és ezek száma páratlan
22 Példa: egy legkisebb erőd Egy erőd legalább három szupergátat tartalmaz A legkisebb irányítatlan komponens három valóságélt tartalmaz
23 A Hannenhalli-Pevzner tétel d ( π ) = n + 1 c( π ) + h( π ) + f ( π ) ahol d(π) a π előjeles permutáció reverziós távolsága (az identikus permutációtól) n a π előjeles permutáció hossza c(π) a körök száma a valóság és kívánalom gráfban h(π) a gátak (hurdle) száma f(π) pedig 1, ha π erőd (fortress), egyébként 0.
24 Biztonságos (safe) körnövelő reverzálok Egy körök számát növelő reverzál biztonságos, ha nem hoz létre új irányítatlan komponenst. Nem minden körnövelő reversal biztonságos Lemma: Minden irányított komponensre létezik körnövelő biztonságos reversal
25 A lemma folyománya Gátmentes permutációkra d( π ) = n + 1 c( π ) hiszen biztonságos körnövelő reverzálokkal rendezhető Gátkötés Egy inverzió két gátat összeköt, ha a két gát két végén levő valóságéleken hat Állítás: A gátkötés egy irányított komponenst hoz létre Állítás: Ha két nem szomszédos gátat kötünk össze (az első és az utolsó gátat is szomszédosnak tekintjük), akkor a gátak számát kettővel csökkentjük, míg a körök számát eggyel, ha a gátak száma páros, akkor nem hozunk létre erődöt
26 Gátvágás A gátvágás egy inverzió, amely egy gát egy körének két végén levő valóságéleken hat Állítás: a gátvágás a gátból egy irányított komponenst csinál A bizonyítás a következő állításokon keresztül: Állítás: Egy kör minden kívánaloméle egy komponensben van Állítás: A gátvágás hatására a két szélső kívánalomél irányítottá válik, egy körben lesznek, és minden más kívánalomél átfedése változatlan marad. a b c c b a d
27 Az algoritmus Ha van irányított komponens csinálj egy biztonságos körnövel reverzált Különben{ Ha a gátak száma páros{ Ha a gátak száma több, mint kett Köss össze két nem konszekutív gátat Különben Kössd össze a két gátat } Különben{ // gátak száma páratlan Ha van egyszer gát Vágd el Különben{ // er dünk van Ha a gátak száma több, mint három Köss össze két nem konszekutív gátat Egyébként köss össze két gátat } } }
28 Transzpozíciók Rendezés transzpozíciókkal: Ismeretlen komplexitású probléma már 10 éve!!! Bafna & Pevzner (1995) 1.5-approximáció Alapja: Egy transzpozíció a körök számát max. 2-vel növeli. Minden permutációban vagy van egy 2-transzpozíció, vagy egy sorozat approximáció: Több, mint eset számítógépes vizsgálata
29 Reverziós medián probléma Adottak π 1, π 2, π 3 előjeles permutációk, keressük azon π M -et, amelyre ) ( ) ( ) ( π π π π π π + + M M M d d d minimális NP-teljes probléma!!! Visszavezethető a Travelling Salesman problémára π π π π
30 Összes optimális inverziós útvonal Miért fontos? Heurisztikus algoritmusok reverziós mediánra Mutációs forró pontok keresése Siepel, A.C. (2002) RECOMB proceedings: Semi-brute-force algoritmus Gyakorlatilag pontosan leírja az irányítatlan komponenseken ható rendező reverzálokat, de semmit nem mond a biztonságos körnövelő reverzálokról. Fő probléma: nem csak a lehetséges útvonalak száma, de az ezt reprezentáló hálózat mérete is lehet exponenciális függvénye a permutáció hosszának
31 A mai előadás Genomátrendeződések biológiai jelentősége Filogenetikai elemzések Genomátrendeződés rákos sejtekben Matematikai modellek Előjeles permutációk és rajtuk ható mutációk Valóság és kívánalom gráfja, graph of desire and reality Parszimónia módszerek Hannenhalli-Pevzner elmélet inverziókra (reverzálokra) Approximációk más esetekre Összes optimális reverziós útvonal megkeresése Statisztikus módszerek MCMC, Sztochasztikus optimalizálás Bayes statisztika Központi kérdés: Markov láncok konvergenciája Analitikus megoldások
32 Markov lánc Monte Carlo (MCMC) Metropolis, Rosenbluth, Rosenbluth, Teller, Teller (1953) J. Chem. Phys. 21: T(Y X) aperiodikus, irreducibilis Markov lánc, T(Y X) 0 T(X Y) 0 X-re π(x)>0 eloszlás, akkor a következő algoritmussal definiált Markov lánc konvergál π(x)-hez: 1. (proposal) Végy egy random Y-t T( X)-ből. 2. (acceptance) A Markov lánc következő eleme Y ) ( ) ( ) ( ) ( 1, min X X Y T Y Y X T π π valószínűséggel, és X ennek komplementerével Első alkalmazások: mintavételezés Boltzmann eloszlásból Bayes statisztikában szeretik: nem kell a normalizációs konstanst ismerni! Θ Θ Θ Θ Θ = Θ ' ) ' ( ) ' ( ) ( ) ( ) ( P D P P D P D P Mintavételezés ) ( ) ( ) ( Θ Θ Θ P D P D P -ból
33 Összes optimális inverziós útvonalból Proposal mintavételezés p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 } p 6 p 7 p 8 p 9 Random ablak p 1 7 p 1 6 p 1 5 p 1 7 p id 1 6 p p p p 1 5 Új rész-útvonal p 1 p 2 p 3 p 4 p p p p 8 p 9
34 Simulated Annealing Definiálunk egy hipotetikus energiát a Markov lánc minden X állapotára. Minnél jobb egy állapot, annál kisebb az energiája. Az MCMC céleloszlása a Boltzmann eloszlás P T ( X ) e E( T X ) A T hőmérsékletet fokozatosan csökkentjük. Ha a hőmérsékletet elég lassan csökkentjük, akkor bizonyítottan 1 valószínűséggel a globális minimumhoz fog konvergálni a Markov lánc. (Persze az elég lassan miatt nem tudunk egy NP-teljes problémát polinom időben megoldani...)
35 Sztochasztikus heurisztikus algoritmussal próbálunk meg egyre jobb útvonalakat találni
36 Bayesiánus MCMC Egy Θ (evolúciós) paraméterhalmaz valószínűségének a feltételes eloszlása érdekel, adottak a D biológiai adatok P ( Θ D) P( D Θ) P( Θ) poszterior α likelihood prior A közvetlen likelihood számolás nehéz. Ha egy statisztikus nem tud egy problémát megoldani, akkor csinál belőle egy komplikáltabbat... P ( D Θ) = P( traj Θ) traj D
37 MCMC konvergenciája A konvergencia sebességét nem a lépésszámban, hanem a számolási időben szeretnénk optimalizálni. Sokszor nem világos, hogy mi legyen a proposal eloszlás, melyek a jó mutációk Sejtések: Töréspontot csökkentő mutációk Körök számát növelő permutációk Egyéb (???) Pl. Körök számát növelő transzpozíciók: O(n 3 ) memória és idő (Miklós, 2003), töréspontok számát csökkentő transzpozíciók: O(n) memória és idő (Miklós & Paige, 2006)
38 Irreducibilitás Ha az optimális reverziók útvonalain akarunk bolyongani, mekkora részt kell kivágni az útvonalból, hogy irreducibilis legyen a láncunk? Válasz: az egészet!!! 0 1
39 Metropolizált független mintavételezés (MIS) MIS: Olyan MCMC, amelyben T(Y X) = T(Y), bármely X-re. MIS-re a spektrális rés λ λ 1 2 = 1 max ahol w a fontossági súly, π(x)/t(x) (Liu, 1995) ( w) A MIS bizonyítottan lassan keveredik optimális reverziós útvonalakra, azaz meg lehet adni olyan permutációsorozatot, amelyre max(w) exponenciálisan növekszik a permutáció hosszának függvényében (Mélykúti, készülő szakdolgozat).
40 Részleges IS (ParIS) Egy random hosszúságú ablakot vágunk ki, ezen teszünk egy MIS lépést Az alábbi példában a MIS bizonyítottan lassan keveredik, a ParIS bizonyítottan gyorsan, és ha csak kis ablakokat vágunk ki, a Markov lánc nem lesz irreducibilis Ugyanakkor van példa olyan hálózatra, ahol a ParIS is lassan keveredik. Nyílt kérdés: gyorsan vagy lassan keveredik a ParIS az optimális reverziós útvonalakon?
41 A mai előadás Genomátrendeződések biológiai jelentősége Filogenetikai elemzések Genomátrendeződés rákos sejtekben Matematikai modellek Előjeles permutációk és rajtuk ható mutációk Valóság és kívánalom gráfja, graph of desire and reality Parszimónia módszerek Hannenhalli-Pevzner elmélet inverziókra (reverzálokra) Approximációk más esetekre Összes optimális reverziós útvonal megkeresése Statisztikus módszerek MCMC, Sztochasztikus optimalizálás Bayes statisztika Központi kérdés: Markov láncok konvergenciája Analitikus megoldások
42 Sztochasztikus modell reverzálokra A modellben az előjeles permutációk véletlenszerűen változnak meg, minden reverzál exponenciális várakozási idő után következik be. Azaz a reverzálok által generált Cayley-gráfon van egy időfolytonos Markov modellünk. Az exponenciális eloszlás valamely paraméterére keressük a P t ( G 2 G1 valószínűséget. Van-e algoritmus, ami ezt gyorsan kiszámolja? Hagyományos algoritmus ) idő alatt! ( 2 n n! ) 3
43 Összeejtett dinamikai rendszer Vegyük a Cayley gráf szimmetriacsoportjában a Cayley gráf valamely G 0 pontjának a stabilizátorát. Ekkor ha G 1 és G 2 a stabilizátor egy orbitjában van, akkor bármely t időpontra. Pt ( G1 G0) = Pt ( G2 G0) Kérdés: legyen a Cayley gráf a reverzálok által meghatározott gráf. Mivel izomorf egy pont stabilizátora? Hány orbitja van?
