A Zeeman-féle katasztrófagép kaotikus dinamikája

Átírás

1 A Zeeman-féle katasztrófagép kaotikus inamikája Nagy Péter, Tasnái Péter GAMF, KEFO TTK, ELTE Összefoglalás: A Zeeman-féle katasztrófagép mintapélája a hiszterézist mutató statikai renszernek. Tulajonságai egyszerűen megérthetőek és megfelelő analógiák felállításával segítik a bonyolult komplex renszerek viselkeésének megértését. Mivel a gép könnyen megépíthető, illetve mozgása egyszerűen szimulálható, a matematikai leírás és a kísérleti vizsgálat szemléletesen összekapcsolható. A Zeeman gépnek azonban nemcsak statikai, hanem inamikai viselkeése is renkívül értékes pélákkal szolgálhat a kaotikus renszerek tulajonságainak bemutatásakor. Kierült, hogy a perioikusan gerjesztett gép a isszipatív kaotikus renszerek állatorvosi lova : minen lényegi vonás, jellemző kiválóan illusztrálható általa, valamint olyan izgalmas aspektusok mint pl. a bifurkáció jelenségköre, a spontán szimmetriasértés és a fázisátalakulás jelensége. Megfelelő kezeti feltételekkel a magára hagyott gép tranziens káosz után éri el egyensúlyi állapotát. Váratlan statisztikus fizikai távlatokat nyitott azon ötletünk, hogy két gép összekapcsolásával tanulmányozzuk a konzervatív renszerekben kialakuló kaotikus viselkeést. A vizsgálatok során használt szimulációs fájlok letölthetők [] webolalunkról. Abstract: Investigation of chaotic motions an cooperative systems offers a magnificent opportunity to involve moern physics into the basic course of mechanics taught to engineering stuents. In the present paper it will be emonstrate that Zeeman Machine can be a versatile an motivating tool for stuents to get introuctory knowlege about chaotic motion via interactive simulations. The Zeeman Catastrophe Machine is a typical example of a quasi-static system with hysteresis. It works in a relatively simple way an its properties can be unerstoo very easily. Since the machine can be built easily an the simulation of its movement is also simple the experimental investigation an the theoretical escription can be connecte intuitively. Although Zeeman Machine is known mainly for its quasi-static an catastrophic behavior, its ynamic properties are also of interest with its typical chaotic features. By means of a perioically riven Zeeman Machine a wie range of chaotic properties of the simple systems can be emonstrate such as bifurcation iagrams, chaotic attractors, transient chaos, Ljapunov exponents an so on. The present paper organically linke to our website [] where the iscusse simulation programs coul be ownloae. In a secon paper a novel construction of a network of Zeeman Machines will be presente to stuy the properties of cooperative systems. Kulcsszavak: káosz, Zeeman-féle katasztrófagép, szimuláció. Keywors: chaos, Zeeman s catastrophe machine, simulation.. A Zeeman-féle katasztrófagép Azokat a renszereket, amelyek iőbeli változását (inamikáját) egyértelmű szabályok határozzák meg, eterminisztikus renszereknek nevezzük. A katasztrófaelmélet olyan eterminisztikus renszerek leírásával foglalkozik, amelyekben egy vagy több paraméter 336

2 folytonos, kicsiny változtatása a renszer állapotában hirtelen, ugrásszerű, nagymértékű változást hoz létre. A katasztrófajelenség szemléltetésére és tanulmányozására alkotta meg az 97-es években E. C. Zeeman a nevét viselő katasztrófagépet []. A szerkezet igen egyszerű (bárki elkészítheti) és mennyiségileg is könnyen tanulmányozható. Merev síklap egy pontjában rögzítsünk R sugarú, tengelyezett lapos korongot. Vegyünk két azonos, nyújtatlan állapotban L hosszúságú gumiszálat, az egyik gumiszál egyik végét rögzítsük a korong kerületi P pontjához, maj a másik végét, a szálat kissé megnyújtva a síklap A pontjában. A másik gumiszál egyik végét rögzítsük szintén a korong P pontjához, a másik végét hagyjuk szabaon. Kísérleteink során ezt a B véget fogjuk mozgatni a lap síkjában. A mennyiségi leíráshoz vegyünk fel a lap síkjában olyan koorinátarenszert, amelynek origója a korong középpontja, x tengelye, az A és O pontokra fektetett egyenes (.a. ábra), az y tengely peig rá merőleges.(az A pont koorinátája (-A,))..a. ábra.b. ábra. ábra: a Zeeman-féle katasztrófagép Tanulmányozzuk a renszer viselkeését úgy, hogy az L gumiszál B végét különböző B( x, y ) pontból inulva lassan mozgatjuk az y tengellyel párhuzamosan az x tengely felé. Ügyeljünk arra, hogy közben a korong minig egyensúlyi helyzetben legyen. (Ha valaki mégsem kíván iőt szánni a katasztrófagép megépítésére, a renszer tanulmányozására használhatja a [3] webolalon található nagyszerű flash-szimulációt (.b. ábra). A szimuláción az.a. ábrához képest 9 -kal elforítva látjuk a szerkezetet és X helyett u, Y helyett v jelöli a síkbeli koorinátákat. A gumiszál B szaba végét jelölő zöl pontot a kurzorral vonszolhatjuk az u-v síkban. Figyeljük közben a kék színű (kerületi rögzítési) P pont mozgását.) Az egyensúlyi helyzet jellemezhető a P pont elhelyezkeésével, amelynek helyét egyértelműen megahatjuk a körlap forgástengelyétől a P pontba húzott sugár és az X tengely által bezárt szöggel. Az esetek többségében azt tapasztaljuk, hogy a B vég helyzete egyértelműen meghatározza a szöget, ami B mozgatásával folytonosan változik. A B szálvéggel az x tengely felé közeleve, maj átlépve azt és ellenkező irányban távolova abszolút értéke csökken, a tengely átlépésekor előjelet vált és a távoloás során abszolút értéke növekszik. Kivételt képez azonban egy kísérletileg jól kijelölhető, furcsa, négy görbe vonallal határolt terület, amelynek bármely belső pontjában az egyensúlyi helyzethez tartozó szög előjele akár pozitív, akár negatív is lehet. Ezt a területet bifurkációs területnek nevezzük. Azt, hogy a bifurkációs terület valamely belső pontjában a szög éppen pozitív vagy negatív értékű az határozza meg, hogy az y tengellyel párhuzamosan mozgatott B szálvéggel hol léptük át a bifurkációs terület határát. A bifurkációs területen kívül az egyensúlyi szög előjele egyértelműen meghatározott. Ezt az előjelet őrzi a határ átlépése után 337

3 az egyensúlyi szög, amely a szálvég mozgatása során egészen aig most is folytonosan változik, amíg a szálvég a terület másik határát el nem éri. Azt átlépve a szög ugrásszerű változást szenve.. A Zeeman-gép inamikai leírása A katasztrófaelméletben a Zeeman-gép kvázisztatikus tulajonságait, az egyensúlyi helyzet ugrásszerű változásait vizsgáltuk. Nagyon érekes kaotikus tulajonságokat mutató ereményre vezet azonban a külső kényszer hatására mozgó Zeeman-gép inamikája is. A Zeeman-gép olyan isszipatív renszer, amely tetszőleges, kezőfeltételből inulva a súrlóás miatti folyamatos energiaveszteség következtében bizonyos iő alatt leáll (a fentebb tárgyaltak szerinti egyensúlyi helyzetben). A renszer fázistere csupán kétimenziós (a szög és az szögsebesség változókkal), ami mint ismeretes túl szűk kaotikus mozgás kialakulásához. A renszer kaotikus viselkeésének tanulmányozásához vigyünk a renszerbe perioikus gerjesztést, azaz rángassuk a másoik gumiszál B végét valamilyen perioikus mozgással: előbb Y irányú lineáris harmonikus mozgással, maj az X tengelyen levő origójú egyenletes körmozgással, a gerjesztés perióusiejét minkét esetben jelölje T. A gerjesztés következtében a fázistér három p imenziósra bővül, így már elvi lehetőség van kaotikus viselkeésre. A szög és az szögsebesség mellett a harmaik változó a t gerjesztő fázis. T A moell mozgásegyenletét az F.. függelékben vezetjük le. A inamikai renszerek stanar leírásának megfelelően a mozgásegyenletet az n imenziós fázistér x i i... n xi változóinak iőeriváltjára vonatkozó fix, x,..., xn alakú elsőrenű ifferenciálegyenlet-renszerré alakítva kapjuk, hogy: p f,, l l l l f,, c a sin y cos x sin l l f3,, Tp ahol : l cos a sin l x cos y sin. () 3. A inamikai viselkeés numerikus vizsgálata A renszer inamikájának numerikus vizsgálatához a szaba felhasználású Dynamics Solver programot használjuk, az általunk készített, a program telepítése után futtatható *.s fájlok az [] honlapunkról letölthetők. 338

4 Valamely inamikai renszer állapotát minen iőpillanatban a fázistér egy pontja aja meg, az iőfejlőés során a fázispont egy fázistérbeli görbén, az ún. trajektórián mozog. Könnyen belátható, hogy eterminisztikus renszer esetén a trajektória nem metszheti önmagát. Mivel többimenziós fázistérben a trajektória nehezen követhető, sokszor célravezetőbb csökkenteni a megjelenítenő imenziók számát (általában -re, hogy pl. a számítógép képernyőjén szemlélhessük). Ennek legegyszerűbb mója a fázissíkra vetítés (projekció), azaz valamelyik kétimenziós vetület megjelenítése (.a. ábra). A vetítés során azonban nyilvánvalóan információt veszítünk (pl. a trajektória a vetületen metszheti önmagát!). Másik lehetőség, hogy a trajektóriának csak valamely, kiválasztott alacsonyabb imenziós felületet átöfő metszéspontjait (tehát már nem folytonos görbét, hanem iszkrét pontsorozatot), az ún. Poincaré-metszetet ábrázoljuk (.b. ábra). Perioikus gerjesztés esetén kézenfekvő speciális Poincaré-metszetet, az ún. stroboszkópikus leképezést használni, azaz a trajektóriából csak a gerjesztési T p perióusiő egészszámú többszöröseinek megfelelő pillanatokban (azaz állanó fázisértékeknél) vett iszkrét pontsorozatot (.c. ábra) ábrázolni. A φ fázisváltozót (lévén szögváltozó típusú) köríven ábrázoljuk, a többi változót peig a körívre merőleges síkok sokaságán. Ekkor tehát az iő múlásával - mivel φ~t - a trajektória körbe-körbe hala miközben a körforgásra merőleges irányokban bolyong. Mivel a φ változó π perióusú, a trajektória újra és újra átöfi a kiválasztott (φ mo π) = φ s fázisú síkot, φ s a szabaon választott fázisérték, ahol mintavételezni kívánunk, így a síkon fokozatosan kirajzolóik a stroboszkópikus leképezéssel alkotott kép. a. b. c.. ábra: trajektóriák megjelenítési mójai Disszipatív renszerekben a trajektóriák kellően hosszú iő alatt az ún. attraktorokhoz tartanak. Az attraktoroknak három alaptípusa van: Az ún. pontattraktor a renszer egy stabil állapotát jelenti. A perioikus attraktor egy stabil határciklus, a renszer ezt elérve oszcillálni kez, perioikusan viselkeik. Az ún. különös attraktor esetén a kívülről érkező trajektóriák nem lépnek bele, csak rásimulnak, a különös attraktoron nincsenek perioikus oszcillációk, a renszer soha nem ismétli magát, azt monjuk kaotikusan viselkeik. Egy fázistérben több különböző attraktor is lehet. Ha a renszer valamely releváns paraméterét, ún. kontrollparaméterét folytonosan változtatjuk, akkor bizonyos értékeknél a renszer hirtelen másként kez viselkeni; új attraktorok jelennek meg, régiek tűnnek el, vagy megváltozik a típusuk, stabilitásuk. Ezen változás tipikus megjelenési formája a bifurkáció jelensége. Az ún. bifurkációs iagramon a kontrollparaméter függvényében ábrázoljuk a renszer egy kiválasztott fázisváltozójának kellően hosszú iőfejlőés után egy aott iőintervallumban Poincaré- vagy stroboszkópikus leképezéssel kapott iszkrét értékeit, azaz 339

5 várakozásunk szerint a stabil attraktorhoz tartozó értékeket, így nyerve szemléletes képet az attraktor jellegéről az aott kontrollparaméter értéknél. A következőkben a vetítéssel kapott ún. fázisképet használjuk a mozgás vizuális szemléltetésére, a stroboszkópikus képet peig a kaotikus attraktor szerkezetének bemutatására. Minenekelőtt azonban a bifurkációs iagramot készítjük el, amely mint egyfajta térkép igazít el bennünket abban, hogy milyen paraméterértékeknél éremes különböző típusú viselkeéseket megjelenítő attraktorokat keresnünk. (i) Gerjesztés lineáris harmonikus mozgással Mozgassuk tehát a gumiszál szab végét (B) az X tengelyre merőleges, x, középpontú, y amplitúójú, T p perióusiejű lineáris harmonikus mozgással. Ez formálisan csupán annyit jelent, hogy az () mozgásegyenletben x helyére minenütt peig az y sin t y sin Tp kifejezést írjuk. x -át,, y helyére Az alábbiakban renszert a c ; a 6 ; l 3 ; y,6 ; T p 3 rögzített paraméterértékek mellett vizsgáljuk az x kontrollparaméter változtatása mellett. A renszer bifurkációs iagramját a 3. ábra mutatja (a futtatható szimulációs fájl zeeman_harmonic_bif.s néven található). A kezőfeltétel minen x kontrollparaméterértéknél,,. A bifurkációs kép tökéletes mintapéláját mutatja a kaotikus renszerek viselkeésének. Az a betűvel jelölt rész a stroboszkópikus képen egyetlen pontból álló (-es) határciklusnak felel meg A b tartományban aott kontrollparaméterhez a stroboszkópikus képen két pont tartozik, amelyek -es határciklust reprezentálnak, a c részen peig 4-es határciklust találunk, ez az ún. bifurkációs sorozat, mely tipikusan a káosz kialakulásának jele. A iagramon valóban megjelenik a kaotikus tartomány, amelyen belül nincs stabil perioikus viselkeés, azaz a renszer hosszú távú előrejelzésére csak valószínűségi megállapítások tehetők. A kaotikus tartomány szerkezetét e helyen nem kívánjuk részletesen tárgyalni, annyit azonban megemlítünk, hogy a kaotikus tartomány jól láthatóan véges, ismét megjelenik a perioikus viselkeés (pl. az f részen). 3. ábra: a renszer bifurkációs iagramja,, kezőfeltétellel 34

6 A fentiek alapján már könnyen választhatunk olyan x kontrollparaméter értékeket, amelyeknél éremes elkészíteni a fázisképeket (a futtatható szimulációs fájl zeeman_harmonic.s néven található). A 4. ábrán az egyes betűkkel jelölt képek a 3. ábrán azonos betűvel jelölt pontokhoz tartozó fázisképet mutatják. a. x =6,348 (-es ciklus) b. x =6,36 (-es ciklus) c. x =6,367 (4-es ciklus). x =6,375 (káosz) e. x =6,3864 (káosz) f. x =6,4 (4-es határciklus),, kezőfeltétellel 4. ábra: a mozgás fázissíkbeli képei A 3. ábra bifurkációs iagramján talált kaotikus tartomány trajektóriájának vetületét 4.. és 4.e. ábra jeleníti meg. A vetület mint említettük nem alkalmas arra, hogy az attraktorról pontos képet kapjunk, ehhez a stroboszkópikus leképezést kell alkalmaznunk (a futtatható szimulációs fájl zeeman_harmonic_strob.s néven található). A 4.e. ábrán látható mozgás φ s = fázisértékhez tartozó stroboszkópikus leképezéssel készített kaotikus attraktorát az 5. ábrán tanulmányozhatjuk. A b. ábra az a. ábrán szaggatott vonallal határolt terület nagyítása, míg a c. ábra a b. ábrán levő szaggatott vonallal jelölt terület kinagyított képe, az ábrák jól szemléltetik a kaotikus attraktor közismert skálatulajonságát, a Cantor-szál jellegű fraktálszerkezetet. a. b. c. 5. ábra: az x =6,3864 értékhez tartozó kaotikus mozgás attraktorának fraktálszerkezete Spontán szimmetriasértés A 4. ábrasoron a trajektóriák további igen érekes tulajonságát feezhetjük fel: az e. és f. ábrákon látható attraktorok szimmetrikusak a fázissík origójára, míg az a.-. ábrák attraktorai nem szimmetrikusak! A katasztrófagép leírása és az.a. ábra alapján nyilvánvaló, 34

7 hogy maga a szerkezet tükörszimmetrikus az X tengelyre, így a renszert leíró mozgásegyenletek is horozzák ezt a szimmetriát, azaz az () egyenletrenszer invariáns az X tengelyre való tükrözésnek megfelelő, y y, változócserékre. Ezzel szemben különös móon, a renszerben léteznek olyan (stabil és instabil) egyensúlyi állapotok (pl. 4.a.-4.. ábrák), amelyek nem renelkeznek a renszer mozgásegyenleteinek szimmetriájával. Ezt a viselkeést spontán szimmetriasértésnek nevezzük. a. b. c. 6. ábra: a szimmetria-sértés jelenségének szemléltetése A jelenséget jól szemlélteti a 6.a. ábrán látható sombrero-moell : a kalap alakja forgásszimmetrikus, viszont a tetejére helyezett (instabil helyzetű) golyó csak a perem körüli völgyben találhat stabil egyensúlyi állapotot, és hogy aott kísérletben éppen hol, az véletlenszerű pontosabban fogalmazva extrém érzékenységet mutat a kezeti feltételre (lás alább), e az egyensúlyi állapot már semmiképpen sem mutat forgásszimmetriát. Ez a fizika egyik legfontosabb és legizgalmasabb jelensége (olvasásra ajánljuk pélául a [4] olalt), ezen alapszik többek között az ún. Higgs-mechanizmus, amely a részecskefizika stanar moellje szerint az elemi részecskék tömegét magyarázza és melléktermékként létrehozza a napjainkban elhíresült Higgs-bozont, amely után a CERN új LHC gyorsítójában folyik intenzív kutatás. Könnyű megmutatni, hogy agyunk (érzékelésünk, gonolkoásunk) is proukálja a szimmetriasértés jelenségét. A 6.b. ábrát nézve két különböző alakzatot ismerhetünk fel, vagy egy fehér vázát, vagy két szembenéző fekete arcot, aott pillanatban mintegy véletlenszerűen választva a két lehetőségből. Felhívjuk a figyelmet arra, agyunk befolyásolható abban, hogy melyik lehetőséget választjuk. Ha az ábrára pillantást megelőzően fehér alapon fekete alakzatokat, illetve fekete alapon fehér alakzatokat nézünk, akkor az előzetes kombinációnak megfelelő értelmezés jelenik meg tuatunkban. Ezt nevezzük inukált beállítóásnak. A beállítóás létrejöhet korábbi beépülési (tanulási) folyamat révén is, pl. a 6.c. ábrán levő képen a felnőttek messze túlnyomó többsége meztelenül ölelkező párt lát, míg a kisgyerekek 9 kis fekete, ugráló elfint látnak, mivel nekik még nincsenek szexuális jellegű tapasztalataik, ez kiváló péla az ún. a priori beállítóásra. A [5] olalon látható animáción egy forgó macska sziluettjét nézhetjük, amelyet véletlenszerűen láthatjuk forogni az óramutató szerint, vagy ellentétesen is (kísérletezzenek azzal, hogy tuják-e tuatosan választani a forgásirányokat). Minez kézenfekvő lehetőséget nyit az emberi tuat manipulációjára. A [6] vieón remek, mulatságos pélát láthatunk arra, hogy miként vezérelhető a szimmetriasértés a megfelelő irányba. Mint azt a 6.a. ábra kapcsán elmonuk, szimmetriasértés esetén a kezeti feltételek öntik el, hogy a lehetséges aszimmetrikus állapotok közül melyik jelenik meg. Az általunk tárgyalt renszer esetén is csak annyit kell tennünk, hogy az eig használt,, 34

8 kezőfeltétel helyett másik, megfelelő pl.,, kezőfeltételből inítsuk a szimulációt. A 7. ábrán mutatjuk be a 4. ábrával azonos kontrollparaméter értékekhez tartozó attraktorokat. a. x =6,348 (-es ciklus) b. x =6,36 (-es ciklus) c. x =6,367 (4-es ciklus). x =6,375 (káosz) e. x =6,3864 (káosz) f. x =6,4 (4-es határciklus),, kezőfeltétellel 7. ábra: a mozgás fázissíkbeli képei Fázisátalakulás moellezése Összevetve a 4. és 7. ábrákat megállapíthatjuk, hogy az a.-. attraktorok egymás origóra vonatkozó tükörkép párjai, míg az e. és f. attraktorok lévén már eleve szimmetrikusak az origóra azonosak a két ábrán. Ezek szerint a szimmetriasértés csak meghatározott kontrollparaméter tartományon következik be, más kontrollparamétereknél már olyan attraktorok jelennek meg, amelyek renelkeznek a renszer ereeti szimmetriájával. Megkönnyíti számunkra az általános kép kialakítását, ha a,, kezőfeltétel mellett is elkészítjük a renszer bifurkációs iagramját (8. ábra). 8. ábra: a renszer bifurkációs iagramja,, kezőfeltétellel 343

9 A 3. és 8. ábrák bifurkációs iagramjait összehasonlítva már könnyen észrevehetjük, hogy az e ponttól balra a két iagram csak jellegében hasonlít egymásra, e az attraktorok numerikus értékei tekintetében teljesen különböznek, míg az e ponttól jobbra a két iagram tökéletesen megegyezik. Szabatosabban fogalmazva az e ponthoz tartozó kontrollparaméterérték alatt, illetve felett a renszer markánsan eltérő szimmetriájú egyensúlyi állapotokkal renelkezik. Az ilyen típusú változásokat fázisátalakulásnak nevezzük, az x =6,3864 kontrollparaméter-értéket peig a fázisátalakuláshoz tartozó kritikus értéknek. Pélaként a mágneses anyagok T C ún. Curie-hőmérsékletét említhetjük, amely hőmérséklet felett a ferromágneses anyagok elveszítik mágneses tulajonságukat (pontosabban fogalmazva paramágnessé alakulnak). 4. A csatolt Zeeman-gép, mint konzervatív renszer A fentiekben tárgyalt Zeeman gép isszipatív renszer. A következőkben azt vizsgáljuk, hogy a Zeeman-féle katasztrófagép moellel tanulmányozható-e a konzervatív renszerek kaotikus viselkeése. A probléma az, hogy az ereeti moell súrlóásmentes (és gerjesztés nélküli) változata konzervatív renszer ugyan, e a kétimenziós fázistér nem elég tág a kaotikus viselkeés megjelenéséhez (éppen a imenziószám növelése érekében vittünk be perioikus gerjesztést). Ötletünk szerint két súrlóásmentes katasztrófagép összekapcsolásával (9. ábra) természetes móon jutunk négyimenziós fázisterű konzervatív renszerhez! 9. ábra: a csatolt Zeeman-féle katasztrófagép moell A csatolt Zeeman-gép moell mozgásegyenletét az F.. függelékben vezetjük le, és az alábbi inamikai egyenletrenszert kapjuk: l l l l asin sin cos sin cos bsin l l l l l l 3 bsin sin cos sin cos b x sin y cos l l3 () 344

10 A renszer K V energiája kr egységben: 3 e l l l l l l Konzervatív renszerekben nincsenek attraktorok, a mozgás jellege a kezeti feltételektől függ. Az energia-kifejezésre szükség van a Poincaré-térképek elkészítéséhez, mivel sok különböző, e azonos energiájú kezőfeltételből kell inítanunk a renszert a teljes kép kirajzolásához, azaz esetünkben a négy,,, kezőértékből csak hármat választhatunk szabaon, a negyeiket az energia értékéből határozzuk meg (a futtatható szimulációs fájl zeeman_couple.s néven található). e=4 e=6 e=8 e=. ábra: a mozgás fázissíkbeli Poincaré-térképei l 3, a 6, b 6 és x, y A. ábrán a mozgás fázissíkbeli Poincaré-térképét mutatjuk be különböző energia értékek esetén és a konzervatív káoszra jellemző térképet láthatjuk: kövér fraktál jellegű kaotikus tartományokat perioikus szigetek és tartományok szabalják. A mozgás fázissíkbeli Poincaré-térképe nagyon hasonló jellegű, viszont a. ábrán látható fáziskép kissé más. 345

11 e=4 e=6. ábra: a mozgás fázissíkbeli Poincaré-térképei l 3, a 6, b 6 és x, y A csatolt Zeeman-gép ötletet továbbgonolva vezettük be a Zeeman-hálózat moellt, amely igen gyümölcsözőnek bizonyult a statisztikus fizika tárgyalásában (lás egy következő publikációban). Függelék F.. A perióikusan gerjesztett súrlóásos Zeeman-gép inamikája A gép mozgásegyenletét származtassuk a Lagrange-függvényből (.a. ábra). Használjuk a korábban már kijelölt koorinátarenszert és legyen a gumiszálak nyugalmi hossza L, k a irekciós állanója (k N ). Tegyük fel, hogy az I tehetetlenségi nyomatékú korong m aott pillanatban szögsebességgel mozog, a B szálvég peig a P X, Y pontban van. A korong mozgási energiája: K I, a gumiszálak megnyúlásából származó helyzeti energia peig: V k L L L L, ahol L és L a két gumiszál pillanatnyi hossza: A renszer Lagrange-függvénye: L R cos A R sin L X R Y R cos sin L K V I k L L L L. A Lagrange-függvény a gumiszálak hosszán keresztül függ a szögtől, így szükség lesz a:. 346

12 eriváltakra. L R cos A Rsin R sin cos RAsin L L. L X R cos Rsin Y Rsin R cos XRsin YR cos L L A Lagrange-függvény szög szerinti eriváltja: valamint: L L L k L L L L L L L L L L k RAsin R X sin Y cos L I és L I Ezek alapján a L L mozgásegyenlet már felírható: L L L L sin cos sin. L L I Rk A Y X A továbbiakban minen hosszjellegű mennyiséget ajunk meg a korong R sugarához viszonyítva, azaz használjuk a kis betűvel jelölt imenziótlan változókat: A ar, X xr, Y yr, L l R, L l R, L l R, amelyekkel a mozgásegyenlet az l l l l sin cos sin, l l I R k a y x alakot ölti. Az egyenlet jobb olalát kiegészítettük az energia-isszipációt megaó szögsebességgel arányos súrlóási nyomatékkal. I A t t új (imenziótlan) iőváltozó bevezetésével a l l l l sin cos sin c a y x, l l a imenziótlan mozgásegyenletet kapjuk, ahol I R c k imenziótlan paraméter. A inamikai renszerek stanar leírásának megfelelően alakítsuk a mozgásegyenletet az n imenziós fázistér x i i... n változóinak elsőrenű eriváltjára vonatkozó 347

13 xi fix, x,..., xn alakú elsőrenű ifferenciálegyenlet-renszerré. Az szögsebesség bevezetésével azt kapjuk, hogy: f,. l l l l f, c a sin y cos xsin l l Ez a ifferenciálegyenlet-renszer olyan isszipatív renszert ír le, amely tetszőleges, kezőfeltételből inulva a súrlóás miatti folyamatos energiaveszteség következtében bizonyos iő alatt leáll (a fentebb tárgyaltak szerinti egyensúlyi helyzetben). A renszer fázistere csupán kétimenziós (a szög és az szögsebesség változókkal), ami mint ismeretes túl szűk kaotikus mozgás kialakulásához. A renszer kaotikus viselkeésének tanulmányozásához vigyünk a renszerbe perioikus gerjesztést, azaz rángassuk a másoik gumiszál B végét valamilyen perioikus mozgással: előbb Y irányú lineáris harmonikus mozgással, maj az X tengelyen levő origójú egyenletes körmozgással, a gerjesztés perióusiejét minkét esetben jelölje T. A gerjesztés következtében a fázistér három imenziósra bővül, így már elvi lehetőség van kaotikus viselkeésre. A szög és az szögsebesség mellett a harmaik változó a t T gerjesztő fázis, a renszert leíró ifferenciálegyenlet renszer peig: f,, l l l l f,, c a sin y cos x sin l l f3,, Tp ahol : l cos a sin l x cos y sin p. p F.. A csatolt Zeeman-gép moell inamikája A két azonos R sugarú, I tehetetlenségi nyomatékú korong (9. ábra) mozgási energiája: K I, I amely a t kr t imenziótlan iőváltozó bevezetésével: K kr. 348

14 A gumiszálak megnyúlásából származó helyzeti energia a fentebb használt (R egységben mért) A ar, B br, X xr, Y yr, L l R, L l R, L l R, L3 l3 R imenziótlan hosszúság-változókkal: ahol: V kr l l l l l3 l l cos a sin l l3 b cos x y sin b cos cos sin sin A renszer Lagrange-függvénye: L K V kr l l l l l3 l, amelyben a továbbiakban az nem változnak, ha a Lagrange-függvényt egy konstanssal szorozzuk. kr tényezőt el fogjuk hagyni, mivel a mozgásegyenletek A Lagrange-függvény csak a gumiszálak hosszán keresztül függ a és szögektől, szükség lesz a eriváltjaikra: l asin l és l l bsin sin cos sin cos sin sin cos sin cos és l l l3 l3 x bsin y cos és l A Lagrange-függvény és szögek szerinti eriváltja: l b L l l l l l l l l l 3 3 l l l l asin bsin sin cos sin cos l l L l l l l l l l l l valamint: 3 3. l l l l bsin sin cos sin cos b x sin y cos 3 l l3 L L és. 349

15 Ezek alapján a L L mozgásegyenletek már felírhatók: i i l l l l a sin sin cos sin cos bsin l l l l l l bsin sin cos sin cos b x sin y cos 3 l l3 A i i szögsebességek bevezetésével kapjuk a inamikai egyenleteket: l l l l asin sin cos sin cos bsin l l l l l l 3 bsin sin cos sin cos b x sin y cos l l3 A renszer K V energiája kr egységben: 3 e l l l l l l Iroalomjegyzék [] [] [3] [4] [5] [6] [7] [8] Szerzők Nagy Péter: TMAI, GAMF Kar, KEFO, 6, Kecskemét, Izsáki út., Magyarország. e- mail: nagy.peter@gamf.kefo.hu Tasnái Péter: TTK, ELTE, 7, Buapest, Pázmány P. sétány./a., Magyarország, tasnai.peter.jozsef@gmail.com 35