Statisztikai folyamatszabályozás (statistical process control, SPC)

Átírás

1 Statisztikai folyamatszabályozás (statistical process control, SPC) Solymosi Norbert Állathigiéniai, Állomány-egészségtani és Állatorvosi Etológiai Tanszék Állatorvostudományi Egyetem Budapest 2016 október 18 december 6

2 Tartalomjegyzék 1 Telepi adatok 2 Shewhart-chart Ellenőrzési határok Minta mérete, mintavétel gyakorisága, csoportok Mintázat elemzése I és II fázis 3 Cause-and-effect diagram 4 Méréses ellenőrző diagramok x-diagram R-diagram x- és R-diagram s-diagram 5 Minősítéses ellenőrző diagramok p-diagram np-diagram c-diagram u-diagram 6 Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM EWMA 7 Mikor, melyiket? 8 ARL x-diagram p-diagram SPC (2016X18 XII6) 2 / 26

3 Telepi adatok telepirányító rendszerek folyamatos adatgyűjtés, de csak pont/periódus-statisztika PLF (pl vezetőképesség) limitált beépített elemzési lehetőségek rengeteg adat képződik, alig feldolgozva környezeti (pl meteorológia) adatok illesztését nem teszik lehetővé a telepi szoftverek állomány-egészségügyi vizsgálatok állatorvosi feladatok átalakulása adatfeldolgozási, elemzési képességek új lehetőségeket jelenthetnek mivel arra nem lehet várni, hogy minden elemzésre alkalmas telepirányító szoftverek legyenek, olyan eszközt érdemes használni, amelynek segítségével mindenféle adatot kezelhetünk, elemezhetünk SPC (2016X18 XII6) 3 / 26

4 Telepi adatok SPC (2016X18 XII6) 3 / 26

5 Telepi adatok Mihez viszonyítsuk a telepi mutatókat? a viszonyítási alap mennyire felel meg az állománynak? fajta, takarmányozás, tartás USA nd Quarter Summary Number of Farms = 344 Variable Median Upper Mean SD Lower 10th 10th Percentile Percentile Total number of services Number repeat services Percent repeat services Number of sows farrowed Total pigs born Average total pigs per litter Total pigs born alive Average pigs born alive/litter Liveborn/female/yr Total stillborn pigs Average stillborn pigs Total mummified pigs born Average mummies per litter Farrowing rate Pre-weaning mortality (n=343) Sows farrowed and weaned Average age at weaning Total pigs weaned Average litter weaning weight (n=73) Pigs weaned per litter weaned Pigs wnd / mated female / yr Pigs wnd / female / year Females entered Sow and gilt deaths Death rate Sows and gilts culled Culling rate (n=340) Total sows Ending boar inventory SPC (2016X18 XII6) 3 / 26

6 Telepi adatok Folyamatos adatgyűjtés, értékelés, táblázatok SPC (2016X18 XII6) 3 / 26

7 Telepi adatok Folyamatos adatgyűjtés, értékelés, ábrák SPC (2016X18 XII6) 3 / 26

8 Telepi adatok TECHNICAL COMMENT This difference in As amount seems well beyond a reasonable standard fluctuation Averaging together such bimodal data renders it difficult to Comment on A Bacterium That Can draw meaningful conclusions from them Wolfe-Simon et al used high-resolution secondary ion mass spectrometry to identify As in Grow by Using Arsenic Instead extracted, gel-purified DNA Table S2 in (2) reports elemental concentrations and ion ratios of Phosphorus for one +As/ P experiment, two As/+P experiments, and one baseline measurement made István Csabai 1,2 * and Eörs Szathmáry 3,4 on a blank agarose gel The baseline value for P was 820 T 143 parts per billion (ppb), yet the P Wolfe-Simon et al (Research Articles, 3 June 2011, p 1163; published online 2 December 2010) reported that bacterial strain GFAJ-1 can substitute arsenic for phosphorus in its biomolecules, including nucleic acids and proteins Unfortunately, their study lacks crucial experimental evidence to support this claim and suffers from inadequate data and poor presentation and analysis concentration in the +As/ P DNA sample was only 299 T 36 ppb These two values alone indicate large fluctuations in the measurements and raise concerns about their accuracy One possible solutionis touse the reported baseline value he basic principles of life rest on the organization of different autocatalytic re- this value, we can calculate the P:As ratio that is a sample would contain less P than the blank gel based on these values, we arrive at 505 From in further calculations, because there is no reason Taction systems (1), the exact chemical the reciprocal of 505, namely 0198, and conclude itself If we do so, we see that the amount of P is realization of which depends on the laws of chemistry, environmental conditions, and evolution Finding that one element can be replaced by a similar one under certain conditions does not seem implausible, although finding such a system wouldbe a major discovery Wolfe-Simon et al (2) reported that the bacterial strain GFAJ-1 can use arsenic (As) instead of phosphorus (P) in its basic biomolecules, but their conclusion is not well supported by the presented data To show the arsenate-dependent growth of strain GFAJ-1, Wolfe-Simon et al measured the percentage of As and P in the dry weight of the bulk intracellular material of their samples In table 1 in (2), they report that the mean intracellular As in +As/ P cells was 019 T 025% by dry weight, but only 0001 T for cells SPC growninthe As/+P (2016X18 condition XII6) To summarize the that on average, there is much more As than P in our samples If we instead calculate the average P:As ratio first, it would be 505 and the As:P ratio 0198, suggesting much more PthanAsWolfe-Simonet al report a As:P ratio of 73 [shown in table 1 in (2)], but if calculated in reverse, this value would be a much less impressive 159 Another concern with the data reported in table 1 (2) involves the calculated errors The error for the As percent by dry weight (T025%) is larger than the value itself (019%), so the null hypothesis that the +As/ P sample contains no As, cannot be excluded Although the P concentration seems to be considerably smaller for the +As/ P grown sample (0019%) than for the As/+P (054%), the authors do not discuss whether this amount is sufficient to sustain the only slightly higher in the As/+P samples For the measurement of As concentration, the baseline value with estimated error is 15 T 3ppbHowever, this error estimate appears to be too optimistic: The As concentrations reported for the two As/+P experiments are 14 T 3 ppb and 5 T 1 ppb, meaning that even in three measurements, the value could fluctuate from 15 ppb down to 5 ppb, which suggests that the correct error should be around 10 ppb If we take this value, we see that the As concentration reported for +As/ P sample (27 T 10 ppb) is not significantly larger than the As concentration for the As/+P sample or the baseline (15 T 10 ppb) In several other places in their Research Article, Wolfe-Simon et al do not provide specific error estimates, but rather use the ad hoc value of 10% as standard deviation In addition, some of their figuresvisually suggest 3 / 26 on October 15, 2016 m

