Hogyan (ne) tévedjünk a matematikai gondolkodás ereje
|
|
|
- Emília Soósné
- 6 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Hogyan (ne) tévedjünk a matematikai gondolkodás ereje Szakács Nóra Bolyai Intézet Eötvös-esték
2
3 Mire fogom én ezt valaha is használni?
4 A gyakori válasz: Talán egyszer olyan helyen fogsz dolgozni, ahol elengedhetetlen, hogy hatékonyan tudj határozott integrálokat számolni kézzel.
5 A gyakori válasz: Talán egyszer olyan helyen fogsz dolgozni, ahol elengedhetetlen, hogy hatékonyan tudj határozott integrálokat számolni kézzel. Ez általában nem túl kielégítő,
6 A gyakori válasz: Talán egyszer olyan helyen fogsz dolgozni, ahol elengedhetetlen, hogy hatékonyan tudj határozott integrálokat számolni kézzel. Ez általában nem túl kielégítő, és nem is igaz.
7 Egy jobb válasz: Hogyan edzenek a focisták?
8 Egy jobb válasz: Hogyan edzenek a focisták? Mire jó az edzés?
9 A matematikai gondolkodás edzése :
10 A matematikai gondolkodás ereje 1 A hiányzó golyónyomok esete 2 Lineáris? 3 Repülők újra 4 Korreláció és ok-okozat
11 A hiányzó golyónyomok esete A matematikai gondolkodás ereje 1 A hiányzó golyónyomok esete 2 Lineáris? 3 Repülők újra 4 Korreláció és ok-okozat
12 A hiányzó golyónyomok esete Wald Ábrahám: kolozsvári születésű zsidó matematikus, aki a 2. világháború alatt statisztikai elemzéseket végzett az amerikai hadseregnek
13 A hiányzó golyónyomok esete Wald Ábrahám: kolozsvári születésű zsidó matematikus, aki a 2. világháború alatt statisztikai elemzéseket végzett az amerikai hadseregnek Probléma: hogyan érdemes páncélzattal ellátni a harci repülőket? kevés páncél sérülékeny sok páncél nehezen manőverezhető, kisebb hatótáv
14 A hiányzó golyónyomok esete A hadsereg statisztikai adatai a visszatérő gépek alapján: szerkezeti elem találat/m 2 motor üzemanyag géptörzs többi rész 0.167
15 A hiányzó golyónyomok esete A hadsereg statisztikai adatai a visszatérő gépek alapján: szerkezeti elem találat/m 2 motor üzemanyag géptörzs többi rész A hadsereg ötlete: oda tegyünk több páncélt, ahol átlagosan több a találat
16 A hiányzó golyónyomok esete Wald ötlete: oda tegyünk több páncélt, ahol átlagosan kevesebb a találat
17 A hiányzó golyónyomok esete Wald ötlete: oda tegyünk több páncélt, ahol átlagosan kevesebb a találat azok közül a gépek közül, amelyeket ilyen területen találnak el, több zuhan le!
18 A hiányzó golyónyomok esete Wald ötlete: oda tegyünk több páncélt, ahol átlagosan kevesebb a találat azok közül a gépek közül, amelyeket ilyen területen találnak el, több zuhan le! A hadsereg (hibás) gondolatmenete: a vizsgált gépeken a legtöbb lyuk a szárnyakon van
19 A hiányzó golyónyomok esete Wald ötlete: oda tegyünk több páncélt, ahol átlagosan kevesebb a találat azok közül a gépek közül, amelyeket ilyen területen találnak el, több zuhan le! A hadsereg (hibás) gondolatmenete: a vizsgált gépeken a legtöbb lyuk a szárnyakon van = az ellenség leggyakrabban a szárnyat találja el
20 A hiányzó golyónyomok esete Wald ötlete: oda tegyünk több páncélt, ahol átlagosan kevesebb a találat azok közül a gépek közül, amelyeket ilyen területen találnak el, több zuhan le! A hadsereg (hibás) gondolatmenete: a vizsgált gépeken a legtöbb lyuk a szárnyakon van = az ellenség leggyakrabban a szárnyat találja el = ide érdemes több páncélt tenni
21 A hiányzó golyónyomok esete Wald ötlete: oda tegyünk több páncélt, ahol átlagosan kevesebb a találat azok közül a gépek közül, amelyeket ilyen területen találnak el, több zuhan le! A hadsereg (hibás) gondolatmenete: a vizsgált gépeken a legtöbb lyuk a szárnyakon van és a vizsgált minta reprezentatív = az ellenség leggyakrabban a szárnyat találja el = ide érdemes több páncélt tenni
22 A hiányzó golyónyomok esete Wald ötlete: oda tegyünk több páncélt, ahol átlagosan kevesebb a találat azok közül a gépek közül, amelyeket ilyen területen találnak el, több zuhan le! A hadsereg (hibás) gondolatmenete: a vizsgált gépeken a legtöbb lyuk a szárnyakon van és a vizsgált minta reprezentatív = az ellenség leggyakrabban a szárnyat találja el = ide érdemes több páncélt tenni A hibás gondolatmenetek gyakori oka: olyan (hamis) feltételezésekkel élünk, amelyeknek nem vagyunk tudatában
23 A hiányzó golyónyomok esete Mi köze ennek a matematikához? A matematika alapja a logikus gondolkodás.
24 A hiányzó golyónyomok esete Mi köze ennek a matematikához? A matematika alapja a logikus gondolkodás. Matematika BSc, Diszkrét matematika kurzus: Helyes-e a következtetés? Ha a 2 prímszám, akkor a 2 a legkisebb prímszám. Ha a 2 a legkisebb prímszám, akkor az 1 nem prímszám. Az 1 nem prímszám. = A 2 prímszám.
25 A hiányzó golyónyomok esete Mi köze ennek a matematikához? A matematika alapja a logikus gondolkodás. Matematika BSc, Diszkrét matematika kurzus: Helyes-e a következtetés? Ha a 2 prímszám, akkor a 2 a legkisebb prímszám. Ha a 2 a legkisebb prímszám, akkor az 1 nem prímszám. Az 1 nem prímszám. = A 2 prímszám. Lineáris algebra közgazdászoknak: Igaz-e az alábbi állítás? Bármely A, B mátrixok esetén, ha A + B értelmezett, akkor AB is.
26 A hiányzó golyónyomok esete Wason-teszt Látunk négy kártyát: Minden kártya elején egy szám van, a hátulja pedig színes.
27 A hiányzó golyónyomok esete Wason-teszt Látunk négy kártyát: Minden kártya elején egy szám van, a hátulja pedig színes. Állítás: Ha kártya hátoldala barna, akkor az elején páros szám van. Mely kártyá(ka)t kell megfordítanunk, hogy eldönthessük, igaz-e az állítás?
28 A hiányzó golyónyomok esete Wason-teszt 2 Látunk négy kártyát: Minden kártya elején egy ember életkora látható, a hátulján pedig az általa fogyasztott ital.
29 A hiányzó golyónyomok esete Wason-teszt 2 Látunk négy kártyát: Minden kártya elején egy ember életkora látható, a hátulján pedig az általa fogyasztott ital. Állítás: Aki sört iszik, 18 éves elmúlt. Mely kártyá(ka)t kell megfordítanunk, hogy eldönthessük, igaz-e az állítás?
30 A hiányzó golyónyomok esete Az eredmények A Wason-teszt első változtatára a tesztalanyok 10%-a, a második változatára 75%-a adott helyes választ. A teszt eredményeit többször reprodukálták.
31 A hiányzó golyónyomok esete Az eredmények A Wason-teszt első változtatára a tesztalanyok 10%-a, a második változatára 75%-a adott helyes választ. A teszt eredményeit többször reprodukálták. Egy újabb kutatás szerint a teszt első változatán Warwicki Egyetem matematika szakos hallgatói 29%-ot, a matematika tanszékcsoport oktatói 43%-ot értek el.
32 A hiányzó golyónyomok esete Matematika=logikus gondolkodás+fegyvertár A matematika olyan, mint egy atomfegyvertár, amellyel az ember a józan eszét felruházza, megsokszorozva az erejét.
33 A hiányzó golyónyomok esete Vissza Waldhoz Wald alapötlete puszta logika, de a páncélzat pontos arányainak meghatározásához matematikára volt szükség:
34 Lineáris? A matematikai gondolkodás ereje 1 A hiányzó golyónyomok esete 2 Lineáris? 3 Repülők újra 4 Korreláció és ok-okozat
35 Lineáris? Svéd boldogság Svéd adópolitika: magas adók, ingyenes felsőoktatás és egészségügy Amerikai adópolitika: alacsony adók, megfizethetetlen felsőoktatás és egészségügy
36 Lineáris? Svéd boldogság Svéd adópolitika: magas adók, ingyenes felsőoktatás és egészségügy Amerikai adópolitika: alacsony adók, megfizethetetlen felsőoktatás és egészségügy
37 Lineáris? Svéd boldogság Svéd adópolitika: magas adók, ingyenes felsőoktatás és egészségügy Amerikai adópolitika: alacsony adók, megfizethetetlen felsőoktatás és egészségügy
38 Lineáris? Svéd boldogság A cikkek által lefestett világ:
39 Lineáris? Svéd boldogság A cikkek által lefestett világ: Egy realisztikusabb függvény:
40 Lineáris? Svéd boldogság A cikkek által lefestett világ: Egy realisztikusabb függvény: Az észrevétlen feltételezés, amivel a cikk írói éltek: a linearitás. Valójában az, hogy merre érdemes mozdulni, függ attól, hogy hol vagyunk.
41 Lineáris? A Laffer-görbe Az állam bevétele vs a kivetett adó: Az anekdota szerint Arthur Laffer közgazdász skiccelte fel a grafikont egy szalvétára 1974-ben.
42 Repülők újra A matematikai gondolkodás ereje 1 A hiányzó golyónyomok esete 2 Lineáris? 3 Repülők újra 4 Korreláció és ok-okozat
43 Repülők újra Jutalmazás vagy büntetés? Izraeli vadászgéppilóták kiképzése során a következőt tapasztalták: ha egy pilótát a kiemelkedő teljesítménye miatt megdicsértek, a következő tesztrepülésen romlott a teljesítménye ha egy pilótát a gyenge teljesítménye miatt elmarasztaltak, a következő tesztrepülésen javult a teljesítménye
44 Repülők újra Jutalmazás vagy büntetés? Izraeli vadászgéppilóták kiképzése során a következőt tapasztalták: ha egy pilótát a kiemelkedő teljesítménye miatt megdicsértek, a következő tesztrepülésen romlott a teljesítménye ha egy pilótát a gyenge teljesítménye miatt elmarasztaltak, a következő tesztrepülésen javult a teljesítménye A kiképzőtisztek következtetése: a büntetés hatékonyabb, mint a jutalmazás
45 Repülők újra Jutalmazás vagy büntetés? A pszihológiai kutatások többsége viszont mást állít.
46 Repülők újra Jutalmazás vagy büntetés? A pszihológiai kutatások többsége viszont mást állít.
47 Repülők újra Jutalmazás vagy büntetés? A pszihológiai kutatások többsége viszont mást állít. Lehet-e más magyarázata az izraeli pilóták reakciójának, mint a tisztek által levont következtetés?
48 Repülők újra Regresszió az átlaghoz Mi lenne, ha kiosztanék egy 100 kérdésből álló igaz-hamis tesztet egy olyan témában, amely mindenkinek ismeretlen?
49 Repülők újra Regresszió az átlaghoz Mi lenne, ha kiosztanék egy 100 kérdésből álló igaz-hamis tesztet egy olyan témában, amely mindenkinek ismeretlen? A jó válaszok várható eloszlása:
50 Repülők újra Regresszió az átlaghoz Ezek után a kiemelkedően jó teljesítményt nyújtóakat megdicsérném, a kiemelkedően rosszakat elmarasztalnám.
51 Repülők újra Regresszió az átlaghoz Mi történne egy újabb random 100-kérdéses teszten? Annak a valószínűsége, hogy valaki kiemelkedően jól teljesít, továbbra is kicsi:
52 Repülők újra Regresszió az átlaghoz Mi történne egy újabb random 100-kérdéses teszten? Annak a valószínűsége, hogy valaki kiemelkedően jól teljesít, továbbra is kicsi: = akiket korábban megdicsértem, várhatóan rontani fognak.
53 Repülők újra Regresszió az átlaghoz Mi történne egy újabb random 100-kérdéses teszten? Annak a valószínűsége, hogy valaki kiemelkedően jól teljesít, továbbra is kicsi: = akiket korábban megdicsértem, várhatóan rontani fognak. A jelenség neve: regresszió az átlaghoz.
54 Repülők újra A szerencsejátékosok tévedése Ez azt jelenti, hogy ha egy pénzérmét 20-szor feldobunk és mind a 20-szor írás, akkor 21-edszerre nagyobb valószínűséggel lesz fej, ugye?
55 Repülők újra Természetesen nem: a pénzérme (az előző dobásoktól függetlenül) 50% eséllyel fej, 50% eséllyel írás
56 Repülők újra Természetesen nem: a pénzérme (az előző dobásoktól függetlenül) 50% eséllyel fej, 50% eséllyel írás a random tesztnél az 50 pont körüli eredmény valószínűsége alapvetően nagyobb, a korábbi kitöltésektől függetlenül
57 Repülők újra Természetesen nem: a pénzérme (az előző dobásoktól függetlenül) 50% eséllyel fej, 50% eséllyel írás a random tesztnél az 50 pont körüli eredmény valószínűsége alapvetően nagyobb, a korábbi kitöltésektől függetlenül Na és a nagy számok törvénye? Ha egy érmét elég sokszor feldobunk, az írások aránya kb. az összes dobás 50%-a. Nem kellene a kezdeti húsz írást kompenzálni?
58 Repülők újra Természetesen nem: a pénzérme (az előző dobásoktól függetlenül) 50% eséllyel fej, 50% eséllyel írás a random tesztnél az 50 pont körüli eredmény valószínűsége alapvetően nagyobb, a korábbi kitöltésektől függetlenül Na és a nagy számok törvénye? Ha egy érmét elég sokszor feldobunk, az írások aránya kb. az összes dobás 50%-a. Nem kellene a kezdeti húsz írást kompenzálni? Az elég sok dobás kompenzál: = % 20000
59 Repülők újra Egy monte carloi eset Történeti háttér: augusztus 18-án egy monte carloi rulettasztalnál egymás után 26-szor esett feketére a golyó több millió frankot veszítettek a szerencsejátékosok ez alatt a sorozat alatt.
60 Repülők újra Egy monte carloi eset Történeti háttér: augusztus 18-án egy monte carloi rulettasztalnál egymás után 26-szor esett feketére a golyó több millió frankot veszítettek a szerencsejátékosok ez alatt a sorozat alatt. Még szerencse, hogy mi okosabbak vagyunk?
61 Repülők újra Vissza a vadászgép pilótákhoz Hibásan következtettek a pilóták kiképzőtisztjei? A esemény: dicséret B esemény: teljesítményromlás A teljesítményromlás gyakrabban következik be dicséret után, mint egyébként matematikus zsargonnal élve A és B korrelálnak
62 Repülők újra Vissza a vadászgép pilótákhoz Hibásan következtettek a pilóták kiképzőtisztjei? A esemény: dicséret B esemény: teljesítményromlás A teljesítményromlás gyakrabban következik be dicséret után, mint egyébként matematikus zsargonnal élve A és B korrelálnak = a dicséret teljesítményromlást okoz?
63 Korreláció és ok-okozat A matematikai gondolkodás ereje 1 A hiányzó golyónyomok esete 2 Lineáris? 3 Repülők újra 4 Korreláció és ok-okozat
64 Korreláció és ok-okozat Korreláció Tekintsük a következő két kérdést (változót): A: dohányzol? (i/n) B: házas vagy? (i/n)
65 Korreláció és ok-okozat Korreláció Tekintsük a következő két kérdést (változót): A: dohányzol? (i/n) B: házas vagy? (i/n) Van kapcsolat a kettő között? 1 aki házas, kisebb eséllyel dohányzik, mint aki nem 2 aki házas, nagyobb eséllyel dohányzik, mint aki nem 3 aki házas ugyanolyan eséllyel dohányzik, mint aki nem
66 Korreláció és ok-okozat Korreláció Tekintsük a következő két kérdést (változót): A: dohányzol? (i/n) B: házas vagy? (i/n) Van kapcsolat a kettő között? 1 aki házas, kisebb eséllyel dohányzik, mint aki nem A és B között negatív korreláció van 2 aki házas, nagyobb eséllyel dohányzik, mint aki nem 3 aki házas ugyanolyan eséllyel dohányzik, mint aki nem
67 Korreláció és ok-okozat Korreláció Tekintsük a következő két kérdést (változót): A: dohányzol? (i/n) B: házas vagy? (i/n) Van kapcsolat a kettő között? 1 aki házas, kisebb eséllyel dohányzik, mint aki nem A és B között negatív korreláció van 2 aki házas, nagyobb eséllyel dohányzik, mint aki nem A és B között pozitív korreláció van 3 aki házas ugyanolyan eséllyel dohányzik, mint aki nem
68 Korreláció és ok-okozat Korreláció Tekintsük a következő két kérdést (változót): A: dohányzol? (i/n) B: házas vagy? (i/n) Van kapcsolat a kettő között? 1 aki házas, kisebb eséllyel dohányzik, mint aki nem A és B között negatív korreláció van 2 aki házas, nagyobb eséllyel dohányzik, mint aki nem A és B között pozitív korreláció van 3 aki házas ugyanolyan eséllyel dohányzik, mint aki nem A és B korrelálatlanok
69 Korreláció és ok-okozat Korreláció A statisztikai adatok a negatív korrelációt támasztják alá, azaz aki házas, kisebb eséllyel dohányzik, mint aki nem.
70 Korreláció és ok-okozat Korreláció A statisztikai adatok a negatív korrelációt támasztják alá, azaz aki házas, kisebb eséllyel dohányzik, mint aki nem. Tehát ha megházasodsz, könnyebben leszoksz a dohányzásról? ha leszoksz a dohányzásról, nagyobb eséllyel találsz párt?
71 Korreláció és ok-okozat Korreláció A statisztikai adatok a negatív korrelációt támasztják alá, azaz aki házas, kisebb eséllyel dohányzik, mint aki nem. Tehát ha megházasodsz, könnyebben leszoksz a dohányzásról? ha leszoksz a dohányzásról, nagyobb eséllyel találsz párt? Más szóval, ok-okozati viszony áll fent a két változó között?
72 Korreláció és ok-okozat Korreláció A statisztikai adatok a negatív korrelációt támasztják alá, azaz aki házas, kisebb eséllyel dohányzik, mint aki nem. Tehát ha megházasodsz, könnyebben leszoksz a dohányzásról? ha leszoksz a dohányzásról, nagyobb eséllyel találsz párt? Más szóval, ok-okozati viszony áll fent a két változó között? A statisztikai adatok nem nyújtanak elegendő információt ezek eldöntésére.
73 Korreláció és ok-okozat A tüdőrák dohányzást okoz? A tüdőrák rövid története: az 1900-as évek elején nagyon ritka
74 Korreláció és ok-okozat A tüdőrák dohányzást okoz? A tüdőrák rövid története: az 1900-as évek elején nagyon ritka az század közepére Nagy-Britanniában minden ötödik halálesetért felelős
75 Korreláció és ok-okozat A tüdőrák dohányzást okoz? A tüdőrák rövid története: az 1900-as évek elején nagyon ritka az század közepére Nagy-Britanniában minden ötödik halálesetért felelős ugyanekkor a dohányzás és a tüdőrák kialakulása között erős pozitív korrelációt találtak Tehát...? Kezdetben több elmélet keringett, és igen, volt köztük olyan is, hogy a tüdőrák dohányzást okoz.
76 Korreláció és ok-okozat A tüdőrák dohányzást okoz? A tüdőrák rövid története: az 1900-as évek elején nagyon ritka az század közepére Nagy-Britanniában minden ötödik halálesetért felelős ugyanekkor a dohányzás és a tüdőrák kialakulása között erős pozitív korrelációt találtak Tehát...? Kezdetben több elmélet keringett, és igen, volt köztük olyan is, hogy a tüdőrák dohányzást okoz. Konszenzus csak a 60-as évek közepére alakult ki, több egyéb tanulmány hatására, és ekkor kezdődik a dohányzásellenes kampány Amerikában.
77 Korreláció és ok-okozat Ok-okozat korreálció
78 Korreláció és ok-okozat Ok-okozat korreálció
79 Korreláció és ok-okozat Agyament korrelációk Az előbbi korrelációk magyarázata: ha elég sok véletlen adatsorunk van, jó eséllyel lesznek köztük hasonlók.
80 Korreláció és ok-okozat Agyament korrelációk Az előbbi korrelációk magyarázata: ha elég sok véletlen adatsorunk van, jó eséllyel lesznek köztük hasonlók. Ennek a kiaknázása történt a következő 2015-ös tanulmány során:
81 Korreláció és ok-okozat A tanulmány: 1 1. csoport: szénhidrátokban alacsony diéta 2 2. csoport: szénhidrátokban alacsony diéta + napi egy szelet csokoládé 3 3. csoport: kontroll
82 Korreláció és ok-okozat A tanulmány: 1 1. csoport: szénhidrátokban alacsony diéta 2 2. csoport: szénhidrátokban alacsony diéta + napi egy szelet csokoládé 3 3. csoport: kontroll 3 héttel később: 1 1. csoport: -2,5kg 2 2. csoport: -2,5kg 3 3. csoport: nincs súlyváltozás
83 Korreláció és ok-okozat A tanulmány: 1 1. csoport: szénhidrátokban alacsony diéta 2 2. csoport: szénhidrátokban alacsony diéta + napi egy szelet csokoládé 3 3. csoport: kontroll 3 héttel később: 1 1. csoport: -2,5kg 2 2. csoport: -2,5kg, de 10%-kal gyorsabban! 3 3. csoport: nincs súlyváltozás Következtetés: a csokoládéfogyasztás felgyorsítja a fogyást!
84 Korreláció és ok-okozat A tanulmány következtetését nem sikerült reprodukálni,
85 Korreláció és ok-okozat A tanulmány következtetését nem sikerült reprodukálni, a szerzők által bevallottan úgy folytatták le, hogy a hibás következtetések valószínűségét növeljék.
86 Korreláció és ok-okozat A tanulmány következtetését nem sikerült reprodukálni, a szerzők által bevallottan úgy folytatták le, hogy a hibás következtetések valószínűségét növeljék. Azaz nagyon alacsony, 5 fő/csoport mintával dolgoztak,
87 Korreláció és ok-okozat A tanulmány következtetését nem sikerült reprodukálni, a szerzők által bevallottan úgy folytatták le, hogy a hibás következtetések valószínűségét növeljék. Azaz nagyon alacsony, 5 fő/csoport mintával dolgoztak, a testsúly mellett 17 különböző adatot követtek nyomon (koleszterinszint, vérnyomás, stb.), ezek közül elég volt egyet találni, amellyel a csokoládéfogyasztás korrelál.
88 Korreláció és ok-okozat Vissza a Wason-teszthez A jó válaszok aránya a teljes populációban: 10% A jó válaszok aránya matematika szakosok között: 29%
89 Korreláció és ok-okozat Vissza a Wason-teszthez A jó válaszok aránya a teljes populációban: 10% A jó válaszok aránya matematika szakosok között: 29% Tehát... a matematikusok okosabbak? Vagy az okosabb emberekből lesznek matematikusok?
90 Korreláció és ok-okozat Vissza a Wason-teszthez A jó válaszok aránya a teljes populációban: 10% A jó válaszok aránya matematika szakosok között: 29% Tehát... a matematikusok okosabbak? Vagy az okosabb emberekből lesznek matematikusok?...vagy a matematikusok többet gondolnak számokra, mint sörre és kólára?
91 Korreláció és ok-okozat Konklúzió A Financial Times kritikája Ellenberg könyvéről: Könnyed és érdekes... bárcsak minden matekóra ilyen lenne
92 Korreláció és ok-okozat Konklúzió A Financial Times kritikája Ellenberg könyvéről: Könnyed és érdekes... bárcsak minden matekóra ilyen lenne A matekórák nem ilyenek, mert a matematikai eszközök elsajátítása és a gondolkodás fejlesztése nehéz munka.
93 Korreláció és ok-okozat Konklúzió A Financial Times kritikája Ellenberg könyvéről: Könnyed és érdekes... bárcsak minden matekóra ilyen lenne A matekórák nem ilyenek, mert a matematikai eszközök elsajátítása és a gondolkodás fejlesztése nehéz munka. De a jó hír: ahogyan focizni is lehet csak a játék kedvéért, úgy a matematikát is lehet űzni csak a játék kedvéért. (És ehhez nem kell határozott integrálokat számolni kézzel.)
94 Korreláció és ok-okozat Köszönöm a figyelmet!
Matematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév
Matematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév 1. A várható érték és a szórás transzformációja 1. Ha egy valószínűségi változóhoz hozzáadunk ötöt, mínusz ötöt, egy b konstanst,
Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás
Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre
[Biomatematika 2] Orvosi biometria
![[Biomatematika 2] Orvosi biometria](/thumbs/91/106534674.jpg "[Biomatematika 2] Orvosi biometria")
[Biomatematika 2] Orvosi biometria Bódis Emőke 2016. 04. 25. J J 9 Korrelációanalízis Regresszióanalízis: hogyan változik egy vizsgált változó értéke egy másik változó változásának függvényében. Korrelációs
( 1) i 2 i. megbízhatóságú a levont következtetése? A matematikai statisztika eszközeivel értékelje a kapott eredményeket!
1. Név:......................... Egy szabályos pénzérmét feldobunk, ha az els½o FEJ az i-edik dobásra jön, akkor a játékos nyereménye ( 1) i i forint. Vizsgálja szimulációval a játékot, különböz½o induló
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 8 VIII. REGREssZIÓ 1. A REGREssZIÓs EGYENEs Két valószínűségi változó kapcsolatának leírására az eddigiek alapján vagy egy numerikus
Normális eloszlás tesztje
Valószínűség, pontbecslés, konfidenciaintervallum Normális eloszlás tesztje Kolmogorov-Szmirnov vagy Wilk-Shapiro próba. R-funkció: shapiro.test(vektor) balra ferde eloszlás jobbra ferde eloszlás balra
Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége
[GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika 10. előadás: 9. Regressziószámítás II. Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet A standard lineáris modell
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:
Osztályozóvizsga követelményei
Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 12 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Emelt
Az értékelés során következtetést fogalmazhatunk meg a
Az értékelés során következtetést fogalmazhatunk meg a a tanuló teljesítményére, a tanulási folyamatra, a célokra és követelményekre a szülők teljesítményére, a tanulási folyamatra, a célokra és követelményekre
Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei
Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei 1. a. Egy- vagy kétváltozós eset b. Többváltozós eset 2. a. Becslési problémák, hipotézis vizsgálat b. Mintázatelemzés 3. Szint: a. Egyedi b. Populáció
Módszertani dilemmák a statisztikában 40 éve alakult a Jövőkutatási Bizottság
Módszertani dilemmák a statisztikában 40 éve alakult a Jövőkutatási Bizottság SZIGNIFIKANCIA Sándorné Kriszt Éva Az MTA IX. Osztály Statisztikai és Jövőkutatási Tudományos Bizottságának tudományos ülése
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,
Statisztikai csalások és paradoxonok. Matematikai statisztika Gazdaságinformatikus MSc november 26. 1/31
Matematikai statisztika Gazdaságinformatikus MSc 11. előadás 2018. november 26. 1/31 A tojást rakó kutya - a könyv Hans Peter Beck-Bernholdt, Hans-Hermann Dubben: A tojást rakó kutya c. könyve alapján
1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása
HIPOTÉZIS VIZSGÁLAT A hipotézis feltételezés egy vagy több populációról. (pl. egy gyógyszer az esetek 90%-ában hatásos; egy kezelés jelentősen megnöveli a rákos betegek túlélését). A hipotézis vizsgálat
6. Előadás. Vereb György, DE OEC BSI, október 12.
6. Előadás Visszatekintés: a normális eloszlás Becslés, mintavételezés Reprezentatív minta A statisztika, mint változó Paraméter és Statisztika Torzítatlan becslés A mintaközép eloszlása - centrális határeloszlás
Mi az adat? Az adat elemi ismeret. Az adatokból információkat
Mi az adat? Az adat elemi ismeret. Tények, fogalmak olyan megjelenési formája, amely alkalmas emberi eszközökkel történő értelmezésre, feldolgozásra, továbbításra. Az adatokból gondolkodás vagy gépi feldolgozás
STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Matematikai statisztika. Mi a modell? Binomiális eloszlás sűrűségfüggvény. Binomiális eloszlás
ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE STATISZTIKA 9. Előadás Binomiális eloszlás Egyenletes eloszlás Háromszög eloszlás Normális eloszlás Standard normális eloszlás Normális eloszlás mint modell 2/62 Matematikai statisztika
Markov modellek 2015.03.19.
Markov modellek 2015.03.19. Markov-láncok Markov-tulajdonság: egy folyamat korábbi állapotai a későbbiekre csak a jelen állapoton keresztül gyakorolnak befolyást. Semmi, ami a múltban történt, nem ad előrejelzést
Modern műszeres analitika szeminárium Néhány egyszerű statisztikai teszt
Modern műszeres analitika szeminárium Néhány egyszerű statisztikai teszt Galbács Gábor KIUGRÓ ADATOK KISZŰRÉSE STATISZTIKAI TESZTEKKEL Dixon Q-tesztje Gyakori feladat az analitikai kémiában, hogy kiugrónak
Számelmélet Megoldások
Számelmélet Megoldások 1) Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 1. a) Mekkora az első 150 tag összege? (5 pont) Kiszámoltuk ebben a sorozatban az első 111 tag összegét: 5 863. b) Igaz-e,
Valószínűségszámítás és statisztika
Valószínűségszámítás és statisztika Programtervező informatikus szak esti képzés Varga László Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Matematikai Intézet Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem
HÁZI DOLGOZAT. Érmefeldobások eredményei és statisztikája. ELTE-TTK Kémia BSc Tantárgy: Kémia felzárkóztató (A kémia alapjai)
ELTE-TTK Kémia BSc Tantárgy: Kémia felzárkóztató (A kémia alapjai) HÁZI DOLGOZAT Érmefeldobások eredményei és statisztikája Készítette: Babinszki Bence EHA-kód: BABSAET.ELTE E-mail cím: Törölve A jelentés
Valószínűségszámítás összefoglaló
Statisztikai módszerek BMEGEVGAT Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:
} számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! A = { } 1 pont. B = { } 1 pont. x =
. Az { a n } számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! a = 26 2. Az A és B halmazokról tudjuk, hogy A B = {;2;3;4;5;6}, A \ B = {;4} és A B = {2;5}. Sorolja fel
Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása
Matematikai alapok és valószínőségszámítás Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Mintavétel A statisztikában a cél, hogy az érdeklõdés tárgyát képezõ populáció bizonyos paramétereit a populációból
ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék GAZDASÁGSTATISZTIKA. Készítette: Bíró Anikó. Szakmai felelős: Bíró Anikó június
GAZDASÁGSTATISZTIKA GAZDASÁGSTATISZTIKA Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TátK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi
Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió
Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Korreláció, regresszió Két változó mennyiség közötti kapcsolatot vizsgálunk. Kérdés: van-e kapcsolat két, ugyanabban az egyénben, állatban, kísérleti mintában,
Lineáris algebra. (közgazdászoknak)
Lineáris algebra (közgazdászoknak) 10A103 FELADATOK A GYAKORLATRA (3.) 2018/2019. tavaszi félév Lineáris egyenletrendszerek 3.1. Feladat. Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszereket Gauss-eliminációval
Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész
2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR I. rész A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához
Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek
Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. - A hibatagra vonatkozó feltételek tesztelése - Petrovics Petra Doktorandusz Többváltozós lineáris regressziós modell x 1, x 2,, x p
képességgel és készséggel, hogy alkalmazni tudják matematikai tudásukat, és felismerjék, hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos
MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika
Prímszámok statisztikai analízise
Prímszámok statisztikai analízise Puszta Adrián 28. április 18. Kivonat Munkám során a prímszámok és a páros prímek eloszlását, illetve különbségét vizsgáltam, majd ebből következtettem a véletlenszerű
MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2010. Június 4.
EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2010 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: 2010. Június 4. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor
A híres Riemann-sejtés
A híres Riemann-sejtés Szakács Nóra Bolyai Intézet, Szegedi Tudományegyetem Egyetemi Tavasz 205. 04. 8. A Riemann-sejtés története Tartalom A Riemann-sejtés története 2 A n s alakú összegek 3 Komplex számok
Biometria, haladó biostatisztika EA+GY biometub17vm Szerda 8:00-9:00, 9:00-11:00 Déli Tömb 0-804, Lóczy Lajos terem
Biometria, haladó biostatisztika EA+GY biometub17vm Szerda 8:00-9:00, 9:00-11:00 Déli Tömb 0-804, Lóczy Lajos terem Előadások-gyakorlatok 2018-ban (13 alkalom) IX.12, 19, 26, X. 3, 10, 17, 24, XI. 7, 14,
KÖZELÍTŐ INFERENCIA II.
STATISZTIKAI TANULÁS AZ IDEGRENDSZERBEN KÖZELÍTŐ INFERENCIA II. MONTE CARLO MÓDSZEREK ISMÉTLÉS Egy valószínűségi modellben a következtetéseinket a látensek vagy a paraméterek fölötti poszterior írja le.
Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió
SZDT-08 p. 1/31 Biometria az orvosi gyakorlatban Korrelációszámítás, regresszió Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Korrelációszámítás
A Statisztika alapjai
A Statisztika alapjai BME A3c Magyar Róbert 2016.05.12. Mi az a Statisztika? A statisztika a valóság számszerű információinak megfigyelésére, összegzésére, elemzésére és modellezésére irányuló gyakorlati
Matematika 9. nyelvi előkészítő évfolyam. 1 óra/hét (37 óra) Kiselőadások tartása, interjúk készítése (matematikatörténeti
Matematika 9. nyelvi előkészítő évfolyam Témakörök Gondolkodási és megismerési módszerek Számtan, algebra Összefüggések, függvények, sorozatok Geometria, mérés Statisztika, valószínűség Év végi összefoglaló
KÖZELÍTŐ INFERENCIA II.
STATISZTIKAI TANULÁS AZ IDEGRENDSZERBEN KÖZELÍTŐ INFERENCIA II. MONTE CARLO MÓDSZEREK ISMÉTLÉS Egy valószínűségi modellben a következtetéseinket a látensek vagy a paraméterek fölötti poszterior írja le.
IX.2. ÁTLAGOS FELADATOK I. A feladatsor jellemzői
IX.2. ÁTLAGOS FELADATOK I. Tárgy, téma Algebra, statisztika. Előzmények A feladatsor jellemzői Az aritmetikai átlag fogalma, oszthatósági alapismeretek, prímszám fogalma, a számtani sorozat elemeinek összegére
különösen a média közleményeiben való reális tájékozódást. Mindehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése.
MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról, mint tudásrendszerről, és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika
Statisztikai alapfogalmak a klinikai kutatásban. Molnár Zsolt PTE, AITI
Statisztikai alapfogalmak a klinikai kutatásban Molnár Zsolt PTE, AITI Bevezetés Research vs. Science Kutatás Tudomány Szerkezeti háttér hiánya Önkéntesek (lelkes kisebbség) Beosztottak (parancsot teljesítő
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen
Az empirikus vizsgálatok alapfogalmai
Az empirikus vizsgálatok alapfogalmai Az adatok forrása és jellege Milyen kísérleti típusok fordulnak elő a beszédtudományokban? Milyen adatok jönnek ki ezekből? Tudományosan (statisztikailag) megválaszolható
VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA
VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA A VALÓSZÍNŰSÉGI SZEMLÉLET ALAPOZÁSA 1-6. OSZTÁLY A biztos, a lehetetlen és a lehet, de nem biztos események megkülünböztetése Valószínűségi játékok, kísérletek események
Korreláció és lineáris regresszió
Korreláció és lineáris regresszió Két folytonos változó közötti összefüggés vizsgálata Szűcs Mónika SZTE ÁOK-TTIK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Orvosi Fizika és Statisztika I. előadás 2016.11.02.
Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I.
Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. - A hibatagra vonatkozó feltételek tesztelése - Kvantitatív statisztikai módszerek Petrovics Petra Többváltozós lineáris regressziós
Innováció és eredményesség az alacsony státuszú iskolákban
Innováció és eredményesség az alacsony státuszú iskolákban Széll Krisztián szell.krisztian@ppk.elte.hu ELTE PPK, Neveléstudományi Intézet OFI-EKE Nyíregyházi Egyetem XVII. ONK 2017. november 9. Elemzési
Játékok matematikája
Játékok matematikája Kártyázzunk véges geometriával Bogya Norbert Bolyai Intézet Eötvös esték & Mat. Műhely, 2016 Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Kártyázzunk véges geometriával Eötvös esték, 2016 1 / 1
MATEMATIKA. Tildy Zoltán Általános Iskola és Alapfokú Művészeti Iskola Helyi tanterv 1-4. évfolyam 2013.
MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról, mint tudásrendszerről, és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika
1. Tekintsük a következő két halmazt: G = {1; 2; 3; 4; 6; 12} és H = {1; 2; 4; 8; 16}. Elemeik felsorolásával adja meg a G H és a H \ G halmazokat!
1. Tekintsük a következő két halmazt: G = {1; 2; 3; 4; 6; 12} és H = {1; 2; 4; 8; 16}. Elemeik felsorolásával adja meg a G H és a H \ G halmazokat! G H = H \ G = 2. Ha 1 kg szalámi ára 2800 Ft, akkor hány
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Bizonytalanság. Mesterséges intelligencia április 4.
Bizonytalanság Mesterséges intelligencia 2014. április 4. Bevezetés Eddig: logika, igaz/hamis Ha nem teljes a tudás A világ nem figyelhető meg közvetlenül Részleges tudás nem reprezentálható logikai eszközökkel
1. Név:... Neptun Kód:... Feladat: Egy összeszerel½o üzemben 3 szalag van. Mindehárom szalagon ugyanazt
1. Név:......................... Egy összeszerel½o üzemben 3 szalag van. Mindehárom szalagon ugyanazt a gyártmányt készítik. Egy gyártmány összeszerelési ideje normális eloszlású valószín½uségi változó
törtet, ha a 1. Az egyszerűsített alak: 2 pont
1. Egyszerűsítse az 3 2 a + a a + 1 törtet, ha a 1. Az egyszerűsített alak: 2. Milyen számjegy állhat az X helyén, ha a négyjegyű 361 X szám 6-tal osztható? X = 3. Minden szekrény barna. Válassza ki az
Változatos Véletlen Árazási Problémák. Bihary Zsolt AtomCsill 2014
Változatos Véletlen Árazási Problémák Bihary Zsolt AtomCsill 2014 Fizikus a befektetési bankban Remek társaság Releváns matematikai műveltség Számítástechnikai affinitás Intuitív gondolkodás Modellezési
Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October
Biostatisztika VIII Mátyus László 19 October 2010 1 Ha σ nem ismert A gyakorlatban ritkán ismerjük σ-t. Ha kiszámítjuk s-t a minta alapján, akkor becsülhetjük σ-t. Ez további bizonytalanságot okoz a becslésben.
Matematika. 1 4. évfolyam. Vass Lajos Általános Iskola Helyi tanterv Matematika 1 4. osztály
Matematika 1 4. évfolyam Célok és feladatok Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról, mint tudásrendszerről, és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi
Több valószínűségi változó együttes eloszlása, korreláció
Tartalomjegzék Előszó... 6 I. Valószínűségelméleti és matematikai statisztikai alapok... 8 1. A szükséges valószínűségelméleti és matematikai statisztikai alapismeretek összefoglalása... 8 1.1. Alapfogalmak...
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x
Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája
Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája 2015 Tematika Matematikai statisztika 1. Időkeret: 12 héten keresztül heti 3x50 perc (előadás és szeminárium) 2. Szükséges előismeretek:
(Independence, dependence, random variables)
Két valószínűségi változó együttes vizsgálata Feltételes eloszlások Két diszkrét változó együttes eloszlása a lehetséges értékpárok és a hozzájuk tartozó valószínűségek (táblázat) Példa: Egy urna 3 fehér,
mtatk A kistérségi gyerekesély program és az általános iskolai oktatás teljesítményének összefüggése MTA TK Gyerekesély Műhelytanulmányok 2015/3
MTA Társadalomtudományi Kutatóközpont mtatk MTA TK Gyerekesély Műhelytanulmányok 2015/3 A kistérségi gyerekesély program és az általános iskolai oktatás teljesítményének összefüggése Nikitscher Péter Széll
Statisztika. Politológus képzés. Daróczi Gergely április 17. Politológia Tanszék
Statisztika Politológus képzés Daróczi Gergely Politológia Tanszék 2012. április 17. Outline 1 Leíró statisztikák 2 Középértékek Példa 3 Szóródási mutatók Példa 4 Néhány megjegyzés a grafikonokról 5 Számítások
Statisztikai alapok. Leíró statisztika Lineáris módszerek a statisztikában
Statisztikai alapok Leíró statisztika Lineáris módszerek a statisztikában Tudományosan és statisztikailag tesztelhető állítások? A keserűcsokoládé finomabb, mint a tejcsoki. A patkány a legrondább állat,
[Biomatematika 2] Orvosi biometria
![[Biomatematika 2] Orvosi biometria](/thumbs/47/23623719.jpg "[Biomatematika 2] Orvosi biometria")
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.
Követelmény a 7. évfolyamon félévkor matematikából
Követelmény a 7. évfolyamon félévkor matematikából Gondolkodási és megismerési módszerek Elemek halmazba rendezése több szempont alapján. Halmazok ábrázolása. A nyelv logikai elemeinek helyes használata.
[Biomatematika 2] Orvosi biometria
![[Biomatematika 2] Orvosi biometria](/thumbs/54/34131233.jpg "[Biomatematika 2] Orvosi biometria")
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.22. Valószínűségi változó Véletlentől függő számértékeket (értékek sokasága) felvevő változókat valószínűségi változóknak nevezzük(jelölés: ξ, η, x). (pl. x =
Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont:
Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont: I. rész A feladatsor 1 példából áll, a megoldásokkal maximum 30 pont szerezhető. A kidolgozásra 45 perc fordítható. 1. feladat Egy osztály tanulói a
Előfeltétel: legalább elégséges jegy Diszkrét matematika II. (GEMAK122B) tárgyból
ÜTEMTERV Programozás-elmélet c. tárgyhoz (GEMAK233B, GEMAK233-B) BSc gazdaságinformatikus, programtervező informatikus alapszakok számára Óraszám: heti 2+0, (aláírás+kollokvium, 3 kredit) 2019/20-es tanév
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!
A statisztika veszélyei (Darrell Huff: How to Lie with Statistics, 1954)
A statisztika veszélyei (Darrell Huff: How to Lie with Statistics, 1954) Háromfajta hazugság van: füllentés, hazugság és statisztika. (Disraeli) A legnagyobb problémát nem az jelenti, amit nem tudunk,
Internethasználat pszichés hatása
Elméleti háttér Internethasználat pszichés hatása (1) Negatív hatás: depresszió, magány, stressz, alacsonyabb elégedettségi szint (2) Pozitív hatás:pl. online közösségbe való bevonódás alacsonyabb stressz-szint
Előrejelzett szélsebesség alapján számított teljesítménybecslés statisztikai korrekciójának lehetőségei
Előrejelzett szélsebesség alapján számított teljesítménybecslés statisztikai korrekciójának lehetőségei Brajnovits Brigitta brajnovits.b@met.hu Országos Meteorológiai Szolgálat, Informatikai és Módszertani
Feladatok 2. zh-ra. 1. Eseményalgebra április Feladat. Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 6, P (B) = 0, 7 és
Feladatok 2 zh-ra 205 április 3 Eseményalgebra Feladat Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 7, P (B) = 0, 4 és P (A B) = 0, 5 Határozza meg az A B esemény valószín ségét! P (A B) = 0, 2 2 Feladat
Matematikai geodéziai számítások 6.
Matematikai geodéziai számítások 6. Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 6.: Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre
5. évfolyam. Gondolkodási módszerek. Számelmélet, algebra 65. Függvények, analízis 12. Geometria 47. Statisztika, valószínűség 5
MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika
Kvantitatív módszerek
Kvantitatív módszerek szimuláció Kovács Zoltán Szervezési és Vezetési Tanszék E-mail: kovacsz@gtk.uni-pannon.hu URL: http://almos/~kovacsz Mennyiségi problémák megoldása analitikus numerikus szimuláció
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Biomatematika 2 Orvosi biometria
Biomatematika 2 Orvosi biometria 2017.02.13. Populáció és minta jellemző adatai Hibaszámítás Valószínűség 1 Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza)
Bodó Beáta - MATEMATIKA II 1
Bodó Beáta - MATEMATIKA II 1 FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG, FÜGGETLENSÉG 1. Legyen P (A) = 0, 7; P (B) = 0, 6 és P (A B) = 0, 5. Határozza meg a következő valószínűségeket! (a) B,V P (A B) 0, 8333 (b) B,V P
2. A ξ valószín ségi változó eloszlásfüggvénye a következ : x 4 81 F (x) = x 4 ha 3 < x 0 különben
1 feladatsor 1 Egy dobozban 20 fehér golyó van Egy szabályos dobókockával dobunk, majd a következ t tesszük: ha a dobott szám 1,2 vagy 3, akkor tíz golyót cserélünk ki pirosra; ha a dobott szám 4 vagy
6. AZ EREDMÉNYEK ÉRTELMEZÉSE
6. AZ EREDMÉNYEK ÉRTELMEZÉSE A kurzus anyagát felhasználva összeállíthatunk egy kitűnő feladatlapot, de még nem dőlhetünk nyugodtan hátra. Diákjaink teljesítményét még osztályzatokra kell átváltanunk,
XIII. Bolyai Konferencia Bodnár József Eötvös József Collegium, ELTE TTK, III. matematikus. A véletlen nyomában
XIII. Bolyai Konferencia Bodnár József Eötvös József Collegium, ELTE TTK, III. matematikus A véletlen nyomában Mi is az a véletlen? 1111111111, 1010101010, 1100010111 valószínűsége egyaránt 1/1024 Melyiket
A 2009. SZEPTEMBERÉBEN KÉSZÍTETT ORSZÁGOS MATEMATIKA FELMÉRÉS TAPASZTALATAIRÓL. Csákány Anikó BME Matematika Intézet
A 2009. SZEPTEMBERÉBEN KÉSZÍTETT ORSZÁGOS MATEMATIKA FELMÉRÉS TAPASZTALATAIRÓL Csákány Anikó BME Matematika Intézet Előzmények 1. Fizika felmérő 2008 2. A TTK Dékáni Kollégium 2008. okt. 30-i ülésén elhatározta,
TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató
BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa:
Matematikai geodéziai számítások 6.
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Dr. Bácsatyai László Matematikai geodéziai számítások 6. MGS6 modul Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi
MATEMATIKA. 9 10. évfolyam. Célok és feladatok. Fejlesztési követelmények
MATEMATIKA 9 10. évfolyam 1066 MATEMATIKA 9 10. évfolyam Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata, hogy megalapozza a tanulók korszerű, alkalmazásra képes matematikai műveltségét,
Matematika B4 II. gyakorlat
Matematika B II. gyakorlat 00. február.. Bevezető kérdések. Feldobunk egy kockát és egy érmét. Ábrázoljuk az eseményteret! Legyenek adottak az alábbi események: -ast dobunk, -est dobunk, fejet dobunk,
HELYI TANTERV MATEMATIKA (emelt szintű csoportoknak) Alapelvek, célok
HELYI TANTERV MATEMATIKA (emelt szintű csoportoknak) Alapelvek, célok Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési,
értelmezéséhez, leírásához és kezeléséhez. Ezért a tanulóknak rendelkezniük kell azzal a képességgel és készséggel, hogy alkalmazni tudják
A Baktay Ervin Gimnázium alap matematika tanterve a 6 évfolyamos gimnáziumi osztályok számára 7. 8. 9. 10. 11. 12. heti óraszám 3 cs. 3 cs. 3 cs. 4 4 4 éves óraszám 108 108 108 144 144 120 (cs.: csoportbontásban)
1. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz MATEMATIKA 1. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató
EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 2. sz. melléklet 2.2.03. Matematika az általános iskolák 5 8.
EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 2. sz. melléklet 2.2.03 Matematika az általános iskolák 5 8. évfolyama számára Alapelvek, célok Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet
MATEMATIKA 5 8. ALAPELVEK, CÉLOK
MATEMATIKA 5 8. ALAPELVEK, CÉLOK Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről.
b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2
1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon
MATEMATIKA 1-2.osztály
MATEMATIKA 1-2.osztály A matematikatanítás feladata a matematika különböző arculatainak bemutatása. A tanulók matematikai gondolkodásának fejlesztése során alapvető cél, hogy mind inkább ki tudják választani
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 7. Bevezetés a valószínűségszámításba Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Definíciók, tulajdonságok Példák Valószínűségi mező
Matematika. Padányi Katolikus Gyakorlóiskola 1
Matematika Alapelvek, célok: Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről.