Széchenyi István Egyetem. Számítástudomány előadás. Numerikus és szimbolikus számítások, számítási pontosság, megoldhatóság. Dr.
|
|
- Viktor Fazekas
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 1 2. előadás Numerikus és szimbolikus számítások, számítási pontosság, megoldhatóság Dr. Kallós Gábor
2 Tartalom Függvény alatti terület meghatározása A gépi integrálás problémája Mátrix inverzének meghatározása Gépi epszilon Egy numerikus rendszer határai (Matlab) Legkisebb és legnagyobb ábrázolható szám, Inf, NaN Pi közelítések Nagypontosságú aritmetika Egyenletrendszerek megoldása Az egyszerűsítés problémája Algebrai egyenletek megoldása Maple áttekintés Matlab Symbolic Math Toolbox áttekintés Szimbolikus környezetben használható fontosabb parancsok Feladatok Irodalom 2
3 Függvény alatti terület meghatározása Feladat: Határozzuk meg az y = x 2 függvény alatti területet a [0, 1] intervallumon! 1. megoldási lehetőség: Közelítő számítás Nézzük meg Excelben, Matlabban! Mi kell a közelítő megoldáshoz Excelben? x adatsor, y adatsor Megfelelően sűrű lépésközzel Közelítés a területre, ami könnyen számolható, pl.: trapézmódszer (numerikus integrálás) Ellenőrzés (becsléssel): Jó eredményt kaptunk-e? Mennyire pontos az eredmény? Kapcsolódóan: ábrakészítés (diagramtípus), hangolások, feliratok, esetleg jelölők stb. 3
4 Függvény alatti terület meghatározása Feladat: y = x 2 függvény alatti terület (folyt.) Mi kell a közelítő megoldáshoz Matlabban? (Matlab használat számológép szinten, ablakok, konstansok, változók, környezeti parancsok, aktuális könyvtár, sorozatképzés, vektorok és mátrixok, sima és pontozott műveletek, egyszerű grafika fv.rajzolás) Függvény megadása (m-fájlok) Alkalmas beépített parancs, ami megoldja a numerikus integrálási feladatot Lehet a Súgóban nézelődni, keresgélni Nekünk most jó: quad Paraméterek szerepe (mi a jó számítási pontosság?) Az Excel és Matlab programoknál (numerikusan) jegy pontosságot várhatunk 4
5 Függvény alatti terület meghatározása Feladat: y = x 2 függvény alatti terület (folyt.) 2. megoldási lehetőség: Pontos számítás Nézzük meg papír-ceruza módszerrel, ill. alkalmas programmal! Papír-ceruza módszer Tudunk integrálni :-) Megj: legalábbis egyszerűbb esetekben (!) Így nyilván pontos megoldást kapunk Számítógépes megoldás Probléma: az x változót kell kezelnünk, mint megfelelő objektumot! Persze aritmetika is kell ilyen objektumokkal, pl. 2*x, x^2 stb. A Matlab szimbolikus modulja tudja ezt, és a Maple is Mi kell a pontos megoldáshoz Matlabban? Szimbolikus objektumok definiálása (aritmetika) Alkalmas beépített parancs, ami megoldja a szimbolikus integrálási feladatot (int) Paraméterek Mi kell a pontos megoldáshoz Maple-ben? (Alapvető Maple használat) A többit már tudjuk (Sok más jó eszközt is találhatunk, pl. Wolfram Alpha) 5
6 Függvény alatti terület meghatározása Wolfram Alpha 6
7 A gépi integrálás problémája Természetes kérdések: Milyen bonyolult feladatokat tud a gép megoldani? Milyen algoritmussal tud a gép integrálni? Példa: vegyünk egy Matek 2. vizsgafeladatot! Oldassuk meg a Maple megfelelő tutorjával! 7
8 A gépi integrálás problémája Természetes kérdések (folyt): Mi van akkor, ha a gép nem talál megoldást a szimbolikus integrálási feladatra? Példa: egy Infó 2. vizsgafeladat (két fv. közötti terület, numerikus számolásra) Szimbolikusan nem tudjuk kiszámolni 8
9 Mátrix inverzének meghatározása Meghatározások, tulajdonságok Inverz mátrix (csak négyzetes mátrixokra): az a mátrix, amelyet az eredetivel összeszorozva egységmátrixot kapunk Jelölés: A 1 Érvényes: A A 1 = A 1 A = E Egységmátrix: a főátlóban csupa 1-es, más helyeken 0-ák Jelölés: E vagy I Az egységmátrixra teljesül: A E = E A = A; E E = E Inverz akkor létezik, ha a determináns nem 0, illetve a mátrix rangja megegyezik a sorainak (oszlopainak) számával Papír-ceruza módszer Az adjungált mátrixot osztjuk a determinánssal Az egységmátrixból indulva megengedett műveletekkel eljutunk az eredeti mátrixig Így pontos megoldást kapunk (ellenőrzés!) A Maple tutor be tudja mutatni 9
10 Mátrix inverzének meghatározása Számítógépes megoldás numerikusan Tudja az Excel és a Matlab (persze a Maple is) Megvalósítás Excelben Adatok bevitele (bemásolása, betöltése) Determináns ellenőrzése Inverz területének kijelölése Inverz képletének megadása (blokkművelettel!) Célszerűen: ellenőrzés Extra lehetőség: valódi tört formátumú megjelenítés (pontos aritmetika, de csak 3 jegyig) Megvalósítás Matlabban Adatok bevitele (bemásolása, betöltése) Rang vagy determináns ellenőrzése Inverz számolása a megfelelő paranccsal (inv) Lebegőpontos eredményt kapunk, de kérhető valódi törtes megjelenítés (rats vagy format rat; 5-6 jegyig pontos aritmetika) 10
11 Mátrix inverzének meghatározása Számítógépes megoldás pontos aritmetikával Excel és Matlab láttuk Maple A parancs neve és a mátrix megadása itt más, de a lényeg uaz Sok finomabb opció beállítható Kötelező: lineáris algebra csomag használata (Plusz kényelmi lehetőség: a mátrix palettáról is beszúrható) Számítógépes megoldás szimbolikusan Matlab és Maple A megszokott módon 11
12 Mátrix inverzének meghatározása, gépi epszilon Egy kellemetlen mátrix: A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] Determináns (Excel): nagyon kicsi érték Ez most tényleg nem nulla, vagy valójában 0 (csak nem pontosan annak látszik)? Másik hasonló példa: a B = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 8] mátrixot és numerikusan számított inverzét szorozzuk össze (Excel, Matlab) 1-hez és 0-hoz nagyon közeli értékeket is látunk Tudnunk kell értelmezni ezeket az eredményeket! A második példánál ez nyilvánvaló Az elsőnél: a rang árulja el, hogy valóban 0-e a determináns (összefüggő-e a rendszer) Mátrix rangja: lineárisan független oszlopvektorok (sorvektorok) maximális száma Feladat: igazoljuk, hogy valóban csak 2 fgtlen sor/oszlopvektora van a rendszernek! (Pl. Állítsuk elő az első sor/oszlop valahányszorosának kivonásával a 2. és 3. sorból/oszlopból ugyanazt a ) 12
13 Számítástudomány Gépi epszilon Numerikus rendszerekben létezik egy olyan legkisebb érték, amelyet 1-hez hozzáadva még éppen nem 1 lesz az eredmény, ez a gépi epszilon A rendszer beépítve is ismerheti, de algoritmikusan is meghatározható (Szemléltetés Matlabban hex kijelzéssel is) Feladatok Hogyan érdemes elvégezni géppel a következő összeadást: eps/ eps/ eps/ eps? *Határozzuk meg az eps_2, eps_3 számot (2-höz, 3-hoz hozzáadva ) 13
14 Egy numerikus rendszer határai (Matlab) A probléma hagyományos programozási környezetben is előjön Egész (előjeles, előjel nélküli) és valós típusok, szabványok (1, 2, 4 stb. bájton, tudjuk) A Matlabban használatos egész és lebegőpontos típusok (alapértelmezés: double): Speciális értékek: Inf és NaN Feladatok Hogyan értelmezhetők a következők (mi lenne a jó eredmény): Inf + Inf, Inf Inf, Inf/Inf, NaN + Inf stb. Állítsunk elő a realmax('double') értéknél egy picit nagyobb számot! 14
15 Számítási hibák halmozódása Gyakori probléma, akár lineáris egyenletrendszerek megoldásánál is Magyarázat: pontatlan értékeken végzünk további műveleteket, így az eredmény még pontatlanabb lesz Nálunk most: illusztráció; Horner kiértékelés Hatodfokú függvény egy intervallumban, képlete: (1 x) 6 = x 6 6x x 4 20x x 2 6x + 1 = (((((x 6)x + 15)x 20)x + 15)x 6)x
16 A pi közelítése Feladat: határozzuk meg a π számot sok (pl. 500 vagy 1000 vagy ) tizedesre! Papír-ceruza módszerek Archimédesz módszere (ókor, trigonometria) Iteratív közelítések (középkor és újkor, speciális sorok) Érdemes megpróbálni párat (bár inkább géppel ) *Pi-versek, novellák :-) (Szász Pál, 1952) Nem a régi s durva közelítés, Mi szótól szóig így kijön, Betűiket számlálva. 8 9 Ludolph eredménye már, Ha itt végezzük húsz jegyen De rendre kijő még tíz pontosan, Azt is bízvást ígérhetem *Buffon tűdobási problémája Legyen x = l/d. Annak valószínűsége, hogy a tű vonalra esik: P(x) = 2x/π (számolható) (Ez csak rövid tű esetén igaz) Kísérlet, 500 dobás, x = 1/3, 107 metszéssel. Ebből: π-köz = 3,116 16
17 A pi közelítése Feladat: π meghatározás (folyt.) Számítógépes megoldás A Matlab és a Maple számára ez nem probléma (Matlabban a nagypontosságú aritmetikához szükséges a vpa parancs) 17
18 A pi közelítése Természetes kérdések 1.: Hogyan dolgozik a gép? A π közelítésére alkalmas képletek = L π Viete-formula: π K = Wallis módszere (1650 körül): K Gregory Leibniz módszer (1670 körül), Indiában már 1500 körül is ismert volt: Egyszerű és hatékony módszer, jól algoritmizálható = 1 Maple: a sorozat első 1000 tagjának összegzésével a 4 π/4 közelítésére 0,78514 adódik a pontos 0,78539 érték helyett Machin módszere (1706-tól): π = 4arctan Lényegében még ma is használatos módszer (változatai) 4 Maple: ezzel a képlettel néhány tizedmp alatt ki tudjuk számolni a π első jegyét Speciálisan számítógépre optimalizált módszerek J. Borwein és P. Borwein (1985-től) Legyen a0 = és y0 = 2 1 Iteráljuk a következő kifejezéseket: 4 1/ 4 1 (1 yk ) A sorozat határértéke 1/π yk 1 = 4 2k+ 3 a 4 1/ 4 k ak 1 + yk+ 1) 2 yk+ (1 1+ (1 yk ) 1 + yk+ 1 Negyedrendűen konvergens a k -ra (minden iteráció négyszeresére növeli a pontos jegyek számát) D. Bailey, P. Borwein és S. Plouffe (1996) 2 Kiszámítható a π tetszőleges számjegye (16-os szr.-ben) az előzőek ismerete nélkül = π n n= n + 1 8n + 4 8n + 5 8n π L arctan = ( + yk + 1 ) 18
19 A pi közelítése A π jegyeinek a meghatározása (történeti áttekintés) Számítógép előtti időszak Egyiptom (Rhind-papirusz, i.e. 2000~) Archimédesz (i.e. 250~) Csu Csung Csi (Kína, 480~) Al-Kashi (Szamarkand, 1430) Viete (1593) Ludolph van Ceulen (1610) Sharp (1699) Machin (1706) von Vega (1794) Strassnitzky, Dase (1844) Clausen (1847) Rutherford (1853) Shanks (1874) Ferguson (1946) 2^8/3^4 = 3, ,1418 (átlagszámítással, 3 jegy pontos) 3, (6 jegy pontos) 3, (14 jegy) 3, (9 jegy) 35 jegy! (136 helyes) 200 (fejben!!!) (527 helyes)
20 A pi közelítése A π jegyeinek a meghatározása (történeti áttekintés, folyt.) Miért jó ez? Verseny, kihívás, rekordok Szuperszámítógépek tesztelése, korrekt működés ellenőrzése Szabályosságok keresése Gépi számolással Ferguson, asztali számológép (1947 jan.) Reitwiesner és társai, ENIAC (1949) Genuys, IBM 704 (1958) Shanks, Wrench, IBM 7090 (1961) Goilloud, Bouyer, CDC 7600 (1973) Kanada és Tamura, HITACHI S-810/20 (1986) Chudnovsky testvérek, Cray-2, IBM 3090-VF (1989) Kanada és Takahashi, HITACHI SR2201 (1997) Kanada, HITACHI SR8000 (2002 szept.) Takahashi, TK2 szupergép (2009 ápr.) Yee és Kondo (2011 okt.)
21 A pi közelítése Természetes kérdések 2.: Hogyan lehet megvalósítani általában a nagypontosságú aritmetikát? Amit át kell gondolni Adatreprezentáció (egészek, racionális törtek, polinomok, hatványsorok) Hatékony tárolás Hatékony algoritmusok (összeadás, szorzás, osztás) Néhány további kérdés: egyszerűsítések (!) Mi kell a nagypontosságú egészek gépi reprezentációjához? Egy lista, amely hagyományos egészekből áll (d 0, d 1,, d l 1 ) és egy előjel (s) Egy rögzített célszerűen nagy βalapszám Leggyakrabban 2 vagy 10 hatvány úgy, hogy β 1 még tárolható legyen hagyományos egészként (pl vagy 10 9, ha 32 bitünk van) A lista lehet statikus (szekvenciális) vagy dinamikus (láncolt) l 1 i d = s Láncolt dinamikus lista Eltároljuk a d i -ket, egy listaelem a következőre mutat Pl. N = , β = 10 3, N x A fordított sorrend megfelel a műveletekhez szükséges természetes elérésnek Fix méretű helyet foglalunk le, a nem használt pozíciók 0-át tartalmaznak Pl. N Előnyök és hátrányok mindkét esetben Dinamikus tömb: mindkét módszer előnyeit ötvözi (Maple) d i i= 0 β 21
22 Egyenletrendszer megoldása Egy nemlineáris egyenletrendszer megoldása és tanulságai Feladat: Oldjuk meg az alábbi harmadfokú, nemlineáris egyenletrendszert! Lépések (Maple) Solve parancs RootOf-os eredményt kapunk elsőre nehezen értelmezhető Numerikusan: fsolve Látjuk, hogy kaptunk valós megoldást (mindig csak egyet) Ugyanígy több más mo. is előállítható (6 db) 22
23 Egyenletrendszer megoldása Egy nemlineáris egyenletrendszer megoldása és tanulságai (folyt.) Lépések (Maple, folyt.) Kiszedjük a RootOf-ból a gyököket A fenti szimbolikus mo-ból: a 6 gyök valóban előáll Numerikusan látszik, hogy a komplex rész valójában 0 Mindez direkt trigonometrikus úton is igazolható (?) *Mutassuk meg! 23
24 Az egyszerűsítés problémája Egyszerűsítések, különböző felírások Szimbolikus kifejezéseknél (pl. polinom) nem feltétlenül nyilvánvaló, hogy melyik alak tekinthető a legegyszerűbbnek A feladat jellegétől is függ, hogy milyen felírásra van szükségünk (pl. Heck 7.) A probléma általánosan sem egyszerű Kiterjesztett (összeg) vagy faktorizált (szorzattá alakított) felírás? (Helyigény, ill. valamelyik x hatvány együtthatójára vagyunk kíváncsiak) x vagy (x 1)(x x x 2 + x + 1) (x + 1) 1000 vagy (x x x + 1) Többváltozós eset (Újabb kérdés: melyik a fő ismeretlen?) p(x, y) = 12x 2 y 4xy + 9x 3 p(x, y) = (3x 1)(4xy + 3) p(x, y) = (12y)x 2 (4y + 9)x 3 Általános transzformációs és egyszerűsítő függvények Az expand parancs segítségével összeg formájú felírást kérhetünk, a factor paranccsal pedig szorzattá alakítottat Egyszerűsítő függvények: simplify (simple) 24
25 Az egyszerűsítés problémája Egyszerűsítések, különböző felírások (folyt.) Zéró ekvivalencia probléma Az általános egyszerűsítési probléma speciális esete (jól definiált, nincs reprezentációs kérdés) Szép objektumokra (polinomokra, racionális törtfüggvényekre, hatványsorokra stb.) viszonylag egyszerű A függvényosztály bővítésével (trigonometrikus, exponenciális függvények) azonban ez a feladat nagyon nem triviálisnak tűnik!!! Pl. log(tan(x/2 + π/4) sinh 1 (tan x) = 0? 25
26 Az egyszerűsítés problémája Néhány automatikus egyszerűsítés/kiértékelés a Maple rendszerben Ha egyértelmű a szabály, akkor egyszerűbb esetekben a várt eredményt kapjuk De vigyázzunk, néha az egyszerűnek tűnő eset is lehet bonyolultabb! 26
27 Az egyszerűsítés problémája Hogyan tudunk mi egyszerűsíteni/egyszerűsíttetni? 27
28 Az expand parancs alkalmazásai Trigonometrikus azonosságok (addíciós szabályok), amelyeket a rendszer ismer (válogatás) 28
29 Az expand parancs alkalmazásai Exponenciális-logaritmikus és gyökös-hatványos azonosságok, amelyeket a rendszer ismer (válogatás) Tanulság: vigyázni kell! 29
30 Az egyszerűsítés problémája Feladat: Kapjuk vissza a tan(3 x) kifejtett alakjából az eredetit! *Feladatok: Heck 370,
31 Polinomok, gyökök Meghatározás Többtagú (polinom) Először csak: egyváltozós eset Együtthatók: (kommutatív, egységelemes) gyűrűből (jelölés általában: R), ekkor a képzett polinomok is uolyan struktúrát alkotnak (jelölés: R[x]) (a n, a n-1,, a 2, a 1, a 0 ), illetve a n x n + a n-1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 alakú ( formális kifejezés ), ahol a műveletek megfelelő módon definiáltak Alapműveletek Például: f = (a n, a n-1,, a 2, a 1, a 0 ), g = (b n, b n-1,, b 2, b 1, b 0 ), f + g = (a n + b n, a n-1 + b n-1,, a 2 + a 2, a 1 + a 1, a 0 + b 0 ) Hasonlóan: f g, f g Feladat: Írjuk fel f g-t! Polinom foka: a legmagasabb fokú tag által meghatározott (jelölés: gr(f)) (0-nak nincsen foka) Feladat: Mi érvényes f + g fokára? Példa: (3x + 2) 3x Polinomszorzatra: gr(f g) = gr(f) + gr(g), ha R nullosztómentes (int. tart.), és f, g 0 Normált (1 főeh-jú) polinomok szorzata is normált Ha R integritási tartomány, akkor R[x] is az 31
32 Polinomok, gyökök Oszthatóság, felbonthatóság A polinomok körében is definiálható: oszthatóság, egység, felbonthatatlan, prímtulajdonság (lásd később) Konstans osztó: minden eh-t oszt Egy f polinom reducibilis (valódi értelemben felbontható), ha f = g h esetben gr(g), gr(h) 1 Egy f polinom irreducibilis, ha minden g h felbontásában valamelyik tényező nulladfokú Hányadostest K test az R integr. tart. hányadosteste, ha R K és minden a K-hoz létezik b R, amelyre a b R (b 0!) Test feletti polinomok Tétel: K[x]-ben minden polinom = irreducibilisek szorzata (Biz. ötlet: létezik euklideszi algoritmus, azaz maradékos osztás) (A felbonthatóság test felett más, mint gyűrű felett, mert Z[x]-ben pl. 2 (x 1) is valódi felbontás, Q[x]-ben ez nyilván nem az, ott a 2 egység; lásd még később is) Feladat: Végezzünk felbonthatósági próbákat Z[x]-ben és Q[x]-ben! Állítás (Gauss-lemma alapján): f polinom lényegileg pontosan akkor bontható fel Z[x] felett, amikor Q[x] felett 32
33 Polinomok, gyökök Definíció: s az f polinom gyöke, ha f(s) = 0 Állítás: Ha s gyöke f-nek, akkor (x s) f (x s) neve: gyöktényező Állítás: Test felett minden elsőfokú polinomnak van gyöke Z[x]-ben pl. (2x 1)-nek nincs gyöke Állítás: Egy R felett irreducibilis polinomnak R-ben legfeljebb egy gyöke van, és ha a foka > 1, akkor egy sincs Következmény: n-ed fokú polinomnak legfeljebb n gyöke van Algebra alaptétele: Bármely (nem konstans) polinomnak van komplex gyöke (n-edfokú polinomnak pontosan n darab, multiplicitással); avagy a komplex számok teste algebrailag zárt Tetszőleges K test esetén az alábbiak ekvivalensek: - Minden K[x]-beli nem konstans polinomnak létezik gyöke K-ban; - K[x]-ben minden nem konstans polinomnak létezik elsőfokú faktora; - K[x]-ben minden irreduciblis polinom elsőfokú; - K[x]-ben minden nem konstans polinom elsőfokúak szorzata; - K[x]-ben minden nem konstans polinom egy konstans és gyöktényezők szorzata; - K[x]-ben minden n-edfokú polinomnak n gyöke van (multiplicitással). Az ilyen tulajdonságú K testek algebrailag zártak 33
34 Polinomok, gyökök Feladatok Adjunk meg olyan egész együtthatós polinomot (pl. másodfokút), amelynek nincs valós gyöke! Adjunk meg olyan valós együtthatós polinomot, amelynek nincs racionális gyöke! Tétel: Minden valós együtthatós nem konstans polinomnak van első vagy másodfokú valós faktora Biz. ötlet: Ha a C és f(a) = 0, akkor f(a') = 0, ahol a' a konjugált, ezután már csak össze kell szorozni a két tényezőt Köv.: Minden páratlanfokú valós eh-ós polinomnak van valós gyöke Megj.: Z[x] és Q[x] felett az irreducibilis faktorok fokszáma nagyon magas is lehet Schönemann-Eisenstein kritérium (irreducibilitási feltétel): Ha az f = a n x n + a n-1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 polinomhoz létezik olyan p prímszám, amelyre 1. p nem osztója a n -nek 2. p a i -nek, i = 0, 1,, n 1-re 3. p 2 nem osztója a 0 -nak akkor f(x) irreducibilis (Z felett) Test feletti polinomokra az ötlet így nem használható, mert testben nincsenek prímek! (De a nevezők eliminálása után már dolgozhatunk vele.) Alkalmazás: (x p 1)/(x 1) irreducibiliszfelett 34
35 Egyenletek megoldhatósága A továbbiakban valós együtthatós, egyismeretlenes polinomokkal dolgozunk (algebrai egyenletek) Másodfokú Harmadfokú Negyedfokú Megoldóképlet, már az ókorban ismert volt (Mezopotámia, Kr. e k.) Fibonacci (1230 k.): egy harmadfokú egyenletet általában nem lehet a négy alapművelettel, hatványozással és négyzetgyökvonással megoldani 1400-as évek vége (itáliai matematikusok): a harmadfokú egyenletek visszavezethetők x 3 + px + q típusúakra Scipione del Ferro, Tartaglia, Cardano (1500-as évek eleje): megoldóképlet Először sikerült túlszárnyalni az ókori matematika eredményeit! (Komplex számok kezelése csak később) Ferrari: megoldóképlet Harmadfokúra való visszavezetés Ötöd- és magasabb fokú Lagrange (1770 k.): indoklás, hogy általában miért nem használhatók az alacsonyabbfokú esetek módszerei Ruffini, Abel, Galois ( k.): az általános ötödfokú egyenlet algebrai módszerekkel nem oldható meg Általában csak a közelítő módszerek maradnak Feladat: ötödfokú egyenletek megoldhatóságának vizsgálata u q q p q q p + v =
36 Egyenletek megoldhatósága Ötöd- és magasabb fokú (folyt.) Feladat: ötödfokú egyenletek megoldhatóságának vizsgálata 36
37 Maple áttekintés A Maple felületének fontos jellemzője: (mostanra már) nagyon igényes munkalapok (dokumentumok) kialakítását teszi lehetővé Dokumentum mód (alapértelmezés) Elemei a dokumentum blokkok (View/Markers), a parancsok részletei rejtettek Egy dokumentum blokk kinyitható/becsukható Worksheet (munkalap) mód (bekapcsolás: File/New) Maple input prompt és csoport használható Vegyes használat is lehetséges Munkalap módban is elrejthetők a számítás részletei (Format/Create Docum. Block) Dokumentum módban is lehet Maple input promptot beszúrni (Insert/Execution Group) 2-D Math bevitel (alapértelmezés) Törtek, kitevők, alsó indexek, gyökös kifejezések, integrálok stb. írhatók igényes módon 1-D Math bevitel (hagyományos Maple környezet) Kulcsszavakból, zárójelezéssel kell összeállítani a kifejezéseket Intelligens kiegészítés a beíráskor (Esc) Inline (sorközi) kiértékelés: CTRL + =; sima kiértékelés: ENTER 37
38 Maple áttekintés Helyzetérzékeny menük hívhatók az objektumokon (nem kell paranccsal megadni a funkciót) Pl.: egyenlet megoldására, függvény ábrázolására A lehetőségek természetesen függenek az adott objektumtól Parancs befejezés (intelligens beírás, képletek): CTRL + space Paletták, beszúrható objektumokkal Állandó kernel + a parancsok egy része: külső könyvtárakból Nagyon jó súgó 38
39 Maple áttekintés Komoly támogatás a matematikai problémamegoldáshoz Tools menü Clickable math Tutorok Taskok A munkalapokba beilleszthetők 39
40 Maple áttekintés A súgó ( kézikönyv ) a program nélkül, online módon is elérhető (Maplesoft oldal) 40
41 Matlab Symbolic Math Toolbox áttekintés (Matlab numerikus számítási környezet, programrdsz.) A S. M. Toolbox szimbolikus számítások elvégzését teszi lehetővé A Matlab alapból numerikusan számol (mátrixos reprezentáció), a double float adattípus pontosságáig Szimbolikus változók definiálása syms vált.név vált = sym('vált') Konstansnál csak ez alkalmazható, az aposztrófok elhagyhatók 15 jegyig Feladat: Nézzük meg, hogy mi történik, ha ennél jóval nagyobb konstans számra is elhagyjuk az aposztrófokat! Változó törlése: clear vált.név Matlab felület Ablakok (ki- és bekapcs.) Aktuális könyvtár beállítása History ablak Karakterméret (Desktop/Toolbars) Compact kijelzés A felület karakteres, a (régi) Maple 1D-hez hasonló, pretty kijelzés is kérhető Súgó rendszer, demók, 41
42 Szimbolikus környezetben használható fontosabb parancsok Felbontók Kiértékelők Expand: összeg formájú felírás Factor: szorzat formájú felírás Polinom együtthatói (coeff, lcoeff, tcoeff, collect) Polinom foka (degree) Eval: általános kiértékelő (egyszerűsít is) Evalf: lebegőpontos kiértékelő Egyszerűsítők Simplify, simple: általános egyszerűsítő Körülmények/feltételek beállítása, megadása (assume) Normal: normalizáló Combine: kifejezések egyesítése Helyettesítők Megoldók Subs: általános helyettesítő Subsop: megadott operandusok helyettesítésére Solve: általános megoldó Fsolve: lebegőpontos megoldó Egyéb fontosabb parancsok Limit: határérték számítás Diff, Int: differenciálás, integrálás 42
43 Ajánlott irodalom Berggren, Borwein: Pi a Source Book, Springer, New York, 2004 Geddes, Czapor, Labahn: Algorithms for Computer Algebra (6th pr./ed.), Kluwer Acad. Press, Boston, 1999 Joachim Gathen, Jürgen Gerhard: Modern Computer Algebra (3rd ed.), Cambridge Univ. Press, 2013 Edward Kofler: Fejezetek a matematika történetéből, Gondolat, Budapest, 1965 Sain Márton: Matematika-történeti ábécé, Tankönyvkiadó, Budapest, 1974 Szörényi Miklós, Kallós Gábor: Mérnöki számítások, jegyzet és órai segédanyagok (Excel és Matlab rész), SZE, Molnárka Győző és társai: A MapleV és alkalmazásai, Springer, Budapest, 1996 Andre Heck: Bevezetés a Maple használatába, JGYF kiadó, Szeged, 1999 Maple User Manual, Maplesoft, 2013 Matlab Symbolic Math Toolbox User s Guide, MathWorks,
1 2. előadás. Numerikus és szimbolikus számítások, számítási pontosság, megoldhatóság. Dr. Kallós Gábor
1 2. előadás Numerikus és szimbolikus számítások, számítási pontosság, megoldhatóság Dr. Kallós Gábor 2016 2017 1 Tartalom Függvény alatti terület meghatározása A gépi integrálás problémája Mátrix inverzének
RészletesebbenSzéchenyi István Egyetem. Számítástudomány. 1. előadás. Numerikus és szimbolikus számítások, számítási pontosság, megoldhatóság. Dr.
1. előadás Numerikus és szimbolikus számítások, számítási pontosság, megoldhatóság Dr. Kallós Gábor 2014 2015 1 Tartalom Függvény alatti terület meghatározása A gépi integrálás problémája Mátrix inverzének
Részletesebben1. Polinomok számelmélete
1. Polinomok számelmélete Oszthatóság, egységek. Emlékeztető Legyen R a C, R, Q, Z egyike. Azt mondjuk, hogy (1) a g R[x] polinom osztója f R[x]-nek R[x]-ben, ha létezik olyan h R[x] polinom, hogy f (x)
Részletesebben1. A maradékos osztás
1. A maradékos osztás Egész számok osztása Példa 223 = 7 31+6. Visszaszorzunk Kivonunk 223 : 7 = 31 21 13 7 6 Állítás (számelméletből) Minden a,b Z esetén, ahol b 0, létezik olyan q,r Z, hogy a = bq +
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2015.
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. november 23. 1. Diszkrét matematika 2. 9. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. november 23. Diszkrét matematika
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenKomplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18
Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök
Részletesebben1. előadás Prímtulajdonság, lnko, Euklideszi algoritmus, lánctörtek
. előadás Prímtulajdonság, lnko, Euklideszi algoritmus, lánctörtek Dr. Kallós Gábor 203 204 Tartalom Prímek és felbonthatatlanok Prímtulajdonság, lnko Kiterjesztett egészek Prímfaktorizáció, a számelmélet
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenPolinomok (el adásvázlat, április 15.) Maróti Miklós
Polinomok (el adásvázlat, 2008 április 15) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: gy r, gy r additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja, egységelemes
RészletesebbenPolinomok (előadásvázlat, október 21.) Maróti Miklós
Polinomok (előadásvázlat, 2012 október 21) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: gyűrű, gyűrű additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja,
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás március 24.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. március 24. Irreducibilitás 3.33. Definíció. A p T [x] polinom irreducibilis, ha legalább elsőfokú, és csak úgy bontható két polinom szorzatára, hogy az
Részletesebben1. Egész együtthatós polinomok
1. Egész együtthatós polinomok Oszthatóság egész számmal Emlékeztető (K3.1.3): Ha f,g Z[x], akkor f g akkor és csak akkor, ha van olyan h Z[x], hogy g = fh. Állítás (K3.1.6) Az f(x) Z[x] akkor és csak
RészletesebbenKomputeralgebra Rendszerek
Komputeralgebra Rendszerek Polinomok Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. február 24. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 80 TARTALOMJEGYZÉK I 1 TARTALOMJEGYZÉK 2 Egyváltozós polinomok Alapfogalmak
Részletesebben12. előadás. Egyenletrendszerek, mátrixok. Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor
12. előadás Egyenletrendszerek, mátrixok Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 2015 2016 1 Tartalom Matematikai alapok Vektorok és mátrixok megadása Tömbkonstansok Lineáris műveletek Mátrixok szorzása
RészletesebbenALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK
ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK AZ ALGEBRAI KIFEJEZÉS FOGALMÁNAK KIALAKÍTÁSA (7-9. OSZTÁLY) Racionális algebrai kifejezés (betűs kifejezés): betűket és számokat a négy alapművelet véges sokszori alkalmazásával
RészletesebbenKiegészítő előadás. Matlab 7. (Szimbolikus számítások) Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor. Széchenyi István Egyetem
Kiegészítő előadás Matlab 7. (Szimbolikus számítások) Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 2013 2014 1 Tartalom Symbolic Math Toolbox áttekintés Szimbolikus változók és konstansok, szimbolikus kifejezések,
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenKomplex számok. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Komplex számok / 9
Komplex számok Wettl Ferenc 2010-09-10 Wettl Ferenc () Komplex számok 2010-09-10 1 / 9 Tartalom 1 Számok Egy kis történelem A megoldóképlet egy speciális esetre Lehet számolni negatív szám gyökével Műveletek
RészletesebbenPolinomok maradékos osztása
14. előadás: Racionális törtfüggvények integrálása Szabó Szilárd Polinomok maradékos osztása Legyenek P, Q valós együtthatós polinomok valamely x határozatlanban. Feltesszük, hogy deg(q) > 0. Tétel Létezik
RészletesebbenPolinomok, Lagrange interpoláció
Közelítő és szimbolikus számítások 8. gyakorlat Polinomok, Lagrange interpoláció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1. Polinomok
RészletesebbenAlgebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c. tárgyhoz. 1. Integritástartományok, oszthatóság
Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c tárgyhoz 1 Integritástartományok, oszthatóság 11 Definíció A nullaosztómentes, egységelemes kommutatív gyűrűket integritástartománynak nevezzük 11 példa Integritástartományra
Részletesebben1. Polinomfüggvények. Állítás Ha f, g C[x] és b C, akkor ( f + g) (b) = f (b) + g (b) és ( f g) (b) = f (b)g (b).
1. Polinomfüggvények Behelyettesés polinomba. Definíció Legyen b komplex szám. Az f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n x n polinom b helyen felvett helyettesítési értéke f (b) = a 0 + a 1 b + a 2 b
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenKomputeralgebra Rendszerek
Komputeralgebra Rendszerek Normálformák, algebrai reprezentáció Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2014. április 8. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 113 TARTALOMJEGYZÉK I 1 TARTALOMJEGYZÉK 2 Az absztrakció
Részletesebben6. előadás Faktorizációs technikák közepes méretű osztókra
6. előadás Faktorizációs technikák közepes méretű osztókra Dr. Kallós Gábor 2016 2017 1 Tartalom Fermat algoritmusa A Pollard-ró algoritmus Pollard (p 1) algoritmusa Feladatok, megjegyzések Irodalom 2
Részletesebben6. előadás Faktorizációs technikák közepes méretű osztókra
6. előadás Faktorizációs technikák közepes méretű osztókra Dr. Kallós Gábor 2016 2017 1 Tartalom Feladatok, megjegyzések Irodalom 2 Eml.: Próbaosztásos algoritmus (teljes felbontás) 14-18 jegyű számokig
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 14.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 14. Többhatározatlanú polinomok 4.3. Definíció. Adott T test feletti n-határozatlanú monomnak nevezzük az ax k 1 1 xk n n alakú formális kifejezéseket,
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
Részletesebben1. Interpoláció. Egyértelműség (K2.4.10) Ha f és g ilyen polinomok, akkor n helyen megegyeznek, így a polinomok azonossági tétele miatt egyenlők.
1. Interpoláció Az interpoláció alapproblémája Feladat Olyan polinomot keresünk, amely előre megadott helyeken előre megadott értékeket vesz fel. A helyek: páronként különböző a 1,a 2,...,a n számok. Az
RészletesebbenAlgebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev
Algebra és számelmélet 3 előadás Nevezetes számelméleti problémák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Számok felbontása hatványok összegére 2. Prímszámok 3. Algebrai és transzcendens számok Tartalom
RészletesebbenA parciális törtekre bontás?
Miért működik A parciális törtekre bontás? Borbély Gábor 212 június 7 Tartalomjegyzék 1 Lineáris algebra formalizmus 2 2 A feladat kitűzése 3 3 A LER felépítése 5 4 A bizonyítás 6 1 Lineáris algebra formalizmus
RészletesebbenKomplex számok. Wettl Ferenc szeptember 14. Wettl Ferenc Komplex számok szeptember / 23
Komplex számok Wettl Ferenc 2014. szeptember 14. Wettl Ferenc Komplex számok 2014. szeptember 14. 1 / 23 Tartalom 1 Számok A számfogalom b vülése Egy kis történelem 2 Miért számolunk velük? A megoldóképlet
RészletesebbenKomputeralgebra Rendszerek
Komputeralgebra Rendszerek Számkezelés Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. február 24. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 53 TARTALOMJEGYZÉK 1 TARTALOMJEGYZÉK 2 Az egzakt aritmetika Bignum aritmetika
Részletesebben1. A polinom fogalma. Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1. = x egyenletet.
1. A polinom fogalma Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1 = x egyenletet. Megoldás x + 1-gyel átszorozva x 2 + x + 1 = x 2 + x. Innen 1 = 0. Ez ellentmondás, így az
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek VII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós
Részletesebben1. Hatvány és többszörös gyűrűben
1. Hatvány és többszörös gyűrűben Hatvány és többszörös Definíció (K2.2.19) Legyen asszociatív művelet és n pozitív egész. Ekkor a n jelentse az n tényezős a a... a szorzatot. Ez az a elem n-edik hatványa.
RészletesebbenNumerikus matematika. Irodalom: Stoyan Gisbert, Numerikus matematika mérnököknek és programozóknak, Typotex, Lebegőpontos számok
Numerikus matematika Irodalom: Stoyan Gisbert, Numerikus matematika mérnököknek és programozóknak, Typotex, 2007 Lebegőpontos számok Normák, kondíciószámok Lineáris egyenletrendszerek Legkisebb négyzetes
Részletesebben1. A Horner-elrendezés
1. A Horner-elrendezés A polinomok műveleti tulajdonságai Polinomokkal a szokásos módon számolhatunk: Tétel (K2.1.6, HF ellenőrizni) Tetszőleges f,g,h polinomokra érvényesek az alábbiak. (1) (f +g)+h =
RészletesebbenGauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás
Közelítő és szimbolikus számítások 4. gyakorlat Mátrix invertálás Gauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei
RészletesebbenKongruenciák. Waldhauser Tamás
Algebra és számelmélet 3 előadás Kongruenciák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Diofantoszi egyenletek 2. Kongruenciareláció, maradékosztályok 3. Lineáris kongruenciák és multiplikatív inverzek
RészletesebbenVektorok. Octave: alapok. A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István
Vektorok A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Octave: alapok Az octave mint számológép: octave:##> 2+2 ans = 4 Válasz elrejtése octave:##> 2+2; octave:##> + - / * () Hatványozás:
RészletesebbenKalkulus. Komplex számok
Komplex számok Komplex számsík A komplex számok a valós számok természetes kiterjesztése, annak érdekében, hogy a gyökvonás művelete elvégezhető legyen a negatív számok körében is. Vegyük tehát hozzá az
RészletesebbenPolinomok A gyökök száma A gyökök és együtthatók összefüggése Szorzatra bontás, számelméleti kérdések A harmad- és negyedfokú egyenlet
1. Bevezetés A félév anyaga Komplex számok Műveletek Kapcsolat a geometriával Gyökvonás Polinomok A gyökök száma A gyökök és együtthatók összefüggése Szorzatra bontás, számelméleti kérdések A harmad- és
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenAlgoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G)
Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G) 2014. január 14. 1. Gyakorlat 1.1. Feladat. Adott K testre rendre K[x] és K(x) jelöli a K feletti polinomok és racionális törtfüggvények halmazát. Mutassuk meg, hogy
RészletesebbenNumerikus matematika vizsga
1. Az a = 2, t = 4, k = 3, k + = 2 számábrázolási jellemzők mellett hány pozitív, normalizált lebegőpontos szám ábrázolható? Adja meg a legnagyobb ábrázolható számot! Mi lesz a 0.8-hoz rendelt lebegőpontos
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenA MATLAB alapjai. Kezdő lépések. Változók. Aktuális mappa Parancs ablak. Előzmények. Részei. Atomerőművek üzemtana
A MATLAB alapjai Kezdő lépések - Matlab Promt: >> - Help: >> help sqrt >> doc sqrt - Kilépés: >> quit >> exit >> Futó script leállítása: >> ctrl+c - Változók listásása >> who >> whos - Változók törlése
RészletesebbenIrodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0
Irodalom ezek egyrészt el- A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: hangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon
RészletesebbenKomputeralgebra Rendszerek
Komputeralgebra Rendszerek A szimbolikus megoldó a MAPLE -ben Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2014. március 4. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 41 TARTALOMJEGYZÉK I 1 TARTALOMJEGYZÉK 2 Funkció és
RészletesebbenKomplex számok. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Komplex számok / 14
Komplex számok Wettl Ferenc 2012-09-07 Wettl Ferenc () Komplex számok 2012-09-07 1 / 14 Tartalom 1 Számok A számfogalom b vülése Egy kis történelem 2 Miért számolunk velük? A megoldóképlet egy speciális
Részletesebben3. előadás Prímtulajdonság, lnko, Euklideszi algoritmus, lánctörtek
3. előadás Prímtulajdonság, lnko, Euklideszi algoritmus, lánctörtek Dr. Kallós Gábor 206 207 Tartalom Prímtulajdonság, lnko Kiterjesztett egészek Prímfaktorizáció, a számelmélet alaptétele Euklideszi algoritmus
RészletesebbenZárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a) Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét.
Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét. b Köbgyöktelenítsük a nevezőt az alábbi törtben: 1 3 3. Megoldás: a Egy q = a + bi + cj
RészletesebbenHatványozás. A hatványozás azonosságai
Hatványozás Definíció: a 0 = 1, ahol a R, azaz bármely szám nulladik hatványa mindig 1. a 1 = a, ahol a R, azaz bármely szám első hatványa önmaga a n = a a a, ahol a R, n N + n darab 3 4 = 3 3 3 3 = 84
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I
Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html
Részletesebben1 Lebegőpontos számábrázolás
Tartalom 1 Lebegőpontos számábrázolás... 2 2 Vektornormák... 4 3 Indukált mátrixnormák és tulajdonságaik... 5 4 A lineáris rendszer jobboldala hibás... 6 5 A kondíciószám és tulajdonságai... 7 6 Perturbációs
RészletesebbenEgy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban
Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban avagy mit kell(ene) tudnia egy 8.-osnak a matematika versenyeken Kunos Ádám Középiskolás pályázat díjkiosztó SZTE Bolyai Intézet 2011. november 12.
Részletesebbenn n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )
Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )
RészletesebbenMatematika szigorlat június 17. Neptun kód:
Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek Műveletek vektorokkal Geometriai transzformációk megadása mátrixokkal Determinánsok és alkalmazásaik
1. Bevezetés A félév anyaga. Komplex számok Műveletek Kapcsolat a geometriával Gyökvonás Polinomok A gyökök száma A gyökök és együtthatók összefüggése Szorzatra bontás, számelméleti kérdések A harmad-
RészletesebbenGauss elimináció, LU felbontás
Közelítő és szimbolikus számítások 3. gyakorlat Gauss elimináció, LU felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 EGYENLETRENDSZEREK 1. Egyenletrendszerek
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Részletesebben1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba
Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
RészletesebbenGauss-Seidel iteráció
Közelítő és szimbolikus számítások 5. gyakorlat Iterációs módszerek: Jacobi és Gauss-Seidel iteráció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 ITERÁCIÓS
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
Részletesebbenx a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1
EL 18 Valós exponenciális függvények Definíció: Ha a R, a>0, akkor legyen a x = e x lna, x R A valós változós exponenciális függvények grafikonja: x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 A szinusz függvény
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenFELADATOK A BEVEZETŽ FEJEZETEK A MATEMATIKÁBA TÁRGY III. FÉLÉVÉHEZ. ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LÁNG CSABÁNÉ ELTE IK Budapest
FELADATOK A BEVEZETŽ FEJEZETEK A MATEMATIKÁBA TÁRGY III. FÉLÉVÉHEZ ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LÁNG CSABÁNÉ ELTE IK Budapest 2007-07-25 A 2. és a 4. fejezet feladatai megoldva megtalálhatók a Testb vítés, véges testek;
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.
Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:
RészletesebbenAlgoritmusok Tervezése. 1. Előadás MATLAB 1. Dr. Bécsi Tamás
Algoritmusok Tervezése 1. Előadás MATLAB 1. Dr. Bécsi Tamás Tárgy adatok Előadó: Bécsi Tamás, St 106, becsi.tamas@mail.bme.hu Előadás:2, Labor:2 Kredit:5 Félévközi jegy 2 db Zh 1 hallgatói feladat A félév
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Komplex számok StKis, EIC 2019-02-06 Wettl Ferenc
RészletesebbenMATLAB. 5. gyakorlat. Polinomok, deriválás, integrálás
MATLAB 5. gyakorlat Polinomok, deriválás, integrálás Menetrend Kis ZH Polinomok Numerikus deriválás Numerikus integrálás (+ anonim függvények) pdf Kis ZH Polinomok Sok függvény és valós folyamat leírható
Részletesebben1. Interpoláció. Egyértelműség Ha f és g ilyen polinomok, akkor n helyen megegyeznek, így a polinomok azonossági tétele miatt egyenlők.
1. Interpoláció Az interpoláció alapproblémája. Feladat Olyan polinomot keresünk, amely előre megadott helyeken előre megadott értékeket vesz fel. A helyek: páronként különböző a 1, a,...,a n számok. Az
RészletesebbenGyakorló feladatok. Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi
Gyakorló feladatok Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi 25 Tartalomjegyzék. Klasszikus hibaszámítás 3 2. Lineáris egyenletrendszerek 3 3. Interpoláció 4 4. Sajátérték, sajátvektor 6 5. Lineáris és nemlineáris
Részletesebben1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás
1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M
RészletesebbenA MATLAB alapjai. Kezdő lépések. Változók. Aktuális mappa Parancs ablak. Előzmények. Részei
A MATLAB alapjai Atomerőművek üzemtanának fizikai alapjai - 2016. 03. 04. Papp Ildikó Kezdő lépések - Matlab Promt: >> - Help: >> help sqrt >> doc sqrt - Kilépés: >> quit >> exit - Változók listásása >>
RészletesebbenIntergrált Intenzív Matematika Érettségi
. Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenDiszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz
Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz A vizsga menete: a vizsga írásbeli és szóbeli részből áll. Az írásbeli beugrón az alábbi kérdések közül szerepel összesen 12 darab, mindegyik egy pontot
RészletesebbenLINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK október 12. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak
LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 004. október. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László:
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
Részletesebben12 48 b Oldjuk meg az Egyenlet munkalapon a következő egyenletrendszert az inverz mátrixos módszer segítségével! Lépések:
A feladat megoldása során az Excel 2010 használata a javasolt. A feladat elvégzése során a következőket fogjuk gyakorolni: Egyenletrendszerek megoldása Excelben. Solver használata. Mátrixműveletek és függvények
RészletesebbenLineáris algebra Gyakorló feladatok
Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések
Részletesebben9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 28. 5. Számelmélet integritástartományokban Oszthatóság Mostantól R mindig tetszőleges integritástartományt jelöl. 5.1. Definíció. Azt mondjuk,
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenDiszkrét matematika 1.
Diszkrét matematika 1. Nagy Gábor nagy@compalg.inf.elte.hu nagygabr@gmail.com ELTE IK Komputeralgebra Tanszék 014. ősz 014-15 őszi félév Gyakorlat: 1. ZH tervezett időpontja: október 1.,. ZH tervezett
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Részletesebbenalakú számot normalizált lebegőpontos számnak nevezik, ha ,, és. ( : mantissza, : mantissza hossza, : karakterisztika) Jelölés: Gépi számhalmaz:
1. A lebegőpontos számábrázolás egy modellje. A normalizált lebegőpontos szám fogalma, a legnagyobb, legkisebb pozitív szám, a relatív pontosság az M(t,-k,+k) gépi számhalmazban. Az input függvény (fl)
RészletesebbenTartalom. Algebrai és transzcendens számok
Nevezetes számelméleti problémák Tartalom 6. Nevezetes számelméleti problémák Számok felbontása hatványok összegére Prímszámok Algebrai és transzcendens számok 6.1. Definíció. Az (x, y, z) N 3 számhármast
RészletesebbenTartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 2. Függvények... 8 12 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 13 16
Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 3 1.1.1. Hatványozás...1 1.1.2. Gyökök... 1 3 1.2. Azonosságok... 3 4 1.3. Egyenlőtlenségek... 5 8 2. Függvények... 8
Részletesebben