Tananyag: KissBéla-KrebszAnna:Lineárisalgebra,többváltozósfüggvények,valószínűségszámítás,4.18.,

Átírás

1 // KURZUS: Matematika II. MODUL:Valószínűség-számítás 30. lecke: A nagy számok törvényei Tananyag: KissBéla-KrebszAnna:Lineárisalgebra,többváltozósfüggvények,valószínűségszámítás,4.18., fejezet Elméleti összefoglaló A nagy számok törvényének Csebisev-féle alakja Haaξ1,ξ2,,ξn azonosvárhatóérétkűésszórásúfüggetlen valószínűségiváltozókm(ξi )=m várhatóértékkelésd(ξi)=σ szórással(i=1,2,,n),akkorp( ξ1+ξ2+ +ξnn m ε ) σ2ε2 n.tetszőlegesε>0 pozitívszám esetén. AnagyszámoktörvényénekCsebisev-félealakjafüggetlen,azonosvárhatóértékűésszórású valószínűségiváltozókszámtaniközepénekaközösvárhatóértéktőlvalóeltéréséreadbecslést. A nagy számok Bernoulli-féle törvénye Han függetlenkísérletetvégzünkegyp=p(a)valószínűségűa eseménymegfigyeléséreésa kísérleteksoránaza eseménykn-szerkövetkezetbe,akkorp( knn p ε) p (1 p)ε2 n, tetszőlegesε>0 pozitívszám esetén. AnagyszámokBernouli-féletörvényétáltalábanP( knn p <ε)=1 P( knn p ε) 1 p ( 1 p)ε2 n formábanannakbecslésérehasználjuk,hogyarelatívgyakoriságmilyen valószínűséggelközelítimegazadota eseményp valószínűségét. Mivelp (1 p) 14,ezértaBernouli-féletörvénybőlaP( knn p ε) 14 ε2 n egyenlőtlenségteljesüléseiskövetkezik,amiismeretlenp eseténisalkalmazhatóp( knn p <ε)=1 P( knn p ε) 1 14 ε2 n becsléstteszlehetővé. Központi (centrális) határeloszlás tétel Haaξ1,ξ2,,ξn,.azonoseloszlásúésvégesszórásúfüggetlenvalószínűségiváltozókegy sorozata,m(ξi)=m,ésd(ξi)=σ (i=1,2,.),akkora0várhatóértékűés1szórásúηn=ξ1+ ξ2+.+ξn n m n σ,(n=1,2,.)valószínűségiváltozóksorozataaszimptotikusanstandard normáliseloszlású,azazlim n P(ηn<x)=Φ(x),aholΦ(x)astandardnormáliseloszlás eloszlásfüggvényétjelöli. Kidolgozott feladatok coedu.sze.hu/print.php4?print_items= 1/7

2 30.1. Adjunkbecsléstara,hogylegalábbhányszorkelegyszabályosdobókockátfeldobnunk ahhoz,hogyannakvalószínűsége,hogyadobotszámokátlagalegalább0,1-deleltéravárható értéktől,0,05-nélkisebblegyen? Megoldás: Legyenξiazi-edikdobotszámotjelentővalószínűségiváltozó. Ekkorξivárhatóértéke:M(ξi)= =3,5, ξi2 várhatóértéke:m(ξi2)= =916, ξiszórásnégyzete:d2(ξi)=m(ξi2) M 2(ξi) 2,9167 AnagyszámoktörvényénekCsebisev-félealakjátalkalmazva: P( ξ1+ξ2+.+ξnn m ε) σ2ε2 n Mostm=3,5,σ2 2,9167 ésε=0,1. Behelyetesítve:P( ξ1+ξ2+.+ξnn 3,5 0,1) 2,91670,01 n Afeladatbanszereplőfeltételteljesül,ha2,91670,01 n 0,05, ebbőlaztkapjuk,hogyn 5833,4. Tehátabecslésünkszerintlegalább5834-szerkelfeldobniakockátahhoz,hogyafeladatban kiszabotakteljesüljenek Valamelytermékbenaselejtekarányátszeretnénkmegálapítani.Ehhez12000mérést végeztekés358selejtettaláltak.adjunkbecsléstannakvalószínűségére,hogyakapotrelatív gyakoriság0,005-nélkevesebbeltérelaténylegesértéktől,vagyisannakvalószínűségétől,hogy egyvéletlenszerűenválasztottermékselejtes! Megoldás: Amérésekszáma:n=12000,aselejtekszámak=358,ebbőlarelatívgyakoriság:kn =0,02983.Reményeinkszerintaselejtvalószínűségeezenértéktőlnem téreltúlságosan.mivelaz ap valószínűségnem ismert,ezértanagyszámokbernouli-féletörvényénekalábbialakjátkel használnunk:p( kn p <ε) 1 14 ε2 n. Jelenesetbenε=0,005. Behelyetesítveaztkapjuk,hogy1 14 ε2 n=1 14 0, =16 Vagyiscsupánaztálíthatjuk,hogyakapotrelatívgyakoriságérték16-nálnagyobb valószínűséggel0,005-nélkevesebbeltérelazismeretlenp valószínűségtől.nyilváneznem túl meggyőzőérték,tehátavizsgáltmintaelemszámánaknövelésérevanszükség Adjunkbecsléstara,hogylegalábbhányszorkelegyszabályosdobókockátfeldobniahhoz, hogya4-esekrelatívgyakoriságalegalább0,9valószínűséggel0,02-nálkevesebbeltérel16-tól! Megoldás: AlkalmazzukanagyszámokBernouli-féletörvényét!P( kn p <ε) 1 14 ε2 n Afeladatbanp=16 ésε=0,02. Hateljesül,hogy1 p (1 p)ε2 n 0,9,akkorakívántfeltételnekiselegettetünk. 1 p (1 p)ε2 n 0,9,vagyis ,0004 n 0,9,ebbőln 3472,2. Tehátbecslésünkszerintlegalább3473-szorkelfeldobniakockát Egytömegtermelésbenkészülőterméketvizsgálunk,hatalmasmennyiségál rendelkezésünkre.becsüljükmeg,hogylegalábbhányeleműmintátkelvenniahhoz,hogyahibás termékekarányát95%-osbiztonsággal,0,05-nálkisebbeltérésselmegtudjukadni! Megoldás: Mivelnem ismertaz,hogyegytermékmekkoravalószínűséggelhibás,ezértabernouli- coedu.sze.hu/print.php4?print_items= 2/7

3 féletörvényalábbialakjátkelhasználnunk:p( kn p <ε) 1 14 ε2 n. Mostε=0,05 és1 14 ε2 n 0,95 teljesülésétkelvizsgálni. Behelyetesítve:1 14 0,0025 n 0,95,ebbőln Tehátlegalább2000eleműmintátkelvenni Népszavazásonegybizonyoskérdéseldöntéséhez50%+1beleegyezőszavazatravan szükség.aszavazatokfeldolgozásánakegykoraiszakaszábanazttapasztaljuk,hogy szavazóközül180000szavazotigennelafeltetkérdésre.mekkoraannakvalószínűsége,hogya népszavazásonazigenszavazatokszerezzenektöbbséget? Megoldás: Jelenálásszerintabeleegyezőszavazatokrelatívgyakorisága =0,45. Ahhoz,hogyazigeneklegyenektöbbségbenp>0,5 szükséges,tehátbernoulitételébenε>0,05 kel. Atételszerint:P( kn p ε) 14 ε2 n. ε=0,05 ésn= eseténahelyetesítésiérték: 14 ε2 n=14 0, =0,00025.(0,05-nálnagyobbε eseténennélmégkisebbértéket kapunk) Tehátbecslésünkszerintazigenszavazatoktöbbségének0,00025avalószínűsége(0,025% - "gyakorlatilagnula") Egyfűrészüzemben2cm vastagdeszkákatkészítenek,atapasztalatszerint2mm szórással. Raktározáskor100dbdeszkakerülközvetlenülegymásra.Milyenmagastárolóhelyiségrevan szükségahhoz,hogyadeszkák90%-osvalószínűséggelelférjenekbenne? Megoldás: Azegyesdeszkákvastagságaegymástólfüggetlen,azonoseloszlásúvalószínűségi változónaktekinthető(ugyanotkészültek),m(ξ)=20mm várhatóértékkel,ésd(ξ)=2mm szórással.aközpontihatáreloszlástételszerintfüggetlen,azonoseloszlásúvalószínűségiváltozók összegénekstandardizáltjaközelítőlegstandardnormáliseloszlású,azaz P(ξ1+ξ2+.+ξn n M(ξ)n D(ξ)<x) Φ(x),aholΦ(x)astandardnormáliseloszlás eloszlásfüggvényétjelöli. Akérdéstulajdonképpenaz,hogymiazazérték,aminélavalószínűségiváltozókösszege90% valószínűséggelkisebb,vagyismilyenx eseténleszφ(x)=0,9. Táblázatbólkikeresveadódik,hogyx=1,28. Aztkapjuktehát,hogyP(ξ1+ξ2+.+ξn n M(ξ)n D(ξ)<1,28) 0,9. Behelyetesítveaszövegbenszereplőértékeket:P(ξ1+ξ2+.+ξ <1,28)=P( ξ1+ξ2+.+ξ100<25,6+2000)=p(ξ1+ξ2+.+ξ100<2025,6) 0,9 Tehátadeszkahalom magassága(adeszkákvastagságánakösszege)0,9valószínűséggel202,56 cm-nélkisebb,vagyislegalábbilyenmagastárolóhelyiségrevanszükség Egy100személyessétahajókapitányahosszúidőalatazttapasztalja,hogyajeggyel rendelkezőknekmindössze90%-ajelenikmegabeszálásnál.ezenfelbuzdulvaegyalkalommal 110jegyetadel.Miavalószínűsége,hogyleszolyanutas,akinem férfelahajóra? Megoldás: Feltételezhetjük,hogyazutasokegymástólfüggetlenüldöntenekaról,hogyutaznak coedu.sze.hu/print.php4?print_items= 3/7

4 vagysem.átlagosan90%-ukdöntazutazásmelet,tehátannakvalószínűsége,hogyegybizonyos utasmegjelenikabeszálásnálp=0,9. Mindenegyesjeggyelrendelkezőutashozrendeljünkegyvalószínűségiváltozót:ξi:{1,haaziedikutasutazik0,hanem Azeloszlása:ξi:{100,90,1 Azinduláskormegjelentekszámaaξi-kösszegelesz.Halegalább101utasjelenikmeg beszálásnál,akkorvalakinekbiztosannem juthely.tehátakérdésannakvalószínűsége,hogyaξi -kösszegenagyobb100-nál. P(ξ1+.+ξ )=1 P(ξ1+.+ξ<110101) AP(ξ1+.+ξ<110101)valószínűségmeghatározásáhozhasználjukfelaközpontihatáreloszlás tételt. M(ξi)=0,9,D(ξi)=0,9 0,9 0,9=0,3 P(ξ1+.+ξ<110101)=P(ξ1+.+ξ ,9110 0,3< ,9110 0,3)=P(ξ1 +.+ξ ,1464<0,6356) Φ(0,6356),aholΦ astandardnormáliseloszlás eloszlásfüggvényétjelöli.táblázatbólφ(0,6356) 0,7375. Tehátkb.73,75% annakavalószínűsége,hogyvalakinem férfelahajóra Micimackómézetakartlopniaméhektől,derajtavesztet:minda200méhecskeegyszere támadtrá.tudjuk,hogymindenegyesméh0,4valószínűséggelcsípimegatolvajt.mia valószínűsége,hogymicimackó50csípésnélkevesebbelmegússzaakalandot? Megoldás: Másirányútanulmányainkból(biológia,élővilág,környezetismeret,stb.)tudjuk,hogy egyméhecskecsakegyszertudcsípni.ígymindenegyesméhecskéhezrendelhetünkegy valószínűségiváltozót: ξi:{1,haazi-edikméhecskecsípet0,hanem Eloszlása:ξi:{100,40,6 Várhatóértéke:M(ξi)=0,4,szórása:D(ξi)=0,4 0,4 0,4 0,4898. Acsípésekszámátξivalószínűségiváltozókösszegekéntkapjuk.Akérdésannakvalószínűsége, hogyezazösszeg50-nélkevesebb-e.eztavalószínűségetismétaközpontihatáreloszlástétel segítségévelhatározhatjukmeg: P(ξ1+.+ξ<20050)=P(ξ1+.+ξ M(ξi)200 D(ξi)< M(ξi)200 D(ξi) )=P(ξ1+.+ξ ,9268< 4,331) Φ( 4,331)=1 Φ(4,331)=1 1=0 Megjegyzés:Φ(4,331)értékenem mindenholszerepelatáblázatban,demivelmárφ(3 )=0, ,ezértezazérték1-nekvehető. Tehát0annakvalószínűsége,hogyMicimackó50csípésnélkevesebbelmegússzaakalandot. Ellenőrző kérdések 1. feladat Egy szabályos pénzérmét 1000-szer feldobunk. A Bernoulli-féle törvénnyel becsülve mekkora lehet annak valószínűsége, hogy a fejek számának relatív gyakorisága legalább 0,05-dal eltér 1 2 -től? coedu.sze.hu/print.php4?print_items= 4/7

5 legfeljebb110 legalább110 pontosan110 legfeljebb0,05 2. feladat Egy ismeretlen valószínűségű esemény valószínűségét szeretnénk megbecsülni a relatív gyakorisággal. Adjunk becslést a Bernoulli-féle törvénnyel arra, hányszor kell végrehajtani az adott esemény megfigyelésére vonatkozó kísérletet, ha azt akarjuk, hogy a relatív gyakoriság legalább 0,95 valószínűséggel 0,1-nél kevesebbel térjen el a valószínűségtől? legalább950 legalább500 legalább1000 legalább feladat Egy játékban 0,5 valószínűséggel nyerünk, vagy 0,5 valószínűséggel veszítünk 100 Ft-ot. A nagy számok törvényének Csebisev-féle alakját felhasználva adjunk becslést arra, hogy hány játék után mondhatjuk el: a nyereményünk átlaga legalább 90%-os valószínűséggel 0,05-nál kevesebbel tér el a várható értéktől? legalább4 107 legalább5 106 legalább4 106 legalább feladat Egy alkalommal a 100 fős évfolyam számára kiírt "Valószínűség számítás coedu.sze.hu/print.php4?print_items= 5/7

6 és matematikai statisztika" című előadást egy 90 fő befogadására alkalmas terembe tették. A hallgatók egymástól függetlenül 0,8 valószínűséggel mennek el az órára. Mi lehet annak a valószínűsége, hogy minden megjelent befér? 0,8888 0,7365 0,001 0, feladat Valamely típusú alkatrész élettartama exponenciális valószínűségi változó 200 óra várható értékkel. Ha az alkatrész meghibásodik, akkor azonnal cserélik, időveszteség nélkül. Tudjuk, hogy az alkatrész hiányában a teljes berendezés működésképtelen. Ha 100 ilyen alkatrész áll rendelkezésünkre, akkor mi a valószínűsége, hogy legalább óráig működőképes marad a berendezés? 0,9772 e ,3842 0, feladat Adott 80 darab független, azonos eloszlású valószínűségi változó, melyek várható értéke 10, szórása 4. Annak valószínűsége, hogy ezek átlaga nagyobb, mint 11: 0,9875 0,2236 0,0125 0,0257 coedu.sze.hu/print.php4?print_items= 6/7

7 7. feladat Egy érmét 1000-szer feldobva 452 fejet és 548 írást kapunk. A Bernoullitörvény alapján mi lehet annak valószínűsége, hogy az érme szabályos? legfeljebb0,1085 legalább0,1085 legalább0,8915 legfeljebb0,8915 coedu.sze.hu/print.php4?print_items= 7/7