44 Egy probléma Cayley-gráfokról Legyen Γ 1 azon Cayley gráfok halmazrendszere, amelyre a minimális hosszúságú generálószavak számára van gyors algoritmus. Legyen Γ 2 azon Cayley gráfok halmazrendszere, amelyre az időfolytonos dinamika gyorsan számolható (Bármely G 1, G 2, t-re P t (G 1 G 2 )). Mi Γ 1 és Γ 2 viszonya? (Tipp: Γ 1 = Γ 2 )
45 Nyitott problémák O(n) idejű algoritmus optimális reverziós útvonalra Gyors algoritmus az optimális reverziós útvonalak egyenletes eloszlásából való mintavételezésére Az optimális reverziós útvonalak számát megadó algoritmus komplexitása Egy optimális transzpozíciós útvonalat megadó algoritmus komplexitása Mutációs útvonalakon bolyongó Markov lánc Monte Carlo metódusok konvergenciájának sebessége Mutációs Cayley-gráfok szimmetriacsoportjában egy stabilizátor részcsoport oritjai Mutációs Cayley gráfokon történő időfolytonos bolyongás időbeli leírása
46 Köszönetnyílvánítás Mélykúti Bence, Timothy Brooks Paige Falus András, Erdős Péter, Miklós Dezső, Lovász László, Tusnády Gábor
Legyen adott egy S diszkrét halmaz. Leggyakrabban S az egész számoknak egy halmaza, például S = {0, 1, 2,..., N}, {0, 1, 2,... }.
. Markov-láncok. Definíció és alapvető tulajdonságok Legyen adott egy S diszkrét halmaz. Leggyakrabban S az egész számoknak egy halmaza, például S = {0,,,..., N}, {0,,,... }.. definíció. S értékű valószínűségi
Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 13.
Algoritmuselmélet NP-teljes problémák Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 13. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet
Monte Carlo módszerek a statisztikus fizikában. Az Ising modell. 8. előadás
Monte Carlo módszerek a statisztikus fizikában. Az Ising modell. 8. előadás Démon algoritmus az ideális gázra időátlag fizikai mennyiségek átlagértéke sokaságátlag E, V, N pl. molekuláris dinamika Monte
Markov-láncok stacionárius eloszlása
Markov-láncok stacionárius eloszlása Adatbányászat és Keresés Csoport, MTA SZTAKI dms.sztaki.hu Kiss Tamás 2013. április 11. Tartalom Markov láncok definíciója, jellemzése Visszatérési idők Stacionárius
Közösség detektálás gráfokban
Közösség detektálás gráfokban Önszervező rendszerek Hegedűs István Célkitűzés: valamilyen objektumok halmaza felett minták, csoportok detektálása csakis az egyedek közötti kapcsolatok struktúrájának a
Kiegészítő részelőadás 1. Az algoritmusok hatékonyságának mérése
Kiegészítő részelőadás 1. Az algoritmusok hatékonyságának mérése Dr. Kallós Gábor 2014 2015 1 Az Ordó jelölés Azt mondjuk, hogy az f(n) függvény eleme az Ordó(g(n)) halmaznak, ha van olyan c konstans (c
KÖZELÍTŐ INFERENCIA II.
STATISZTIKAI TANULÁS AZ IDEGRENDSZERBEN KÖZELÍTŐ INFERENCIA II. MONTE CARLO MÓDSZEREK ISMÉTLÉS Egy valószínűségi modellben a következtetéseinket a látensek vagy a paraméterek fölötti poszterior írja le.
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 8 VIII. REGREssZIÓ 1. A REGREssZIÓs EGYENEs Két valószínűségi változó kapcsolatának leírására az eddigiek alapján vagy egy numerikus
HAMILTON ÚT: minden csúcson PONTOSAN egyszer áthaladó út
SÍKBA RAJZOLHATÓ GRÁFOK ld. előadás diasorozat SZÍNEZÉS: ld. előadás diasorozat PÉLDA: Reguláris 5 gráf színezése 4 színnel Juhász, PPKE ITK, 007: http://users.itk.ppke.hu/~b_novak/dmat/juhasz_5_foku_graf.bmp
Felvételi tematika INFORMATIKA
Felvételi tematika INFORMATIKA 2016 FEJEZETEK 1. Természetes számok feldolgozása számjegyenként. 2. Számsorozatok feldolgozása elemenként. Egydimenziós tömbök. 3. Mátrixok feldolgozása elemenként/soronként/oszloponként.
Gráfok 2. Legrövidebb utak, feszítőfák. Szoftvertervezés és -fejlesztés II. előadás. Szénási Sándor
Gráfok 2. Legrövidebb utak, feszítőfák előadás http://nik.uni-obuda.hu/sztf2 Szénási Sándor Óbudai Egyetem,Neumann János Informatikai Kar Legrövidebb utak keresése Minimális feszítőfa keresése Gráfok 2
GRÁFELMÉLET. 7. előadás. Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus
GRÁFELMÉLET 7. előadás Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus Definíció: egy P utat javító útnak nevezünk egy M párosításra nézve, ha az út páratlan hosszú, kezdő- és végpontjai nem párosítottak,
Algoritmuselmélet. Bonyolultságelmélet. Katona Gyula Y.
Algoritmuselmélet Bonyolultságelmélet Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 12. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet
Mesterséges Intelligencia MI
Mesterséges Intelligencia MI Valószínűségi hálók - következtetés Dobrowiecki Tadeusz Eredics Péter, és mások BME I.E. 437, 463-28-99 dobrowiecki@mit.bme.hu, http://www.mit.bme.hu/general/staff/tade Következtetés
GPK M1 (BME) Interpoláció / 16
Interpoláció Matematika M1 gépészmérnököknek 2017. március 13. GPK M1 (BME) Interpoláció 2017 1 / 16 Az interpoláció alapfeladata - Példa Tegyük fel, hogy egy ipari termék - pl. autó - előzetes konstrukciójának
12. előadás - Markov-láncok I.
12. előadás - Markov-láncok I. 2016. november 21. 12. előadás 1 / 15 Markov-lánc - definíció Az X n, n N valószínűségi változók sorozatát diszkrét idejű sztochasztikus folyamatnak nevezzük. Legyen S R
Diszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
1. Monotonitas, konvexitas
1. Monotonitas, konvexitas 1 Adjuk meg az alabbi fuggvenyek monotonitasi intervallumait! a) f (x) = x 2 (x 3) B I b) f (x) = x x 5 I c) f (x) = (x 2) p x I d) f (x) = e 6x 3 3x 2 I 2 A monotonitas vizsgalat
Mesterséges Intelligencia MI
Mesterséges Intelligencia MI Problémamegoldás kereséssel - csak lokális információra alapozva Pataki Béla BME I.E. 414, 463-26-79 pataki@mit.bme.hu, http://www.mit.bme.hu/general/staff/pataki Lokálisan
MM CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT ( )
MM4122-1 CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT (2008.12.01.) 1. Ismétlés szeptember 1.szeptember 8. 1.1. Feladat. Döntse el, hogy az alábbi állítások közül melyek igazak és melyek (1) Az A 6 csoportnak van 6-odrend
Gráfelméleti alapfogalmak
1 Gráfelméleti alapfogalmak Gráf (angol graph= rajz): pontokból és vonalakból álló alakzat. pontok a gráf csúcsai, a vonalak a gráf élei. GRÁ Irányítatlan gráf Vegyes gráf Irányított gráf G H Izolált pont
KÖZELÍTŐ INFERENCIA II.
STATISZTIKAI TANULÁS AZ IDEGRENDSZERBEN KÖZELÍTŐ INFERENCIA II. MONTE CARLO MÓDSZEREK ISMÉTLÉS Egy valószínűségi modellben a következtetéseinket a látensek vagy a paraméterek fölötti poszterior írja le.
HAMILTON KÖR: minden csúcson PONTOSAN egyszer áthaladó kör. Forrás: (
HAMILTON KÖR: minden csúcson PONTOSAN egyszer áthaladó kör Teljes gráf: Páros gráf, teljes páros gráf és Hamilton kör/út Hamilton kör: Minden csúcson áthaladó kör Hamilton kör Forrás: (http://www.math.klte.hur/~tujanyi/komb_j/k_win_doc/g0603.doc
Nagyságrendek. Kiegészítő anyag az Algoritmuselmélet tárgyhoz. Friedl Katalin BME SZIT február 1.
Nagyságrendek Kiegészítő anyag az Algoritmuselmélet tárgyhoz (a Rónyai Ivanyos Szabó: Algoritmusok könyv mellé) Friedl Katalin BME SZIT friedl@cs.bme.hu 018. február 1. Az O, Ω, Θ jelölések Az algoritmusok
Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 12.
