Tananyag: KissBéla-KrebszAnna:Lineárisalgebra,többváltozósfüggvények,valószínűségszámítás,4.18.,

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Tananyag: KissBéla-KrebszAnna:Lineárisalgebra,többváltozósfüggvények,valószínűségszámítás,4.18.,"

Átírás

1 // KURZUS: Matematika II. MODUL:Valószínűség-számítás 30. lecke: A nagy számok törvényei Tananyag: KissBéla-KrebszAnna:Lineárisalgebra,többváltozósfüggvények,valószínűségszámítás,4.18., fejezet Elméleti összefoglaló A nagy számok törvényének Csebisev-féle alakja Haaξ1,ξ2,,ξn azonosvárhatóérétkűésszórásúfüggetlen valószínűségiváltozókm(ξi )=m várhatóértékkelésd(ξi)=σ szórással(i=1,2,,n),akkorp( ξ1+ξ2+ +ξnn m ε ) σ2ε2 n.tetszőlegesε>0 pozitívszám esetén. AnagyszámoktörvényénekCsebisev-félealakjafüggetlen,azonosvárhatóértékűésszórású valószínűségiváltozókszámtaniközepénekaközösvárhatóértéktőlvalóeltéréséreadbecslést. A nagy számok Bernoulli-féle törvénye Han függetlenkísérletetvégzünkegyp=p(a)valószínűségűa eseménymegfigyeléséreésa kísérleteksoránaza eseménykn-szerkövetkezetbe,akkorp( knn p ε) p (1 p)ε2 n, tetszőlegesε>0 pozitívszám esetén. AnagyszámokBernouli-féletörvényétáltalábanP( knn p <ε)=1 P( knn p ε) 1 p ( 1 p)ε2 n formábanannakbecslésérehasználjuk,hogyarelatívgyakoriságmilyen valószínűséggelközelítimegazadota eseményp valószínűségét. Mivelp (1 p) 14,ezértaBernouli-féletörvénybőlaP( knn p ε) 14 ε2 n egyenlőtlenségteljesüléseiskövetkezik,amiismeretlenp eseténisalkalmazhatóp( knn p <ε)=1 P( knn p ε) 1 14 ε2 n becsléstteszlehetővé. Központi (centrális) határeloszlás tétel Haaξ1,ξ2,,ξn,.azonoseloszlásúésvégesszórásúfüggetlenvalószínűségiváltozókegy sorozata,m(ξi)=m,ésd(ξi)=σ (i=1,2,.),akkora0várhatóértékűés1szórásúηn=ξ1+ ξ2+.+ξn n m n σ,(n=1,2,.)valószínűségiváltozóksorozataaszimptotikusanstandard normáliseloszlású,azazlim n P(ηn<x)=Φ(x),aholΦ(x)astandardnormáliseloszlás eloszlásfüggvényétjelöli. Kidolgozott feladatok coedu.sze.hu/print.php4?print_items= 1/7

2 30.1. Adjunkbecsléstara,hogylegalábbhányszorkelegyszabályosdobókockátfeldobnunk ahhoz,hogyannakvalószínűsége,hogyadobotszámokátlagalegalább0,1-deleltéravárható értéktől,0,05-nélkisebblegyen? Megoldás: Legyenξiazi-edikdobotszámotjelentővalószínűségiváltozó. Ekkorξivárhatóértéke:M(ξi)= =3,5, ξi2 várhatóértéke:m(ξi2)= =916, ξiszórásnégyzete:d2(ξi)=m(ξi2) M 2(ξi) 2,9167 AnagyszámoktörvényénekCsebisev-félealakjátalkalmazva: P( ξ1+ξ2+.+ξnn m ε) σ2ε2 n Mostm=3,5,σ2 2,9167 ésε=0,1. Behelyetesítve:P( ξ1+ξ2+.+ξnn 3,5 0,1) 2,91670,01 n Afeladatbanszereplőfeltételteljesül,ha2,91670,01 n 0,05, ebbőlaztkapjuk,hogyn 5833,4. Tehátabecslésünkszerintlegalább5834-szerkelfeldobniakockátahhoz,hogyafeladatban kiszabotakteljesüljenek Valamelytermékbenaselejtekarányátszeretnénkmegálapítani.Ehhez12000mérést végeztekés358selejtettaláltak.adjunkbecsléstannakvalószínűségére,hogyakapotrelatív gyakoriság0,005-nélkevesebbeltérelaténylegesértéktől,vagyisannakvalószínűségétől,hogy egyvéletlenszerűenválasztottermékselejtes! Megoldás: Amérésekszáma:n=12000,aselejtekszámak=358,ebbőlarelatívgyakoriság:kn =0,02983.Reményeinkszerintaselejtvalószínűségeezenértéktőlnem téreltúlságosan.mivelaz ap valószínűségnem ismert,ezértanagyszámokbernouli-féletörvényénekalábbialakjátkel használnunk:p( kn p <ε) 1 14 ε2 n. Jelenesetbenε=0,005. Behelyetesítveaztkapjuk,hogy1 14 ε2 n=1 14 0, =16 Vagyiscsupánaztálíthatjuk,hogyakapotrelatívgyakoriságérték16-nálnagyobb valószínűséggel0,005-nélkevesebbeltérelazismeretlenp valószínűségtől.nyilváneznem túl meggyőzőérték,tehátavizsgáltmintaelemszámánaknövelésérevanszükség Adjunkbecsléstara,hogylegalábbhányszorkelegyszabályosdobókockátfeldobniahhoz, hogya4-esekrelatívgyakoriságalegalább0,9valószínűséggel0,02-nálkevesebbeltérel16-tól! Megoldás: AlkalmazzukanagyszámokBernouli-féletörvényét!P( kn p <ε) 1 14 ε2 n Afeladatbanp=16 ésε=0,02. Hateljesül,hogy1 p (1 p)ε2 n 0,9,akkorakívántfeltételnekiselegettetünk. 1 p (1 p)ε2 n 0,9,vagyis ,0004 n 0,9,ebbőln 3472,2. Tehátbecslésünkszerintlegalább3473-szorkelfeldobniakockát Egytömegtermelésbenkészülőterméketvizsgálunk,hatalmasmennyiségál rendelkezésünkre.becsüljükmeg,hogylegalábbhányeleműmintátkelvenniahhoz,hogyahibás termékekarányát95%-osbiztonsággal,0,05-nálkisebbeltérésselmegtudjukadni! Megoldás: Mivelnem ismertaz,hogyegytermékmekkoravalószínűséggelhibás,ezértabernouli- coedu.sze.hu/print.php4?print_items= 2/7

3 féletörvényalábbialakjátkelhasználnunk:p( kn p <ε) 1 14 ε2 n. Mostε=0,05 és1 14 ε2 n 0,95 teljesülésétkelvizsgálni. Behelyetesítve:1 14 0,0025 n 0,95,ebbőln Tehátlegalább2000eleműmintátkelvenni Népszavazásonegybizonyoskérdéseldöntéséhez50%+1beleegyezőszavazatravan szükség.aszavazatokfeldolgozásánakegykoraiszakaszábanazttapasztaljuk,hogy szavazóközül180000szavazotigennelafeltetkérdésre.mekkoraannakvalószínűsége,hogya népszavazásonazigenszavazatokszerezzenektöbbséget? Megoldás: Jelenálásszerintabeleegyezőszavazatokrelatívgyakorisága =0,45. Ahhoz,hogyazigeneklegyenektöbbségbenp>0,5 szükséges,tehátbernoulitételébenε>0,05 kel. Atételszerint:P( kn p ε) 14 ε2 n. ε=0,05 ésn= eseténahelyetesítésiérték: 14 ε2 n=14 0, =0,00025.(0,05-nálnagyobbε eseténennélmégkisebbértéket kapunk) Tehátbecslésünkszerintazigenszavazatoktöbbségének0,00025avalószínűsége(0,025% - "gyakorlatilagnula") Egyfűrészüzemben2cm vastagdeszkákatkészítenek,atapasztalatszerint2mm szórással. Raktározáskor100dbdeszkakerülközvetlenülegymásra.Milyenmagastárolóhelyiségrevan szükségahhoz,hogyadeszkák90%-osvalószínűséggelelférjenekbenne? Megoldás: Azegyesdeszkákvastagságaegymástólfüggetlen,azonoseloszlásúvalószínűségi változónaktekinthető(ugyanotkészültek),m(ξ)=20mm várhatóértékkel,ésd(ξ)=2mm szórással.aközpontihatáreloszlástételszerintfüggetlen,azonoseloszlásúvalószínűségiváltozók összegénekstandardizáltjaközelítőlegstandardnormáliseloszlású,azaz P(ξ1+ξ2+.+ξn n M(ξ)n D(ξ)<x) Φ(x),aholΦ(x)astandardnormáliseloszlás eloszlásfüggvényétjelöli. Akérdéstulajdonképpenaz,hogymiazazérték,aminélavalószínűségiváltozókösszege90% valószínűséggelkisebb,vagyismilyenx eseténleszφ(x)=0,9. Táblázatbólkikeresveadódik,hogyx=1,28. Aztkapjuktehát,hogyP(ξ1+ξ2+.+ξn n M(ξ)n D(ξ)<1,28) 0,9. Behelyetesítveaszövegbenszereplőértékeket:P(ξ1+ξ2+.+ξ <1,28)=P( ξ1+ξ2+.+ξ100<25,6+2000)=p(ξ1+ξ2+.+ξ100<2025,6) 0,9 Tehátadeszkahalom magassága(adeszkákvastagságánakösszege)0,9valószínűséggel202,56 cm-nélkisebb,vagyislegalábbilyenmagastárolóhelyiségrevanszükség Egy100személyessétahajókapitányahosszúidőalatazttapasztalja,hogyajeggyel rendelkezőknekmindössze90%-ajelenikmegabeszálásnál.ezenfelbuzdulvaegyalkalommal 110jegyetadel.Miavalószínűsége,hogyleszolyanutas,akinem férfelahajóra? Megoldás: Feltételezhetjük,hogyazutasokegymástólfüggetlenüldöntenekaról,hogyutaznak coedu.sze.hu/print.php4?print_items= 3/7

4 vagysem.átlagosan90%-ukdöntazutazásmelet,tehátannakvalószínűsége,hogyegybizonyos utasmegjelenikabeszálásnálp=0,9. Mindenegyesjeggyelrendelkezőutashozrendeljünkegyvalószínűségiváltozót:ξi:{1,haaziedikutasutazik0,hanem Azeloszlása:ξi:{100,90,1 Azinduláskormegjelentekszámaaξi-kösszegelesz.Halegalább101utasjelenikmeg beszálásnál,akkorvalakinekbiztosannem juthely.tehátakérdésannakvalószínűsége,hogyaξi -kösszegenagyobb100-nál. P(ξ1+.+ξ )=1 P(ξ1+.+ξ<110101) AP(ξ1+.+ξ<110101)valószínűségmeghatározásáhozhasználjukfelaközpontihatáreloszlás tételt. M(ξi)=0,9,D(ξi)=0,9 0,9 0,9=0,3 P(ξ1+.+ξ<110101)=P(ξ1+.+ξ ,9110 0,3< ,9110 0,3)=P(ξ1 +.+ξ ,1464<0,6356) Φ(0,6356),aholΦ astandardnormáliseloszlás eloszlásfüggvényétjelöli.táblázatbólφ(0,6356) 0,7375. Tehátkb.73,75% annakavalószínűsége,hogyvalakinem férfelahajóra Micimackómézetakartlopniaméhektől,derajtavesztet:minda200méhecskeegyszere támadtrá.tudjuk,hogymindenegyesméh0,4valószínűséggelcsípimegatolvajt.mia valószínűsége,hogymicimackó50csípésnélkevesebbelmegússzaakalandot? Megoldás: Másirányútanulmányainkból(biológia,élővilág,környezetismeret,stb.)tudjuk,hogy egyméhecskecsakegyszertudcsípni.ígymindenegyesméhecskéhezrendelhetünkegy valószínűségiváltozót: ξi:{1,haazi-edikméhecskecsípet0,hanem Eloszlása:ξi:{100,40,6 Várhatóértéke:M(ξi)=0,4,szórása:D(ξi)=0,4 0,4 0,4 0,4898. Acsípésekszámátξivalószínűségiváltozókösszegekéntkapjuk.Akérdésannakvalószínűsége, hogyezazösszeg50-nélkevesebb-e.eztavalószínűségetismétaközpontihatáreloszlástétel segítségévelhatározhatjukmeg: P(ξ1+.+ξ<20050)=P(ξ1+.+ξ M(ξi)200 D(ξi)< M(ξi)200 D(ξi) )=P(ξ1+.+ξ ,9268< 4,331) Φ( 4,331)=1 Φ(4,331)=1 1=0 Megjegyzés:Φ(4,331)értékenem mindenholszerepelatáblázatban,demivelmárφ(3 )=0, ,ezértezazérték1-nekvehető. Tehát0annakvalószínűsége,hogyMicimackó50csípésnélkevesebbelmegússzaakalandot. Ellenőrző kérdések 1. feladat Egy szabályos pénzérmét 1000-szer feldobunk. A Bernoulli-féle törvénnyel becsülve mekkora lehet annak valószínűsége, hogy a fejek számának relatív gyakorisága legalább 0,05-dal eltér 1 2 -től? coedu.sze.hu/print.php4?print_items= 4/7

5 legfeljebb110 legalább110 pontosan110 legfeljebb0,05 2. feladat Egy ismeretlen valószínűségű esemény valószínűségét szeretnénk megbecsülni a relatív gyakorisággal. Adjunk becslést a Bernoulli-féle törvénnyel arra, hányszor kell végrehajtani az adott esemény megfigyelésére vonatkozó kísérletet, ha azt akarjuk, hogy a relatív gyakoriság legalább 0,95 valószínűséggel 0,1-nél kevesebbel térjen el a valószínűségtől? legalább950 legalább500 legalább1000 legalább feladat Egy játékban 0,5 valószínűséggel nyerünk, vagy 0,5 valószínűséggel veszítünk 100 Ft-ot. A nagy számok törvényének Csebisev-féle alakját felhasználva adjunk becslést arra, hogy hány játék után mondhatjuk el: a nyereményünk átlaga legalább 90%-os valószínűséggel 0,05-nál kevesebbel tér el a várható értéktől? legalább4 107 legalább5 106 legalább4 106 legalább feladat Egy alkalommal a 100 fős évfolyam számára kiírt "Valószínűség számítás coedu.sze.hu/print.php4?print_items= 5/7

6 és matematikai statisztika" című előadást egy 90 fő befogadására alkalmas terembe tették. A hallgatók egymástól függetlenül 0,8 valószínűséggel mennek el az órára. Mi lehet annak a valószínűsége, hogy minden megjelent befér? 0,8888 0,7365 0,001 0, feladat Valamely típusú alkatrész élettartama exponenciális valószínűségi változó 200 óra várható értékkel. Ha az alkatrész meghibásodik, akkor azonnal cserélik, időveszteség nélkül. Tudjuk, hogy az alkatrész hiányában a teljes berendezés működésképtelen. Ha 100 ilyen alkatrész áll rendelkezésünkre, akkor mi a valószínűsége, hogy legalább óráig működőképes marad a berendezés? 0,9772 e ,3842 0, feladat Adott 80 darab független, azonos eloszlású valószínűségi változó, melyek várható értéke 10, szórása 4. Annak valószínűsége, hogy ezek átlaga nagyobb, mint 11: 0,9875 0,2236 0,0125 0,0257 coedu.sze.hu/print.php4?print_items= 6/7

7 7. feladat Egy érmét 1000-szer feldobva 452 fejet és 548 írást kapunk. A Bernoullitörvény alapján mi lehet annak valószínűsége, hogy az érme szabályos? legfeljebb0,1085 legalább0,1085 legalább0,8915 legfeljebb0,8915 coedu.sze.hu/print.php4?print_items= 7/7

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25 Valószínűségszámítás I. Kombinatorikus valószínűségszámítás. BKSS 4... Egy szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a -ost dobunk; 0. b legalább 5-öt dobunk; 0, c nem az -est dobjuk;

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre

Részletesebben

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz Gyakorló feladatok a. dolgozathoz. Tíz darab tízforintost feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége hogy vagy mindegyiken írást vagy mindegyiken fejet kapunk? 9. Egy kör alakú asztal mellett tízen ebédelnek:

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, // KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 22. lecke: A teljes valószínűség tétele és a Bayes-tétel Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Részletesebben

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, // KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 17. lecke: Kombinatorika (vegyes feladatok) Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 3.1.

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

Mérési hibák 2006.10.04. 1

Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

Valószínűségszámítás és statisztika

Valószínűségszámítás és statisztika Valószínűségszámítás és statisztika Programtervező informatikus szak esti képzés Varga László Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Matematikai Intézet Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 1. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert: x + 2y 3x + 4y = 2 sin t 2x + y + 2x y = cos t. (1 2. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet

Részletesebben

hogy a tételben megfogalmazott feltételek nemcsak elégséges, hanem egyben szükséges feltételei is a centrális határeloszlástételnek.

hogy a tételben megfogalmazott feltételek nemcsak elégséges, hanem egyben szükséges feltételei is a centrális határeloszlástételnek. A Valószínűségszámítás II. előadássorozat második témája. A CENTRÁLIS HATÁRELOSZLÁSTÉTEL A valószínűségszámítás legfontosabb eredménye a centrális határeloszlástétel. Ez azt mondja ki, hogy független valószínűségi

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS. MSc. Órai Feladatok

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS. MSc. Órai Feladatok VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS MSc Órai Feladatok 1. Feladat (Diszkrét eloszlás) Ketten kosárlabdáznak. Az A játékos 0,4 a B játékos 0,3 valószínűséggel dob kosarat. A dobást A kezdi és felváltva dobnak egymás után.

Részletesebben

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 1. Tegyük fel, hogy A és B egymást kölcsönösen kizáró események, melyekre P{A} = 0.3 és P{B} = 0.. Mi a valószínűsége, hogy (a A vagy B bekövetkezik;

Részletesebben

Valószínűség számítás

Valószínűség számítás Valószínűség számítás 1. Mennyi annak a valószínűsége, hogy szabályos játékkockával páratlan számot dobunk? 2. Egy dobozban 7 piros és 13 zöld golyó van. Ha találomra kihúzunk egyet közülük, akkor mekkora

Részletesebben

= 3 és az y = 1 egyenletű egyenesek metszéspontjának (M)

= 3 és az y = 1 egyenletű egyenesek metszéspontjának (M) Matematika PRÉ megoldókulcs 04. január 8. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Adja meg az x+ y = 3 és az y = egyenletű egyenesek metszéspontjának

Részletesebben

Oktatási azonosító Vizsga idıpontja Vizsga típusa Tantárgy Elért pontszám

Oktatási azonosító Vizsga idıpontja Vizsga típusa Tantárgy Elért pontszám 71358932434 71457472261 71605522862 71650660111 71660992975 71665377048 71679875605 71768484518 71768486497 71769281879 71833697122 71872475320 71943429914 71959440135 71959443861 2015-01-17 10:00 9. évfolyam

Részletesebben

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés Kutatásmódszertan és prezentációkészítés 10. rész: Az adatelemzés alapjai Szerző: Kmetty Zoltán Lektor: Fokasz Nikosz Tizedik rész Az adatelemzés alapjai Tartalomjegyzék Bevezetés Leíró statisztikák I

Részletesebben

Feladatok: a huszadik vagy valamely későbbi dobásban jelenik meg. n 1 5. hatos dobás a 20. dobásban vagy azután jelenik meg egyenlő annak a

Feladatok: a huszadik vagy valamely későbbi dobásban jelenik meg. n 1 5. hatos dobás a 20. dobásban vagy azután jelenik meg egyenlő annak a Feladatok:. Dobjunk fel egy szabályos dobókockát egymás után egymástól függetlenül végtelen sokszor. Számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy a harmadik hatos dobás vagy a huszadik vagy valamely későbbi

Részletesebben

P (ξ < 490) = F ξ (490) = Φ( 490 m ) = 0.03 10

P (ξ < 490) = F ξ (490) = Φ( 490 m ) = 0.03 10 Valszám-megoldások. Feladat. Legyen P (A =, 3 és P (B =, 6... Kérdés. Mennyi P (A + B, P (AB, ill. P (A B, ha A és B függetlenek?... Megoldás. Ha A és B függetlenek, akkor A és B, valamint B és A, valamint

Részletesebben

STATISZTIKA. András hármas. Éva ötös. Nóri négyes. 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 ANNA BÉLA CILI 0,5 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM.

STATISZTIKA. András hármas. Éva ötös. Nóri négyes. 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 ANNA BÉLA CILI 0,5 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM. STATISZTIKA 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM. ANNA BÉLA CILI András hármas. Béla Az átlag 3,5! kettes. Éva ötös. Nóri négyes. 1 mérés: dolgokhoz valamely szabály alapján szám rendelése

Részletesebben

H0 hipotézis: μ1 = μ2 = μ3 = μ (a különböző talpú cipők eladási ára megegyezik)

H0 hipotézis: μ1 = μ2 = μ3 = μ (a különböző talpú cipők eladási ára megegyezik) 5.4: 3 különböző talpat hasonlítunk egymáshoz Varianciaanalízis. hipotézis: μ1 = μ2 = μ3 = μ (a különböző talpú cipők eladási ára megegyezik) hipotézis: Létezik olyan μi, amely nem egyenlő a többivel (Van

Részletesebben

Statisztika 3. Dr Gősi Zsuzsanna Egyetemi adjunktus Koncentráció mérése Koncentráció általában a jelenségek tömörülését, összpontosulását értjük. Koncentráció meglétéről gyorsan tájékozódhatunk, ha sokaságot

Részletesebben

Biomatematika 8. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 8. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 8. Valószínűség-számítás II. Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date:

Részletesebben

Q1 = 1575 eft Me = 2027,7778 eft Q3 = 2526,3158 eft

Q1 = 1575 eft Me = 2027,7778 eft Q3 = 2526,3158 eft Gyak1: b) Mo = 1857,143 eft A kocsma tipikus (leggyakoribb) havi bevétele 1.857.143 Ft. c) Q1 = 1575 eft Me = 2027,7778 eft Q3 = 2526,3158 eft Gyak2: b) X átlag = 35 Mo = 33,33 σ = 11,2909 A = 0,16 Az

Részletesebben

Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (2012. 10. 01.-02.) Várható érték, szórás, módusz

Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (2012. 10. 01.-02.) Várható érték, szórás, módusz Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (0. 0. 0.-0.) Várható érték, szórás, módusz. A k 0, (k,,, 4) diszkrét eloszlásnak (itt P(X k)) mennyi a (a) várható értéke, (b) módusza, (c) második momentuma, (d) szórása?

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai változók Adatok megtekintése

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai változók Adatok megtekintése Matematikai alapok és valószínőségszámítás Statisztikai változók Adatok megtekintése Statisztikai változók A statisztikai elemzések során a vizsgálati, vagy megfigyelési egységeket különbözı jellemzık

Részletesebben

(6/1) Valószínűségszámítás

(6/1) Valószínűségszámítás (6/1) Valószínűségszámítás 1) Mekkora annak a valószínűsége, hogy szabályos játékkockával páratlan számot dobunk? 2) Egy dobozban 7 piros és 13 zöld golyó van. Ha találomra kihúzunk egyet közülük, akkor

Részletesebben

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804) Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

Vállalatértékelés példák

Vállalatértékelés példák Vállalatértékelés példák Részvényértékelés reálopcióval Egy vállalat eszközeinek várható értéke jelenleg 1000 mft. Ennek a relatív szóródása 40%. Rövid lejáratú hitel összege 10 mft, kamata 10%, lejárata

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Statisztika

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Statisztika MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Statisztika A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Wiener-folyamatok legfontosabb tulajdonságai. Poisson-folyamatok.

Wiener-folyamatok legfontosabb tulajdonságai. Poisson-folyamatok. Wiener-folyamatok legfontosabb tulajdonságai. Poisson-folyamatok. Láttuk, hogy a Wiener-folyamat teljesíti az úgynevezett funkcionális centrális határeloszlástételt. Ez az eredmény durván szólva azt fejezi

Részletesebben

TERÜLETMÉRÉS ALKALMI EGYSÉGGEL Mennyit ér a kézfogásod?

TERÜLETMÉRÉS ALKALMI EGYSÉGGEL Mennyit ér a kézfogásod? MATEMATIKA B 2. ÉVFOLYAM EMBER A TERMÉSZETBEN 10. modul TERÜLETMÉRÉS ALKALMI EGYSÉGGEL Mennyit ér a kézfogásod? Készítette: Schmittinger Judit MATEMATIKA B 2. ÉVFOLYAM EMBER A TERMÉSZETBEN 10. modul: TERÜLETMÉRÉS

Részletesebben

Tehetséggondozás az általános iskola 4-6. osztályában Dr. Csóka Géza, Győr

Tehetséggondozás az általános iskola 4-6. osztályában Dr. Csóka Géza, Győr Dr. Csóka Géza: Tehetséggondozás az általános iskola 4-6. osztályában Tehetséggondozás az általános iskola 4-6. osztályában Dr. Csóka Géza, Győr Kilencedik éve vezetek győri és Győr környéki gyerekeknek

Részletesebben

Magatartás Szorgalom Olvasás írás 1.oszt. Matematika 1.oszt. Környezetismeret 1.osztály 2. oszt. első félév

Magatartás Szorgalom Olvasás írás 1.oszt. Matematika 1.oszt. Környezetismeret 1.osztály 2. oszt. első félév Magatartás Kiegyensúlyozottan változó hangulattal nyugtalanul fegyelmezetlenül viselkedsz az iskolában. Az iskolai szabályokat betartod nem mindig tartod be gyakran megszeged. Olvasás írás 1.oszt. Szóbeli

Részletesebben

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot! Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Deiniálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!. Csoportosítsa a négyszögeket az oldalak párhuzamossága, és egyenlősége alapján! 3. Határozza meg a

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2011. május 3. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

TANM PED 108/a, illetve PEDM 130/1 Kutatásmódszertan és PEDM 135/c1 Kutatásmódszertan, TANM PED 108/a1 Oktatásstatisztikai elemzések

TANM PED 108/a, illetve PEDM 130/1 Kutatásmódszertan és PEDM 135/c1 Kutatásmódszertan, TANM PED 108/a1 Oktatásstatisztikai elemzések Eötvös Loránd Tudományegyetem Pedagógiai és Pszichológiai Kar Neveléstudományi Intézet 1075 Budapest, Kazinczy u. 2 27. Tel.: 461 4552, fax.: 461 452 E mail: nevelestudomany@ppk.elte.hu A kurzus címe:

Részletesebben

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 15. Nemparaméteres próbák Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date: November

Részletesebben

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. május 6. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2014. május 6. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA

Részletesebben

Mintafeladatsor Matematikaverseny ált. iskola 7-8.osztályosainak Bajza József Gimnázium és Szakközépiskola, Hatvan

Mintafeladatsor Matematikaverseny ált. iskola 7-8.osztályosainak Bajza József Gimnázium és Szakközépiskola, Hatvan Mintafeladatsor Matematikaverseny ált. iskola 7-8.osztályosainak Bajza József Gimnázium és Szakközépiskola, Hatvan TOLLAL DOLGOZZ, SZÁMOLÓGÉPET NEM HASZNÁLHATSZ, A LAPRA SZÁMOLJ! 1. A következő ábrán egy

Részletesebben

A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése. A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma

A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése. A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma 2013 A probléma fontossága és hatása a hétköznapi életre A prímszámok

Részletesebben

Statisztika I. 2. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 2. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 2. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztikai sorok Meghatározott szempontok szerint kiválasztott két vagy több logikailag összetartozó statisztikai adat, statisztikai sort képez. általában

Részletesebben

A KREDITALAPÚ MODULÁRIS RENDSZEREK, MINT A CURRICULUMFEJLESZTÉS ÚJ MINŐSÉGE

A KREDITALAPÚ MODULÁRIS RENDSZEREK, MINT A CURRICULUMFEJLESZTÉS ÚJ MINŐSÉGE A KREDITALAPÚ MODULÁRIS RENDSZEREK, MINT A CURRICULUMFEJLESZTÉS ÚJ MINŐSÉGE III. Felsőoktatási Kreditfórum Dunaújváros 2004 jún. 3-4. Dr. Kadocsa László főiskolai tanár MODUL, MODULRENDSZER - Harvard Egyetem

Részletesebben

GCF 1.1 Gas Consumption Forecast

GCF 1.1 Gas Consumption Forecast GCF 1.1 Gas Consumption Forecast A szabadpiaci gáz-kereskedelem alapja a forrás- és a fogyasztói oldali menetrendek tervezése, operatív levezénylése és elszámolása. Az energia kereskedelem a jövõre vonatkozik,

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2008. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2008. május 6. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

Gyakorló feladatok A sztochasztika alapjai kurzushoz

Gyakorló feladatok A sztochasztika alapjai kurzushoz Gyakorló feladatok A sztochasztika alapjai kurzushoz 1. Kombinatorikus valószín ség 1.1. Egy vendégl egyik asztalánál 9 vendég ül, és mindenki rendel egy italt, összesen 3 sört, 4 vörös és 2 fehér bort.

Részletesebben

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA 1 SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 37 x 3 = 111 A tanmenet 101 óra beosztását tartalmazza. A dolgozatok írása és javítása 10 órát foglal

Részletesebben

KUTATÁSI JELENTÉS. CommOnline 2008. topline jelentés 2008.05.20

KUTATÁSI JELENTÉS. CommOnline 2008. topline jelentés 2008.05.20 KUTATÁSI JELENTÉS CommOnline 2008. topline jelentés 2008.05.20 Tartalomjegyzék 1. Vezetői összefoglaló 3 2. Kutatás leírása 5 A kutatás háttere 5 A kutatás módszertana 5 A topline jelentés szerkezete,

Részletesebben

Statisztika érettségi vizsgára készülőknek

Statisztika érettségi vizsgára készülőknek Statisztika érettségi vizsgára készülőknek 1. Egy csoport matematika röpdolgozatainak eredményét táblázatba foglaltuk: Érdemjegy jeles (5) jó (4) közepes (3) elégséges (2) elégtelen (1) Gyakoriság 2 4

Részletesebben

GEOMATECH TANULMÁNYI VERSENYEK 2015. MÁRCIUS

GEOMATECH TANULMÁNYI VERSENYEK 2015. MÁRCIUS GEOMATECH TANULMÁNYI VERSENYEK 2015. MÁRCIUS 1-2. osztály Aranka, Béla, Cili, Dénes elhatározták, hogy az osztály farsangi összejövetelén többféle táncot mutatnak be. Amint az alábbi ábrákon is látható

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz

Részletesebben

Nemzetközi perspektívából a statisztika oktatásáról

Nemzetközi perspektívából a statisztika oktatásáról Nemzetközi perspektívából a statisztika oktatásáról statisztikai jártasság és oktatás problémák és kihívások Dr. Kovács Péter Szegedi Tudományegyetem Gazdaságtudományi Kar pepe@eco.u-szeged.hu Tartalom

Részletesebben

Az Informatika Elméleti Alapjai

Az Informatika Elméleti Alapjai Az Informatika Elméleti Alapjai dr. Kutor László Az üzenet információ-tartalma és redundanciája Tömörítő algoritmusok elemzése http://mobil.nik.bmf.hu/tantárgyak/iea.html Felhasználónév: iea Jelszó: IEA07

Részletesebben

Tómács Tibor. Matematikai statisztika gyakorlatok

Tómács Tibor. Matematikai statisztika gyakorlatok Tómács Tibor Matematikai statisztika gyakorlatok Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Matematikai statisztika gyakorlatok Eger, 2012 Szerző: Dr. Tómács Tibor főiskolai

Részletesebben

A gyakorló feladatok számozása a bevezetı órát követı órán, azaz a második órán indul. Gyakorló feladatok megoldásai 1

A gyakorló feladatok számozása a bevezetı órát követı órán, azaz a második órán indul. Gyakorló feladatok megoldásai 1 A gyakorló feladatok számozása a bevezetı órát követı órán, azaz a második órán indul. Gyakorló feladatok megoldásai 1 1. A populációt a számunkra érdekes egységek (személyek, csalások, iskolák stb.) alkotják,

Részletesebben

Árvainé Libor Ildikó Lángné Juhász Szilvia Szabados Anikó. Második félév. Tizenegyedik, javított kiadás Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Árvainé Libor Ildikó Lángné Juhász Szilvia Szabados Anikó. Második félév. Tizenegyedik, javított kiadás Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Árvainé Libor Ildikó Lángné Juhász Szilvia Szabados Anikó Második félév Tizenegyedik, javított kiadás Mozaik Kiadó Szeged, 0 SZORZÁS ÉS OSZTÁS -VEL Mesélj a képrõl! Hány kerékpár és kerék van a képen?

Részletesebben

Sztochasztikus modellek feladatok

Sztochasztikus modellek feladatok Sztochasztikus modellek feladatok 1. Valószínűségi változók és vektorváltozók; feltételes eloszlás és feltételes várható érték Diszkrét és folytonos valószínűségi változók, feltételes eloszlás 1. Feldobunk

Részletesebben

Kamatos kamat I. Írta: dr. Majoros Mária

Kamatos kamat I. Írta: dr. Majoros Mária Írta: dr. Majoros Mária Időről időre felvetődik a kérdés, hogy olyan feladatokat mutassunk a gyerekeknek, amelyek lehetővé teszik, hogy az általános matematikai fogalmakat össze tudjuk kapcsolni olyan

Részletesebben

13. előadás. Matlab 7. (Statisztika, regresszió, mérési adatok feldolgozása) Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor. Széchenyi István Egyetem

13. előadás. Matlab 7. (Statisztika, regresszió, mérési adatok feldolgozása) Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor. Széchenyi István Egyetem 13. előadás Matlab 7. (Statisztika, regresszió, mérési adatok feldolgozása) Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 2013 2014 1 Tartalom Statisztikai alapfogalmak Populáció, hisztogram, átlag, medián, szórás,

Részletesebben

KVANTITATÍV MÓDSZEREK

KVANTITATÍV MÓDSZEREK Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar Üzleti Tudományok Intézet KVANTITATÍV MÓDSZEREK Példatár megoldásokkal Dr. Kövesi János Dr. Tóth Zsuzsanna Eszter Budapest

Részletesebben

Segítség az outputok értelmezéséhez

Segítség az outputok értelmezéséhez Tanulni: 10.1-10.3, 10.5, 11.10. Hf: A honlapra feltett falco_exp.zip-ben lévő exploratív elemzések áttanulmányozása, érdekességek, észrevételek kigyűjtése. Segítség az outputok értelmezéséhez Leiro: Leíró

Részletesebben

A Széchenyi Egyetem gépészmérnöki szakán az Automobil Produktion szakirányon folyó duális képzés pilot projektjének tapasztalatai

A Széchenyi Egyetem gépészmérnöki szakán az Automobil Produktion szakirányon folyó duális képzés pilot projektjének tapasztalatai A Széchenyi Egyetem gépészmérnöki szakán az Automobil Produktion szakirányon folyó duális képzés pilot projektjének tapasztalatai DUÁLIS KÉPZÉS A MŰSZAKI FELSŐOKTATÁSBAN szakmai fórum Dr. Jósvai János

Részletesebben

2013.11.25. H=0 H=1. Legyen m pozitív egészre {a 1, a 2,, a m } különböző üzenetek halmaza. Ha az a i üzenetet k i -szer fordul elő az adásban,

2013.11.25. H=0 H=1. Legyen m pozitív egészre {a 1, a 2,, a m } különböző üzenetek halmaza. Ha az a i üzenetet k i -szer fordul elő az adásban, Legyen m pozitív egészre {a 1, a 2,, a m } különböző üzenetek halmaza. Ha az a i üzenetet k i -szer fordul elő az adásban, akkor a i (gyakorisága) = k i a i relatív gyakorisága: A jel információtartalma:

Részletesebben

KIOSKSYSTEMS Érmés Internet-terminál vezérlőpanel bekötési és telepítési útmutató Kiosk vezérlőpanel bekötési és telepítési útmutató

KIOSKSYSTEMS Érmés Internet-terminál vezérlőpanel bekötési és telepítési útmutató Kiosk vezérlőpanel bekötési és telepítési útmutató Kiosk vezérlőpanel bekötési és telepítési útmutató Figyelem: A beszerelő kitt-re csak korlátozott jótállás vonatkozik! Az egyes alkatrészeket letesztelve szállítjuk, a vezérlőpanel meghibásodására csak

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

Kilencedikes kompetencia alapú bemeneti mérés matematikából 2008 őszén

Kilencedikes kompetencia alapú bemeneti mérés matematikából 2008 őszén Kilencedikes kompetencia alapú bemeneti mérés matematikából 2008 őszén Póta Mária 2009. 0 1 i e π 1 A matematikai eszköztudás kompetencia alapú mérése Méréssorozat első fázisa, melynek a hozzáadott értéket

Részletesebben

Véletlenszerűség. Véletlenszerűség. Tartalom. Megjegyzés

Véletlenszerűség. Véletlenszerűség. Tartalom. Megjegyzés Tartalom A matematika és a valóság viszonya. A véletlenszerűség és a legfontosabb hozzá kapcsolódó fogalmak magyarázata, a véletlenszerűség néhány alapvető tulajdonsága és törvényszerűsége. A véletlen

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 061 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

Óravázlat Matematika. 1. osztály

Óravázlat Matematika. 1. osztály Óravázlat Matematika 1. osztály Készítette: Dr. Jandóné Bapka Katalin Az óra anyaga: Számok kapcsolatai, számpárok válogatása kapcsolataik szerint Osztály: 1. osztály Készség-és képességfejlesztés: - Megfigyelőképesség

Részletesebben

Tananyag: Számfogalom erősítése a 100-as számkörben. Játékpénzzel számolunk.

Tananyag: Számfogalom erősítése a 100-as számkörben. Játékpénzzel számolunk. Óravázlat 2. osztályos matematika Tananyag: Számfogalom erősítése a 100-as számkörben. Játékpénzzel számolunk. Oktatási cél: Pénzhasználat, pénzváltás. Játék a játékpénzzel párokban. Megismerési képességek

Részletesebben

FOLYAMATSZABÁLYOZÁS a Wescast Hungary-nél

FOLYAMATSZABÁLYOZÁS a Wescast Hungary-nél FOLYAMATSZABÁLYOZÁS a Wescast Hungary-nél Dózsa Zoltán folyamat fejlesztési szakértő 2006. November 23 (EOQ-MNB Hat Szigma Szakbizottság ülésére) Tartalom Bemutatkozás Személyes Cég Termék A Wescast termelő

Részletesebben

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika Bevezetés 1. előadás, 2015. február 11. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Áringadozások előadás Heti 2 óra előadás + 2 óra

Részletesebben

Új módszertan a kerékpározás mérésében

Új módszertan a kerékpározás mérésében Új módszertan a kerékpározás mérésében Megváltoztattuk reprezentatív kutatásunk módszertanát, mely 21 márciusa óta méri rendszeresen a magyarországi kerékpárhasználati szokásokat. Ezáltal kiszűrhetővé

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. február 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? ( pont) 3 1 5 a a q 5 6 1 40 a a q Innen q Összesen:

Részletesebben

A társadalomkutatás módszerei I. Outline. A mintaválasztás A mintaválasztás célja. Notes. Notes. Notes. 13. hét. Daróczi Gergely. 2011. december 8.

A társadalomkutatás módszerei I. Outline. A mintaválasztás A mintaválasztás célja. Notes. Notes. Notes. 13. hét. Daróczi Gergely. 2011. december 8. A társadalomkutatás módszerei I. 13. hét Daróczi Gergely Budapesti Corvinus Egyetem 2011. december 8. Outline 1 célja 2 Alapfogalmak 3 Mintavételi eljárások 4 További fogalmak 5 Mintavételi hiba számítása

Részletesebben

BOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY KÖRZETI SZÓBELI FORDULÓ 2005. OKTÓBER 29. 5. osztály

BOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY KÖRZETI SZÓBELI FORDULÓ 2005. OKTÓBER 29. 5. osztály 5. osztály Józsi bácsi egy farkassal, egy kecskével és egy fej káposztával egy folyóhoz érkezik, amin át szeretne kelni. Csak egy olyan csónak áll rendelkezésére, amellyel a felsoroltak közül csak egyet

Részletesebben

Könnyebb-a a középszintű érettségi a régi házi érettségi vizsgánál? II.

Könnyebb-a a középszintű érettségi a régi házi érettségi vizsgánál? II. Könnyebb-a a középszintű érettségi a régi házi érettségi vizsgánál? II. Írta: dr. Majoros Mária Ebben a tanulmányban a jelenlegi érettségin kitűzött feladatokat olyan szempontból fogom összehasonlítani,

Részletesebben

Fizikai Szemle MAGYAR FIZIKAI FOLYÓIRAT

Fizikai Szemle MAGYAR FIZIKAI FOLYÓIRAT Fizikai Szemle MGYR FIZIKI FOLYÓIRT Mathematikai és Természettudományi Értesítõt az kadémia 1882-ben indította Mathematikai és Physikai Lapokat Eötvös Loránd 1891-ben alapította LXIII. évfolyam 2. szám

Részletesebben

A mérési bizonytalanság becslése a vizsgálólaboratóriumok gyakorlatában

A mérési bizonytalanság becslése a vizsgálólaboratóriumok gyakorlatában A mérési bizonytalanság becslése a vizsgálólaboratóriumok gyakorlatában Készítette: Szegény Zsigmond Mezőgazdasági Szakigazgatási Hivatal Élelmiszer- és Takarmánybiztonsági Igazgatóság Műszaki-technológiai

Részletesebben

MOODLE TESZTEK EREDMÉNYEINEK ELOSZLÁS VIZSGÁLATA

MOODLE TESZTEK EREDMÉNYEINEK ELOSZLÁS VIZSGÁLATA Czenky Márta MOODLE TESZTEK EREDMÉNYEINEK ELOSZLÁS VIZSGÁLATA ABSZTRAKT Saját oktatói gyakorlatunkban a Moodle rendszer használata az évek során kiszorította az elméleti ismeretek számonkérésében a papír

Részletesebben

3-4. osztályos kategória

3-4. osztályos kategória ISKOLA NEVE:. CSAPAT NEVE: TELEPÜLÉS:.. 3-4. osztályos kategória 1. feladat iskolai farsang Az iskolai farsangon négy osztály nyitott büfét. Össze akarják hasonlítani az áraikat, de nem árulják el egymásnak

Részletesebben

Telenor Tedd Oda Nap szervezési dokumentáció

Telenor Tedd Oda Nap szervezési dokumentáció Telenor Tedd Oda Nap szervezési dokumentáció Közösségért szervezett nap tippek a hatékony szervezéshez Előszó A Telenor felelős vállalatként fontosnak tartja, hogy a legkorszerűbb mobiltechnológiai szolgáltatások

Részletesebben

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája A kanonikus sokaság A mikrokanonikus sokaság esetén megtanultuk, hogy a megengedett mikroállapotok egyenértéküek, és a mikróállapotok száma minimális. A mikrókanónikus sokaság azonban nem a leghasznosabb

Részletesebben

TÁMOP-4.2.2/B-10/1-2010-0002 Tantárgyi program (rövidített)

TÁMOP-4.2.2/B-10/1-2010-0002 Tantárgyi program (rövidített) TÁMOP-4.2.2/B-10/1-2010-0002 Tantárgyi program (rövidített) Szakkollégiumi műhely megnevezése: Meghirdetés féléve: Tantárgy/kurzus megnevezése: BGF GKZ Szakkollégiuma 2011/2012. tanév II. félév SZAKKOLLÉGIUM

Részletesebben

A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok.

A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok. ZÁRÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK egyetemi szintű közgazdasági programozó matematikus szakon A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok. 2. Függvények, függvények folytonossága.

Részletesebben

A százalékarányok pontossága

A százalékarányok pontossága 21. fejezet A százalékarányok pontossága Az ilyesfajta problémák megoldásánál az a fő dolog, hogy képesek legyünk visszafelé okoskodni. Igen hasznos képesség ez, és nagyon is könnyű, csak az emberek nemigen

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

A BELSÕ MODELL ÉS AZ EXTRÉM ÉRTÉKEK

A BELSÕ MODELL ÉS AZ EXTRÉM ÉRTÉKEK 2002. ELSÕ ÉVFOLYAM 2. SZÁM 83 SOCZÓ CSABA A BELSÕ MODELL ÉS AZ EXTRÉM ÉRTÉKEK Számos jelentõs nyugati vállalat (Barings, Metallgesellshaft, Daiwa Bank) [6], [14] keserû tapasztalata mutatja, hogy a pénzügyi

Részletesebben

Az Excel táblázatkezelő program használata a matematika és a statisztika tantárgyak oktatásában

Az Excel táblázatkezelő program használata a matematika és a statisztika tantárgyak oktatásában Az Excel táblázatkezelő program használata a matematika és a statisztika tantárgyak oktatásában Hódiné Szél Margit SZTE MGK 1 A XXI. században az informatika rohamos terjedése miatt elengedhetetlen, hogy

Részletesebben

SKF energiatakarékos csapágyak

SKF energiatakarékos csapágyak SKF energiatakarékos csapágyak mert a nagy csapágysúrlódás energiaveszteséggel jár Energiahatékonysági megoldások Bemutatjuk egy új generáció számára készült új csapágyainkat Az energiatakarékos SKF csapágyak

Részletesebben

Varianciaanalízis 4/24/12

Varianciaanalízis 4/24/12 1. Feladat Egy póker kártya keverő gép a kártyákat random módon választja ki. A vizsgálatban 1600 választott kártya színei az alábbi gyakorisággal fordultak elő. Vizsgáljuk meg, hogy a kártyák kiválasztása

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0511 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben