FELADATGY JTEMÉNY MATEMATIKA I. GYAKORLATHOZ KÉZI CSABA

Átírás

1 FELADATGY JTEMÉNY MATEMATIKA I. GYAKORLATHOZ KÉZI CSABA

2 KÉZI CSABA El szó Ez a feladatgy jtemény a Debreceni Egyetem M szaki Karának Matematika I. tantárgyának tematikájához szorosan illeszkedik. Célja a m szaki képzésben részt vev hallgatók matematika tanulmányainak megkönnyítése, továbbá, hogy a hallgatók a matematika mérnöki, illetve gazdasági alkalmazásaiba is betekintést nyerjenek. A feladatgy jtemény jó néhány standard, gyakorló feladatot tartalmaz, melyeken keresztül begyakorolhatók a rutinszer en elvárt feladatok megoldásai. Ezen kívül tartalmaz nehezebb, gondolkodást igényl feladatokat, illetve szép számmal alkalmazott matematikai példákat is. Jelölésrendszerében jelöli az el adáson vagy a gyakorlati órán megoldásra szánt feladatokat, jelöli a házi feladatnak szánt példákat, és jelöli a gondolkodtatóbb, vagy a Matematika I. gyakorlat óraszámába már id hiány miatt el nem hangzott feladatokat. Ezeket a példákat a matematika iránt mélyebben érdekl d hallgatók számára ajánljuk. A példatár gondos átolvasásáért, és a felmerül hibák javításáért köszönettel tartozom Molnár Ildikó m szaki menedzser és Tóth Xénia Erzsébet mechatronika szakos hallgatóknak. Köszönettel tartozom Dr. Kocsis Imre tanszékvezet nek, Dr. Szíki Gusztáv Áron f iskolai tanárnak, akik hasznos információkkal láttak el a feladatgy jtemény megírása során. Köszönöm továbbá a M szaki Alaptárgyi Tanszék minden oktatójának, valamint jó barátomnak, Baják Szabolcsnak, akikt l a személyes beszélgetéseink során jó néhány hasznosítható ötletet meríthettem.

3 FELADATGY JTEMÉNY MATEMATIKA I. GYAKORLATHOZ 3 I. Mátrixm veletek, determináns kiszámítása, mátrixok invertálása (determinánsokkal), mátrixok gazdasági alkalmazásai. Tekintsük az A = meg az ( ) és a B = ( ) mátrixokat! Határozzuk a) A + B b) A 3B mátrixokat! a) Két mátrixot úgy adunk össze, hogy a megfelel helyen lév elemeket össszeadjuk, így: ( ) ( ) ( 5) A + B = = ( 9) b) El ször a skalárral való szorzásokat végezzük el (azaz az els mátrix minden elemét -vel, a második mátrix minden elemét 3-al szorozzuk), majd a kapott mátrixokat kivonjuk (az els mátrix megfelel elemeib l kivonjuk a második mátrix megfelel elemeit): ( ) ( ) ( ) A 3B = = Tekintsük az A = és a B = 5 5 mátrixokat! Határozzuk meg az a) A B b) 3A + B mátrixokat! a) Két mátrixot úgy vonunk ki, hogy a megfelel helyen lév elemeket kivonjuk, így: A B = ( ) 3 5 = b) El ször a skalárral való szorzásokat végezzük el (azaz az els mátrix minden elemét 3-mal, a második mátrix minden elemét -vel szorozzuk), majd a kapott mátrixokat összeadjuk: 3A + B = =

4 4 KÉZI CSABA 3. Határozzuk meg az x, y, z, t valós számokat úgy, hogy az ( ) ( ) ( x y x x + y 3 = + z t 6 t z + t 3 ) egyenl ség teljesüljön! Els lépésben az egyenl ség bal oldalán elvégezzük a skalárral való szorzást, jobb oldalán az összeadást, így az ( ) ( ) 3x 3y x + 5 x + y + 4 = 3z 3t z + t 6 3 t egyenl séghez jutunk. Két mátrix pontosan akkor egyenl, ha a megfelel helyen lév elemeik egyenl ek. Így az egyenl ség fennállásának szükséges és elégséges feltétele az alábbi egyenletek teljesülése 3x = x + 5 3y = x + y + 4 3z = z + t 6 3t = 3 t. Az els egyenletb l x = 5. Ezt behelyettesítve a második egyenletbe y = 4, 5 adódik. Az utolsó egyenletb l t = 0, 6. Ezt behelyettesítve a harmadik egyenletbe z =, 7 adódik. 4. Jelöljön (m n) egy m-szer n-es mátrixot. Összeszorozhatók-e az alábbi mátrixok, ha igen, határozzuk meg az eredménymátrix méretét: a) ( 4)(3 6) b) (3 5)(4 3) c) ( 5)( 5) d) (4 )( 5) e) (4 6)(6 ) f) (5 )(5 5) Két mátrix pontosan akkor szorozható össze, ha az els mátrix oszlopainak a száma megegyezik a második mátrix sorainak a számával. Ilyenkor az eredménymátrixnak annyi sora, illetve oszlopa van, amennyi sora van az els mátrixnak, illetve amennyi oszlopa van a második mátrixnak. Tehát összeszorozni csak m n és n k típusú mátrixokat lehet, s ilyenkor a szorzatmátrix m k-as lesz. Ez alapján a) nem összeszorozhatók b) nem összeszorozhatók c) nem összeszorozhatók d) összeszorozhatók, az eredménymátrix 4 5-ös lesz e) összeszorozhatók, az eredménymátrix 4 -ös lesz f) nem összeszorozhatók. 5. Tekintsük az A = az ( 3 ) és a B = ( ) mátrixokat! Határozzuk meg

5 FELADATGY JTEMÉNY MATEMATIKA I. GYAKORLATHOZ 5 a) AB b) BA szorzatokat! a) Az els mátrix -es, a második 3-as, így a szorzás elvégezhet, és az eredménymátrix 3-as lesz. A mátrixok szorzása úgynevezett sor-oszlop kompozíciós szorzat, azaz az i-edik sor minden elemét megszorozzuk a j-edik oszlop megfelel elemeivel, és a kapott eredményeket összeadjuk. Így kapjuk a szorzatmátrix (i, j) index elemét. Azaz ( ) ( ) ( ) ( ) AB = = = b) A BA mátrix nem létezik. 6. Tekintsük az A = és a B = ( 3 ) mátrixokat! Határozzuk meg az a) AB b) BA szorzatokat! a) b) AB = ( ) 3 4 = 3 5 BA = ( 3 ) = ( 6 ) 7. Határozzuk meg az AB és BA mátrixokat, ha ( ) A =, B = AB = ( 4 A BA mátrix nem létezik. ) 0 3. = ( ).

6 6 KÉZI CSABA 8. Határozzuk meg az alábbi mátrixok transzponáltját: A = ( ) ( 4, B = 3 ), C = Egy mátrix transzponáltját a sorainak és oszlopainak felcserélésével kapjuk meg: A T = 3 ( ) ( ) 0 4 5, B T =, C 4 3 T = Tekintsük az A = az ( ) és a B = ( ) mátrixokat! Határozzuk meg a) A T B b) B T A szorzatokat! a) b) A T B = B T A = ( ( ) = ) = Határozzuk meg az A = ( 3 ) mátrix négyzetét! Mivel A = A A, ezért A = ( 3 ) ( 3 ) = ( ).

7 FELADATGY JTEMÉNY MATEMATIKA I. GYAKORLATHOZ 7 ( ). Tekintsük az A = mátrixot! Határozzuk meg azokat a zéruvektortól különböz u vektorokat, melyekre Au = 5 u. Az u vektornak koordinátából álló oszlopvektornak kell lennie, ellenkez esetben a szorzás nem végezhet el. Legyenek az u koordinátái x és y. Így az Au = u egyenlet ( ) ( ) ( ) x x = 5 y y alakban írható föl. Az egyenlet bal oldalán elvégezve a szorzást ( ) ( ) x + y x = x + 5y y adódik. Két mátrix pontosan akkor egyenl, ha a megfelel helyen lév elemeik megegyeznek, így az x + y = x x + 5y = y egyenletrendszerhez jutunk. Elvégezve az összevonásokat az x + y = 0 x + 4y = 0 egyenletrendszert kapjuk. Vegyük észre, hogy a második egyenlet éppen kétszerese az els nek, így a két egyenlet ekvivalens (azaz ugyanaz a megoldásuk). Így az egyik egyenlet elhagyható. Az x + y = 0 egyenletben az egyik ismeretlent tetsz legesen választhatjuk meg. Legyen például y = t, ahol t R \ {0} tetsz leges. Ekkor x = t adódik. Tehát a feltételeknek minden ( ) t u = t alakú vektor eleget tesz, ahol t R \ {0} tetsz leges.. Határozzuk meg az A = ( 5 ) mátrix determinánsát! Kétszer kettes mátrix determinánsa a f átlóbeli és mellékátlóbeli elemek szorzatának különbsége, így det A = 5 = 0 4 = Határozzuk meg az A = ( 3 4 ) mátrix determinánsát!

8 8 KÉZI CSABA Kétszer kettes mátrix determinánsa a f átlóbeli és mellékátlóbeli elemek szorzatának különbsége, így det A = 3 4 ( ) = = Határozzuk meg az A = mátrix determinánsát Sarrus-szabállyal és kifejtési tétellel! Sarrus-szabály: Leírjuk a mátrix mellé az els két oszlopát: 3 0 0, 0 Ezután a f átlóban és vele párhuzamosan, t le jobbra lév két másik átlóban lév elemeket összeszorozzuk, e szorzatokat összeadjuk, majd a mellékátlóban és vele párhuzamosan, t le jobbra lév két másik átló elemeit összeszorozzuk, majd e szorzatot kivonjuk az el z összegb l, azaz det A = ( 0 + ( ) ) ( ( ) ) = 9. Kifejtési tétel: Eszerint egy n n-es mátrix determinánsának kiszámításához egy tetsz leges sor (vagy oszlop) minden elemét meg kell szoroznunk a hozzá tartozó el jeles aldeterminánssal, és összegeznünk kell a kapott számokat. Ha lehetséges, akkor érdemes olyan sort, vagy oszlopot választani, mely a lehet legtöbb 0-t tartalmazza. Jelen esetben válasszuk ki a mátrix második sorát. Ekkor = 0 ( ) ( ) ( )+3. Kiszámolva a -es determinánsokat det A = 0(0 3) + (0 3) ( + ) = 9. Lényeges, hogy a Sarrus-szabály CSAK 3 3-as mátrixra alkalmazható, míg a kifejtési tétel TETSZŽLEGES négyzetes mátrix determinánsának kiszámolására. 5. Határozzuk meg az A = 0 mátrix determinánsát! = ( ) = = 0.

9 FELADATGY JTEMÉNY MATEMATIKA I. GYAKORLATHOZ 9 6. Számoljuk ki az A = mátrix determinánsát! Az els sor szerinti kifejtést alkalmazzuk, majd a keletkez háromszor hármas determinánsokat például Sarrus szabállyal számolhatjuk ki: 3 det A = ( ) ( ) ( ) ( )( ) = ( 7) + ( ) ( ) ( 4) = Határozzuk meg az x valós számot úgy, hogy az ( ) x A = 4 mátrix invertálható legyen! Egy mátrix pontosan akkor invertálható, ha a determinánsa nem nulla. Így els lépésben kiszámoljuk a mátrix determinánsát: x 4 = ( 4) x = 8 x, ami pontosan akkor nem nulla, ha x Határozzuk meg az x valós szám értékét úgy, hogy az A = ) mátrix invertálható legyen! ( x 3 Egy mátrix pontosan akkor invertálható, ha a determinánsa nem nulla. ( ) x det A = = 3x + 3, ami pontosan akkor nem nulla, ha x Határozzuk meg az x valós számot úgy, hogy a A = x

10 0 KÉZI CSABA mátrix invertálható legyen! Egy mátrix pontosan akkor invertálható, ha a determinánsa nem nulla. Így els lépésben kiszámoljuk a mátrix determinánsát: x = 0 4x = 4x 9, 3 0 ami pontosan akkor nem nulla, ha x Határozzuk meg az (, 3) és a (, 5) vektorok által kifeszített paralelogramma területét! A keresett terület a vektorok által meghatározott determináns abszolútértéke. Mivel 3 5 = 5 ( 6) =, ezért a keresett terület.. Határozzuk meg az (,, ), (,, 0) és az (,, 3) vektorok által kifeszített paralelepipedon térfogatát! A keresett térfogat a vektorok által meghatározott determináns abszolútértéke. Mivel = = 6, 0 3 ezért a keresett terület 6. ( ) 3. Számoljuk ki az A = mátrix inverzét! 4 Az ( ) a b A = c d mátrix inverze A = det A ( d b c a ),

11 FELADATGY JTEMÉNY MATEMATIKA I. GYAKORLATHOZ amennyiben a determináns nem zérus. Jelen esetben az A mátrix determinánsa det A = 4 3 ( ) =, ami nem nulla, így a mátrixnak létezik inverze. Az inverzmátrix A = ( ) Számoljuk ki az A = ( ) mátrix inverzét! Az A mátrix inverze A = det A ( d b c a ) = ( ). 4. Számoljuk ki az A = mátrix inverzét! Ellen rizzük megoldásunkat! A mátrix determinánsát kiszámolhatjuk például Sarrus-szabállyal det A = ( ( 5) ( ) 3 ) ( 0 ( 5) ( ) ) = 7, ami nem nulla, így a mátrixnak létezik inverze. Kiszámolva az algebrai adjungált aldeterminánsokat, az inverzmátrix T 0 0 A = = Ellen rzésképpen kiszámoljuk az A A szorzatot: A A = = = = Eredményül a 3 3-as egységmátrixot kaptuk, amivel ellen riztük az inverz helyességét. (Megjegyezzük, hogy az inverz helyességének ellen rzéséhez az AA szorzatot is ki kellene számolni, mivel a mátrixszorzás nem kommutatív, de ett l most eltekintünk.)

12 KÉZI CSABA 5. Számoljuk ki az A = Az A mátrix inverze A = mátrix inverzét! T = Adottak az A = 0 0, B = Határozzuk meg azt az X mátrixot, melyre A + X = B. Az X mátrixot kifejezve X = B A adóódik, így 0 X = = Adottak az A = ( 3 ) ( 0 3, B = ). Határozzuk meg azt az X mátrixot, melyre AX BX = A. Az egyenlet bal oldalán X-et jobbra kiemelve (A B)X = A adódik. Ebb l X kifejezhet, mert A B invertálható, nevezetesen X = (A B) A. Ehhez el bb kiszámoljuk az A B mátrixot, majd annak az inverzét. ( ) ( ) ( ) A B = =. Ezt felhasználva (A B) = ( 4 3 ). Ebb l az ismeretlen X mátrix X = (A B) A = ( 4 3 ) ( 3 ) = ( ).

13 FELADATGY JTEMÉNY MATEMATIKA I. GYAKORLATHOZ 3 8. Egy cég 3 alapanyagból 4 féle terméket állít el. Az alábbi táblázat mutatja, hogy az egyes termékek el állításához mennyi alapanyag szükséges, az egyes alapanyagok költségeit, a nyersanyagokból rendelkezésre álló mennyiségeket, valamint a kész termékek eladási árait. Az egyes termékekb l rendre 0, 0, 5, 0 darabot gyártunk. T T T3 T4 költség (Ft/db) Kapacitás A A A Egységár(Ft/db) Válaszoljunk mátrixm veletekkel az alábbi kérdésekre! a) Elegend -e a rendelkezésre álló kapacitás? b) Mennyi a megmaradt alapanyag? c) Mennyi a termékek el állítási költsége - darab el állítása esetén? d) Mekkora az összköltség? e) Mennyi a bevétel? f) Mennyi a haszon/prot? a) A megfelel eredményt egy mátrix és egy vektor szorzata adja = 45 65, így elegend a rendelkezésre álló alapanyag mennyiség. b) A megmaradt alapanyag = c) Az el állítási költség darab termék gyártása esetén: ( ) = ( ). 4 d) Az összköltség ( ) = = 3500.

14 4 KÉZI CSABA e) A bevétel ( ) = = f) A prot a bevétel és a költség különbsége: = Egy étteremben háromféle levesb l eladott adagok számát az alábbi táblázat mutatja. gulyásleves zöldségleves gyümölcsleves hétf kedd szerda csütörtök péntek Egys.ár(Ft/db) Válaszoljunk mátrixm veletekkel az alábbi kérdésekre! a) Mennyi a levesekb l származó napi bevétel? b) Mennyi a levesekb l származó összbevétel az öt nap alatt? c) Határozzuk meg az egyes levesfélékb l eladott adagok számát az öt nap alatt összesen! d) Az egyes napokon zöldséglevesb l hány adaggal többet adtak el, mint gyümölcslevesb l? a) A megfelel eredményt egy mátrix és egy vektor szorzata adja = b) A levesekb l származó összbevétel az 5 nap alatt 6500 ( ) = =

15 FELADATGY JTEMÉNY MATEMATIKA I. GYAKORLATHOZ 5 c) Az egyes levesekb l eladott adagok száma ( ) = ( ) d) Az egyes napokon zöldséglevesb l = adaggal adtak el többet, mint gyümölcslevesb l Egy étteremben négyféle ételb l eladott adagok számát az alábbi táblázat mutatja.. étel. étel 3. étel 4. étel hétf kedd szerda csütörtök péntek Egys.ár(Ft/db) Válaszoljunk mátrixm veletekkel az alábbi kérdésekre! a) Mennyi volt a bevétel naponta? b) Hány adag fogyott az egyes ételekb l naponta az öt nap alatt? c) A második ételb l mennyivel fogyott több, mint az els b l naponta? a) A megfelel eredményt egy mátrix és egy vektor szorzata adja =

16 6 KÉZI CSABA b) Az egyes ételekb l eladott adagok száma naponta ( ) = ( ) c) Az egyes napokon a második ételb l = adaggal fogyott több, mint az els b l. 3. Négy utazásra a hét els három napján eladott jegyek számát mutatja az alábbi táblázat. London Bécs Párizs Velence hétf kedd szerda Egys.ár(ezer Ft/db) Válaszoljunk mátrixm veletekkel az alábbi kérdésekre! a) Mennyi az utazási iroda bevétele naponta? b) Három nap alatt hány jegyet adtak el az egyes városokba? c) Mennyivel volt több a keddi bevétel, mint a hétf i? a) A megfelel eredményt egy mátrix és egy vektor szorzata adja = b) Az egyes városokba eladott jegyek száma ( ) = ( )

17 FELADATGY JTEMÉNY MATEMATIKA I. GYAKORLATHOZ 7 c) A hétf i bevétel ( ) = 67e forinttal volt több, mint a keddi. 3. Egy cég 3 raktárban 4 féle terméket tárol. Az alábbi táblázat mutatja a tárolt mennyiségeket, az egyes termékek egységárait, a raktározás költségét, valamint a raktár befogadó képességét. T T T3 T4 költség (Ft/db) Kapacitás R R R Egys.ár(Ft/db) Válaszoljunk mátrixm veletekkel az alábbi kérdésekre! a) Hány darabot tárolnak az egyes termékekb l? b) Mekkora az egyes raktárak szabad kapacitása? c) Mennyi az egyes termékek raktározási költsége? d) Mekkora értéket tárolnak az egyes raktárak? a) A megfelel eredményt egy mátrix és egy vektor szorzata adja = b) Az egyes raktárak szabad kapacitása = 6 c) Az egyes termékek raktározási költsége ( ) = ( )

18 8 KÉZI CSABA d) Az egyes raktárakban tárolt értékek = Négy feladóhelyr l három rendeltetési állomásra szállítunk árut. A szállítási költségeket az alábbi mátrix mutatja. R R R3 F F F F Mindegyik feladóhelyr l az els rendeltetési helyre 3, a másodikra 5, a harmadikra 4 egységnyi mennyiséget kell szállítani. Mennyi a szállítási költség feladóhelyenként? A szállítási költség feladóhelyenként = Három csoport matematika vizsgajegyeit tartalmazza az alábbi táblázat jeles (5) jó (4) közepes (3) elégséges () elégtelen () Cs Cs Cs Mátrixm veletek segítségével válaszoljunk az alábbi kérdésekre. a) Határozzuk meg a csoportonkénti létszámot! b) Határozzuk meg az összlétszámot! c) Határozzuk meg az osztályzatok megoszlását, azaz, hogy az egyes osztályzatokból összesen hány darab született! d) Számoljuk ki az egyes csoportok vizsgaátlagát!

19 FELADATGY JTEMÉNY MATEMATIKA I. GYAKORLATHOZ 9 a) A csoportonkénti létszám = b) Az összlétszám ( ) = = 57. c) Az osztályzatok megoszlása ( ) = ( ) d) Az egyes csoportok vizsgaátlaga ( ) ( ) ( ) = 85 = 3, 54; 4 = 40 =, 86; 4 = 67 = 3, Tegyük fel, hogy a gazdaságban három ágazat m ködik: mez gazdaság, ipar és szolgáltatás. (Nem valami realisztikus feltevés, de könnyen gondolhatunk rá úgy, hogy több szektor is van, csak azokkal mi nem foglalkozunk.) Ekkor felírható az alábbi táblázat: mez gazdaság ipar szolgáltatás mez gazdaság ipar szolgáltatás teljes ráfordítás/kibocsátás

20 0 KÉZI CSABA A táblázatot oszloponként kell olvasni, a következ módon: például a mez gazdaság összesen 85 (milliárd dollárt) költött inputokra, és ebb l 35-öt mez gazdasági termékre, 5-öt ipari termékre és 0-et szolgáltatási termékre. Nyilván 85 több, mint , de ez azért van, mert több más szektort is van, amiket itt most nem veszünk gyelembe. Írjuk fel a ráfordítási mátrixot! Ahhoz, hogy megkapjuk a ráfordítási mátrixot, az oszlopokban az elemeket le kell osztani a megfelel teljes kibocsátással, hogy egységnyire jutó adatokat kapjunk. Így az alábbi mátrixhoz jutunk 0, 4 0, 03 0, 03 0, 06 0, 38 0,. 0, 0, 6 0, Egy gazdaság ráfordítási mátrixa A = ( 0, 0, 5 0, 4 0, 3 a) Produktív-e (m köd képes-e) a gazdaság? ( ) 3 b) Mennyi legyen a teljes kibocsátás ahhoz, hogy a d = vektorral megadott nettó 4 termelést elérjük? c) Mely termékek el állítása nyereséges, ha árrendszerünk a v = (, 5) vektorral adható meg? a) Az E A mátrix inverzének az elemeit kell megvizsgálnunk, ahol E a megfelel (jelen esetben -es) egységmátrix. Az ( ) ( ) ( ) 0 0, 0, 5 0, 9 0, 5 E A = = 0 0, 4 0, 3 0, 4 0, 7 mátrix inverze (E A) = 0, 43 ( 0, 7 0, 5 0, 4 0, 9 ) = ). (, 63, 6 0, 93, 09 Mivel a Leontief inverz minden tagja nemnegatív, ezért a gazdaság m köd képes. ). b) A teljes kibocsátás (E A) d = (, 63, 6 0, 93, 09 ) ( 3 4 ) = ( 9, 53, 5 ), tehát 9,53 darabot kell az els,,5 darabot kell a második termékb l el állítani, ahhoz hogy a megadott nettó termelést elérjük.

21 c) Mivel FELADATGY JTEMÉNY MATEMATIKA I. GYAKORLATHOZ ( 0, 0, 5 va = ( 5) 0, 4 0, 3 ) = (, ;, 5), ezért az els termék el állítása, egységbe kerül, így az veszteséges (a veszteség 0, egység), a második termék el állítása, 5 egységbe kerül, így az nyereséges (a nyereség, 5 egység). 37. Igazoljuk, hogy ha A n nulla valamely n N természetes számra, akkor az E A mátrix invertálható. Mivel (E A)(E + A + A A n ) = (E + A + A A n ) (A + A + A A n ) = E A n = E, ezért az E A mátrix inverze E + A + A A n, tehát E A invertálható.

22 KÉZI CSABA II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása (Gauss-elimináció, Cramer-szabály). Lineárisan függetlenek-e az alábbi vektorok: ( ) ( 0 a =, a = 0 )? Tekintsük az x a + x a = 0 lineáris kombinációt. Behelyettesítve az a, a értékeit ( ) ( ) ( ) 0 0 x + x =. 0 0 Elvégezve a skalárral való szorzást, majd az összeadást ( ) ( ) x 0 = x 0 adódik. Két vektor pontosan akkor egyenl, ha a megfelel helyen lév koordinátái egyenl ek, így x = 0, valamint x = 0, amib l x = 0, következésképpen a megadott vektorok lineárisan függetlenek. A lineáris függetlenséget eldönthetjük a vektorokból képzett mátrix determinánsának kiszámításával is. Ha a determináns értéke nem nulla, akkor a vektorok lineárisan függetlenek, egyébként lineárisan függ k. Jelen esetben így a vektorok lineárisan függetlenek. 0 0 = 0,. Lineárisan függetlenek-e az alábbi vektorok: ( ) ( a =, a = 4 )? Tekintsük az x a + x a = 0 lineáris kombinációt. Behelyettesítve az a, a értékeit ( ) ( ) ( ) 0 x + x = 4 0 adódik. Elvégezve a skalárral való szorzást, majd az összeadást ( ) ( ) x + x 0 =. x + 4x 0 Két vektor pontosan akkor egyenl, ha a megfelel helyen lév koordinátái egyenl ek, így x + x = 0, valamint x + 4x = 0. A két egyenlet ekvivalens egymással, így az egyik egyenlet elhagyható. Az x + x = 0 egyenletnek pedig végtelen sok megoldása van, nem csak a (0, 0) pár, következésképpen a megadott vektorok lineárisan függ k.

23 FELADATGY JTEMÉNY MATEMATIKA I. GYAKORLATHOZ 3 3. Lineárisan függetlenek-e az alábbi vektorok: a =, a = 0, a 3 =? 3 Tekintsük az x a + x a + x 3 a 3 = 0 lineáris kombinációt. Behelyettesítve az a, a, a 3 vektorokat x + x 0 + x 3 = adódik. Elvégzve a skalárral való szorzást és az összevonást x + x + x 3 x + x 3 = 0 0. x x + 3x 3 0 Két vektor pontosan akkor egyenl, ha a megfelel helyen lév koordinátái egyenl ek. Így az x +x +x 3 = 0, x +x 3 = 0, x x +3x 3 = 0 egyenletekb l álló egyenletrendszert kell megoldanunk. A második egyenletb l x = x 3 adódik, melyet behelyettesítve az els és a harmadik egyenletbe, az x + 3x 3 = 0 x x 3 = 0 egyenletrendszerhez jutunk. A két egyenletet összeadva x 3 = 0, amib l x 3 = 0. Ezt visszahelyettesítve x = 0, majd x = 0 adódik, így a megadott vektorok lineárisan függetlenek. 4. Lineárisan függetlenek-e az alábbi vektorok: a = 0, a =, a 3 =? 0 Tekintsük az x a + x a + x 3 a 3 = 0 lineáris kombinációt. Behelyettesítve az a, a, a 3 vektorokat x 0 + x + x 3 =

24 4 KÉZI CSABA adódik. Elvégzve a skalárral való szorzást és az összevonást x + x x 3 x x 3 = 0 0. x x 0 Két vektor pontosan akkor egyenl, ha a megfelel helyen lév koordinátái egyenl ek. Így az x + x x 3 = 0, x x 3 = 0, x x = 0 egyenletekb l álló egyenletrendszert kell megoldanunk. A második egyenletb l x = x 3 adódik, melyet behelyettesítve az els és a harmadik egyenletbe, az x + x 3 = 0 x x 3 = 0 egyenletrendszerhez jutunk. A két egyenlet ekvivalens, így az egyik elhagyható. Tehát az egyenletrendszernek végtelen sok megoládsa van, így nem csak a (0, 0, 0) számharmas megoldás, következésképpen a vektorok lineárisan függ k. 5. Tekintsük az x + y 4z = 4 x + 5y 9z = 0 3x y + 3z = egyenletrendszert! Írjuk fel az alapmátrixát, a kib vített mátrixát. Határozzuk meg az alapmátrix és a kib vített mátrix rangját. Ennek felhasználásával döntsük el, hogy megoldható-e a lineáris egyenletrendszer! Ha megoldható, osztályozzuk a megoldások száma szerint és adjuk meg a megoldást! A lineáris egyenletrendszer alapmátrixa kib vített mátrixa A = (A b) = , 4 0 Els lépésben els sor -szeresét hozzáadjuk a második sorhoz, illetve az els sor 3- szorosát hozzáadjuk a harmadik sorhoz. Második lépésben a második sor 8-szorosát hozzáadjuk a harmadik sorhoz: Gauss elimináció után kapott háromszög alakú mátrix rangja a nem csupa nulla sorok száma. Így az alapmátrix rangja 3, a kib vített mátrix rangja 3. Mivel az alapmátrix és a 4 7.

25 FELADATGY JTEMÉNY MATEMATIKA I. GYAKORLATHOZ 5 kib vített mátrix rangja megegyezik, ezért az egyenletrendszer megoldható. Az alapmátrix rangja megegyezik az ismeretlenek számával, így az egyenletrendszer határozott, azaz egy megoldása van. Az utolsó mátrixból felírva az egyenletrendszert x + y 4z = 4 y z = 7z = 7. adódik. Az utolsó egyenletet elosztva 7-el azt kapjuk, hogy z =. Ezt visszahelyettesítve a második egyenletbe y = adódik. Az els egyenletbe y-t és z-t behelyettesítve megkapjuk, hogy x =. 6. Tekintsük az x + y + 3z = x + 3y + 4z = 3x + 4y + 5z = 4 egyenletrendszert! Írjuk fel az alapmátrixát, a kib vített mátrixát. Határozzuk meg az alapmátrix és a kib vített mátrix rangját. Ennek felhasználásával döntsük el, hogy megoldható-e a lineáris egyenletrendszer! Ha megoldható, osztályozzuk a megoldások száma szerint és adjuk meg a megoldást! A lineáris egyenletrendszer alapmátrixa A = , kib vített mátrixa (A b) = Els lépésben az els sor -szeresét hozzáadjuk a második sorhoz, illetve az els sor 3-szorosát hozzáadjuk a harmadik sorhoz. Második lépésben a második sor -szeresét hozzáadjuk a harmadik sorhoz: Gauss elimináció után kapott háromszög alakú mátrix rangja a nem csupa nulla sorok száma. Így az alapmátrix rangja, a kib vített mátrix rangja 3. Mivel az alapmátrix és a kib vített mátrix rangja nem egyezik meg, ezért az egyenletrendszer nem megoldható, 0.

26 6 KÉZI CSABA azaz ellentmondásos. Ez a tény úgy is megállapítható, hogy az utolsó mátrixból felírjuk az egyenletrendszert x + y + 3z = y z = 0 0 =. Ekkor az utolsó egyenletb l ellentmondásra jutunk, így az egyenletrendszernek nincs megoldása. 7. Tekintsük az x + y + 3z = x + 3y + 4z = 3x + 4y + 5z = 3 egyenletrendszert! Írjuk fel az alapmátrixát, a kib vített mátrixát. Határozzuk meg az alapmátrix és a kib vített mátrix rangját. Ennek felhasználásával döntsük el, hogy megoldható-e a lineáris egyenletrendszer! Ha megoldható, osztályozzuk a megoldások száma szerint és adjuk meg a megoldást! A lineáris egyenletrendszer alapmátrixa kib vített mátrixa A = (A b) = Els lépésben az els sor -szeresét hozzáadjuk a második sorhoz, illetve az els sor 3-szorosát hozzáadjuk a harmadik sorhoz. Második lépésben a második sor -szeresét hozzáadjuk a harmadik sorhoz: , az alapmátrix rangja, a kib vített mátrix rangja. Mivel az alapmátrix és a kib vített mátrix rangja megegyezik, ezért az egyenletrendszer megoldható. Az alapmátrix rangja, míg az ismeretlenek száma 3, így az egyenletrendszer határozatlan, azaz végtelen sok megoldása van. Ezeket 3 = szabad paraméter bevezetésével kaphatjuk meg. A szabad paraméterek számát az ismeretlenek számának és az alapmátrix rangjának különbsége adja. Az utolsó mátrixból felírva az egyenletrendszert x + y + 3z = y z =

27 FELADATGY JTEMÉNY MATEMATIKA I. GYAKORLATHOZ 7 adódik. Legyen például z = t. Ekkor a második egyenletb l y = t. Az els egyenletbe ezeket visszahelyettesítve megkajuk az x-et: x = + t, ahol t R tetsz leges. 8. Tekintsük az x + y + 3z + 4u = x + 3y + 4z + 5u = 3x + 4y + 5z + 6u = 3 4x + 5y + 6z + 7u = 4 egyenletrendszert! Írjuk fel az alapmátrixát, a kib vített mátrixát. Határozzuk meg az alapmátrix és a kib vített mátrix rangját. Ennek felhasználásával döntsük el, hogy megoldható-e a lineáris egyenletrendszer! Ha megoldható, osztályozzuk a megoldások száma szerint és adjuk meg a megoldást! A lineáris egyenletrendszer alapmátrixa A = , kib vített mátrixa (A b) = Els lépésben az els sor -szeresét hozzáadjuk a második sorhoz, az els sor 3-szorosát hozzáadjuk a harmadik sorhoz, illetve az els sor 4-szeresét hozzáadjuk a negyedik sorhoz. Második lépésben a második sor -szeresét hozzáadjuk a harmadik sorhoz, 3-szorosát pedig a negyedikhez: az alapmátrix rangja, a kib vített mátrix rangja. Mivel az alapmátrix és a kib vített mátrix rangja megegyezik, ezért az egyenletrendszer megoldható. Az alapmátrix rangja, míg az ismeretlenek száma 4, így az egyenletrendszer határozatlan, azaz végtelen sok megoldása van. Ezeket 4 = szabad paraméter bevezetésével kaphatjuk meg. A szabad paraméterek számát az ismeretlenek számának és az alapmátrix rangjának különbsége adja. Az utolsó mátrixból felírva az egyenletrendszert x + y + 3z + 4u = y z 3u =

28 8 KÉZI CSABA adódik. Legyen például z = t, u = t. Ekkor a második egyenletb l y = z 3u = t 3t. Az els egyenletbe ezeket visszahelyettesítve megkajuk az x-et: x = y 3z 4u = + 4t + 6t 3t 4t = + t + t, t, t R 9. Tekintsük az x +x + x 3 + x 4 = 4 x x + 4x 3 x 4 = 4 3x +x x 3 + x 4 = 4. egyenletrendszert! Írjuk fel az alapmátrixát, a kib vített mátrixát. Határozzuk meg az alapmátrix és a kib vített mátrix rangját. Ennek felhasználásával döntsük el, hogy megoldható-e a lineáris egyenletrendszer! Ha megoldható, osztályozzuk a megoldások száma szerint és adjuk meg a megoldást! A lineáris egyenletrendszer alapmátrixa A = 4 3, kib vített mátrixa (A b) = Els lépésben els sor -szeresét hozzáadjuk a második sorhoz, illetve az els sor 3- szorosát hozzáadjuk a harmadik sorhoz. Második lépésben a második sor -szeresét hozzáadjuk a harmadik sorhoz: Gauss elimináció után kapott háromszög alakú mátrix rangja a nem csupa nulla sorok száma. Így az alapmátrix rangja 3, a kib vített mátrix rangja 3. Mivel az alapmátrix és a kib vített mátrix rangja megegyezik, ezért az egyenletrendszer megoldható. Az ismeretlenek száma 4, ami nem egyezik meg az alapmátrix rangjával, így az egyenletrendszer határozatlan, azaz végtelen sok megoldása van. Az utolsó mátrixból felírva az egyenletrendszert x + x + x 3 + x 4 = 4 5x + x 3 3x 4 = 4 6x 3 + x 4 =

29 FELADATGY JTEMÉNY MATEMATIKA I. GYAKORLATHOZ 9 adódik. Legyen x 3 = t, ahol t R. Az utolsó egyenletb l x 4 = 3t. Ezt visszahelyettesítve a második egyenletbe x = 7t adódik. Az els egyenletbe x -t, x 3 -at és x 4 -et behelyettesítve megkapjuk, hogy x =, t Oldjuk meg Cramer-szabállyal az egyenletrendszert! x y + 5z = x y + z = 3 3x + y + 6z = 5 Az egyenletrendszer alapmátrixának determinánsa 5 D = = 8 ( 37) = Az els ismeretlent úgy kapjuk meg, hogy az alapmátrix els oszlopát töröljük, majd annak helyére az egyenletrendszer jobboldalát írjuk. Ezután a kapott mátrix determinánsának és az alapmátrix determinánsának hányadosként áll el az x. Mivel D = = 45, ezért x = D D = =. A második ismeretlent úgy kapjuk meg, hogy az alapmátrix második oszlopát töröljük, majd annak helyére az egyenletrendszer jobboldalát írjuk. Ezután a kapott mátrix determinánsának és az alapmátrix determinánsának hányadosként kapjuk y-t. Mivel D = = 90, ezért y = D D = =. A harmadik ismeretlent úgy kapjuk meg, hogy az alapmátrix harmadik oszlopát töröljük, majd annak helyére az egyenletrendszer jobboldalát írjuk. Ezután a kapott mátrix determinánsának és az alapmátrix determinánsának hányadosként kapjuk z-t. Mivel D 3 = = 35, ezért z = D 3 D = = 3.

30 30 KÉZI CSABA. Tekintsük az egyenletrendszert! x + ay + z = 4 x 3y + 5z = 4 3x + 7y 3z = 7 a) Milyen a valós szám esetén alkalmazható a Cramer-szabály? b) Ha x =, akkor határozzuk meg az a értékét! a) A Cramer-szabály pontosan akkor alkalmazható, ha az alapmátrix determinánsa nem nulla. Jelen esetben az alapmátrix determinánsa a D = 3 5 = 9 + 5a + 8 ( a) = a + 0, ami pontosan akkor nem nulla, ha a 0. b) Mivel ezért azaz D = 4 a = a + 56 ( a) = 47a 6, x = D D = 47a 6 a + 0, = D D = 47a 6 a + 0. Beszorozva a nevez vel, majd rendezve az egyenletet amib l a =.. Tekintsük az egyenletrendszert! a + 0 = 47a 6 6 = 6a, x + ay + 3z = 5 x + 3y + bz = 6 3x 4y + z = a) Milyen a és b valós szám esetén alkalmazható a Cramer-szabály? b) Ha x = és y =, akkor határozzuk meg az a és b értékét!

31 FELADATGY JTEMÉNY MATEMATIKA I. GYAKORLATHOZ 3 a) A Cramer-szabály pontosan akkor alkalmazható, ha az alapmátrix determinánsa nem nulla. Jelen esetben az alapmátrix determinánsa a 3 D = 3 b = 6 + 3ab 4 (7 4b + 4a) = 3ab 4a + 4b 45, 3 4 ami pontosan akkor nem nulla, ha 3ab 4a + 4b b) Mivel D = 5 a b 4 = 30 + ab 7 (9 0b + a) = ab a + 0b 5, ezért azaz Továbbá D = b 3 x = D D = = ab a + 0b 5 3ab 4a + 4b 45, ab a + 0b 5 3ab 4a + 4b 45. = + 5b + 6 (54 + b + 0) = 4b 56, így azaz Tehát az y = D D = 4b 56 3ab 4a + 4b 45, = 4b 56 3ab 4a + 4b 45. ab a + 0b 5 3ab 4a + 4b 45 = 4b 56 3ab 4a + 4b 45 = egyenletrendszert kell megoldani. Beszorozva a közös nevez vel } ab a + 0b 5 = 3ab 4a + 4b 45 4b 56 = 3ab 4a + 4b 45 Elvégezve az összevonásokat az } ab + 8a 6b = 6 3ab 4a 0b =

32 3 KÉZI CSABA egyenletrendszerhez jutunk. Az els egyenlet másfélszeresét vonjuk ki a második egyenletb l. Ekkor az 6a + 4b = egyenlethez jutunk. Az egyenletet -vel osztva, majd a-t kifejezve a = + 7b. 8 Ezt visszahelyettesítve a ab+8a 6b = 6-vel ekvivalens ab+4a 8b = 3 egyenletbe: + 7b b b 8b = Beszorozva a közös nevez vel, majd elvégezve a zárójelfelbontást és az összevonást: Megoldva a másodfokú egyneletet + 7b b b 8b = ( + 7b)b + 4( + 7b) 64b = 4 b + 7b b 64b = 4 7b 35b + 8 = 0 b, = 5 ± 5 6 b 5b + 4 = 0. így b = 4, b =. Ezeket visszahelyettesítve az egyenletbe a = 9 8 és a = adódik. 3. Tekintsük az a = + 7b. 8 x y + 3z = x + y 5z = 3x y z = 0 = 5 ± 3, egyenletrendszert! Írjuk fel az alapmátrixát, a kib vített mátrixát, majd oldjuk meg Gausseliminációval! A lineáris egyenletrendszer alapmátrixa A = 3 5 3,

33 FELADATGY JTEMÉNY MATEMATIKA I. GYAKORLATHOZ 33 kib vített mátrixa (A b) = Els lépésben az els sor -szeresét hozzáadjuk a második sorhoz, illetve az els sor 3-szorosát hozzáadjuk a harmadik sorhoz. Második lépésben a második sor -szeresét hozzáadjuk a harmadik sorhoz: Ezen utóbbi mátrixból felírva az egyenletrendszert x y + 3z = y z = 6. Az alapmátrix rangja és a kib vített mátrix rangja is, így az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van. Legyen z = t, t R tetsz leges. Ekkor a második egyenletb l y = Ezt visszahelyettesítve az els egyenletbe 4. Tekintsük az x = + y 3z = t. 5 + t 5 x + y z = 3 3x + 3y + z = 4x + y + 5z = t = 0, 4 +, 4t. egyenletrendszert! Írjuk fel az alapmátrixát, a kib vített mátrixát, majd oldjuk meg Gausseliminációval! A lineáris egyenletrendszer alapmátrixa A = , kib vített mátrixa (A b) =

34 34 KÉZI CSABA Els lépésben a második sort szorozzuk -vel. Ezután az els sor 3-szorosát hozzáadjuk a második sorhoz, illetve az els sor -szeresét hozzáadjuk a harmadik sorhoz, ezt követ en cseréljük fel a második és harmadik sort: Az alapmátrix rangja 3, a kib vített mátrix rangja 3. A rang maximális, így az egyenletrendszer egyértelm en megoldható. Az utolsó mátrixból felírva az egyenletrendszert x + y z = 3 3y + 7z = 5 5z = 5. Az utolsó egyenletb l z = 3 adódik. Ezt visszahelyettesítve a második egyenletbe azt kapjuk, hogy y =. Az els egyenletbe y-t és z-t behelyettesítve x = adódik Tekintsük az 3x + y 4z = 4 3x + 3y + z = 8 4x + y + 5z = 5 egyenletrendszert! Cramer-szabállyal! Írjuk fel az alapmátrixát, a kib vített mátrixát, majd oldjuk meg Az egyenletrendszer alapmátrixának determinánsa 3 4 D = 3 3 = 37 ( 30) = Az els ismeretlent úgy kapjuk meg, hogy az alapmátrix els oszlopát töröljük, majd annak helyére az egyenletrendszer jobboldalát írjuk. Ezután a kapott mátrix determinánsának és az alapmátrix determinánsának hányadosa lesz az x. Mivel D = = 67, ezért x = D D = =. A második ismeretlent úgy kapjuk meg, hogy az alapmátrix második oszlopát töröljük, majd annak helyére az egyenletrendszer jobboldalát írjuk. Ezután a kapott mátrix determinánsának és az alapmátrix determinánsának hányadosa lesz az y. Mivel D = = 67, ezért y = D D = =.

35 FELADATGY JTEMÉNY MATEMATIKA I. GYAKORLATHOZ 35 A harmadik ismeretlent úgy kapjuk meg, hogy az alapmátrix harmadik oszlopát töröljük, majd annak helyére az egyenletrendszer jobboldalát írjuk. Ezután a kapott mátrix determinánsának és az alapmátrix determinánsának hányadosa lesz a z. Mivel D 3 = = 34, ezért z = D 3 D = =.

36 36 KÉZI CSABA III. Lineáris egyenletrendszerek alkalmazása, vektoralgebrai fogalmak és mérnöki alkalmazásaik.. Tekintsük az alábbi egyenáramú hálózatot! Legyen U b = 0 [V ], U b = 0 [V ], U b3 = 5 [V ], R = [Ω], R = 4 [Ω], R b = 7 [Ω], R b = 6 [Ω], R b3 = 4 [Ω]. a) Írjuk fel Kirchho els törvényét a B csomópontra! b) Írjuk fel Kirchho második törvényét az ABEF hurokra! c) Írjuk fel Kirchho második törvényét a BCDE hurokra! d) Írjuk fel a kapott egyenletrendszer alapmátrixát és kib vített mátrixát! e) Határozzuk meg az ismeretlen áramer sségeket Cramer-szabállyal! a) Kirchho els törvénye szerint egy csomópontba befolyó és onnan kifolyó áramok algebrai összege zérus, így I + I + I 3 = 0. b) Kirchho második törvénye szerint bármely hurokban körbehaladva és a feszültségeket el jelesen összegezve zérust kapunk, így I R + I 3 R b3 U b3 + I R b + U b = 0. c) Kirchho második törvényét felírva a BCDE hurokra: U b3 I 3 R b3 + I R + I R b U b = 0. d) Az adatok behelyettesítve a megoldandó egyenletrendszer I +I + I 3 = 0 8I + I 4I 3 = 5 4I 3 = 5

37 FELADATGY JTEMÉNY MATEMATIKA I. GYAKORLATHOZ 37 e) Az egyenletrendszer alapmátrixa , kib vített mátrixa f) Az egyenletrendszer alapmátrixának determinánsa D = = 64. Az els ismeretlent úgy kapjuk meg, hogy az alapmátrix els oszlopát töröljük, majd annak helyére az egyenletrendszer jobboldalát írjuk. Az els ismeretlen a kapott mátrix determinánsának és az alapmátrix determinánsának hányadosként. Mivel D = = 5, ezért I = D D = 5 64 [A]. A második ismeretlent úgy kapjuk meg, hogy az alapmátrix második oszlopát töröljük, majd annak helyére az egyenletrendszer jobboldalát írjuk. A második ismeretlen a kapott mátrix determinánsának és az alapmátrix determinánsának hányadosként. Mivel 0 D = = 60, ezért I = D D = [A]. A harmadik ismeretlent úgy kapjuk meg, hogy az alapmátrix harmadik oszlopát töröljük, majd annak helyére az egyenletrendszer jobboldalát írjuk. A harmadik ismeretlen a kapott mátrix determinánsának és az alapmátrix determinánsának hányadosként. Mivel 0 D 3 = = 75, ezért I 3 = D 3 D = [A].. Egy színház néz terét 8 db izzólámpa világítja meg. Egy részük 00 [W]-os, más részük 60 [W]-os, és t = 4 [h] alatt W = 5, [kwh] villamos energiát fogyasztanak. Határozzuk meg, hány 00 [W]-os, illetve 60 [W]-os izzólámpa van. A 00 [W]-os izzólámpák számát jelöljük x-el, a 60 [W]-os izzólámpák számát y-al. Ekkor a feltételek szerint x + y = 8.

38 38 KÉZI CSABA A másik egyenlet a villamosenergia-fogyasztás alapján írható föl. Az egy órára es összfogyasztás, vagyis a teljesítmény P = W t = 50 4 Ez az izzólámpák összteljesítményével egyenl = 680 [W]. 00x + 60y = 680, amit egyszer sítve 5x + 3y = 34. Tehát a megoldandó lineáris egyenletrendszer } x + y = 8 5x + 3y = 34 A lineáris egyenletrendszer alapmátrixának determinánsa D = 5 3 = 3 5 =, továbbá D = = = 68, ezért x = D D = 68 = 34. Másrészt D = = = 96, ezért y = D D = 96 = Írjuk fel a v = 0 7 a = vektort az 3 0 vektorok lineáris kombinációjaként!, a =, a 3 = 3 4 Keressük azokat az x, x, x 3 ismeretleneket, melyekre a x +a x +a 3 x 3 = v. Felhasználva a vektorok összeadására és skalárral való szorzására vonatkozó deníciókat az x + x + 3x 3 3x + x + 4x 3 = 0 7 x x 3

39 FELADATGY JTEMÉNY MATEMATIKA I. GYAKORLATHOZ 39 összefüggéshez jutunk. Két vektor pontosan akkor egyenl, ha a megfelel koordinátáik egyenl ek, így az el bbi egyenl ség ekvivalens az x + x + 3x 3 = 0 3x + x + 4x 3 = 7 x x 3 = egyenletrendszerrel, amit megoldhatunk például Gauss-eliminációval. A lineáris egyenletrendszer kib vített mátrixa Els lépésben az els sor 3-szorosát hozzáadjuk a második sorhoz. Második lépésben megcseréljük a második és a harmadik sort. Harmadik lépésben a második sor -szeresét hozzáadjuk a harmadik sorhoz Ezen utóbbi mátrixból felírva az egyenletrendszert x + x + 3x 3 = 0 x x 3 = 5 x 3 = 45. Az utolsó egyenletb l x 3 = 3 adódik, amit visszahelyettesítve a második egyenletbe x =. Az els egyenletb l x =. Így a keresett lineáris kombináció v = a + a + 3a 3. Visszahelyettesítéssel ellen rizhetjük megoldásunkat. 4. Írjuk fel a v = 7 vektort az 9 a =, a = 3, a 3 = 5 0 vektorok lineáris kombinációjaként! Keressük azokat az x, x, x 3 ismeretleneket, melyekre a x +a x +a 3 x 3 = v. Felhasználva a vektorok összeadására és skalárral való szorzására vonatkozó deníciókat az x + 3x + x 3 x + x + x 3 = 7 5x + x 3 9

40 40 KÉZI CSABA összefüggéshez jutunk. Két vektor pontosan akkor egyenl, ha a megfelel koordinátáik egyenl ek, így az el bbi egyenl ség ekvivalens az x + 3x + x 3 = 7 x + x + x 3 = 5x + x 3 = 9 egyenletrendszerrel, amit megoldhatunk például Gauss-eliminációval. A lineáris egyenletrendszer kib vített mátrixa Els lépésben cseréljük fel az els és második sort. Ezután az els sor -szeresét hozzáadjuk a második sorhoz, illetve az els sor 5-szörösét a harmadikhoz. Következ lépésben a második sor -szeresét hozzáadjuk a harmadik sorhoz Ezen utóbbi mátrixból felírva az egyenletrendszert x + x + x 3 = 5x + 3x 3 = 4 x 3 = 8. Az utolsó egyenletb l x 3 = adódik, amit visszahelyettesítve a második egyenletbe x =. Az els egyenletb l x =. Így a keresett lineáris kombináció v = a + a + a 3. Visszahelyettesítéssel ellen rizhetjük megoldásunkat. 5. Egy repül gép nyugodt légköri viszonyok mellett 800 [km/h] sebességgel keleti irányba repül. Egyszercsak 0 [km/h] sebesség, keleti szél támad, amelynek iránya a repülési iránnyal 60 szöget zár be. A repül a tájolót továbbra is keleti irányon tartja, de a szél miatt repülési iránya és sebessége megváltozik. Mi lesz az új irány és az új sebesség? Jelölje u a gép, v a szél sebességét! Ekkor u = 800, v = 0. Ekkor a repül gép talajhoz viszonyított sebessége az u + v ered vektorral lesz egyenl.

41 FELADATGY JTEMÉNY MATEMATIKA I. GYAKORLATHOZ 4 Ha az x-tengely keleti irányba mutat, az y északra, akkor u és v komponensei Így amib l Másrészt u = (800, 0), v = (0 cos 60, 0 sin 60 ) = (55, 55 3). u + v = ( , ) = (855, 55 3), u + v = (55 3) 860, 3. tgϕ = , amib l ϕ 6, 5. Tehát a repül gép talajhoz viszonyított sebessége körülbelül 860,3 [km/h], iránya pedig a keleti iránytól 6, 5 -al tér el északra. 6. Határozzuk meg az a = 3 és a = 4 vektorok skaláris szorzatát! 5 Két vektor skaláris szorzatát kiszámolhatjuk a megfelel koordináták szorzatösszegeként, így a keresett mennyiség 7. Határozzuk meg az a = a a = + 3 ( 4) + 5 = + 0 = 4. és a = 3 4 vektorok skaláris szorzatát! Két vektor skaláris szorzatát kiszámolhatjuk a megfelel koordináták szorzatösszegeként, így a keresett mennyiség a a = ( ) ( 4) = = 3.

42 4 KÉZI CSABA 8. Határozzuk meg az x valós számot úgy, hogy az a = mer legesek legyenek egymásra! 5 7 és a = x 3 vektorok Két vektor mer legességének szükséges és elégséges feltétele, hogy a két vektor skaláris szorzata 0 legyen. Az a és a vektorok skaláris szorzata a a = ( ) + 5 x = + 5x + = 5x 9. Így az 5x 9 = 0 egyenletet kell megoldanunk. Hozzáadva mindkét oldalhoz 9-et, majd mindkét oldalt 5-el elosztva 5x 9 = 0 5x = 9 x = Határozzuk meg a v = és v = vektorok által bezárt szöget! 4 Két vektor skaláris szorzatát kiszámolhatjuk a megfelel koordináták szorzatösszegeként. Másrészt a skaláris szorzatot a vektorok hosszának és a vektorok által bezárt szög koszinuszának szorzatként is kiszámolhatjuk. Ezek gyelembevételével cos ϕ = v v v v. Mivel továbbá ezért v v = + ( ) + 4 = 4, v = + ( ) + 4 =, v = + + = 6 cos ϕ = 4 = 4, 6 6 amib l ϕ 69,. 0. Határozzuk meg a v = és v = 4 4 vektorok által bezárt szöget! Két vektor skaláris szorzatát kiszámolhatjuk a megfelel koordináták szorzatösszegeként.

43 FELADATGY JTEMÉNY MATEMATIKA I. GYAKORLATHOZ 43 Másrészt a skaláris szorzatot a vektorok hosszának és a vektorok által bezárt szög koszinuszának szorzatként is kiszámolhatjuk. Ezek gyelembevételével cos ϕ = v v v v. Mivel v v = ( 4) 4 = 6 6 = 0, továbbá v = ( 4) = 5 = 5, v = = 36 = 6 ezért amib l ϕ 09, 47. cos ϕ = = 3,. Határozzuk meg az x valós számot úgy, hogy a v = vektorok által bezárt szög 60 legyen! Jelöljük a két vektor által bezárt szöget ϕ-vel. Ekkor cos ϕ = v v v v. 3 x és v = és Mivel v v = + 3x, v = 0 + x, v = = 5. Ezeket behelyettesítve az el bbi összefüggésbe = + 3x x. adódik. Megoldjuk a kapott egyenletet. Els lépésben az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emeljük, majd elvégezzük a zárójel felbontását és az összevonást, nullára rendezzük az egyenletet, végül megoldjuk a kapott másodfokú egyenletet. = + 3x x ( x ) = x + 36x x = x + 36x 0 = x 88x Ebb l a megoldóképlet segítségével azt kapjuk, hogy x = , x =

44 44 KÉZI CSABA. Egy F (3, ) er hatására egy pontszer test az A(, 4) pontból a B(0, 5) pontba jut el. Mekkora a végzett munka? A végzett munka az er és az elmozdulás vekorok skaláris szorzata. Az elmozdulás vektora s = AB = B A = (, ), így a végzett munka W = F s = 3 ( ) + = 6 + = Egy F (,, 3) er hatására egy pontszer test az A(, 3, ) pontból a B(,, ) pontba jut el. Mekkora a végzett munka? A végzett munka az er és az elmozdulás vekorok skaláris szorzata. Az elmozdulás vektora s = AB = B A = (0,, 4), így a végzett munka W = F s = 0 + ( ) ( ) = Egy ifjú apa 0 [N] er vel húz egy szánkót, miközben a kötél 30 -os szöget zár be a vízszintessel. Mekkora munkát végez az apa, ha 50 métert húzza így a gyerekét? megoldás A végzett munka az er - és elmozdulsvektor skaláris szorzata, így W = F s cos ϕ = 0 50 cos 30 = , 9 [J]. 5. Mennyi munkát végzünk, ha a rakparton 0 méternyire elvonszolunk egy ládát oly módon, hogy a vízszintest l 30 -kal eltér irányban 00 [N] nagyságú er t fejtünk ki rá? A végzett munka W = F s cos ϕ = 00 0 cos 30 = [J] 3464, [J]. 6. Egy papírsárkány zsinórját [N] er vel tartjuk. A zsinór 45 szöget zár be a vízszintessel. Keressük meg az F vektor vízszintes és függ leges összetev it!

45 FELADATGY JTEMÉNY MATEMATIKA I. GYAKORLATHOZ 45 A vízszintes irányú összetev a függ leges itányú összeteve cos 45 = x x = = 6, sin 45 = y y = = 6. Az ábrának megfelel el jeleket is gyelembe véve F ( 6, 6 ). 7. Egy 80 [N] súlyú gyerek,5 [m] magasból csúszik le egy játszótéri csúszdán. Mekkora munkát végez a gravitációs er a gyereken? A gravitációs er, és a függ leges elmozdulás ugyanabba az irányba mutat, így a végzett munka W = 80, 5 cos 0 = 00 [J]. 8. Határozzuk meg a v = 0 és v = vektorok vektoriális szorzatát! 3 A vektoriális szorzat i j k v v = 0 3 = = 0 3 i 0 3 j + k = 6i + 3j 5k = ( 6, 3, 5). 9. Határozzuk meg a v = és v = 0 vektorok vektoriális szorzatát! A vektoriális szorzat i j k v v = 0 = = i 0 j + 0 k = i + j 4k = (,, 4). 0. Számoljuk ki az A(,, 0), B(,, ), C(,, ) pontok által meghatározott háromszög területét a vektoriális szorzat felhasználásával!

46 46 KÉZI CSABA Tekintsük az a = AB = B A = (,, ) és a b = AC = C A = (,, ) vektorokat! Ekkor a keresett terület az a és b vektorok vektoriális szorzatának a hosszának az abszolútértékének a fele. Mivel i j k a b = = i j + k = (6, 0, 6), ezért a b = = 7 = 6, így a keresett terület T = a b = 6 = 3.. Számoljuk ki az A(, 0, ), B(,, 3), C(3, 4, ) pontok által meghatározott háromszög területét a vektoriális szorzat felhasználásával! Tekintsük az a = AB = B A = (,, ) és a b = AC = C A = (, 4, 3) vektorokat! Ekkor a keresett terület az a és b vektorok vektoriális szorzatának a hosszának az abszolútértékének a fele. Mivel i j k a b = 4 3 = 4 3 i 3 j + 4 k = ( 7, 4, 0), ezért a b = ( 7) + ( 4) + ( 0) = = 65, így a keresett terület T = a b = 65.

47 FELADATGY JTEMÉNY MATEMATIKA I. GYAKORLATHOZ 47. Számoljuk ki az A(,, ), B(,, 3), C(0, 4, 5) pontok által meghatározott háromszög területét a vektoriális szorzat felhasználásával! Tekintsük az a = AB = B A = (3,, ) és a b = AC = C A = (, 6, 4) vektorokat! Ekkor a keresett terület az a és b vektorok vektoriális szorzatának a hosszának az abszolútértékének a fele. Mivel i j k a b = = 6 4 i 3 4 j k = (8, 0, 7), ezért a b = 8 + ( 0) + ( 7) = = 453, így a keresett terület T = a b = Határozzuk meg a v = szorzatát! A vegyes szorzat abc = , v = 4 3 és v 3 = = ( 6) =. 0 vektorok vegyes 4. Számoljuk ki az A(,, ), B(0,, 3), C(3, 4, 0), D(,, 0) pontok által kifeszített tetraéder térfogatát a vegyes szorzat felhasználásával! Tekintsük az a = AB = B A = (, 3, ), b = AC = C A = (, 6, ) és c = AD = D A = (0, 0, ) vektorokat! Ekkor a keresett térfogat az a, b és c vektorok vegyes szorzatának az abszolútértékének a hatoda. Mivel a vegyes szorzat 3 abc = 6 = + = 4, 0 0 ezért a keresett térfogat V = 4 6 = 4.

48 48 KÉZI CSABA 5. Számoljuk ki az A(, 0, ), B(,, ), C(3,, ), D(0,, 3) pontok által kifeszített tetraéder térfogatát a vegyes szorzat felhasználásával! Tekintsük az a = AB = B A = (,, ), b = AC = C A = (,, 0) és c = AD = D A = (,, ) vektorokat! Ekkor a keresett térfogat az a, b és c vektorok vegyes szorzatának az abszolútértékének a hatoda. Mivel a vegyes szorzat abc = 0 = 0 6 = 4, ezért a keresett térfogat V = 4 6 = A Toro f nyírógép kézikönyve azt írja el, hogy a gyertyát 0,4 [Nm] nyomatékkal kell meghúzni. Ha a gyertyakulcsra a gyertyától 5 [cm] távolságban fejtjük ki az er t, mekkora er szükséges az el írt nyomaték eléréséhez? A forgatónyomaték nagysága M = r F = r F sin ϕ, ahol M = 0, 4, r = 0, 5, ϕ = 90, így a keresett er F = M r sin ϕ = 0, 4 0, 5 sin π = 8, 6 [N]. 7. Egy sof r a sebességváltó kar P végpontjára F er vel hat. A pont és az er koordinátái adottak, P ( 5, 30, 40) [cm], F = ( 0, 30, 0) [N].