Algoritmuselmélet NP-teljes problémák Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 12. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet
Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz
Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz A vizsga menete: a vizsga írásbeli és szóbeli részből áll. Az írásbeli beugrón az alábbi kérdések közül szerepel összesen 12 darab, mindegyik egy pontot
A Barabási-Albert-féle gráfmodell
A Barabási-Albert-féle gráfmodell és egyéb véletlen gráfok Papp Pál András Gráfok, hálózatok modelljei Rengeteg gráfokkal modellezhető terület: Pl: Internet, kapcsolati hálók, elektromos hálózatok, stb.
Algebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev
Algebra és számelmélet 3 előadás Nevezetes számelméleti problémák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Számok felbontása hatványok összegére 2. Prímszámok 3. Algebrai és transzcendens számok Tartalom
Adaptív dinamikus szegmentálás idősorok indexeléséhez
Adaptív dinamikus szegmentálás idősorok indexeléséhez IPM-08irAREAE kurzus cikkfeldolgozás Balassi Márton 1 Englert Péter 1 Tömösy Péter 1 1 Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013. november
NGB_IN040_1 SZIMULÁCIÓS TECHNIKÁK dr. Pozna Claudio Radu, Horváth Ernő
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM Műszaki Tudományi Kar Informatika Tanszék BSC FOKOZATÚ MÉRNÖK INFORMATIKUS SZAK NGB_IN040_1 SZIMULÁCIÓS TECHNIKÁK dr. Pozna Claudio Radu, Horváth Ernő Fejlesztői dokumentáció GROUP#6
Az optimális megoldást adó algoritmusok
Az optimális megoldást adó algoritmusok shop ütemezés esetén Ebben a fejezetben olyan modellekkel foglalkozunk, amelyekben a munkák több műveletből állnak. Speciálisan shop ütemezési problémákat vizsgálunk.
Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
Totális Unimodularitás és LP dualitás. Tapolcai János
Totális Unimodularitás és LP dualitás Tapolcai János tapolcai@tmit.bme.hu 1 Optimalizálási feladat kezelése NP-nehéz Hatékony megoldás vélhetően nem létezik Jó esetben hatékony algoritmussal közelíteni
Sztochasztikus folyamatok alapfogalmak
Matematikai Modellalkotás Szeminárium 2012. szeptember 4. 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 Folytonos idejű Markov láncok I Adott egy G = (V, E) gráf Folytonos
Sapientia - Erdélyi Magyar TudományEgyetem (EMTE) Csíkszereda IRT- 4. kurzus. 3. Előadás: A mohó algoritmus
Csíkszereda IRT-. kurzus 3. Előadás: A mohó algoritmus 1 Csíkszereda IRT. kurzus Bevezetés Az eddig tanult algoritmus tipúsok nem alkalmazhatók: A valós problémák nem tiszta klasszikus problémák A problémák
Optika gyakorlat 6. Interferencia. I = u 2 = u 1 + u I 2 cos( Φ)
Optika gyakorlat 6. Interferencia Interferencia Az interferencia az a jelenség, amikor kett vagy több hullám fázishelyes szuperpozíciója révén a térben állóhullám kép alakul ki. Ez elektromágneses hullámok
Diszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Hálózatok fejlődése A hatványtörvény A preferential attachment A uniform attachment Vertex copy. SZTE Informatikai Intézet
Hálózattudomány SZTE Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék Előadó: London András 4. Előadás Hogyan nőnek a hálózatok? Statikus hálózatos modellek: a pontok száma (n) fix, az éleket valamilyen
Algoritmusok bonyolultsága
Algoritmusok bonyolultsága 5. előadás http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/komplex.htm 1 / 27 Gazdaságos faváz Kruskal-algoritmus Joseph Kruskal (1928 2010) Legyen V = {v 1, v 2,..., v n }, E = {e 1, e 2,...,
Számítógépes döntéstámogatás. Genetikus algoritmusok
BLSZM-10 p. 1/18 Számítógépes döntéstámogatás Genetikus algoritmusok Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu BLSZM-10 p. 2/18 Bevezetés 1950-60-as
E.4 Markov-láncok E.4 Markov-láncok. Sok sorbanállási hálózat viselkedése leírható "folytonos idejű Markovláncok " segítségével.
E.4 Markov-láncok Sok sorbanállási hálózat viselkedése leírható "folytonos idejű Markovláncok " segítségével. Egy Markov-láncot (MC) meghatároznak az alapját adó sorbanállási hálózat állapotai és az ezek
Természettudományi Kar. Gyóni Dorottya. Matematika BSc Alkalmazott matematika szakirány Szakdolgozat. Kis-Benedek Ágnes
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Gyóni Dorottya Permutációk rendezése génmutációk vizsgálatához Matematika BSc Alkalmazott matematika szakirány Szakdolgozat Témavezető: Kis-Benedek
Statisztikai módszerek a skálafüggetlen hálózatok
Statisztikai módszerek a skálafüggetlen hálózatok vizsgálatára Gyenge Ádám1 1 Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Villamosmérnöki és Informatikai Kar Számítástudományi és Információelméleti
Monte Carlo módszerek a statisztikus fizikában. Az Ising modell. 8. előadás
Monte Carlo módszerek a statisztikus fizikában. Az Ising modell. 8. előadás PI KISZÁMOLÁSI JÁTÉKOK A TENGERPARTON egy kört és köré egy négyzetet rajzolunk véletlenszerűen kavicsokat dobálunk megszámoljuk:
egyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk
Valószínűségszámítás 8. feladatsor 2015. november 26. 1. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi folyamatok mindegyike martingál. a S n, Sn 2 n, Y n = t n 1+ 1 t 2 Sn, t Fn = σ S 1,..., S n, 0 < t < 1 rögzített,
1. tétel - Gráfok alapfogalmai
1. tétel - Gráfok alapfogalmai 1. irányítatlan gráf fogalma A G (irányítatlan) gráf egy (Φ, E, V) hátmas, ahol E az élek halmaza, V a csúcsok (pontok) halmaza, Φ: E {V-beli rendezetlen párok} illeszkedési
Megkülönböztetett kiszolgáló routerek az
Megkülönböztetett kiszolgáló routerek az Interneten Megkülönböztetett kiszolgálás A kiszolgáló architektúrák minősége az Interneten: Integrált kiszolgálás (IntServ) Megkülönböztetett kiszolgálás (DiffServ)
ELTE IK Esti képzés tavaszi félév. Tartalom
Diszkrét Matematika 2 vizsgaanyag ELTE IK Esti képzés 2017. tavaszi félév Tartalom 1. Számfogalom bővítése, homomorfizmusok... 2 2. Csoportok... 9 3. Részcsoport... 11 4. Generátum... 14 5. Mellékosztály,
Problémamegoldás kereséssel. Mesterséges intelligencia március 7.
Problémamegoldás kereséssel Mesterséges intelligencia 2014. március 7. Bevezetés Problémamegoldó ágens Kívánt állapotba vezető cselekvéseket keres Probléma megfogalmazása Megoldás megfogalmazása Keresési
Teljesítmény Mérés. Tóth Zsolt. Miskolci Egyetem. Tóth Zsolt (Miskolci Egyetem) Teljesítmény Mérés / 20
Teljesítmény Mérés Tóth Zsolt Miskolci Egyetem 2013 Tóth Zsolt (Miskolci Egyetem) Teljesítmény Mérés 2013 1 / 20 Tartalomjegyzék 1 Bevezetés 2 Visual Studio Kód metrikák Performance Explorer Tóth Zsolt
Készítette: Trosztel Mátyás Konzulens: Hajós Gergely
Készítette: Trosztel Mátyás Konzulens: Hajós Gergely Monte Carlo Markov Chain MCMC során egy megfelelően konstruált Markov-lánc segítségével mintákat generálunk. Ezek eloszlása követi a céleloszlást. A
Diszkrét Irányítások tervezése. Heurisztika Dr. Bécsi Tamás
Diszkrét Irányítások tervezése Heurisztika Dr. Bécsi Tamás Algoritmusok futásideje Az algoritmus futásideje függ az N bemenő paramétertől. Azonos feladat különböző N értékek esetén más futásidőt igényelnek.
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen
Számítógép és programozás 2
Számítógép és programozás 2 6. Előadás Problémaosztályok http://digitus.itk.ppke.hu/~flugi/ Emlékeztető A specifikáció egy előfeltételből és utófeltételből álló leírása a feladatnak Léteznek olyan feladatok,
Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
(Diszkrét idejű Markov-láncok állapotainak
(Diszkrét idejű Markov-láncok állapotainak osztályozása) March 21, 2019 Markov-láncok A Markov-láncok anaĺızise főként a folyamat lehetséges realizációi valószínűségeinek kiszámolásával foglalkozik. Ezekben
Összefoglalás és gyakorlás
Összefoglalás és gyakorlás High Speed Networks Laboratory 1 / 28 Hálózatok jellemző paraméterei High Speed Networks Laboratory 2 / 28 Evolúció alkotta adatbázis Önszerveződő adatbázis = (struktúra, lekérdezés)
Alap fatranszformátorok II
Alap fatranszformátorok II Vágvölgyi Sándor Fülöp Zoltán és Vágvölgyi Sándor [2, 3] közös eredményeit ismertetjük. Fogalmak, jelölések A Σ feletti alaptermek TA = (T Σ, Σ) Σ algebráját tekintjük. Minden
előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás
13-14. előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás 2016. november 28. és december 5. 13-14. előadás 1 / 35 Bevezetés A diszkrét
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
SzA II. gyakorlat, szeptember 18.
SzA II. gyakorlat, 015. szeptember 18. Barátkozás a gráfokkal Drótos Márton drotos@cs.bme.hu 1. Az előre megszámozott (címkézett) n darab pont közé hányféleképp húzhatunk be éleket úgy, hogy egyszerű gráfhoz
értékel függvény: rátermettségi függvény (tness function)
Genetikus algoritmusok globális optimalizálás sok lehetséges megoldás közül keressük a legjobbat értékel függvény: rátermettségi függvény (tness function) populáció kiválasztjuk a legrátermettebb egyedeket
2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel
2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel A kör-probléma a következőképpen is megközelíthető: Jelölje S a négyzetszámok halmazát. Jelölje r S (n) azt az értéket, ahány féleképpen n felírható két pozitív
Algoritmusok Tervezése. 6. Előadás Algoritmusok 101 Dr. Bécsi Tamás
Algoritmusok Tervezése 6. Előadás Algoritmusok 101 Dr. Bécsi Tamás Mi az algoritmus? Lépések sorozata egy feladat elvégzéséhez (legáltalánosabban) Informálisan algoritmusnak nevezünk bármilyen jól definiált
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
Modellkiválasztás és struktúrák tanulása
Modellkiválasztás és struktúrák tanulása Szervezőelvek keresése Az unsupervised learning egyik fő célja Optimális reprezentációk Magyarázatok Predikciók Az emberi tanulás alapja Általános strukturális
A számítástudomány alapjai
A számítástudomány alapjai Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Legszélesebb utak Katona Gyula Y. (BME SZIT) A számítástudomány
Diszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. Mérai László előadása alapján Készítette: Nagy Krisztián 1. előadás Gráfok halmaza, gráf, ahol a csúcsok halmaza, az élek illesztkedés reláció: illesztkedik az élre, ha ( -él illesztkedik
Optimalizálás alapfeladata Legmeredekebb lejtő Lagrange függvény Log-barrier módszer Büntetőfüggvény módszer 2017/
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 9. Előadás Az optimalizálás alapfeladata Keressük f függvény maximumát ahol f : R n R és
19. AZ ÖSSZEHASONLÍTÁSOS RENDEZÉSEK MŰVELETIGÉNYÉNEK ALSÓ KORLÁTJAI
19. AZ ÖSSZEHASONLÍTÁSOS RENDEZÉSEK MŰVELETIGÉNYÉNEK ALSÓ KORLÁTJAI Ebben a fejezetben aszimptotikus (nagyságrendi) alsó korlátot adunk az összehasonlításokat használó rendező eljárások lépésszámára. Pontosabban,
MATEMATIKAI PROBLÉMAMEGOLDÓ GYAKORLAT
MATEMATIKAI PROBLÉMAMEGOLDÓ GYAKORLAT Ergodelmélet Dávid Szabolcs Papp Dániel Stippinger Marcell 2009.12.11 2 Definíció: A T endomorfizmust ergodikusnak nevezzük, ha bármely f L 2 függvényre f const. (Miután
Véletlen bolyongás. Márkus László március 17. Márkus László Véletlen bolyongás március / 31
Márkus László Véletlen bolyongás 2015. március 17. 1 / 31 Véletlen bolyongás Márkus László 2015. március 17. Modell Deníció Márkus László Véletlen bolyongás 2015. március 17. 2 / 31 Modell: Egy egyenesen
Waldhauser Tamás december 1.
Algebra és számelmélet előadás Waldhauser Tamás 2016. december 1. Tizedik házi feladat az előadásra Hányféleképpen lehet kiszínezni az X-pentominót n színnel, ha a forgatással vagy tükrözéssel egymásba
Algoritmusok és adatszerkezetek 2.
Algoritmusok és adatszerkezetek 2. Varga Balázs gyakorlata alapján Készítette: Nagy Krisztián 1. gyakorlat Nyílt címzéses hash-elés A nyílt címzésű hash táblákban a láncolással ellentétben egy indexen
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 9 IX. ROBUsZTUs statisztika 1. ROBUsZTUssÁG Az eddig kidolgozott módszerek főleg olyanok voltak, amelyek valamilyen értelemben optimálisak,
A Föld középpontja felé szabadon eső test sebessége növekszik, azaz, a
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Függvények. Függvények A Föld középpontja felé szabadon eső test sebessége növekszik, azaz, a szabadon eső test sebessége az idő függvénye. Konstans hőmérsékleten
Algoritmuselmélet 18. előadás
Algoritmuselmélet 18. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Május 7. ALGORITMUSELMÉLET 18. ELŐADÁS 1 Közelítő algoritmusok
A Markovi forgalomanalízis legújabb eredményei és ezek alkalmazása a távközlő hálózatok teljesítményvizsgálatában
A Markovi forgalomanalízis legújabb eredményei és ezek alkalmazása a távközlő hálózatok teljesítményvizsgálatában Horváth Gábor ghorvath@hit.bme.hu (Horváth András, Telek Miklós) - p. 1 Motiváció, problémafelvetés
Diszkrét idejű felújítási paradoxon
Magda Gábor Szaller Dávid Tóvári Endre 2009. 11. 18. X 1, X 2,... független és X-szel azonos eloszlású, pozitív egész értékeket felvevő valószínűségi változó (felújítási idők) P(X M) = 1 valamilyen M N
Approximációs algoritmusok
Approximációs algoritmusok Nehéz (pl. NP teljes) problémák optimális megoldásának meghatározására nem tudunk (garantáltan) polinom idejű algoritmust adni. Lehetőségek: -exponenciális futási idejű algoritmus
Least Squares becslés
Least Squares becslés A négyzetes hibafüggvény: i d i ( ) φx i A négyzetes hibafüggvény mellett a minimumot biztosító megoldás W=( d LS becslés A gradiens számítása és nullává tétele eredményeképp A megoldás
Diszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Inferencia. ADOTTAK:! generatív modell: például: DAG + prior(ok) + likelihood(ok) P(X 1,X 2,,X n ) megfigyelések: D = {X i = x i, X j = x j, }
Street1931 Falk1975 Falk1975 Inferencia ADOTTAK:! generatív modell: például: DAG + prior(ok) + likelihood(ok) P(X 1,X 2,,X n ) megfigyelések: D = {X i = x i, X j = x j, }! KISZÁMOLANDÓK:! normalizáció
Algoritmuselmélet. Mélységi keresés és alkalmazásai. Katona Gyula Y.
Algoritmuselmélet Mélységi keresés és alkalmazásai Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 9. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet
Mesterséges Intelligencia MI
Mesterséges Intelligencia MI Problémamegoldás kereséssel - lokális információval Pataki Béla Bolgár Bence BME I.E. 414, 463-26-79 pataki@mit.bme.hu, http://www.mit.bme.hu/general/staff/pataki Rugó tervezése
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2015.
Loss Distribution Approach
Modeling operational risk using the Loss Distribution Approach Tartalom»Szabályozói környezet»modellezési struktúra»eseményszám eloszlás»káreloszlás»aggregált veszteségek»további problémák 2 Szabályozói
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, 204. június 0 A dolgozatírásnál íróeszközön kívül más segédeszköz nem használható. A dolgozat időtartama: 90 perc. Ha a dolgozat első részéből szerzett
ALGORITMUSOK ÉS BONYOLULTSÁGELMÉLET Matematika MSc hallgatók számára. 11. Előadás
ALGORITMUSOK ÉS BONYOLULTSÁGELMÉLET Matematika MSc hallgatók számára 11. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Hajnal Péter 2011. április 26. 1. Mahaney-tétel bizonyítása Emlékeztető. Mahaney-tétel
Matematika MSc záróvizsgák (2015. június )
Június 23. (kedd) H45a 12.00 13.00 Bizottság: Simonovits András (elnök), Simon András, Katona Gyula Y., Pap Gyula (külső tag) 12.00 Bácsi Marcell Közelítő algoritmusok és bonyolultságuk tv.: Friedl Katalin
minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
MBNK12: Permutációk (el adásvázlat, április 11.) Maróti Miklós
MBNK12: Permutációk el adásvázlat 2016 április 11 Maróti Miklós 1 Deníció Az A halmaz permutációin a π : A A bijektív leképezéseket értjünk Tetsz leges n pozitív egészre az {1 n} halmaz összes permutációinak
1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
Diszkrét matematika II. gyakorlat
Diszkrét matematika II. gyakorlat 9. Gyakorlat Szakács Nóra Helyettesít: Bogya Norbert Bolyai Intézet 2013. április 11. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat 2013. április 11.
Algoritmuselmélet. Gráfok megadása, szélességi bejárás, összefüggőség, párosítás. Katona Gyula Y.
Algoritmuselmélet Gráfok megadása, szélességi bejárás, összefüggőség, párosítás Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 2. előadás
1. Határozd meg az a, b és c értékét, és az eredményeket közönséges tört alakban írd a megfelelő helyre!
1. Határozd meg az a, b és c értékét, és az eredményeket közönséges tört alakban írd a megfelelő helyre! a) a = 9 4 8 3 = 27 12 32 12 = 5 12 a = 5 12. a) b = 1 2 + 14 5 5 21 = 1 2 + 2 1 1 3 = 1 2 + 2 3
Valószínűségszámítás összefoglaló
Statisztikai módszerek BMEGEVGAT Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:
Tanulás Boltzmann gépekkel. Reiz Andrea
Tanulás Boltzmann gépekkel Reiz Andrea Tanulás Boltzmann gépekkel Boltzmann gép Boltzmann gép felépítése Boltzmann gép energiája Energia minimalizálás Szimulált kifűtés Tanulás Boltzmann gép Tanulóalgoritmus
Matematika alapjai; Feladatok
Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \