Válogatott fejezetek a modern fizikából

Átírás

1 Válogatott fejezetek a modern fizikából Zajok pozitív szerepben Makra Péter SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék őszi félév Változat: 1.0 Legutóbbi frissítés: október 2. Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 1 / 88

2 Tartalom 1 Bevezetés 2 Zajok információforrásként Korrelációs analízis Orvosi jelanalízis Fluctuation-enhanced sensing 3 Zajok konstruktív szerepben Sztochasztikus rezonancia Jel-zaj viszony erősítés színes zajokra Dithering Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 2 / 88

3 Bevezetés A zajok, fluktuációk szerepe zaj: véletlen jel Mi a véletlenszerűség? Van-e igazi véletlen? látszólagos ingadozás az egyenletek nagy száma, a kezdeti föltételek ismeretlensége miatt? ( Laplace-démon) a természet sajátszerűsége? ( kvantummechanika, határozatlansági reláció) a természet alapvető tulajdonsága természettudományokban: mérés nincs zaj nélkül műszaki alkalmazások (elektronikus zaj) biológiai folyamatok (pl az egyes ioncsatornák nyitása-csukása zajként jelenik meg a membránáramban) orvosi jelekben időjárás, közlekedés társadalmi, gazdasági folyamatok, tőzsde hagyományos fölfogás: a mérési pontosságot csökkenti cél: a zaj kiküszöbölése, mérséklése Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 3 / 88

4 Bevezetés Zajok jótékony szerepben zajok információforrásként a rendszer belső fluktuációit elemezzük vízforralás motordiagnosztika: motorhang neutronfluxus-ingadozások mérése atomreaktorokban integrált áramkörök roncsolásmentes megbízhatósági tesztje szívritmus- és vérnyomásfluktuációk zajt mint gerjesztőjelet alkalmazzuk a rendszer vizsgálatában hangsebesség, járművek sebességének mérése korrelációs analízissel átviteli függvény mérése és szinte azonnali megjelenítése (nem kell a frekvenciát söpörtetni, hiszen a zajban minden frekvencia megvan) Lehet-e haszna a zaj növelésének? zajok konstruktív szerepben technikai alkalmazások dithering sztochasztikus rezonancia Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 4 / 88

5 Zajtípusok Bevezetés 1e Fehérzaj 1 Fehérzaj 1/f 1/f 2 1/f 1/f 2 S (V 2 /Hz) 0,1 0,01 0,001 0,0001 1e-005 1e-006 0,01 0, e+002 f (Hz) Teljesítménysűrűség-spektrum: S(f) 1/f κ Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 5 / 88

6 Sebességmérés Zajok információforrásként Korrelációs analízis Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 6 / 88

7 Zajok információforrásként Hangsebesség mérése Korrelációs analízis Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 7 / 88

8 Zajok információforrásként Orvosi jelanalízis Az emberi szervezet jelei véletlenszerű külső és belső hatások (testhelyzet megváltozása, mozgás, &c) a behatások eredménye: véletlenszerű jelek a mérhető jelek: EKG, vérnyomás, légzés, vér áramlási sebessége, idegaktivitás, &c információt hordoznak a szervezet működéséről determinisztikus és véletlenszerű komponensek is célunk: információszerzés ezen jelekből Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 8 / 88

9 Zajok információforrásként Orvosi jelanalízis Az EKG elve az elektrokardiogram (EKG) elve: a szívben végbemenő feszültségváltozások megjelennek a bőrfelületen is, így regisztrálhatók az elv fölfedezője: WILLEM EINTHOVEN a XX. század elején Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 9 / 88

10 Zajok információforrásként Orvosi jelanalízis Depolarizáció és repolarizáció az EKG-ben Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 10 / 88

11 Az EKG szakaszai Zajok információforrásként Orvosi jelanalízis Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 11 / 88

12 Zajok információforrásként Orvosi jelanalízis EKG-, vérnyomás- és légzésjel EKG (mv) 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0-0,2 RR -0,4 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 t (s) Vérnyomás (Hgmm) 140 SBP ,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 t (s) Kalibrálatlan légzésjel t (s) Vizsgálat: idő-/frekvenciatartományban Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 12 / 88

13 Az RR-intervallum Zajok információforrásként Orvosi jelanalízis a legfontosabb paraméter: RR-intervallum (két R-hullám közti távolság) a szívritmusról, annak ingadozásairól ad információt EKG (mv) 1,4 RR 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0-0,2-0,4 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 t (s) Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 13 / 88

14 Zajok információforrásként Orvosi jelanalízis Statisztikai analízis időtartományban Átlagos RR-intervallum: RR = 1 N 1 RR j. N j=0 (1) Az RR-intervallumok szórása (standard deviation of RR intervals): sdrr = RR 2 RR 2. (2) Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 14 / 88

15 Zajok információforrásként Orvosi jelanalízis Statisztikai analízis időtartományban Az egymást követő RR-intervallumok különbségének szórása (standard deviation of successive differences): sdsd = ( RR) 2 RR 2, (3) ahol RR j := RR j+1 RR j (0 j N 2). Az egymást követő RR-intervallumok különbségének effektív értéke (root mean square of successive differences): rmssd = ( RR) 2. (4) Azon RR-intervallumok százalékos aránya, amelyek hossza a szomszédos RR-intervallum hosszától több mint 50 ms-mal eltér: pnn50 := M 100%, (5) N 1 ahol M jelöli azon RR-intervallumok számát, amelyek a szomszédos RR-intervallumtól több mint 50 ms-mal eltérnek. Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 15 / 88

16 Zajok információforrásként Orvosi jelanalízis Frekvenciatartománybeli vizsgálatok statikus vizsgálat: Fourier-transzformáció időfüggő spektrális analízis időben csúsztatott ablakkal végzett Fourier-transzformáció: STFT (Short-time Fourier transformation) wavelet-analízis: az ablakfüggvény az úgynevezett wavelet, amelynek szélessége a frekvenciával skálázódik Wigner Ville-disztribúció Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 16 / 88

17 Wavelet-analízis Zajok információforrásként Orvosi jelanalízis az ablak szélessége a frekvenciától függ a vizsgált frekvenciára jobb időbeli felbontás s skálaparaméter jellemzi a frekvenciát; az ω körfrekvencia (ω 0 a fölbontást megszabó lapakörfrekvencia): ω = ω 0 /s az ablakozás alapja: anyawavelelet, pl Morlet-wavelet ψ (ϑ) = 1 4π (e iω0ϑ e ω2 0 /2) e ϑ2 /2 a t idővel elcsúsztatott, frekvenciafüggő módon skálázott ablakfüggvény (p egy nemnegatív szám, általánosan használt értéke 1/2): ( ) Ψ (s, t, ϑ) = s p ϑ t ψ s ezzel az ablakfüggvénnyel számolhatjuk a g(t) jel wavelet-transzformáltját: G (s, t) = Ψ (s, t, ϑ)g (ϑ) dϑ Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 17 / 88

18 Morlet-wavelet Zajok információforrásként Orvosi jelanalízis Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 18 / 88

19 Zajok információforrásként Orvosi jelanalízis Chirp-jel: időben egyenletesen növekvő frekvencia Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 19 / 88

20 Zajok információforrásként Orvosi jelanalízis Chirp-jel wavelet-transzformáltja Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 20 / 88

21 Zajok információforrásként Orvosi jelanalízis Véráramlásjel wavelet-transzformáltja Wavelet f [Hz] t [s] 600 Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 21 / 88

22 Zajok információforrásként Orvosi jelanalízis Véráramlásjel wavelet-transzformáltja t [s] f [Hz] Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 22 / 88 0

23 Zajok információforrásként Orvosi jelanalízis Problémák: nem egyenközű mintavételezés R-hullámok, szisztolés vérnyomáscsúcsok: nem egyenletes időközönként jönnek az információ jórészt az időköz ingadozásaiban van probléma: a spektrumszámoló algoritmusok többsége egyenletes időközöket igényel, lásd a diszkrét Fourier-transzformációt N 1 X n := x k e i 2π N nk (0 n N 1). k=0 megoldási lehetőségek: nem egyenközű mintákra adaptált Fourier-transzformáció (Lomb-periodogram) a minták egyenközűvé tétele újramintavételezéssel (lineáris vagy spline) Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 23 / 88

24 Artefaktum Zajok információforrásként Orvosi jelanalízis Amplitude t (s) 0.5 Power spectrum Amplitude Bin index Sample index Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 24 / 88

25 Lomb-periodogram Zajok információforrásként Orvosi jelanalízis a diszkrét Fourier-transzformációhoz nem szükségszerű az egyenletes mintavételezés, tetszőleges f frekvencián előállítható a rendelkezésre álló {t k } N 1 k=0 adatsorból: N 1 X(f) = x(t k )e i 2πft k k=0 probléma: nem invariáns az időeltolásokra Lomb-periodogram: időeltolásokkal szemben invariáns transzformációs formula P N(ω) := 1 2σ 2 [ 2 [ 2 j (x j µ) cos (ωt j ωτ)] j (x j µ) sin (ωt j ωτ)] + j cos2 (ωt j ωτ) j sin2 (ωt j ωτ), ahol σ a minta szórása és µ a minta átlaga, a τ paraméter értelmezése pedig: j tan(2ωτ) := sin(2ωt j) j cos(2ωt j) Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 25 / 88

26 Zajok információforrásként Orvosi jelanalízis Újramintavételezés választunk egy új, egyenletes időközt (jellemzően a digitalizálás időköze), és kiinterpoláljuk a jelet a köztes pontokban lineáris: kevésbé számításigényes, de szögletesebb spline: számításigényes, simább jelet eredményez, de nem kevésbé önkényes, mint a lineáris ellenérvek a mintavételezés ellen: pl RR-intervallumoknál új szívütést illesztünk be mesterségesen ellenérvek az ellenérvek ellen: a spektrális analízisnél elszakadunk az RR-intervallumok eredeti jelentésétől ha megtartanánk, az újramintavételezés teljesen egyenletes szívütéseket jelentene nincs információ az idegi szabályzás föltérképezésére használjuk: RR-nyúlás erősebb paraszimpatikus gátlás, RR-rövidülés gyengébb paraszimpatikus gátlás interpolált pont: az idegi szabályzás erőssége egy köztes pontban Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 26 / 88

27 Zajok információforrásként Orvosi jelanalízis Az EKG-paraméterek diagnosztikai haszna Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 27 / 88

28 A baroreflex Zajok információforrásként Orvosi jelanalízis a vérnyomás közel állandó szinten tartására rövidtávú szabályzás: artériás baroreflex nyomásérzékelők (baroreceptorok) az artériákban az artériák falának nyúlását érzékelik növekvő nyomás magasabb aktivitás erősödő paraszimpatikus gátlás a szívre csökkenő szívfrekvencia csökkenő nyomás alacsonyabb aktivitás gyengülő paraszimpatikus gátlás a szívre növekvő szívfrekvencia hosszútávú szabályzás: kardiopulmonális baroreflex baroreceptorok az alacsony nyomású rendszerben vérkeringési rendszer teltségi állapota hormonális hatások vese vízvisszaszívása vértérfogat vérnyomás Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 28 / 88

29 Zajok információforrásként Orvosi jelanalízis A szívritmus és vérnyomás összefüggése Baroreflexérzékenység RR (ms) SBP (Hgmm) Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 29 / 88

30 Zajok információforrásként Orvosi jelanalízis A légzés hatása a szívritmusra Vezényelt légzés 6/perc ütemmel A légzés a keringést erősen perturbáló hatás a légzés monitorozása alapkövetelmény a vizsgálatokban Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 30 / 88

31 Poincaré-grafikonok Zajok információforrásként Orvosi jelanalízis Az RR-intervallumokat az őket közvetlenül megelőző RR-intervallum függvényében ábrázoló grafikonok RR i+1 (ms) RR i (ms) Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 31 / 88

32 Zajok információforrásként Orvosi jelanalízis A dohányzás hatása a keringési szabályzásra RR i+1 (ms) RR i+1 (ms) RR i (ms) RR i (ms) RR i+1 (ms) RR i+1 (ms) RR i (ms) RR i (ms) Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 32 / 88

33 Zajok információforrásként Fluctuation-enhanced sensing Fluktuáció alapú érzékelők gázszenzorok zaja: információforrás Egyetlen szenzor elég lehet különböző gázokhoz? Egyszerre? a fluktuációk függenek: a szenzor anyagától a hőmérséklettől a gáz típusától a gáz koncentrációjától mintavételezéses mérés számok digitális jelföldolgozás Fluctuation-enhanced sensing (FES) Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 33 / 88

34 Alapötlet Zajok információforrásként Fluctuation-enhanced sensing a különböző abszorpciós centrumok hozzájárulnak a zajhoz Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 34 / 88

35 EC FP6 SANES csip Zajok információforrásként Fluctuation-enhanced sensing az Oului Egyetemen készült Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 35 / 88

36 Zajok információforrásként Fluctuation-enhanced sensing A szenzorcsip vezetékezése, fűtése Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából o szi félév 36 / 88

37 Zajok információforrásként Az érzékelők jelének analízise Fluctuation-enhanced sensing egyszerű statisztikai elemzés átlag szórás valószínűségi eloszlás komplex analízis spektrális analízis (FFT) mintázatfölismerés, pl principal component analysis, PCA Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 37 / 88

38 Zajok információforrásként Zajpektrumok, mintázatok Fluctuation-enhanced sensing S(f) [V 2 /Hz ] 1E-11 1E-12 1E-13 1E-14 1E ppm CO H 2 O H 2 S N 2 O Frequency [Hz] PC , CO N 2 O 50 ppm H 2 S , PC1 H 2 O Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 38 / 88

39 Zajok konstruktív szerepben Zajok jótékony szerepben Sztochasztikus rezonancia zajok információforrásként vízforralás motordiagnosztika: motorhang neutronfluxus-ingadozások mérése atomreaktorokban integrált áramkörök roncsolásmentes megbízhatósági tesztje szívritmus- és vérnyomásfluktuációk Lehet-e haszna a zaj növelésének? zajok konstruktív szerepben technikai alkalmazások dithering sztochasztikus rezonancia Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 39 / 88

40 Zajok konstruktív szerepben Sztochasztikus rezonancia Sztochasztikus rezonancia Jelátvitel-optimalizálás zaj segítségével Jel Zaj + Jel-zaj viszony Nemlineáris rendszer 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Zajintenzitás Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 40 / 88

41 Zajok konstruktív szerepben Sztochasztikus rezonancia Sztochasztikus rezonanciát mutató rendszerek jégkorszakok váltakozása két stabil állapottal rendelkező lézer (gyűrűlézer) gyenge mágneses terek érzékelésére szolgáló eszköz: SQUID (Superconducting Quantum Interference Device) biológiai rendszerek (idegsejtek, érzékelés, pl hallás) általában: küszöbszinttel rendelkező rendszerek: monostabil, bistabil, multistabil zajos rendszerek Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 41 / 88

42 A jel-zaj viszony Zajok konstruktív szerepben Sztochasztikus rezonancia jel/zaj teljesítményhányados keskenysávú: az alapharmonikusnál szélessávú: a teljes spektrumban S ( f ) S jel S ( f ) S jel, 3 S jel, 1 S jel, 2 S zaj f S zaj f Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 42 / 88

43 A jel-zaj viszony Zajok konstruktív szerepben Sztochasztikus rezonancia Keskenysávú: Szélessávú: R := lim f 0 f 0 + f f 0 f S zaj (f 0 ) S jel (f)df R w := P jel P zaj = lim kf 0 + f k=1 f 0 kf 0 f 0 S zaj (f)df S jel (f)df Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 43 / 88

44 Zajok konstruktív szerepben Sztochasztikus rezonancia A kétféle definíció sávszűrőn átengedett jelnél Amplitúdó (V) ,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 t (s) Amplitúdó (V) ,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 t (s) S (V 2 /Hz) 0,1 0,01 1E-3 1E-4 1E-5 R 0 = 4410 R w, 0 = 0,503 S (V 2 /Hz) 0,1 0,01 1E-3 1E-4 1E-5 R 1 = 4560 R w, 1 = 407 1E-6 1E f (Hz) f (Hz) Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 44 / 88

45 Éghajlatváltozások Zajok konstruktív szerepben Sztochasztikus rezonancia BENZI, R SUTERA, A VULPIANI, A: The mechanism of stochastic resonance. Journal of Physics A, vol 14 (1981) L453 L457. p. kovamoszat-üledékekben található oxigénizotópok aránya jégkorszakok kb éves periódussal ismétlődnek Föld-pálya excentricitásának ingadozásában föllelhető periodicitás modell (T a globális átlaghőmérséklet): C dt dt = µ (t) P [1 α (T)] σt4, (6) ahol C a Föld hőkapacitása, µ (t) egy a Föld-pálya excentricitását jellemző paraméter, P a Föld felszínét érő napsugárzás átlagos sugárzási teljesítménye, α (T) az átlagos albedó, σ pedig a Föld infravörös sugárzás útján történő hűlését jellemző átlagos renormált Stefan Boltzmann-állandó. az excentricitás 10 5 év periódusidővel változik: ( µ (t) = 1 + A cos (Ωt) Ω := 2π 10 5 év ). (7) Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 45 / 88

46 Éghajlatváltozások Zajok konstruktív szerepben Sztochasztikus rezonancia az (6) egyenlet átírható egy φ (T) potenciál terében mozgó részecske T koordinátával leírt túlcsillapított mozgásának egyenletével analóg formába: dt dt = φ, φ (T) := T T 0 1 ( µ (t) P [1 α (ϑ)] + σϑ 4 ) dϑ. (8) C stabil egyensúlyi állapotok: φ (T) minimumhelyei (T 1 : jégkorszak., T 2 : jégmentes korszak) becslések: µ (t), azaz az excentricitás ingadozása nem elegendő az átmenethez ξ (t): a légköri és az óceáni áramlások fluktuációinak és a véletlenszerű albedóváltozások együttes hatása; fehérzaj az új modell: dt dt = φ + ξ (t), ξ (t) = 0, ξ (t) ξ (t + τ) = 2Dδ (τ), (9) T Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 46 / 88

47 Zajok konstruktív szerepben Sztochasztikus rezonancia A kettős potenciálvölgy V(x) x V -x m Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 47 / 88 x m

48 Általánosított modell Zajok konstruktív szerepben Sztochasztikus rezonancia részecske mozgása erős, sebességfüggő közegellenállás mellett egy negyedfokú V(x) potenciáltérben, ahol V(x) := a 2 x2 + b 4 x4. az m tömegű részecskére periodikus gerjesztés és egy ξ(t) fehérzaj hat, a mozgásegyenlet: mẍ = γẋ x V(x) + A 0 cos(ωt) + ξ(t). egyszerűsítés: stacionáriusnak tekintett mozgás (ẍ = 0), skálatranszformációkkal dimenziótlanná tétel a modell alapegyenlete: ẋ = x x 3 + A 0 cos(ωt) + ξ(t). analóg megoldásoknál a megfelelő integrálegyenlet: x(t) = t 0 ( x x 3 + A 0 cos(ωϑ) + ξ(ϑ) ) dϑ Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 48 / 88

49 Zajok konstruktív szerepben Sztochasztikus rezonancia Megoldások lineáris válasz -elmélet: amikor a zaj mellett a periodikus gerjesztés kis perturbációnak tekinthető, és a rendszer válasza lineárisként közelíthető; a statisztikus fizika módszereivel kétállapotú közelítés: csak azt az információt tartjuk meg, hogy a részecske melyik potenciálvölgyben tartózkodik; a dinamika a +x m és a x m állapotok közötti átmenetek leírására egyszerűsödik modellezés: numerikus szimuláció analóg modellezés Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 49 / 88

50 Zajok konstruktív szerepben A kétállapotú közelítés Sztochasztikus rezonancia ha n ± (t) annak a valószínűsége, hogy a t időpillanatban a részecske a ±x m állapotban tartózkodik, és W (t) a ±x m x m átmenet időegységre vonatkoztatott valószínűsége, az alapegyenlet ṅ ± (t) = W (t)n ± + W ± (t)n ennek megoldása asszimptotikus határesetben (a tranziensek elmúltával): E as [x(t)] := lim E[x(t) x 0, t 0 ] = z(d) cos [Ωt φ(d)], t0 ahol D a zaj effektív értéke és z(d) := A 0x 2 m D 2r K, 4r 2K + Ω2 ( ) Ω φ(d) := arctg 2r K és r K az ún. Kramers-ráta, amely periodikus gerjesztés nélküli esetben leírja a potenciálvölgyek közti átmenetek gyakoriságát: r K = 1 2 π e V D. Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 50 / 88

51 Zajok konstruktív szerepben Sztochasztikus rezonancia A jel-zaj viszony kétállapotú közelítésben 7 R (Hz) ,2 0,4 0,6 0,8 1 D R(D) = π ( ) 2 A0 x m r K = 1 D 2 ( A0 x m D ) 2 e V D Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 51 / 88

52 Kimeneti jelalakok Zajok konstruktív szerepben Sztochasztikus rezonancia 1,5 1,0 1,5 1,0 1,5 1,0 0,5 0,5 0,5 0,0 0,0 0,0-0,5-0,5-0,5-1,0-1, t (s) -1,0-1, t (s) -1,0-1, t (s) Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 52 / 88

53 Zajok konstruktív szerepben Sztochasztikus rezonancia Cochlea-implantátumok Cochlea-beültetés: a külső mikrofon jelét a jelföldolgozó egység elektromos impulzusokká alakítja, amelyeket a csigában (cochlea) elhelyezett elektródák továbbítanak Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 53 / 88

54 Zajok konstruktív szerepben Sztochasztikus rezonancia Cochlea-implantátumok normális esetben a csigában (cochlea) található szőrsejtek a hang hatására mozgásba jönnek, és elektromos impulzusokat adnak le, ezt érzékelik az idegsejtek a szőrsejtek hiánya vagy károsodása esetén: beültetés, elektromosan ingerli a hallóideget a külső mikrofon jelének kódolása: sokféle FFT-vel, beszédhangokra jellemző komponensek azonosításával, &c a beteg továbbra is nehezen hallja a beszédet zajos szobában, vagy a zenét megoldás: zajt keverni a kódolt elektromos jelhez egészséges emberben a szőrsejtek véletlenszerű mozgása, illetve az ingerületátvivők fölszabadulásának véletlenszerűsége része a természetes kódolásnak, a mesterséges zaj ezt pótolja 1 1 lásd MONITA CHATTERJEE MARK E ROBERT, Journal of the Association for Research in Otolaryngology 2 (2001), illetve itt Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 54 / 88

55 Zajok konstruktív szerepben Sztochasztikus rezonancia Hogyan vadászik a kanalas tokhal? D F RUSSELL &al, Nature 402 (1999) Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 55 / 88

56 Zajok konstruktív szerepben Sztochasztikus rezonancia A tokhal hatáskeresztmetszete D F RUSSELL &al, Nature 402 (1999) Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 56 / 88

57 Zajok konstruktív szerepben Sztochasztikus rezonancia Baroreflexes sztochasztikus rezonancia emberben HIDAKA &al, Physical Review Letters 85 (2000) Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 57 / 88

58 Zajok konstruktív szerepben Sztochasztikus rezonancia Baroreflexes sztochasztikus rezonancia emberben HIDAKA &al, Physical Review Letters 85 (2000) Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 58 / 88

59 Zajok konstruktív szerepben Jel-zaj viszony erősítés Sztochasztikus rezonancia BEMENET ERÕSÍTÉS R ki > R be? Jel-zaj viszony KIMENET 0 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Zajintenzitás szűrők: működésük lényege a nagy jel-zaj viszony erősítés sztochasztikus rezonancia: a zajszint növelése a zajos bemenő jelhez képest is javítja a kimenő jelet jelentősége biológiai rendszerekben lehet, másutt a szűrők jobban teljesítenek Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 59 / 88

60 Zajok konstruktív szerepben Sztochasztikus rezonancia A periodikus bemenőjel és spektruma A bemenőjel T 0,3 0,25 A S (V 2 /Hz) 0,2 0,15 0,1 0, f (Hz) Kitöltési tényező: θ = 2τ T 100% Jelentőség: a technikai alkalmazásokban, idegi jelenségekben előforduló jelek impulzusszerűek Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 60 / 88

61 Zajok konstruktív szerepben Sztochasztikus rezonancia Eredmények: az amplitúdó szerepe Jel-zaj viszony R Keskenysávú Jelamplitúdó KI, 70% KI, 80% KI, 90% BE, 70% BE, 80% BE, 90% R w 100,0 10,0 1,0 Szélessávú Jelamplitúdó KI, 70% KI, 80% KI, 90% BE, 70% BE, 80% BE, 90% 10 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Küszöbbel normált zajszórás Jelamplitúdó 100,00 70% 80% 90% 10,00 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Küszöbbel normált zajszórás Jelamplitúdó 100,00 70% 80% 90% 10,00 Erõsítés G 1,00 0,10 G w 1,00 0,10 0,01 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Küszöbbel normált zajszórás 0,01 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Küszöbbel normált zajszórás Növekvő amplitúdók (erősödő nemlinearitás) növekvő erősítés. Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 61 / 88

62 Zajok konstruktív szerepben Sztochasztikus rezonancia Eredmények: a kitöltési tényező szerepe Jel-zaj viszony erõsítés G 100,00 10,00 1,00 0,10 Keskenysávú Kitöltési tényezõ 10% 20% 30% 0,01 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Küszöbbel normált zajszórás G w 100,00 10,00 1,00 0,10 Szélessávú Kitöltési tényezõ 10% 20% 30% 0,01 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Küszöbbel normált zajszórás Keskeny impulzusok növekvő erősítés. Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 62 / 88

63 Zajok konstruktív szerepben Sztochasztikus rezonancia Miért a kis kitöltési tényező jó? Jel-zaj viszony BEMENET Kitöltési tényezõ KIMENET 0 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Küszöbbel normált zajszórás 10% 20% 30% Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 63 / 88

64 Zajok konstruktív szerepben Sztochasztikus rezonancia Összehasonlítás: Schmitt-trigger kettős potenciálvölgy: dinamikai rendszer véges válaszidő egyfajta szűrés a kimeneten ez-e a jeljavítás oka? eldöntés: összehasonlítás egy nemdinamikai rendszerrel, a Schmitt-triggerrel (hiszterézises komparátor) Módszer: numerikus szimuláció Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 64 / 88

65 Zajok konstruktív szerepben Schmitt-trigger: eredmények Sztochasztikus rezonancia 100,0 10,0 Keskenysávú Jelamplitúdó 70% 80% 90% 100,0 10,0 Szélessávú Jelamplitúdó 70% 80% 90% Jel-zaj viszony erõsítés G 1,0 100,0 10,0 Zajszórás G w 0,1 0,1 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 Kitöltési tényezõ 10% 20% 30% 1,0 100,0 10,0 Zajszórás Kitöltési tényezõ 10% 20% 30% G G w 1,0 1,0 0,1 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 Zajszórás 0,1 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 Zajszórás Hasonló a kettős potenciálvölgyhöz nem a dinamika a döntő Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 65 / 88

66 Zajok konstruktív szerepben Színes zajú gerjesztések Jel-zaj viszony erősítés színes zajokra a legtöbb vizsgálat: fehérzajjal ok: egyszerűbb elméleti kezelés a színes zajok jelentősége: igen elterjedtek valós rendszerekben a sztochasztikus rezonanciában legtöbbször lerontják a jel-zaj viszony értékét az optimalizáció lehetősége: egy neuronmodellben kisebb zajintenzitás elegendő a maximum eléréséhez (Nozaki &al, 1998) a színes zajok hatása a jel-zaj viszony erősítésre? Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 66 / 88

67 Zajok konstruktív szerepben Jel-zaj viszony erősítés színes zajokra A vizsgált modellek és paraméterek Szintmetszésdetektor Schmitt-trigger Jel-zaj viszony erõsítés G max Zajszórás max Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 67 / 88

68 Zajok konstruktív szerepben Jel-zaj viszony erősítés színes zajokra Eredmények: a színes zajok hatása 25 G w = 0 = 0,2 = 0,4 = 0,6 = 0,8 = ,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 A szélessávú jel-zaj viszony erősítés különböző, 1/f κ spektrális összefüggéssel jellemezhető színes zajokra Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 68 / 88

69 Zajok konstruktív szerepben Eredmények: maximumhely Jel-zaj viszony erősítés színes zajokra Maximumhely ( max ) 0,50 Keskenysávú Szélessávú 0,45 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 Szintmetszésdetektor 1/f Maximumhely ( max ) 1,6 Keskenysávú Szélessávú 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 Schmitt-trigger 0,15 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 Spektrális kitevõ ( ) 0,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 Spektrális kitevõ ( ) Nincs optimalizáció Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 69 / 88

70 Zajok konstruktív szerepben Eredmények: maximumérték Jel-zaj viszony erősítés színes zajokra Maximumérték (G max ) Szintmetszésdetektor 140 Keskenysávú 120 Szélessávú ,0 0,5 1,0 1,5 2,0 Spektrális kitevõ ( ) 1/f Maximumérték (G max ) Schmitt-trigger Keskenysávú Szélessávú 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 Spektrális kitevõ ( ) A keskenysávú jel-zaj viszony erősítést a színes zajok optimalizálják Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 70 / 88

71 Zajok konstruktív szerepben Jel-zaj viszony erősítés színes zajokra A keskenysávú jel-zaj viszony erősítés a bemeneti zaj spektrumának alakja: S zaj, be (f) = C(σ,κ) f, ahol σ a zajszórás κ Parseval-tétel: az összteljesítmény (integrált amplitúdónégyzet) ugyanannyi időtartományban, mint frekvenciatartományban f max f 1 max σ 2 = S zaj, be (f) df C(σ, κ) = σ 2 1 f df = σ 2 1 κ (0 κ < 1) κ fmax 1 κ 0 így a zaj teljesítménysűrűség-spektruma a bemeneten: S zaj, be (f) = σ 2 1 κ fmax 1 κ (0 κ < 1) f κ ebből megkaphatjuk a bemeneti jel-zaj viszonyt: R be (κ, σ) = lim f 0 f 0+ f f 0 f S jel, be (f) df S zaj, be (f 0 ) 0 fmax 1 κ f0 κ = P(A, f 0 ) σ 2 (1 κ) ahol P(A, f 0 ) a bemenőjel teljesítménye az alapfrekvencia közvetlen környezetében (0 κ < 1), Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 71 / 88

72 Zajok konstruktív szerepben Jel-zaj viszony erősítés színes zajokra A keskenysávú jel-zaj viszony erősítés 2 R be ( )/P(A, f 0 ) 4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0 BEMENET 1/f Maximumukkal normált értékek 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 BE- ÉS KIMENET R be, elméleti R ki, szimulációból G 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Spektrális kitevõ ( ) 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Spektrális kitevõ ( ) R be (κ, σ) = P(A, f 0 ) f 1 κ max f κ 0 σ 2 (1 κ) (0 κ < 1) κ ext = ln f 0 fmax Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 72 / 88

73 Zajok konstruktív szerepben How to be a Hamlet Dithering Becoming a Hamlet is very easy indeed, but before we enrol you as a Prince of Denmark and allow you to enter the FREE Spot the Hamlet competition, you will need to follow the simple questions below in order to test your suitability for induction into the thrusting world of high quality dithering. It s very simple to do. Just read the questions below and decide which action you would take. At the end simply add up your score and compare it to the reports written by our especially trained Hamletologians. 1: You think your father is murdered, your Uncle did it and he has married your mother six weeks after your father s funeral. Do you: A B C Run your uncle through with a sabre at the first opportunity? Seek legal advice on the correct procedure to bring about a warrant for his arrest? Do nothing except glower and talk a lot? Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 73 / 88

74 Zajok konstruktív szerepben Dithering Dithering jelentése: remegés, reszketés; habozás II. világháború bombázógépein mechanikus számítógépek a levegőben pontosabban számoltak, mint a földön???? a rázkódás folyamatosabbá tette az üzemüket, csökkentette az elakadás valószínűségét a földi számítógépekbe is rázógépeket építettek azóta így neveznek minden technikai eljárást, ahol a zaj hozzáadása a folyamatot optimalizálja Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 74 / 88

75 Zajok konstruktív szerepben Dithering Eredet: a mechanikus számítógép A Norden célzókészülék egy mechanikus számítógép, amelyet a II. világháborútól a vietnami háborúig használtak amerikai bombázógépeken Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 75 / 88

76 Zajok konstruktív szerepben Dithering Dithering a digitalizálásban tegyük föl, hogy analóg-digitális átalakításkor a kvantumnagyság közelébe eső állandó értéket mérünk ilyenkor a relatív hiba nagy; a jel egy digitalizálási kvantumon belüli változásait nem tudjuk mérni megoldás: keverjünk zajt a jelhez ilyenkor a szomszédos kvantumokba is eshet a zajjal kevert jel; a digitalizált értékek átlaga a valódi értékhez közelít zaj hozzáadásával a kvantumnagyságnál finomabb fölbontás érhető el Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 76 / 88

77 Zajok konstruktív szerepben Dithering Dithering a digitalizálásban A zajjal digitalizált értékek átlaga Mérendõ érték Gyakoriság Mérendõ érték + zaj A digitalizálás hibája dithering nélkül Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 77 / 88

78 Zajok konstruktív szerepben Dithering Dithering a harmonikus torzítás csökkentésére az analóg-digitális átalakító amplitúdókvantumai nem pontosan egyformák harmonikus jelek: a hibás kvantum mindig a jel azonos fázisára esik fölharmonikusok megjelenése (harmonikus torzítás) megoldás: keverjünk zajt a jelhez ekkor a jel adott szakasza nem mindig a hibás kvantumba esik, hanem véletlenszerűen más kvantumokba is a fölharmonikusok elnyomása zaj hozzáadásával az analóg-digitális átalakítók linearitása javítható Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 78 / 88

79 Zajok konstruktív szerepben Dithering Dithering a harmonikus torzítás csökkentésére a b Z(x) Z(sin(t)) ,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 x -60 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 t (s) A harmonikus torzítás az amplitúdókvantumok hibája: a folytonos x mennyiség más-más értékeinél (különösen a 0,7 érték körül) más-más azon tartomány szélessége, amelyen belül minden x értéknek ugyanaz a Z egész szám felel meg ennek torzító hatása egy szinuszjel digitalizálása során Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 79 / 88

80 Zajok konstruktív szerepben Dithering Dithering a harmonikus torzítás csökkentésére S(f) [1/Hz] a b c S(f) [1/Hz] f (Hz) f (Hz) f (Hz) S(f) [1/Hz] A dithering alkalmazása a harmonikus torzítás csökkentésére a hibásan digitalizált szinuszjel spektruma a spektrum 49 Hz sávszélességű, 2 egység szórású sávhatárolt zaj hozzáadása esetén a spektrum 49 Hz sávszélességű, 8 egység szórású sávhatárolt zaj hozzáadása esetén Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 80 / 88

81 Zajok konstruktív szerepben Dithering AD6644 analóg-digitális átalakító Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 81 / 88

82 Zajok konstruktív szerepben Dithering Lézerimpulzusok precíz szinkronizálása jitterzajjal impulzusüzemű lézerek: precíz időzítés szükséges a lézerimpulzus változó késleltetéssel indul az indítójel megérkezése után lassú kúszás (drift) lövésről-lövésre ingadozás (jitter) feladat: a késleltetés állandó értéken tartása megoldás: programozható késleltetés beiktatása a rendszerben jelen lévő zaj segít a szinkronizálás javításában Target delay Trigger pulse Reference delay LASER delay Programmable delay Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 82 / 88

83 Zajok konstruktív szerepben Dithering Lézerimpulzusok precíz szinkronizálása jitterzajjal Trigger pulse Delay difference Target delay (Edge-positioned) Target delay (Mid-positioned) 6 ns 6 ns 6 ns Actual delay (programmable delay + laser delay) Reference delay Laser signal Store Interrupt Possible states Laser pulse Code Too early 0 Early 1 Good 3 Late 7 Too late 15 Did not arrive 2 Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 83 / 88

84 Zajok konstruktív szerepben Dithering Lézerimpulzusok precíz szinkronizálása jitterzajjal A detektálás pontossága az időablak szélessége alá mehet Quality factor [1/ns] σ [ns] A szinkronizálás pontossága a jitterzaj függvényében Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 84 / 88

85 Zajok konstruktív szerepben Dithering a betűsimításban Dithering Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 85 / 88

86 Zajok konstruktív szerepben Dithering Dithering a képföldolgozásban SIMONOTTO &al, Physical Review Letters 78 (1997) Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 86 / 88

87 Zajok konstruktív szerepben Dithering Dithering a képföldolgozásban Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából o szi félév 87 / 88

88 Zajok konstruktív szerepben Dithering Dithering a képföldolgozásban Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 87 / 88

89 Zajok konstruktív szerepben Dithering Dithering a képföldolgozásban Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 87 / 88

90 Zajok konstruktív szerepben Dithering Dithering a képföldolgozásban Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Válogatott fejezetek a modern fizikából őszi félév 88 / 88