Haladvány Kiadvány Egy kis számolás az üzemanyag-felhasználás csökkentésére Hujter Mihály.

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Haladvány Kiadvány 2012.06.12 Egy kis számolás az üzemanyag-felhasználás csökkentésére Hujter Mihály."

Egon Szabó
8 évvel ezelőtt
Látták:

1 Haladvány Kiadvány Egy kis számolás az üzemanyag-felhasználás sökkentésére Hujter Mihály. Néhai Varga Gyula zikatanár emlékére. Hosszú évek óta Miska bási motoros forgókapával m½uveli a sz½ol½ojét. Nagyon megdrágult a benzin, ezért Miska bási 10 százalékkal növelte a forgókapa munka-sebességét. Csalódására azonban annak ellenére, hogy pár perel rövidült a munkaid½o, 20 százalékkal növekedett az üzemanyag felhasználása. Miska bási nem érti a dolgot! Itt mi most egy kis számolással megmagyarázzuk neki a jelenséget, és javaslatot teszünk a munkasebesség helyes megválasztására. Ezerkilenszázhatvanhét januárjában jelentette meg a Tankönyvkiadó Budapesten Bende Sándor, Gallai Tiborné és Konz Károly kötetét Matematikai Példatár I. ímmel. Ennek a közepén 1,79() jelzéssel ezt olvashatjuk: Ismeretes, hogy az egy órai hajóutazás költségei forintban a + bv, ahol a és b állandók, v a sebesség. El½oször ezt a mondatot értelmezzük. Az utazás költségeinek egy részét nyilván az hajótársaság t½oke- és adóköltségei és az alkalmazottak bérköltségei teszik ki; ezekr½ol joggal tételezhetjük fel, hogy az utazási id½ovel arányosak. A költségek másik része a hajómotor üzemanyagköltsége. Állandó sebesség esetén az elhasznált üzemanyag egy része a motor üzemi h½omérsékletének fenntartására és az elekromos generátorok m½uködtetésére fordítódik; ez tehát szintén id½ovel arányosnak tekinthet½o. A motor teljesítményének másik része a víz és a leveg½o közegellenállásának legy½ozésére kell. Ismeretes, hogy a közegellenállás ereje a sebesség négyzetével arányos, a közegellenállással szembeni id½oegységenkénti elmozdulás pedig a sebességgel egyenessen arányos. A kett½o szorzata a sebesség köbével arányos. Indokolt tehát a + bv képlet az üzemanyagfogyasztásra, ahol a és b paraméterek állandóknak tekinthet½ok; sak a hajótól és annak motorjától illetve a felhasznált üzemanyag min½oségét½ol és árától függ, a sebességt½ol független; a b paraméter értéke függ a hajó terhelését½ol, a víz és a leveg½o h½omérsékletét½ol is, esetleg a szélt½ol és áramlásoktól is, de a sebesség megfelel½o megválasztása szempontjából ez is állandónak tekinthet½o. Miska bási forgókapája is hasonló rendszer! Feltételezhetjük, hogy a perenkénti benzinfogyasztás + bv alakú, ahol v a sebesség, a és b paraméterek pedig sak a motor és az üzemanyag m½uszaki jellemz½oit½ol és a megmunkálandó talaj állapotától függnek, a forgókapa haladási sebességét½ol nem. Természetesen fogalmunk sins, hogyan lehetne a és b paraméterek értékét kimérni. Viszont Miska bási keser½u tapasztalatát felhasznáva ki tudjuk majd számítani a =b arányt. Az id½ot perekben, a benzint deiliterekben, a munkasebességet m 2 /per mértékegyégben mérjük, mivel Miska bási szempontjából ezek a természetes mértékegységek, nekünk meg tulajdonképpen teljesen mindegy. Ha v sebességgel dolgozik a forgókapa, akkor a T négyzetméteres sz½ol½oterületet T =v per alatt 1

Csalódására azonban annak ellenére, hogy pár perel rövidült a munkaid½o, 20 százalékkal növekedett az üzemanyag felhasználása. Miska bási nem érti a dolgot!

2 munkálja meg, és ennyi id½o alatt elhasznál + bv T v deiliter benzint. Jelölje a régebbi munkasebességet, amely mellett + bv0 T deiliter benzin kellett. Amikor 10 százalékkal növekedett a sebesség, akkor 20 százalékka n½ott a benzinfogyasztás; tehát + b (1:1 v 1 ) T 1:1 ( + bv0 ) T = 1:2 azaz bv 0 = Itt a tört értéke közelít½oleg 0:0 44 = Ha 10 helyett 10n százalékkal n½ott volna a sebesség, akkor a benzinfogyasztás az eredetinek + b (1 + n 10 ) v 1 T (1+ n 10 )v0 ( + bv 0 ) T = b + (1 + n 10 ) v 0 b + (1 + n 10 ) arányú többszöröse lenne. Az utolsó képletbe beírva = bv0 helyére a közelítést ezt kapjuk: (1 + n 10 ) n = n + 150n n n Itt érdemes megnézni a 5n + 150n n n + 10 képletnek, mint n függvényének a viselkedését: Az x = n + 10 jelöléssel 5n + 150n n n + 10 = 5(x 10) + 150(x 10) (x 10) x = 5x x Az utolsó képletet, mint x függvényét ábrázolva ezt kapjuk: 2

3 y Látható, hogy körülbelül x = 2:6-nál van minimum. Pontosabban is számolhatunk: Mivel 5x =x deriváltja 10x 172=x 2 és a 10x 172=x 2 = 0 egyenlet megoldása körülbelül x = 2: 58, mindebb½ol az következik, hogy nem 10 százalékos sebességnöve- lést, hanem 10(2:6 10) = 74:0 miatt 74 százalékos sebességsökkentést javasoljunk Miska básinak. Valóban, ha az eredeti munkasebességet annak negyedére veszi vissza, akkor négyszer tovább tart ugyan a sz½ol½oterület megmunkálása, viszont a benzinfogyasztás visszaesik az eredeti fogyasztásról v = arányúra, azaz körülbelül az ötödére. Ha a gyakorlatban sak a negyedére esik is vissza, Miska bási annak is nagyon fog örülni. x A fent tárgyalt problémát általánosan is tekinthetjük. Tegyük fel, hogy pozitív konstans -re és b-re továbbá pozitív változó v-re a v egy konkrét értékének p-szeresre változtatása a ( + bv )=v kifejezés értékét -szorosra változtatja. Megkérdezzük, hogy adott összetartozó p 0 ; 0 értékpár esetén milyen p-re lesz a = 0 hányados a lehet½o legkisebb. Tudjuk tehát, hogy és p függvényében keressük + b(p 0 ) p 0 = 0 + b + b(p ) p

lést, hanem 10(2:6 10) = 74:0 miatt 74 százalékos sebességsökkentést javasoljunk Miska básinak.

4 minumumát. Bevezetve a jelölést azt kapjuk, hogy d = bv 0 dbv 0 + b(p ) p = d + p p bv 2 0 Itt bv 2 0 konstans d + p = 2p d p 2 d p 2 = 2 + 2d p Az utóbbi mindig pozitív, tehát a minimum ott vétetik fel, ahol 2p d = 0, azaz r r d p = 2 = 2bv0 Mindazonáltal az eredeti + b(p 0 ) p 0 = 0 + b egyenl½oségbe visszaírva ezt a p értéket azt kapjuk, hogy s p p = 0 (p ) 2(p 0 0 1) Következésképpen az ehhez tartozó értékre pedig azaz = + b(p) : + bv 0 = + bp v0 p p ( + bv0 ) = 2bp + bp v0 p (2bv0 p + bv0 ) = p2 2p + 1 = p 2 27p p = + 1 (2p + 1) = = 27p2 0 p (p0 0 1) 4 (p 0 1) (p p 0 + 1) p0(p ) 2(p 0 0 1) 2 p0(p2 0 0) 2(p 0 0 1) + 1 Tehát = p 6:75 p 2 0 (p2 0 0 ) 2 (p 0 0 1) (p 0 1) (p p 0 + 1) 4

tehát a minimum ott vétetik fel, ahol 2p d = 0, azaz r r d p = 2 = 2bv0 Mindazonáltal az eredeti + b(p 0 ) p 0 = 0 + b egyenl½oségbe visszaírva ezt a p értéket azt kapjuk, hogy s p p = 0 (p

5 Az eredeti szöveges feladatunk adataival: s 1:1 (1:1 p = 2 1:2) 2 (1:1 1:2 1) 0:258 = p (1:1 2 (1:1 2 1:2) 2 (1:1 1:2 1) 6:75 (1:1 1) (1:1 2 0:19 + 1:1 + 1) Jó munkát Miska bási! Dolgozzon négyszer lassabban, mint korábban, és használjon el ötször kevesebb benzint! Filozó ai mélységekbe bosátkozva joggal merül fel a kérdés, hogy a p 0 = 1:1 és 0 = 1:2 adatok mennyire életszer½uek. Fent az jött ki, hogy ilyen adatoknál Miska bási üzemanyagfelhasználása a megszokott munkasebességnél + bv 0 = 1 + bv 0= miatt harminszorosa az üresjárati üzemanyagfogyasztásnak. Amikor pedig 10 százalékkal fokozta a sebességet, akkor a fogyasztás tovább növekedett :2 1: miatt az üresjárati fogyasztás negyvenszeresére. Ha olyan munkagépünk lenne, aminél 0 helyett sak az arány, akkor 0 értéke p 0 = 1:1 esetén sokkal kevesebb lenne. Valóban, az 1 + bv 0= = egyenletb½ol azt kapjuk, hogy és így bv 0 = = + b(p 0 ) p 0 : + b = + b(p 0 ) p 0 ( + bv 0 ) = 2 + 2b(p 0 ) p 0 (2 + 2bv0 ) = b + 2b(p 0 ) p 0 (bv0 + 2b ) = 2p = 2 1: :11 p 0 1:1 Tehát nem húsz, hanem sak tizenegy százalékos a benzinfogyasztás emelkedése. Ha pedig nem 0, nem, hanem mondjuk 10 az arány, akkor p 0 = 1:1-hez ez a 0 tartozik: 0 = 9 + 9b(p 0 ) p 0 (9 + 9bv0 ) = b + 9b(p 0 ) p 0 (bv0 + 9b ) = 9p = 9 1: :18 10p :1 5

Filozó ai mélységekbe bosátkozva joggal merül fel a kérdés, hogy a p 0 = 1:1 és 0 = 1:2 adatok mennyire életszer½uek.

6 Úgy is fogalmazhatjuk, hogy ha Miska bási fogyasztásnövekedése nem 20, hanem sak 18 százalékos volt, akkor nem tudja az eredeti ötödére sökkenteni a fogyasztást, hanem a = p (p 2 0 6:75 (p2 0 0 ) 2 (p 0 0 1) (p 0 1) (p p 0 + 1) = p (1:1 2 (1:1 2 1:18) 2 (1:1 1:18 1) 6:75 (1:1 1) (1:1 2 0:9 + 1:1 + 1) képlet miatt a kétötödére, de ehhez a sebességet sem a negyedére kell visszavennie, hanem sak az eredeti sebességnek körülbelül a harmadára-kétötödére, hiszen s 1:1 (1:1 2 1:18) 2 (1:1 1:18 1) 0:8 No, ennyi id½o alatt Miska bási már gyalog, hagyományos kapával is megmunkálta volna a sz½ol½oterületet! Nulla benzinfogyás, majdnem nulla légszenynyezés, és zajszennyezés is sak akkor, ha a kapáját élesre kikalapálja! És a gyalog kapálás még Miska bási energiáit sem szívná le annyira, mint amennyire leszívja a drasztikusan lassított forgókapa irányítása. 6

sak az eredeti sebességnek körülbelül a harmadára-kétötödére, hiszen s 1:1 (1:1 2 1:18) 2 (1:1 1:18 1) 0:8 No, ennyi id½o alatt Miska bási már gyalog, hagyományos kapával is megmunkálta volna a

Hasonló dokumentumok

3. Vírusmentes e-levelemet a kolléga számítógépe fert½ozte meg érkezéskor.

3. Vírusmentes e-levelemet a kolléga számítógépe fert½ozte meg érkezéskor. Haladvány Kiadvány 0.06.4 Számítógépes vírusok vagy ugratás valószín½uségér½ol Hujter M.. Dedikálva egy másik Hujter M. mai születésnapjára. Egy nagyon okos kollégámtól ma kaptam egy e-levelet, mert a