9 Telepi adatok Idősorok 18 Minta minőségi mutatója Mintavétel időpontja SPC (2016X18 XII6) 3 / 26

10 Shewhart-chart A statisztikai folyamatszabályozás nagyszerű hetese (magnificent seven): 1 Histogram (stem-and-leaf plot) 2 Check sheet 3 Pareto chart 4 Cause-and-effect diagram 5 Defect concentration diagram 6 Scatter diagram 7 Control chart Walter Andrew Shewhart ( ) SPC (2016X18 XII6) 4 / 26

11 Shewhart-chart Shewhart: A folyamatot akkor nevezzük stabilnak vagy statisztikailag kézbentartottnak (in statistical control), ha az ingadozás véletlenszerű, időben állandó, nincsenek jól felismerhető és megnevezhető okai, a jellemző jövőbeli értékei statisztikai módszerekkel megadható határok között vannak 1 A megfigyelt variabilitás oka lehet: véletlen (chance causes of variation) azonosítható (assignable causes of variation) A variabilitás azonosítható okainak jelenléte esetén a folyamat kikerült az ellenőrzés alól (out-of-control) A cél, hogy csökkentsük annak esélyét, hogy a folyamat kikerüljön az ellenőrzésünk alól Illetve, ha kikerült, akkor gyorsan tudjuk detektálni Ebben nyújthatnak segítséget az ellenőrző diagramok 1 Kemény (2006) SPC (2016X18 XII6) 4 / 26

12 Shewhart-chart 200 Upper control limit Minta minőségi mutatója Center line Lower control limit Mintavétel időpontja A center line a folyamat stabil állapotának megfelelő minőségi mutató átlagát jelzi SPC (2016X18 XII6) 4 / 26

13 Shewhart-chart 200 Upper control limit Minta minőségi mutatója Center line Lower control limit Mintavétel időpontja Az alsó és felső ellenőrzési határok a stabil folyamat határait jelzik SPC (2016X18 XII6) 4 / 26

14 Shewhart-chart Montgomery (2009) SPC (2016X18 XII6) 4 / 26

15 Shewhart-chart Ellenőrzési határok Egy sertéstelepen Shewhart-diagram használunk a malacok születési súlyának ellenőrzésére Zimmerman et al (2012) által bemutatott táblázatból tudjuk a malacok születési súlyának átlagát és szórását Litter Size % of litters Parity Litter size : total born Litter size : live born Litter size : stillborn Mean birth weight (kg) Within-litter SD (kg) Coefficient of variation (%) % small piglets A malacot fialó kocák malacainak átlagos súlya x = 148 kg, a szórás pedig σ = 032 kg SPC (2016X18 XII6) 5 / 26

16 Shewhart-chart Ellenőrzési határok Az ellenőrző diagramunk rajzolásához minden nap lemérünk 5-5 újszülött malacot Ezek súlyának átlagát pontokkal jelöljük az ábrán Az ellenőrző diagram határértékeit a standard hiba segítségével számítjuk: σ x = σ n = = Ha n, akkor σ x!!! Ha feltételezzük, hogy a kézbentartott malactermelési folyamat születési súly minták x átlaga közelítőleg normális eloszlású, akkor várhatóan az x mintaátlagok 100(1 α)%-a fog a 148 Z α/ és Z α/ közötti tartományba esni A Z α/2 önkényes konstans értéke 3, 1 így a határértékek: UCL = = és LCL = = three-sigma control limits SPC (2016X18 XII6) 5 / 26

17 Shewhart-chart Ellenőrzési határok Ha az ellenőrzési tartomány határait távolítjuk a centrális értéktől, akkor csökkentjük az I típusú hiba valószínűségét, de növeljük a II típusúét Az ellenőrzési tartomány szűkítésével az ellenkező hatást érjük el A 3-szigma esetén α = 00027, vagyis 9973% a valószínűsége, hogy x ebbe a tartományba esik Vagyis ből 27 esetben tévesen jelezheti, hogy a folyamat kikerül az ellenőrzésünk alól Ez mindkét irányban való határtúllépést jelent, az egyoldali ennek a fele, vagyis Esetenként nem szigmával adják meg az ellenőrzési tartományt, hanem az I típusú hiba valószínűségének meghatározásával, így pl ha ennek értéke 0001 (egyik irányban), akkor az előző formulákban 309-es szorzót használunk: és UCL = = LCL = = Ezeket gyakran hívják 0001 valószínűségi határoknak, azonban ez nem helyes, mert a két irányban 0002 valószínűségi határnak kellene nevezni SPC (2016X18 XII6) 5 / 26

18 Shewhart-chart Ellenőrzési határok 200 Upper control limit Malac születési súly (kg) Center line 100 Lower control limit Mintavétel időpontja SPC (2016X18 XII6) 5 / 26

19 Shewhart-chart Ellenőrzési határok Vannak, akik nem csak egy határértéket használnak, hanem kettőt vagy hármat Ha két határértéket használunk az ellenőrzési tartomány meghatározására, akkor a legkülsőt cselekvési határnak (action limits), a belsőt figyelmeztetési határnak (warning limits) nevezzük Ez utóbbi számszerűen: és UCL = = LCL = = Ha valószínűségi határokat használunk, akkor a cselekvési limit 0001, a figyelmeztetési pedig 0025 A figyelmeztetési határ használata növeli a diagram szenzitivitását, így gyorsabb reakciót tesz lehetővé Azonban több téves riasztást is ad SPC (2016X18 XII6) 5 / 26

20 Shewhart-chart Ellenőrzési határok Malac születési súly (kg) Mintavétel időpontja Ha egy vagy több pont a figyelmeztetési és cselekvési határ közé vagy a figyelmeztetési határhoz közel esik, akkor feltételezhetjük, hogy a folyamat nem működik tökéletesen SPC (2016X18 XII6) 5 / 26

21 Shewhart-chart Ellenőrzési határok Előfordul, hogy egy-szigmányira is meghúznak egy határt, amit alsó (a két-szigmányit felső) figyelmeztetési határnak nevezzük A három határérték által létrehozott tartományok: A, B, C A Malac születési súly (kg) B C C B A Mintavétel időpontja SPC (2016X18 XII6) 5 / 26

22 Shewhart-chart Minta mérete, mintavétel gyakorisága, csoportok a legjobb lenne, ha a lehető leggyakrabban, a lehető legtöbb mintát vehetnénk nagyobb mintamérettel kisebb változások könnyebben észlelhetők ésszerű mintavételi csoportok: a csoportok közötti, az azonosítható okoknak tulajdonítható eltérések maximalizálhatók lehessenek a csoporton belüli, az azonosítható okoknak tulajdonítható eltérések minimalizálhatók lehessenek 1 azonos vagy nagyon közeli időpontban veszünk mintát (snapshot approach) 2 az előző mintavétel óta létrejött egységeket reprezentáló minta (random sample approach) SPC (2016X18 XII6) 6 / 26

23 Shewhart-chart Mintázat elemzése ha egy vagy több pont túl van az ellenőrzési határokon, vagy a pontok valamilyen nem véletlen mintázatot mutatnak, feltételezhető, hogy a folyamat kikerült az ellenőrzésünk alól az ábrán az 5-8 pontok mind az átlag felett helyezkednek el a 15 ponttól kezdve 4 pont folyamatos növekedést mutat (run, sorozat), ebben az esetben felfelé irányuló (run up) utána egy run down látható annak a valószínűsége, hogy megfigyelt érték közül egy run 8 hosszúságú legyen, nagyon kicsi, így valamilyen rendellenességre utalhat ugyanígy, ha 8 egymást követő pont az átlag egyik oldalán helyezkedik el, akkor is gyanúnk lehet arra, hogy a folyamat kicsúszott a kezünkből ciklikus mintázatok utalhatnak arra, hogy a nem véletlen lefutás valamilyen szisztematikus hatás miatt lehet, még akkor is, ha a pontok egyébként a határok között vannak SPC (2016X18 XII6) 7 / 26

24 Shewhart-chart Mintázat elemzése Western Electric Statistical Quality Control Handbook (1956) által meghatározott döntési szabályok a nem véletlen mintázat detektálására: 1 egy pont kívül esik a három-szigma határon 2 három egymást követő pont közül kettő kívül esik a két-szigma figyelmeztetési határon 3 öt egymást követő pont közül négy egy-szigma távolságban vagy azon túl helyezkedik el 4 nyolc egymást követő pont a középvonal egyik oldalán helyeződik el A szabályok a középvonal egyik oldalára vonatkoznak A szenzitivitást növeli a 2-4 pont az 1 ponthoz viszonyítva SPC (2016X18 XII6) 7 / 26

25 Shewhart-chart Mintázat elemzése További érzékenyítő szabályok: 5 hat egymást követő pont folyamatosan növekvő vagy csökkenő értékekkel 6 tizenöt egymás utáni pont a C-zónában (a középvonal alatti és feletti) 7 tizennégy egymás utáni pont váltakozva le és fel 8 nyolc pont, ami egyik oldali C-zónába sem esik 9 szokatlan vagy nem véletlen mintázat az adatokban 10 egy vagy több pont közel a figyelmeztetési vagy cselekvési határhoz SPC (2016X18 XII6) 7 / 26

26 Shewhart-chart I és II fázis I fázis: retrospektív adatok vizsgálata stabil időszak, időpontból, mintavételből származó minták célérték és hatérértékek számítása az alapnak tekintett időszak mintáiból határértéket meghaladó értékek ellenőrzése tisztáztuk, hogy mi lehet az oka ha egyértelműen tisztázódik (azonosítható okot találunk), kihagyhatjuk és újra számolhatjuk a diagram értékeit II fázis: monitoring folyamatos értékelés, minden új minta esetén ha szükséges, akkor a diagram értékeit módosítjuk SPC (2016X18 XII6) 8 / 26

27 Shewhart-chart I és II fázis 200 Malac születési súly (kg) A B C C B A Mintavétel időpontja SPC (2016X18 XII6) 8 / 26

28 Cause-and-effect diagram Kocák visszaivarzásának részaránya (%) Morrison et al (2006) SPC (2016X18 XII6) 9 / 26

29 Cause-and-effect diagram Morrison et al (2006) SPC (2016X18 XII6) 9 / 26

30 Méréses ellenőrző diagramok gyakori, hogy a termelés valamely jellemzőjét számszerűleg mérjük (numerical measurement) pl: testsúlyok, tejmennyiség, takarmány-, vízfogyasztás változónak nevezzük a minőséget jellemző egyszerű mértéket ha a minőségi jellemző egy ilyen változó, akkor mind az átlagát, mind a variabilitását be kell vonnunk az ellenőrzési folyamatba az átlagot általában az ún x-diagrammal ellenőrizzük a variabilitást a szórás felhasználásával, ekkor s- vagy az értékek terjedelmével, R-diagrammal ellenőrizzük a diagram értékeit a termelés stabil időszakában mért adatok alapján becsüljük a populáció valódi átlagának (µ) és varianciájának (σ 2 ) pontbecslése a mintából számított x és s 2 a σ 2 becslése n 6 esetén pontosabb az úgynevezett range módszerrel n 10 esetén a szórás alapján javasolható SPC (2016X18 XII6) 10 / 26

31 Méréses ellenőrző diagramok x-diagram x = x 1 + x x n n x = x 1 + x x m m R = x max x min R = R 1 + R R m m A relatív terjedelem (relative range): W = R σ W az n mintaméret függvénye, W átlaga d 2 Ebből következik σ becslése: ˆσ = R d 2 n d Montgomery (2009) SPC (2016X18 XII6) 11 / 26

32 Méréses ellenőrző diagramok x-diagram A diagram paramétereit a mintából becsülve: Ha n > 25: CL = x LCL = x 3 d 2 n R UCL = x + 3 d 2 n R A 2 = 3 d 2 n LCL = x A 2 R UCL = x + A 2 R Montgomery (2009) A = 3 A 3 = 3 c 4 4(n 1) = n c 4 n 4n 3 n A A 2 A 3 c 4 1/c SPC (2016X18 XII6) 11 / 26

33 Méréses ellenőrző diagramok x-diagram I fázis Malac születési súly (kg) máj 25 jún 01 jún 08 Mintavétel időpontja SPC (2016X18 XII6) 11 / 26

34 Méréses ellenőrző diagramok x-diagram II fázis 200 Malac születési súly (kg) jún 15 jún 22 jún 29 júl 06 Mintavétel időpontja SPC (2016X18 XII6) 11 / 26

35 Méréses ellenőrző diagramok R-diagram A korábbiak alapján: R = W σ, illetve az R hibája: σ R = d 3 σ mivel σ nem ismert így becsülhetjük: ˆσ R = d 3 R d 2 így az R-diagram paraméterei: CL = R LCL = R 3ˆσ R = R 3d 3 R d 2 = D 3R UCL = R +3ˆσ R = R +3d 3 R d 2 = D 4R D 3 = 1 3 d3 d 2 Montgomery (2009) és D 4 = d3 d 2 n d 3 D 1 D 2 D 3 D SPC (2016X18 XII6) 12 / 26

36 I fázis ( R ± 3d 3 R d 2 ) Méréses ellenőrző diagramok R-diagram 15 Malac születési súly terjedelem (kg) máj 25 jún 01 jún 08 Mintavétel időpontja SPC (2016X18 XII6) 12 / 26

37 Méréses ellenőrző diagramok R-diagram I fázis (D 3 R és D 4 R) 15 Malac születési súly terjedelem (kg) máj 25 jún 01 jún 08 Mintavétel időpontja SPC (2016X18 XII6) 12 / 26

38 Méréses ellenőrző diagramok R-diagram II fázis (D 3 R és D 4 R) 15 Malac születési súly terjedelem (kg) jún 15 jún 22 jún 29 júl 06 Mintavétel időpontja SPC (2016X18 XII6) 12 / 26

39 Méréses ellenőrző diagramok x- és R-diagram az x-diagram a minták közötti, az R-diagram a mintán belüli variabilitást mutatja be az x-diagram a közepes vagy nagy változások vizsgálatát teszi lehetővé az n = 4, 5 mintaméret, kisebb változások nagyobb n = 15,, 25 mintákkal vizsgálhatók ennek alternatívája az érzékenyítő szabályok vagy CUSUM-, EWMA-diagramok alkalmazása a diagramok paramétereit időről időre felül kell vizsgálni, hogy az aktuális termelési folyamathoz igazodjon ezt meg lehet tenni hetente, havonta, vagy 25, 50, 100 mintánként az ellenőrző diagramokat kiegészíthetjük boxplotokkal (tier chart, tolerance chart) annak vizsgálatára, hogy bizonyos változásokat csak egy-egy mérési pont okoz-e vagy általános jelenségről van-e szó előfordul, hogy szakmai tapasztalatok alapján adnak meg felső és alsó határértékeket, ezeket ekkor nem control limitnek, hanem specification limitnek nevezik (nincs matematikai/statisztikai kapcsolat köztük) SPC (2016X18 XII6) 13 / 26

40 Méréses ellenőrző diagramok x- és R-diagram előfordul, hogy az n nem állandó, hanem változik mintáról mintára ilyen esetben nem szokták használni az x- és R-diagramot olyan eset is előfordul, hogy a mintaméret tartósan megváltozik, ilyenkor az alábbi formulák segíthetnek: CL = x [ ] d2new LCL = x A 2new R old d 2old [ ] d2new UCL = x+a 2new R old d 2old CL = R new = [ d2new d 2old ] R old { [ ] } d2new LCL = max 0, D 3new R old d 2old [ ] d2new UCL = D 4new R old d 2old SPC (2016X18 XII6) 13 / 26

41 Méréses ellenőrző diagramok s-diagram habár az x- és R-diagramokat széleskörben használják, előfordul, hogy az R helyett közvetlenül a folyamat szórásával vizsgálják a variabilitást az x- és s-diagramot az alábbi esetekben érdemesebb az x- és R-diagram helyett használni: 1 ha a minta n nagysága nagyobb, mondjuk n 10 vagy 12 2 ha az n mintaméret változó ha az σ 2 variancia nem ismert, akkor a mintából becsülhetjük: ni=1 s 2 (x i x) 2 = n 1 érdemes megjegyezni, hogy s nem torzítatlan becslése σ-nak ha a vizsgált változó normális eloszlású, akkor s a c 4 σ becslése c 4 állandó, ami n-től függ ugyanakkor s hibája σ 1 c4 2 SPC (2016X18 XII6) 14 / 26

42 Méréses ellenőrző diagramok s-diagram s = s 2 m CL = s = 1 s i m i=1 B 3 = 1 3 c 4 1 c 2 4 B 4 = c 4 1 c 2 4 LCL = s 3 s c 4 1 c 2 4 = B 3 s UCL = s + 3 s c 4 1 c 2 4 = B 4 s LCL = x UCL = x + CL = x 3 s c 4 n = x A 3 s 3 s c 4 n = x + A 3 s n B 3 B 4 B 5 B Montgomery (2009) SPC (2016X18 XII6) 14 / 26

43 I fázis ( s ± 3 s c 4 1 c4 2 ) Méréses ellenőrző diagramok s-diagram 06 Malac születési súly szórása (kg) máj 25 jún 01 jún 08 Mintavétel időpontja SPC (2016X18 XII6) 14 / 26

44 Méréses ellenőrző diagramok s-diagram I fázis (B 3 s és B 4 s) 06 Malac születési súly szórása (kg) máj 25 jún 01 jún 08 Mintavétel időpontja SPC (2016X18 XII6) 14 / 26

45 Méréses ellenőrző diagramok s-diagram II fázis (B 3 s és B 4 s) 06 Malac születési súly szórása (kg) jún 15 jún 22 jún 29 júl 06 Mintavétel időpontja SPC (2016X18 XII6) 14 / 26

46 Méréses ellenőrző diagramok s-diagram változó n mintaméret esetén a súlyozott átlag módszerrel becsüljük x és s értékeit x = mi=1 [ n i x mi=1 i (n i 1)s 2 ] 1/2 i mi=1 ; s = n mi=1 i n i m a középső egyenes ezekkel megrajzolható azonban a határértékek számításához a minták méretétől függően különböző A 3, B 3 és B 4 konstans értékeket kell használnunk a változó szélességű ellenőrzési tartomány helyett használhatjuk az n átlagos mintaméretet az ellenőrzési határok számítására ha a mintaméreten nem nagyon különbözőek, akkor ez jó közelítés lehet azonban mivel n nem egész szám lesz, érdemesebb a mintaszámok móduszát használni SPC (2016X18 XII6) 14 / 26

47 Minősítéses ellenőrző diagramok vannak a termelési folyamatnak olyan mutatói, amelyek nem mérhetők numerikusan abban az értelemben, mint a fent említett mutatók esetén ezeket minősítéses adatokkal (attributes data) fejezzük ki ilyen pl az, amikor a termelési folyamat eredményét jelentő elem lehet megfelelő (conforming) és nem megfelelő (nonconforming) természetesen ennek eldöntésében szerepelhetnek ún méréses adatok, azonban a minősítésüket tekintve csak két kimeneti érték egyike rendelhető hozzájuk az ilyen adatokat eredményező termelési folyamatok statisztikai felügyeletére további ellenőrző diagramokat használnak: p: nem megfelelő elemek részaránya (control chart for fraction nonconforming) c: nem megfelelő elemek száma (control chart for nonconformities) u: nem megfelelő elemek egységenkénti száma (control chart for nonconformities per units) SPC (2016X18 XII6) 15 / 26

48 Minősítéses ellenőrző diagramok p-diagram n méretű mintából D számú nem megfelelő elem esetén ˆp = D n µˆp = p σ 2ˆp p (1 p) = n ha a termelési folyamatra vonatkozó p ismert vagy standard érték: CL = p p (1 p) LCL = p 3 n p (1 p) UCL = p + 3 n ha nem ismert vagy standard érték, akkor becsüljük: ˆp i = D i n i = 1, 2,, m m legalább legyen a ˆp i értékek átlaga: mi=1 ˆp mi=1 i D i p = = m m n CL = p p (1 p) LCL = p 3 n p (1 p) UCL = p + 3 n SPC (2016X18 XII6) 16 / 26

49 Minősítéses ellenőrző diagramok p-diagram ha standard p-t használunk, akkor nincsen szükség a populációból való becslésére azonban óvatosan kell bánni a standard értékekkel, mivel nagyon ritka eset az, hogy valóban jól ismerhető a p a standard értéket inkább úgy kell értelmezni, mint egy célértéket pl ha a standard (pl p = 001) alapján meghatározott határértékeket meghaladják a II fázis adatai, akkor nem eldönthető, hogy valóban kibillent-e a termelési folyamat, vagy csak más p jellemző rá (pl p = 005) a p-diagram létrehozásához meg kell határozni a mintanagyságot, a mintavételi gyakoriságot, az ellenőrzési határokat előfordul, hogy a folyamat során, bevett periódusban képződő összes eredményt jelentő elemét megvizsgálják azonban általában az a cél, hogy csak n mintát használjunk SPC (2016X18 XII6) 16 / 26

50 Minősítéses ellenőrző diagramok p-diagram ha p nagyon kicsi, akkor megfelelően nagy n szükséges ha n kicsi, akkor kisebb valószínűséggel azonosíthatunk nem megfelelő elemet a mintában pl ha p = 001 és n = 8, akkor a felső ellenőrzési határérték: UCL = p+3 p (1 p) n = (1 001) 8 = ha a mintában van egy nem megfelelő elem, akkor ˆp = 1/8 = 0125, vagyis azt gondolhatjuk, hogy a folyamat kikerült a kezünkből mivel valamely p > 0 esetén van valamekkora valószínűsége annak, hogy a termelési folyamatban tökéletlen termék jön létre, ezért nem szükségszerű egyetlen ilyen nem megfelelő elem észlelése során arra következtetnünk, hogy a folyamat kikerült a kezünkből mekkora n-t kell használnunk SPC (2016X18 XII6) 16 / 26

51 Minősítéses ellenőrző diagramok p-diagram 1 megközelítés: tegyük fel, hogy p = 001 mekkora n szükséges ahhoz, hogy a mintában lévő nem megfelelő elemet legalább 95%-os valószínűséggel megtaláljunk? ha D a nem megfelelő elemek száma a mintában, akkor keressük azt az n-t, aminél P{D 1} 095, vagy máshogy megfogalmazva P{D = 0} = 005: P{D = x} = P{D = 0} = n = n! x!(n x)! px (1 p) n x n! 0!(n 0)! 0010 (1 001) n = (1 001) n log(005) log(1 001) 298 SPC (2016X18 XII6) 16 / 26

52 Minősítéses ellenőrző diagramok p-diagram Mean percent repeat services: 651% 1 n = log(005) log( ) 45 CL = p = NB: LCL < 0!!! LCL = UCL = ( ) = ( ) = USA nd Quarter Summary SPC (2016X18 XII6) 16 / 26

53 Minősítéses ellenőrző diagramok p-diagram 2 megközelítés ha alacsony a p, akkor könnyen lehet, hogy az LCL értéke kisebb lesz, mint 0, ami valószínűségek esetén nem értelmezhető ha azt szeretnénk, hogy az LCL is pozitív érték legyen, akkor az n meghatározása a következők szerint történhet: p (1 p) LCL = p L > 0 n, amiből levezethető, hogy, ha a p = n > 1 p p n > L = 129 Így ha n 130, akkor az LCL pozitív értékű lesz SPC (2016X18 XII6) 16 / 26

54 Minősítéses ellenőrző diagramok p-diagram 3 megközelítés: a mintaszámnak elég nagynak kell lennie ahhoz, hogy kb 50%-os valószínűséggel észlelhető legyen a folyamat egy meghatározott mértékű eltolódása pl tegyük fel, hogy p = 001 és szeretnénk tudni azt az n mintaméretet, ami a p = 005 szintre való eltolódását 50%-os valószínűséggel lehetővé teszi feltételezve, hogy a binomiális eloszlás normális eloszlással való közelítése helytálló, és ha folyamatban detektálandó eltolódás δ: p (1 p) δ = L n, amiből ( ) 2 ( ) 2 L 3 n = p (1 p) = δ = 56 SPC (2016X18 XII6) 16 / 26

55 Minősítéses ellenőrző diagramok p-diagram Mean percent repeat services: 651% 1 Median percent repeat services: 556% 1 Upper 10th percentile percent repeat services: 1317% 1 mekkora n mintaméret szükséges, hogy a 1317%-ra való eltolódást 50%-os valószínűséggel detektálhassuk? ( ) 2 3 n = ( ) = 123 ( ) 2 3 n = ( ) = 82 1 USA nd Quarter Summary SPC (2016X18 XII6) 16 / 26

56 Minősítéses ellenőrző diagramok p-diagram Nem állandó n mintaméret gyakori, hogy nem mintát vesznek, hanem egy időben, időszakban képződő összes elemet bevonnak a vizsgálatba a haszonállattartásban ez a leginkább jellemző (pl alomméret) a korábbiak alapján látható, hogy a változó mintaméret (n) befolyásolja az ellenőrzési tartományokat: p (1 p) p ± 3 n a probléma kezelésére gyakoribb megoldások: 1 átlagos mintaméret ( n) 2 mindegyik mintaméretre külön ellenőrzési határok (n i ) 3 standardizált határok: Z i = ˆp i p σˆp = ˆp i p p (1 p) n i SPC (2016X18 XII6) 16 / 26

57 Minősítéses ellenőrző diagramok p-diagram n Holtan született malacok részaránya Ellés sorszáma SPC (2016X18 XII6) 16 / 26

58 Minősítéses ellenőrző diagramok p-diagram n i Holtan született malacok részaránya Ellés sorszáma SPC (2016X18 XII6) 16 / 26

59 Minősítéses ellenőrző diagramok p-diagram Z i 2 Z-érték Ellés sorszáma SPC (2016X18 XII6) 16 / 26

60 Minősítéses ellenőrző diagramok np-diagram arra is lehetőség van, hogy a nem megfelelő adatokat ne részarányként fejezzük ki, hanem azok előfordulási gyakoriságával erre használják az np-diagramot CL = n p LCL = n p 3 n p (1 p) UCL = n p + 3 n p (1 p) ha p-re vonatkozóan nem elérhető standard érték, akkor becsülhetjük a mintából ( p) az np-diagram sokszor jobban értelmezhető a statisztikában nem jártas felhasználók számára SPC (2016X18 XII6) 17 / 26

61 Minősítéses ellenőrző diagramok c-diagram a c-diagram esetén a nem megfelelő elemek számát használjuk az ellenőrzési ábra létrehozásához pl lehetne valamely betegség incidenciája, azonos méretű állatcsoportokban (időben, térben) p(x) = e c c x, ahol x a nem megfelelő elemek száma, c > 0 a Poisson-eloszlás paramétere CL = c x! LCL = c 3 c UCL = c + 3 c ha az LCL < 0, akkor nullára állítjuk be ha nem ismert a standard c, akkor c-t becsülhetjük a mintából SPC (2016X18 XII6) 18 / 26

62 Minősítéses ellenőrző diagramok u-diagram ha x a megfigyelt összes nem megfelelő elem száma, a megvizsgált n egységben pl n = 6 kutrica, amelyekben azonos számú sertés van x Poisson-eloszlású változó u = x n CL = ū ū LCL = ū 3 n ū UCL = ū + 3 n SPC (2016X18 XII6) 19 / 26

63 Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM 14 Malacok súlya (kg) Mintavétel időpontja Hathetes malacok súlyának átlaga 125 kg, σ = 1 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

64 Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM A Shewhart-diagramok megfelelő érzékenységűek, ha a folyamat-eltérés 15-2σ Ennél kisebb eltolódást csak az érzékenyítő szabályokkal detektálhatunk, amelyek viszont növelik a téves riasztások számát A célértéktől való eltérés halmozódó összegének (cumulative sum, CUSUM) számítása, ha n 1: Egyedi x-ek (n = 1) esetén: C i = i C i = ( x j µ 0 ) j=1 i (x j µ 0 ) j=1 i 1 = (x i µ 0 ) + (x j µ 0 ) j=1 = (x i µ 0 ) + C i 1 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

65 Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM i x i C i Mivel C 1 1 = C 0 = 0 C 1 = (x 1 µ 0 ) + C 0 = ( ) + 0 = 09 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

66 Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM i x i C i Mivel C 2 1 = C 1 = 09 C 2 = (x 2 µ 0 ) + C 1 = ( ) + 09 = 27 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

67 Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM i x i C i Mivel C 3 1 = C 2 = 27 C 3 = (x 3 µ 0 ) + C 2 = ( ) + 27 = 11 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

68 Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM i x i C i Mivel C 4 1 = C 3 = 11 C 4 = (x 4 µ 0 ) + C 3 = ( ) + 11 = 08 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

69 Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM i x i C i Mivel C 5 1 = C 4 = 08 C 5 = (x 5 µ 0 ) + C 4 = ( ) + 08 = 05 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

70 Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM i x i C i Mivel C 6 1 = C 5 = 05 C 6 = (x 6 µ 0 ) + C 5 = ( ) + 05 = 09 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

71 Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM i x i C i Mivel C 7 1 = C 6 = 09 C 7 = (x 7 µ 0 ) + C 6 = ( ) + 09 = 04 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

72 Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM i x i C i Mivel C 8 1 = C 7 = 04 C 8 = (x 8 µ 0 ) + C 7 = ( ) 04 = 20 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

73 Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM i x i C i Mivel C 9 1 = C 8 = 20 C 9 = (x 9 µ 0 ) + C 8 = ( ) + 20 = 21 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

74 Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM i x i C i Mivel C 10 1 = C 9 = 21 C 10 = (x 10 µ 0 ) + C 9 = ( ) + 21 = 36 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

75 Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM i x i C i Mivel C 11 1 = C 10 = 36 C 11 = (x 11 µ 0 ) + C 10 = ( ) + 36 = 17 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

76 Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM i x i C i Mivel C 12 1 = C 11 = 17 C 12 = (x 12 µ 0 ) + C 11 = ( ) + 17 = 26 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

77 Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM 0 C i Mintavétel időpontja SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

78 Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM Az egyoldali felső és alsó CUSUM számítása: C + i C i = max = max [ ] 0, x i (µ 0 + K) + C i 1 + [ ] 0, (µ 0 K) x i + Ci 1 A kezdő értékek C + 0 = C 0 = 0 A K referencia-érték, mely a µ 0 és az ellenőrzés alól kikerült folyamat µ 1 közti különbség fele K = δ 2 σ = µ 1 µ 0 2 Mivel a példánkban a σ = 1 és egy σ eltérést szeretnénk detektálni (δ = 1), így K = 05 A CUSUM módszernél az ellenőrzési tartományokat ún H-értékkel állítjuk be, aminek értéke első közelítésben a σ ötszöröse SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

79 Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM i x i C i C + i C i Mivel C = C + 0 = 0 C 1 + = max [ 0, x 1 (µ 0 + K) + C 0 + ] = max [0, 134 ( ) + 0] = max [0, 04] = 04 Mivel C 1 1 = C 0 = 0 C 1 = max [ 0, (µ 0 + K) x 1 + C ] 0 = max [0, (125 05) ] = max [0, 14] = 00 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

80 Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM i x i C i C + i C i Mivel C = C + 1 = 04 C 2 + = max [ 0, x 2 (µ 0 + K) + C 1 + ] = max [0, 143 ( ) + 04] = max [0, 17] = 17 Mivel C 2 1 = C 1 = 00 C 2 = max [ 0, (µ 0 + K) x 2 + C ] 1 = max [0, (125 05) ] = max [0, 23] = 00 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

81 Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM i x i C i C + i C i Mivel C = C + 2 = 17 C 3 + = max [ 0, x 3 (µ 0 + K) + C 2 + ] = max [0, 109 ( ) + 17] = max [0, 04] = 00 Mivel C 3 1 = C 2 = 00 C 3 = max [ 0, (µ 0 + K) x 3 + C ] 2 = max [0, (125 05) ] = max [0, 11] = 11 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

82 Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM i x i C i C + i C i Mivel C = C + 3 = 00 C 4 + = max [ 0, x 4 (µ 0 + K) + C 3 + ] = max [0, 122 ( ) + 00] = max [0, 08] = 00 Mivel C 4 1 = C 3 = 11 C 4 = max [ 0, (µ 0 + K) x 4 + C ] 3 = max [0, (125 05) ] = max [0, 09] = 09 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

83 Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM i x i C i C + i C i Mivel C = C + 4 = 00 C 5 + = max [ 0, x 5 (µ 0 + K) + C 4 + ] = max [0, 122 ( ) + 00] = max [0, 08] = 00 Mivel C 5 1 = C 4 = 09 C 5 = max [ 0, (µ 0 + K) x 5 + C ] 4 = max [0, (125 05) ] = max [0, 07] = 07 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

84 Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM i x i C i C + i C i Mivel C = C + 5 = 00 C 6 + = max [ 0, x 6 (µ 0 + K) + C 5 + ] = max [0, 129 ( ) + 00] = max [0, 01] = 00 Mivel C 6 1 = C 5 = 07 C 6 = max [ 0, (µ 0 + K) x 6 + C ] 5 = max [0, (125 05) ] = max [0, 02] = 00 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

85 Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM i x i C i C + i C i Mivel C = C + 6 = 00 C 7 + = max [ 0, x 7 (µ 0 + K) + C 6 + ] = max [0, 112 ( ) + 00] = max [0, 18] = 00 Mivel C 7 1 = C 6 = 00 C 7 = max [ 0, (µ 0 + K) x 7 + C ] 6 = max [0, (125 05) ] = max [0, 08] = 08 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

86 Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM i x i C i C + i C i Mivel C = C + 7 = 00 C 8 + = max [ 0, x 8 (µ 0 + K) + C 7 + ] = max [0, 149 ( ) + 00] = max [0, 19] = 19 Mivel C 8 1 = C 7 = 08 C 8 = max [ 0, (µ 0 + K) x 8 + C ] 7 = max [0, (125 05) ] = max [0, 21] = 00 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

87 Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM i x i C i C + i C i Mivel C = C + 8 = 19 C 9 + = max [ 0, x 9 (µ 0 + K) + C 8 + ] = max [0, 126 ( ) + 19] = max [0, 15] = 15 Mivel C 9 1 = C 8 = 00 C 9 = max [ 0, (µ 0 + K) x 9 + C ] 8 = max [0, (125 05) ] = max [0, 06] = 00 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

88 Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM i x i C i C + i C i Mivel C = C + 9 = 15 C 10 + = max [ 0, x 10 (µ 0 + K) + C 9 + ] = max [0, 140 ( ) + 15] = max [0, 25] = 25 Mivel C 10 1 = C 9 = 00 C 10 = max [ 0, (µ 0 + K) x 10 + C ] 9 = max [0, (125 05) ] = max [0, 20] = 00 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

89 Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM i x i C i C + i C i Mivel C = C + 10 = 25 C 11 + = max [ 0, x 11 (µ 0 + K) + C 10 + ] = max [0, 106 ( ) + 25] = max [0, 01] = 01 Mivel C 11 1 = C 10 = 00 C 11 = max [ 0, (µ 0 + K) x 11 + C ] 10 = max [0, (125 05) ] = max [0, 14] = 14 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

90 Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM i x i C i C + i C i Mivel C = C + 11 = 01 C 12 + = max [ 0, x 12 (µ 0 + K) + C 11 + ] = max [0, 134 ( ) + 01] = max [0, 05] = 05 Mivel C 12 1 = C 11 = 14 C 12 = max [ 0, (µ 0 + K) x 12 + C ] 11 = max [0, (125 05) ] = max [0, 0] = 0 SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

91 Kisebb eltérések vizsgálata CUSUM 3 Halmozódó összeg 0-3 CUSUM lower upper Mintavétel időpontja SPC (2016X18 XII6) 20 / 26

92 Kisebb eltérések vizsgálata Binomiális CUSUM Ha n állandó: C + 0 = H+ C 0 = H C i + = max[0, C i x i n k u + ] Ci = min[0, Ci 1 + x i n ku ] Ha n változó, akkor ún súlyozott binomiális CUSUM: C + i = max[0, C + i 1 + x i n i k + u ] C i = min[0, C i 1 + x i n i k u ], ahol az emelkedő és csökkenő k + és k referenciaértékek egyaránt a n k u szorzatból adódnak, ahol a k u az egységenkénti referenciaérték, ami csak a stabil folyamat π 0 és az ellenőrzés alól kikerült folyamat π 1 értékétől függ: Hawkins and Olwell (1998) ( k u = ln 1 π1 ln ) 1 π ( 0 π1 (1 π 0 ) π 0 (1 π 1 ) SPC (2016X18 XII6) 21 / 26 )

93 Kisebb eltérések vizsgálata Binomiális CUSUM Tegyük fel, hogy egy olyan folyamatot ellenőrzünk, amelyben a π 0 = 001 és ettől fölfelé a π 1 = 003 elcsúszást szeretnénk detektálni CUSUM-mal: ( ) ( ) k u + = ln ) = ln ( ) = = 0018 ln ln ( 003 (1 001) 001 (1 003) Ugyanezen az ellenőrző diagramon a negatív irányba való eltérés vizsgálatára π 1 = 0005 szeretnénk használni: ( ) ( ) ku = ln ) = ln ( ) = ln ln = ( 0005 (1 001) 001 (1 0005) C + i = max[0, C + i 1 + x i n 0018] C i = min[0, C i 1 + x i n 00072] Hawkins and Olwell (1998) SPC (2016X18 XII6) 21 / 26

94 Kisebb eltérések vizsgálata EWMA Exponenciálisan súlyozott mozgóátlag (Exponentially Weighted Moving Average, EWMA) z i = λx i + (1 λ) z i 1, ahol 0 < λ 1, és a z 0 = µ 0, illetve korábbi mintából becsülve z 0 = x Az a tapasztalat, hogy a 005 λ 025 jól használható; gyakran használt értékek a λ = 005, λ = 010 és λ = 020 A kisebb λ-értékek kisebb eltérések detektálására jobban használhatók Az ellenőrző diagramhoz szükséges formulák: CL = µ 0 λ LCL = µ 0 L σ 2 λ [1 (1 λ)2i ] λ UCL = µ 0 + L σ 2 λ [1 (1 λ)2i ], ahol L az ellenőrzési tartomány szélességét meghatározó érték Nagyobb λ esetén az L = 3 megbízható érték Azonban kisebb λ esetén, pl λ 01, tanácsos csökkenteni az értékét (pl L = 27) SPC (2016X18 XII6) 22 / 26

95 Kisebb eltérések vizsgálata EWMA i x i z i LCL i UCL i z 1 = λx 1 + (1 λ)z 0 = (1 01) 125 = 1259 λ l 1 = L σ 2 λ [1 (1 λ)2 1 ] 01 = [1 (1 01)2 1 ] = 027 λ = 01, L = 27, z 0 = µ 0 = 125, σ = 1 LCL 1 = = 1223 UCL 1 = = 1277 SPC (2016X18 XII6) 22 / 26

96 Kisebb eltérések vizsgálata EWMA i x i z i LCL i UCL i z 2 = λx 2 + (1 λ)z 1 = (1 01) 1259 = 1276 λ l 2 = L σ 2 λ [1 (1 λ)2 2 ] 01 = [1 (1 01)2 2 ] = 036 λ = 01, L = 27, z 0 = µ 0 = 125, σ = 1 LCL 2 = = 1214 UCL 2 = = 1286 SPC (2016X18 XII6) 22 / 26

97 Kisebb eltérések vizsgálata EWMA i x i z i LCL i UCL i z 3 = λx 3 + (1 λ)z 2 = (1 01) 1276 = 1257 λ l 3 = L σ 2 λ [1 (1 λ)2 3 ] 01 = [1 (1 01)2 3 ] = 042 λ = 01, L = 27, z 0 = µ 0 = 125, σ = 1 LCL 3 = = 1208 UCL 3 = = 1292 SPC (2016X18 XII6) 22 / 26

98 Kisebb eltérések vizsgálata EWMA i x i z i LCL i UCL i z 4 = λx 4 + (1 λ)z 3 = (1 01) 1257 = 1254 λ l 4 = L σ 2 λ [1 (1 λ)2 4 ] 01 = [1 (1 01)2 4 ] = 047 λ = 01, L = 27, z 0 = µ 0 = 125, σ = 1 LCL 4 = = 1203 UCL 4 = = 1297 SPC (2016X18 XII6) 22 / 26

99 Kisebb eltérések vizsgálata EWMA i x i z i LCL i UCL i z 5 = λx 5 + (1 λ)z 4 = (1 01) 1254 = 1250 λ l 5 = L σ 2 λ [1 (1 λ)2 5 ] 01 = [1 (1 01)2 5 ] = 047 λ = 01, L = 27, z 0 = µ 0 = 125, σ = 1 LCL 5 = = 1200 UCL 5 = = 1300 SPC (2016X18 XII6) 22 / 26

100 Kisebb eltérések vizsgálata EWMA i x i z i LCL i UCL i z 6 = λx 6 + (1 λ)z 5 = (1 01) 1254 = 1250 λ l 6 = L σ 2 λ [1 (1 λ)2 6 ] 01 = [1 (1 01)2 6 ] = 047 λ = 01, L = 27, z 0 = µ 0 = 125, σ = 1 LCL 6 = = 1200 UCL 6 = = 1300 SPC (2016X18 XII6) 22 / 26

101 Kisebb eltérések vizsgálata EWMA 128 EWMA Mintavétel időpontja SPC (2016X18 XII6) 22 / 26

102 Mikor, melyiket? Méréses Adatok Minősítéses Minta mérete Részarányok Darabszámok n > 1 n = 1 Eltérés Eltérés Eltérés Eltérés nagy nagy nagy nagy x, R x, s kis x (egyedi) MR kis p np kis c u CUSUM EWMA CUSUM EWMA p használatával CUSUM EWMA c, u használatával, események közti idő SPC (2016X18 XII6) 23 / 26

103 ARL x-diagram Átlagos sorozathossz (average run length, ARL): azoknak a pontoknak a száma, amelyek megelőzik azt a pontot, amikor a folyamat kikerül az ellenőrzés alól Ha nincsen autokorreláció a folyamatban, akkor: ARL = 1 p, ahol p annak a valószínűsége, hogy a folyamat kikerül az ellenőrzés alól Average time to signal (ATS), ha a mintavételek között eltelt idő (h) mindig azonos: ATS = ARL h A három szigma x-diagram esetén annak a valószínűsége, hogy egy pont kívülesik az ellenőrzési tartományon p = 00027, így az ARL 0 (a kézben tartott folyamat ARL-je): ARL 0 = 1 α = = 370 Vagyis átlagosan minden 370 pont fog kívülesni az ellenőrzési tartományon, még abban az esetben is, ha a folyamat valójában nem tért el a céltól Az az ideális, ha az ARL 0 nagy SPC (2016X18 XII6) 24 / 26

104 ARL x-diagram II típusú hiba: ha a H 0 -t nem utasítjuk el, pedig nem igaz Ennek valószínűségét a β fejezi ki Annak a valószínűsége, hogy NEM detektáljuk a folyamat eltérését az eltérés bekövetkezte utáni első mintában: β = P{LCL x UCL µ = µ 1 = µ 0 + kσ}, ahol µ 0 a kézben tartott folyamat célértéke, µ 1 = µ 0 + kσ az ellenőrzés alól kikerült folyamat átlaga Ha a folyamatbeli elcsúszás megtörtént, annak a valószínűsége, hogy: NEM detektáljuk az eltérést az első mintán: β detektáljuk az eltérést az első mintán: 1 β Out-of-control ARL: amikor a folyamat kikerül az ellenőrzés alól, az eltérés detektálása előtti pontok átlagos száma: Ideális esetben kicsi ARL 1 = 1 1 β SPC (2016X18 XII6) 24 / 26

105 ARL x-diagram OC curves for xbar chart Prob type II error n = Process shift (stddev) Operating-characteristic curve: az y-tengelyen a β (annak a valószínűsége, hogy az ellenőrző diagram NEM jelez eltérést a folyamatban), az x-tengelyen a k, vagyis a stabil folyamat átlagától való eltérés mértéke σ szorzatként kifejezve SPC (2016X18 XII6) 24 / 26

106 ARL x-diagram Ha a malacok 1495 kg-os átlag testsúlya, mondjuk 15 szigmányival alacsonyabb szintre (1495 (15 031) = 103 kg) süllyed, akkor β 036-ra csökken ARL 1 = 1 1 β = = 156 Ami azt jelenti, hogy átlagosan 156 minta szükséges ahhoz, hogy a folyamatbeli ekkora eltérést detektálhassuk Ha mondjuk a malacsúly-mintavételünk hetente történik, vagyis hetente mérjük a malacokat, akkor: ATS = ARL 1 h = = 1092 Azaz 11 nap szükséges ahhoz, hogy az eltérést észleljük Túl késő: 1 Ha gyakrabban veszünk mintát, akkor csökkenthetjük a h-t és így hamarabb észlelhetjük az eltérést SPC (2016X18 XII6) 24 / 26

107 ARL x-diagram OC curves for xbar chart Prob type II error n = 5 n = Process shift (stddev) 2 Ha növeljük az n mintaméretet, akkor is csökkenthetjük a detektáláshoz szükséges időt, pl ha n = 10: ARL 1 = 1 1 β = = 104 SPC (2016X18 XII6) 24 / 26

108 ARL p-diagram OC curves for p chart Prob type II error p A választásig történő elhullás valószínűsége a korábbi példából 5% Ha n = 10, a 10%-os elhullás esetén a β = 093, így: ARL 1 = 1 1 β = = 1429 SPC (2016X18 XII6) 25 / 26

109 ARL p-diagram OC curves for p chart Prob type II error p A választásig történő elhullás valószínűsége a korábbi példából 5% Ha n = 50, a 10%-os elhullás esetén a β = 088, így: ARL 1 = 1 1 β = = 833 SPC (2016X18 XII6) 25 / 26