Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben

Átírás

1 Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben Zajjelenségek modellezése Makra Péter SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék őszi félév Változat: 0.1 Legutóbbi frissítés: október 14. Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben őszi félév 1 / 39

2 Tartalom 1 Bevezetés 2 Analóg modellezés Műveletek A kettős potenciálvölgy modellezése 3 Zajok előállítása analóg módszerekkel 4 Numerikus szimulációk Zajok generálása 5 Monte Carlo-módszerek Brown-mozgás modellezése Kétdimenziós Ising-modell Félvezető minták impedanciaspektroszkópiája 6 Differenciálegyenletek numerikus megoldása Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben őszi félév 2 / 39

3 Bevezetés Miért modellezünk? az analitikus megoldás megkeresése gyakran nagy nehézségekbe ütközik, különösen színes zajoknál az elméleti eredmények ellenőrzésére analóg modellezésnél valós zajforrásokkal dolgozhatunk Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben őszi félév 3 / 39

4 Analóg modellezés Analóg modellezés Előnyök valós zajforrásokkal dolgozhatunk időben folytonosak a jelek és a megoldás (ellentétben a digitális modellezés diszkrét lépésközével) nincsenek konvergenciaproblémák Hátrányok korlátozott pontosságú alkatrészek meghatározott feszültségtartományon kell dolgozni az áramköri elemek válaszideje is korlátozott Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben őszi félév 4 / 39

5 Analóg modellezés Műveletek Alapegység: műveleti erősítő + egyenes bemenet: U + fordító bemenet: U kimenet: U ki Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben őszi félév 5 / 39

6 Analóg modellezés Műveletek A műveleti erősítő tulajdonságai Ideális U ki = A U + U A: nyílthurkú erősítés, A a bemenőellenállás végtelen a bemenőáramok értéke 0 Reális az erősítés frekvenciafüggő A értéke tipikusan között mv nagyságrendű offszetfeszültség MΩ nagyságrendű bemenőellenállás na nagyságrendű bemenőáram hőmérsékletfüggés Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben őszi félév 6 / 39

7 Analóg modellezés Műveletek Negatív visszacsatolás U ki = A U + U U + U = U ki A A U + U 0 a visszacsatolás eltüntetni igyekszik a bemenetek közti különbséget ha az egyenes bemenetet földre kötjük, a fordító bemenet virtuális földpont ez a kapcsolások értelmezésénél nagyon hasznos Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben őszi félév 7 / 39

8 Analóg modellezés Műveletek Összeadás U ki = U 1 + U 2 Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben őszi félév 8 / 39

9 Analóg modellezés Műveletek Kivonás U ki = R 4 R 3 +R 4 R 1 +R 2 R 1 U 2 R 2 R 1 U 1 ha R 1 = R 2 = R 3 = R 4 : U ki = U 2 U 1 Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben őszi félév 9 / 39

10 Analóg modellezés Műveletek Szorzás kontanssal Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben őszi félév 10 / 39

11 Analóg modellezés Műveletek Differenciálás és integrálás Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben őszi félév 11 / 39

12 Analóg modellezés Műveletek Exponenciális függvény U be U U ki = I 0 R 2 e T I 0 : a dióda telítési árama U T := kt e Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben őszi félév 12 / 39

13 Analóg modellezés Műveletek Logaritmusfüggvény U ki = U T ln Ube I 0 R 1 Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben őszi félév 13 / 39

14 Analóg modellezés Műveletek Egyéb műveletek szorzás, hatványozás, gyökvonás: exponenciális vagy logaritmusfüggvények segítségével összadás-kivonásra visszavezetve céláramkörökkel egyéb függvények (pl szinusz) Taylor-sorba fejtve közelítjük céláramkörökkel Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben őszi félév 14 / 39

15 Analóg modellezés Műveletek Differenciálegyenletek megoldása analóg számítógéppel új változók bevezetése hogy beleférjen a feszültségtartományba alakítsuk integrálegyenletté könnyebben megoldható az analóg tartományban gyakorlati korlátok: frekvenciatartomány (műveleti erősítők) pontosság stabilitás feszültségtartomány (telítés, zaj) Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben őszi félév 15 / 39

16 Analóg modellezés Műveletek Példák Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben őszi félév 16 / 39

17 Analóg modellezés A kettős potenciálvölgy modellezése A kettős potenciálvölgy V(x) = a 2 x2 + b 4 x4 V(x) ẋ(t) = x(t) x 3 (t) + p(t) + w(t) p(t) : periodikus jel; w(t) : fehérzaj x V -xm xm x(t) = t x(ϑ) x 3 (ϑ) + p(ϑ) + w(ϑ) dϑ 0 Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben őszi félév 17 / 39

18 Analóg modellezés A kettős potenciálvölgy modellezése A kettős potenciálvölgy analóg modellezése Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben őszi félév 18 / 39

19 Zajok előállítása analóg módszerekkel Fehérzaj hűtött vagy fűtött ellenállás termikus zaja Z-dióda feszültség alatt feszültség alatt lévő tranzisztor emitter-bázis csatornája nem az elméleti fehérzaj: mindig van fölső határfrekvencia Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben őszi félév 19 / 39

20 Zajok előállítása analóg módszerekkel Lorentzi zaj fehérzaj szűrésével törésponti frekvencia: f = 1 2πRC korrelációs idő: τ = RC Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben őszi félév 20 / 39

21 Zajok előállítása analóg módszerekkel 1/f 2 -zaj (Brown-mozgás) fehérzaj integrálásával a divergencia elkerülésére szűrés alacsony frekvencián Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben őszi félév 21 / 39

22 Zajok előállítása analóg módszerekkel 1/f-zaj egyes tranzisztorok ilyen spektrumú zajt adnak erősítés lorentzi zajok súlyozott összege speciális szűrőelrendezések korlátozott frekvenciatartományban alsó és fölső határfrekvencia Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben őszi félév 22 / 39

23 Zajok előállítása analóg módszerekkel 1/f-zaj szűréssel Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben őszi félév 23 / 39

24 Numerikus szimulációk Numerikus modellezés Előnyök digitális földolgozhatóság tetszőleges pontosság (a sebesség rovására) csak a szoftvert kell megvalósítani kiterjedt, kipróbált függvénykönyvtárak analóg modellezéssel ötvözhető Hátrányok mesterséges rendszerek érzékeny a lépésközre, divergens lehet Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben őszi félév 24 / 39

25 Numerikus szimulációk Zajok generálása Véletlenszámok generálása valójában determinisztikus (pszeudovéletlen) reprodukálható (a magszám seed lerögzítésével) csak elméletileg megalapozott, tesztelt eljárásban szabad megbízni ne használjunk beépített generátort magasabb helyiértékű bitek véletlenszerűbbek lebegőpontos aritmetika nem ajánlott Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben őszi félév 25 / 39

26 Numerikus szimulációk Zajok generálása Egyenletes véletlenszám generálása Lineáris kongruencia x n+1 = ax n + c mod m a maximális ciklushossz (m) csak akkor elérhető, ha a és m relatív prímek a 1 osztható m minden prímosztójával a 1 egész számú többszöröse a 4-nek, ha m egész számú többszöröse a 4-nek jó értékek: a = , m = 2 32 a = 69069, m = 2 32 a = , m = 2 32 rossz: a = 65539, m = 2 31 Additív módszer x n = x n 24 + x n 55 mod m Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben őszi félév 26 / 39

27 Numerikus szimulációk Zajok generálása Normális eloszlású véletlenszám generálása a centrális határeloszlás tétele alapján sok egyenletes eloszlásút összegezve egyéb módszerek, pl Box Müller-módszer legyen u és v egymástól független, egyenletes eloszlású változó a ]0, 1] intervallumon belőlük előállítható x és y: x = 2 ln u cos(2πv) y = 2 ln u sin(2πv) x és y normális eloszlású Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben őszi félév 27 / 39

28 Numerikus szimulációk Zajok generálása Zajok numerikus előállítása Fehérzaj a véletlenszám-generátorok fehérzajt adnak Lorentzi zaj x n+1 = cx n + w n 0 < c < 1 w n egyenletes véletlenszám 1/f 2 -zaj x n+1 = x n + w n w n egyenletes véletlenszám 1/f-zaj lorentzi zajok súlyozott összege digitális szűrés spektrális transzformáció Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben őszi félév 28 / 39

29 Numerikus szimulációk Zajok generálása Színes zajok spektrális szűréssel Gauss-i fehérzaj Szórás beállítása Kívánt színes zaj Inverz Fouriertranszformáció Fouriertranszformáció Szorzás /2 1/f -vel Fölsõ határfrekvencia beállítása Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben őszi félév 29 / 39

30 Monte Carlo-módszerek Monte Carlo-módszerek Monte Carlo-módszerek: problémamegoldás véletlenszerű minták segítségével az elnevezés eredete: a Los Alamos-i atombomba-projekt során született példa: a π értékének kiszámítása veszünk egy négyzetet beleírunk egy kört a területarány π/4 pontokat generálunk a négyzeten belül, és megszámoljuk, az összes pont közül mennyi esett a kör területén belülre az ilyen pontok számának a teljes pontszámra vonatkoztatott aránya megegyezik a területaránnyal, azaz π/4 Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben őszi félév 30 / 39

31 Monte Carlo-módszerek Integrálás Monte Carlo-módszerrel Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben őszi félév 31 / 39

32 Monte Carlo-módszerek Brown-mozgás modellezése Brown-mozgás modellezése x i+1 = x i + w i w i lehet egy véletlenszám, vagy ± x 50-50% valószínűséggel ez w i numerikus integrálásának is tekinthető N számú diszkrét diszkrét lépés esetén (w i = ± x) annak a valószínűsége, hogy a pozíció x = i x: P N (x = i x) =: p N,i = 1 2 N N N i 2 Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben őszi félév 32 / 39

33 Monte Carlo-módszerek Brown-mozgás modellezése A pozíció eloszlása N = 100 lépésre Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben őszi félév 33 / 39

34 Monte Carlo-módszerek Kétdimenziós Ising-modell Kétdimenziós Ising-modell spinjeikkel reprezentált elemi mágnesek hálója (N darab) csak szomszédos mágnesek kölcsönhatását tekintjük a spinek megváltoztatásához szükséges energiát a hőmozgás fedezi adott spinelrendeződéshez tartozó Hamilton-függvény energia N H = J S i S j i,j ahol S i az i-edik spint jelöli (S i = ±1), i, j pedig azt, hogy i és j legközelebbi szomszédokhoz tartozó indexek, és J egy csatolási paraméter Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben őszi félév 34 / 39

35 Monte Carlo-módszerek Kétdimenziós Ising-modell Kétdimenziós Ising-modell Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben őszi félév 35 / 39

36 Monte Carlo-módszerek Kétdimenziós Ising-modell Az algoritmus 1 a kezdeti N S i i=0 adatsor legeneráljuk 2 kiválasztunk egy S i spint és kiszámítjuk a lokális energiáját: N E i = J S i S j i,j 3 megnézzük, hogy változik az energia, ha a spint átfordítjuk (S i = S i) N E i = J S i S j i,j 4 kiszámítjuk az átfordításhoz szükséges energiát: E i = E i E i 5 az átmeneti valószínűség a Maxwell Boltzmann-eloszlásból jön ki: W i = W S i S i = e E i kt Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben őszi félév 36 / 39

37 Monte Carlo-módszerek Kétdimenziós Ising-modell Az algoritmus 6 legenerálunk egy 0 és 1 közti x véletlenszámot 7 ha x > W i, megtörténik az átfordulás, különben nem 8 megismételjük az eljárást a többi spinre a végeredményből kapott spineloszlásból megkaphatók a mágneses paraméterek értékei a hőmérséklet függvényében mágnesezettség: a spinek átlagértéke szuszceptibilitás: a spinek szórása Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben őszi félév 37 / 39

38 Monte Carlo-módszerek Félvezető minták impedanciaspektroszkópiája A félvezető minta fölvesszük a minta impedanciáját a gerjesztő szinuszjel frekvenciájának függvényében a polimerre van egy modellünk, a modell paramétereit akarjuk meghatározni egyetlen komplex adatsor alapján véletlenszerűen választott paraméterekkel meghatározzuk az impedanciát, kiszámoljuk a valóstól való eltérést, és azt a paraméterhalmazt tartjuk meg mindig, amelyre az eltérés a legkisebb Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben őszi félév 38 / 39

39 Differenciálegyenletek numerikus megoldása Módszerek Az egyenlet dy dt dy = f(y, t) y t = f(y, t) t y(t + t) y(t) + f(y, t) t dt Euler-módszer y n+1 = y n + hf t n, y n a h a lépésköz Runge Kutta-módszer y n+1 = y n + h k1 + 2k k 3 + k 4 t n+1 = t n + h k 1 := f t n, y n k 2 := f t n + h, y 2 n + h k 2 1 k 3 := f t n + h, y 2 n + h k 2 2 k 4 := f t n + h, y n + hk 3 Makra Péter (SZTE Kísérleti Fizikai Tanszék) Zajok és fluktuációk fizikai rendszerekben őszi félév 39 / 39