1 3Diverzifik ci Markowitz-modell MAD modell CAPM modell. Oper ci kutat s I. 2015/

HTML
DOWNLOAD

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "1 3Diverzifik ci Markowitz-modell MAD modell CAPM modell. Oper ci kutat s I. 2015/2016-2."

Erzsébet Fodor
8 évvel ezelőtt
Látták:

1 Oper ci kutat s I. 2015/ Szegedi Tudom nyegyetem Informatikai Int іzet Sz m t g іpes Optimaliz l s Tansz іk 10. El 0 2ad s

2 Portf li probl іma

3 Portf li probl іma Adott r іszv іnyek (k 0 2tv іnyek,tev іkenys іgek, stb.) egy halmaza K іrd іs: Hogyan l tsunk 0 2ssze bel 0 2l k portf li t? Egy r r іszv іnybe val befektet іs v rhat hozama: E(r) (A befektet іs hozam nak m ltb іli megfigyel іseib 0 2l sz m tott v rhat іrt іk) C іl: Maxim lis hozam portf li 0 2ssze l t s ra n darab befektet іs eset іn Fe rhat egy LP feladat: x i = 1 x i щ 0 max E(r i )x i [t 0 2ke] [r i -be fektetett r іsz] [v rhat nyeres іg]

4 Portf li probl іma Ha E(r 1 ) щ E(r 2 ) щ... щ E(r n ) (ez feltehet 0 2), akkor az optim lis megold s x 6с5 1 = 1, x 6с5 2 = є є є = x 6с5 n = 0, a nyeres іg pedig E(r 1 ). 0 9ltal ban igaz, ha ezt a strat іgi t ism іtelj k, akkor 1 val sz n 0 3s іggel cs 0 2dbe megy nk. 6м0 t 0 2bbf іle pr b lkoz s sz letett (s 0 2t, a ter let most is nagyon akt v) a megold sra. Ebb 0 2l kett 0 2t vizsg lunk: 1 Markowitz-modell, 1952; Nobel-d j MAD modell (Konno-Yamazaki, 1990)

5 Portf li probl іma C p іlda Legyen egy r r іszv іnybe val befektet іs kock zata D(r) (A befektet іs hozam nak m ltb іli megfigyel іseib 0 2l sz m tott sz r s). Tekints k a k 0 2vetkez 0 2 befektet іsek hozamait az ut bbi 3 іvben: 1. іv 2. іv 3. іv Ingatlan rt іkpap r A v rhat hozamok: E(r i ) = с = 0.02 іs E(r e ) = 6с с = 0.02 A kock zatok: D(r i ) = D(r e ) = л (0.02 6с10.05) 2 +( ) 2 +(0.02 6с10.04) 2 3 ж іs л ( ) 2 +(0.02 6с10.21) 2 +( ) 2 3 ж 0.164

6 Portf li probl іma C p іlda Ha a t 0 2k іnk 75% t ingatlanba, 25%- t k 0 2tv іnybe fektetj k, akkor a portf li hozama: E(r p ) = (0.75 є є 6с10.05) = 0.02 az egyes іvekben val hozamokat tlagolva. 3 + (0.75 є 6с є0.21) 3 + (0.75 є є 6с10.10) 3 = A portf li kock zata: л (0.02 6с10.025) D(r p ) = 2 +(0.02 6с10.03) 2 +(0.02 6с10.005) 2 3 ж A befektet іsek tlagos kock zata: 0.75 є є = м0 a diverzifik ci cs 0 2kkenti a kock zatot

7 Portf li probl іma C p іlda 1. іv 2. іv 3. іv Ingatlan rt іkpap r Kovariancia: k іt f ggetlen (v іletlen) v ltoz (line ris) egy ttmozg s nak m іrt іke: C i,e = (0.02 6с10.05) є( ) 3 + ( ) є(0.02 6с10.21) (0.02 6с10.04) є( ) 3 = 6с Korrel ci : normaliz lt kovariancia ія i,e = 6с є0.164 = 6с с11 э ія э 1 ія > 0 azonos ir ny egy ttmozg s ія = 0 nincs egy ttmozg s ( 6у5 f ggetlens іg, de ы f ggetlens іg) ія < 0 ellent іtes ir ny egy ttmozg s

8 Portf li probl іma C p іlda 1. bra. Coca-Cola іs Procter&Gamble r іszv іnyek rfolyama rfolyama 1990-ben

9 Portf li probl іma C Markowitz-modell Mindez ltal nosan: (r 1, r 2,..., r n ) a portf li ban l іv 0 2 r іszv іnyek x = (x 1, x 2,..., x n ) az egyes befektet іsek ar nya a portf li ban ф n x i = 1 іs x i щ 0( 6я6i) Kock zat: variancia (sz r sn іgyzet a sz r s helyett) Kovariancia m trix: a r іszv іnyek hozamainak p ronk іnti kovarianci it tartalmaz m trix 6Ж9 6В2 C 11 C 12 є є є C 1n C 21 C 22 є є є C 1n C = 6В0 6В В3. 6В4 C n1 C n2 є є є C nn C ii = D 2 (r i ) = Var(r i )

10 Portf li probl іma C Markowitz-modell A portf li kock zata: ( ) Var E(r i )x i = ( ) C ij x i x j = x T Cx j=1 Hat іkony portf li : hozama nem n 0 2velhet 0 2 a kock zat nak n 0 2veked іse n іlk l, illetve kock zata nem cs 0 2kkenthet 0 2 a v rhat hozam nak cs 0 2kken іse n іlk l A hat іkony portf li egyfajta optimum: adott hozam mellett minim lis kock zat adott kock zat mellett maxim lis hozam

11 Portf li probl іma C Markowitz-modell Legyen R egy elv rt minim lis hozamszint. Fe rhat egy kvadratikus programoz si feladat: E(r i )x i щ R x i = 1 x i щ 0 i = 1,2,..., n min x T Cx Azaz minimaliz ljuk a kock zatot egy elv rt hozam el іr іse melett. A feladat egy megold s t optim lis portf li nak nevezz k.

12 Portf li probl іma C Markowitz-modell N іh ny megjegyz іs: kvadratikus c іlf ggv іny 0 3 optimaliz l si feladattal nem foglalkoztunk k l 0 2n vannak hat іkony algoritmusok a megold s ra m sik neh іzs іg: C m trix elemeinek sz m t sa (becsl іse a m lt alapj n) helyette haszn lhatjuk pl. az tlagos abszol t elt іr іs E( ф i (r i 6с1 E(r i ))x i ) maximaliz l s t 1 1 ha r = (r 1,..., r n) t 0 2bbv ltoz s norm lis eloszl st k 0 2vet, akkor a k іt m dszer ekvivalens

13 MAD modell Mean Absolute Deviation Konno іs Yamazaki ltal kidolgozott modell a megfigyelt adatokat k 0 2zvetlen l haszn lja fel іs elker li E(r i ) іs C kisz m t s t Legyen T megfigyel іs nk az n befektet іsre іs jel 0 2lje r it az i. befektet іs hozam nak t-edik megfigyel іs іt Vezess k be az al bbi jel 0 2l іseket r i = 1 T T ф r it іs a it = r it 6с1 r i t=1 azaz az tlagos megfigyelt hozam, іs az egyes megfigyel іsek elt іr іse az tlagt l.

14 Portf li probl іma C MAD modell A k 0 2vetkez 0 2 optimaliz l si feladat rhat fel: r i x i щ R x i = 1 x i щ 0 i = 1,2,..., n min 1 T O T ф O O O O a it x i O t=1 A feladat nem LP, de azz alak that!

15 Portf li probl іma C MAD modell MAD modell LP-re t rva: a it x i щ 6с1y t a it x i э y t r i x i щ R x i = 1 x i щ 0 y t щ 0 t = 1,2,..., T t = 1,2,..., T i = 1,2,..., n t = 1,2,..., T min 1 T T ф t=1 y t

16 Portf li probl іma C szemi-mad modell A MAD modell jav that A t. id 0 2pontban a portf li becs lt el 0 2jeles elt іr іse a v rhat hozamt l a it x i = (r it 6с1 r i )x i A pozit v elt іr іs kedvez 0 2 A negat v elt іr іs a probl іm s Vezess k be a k 0 2vetkez 0 2 jel 0 2l іst { x 6с1 x, x э 0 = 0, x > 0 azaz a sz m negat v r іsze

17 Portf li probl іma C szemi-mad modell A portf li optimaliz l s fe rhat a k 0 2vetkez 0 2 alakban r i x i щ R x i = 1 x i щ 0 i = 1,2,..., n min 1 T O T ф O O O O 6с1 a it x i O t=1 Az LP-v і alak t s m іg egyszer 0 3bb, mint a MAD eset іben!

18 Portf li probl іma C szemi-mad modell A semi-mad modell LP-re t rva: a it x i щ 6с1y t r i x i щ R x i = 1 y t щ 0 x i щ 0 t = 1,2,..., T t = 1,2,..., T i = 1,2,..., n min 1 T T ф t=1 y t

19 Portf li probl іma C MAD vs. szemi-mad N іh ny megjegyz іs: A k іt m dszer nagyj b l ekvivalens, ha az optim lis portf li k hozamainak eloszl sa k 0 2zel szimmetrikus...ez nem sz ks іgszer 0 3en van gy......ez іrt a szemi-mad hasznosabbnak t 0 3nik, mert a v rhat sz m t si id 0 2 r 0 2videbb

20 CAPM modell Capital Asset Pricing Model 2 = T 0 2kepiaci eszk 0 2z 0 2k raz s nak modellje A modell alapfelt іtelez іsei: 1 T 0 2k іletes verseny ( 6у5 nincsenek start іgiai l іp іsek az rfolyamok megv ltoztat s ra) 2 K 0 2lts іgmentes іs azonnali inform ci raml s 3 Nincsenek ad k іs tranzakci s k 0 2lts іgek 4 Egyperi dusos modell 5 A befektet 0 2k kock zatker l 0 2k, azonos az inform ci halmazuk 6 Csak (korl tlanul oszthat ) p іnz gyi eszk 0 2z 0 2k ( 6у5 r іszv іny, k 0 2tv іny) 7 Mindenki sz m ra azosan el іrhet 0 2 kock zatmentes kamatl b ( 6у5 alapkamat) 2 Treynor, Sharpe (Nobel d j), Lintner, Mossin

21 CAPM modell Legyen a kock zatmentes kamatl b r f egy glob lis piaci (kock zatos) kamatl b r m egy r i r іszv іny (kock zatos) v rhat hozama E(r i ) Sharpe: l іtezik egy іб mennyis іg gy, hogy E(r i ) 6с1 r f = іб(e(r m ) 6с1 r f ) ahol іб = C r i,r f Var(r f ) = E(r ir f ) 6с1 E(r i )E(r f ) E(r 2 f ) 6с1 (E(r f ) 2 E(r i ) 6с1 r f : kock zati pr іmium E(r m ) 6с1 r f : piaci pr іmium

22 CAPM modell Ha іб = 0, akkor E(r i ) = r f Ha іб = 1, akkor E(r i ) = E(r m ) E(r i ) a іб line ris f ggv іnye: E(r i ) = r f + іб(e(r m ) 6с1 r f ) Mi a kock zat? Sz moljuk ki Var(r i )-t. Legyen іе = r i 6с1 E(r i ) 6с1 іб(r m 6с1 E(r m )) L that, hogy E(іе) = 0, tov bb az is, hogy C rm,іе = 0 (hf.) Kapjuk, hogy r i 6с1 E(r i ) = іб(r m 6с1 E(r m )) + іе ahol a jobboldali 0 2sszeg k іt tagja korrel latlan.

23 CAPM modell A korrel latlans g miatt Var(r i ) = іб 2 Var(r m ) + Var(іе). Itt іб 2 Var(r m ) a szisztematikus (elker lhetetlen) kock zat Var(іе) alkalmi (diverzifik lhat ) kock zat Azaz іб tulajdonk іppen a rendszerszint 0 3, vagy piaci kock zat t m іri az adott r іszv іnynek. іб a m ltbeli adatokb l, az tlag, a variancia іs a kovariancia szok sos statisztikai becsl іseivel sz molhat

24 CAPM modell 2. bra. A іб іs az n. security market line

Hasonló dokumentumok

Diverzifikáció Markowitz-modell MAD modell CAPM modell 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet

Diverzifikáció Markowitz-modell MAD modell CAPM modell 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 11. Előadás Portfólió probléma Portfólió probléma Portfólió probléma Adott részvények (kötvények,tevékenységek,