Tartalomjegyzék 14. Laboratóriumi mérések Bevezetı Mérések kiértékelése Kifejezések használata

Átírás

1 Tartalomjegyzék 4. Laboratóriumi mérések Bevezetı Mérések kiértékelése Kifejezések használata Alkalmazási tájékoztató Számítási eljárások; hibaszámítás... 6 Átlag, szórás, átlag szórása... 6 Hibaterjedés (propagation of uncertainty) Sőrőségmérés Szilárd test sőrőségének mérése... 0 Sőrőség meghatározása tömeg és térfogat mérésével Sőrőség mérése Archimédesz törvénye alapján (Areométer) Folyadék sőrőségének mérése Mohr Westphal mérleggel Folyadék sőrőségének mérése Bernoulli törvénye alapján Felületi feszültség mérése... 0 A felületi feszültség mérési módszerei... Felületi feszültség mérése sztalagmométerrel Viszkozitás mérése... 6 A viszkozitás hımérsékletfüggése Höppler viszkoziméter Rotációs viszkoziméter Reológiai mérések Mérés kézi penetrométerrel Elektronikus kézi penetrométer Finométer SMS Teture Epert elektronikus penetrométer Ömleszetett anyag tulajdonságainak mérése nyíródoboz segítségével Fénytani mérések Refraktometria Oldatok, folyadékok törésmutatójának mérése Abbe-féle refraktométerrel Az összetételi arány és a törésmutató összefüggésének mérése A törésmutató hımérsékletfüggésének mérése Színmérés tristimulusos színmérıvel Színmérés spektrokoloriméterrel... 5 Hunterlab US-8009 Ultrascan vizuális spektrokoloriméter... 5 A mőszer mőködési elve Színmérési gyakorlat Anyagi tulajdonságok mérése a közeli infravörös tartomány vizsgálatával PMC Spectralyzer 0-5 infravörös spektrométer A jelenség számszerő leírása A mőszer szerkezetére vonatkozó adatok A holografikus rács mőködési elve Az érzékelı A mérhetı anyagi tulajdonságok... 57

2 4. Laboratóriumi mérések 4.. Bevezetı A Fizika elsı évében a hallgatóknak meg kell ismerkedniük azokkal a gondolatokkal és megoldásokkal, amelyeket mások már elızıleg kitaláltak arra a célra, hogy bármely dolgot megmérhessenek, az eredményben biztosak lehessenek, és ennek alapján önmaguk is önállóan képessé váljanak mérési feladatok megoldására és kiértékelésére. Emiatt hallgatóink a lehetı legegyszerőbb eszközök használatát tanulják meg Fizikából. Azon mérési eljárások, amelyek nem igénylik az eljárás alapgondolatának és menetének megértését, már a ráépülı szaktárgyak feladata. Az általános laboratóriumi ismertetı összeállításához igénybe vettük és felhasználtuk a világ élenjáró intézményeinek ajánlásait. Néhány ezek közül: BIPM Nemzetközi Súly- és Mértékügyi Hivatal (Bureau internationale des poids et mesures, Franciaország, Sèvres) NIST Országos Mőszaki és Szabványügyi Intézet (National Institute of Standards and Technology, Amerikai Egyesült Államok, Gaithersburg, Maryland) NPL Országos Fizikai Laboratórium (National Physical Laboratory, Egyesült Királyság, Teddington, Middlese) MKEH Magyar Kereskedelmi Engedélyezési Hivatal (az Országos Mérésügyi Hivatal jogutódja, Budapest), Hungarian Trade Licensing Office Felhasználtuk olyan nemzetközi szervezetek ajánlásait, amelyek célul tőzték ki a mérések és azok kiértékelésének egységesítését. Ilyen forrásaink például: JCGM Joint Committee for Guides in Metrology (Mérésügyi interdiszciplináris társult bizottság) GUM Tájékoztató a mérési bizonytalanság kifejezésére (Guide to the epression of Uncertainty in Metrology) VIM Nemzetközi mérésügyi szótár (Vocabulaire internationale de métrologie) IUPAC International Union of Pure and Applied Chemistry: Manual of Symbols and Terminology for Physicochemical Quantities and Units (Green Book) A hallgatói gyakorlatok eredményének közlése, számítása és kiértékelése tekintetében alkalmazni kell az erre vonatkozó hazai elıírásokat; szabványokat és törvényeket: MSz 4900 Fizikai mennyiségek neve és jele 99. évi XLV. Törvény. A mérésügyrıl [A végrehajtásáról szóló 7/99. (X. 9.) Korm. rendelettel egységes szerkezetben.] Mőszaki grafikus ábrázolás: MSz ISO 009 Mőszaki dokumentáció, MSz EN ISO 5456 Mőszaki rajzok, MSZ 70/3-8 Szakgrafika. Diagramok Az itt említett javaslatokra és elıírásokra mintákat közlünk a laboratóriumi mérések leírásánál Diagram: Mennyiségi összefüggéseket, arányokat szemléltetı ábrázolás Grafikon: Egymással valamilyen kapcsolatban levı tényezı változó értékeinek összefüggéseit koordinátarendszerben ábrázoló görbe Nomogram: grafikus számítási eszköz valamely függvény, vagy egyenlet megoldására (Maurice d'ocagne. Sur quelques principes élémentaires de nomographie. Bull. Sci. Math., illetve M. J. Massau, 889.) Sankey-diagram energia- vagy anyagáram ábrázolására (Matthew Henry Phineas Riall Sankey neve után)

3 4.. Mérések kiértékelése 4... Kifejezések használata Az alábbiakban közölünk néhány kifejezést, amelyet mérésekkel kapcsolatban használunk. Fizikai mennyiség. A hozzá kapcsolódó fogalmak: neve, jele, mértékegysége, a mértékegység jele, dimenziója. Mindezekbıl egyenlet is írható, például a nyomás esetén: neve nyomás példa a jelölésére példa egyenletére jele p p 035 Pa F p A mértékegysége a mértékegység jele Pa paszkál [p] Pa N Pa m mérıszáma 035 {p} Pa 035 { p} Pa { F} { A} N m dimenziója L - MT - dim p dim F LMT dim p dim A L L MT Célszerő a jegyzıkönyvi számításokat számértékegyenlet formájában közölni, a végeredményt pedig teljes fizikai mennyiség formájában, tehát mérıszámával és mértékegységével. Statisztikai (biometriai) számításoknál a mértékegység kiírása áttekinthetetlenné teszi a számítást. A végeredmény viszont a mértékegysége nélkül értelmezhetetlen; nem fogadjuk el. A táblázatok fejlécében készítsünk külön feliratmezıt a mértékegység számára. A diagramok tengelyfeliratának tartalmaznia kell a mértékegységet, zárójel nélkül. Zárójelezést csak abban az esetben használunk, ha a feliratozás aritmetikai mőveletet tartalmaz. Például ln (p Pa ) azt jelenti, hogy nem a nyomás mérıszámát feliratoztuk, hanem a Paszkálban mért mérıszám logaritmusát. A mértékegység tört formájában is beírható, pl. Egység dimenziójú mennyiségek (például hányados) esetén javasoljuk jelölni, hogy az mibıl származik. Például a fajlagos megnyúlást a test megnyúlásának és eredeti hosszának hányadosából számítjuk, mértékegységét így jelölhetjük: m m kg Például komponens részaránya elegyben, ha a mennyiségét a tömegével határoztuk meg: kg A prefiumot (tízes hatványszorzót) használjuk mindig úgy, hogy a mérıszám és 000 közé essék. Például a termo feszültséget ne így írjuk: 0, V, hanem inkább így: 450 µv. A folyadék oszlopmagasságát ne így: 0,03 m, hanem így: 3 mm. Mint láttuk, a mérıszámot úgy tagoljuk, hogy a számjegyei hármas csoportokat alkossanak. Az idı mértékegysége például a cézium atom által kibocsátott sugárzás periódusának idıtartama. Néhány esetben megadjuk a kifejezés angol nevét is, mert zsebkalkulátorok, vagy számítógépes szoftverek gyakorta ezt használják. Mérhetı mennyiség. Lehet egy tárgy valamely jellemzıje, de lehet elvont fizikai mennyiség is (például viszkozitás). ln p Pa Valódi érték. A valódi érték semmilyen méréssel nem határozható meg pontosan. Azonban gondos mérési eljárással megközelíthetı, vagy megbecsülhetı.

4 Konvencionális valódi érték. Ez sem határozható meg pontosan, de nemzetközi egyezmények szerinti értékével számolunk. Például egységnyi anyagmennyiségő vegyületben 6, darab molekula van (Avogadro-szám). Helyes érték. A mérési eredmények halmazából képezzük; általában azok átlaga, amelyet a feltárt rendszeres hiba értékével helyesbítettünk. Rendszeres hiba. A rendszeres hiba következetesen minden mérési eredményt azonos mértékben torzít. A rendszeres hibát általában meg tudjuk határozni, és az eredményt képesek vagyunk korrigálni. Erre példákat is mutatunk. Véletlen hiba. A véletlen hibának sem nagysága, sem elıjele nem határozható meg. Ha a mérést többször is elvégezzük (megismételjük), biztonságosabb becslést kapunk az eredményre. Pontosság (accuracy). Megadja, hogy a mérési eredmény mennyire van közel a valódi értékhez. Mint említettük, a valódi érték nem ismerhetı meg. Precizitás (precision). Megadja, hogy a mérési eredményt mekkora mérési bizonytalansággal ismertük meg. Nagyságát általában az eredmények szórása alapján becsüljük. Hiba (error of measurement). A mérési hiba egyenlı a mérési eredmény mínusz a valódi érték. A valódi értéket természetesen nem ismerjük. Ezért a hiba becslését javasoljuk úgy számítani, hogy a mérési eredménybıl a helyes értéket (például az átlagot) vonjuk ki. Ennek értelmében pozitív a hiba, ha a mérési eredmény nagyobb, mint a helyes érték. Relatív hiba (relative error). A relatív hiba értékét megkapjuk, ha a mérési hiba értékét elosztjuk a valódi értékkel (ennek hiányában a helyes értékkel). Hibaszámítás. Összefoglaló neve azoknak a megfigyelési és számítási eljárásoknak, amelyek segítségével a mérés hibájával kapcsolatos értékek nagyságát képesek vagyunk megbecsülni. Ezek az elsıéves Fizika tantárgy esetében a szórás, az átlag, a lineáris regresszió számítása. Mérési bizonytalanság (uncertainty of measurement). Kifejezi azt, hogy a mérési eredmény körül milyen értékkészlető tartományban feltételezhetjük annak elıfordulását. Az elsıéves méréseknél megelégszünk azzal, hogy a mérési bizonytalanságot a szórás alapján becsüljük meg. Nagyon egyszerően fogalmazva: az átlag körüli szórást tekintjük mérési bizonytalanságnak. Mutatós mőszereknél a mérési bizonytalanság becslésére ha erre más eszköz nem áll rendelkezésünkre felhasználhatjuk a mőszer skálaosztásának értékét (amelynél kisebb változás kijelzésére a mőszer nem képes). Átlag (számtani középérték, average). Kiszámításához összegezzük valamennyi mérési eredményt, és ezt az összeget elosztjuk a mérések számával (n). n i Szórás (tapasztalati szórás, eperimental standard deviation). Kifejezi azt, hogy milyen tartományban szóródnak a mérési eredmények. Kiszámításához nem kell feltételeznünk, hogy milyen típusú az adatok szóródása. Számításához fel kell használnunk az átlagot. Ez a magyarázata annak, hogy a nevezıben a kísérletek számánál eggyel kisebb szám áll. Ez a szabadsági fok (n-). n i s n i ( ) i n Az átlag tapasztalati szórása (eperimental standard deviation of the mean). Az átlag eloszlását jellemzı szórás becslése. Annak kifejezésére használjuk, hogy mennél több mérést s végeztünk, annál megbízhatóbb az átlag becslése. n Szokásos, de nem szabályos rá hivatkozni az átlag középhibája (standard error) néven.

5 4.. Alkalmazási tájékoztató A rendszeres hiba becslésére különféle eljárások használhatóak. Bemutatunk néhány példát arra az esetre, ha ismerjük az okokat, amelyek miatt torzított mérési eredményeket kapunk; és ezt méréssel, vagy számítással meg is tudjuk határozni. Az elsı példánkban bemutatjuk, mekkora hibát okozhat egy mérıszalag meghajlása (belógása), amelyet véges merevsége miatt a saját súlya hoz létre. 08. ábra. Mérıszalag behajlása A feladat: mérıszalaggal megmérni két pont távolságát, amely várhatóan három méter. Az acél mérıszalag belógását m bető jelzi (08. ábra). Geometriai szempontból feltételezzük, hogy a mérıszalag körvonalban hajlik meg. A húr hossza ekkor a mérendı távolságot képviseli, a mérıszalagot pedig a körív hossza. Ha a kör sugara 0 méter a mérendı távolság (a húr) 3 méter, akkor az m belógás Pithagorasz tételébıl: húr m r r ,05639 m. A hozzá tartozó szög felének szinusza húr α,5 sin 0,07507 rad, (4,30 fok). A teljes szög ennek kétszerese; 0,504 rad, r 0 ebbıl az ívhossz ív α r 0, ,008 méter. Az ívhossz és a húr különbsége 3,008 m - 3 m 0,008 m. A mérıszalag tehát ezeket a távolságokat következetesen,8 mm-rel hosszabbnak méri. 09. ábra. Ajtónyílás mérése A következı ábrával (09.) szemléltetjük a rendszeres hibát és a korrekció egy lehetıségét. Egy ajtónyílás függıleges méretét kellene megmérnünk. Az ajtónyílásban egy kiemelkedı darab gátolja a mérés szabad elvégzését. Ezért kijelöltünk a küszöbön egy jól rögzíthetı részt, és annak magasságát mérjük meg a szemöldökfához képest. Mekkora hibát követünk el? Az ábrán a az ajtónyílás mérete, k a küszöb széle, m az akadálytalanul mérhetı távolság a szemöldökfa és a küszöb között. Legyen a 3, m, k 0,3 m. Az a és m által bezárt szög annyira kicsi, hogy nem is ábrázolható. Értéke:

6 k 0,3 α arc tg arc tg arc tg0, ,3fok 0,09347rad. Az m mérhetı a 3, magasság számítását végezzük ezért inkább Pithagorasz tétele alapján: m a + k 3, + 0,3 3,4. Ha tehát ferdén mérjük az ajtónyílás méretét, akkor minden mérésünknél 4 mm-t tévedünk. Ezért valamennyi eredménybıl le kell vonnunk 4 mm-t Számítási eljárások; hibaszámítás Az elsı ilyen eljárást a 4.3. Szilárd test sőrőségének mérése címő fejezethez kapcsolódva mutatjuk be. Átlag, szórás, átlag szórása Általában egy fizikai mennyiséget nem elég egyszer megmérni, mert ugyanannak a mennyiségnek többször egymásután történı mérésekor egymástól kissé különbözı értékeket kapunk. A mérés pontossága függ egyrészt a mérı eszköz érzékenységétıl, másrészt a mérést végzı személy pontosságától. Tegyük fel, hogy egy mérendı mennyiség valódi értéke 0, ezt az értéket nem ismerjük. Ha több mérést végzünk, akkor kapjuk az,, 3,, n értékeket; n a mérések száma. Az i mért értékeknek az 0 helyes értéktıl való eltérését nevezzük hibának. Mivel a valódi érték nem ismerhetı meg, ezért a helyes értéktıl (az átlagtól) való eltérést szokás számítani. A mért értékek az 0 körül helyezkednek el; lesznek annál kisebb és annál nagyobb értékek. Ezek számtani közepe n. n Ez a mérési sorozat átlaga, amely az 0 valódi értéket közelíti. Az átlag (average) eltérését az 0 valódi értéktıl (true value) torzításnak nevezzük (bias). A számegyenesen ábrázolva Hogy az egyes értékek milyen "közel" helyezkednek el az környékén, arról a tapasztalati szórás (standard deviation) ad felvilágosítást. Értékét mindig pozitívnak tekintjük: σ n ( ) i ( n ) Ennek a számnak a négyzete a szórásnégyzet (variance), gyakorta hivatkoznak rá. Ha több mérési sorozatot végzünk, akkor az egyes mérések során kapott átlagok rendre az, 3,. értékek. Ezek egyike sem adja pontosan az 0 értékét. Hogy mennyire szórnak a valódi érték körül az egyes átlagok, azt az átlag szórása adja meg. Ez a szám egyben kifejezi azt is, hogy minél több mérést végzünk, annál megbízhatóbb eredményhez jutunk, ezért a neve: az átlag tapasztalati szórása (eperimental standard deviation of the mean):.

7 n ( i ) σ. n ( n ) Ez a statisztikai mérıszám két eltérı értelemben is használatos. Az elızı bekezdésben több átlagra hivatkoztunk; ezt a biometriában használják. De használjuk abban az értelemben is, hogy minél több mérést végzünk, annál megbízhatóbb az átlag becslése. Az átlag tapasztalati szórásának egyetlen adathalmazra kell vonatkoznia. Ez azt jelenti, hogy azonos adathalmazból különféle módszerekkel ragadhatunk ki részhalmazokat. Ezek átlagának elvileg azonosnak kellene lennie, de különféle okokból azok mégis ingadoznak az egész halmaz átlaga körül. Általában egy mérési sorozat eredményét ± σ formában adjuk meg, azaz az átlag, plusz-mínusz szórás. A középérték és a szórás mértékegysége azonos. Zsebszámológépeken a statisztikai üzemmódban az i értékek bevitele után egy gombnyomásra megkaphatjuk a szórást és az átlag tapasztalati szórását. Bizonyos feltételek esetén (folytonos változó normál eloszlása) feltételezzük, hogy a mért értékek 68,7 % valószínőséggel ebbe a tartományba esnek. Elsıéves hallgatóinknak nem kell ellenırizniük a mérési eredmények normalitását. A tapasztalati szórás értékét arra használjuk fel, hogy ez legyen a mérési bizonytalanság (uncertainty of measurement) lehetı legjobb becslése. Hibaterjedés (propagation of uncertainty) Sokszor elıfordul, hogy több mennyiséget mérünk, és ezekbıl számítunk egy másik mennyiséget. Például, sőrőséget ( ρ ) nem tudunk mérni, de tudunk mérni tömeget ( m ) és m térfogatot ( V ), majd ezekbıl számítjuk a sőrőséget: ρ. Kérdés ilyenkor, hogyan V határozható meg a sőrőség hibája ( ρ) a tömegmérés és a térfogatmérés hibájából, ( m) és ( V )-bıl. A jelenséghez tartozó grafikus magyarázat a fizikai mennyiség valamilyen elképzelt megváltozására vonatkozik. Hallgatói méréseknél ide, a görög betővel jelzett eltérés helyére a mérési bizonytalanság, azaz: a szórás numerikus értékét írjuk be, amelyet más helyen s betővel, vagy σ-val jelölünk. Ezen jelölések közötti eltérés magyarázata nem tárgya a Fizikának. Ábrázoljuk a ρ -t az m és a V függvényében! Elıször a tömeg függvényében ábrázoljuk a sőrőséget, ilyenkor a térfogatot állandónak tekintjük. A ρ ( m) függvény képe egy, az origóból kiinduló egyenes, amelynek különbözı lehet a meredeksége az /V értékétıl függıen. Ha például a mért m értéke az ábrán feltüntetett m-nél van és látható a tömegmérés okozta szórás is, akkor az ( m σ ; m + σ ) intervallum mutatja a tömeg értékében a bizonytalanságot. Ezt átvetítve a függıleges tengelyre megkapjuk a sőrőség hibáját. Látható a 0. ábrán, hogy a sőrőségben annál nagyobb a hiba, minél nagyobb az egyenes meredeksége. Ezért ésszerőnek tőnik, hogy a tömegmérés hibáját a sőrőség tömeg grafikon meredekségével megszorozzuk és így számítsuk azt a hibát, amelyet a tömegmérés okoz a sőrőség hibájában. Egy görbe meredeksége mindig a görbe differenciálhányadosával adható meg. Egyenes esetében a meredekség állandó, a példánkban /V. Tehát a sőrőségnek a tömegmérés hibájából származó hibáját a következıképpen kapjuk meg: ρ m m. V

8 A sőrőség a tömeg függvényében 6 4 sőrőség, g/cm sőrőség hibája a tömeg és hihája m-σ m m+σ tömeg, g 0. ábra. Tömegmérés hibájának hatása Most vizsgáljuk meg, milyen hibát ad a sőrőségben a térfogatméréssel elkövetett hiba. Ehhez készítsük el a térfogat sőrőség grafikont, miközben a tömeget állandónak tekintjük. Az ábrán két különbözı V értéket és a hozzátartozó ( V σ ; V + σ ) intervallumot tüntettük fel. A térfogatmérés okozta bizonytalanságot átvetítve a függıleges tengelyre, kapjuk a sőrőség hibáját. Itt is megfigyelhetı, hogy a sőrőségben a hiba nagysága a görbe meredekségétıl függ, nagyobb meredekséghez nagyobb hiba tartozik. A ρ ( V ) függvény meredeksége változik, maga is függvény. Ezt a függvényt nevezik a differenciálhányados függvénynek (derivált függvény). A m ρ függvény differenciálhányadosa a V-szerint: m. (Ennek a V V meghatározását hamarosan megtanulják matematikában). Tehát a térfogatmérésbıl származó sőrőség hiba: ρ V m V V 6 A sőrőség a térfogat függvényében 5 sőrőség hibája Sőrőség, g/cm3 4 3 a térfogat és hibája 0 V-σ V V+σ V-σ V V+σ térfogat, cm3. ábra. Térfogatmérés hibájának hatása A sőrőség teljes hibája: ρ m + m V V V Ez a képlet mutatja, ha a tömegmérés hibája nı, akkor a sőrőség hibája is nı, ha a térfogatmérés hibája nı, akkor a negatív elıjel miatt a sőrőség hibája csökken. Elıfordulhat, hogy a negatív elıjelő tag abszolút értéke nagyobb, mint a pozitív elıjelő tag abszolút értéke, és ekkor a sőrőség hibája negatív lesz. Ez nehezen értelmezhetı, ezért bevezettek egy másik

9 hiba fogalmat is: a felülrıl becsült maimális hibát, amelyet a fenti két hiba összetevı négyzetösszegébıl vont négyzetgyökkel kaphatunk meg: V V m m V + ρ. A függı változó szórásnégyzete a független változók szórásnégyzetének összegébıl számítható. Általánosan, ha f(,y) olyan fizikai mennyiség, amelyet az és y mért mennyiségekbıl határozunk meg, akkor az f hibája: y y f f f állandó állandó y +. Itt a állandó y f, ill. a állandó y f az f(,y) függvény ún. parciális differenciálhányadosai az, ill. az y változók szerint. A parciális differenciálás azt jelenti, hogy ha valamely függvény több változótól függ, akkor csak az egyik változója szerinti görbe meredekséget határozzuk meg, a többi változót állandó értéken tartjuk. A regresszió számítás alapjai. Kapcsolódik a 4.3. Sőrőség mérése Archimédesz törvénye alapján (Areométer) címő méréshez. Ha két fizikai mennyiség, és y közötti függvénykapcsolatot vizsgáljuk, akkor használjuk a regresszió számítást. Ismerjük (vagy mérjük) az,, 3, n értékeket és az egyes értékekhez tartozó y, y, y 3, y n értékeket. Ábrázoljuk az függvényében az y-t, és keressük a közöttük levı függvényt. A mérési gyakorlatokon csak elsı fokú függvénykapcsolatokat vizsgálunk. Késıbbi tanulmányaikban más függvényekkel is megismerkednek.. ábra. Lineáris regresszió Tételezzük fel, hogy az és y mennyiségek között lineáris az összefüggés, és a pontokat legjobban közelítı egyenes az yy 0 +a. Keressük az egyenes a és y 0 paraméterének az értékét. Szélsıérték számítással megadható, hogy az egyenes meredeksége, az a értéke: n n y y a n i i n i i n i i n i i n i i i

10 Az egyenes tengelymetszete pedig a következı összefüggéssel számítható: n yi i i i y0 a, n n ahol a a fenti kifejezés. A zsebszámológépek többsége tud kétváltozós statisztikai számításokat, illetve regresszió számítást is. Ilyen gépeknél elég csak az ( i,y i ) pontpárokat bevinni a gépbe és egy-egy gombnyomással megkapjuk y 0, ill a értékét. A fizikában ügyelnünk kell arra, hogy a számokhoz mértékegység is tartozik. Például a tengelymetszet mértékegysége azonos a függı változó mértékegységével, a regressziós együttható pedig a függı és független változó mértékegységének hányadosát viseli. Ugyanezeket a számításokat más módon, lépésrıl-lépésre is elvégezhetjük. Így kisebb a tévedés esélye. Legyen a két változó átlaga és szórásnégyzete rendre n n i i i kovarianciája m ( )( y y) korrelációs együtthatója n i n i m ρ s s y n n n y yi s ( i ) n n i n s y ( yi y) i n i ez eddig azért jó, mert szimmetrikus; nem téveszthetjük össze a két változót. Már csak a regressziós együtthatóra kell vigyáznunk melyiknek a szórása kerül a számlálóba, illetve a nevezıbe: Sőrőségmérés s a ρ s y. Itt a független változó és y a függvény érték Szilárd test sőrőségének mérése A sőrőség ρ definíciója homogén test esetén: a test m tömege osztva a test V térfogatával: m ρ V A sőrőség SI mértékegysége kg/m 3, használatos még a kg/dm 3, kg/l és a g/cm 3 Nem homogén testnél az m/v hányados a test átlagsőrőségét adja meg. A sőrőség értéke függ a hımérséklettıl és a nyomástól. Gondos méréseknél mindig meg kell adni a hımérséklet és a nyomás értékét. Ugyanakkor, ha ismert ezek hatása, alkalmazhatunk hımérsékleti, illetve nyomás szerinti korrekciót is. Példák a sőrőség értékekre normál nyomáson (035 Pa) név sőrőség, kg/m 3 levegı,98 ( 0 C) víz 999,868 ( 0 C) etil-alkohol 789 (8 C) fenyıfa (8 C) üveg (8 C) réz 890 (8 C) alma (8 C) burgonya 50 (8 C)

11 Sőrőség meghatározása tömeg és térfogat mérésével Bármilyen anyagnál alkalmazható módszer. Gázok és folyadékok esetén egy adott térfogatú edény tömegét megmérjük üresen és megmérjük a mérendı anyaggal teletöltve, ebbıl a két tömegbıl és az edény térfogatából a keresett sőrőség meghatározható. A szabályos alakú szilárd testeknél a térfogat számítható. A szabálytalan alakú szilárd testeknél a térfogat egyszerően meghatározható vízkiszorítás módszerével, ha test anyaga nem oldódik vízben. Zöldségek és gyümölcsök sőrőségének meghatározásához megmérjük a tömeget egy mérleggel. A térfogatot úgy mérjük meg, hogy egy beosztással ellátott mérıhengerbe adott jelig desztillált vizet öntünk. A mérendı sőrőségő anyagot belehelyezzük a mérıhengerbe és leolvassuk a vízszint emelkedését (3.ábra). 3. ábra Szilárd anyag térfogatmérése vízkiszorítás módszerével A mérés menete Egy burgonya, vagy répa szelet m tömegét megmérjük táramérleggel, vagy digitális mérleggel. Ezután vizet öntünk egy 00 ml-s mérıhengerbe. Leolvassuk a vízszint értékét. Beletesszük a vízbe a szeletet, és újra leolvassuk a vízszint értékét. A két vízszint közötti térfogat a mérendı szelet V térfogata. A tömeg és térfogat hányadosa adja a sőrőséget. Egy szabálytalan alakú test V térfogatának és ρ sőrőségen meghatározásakor eljárhatunk a következıképpen: a testet egy ρ ρ sőrőségő folyadékba merítve a test megtartásához szükséges erı Ft, egy ρ ρ sőrőségő folyadékban pedig Ft (4. ábra). A test megtartásához szükséges erı nélkül a test felúszik a felszínre. A feladatban említett répa, vagy burgonya feltételezhetıen önmagától lesüllyed. 4. ábra. Úszó test egyensúlya Mind a két folyadékban a súlyerı egyensúlyt tart a felhajtó erı (F fel ) és a tartó erı (F t ) összegével: G F fel + Ft és G F fel + Ft. Felhasználva, hogy a felhajtó erı mindkét esetben a kiszorított folyadék súlyával egyenlı:

12 F fel Vg és Vg. ρ F fel ρ Beírva a felhajtó erık kifejezését a fenti összefüggésekbe, kapjuk, hogy: G ρ Vg + Ft és G ρ Vg + Ft. Mivel a baloldalak megegyeznek, ezért a jobb oldalak is egyenlık egymással: ρ Vg + Ft ρ Vg + Ft. Ebbıl az egyenletbıl V-t kifejezve: Ft Ft V. ( ρ ρ )g Tehát ismerve a két sőrőséget és mérve a két tartó erıt, a szilárd test térfogata meghatározható. Ha a test súlyát a térfogatával (V), sőrőségével ( ρ) és a nehézségi gyorsulással (g) írjuk fel: ρ Vg ρvg + Ft és ρ Vg ρ Vg + Ft. Mind a két összefüggésbıl kifejezzük a V-t, egyenlıvé tesszük a két kifejezést és megkapjuk a test sőrőségét: Ftρ Ft ρ ρ. Ft Ft Ezután meghatározzuk a hibaterjedés alapján a sőrőség hibáját. A hibaterjedésre fent leírt módszer csak akkor alkalmazható, ha azonos tömegő és azonos térfogató darabokat sikerül a mintából kivágnunk. Ha ez nem valósul meg, akkor helyettesítı számítást végzünk. A tömegmérés hibájának a mérlegen leolvasható legkisebb tömegegységet vegyük, mérlegtıl függıen 0, g, vagy g. A térfogatmérés hibája a mérıhengeren leolvasható legkisebb térfogat ( ml). Ha a mőszer hibaosztályát külön nem jelölik, akkor azt azonosnak vesszük skálabeosztás értékével. Ezzel a módszerrel megkerültük a hibaterjedés számítását; az eredmény a legkisebb észlelhetı hiba mértékét tükrözi. Feladatok A kiadott zöldség vagy gyümölcs sőrőségének meghatározása tömeg és térfogat mérésével. Három szelet sőrőségét határozzuk meg. Átlagoljuk a sőrőségeket. Határozzuk meg a szórást és az átlag szórását! Az így kapott átlag szórását hasonlítsuk össze a hibaterjedés alapján számolt sőrőség hibájával! 4.3. Sőrőség mérése Archimédesz törvénye alapján (Areométer) A szó eredete a görög αραιός ( híg, vagy ritka ). Felhasználása szerint hydrometer, saccharimeter, alcoholometer a neve. Az összetételi arány és a sőrőség közti kapcsolat miatt keveredik az értelmezése. Régi mértékegységek: Bri, Balling-fok. Az areométer (úszó sőrőségmérı) nehezékkel, esetleg még hımérıvel is ellátott, üvegbıl készült test (5. ábra), amelynek az alsó része szélesebb, a felsı része egy keskeny, skálával ellátott csı.

13 5. ábra Areométer és folyadék sőrőségének mérése areométerrel Ha folyadékba merülve az areométer úszik, akkor az areométerre ható felhajtó erı (F fel ) éppen megegyezik a test G súlyával. Ha az areométer térfogata V a, átlagos sőrősége ρ a, valamint az areométer folyadékba merülı térfogatrésze V a, akkor a felhajtó erı a kiszorított folyadék súlya ' F ρ V g fel folyadék ahol ρ folyadék a folyadék sőrősége, és az areométer súlya pedig G ρ a Va g, Ezek nyugalmi állapotban egyenlıek egymással ' F fel G, ill. ρ V g ρ V g folyadék Ha a felsı üvegcsı keresztmetszete A, és l hosszúságú darab áll ki a folyadékból, akkor ' Va Va Al kifejezést beírva a fenti összefüggésbe és ρ folyadék -t kifejezve Va ρ folyadék ρ a ρ a Va la l A Va Ebben a kifejezésben a folyadék sőrősége és a kiálló hossz között egyértelmő matematikai összefüggés van Ez a matematikai függvény egyszerősíthetı, ha az l A mennyiség elég V a kicsi. Hitelesítéssel meghatározható, hogy a különbözı sőrőségő folyadékokhoz milyen l, azaz milyen osztás tartozik. Ha az osztást sőrőségre kalibrálják, akkor a bemerülés mélységébıl rögtön a sőrőség olvasható le. A skálát lehet szeszfokra, tej százalékos zsírtartalomra, stb. kalibrálni. Sóoldat sőrőségének meghatározása areométerrel Az oldatot 50 ml-s mérıhengerbe öntjük, belehelyezzük az areométert, és leolvassuk az oldat sőrőségét. Ha különbözı koncentrációjú sóoldatok sőrőségét megmérjük, akkor meghatározhatjuk a ρ ( C) függvényt, azaz hogyan függ a sőrőség az oldat koncentrációjától, C-tıl. Kis koncentrációtartományban a sőrőség és a koncentráció között az összefüggés lineáris: a ρ ρ + ac o o ρ és a konstansok. A fizika gyakorlatokon olyan oldatokat használunk, amelyek összetételi aránya vagy tömegtörtben, vagy tömegkoncentrációban kerek számértékő. A koncentráció a a a

14 kifejezés ezért az alábbiakban győjtıfogalomként szerepel. A hallgatói jegyzıkönyvekben helyettesíteni kell az aktuálisan helyes kifejezéssel. A mérés menete Négy különbözı koncentrációjú sóoldat sőrőségét megmérjük, a nulla koncentrációjú oldat sőrősége a víz sőrősége az adott hımérsékleten. Az összetartozó érték párokat grafikonon ábrázoljuk; a vízszintes tengelyen a koncentrációt, a függılegesen a sőrőséget. Lineáris regresszió segítségével meghatározzuk az egyenes paramétereit: ρ és a-t. Az ismeretlen koncentrációjú oldat sőrőségét is megmérjük. ρ o és a konstansok ismeretében kiszámítjuk az ismeretlen koncentrációt. Feladatok A kiadott só oldatok sőrőségének meghatározása areométerrel. A sőrőség értékek ábrázolása a koncentráció függvényében. A pontokra regresszió egyenes illesztése. Az ismeretlen koncentrációjú oldat koncentrációjának kiszámítása a regressziós egyenes konstansaival és a mért sőrőséggel. A regressziós számítást más helyen ismertettük. Számítsuk át az összetételi arányt eredeti mértékegységébıl legalább egy másikba. Ha például tömegkoncentrációjával szerepel, akkor anyagmennyiség-koncentrációba. Az eredményt a következı ábrához hasonlóan kell ábrázolni. mass density, kg/m3 Sodium-chloride solution at 0 Celsius y 0, , mass concentration, kg/m3 6. ábra. Sóoldat összetételi arányának és sőrőségének összefüggése Folyadék sőrőségének mérése Mohr Westphal mérleggel A Mohr Westphal mérleg egyfajta speciális mérleg, amelyen egy G súly tart egyensúlyt levegıben egy V térfogatú üvegtesttel. A mérleg egyik karja hosszú és tíz egységre van osztva (7. ábra), ennek a végén helyezkedik el az üvegtest. Ha az üvegtest folyadékba merül, akkor az egyensúly felbomlik, mivel az üvegtestre felhajtó erı hat (8. a ábra). Amennyiben 0 C-s desztillált vízbe merül az üvegtest, akkor az egyensúlyt helyre lehet állítani az l hosszúságú mérlegkar 0-ik osztására helyezett U-alakú L lovassal, amelynek súlya egyenlı a 0 C hımérséklető, V térfogatú desztillált víz súlyával. A lovas súlya lefelé hat, a felhajtó erı felfelé hat az l hosszúságú mérlegkar végén a 0-ik osztásnál. o

15 7. ábra. A Mohr Westphal-mérleg képe Megjegyzés: a víz sőrőségének közismert értéke 4 C-ra vonatkozik. A laboratóriumi eszközöket viszont szobahımérsékletre, a használati hımérsékletre szokás hitelesíteni. Ha az üvegtest a víz sőrőségénél nagyobb sőrőségő folyadékba merül, akkor a felhajtó erı is nagyobb lesz (8. b ábra). A mérleghez tartozik egy speciális súlysorozat: az L súlyú lovas 0., 0.0 és 0.00 súlyának megfelelı súlyú lovas.: 0.L, 0.0L és 0.00L. Ezeket a mérlegkar különbözı osztásaira helyezve visszaállítjuk az egyensúlyt. Ilyenkor a felhajtó erı meghatározásához fel kell írni a mérlegkarra ható forgatónyomatékokat. Felfelé forgat a felhajtóerı, lefelé forgatnak a lovasok. A 4b ábrán például az L lovas forgató karja a mérlegkar teljes l hossza, a 0.L lovas karja 0.3l, a 0.0L lovas karja 0.8l és a 0.00L lovas karja 0.5l. 8. ábra Mohr Westphal-féle mérleg. Egyensúly levegıben. 8. a ábra 8. b ábra Egyensúly vízben Egyensúly folyadékban A felhajtó erık: F felvíz ρ Vg F ρ Vg víz felfolyadék folyadék

16 A forgatónyomatékok egy kidolgozott numerikus példa esetén F felvíz l Ll F l k Ll + 0.L0.3l + 0.0L0.8l L0. l felfolyadé 5 Egyszerősítve l-lel F felvíz L F L felfolyadé k Beírva a felhajtó erık kifejezését: A kiszorított víz súlyát, ill. a kiszorított folyadék súlyát L ρ Vg víz.0385l ρ Vg folyadék Elosztva egymással ezt a két kifejezést és egyszerősítve L-lel, g-vel és V-vel ρ.0385 folyadék ρ víz és kapjuk, hogy ρ folyadék ρ víz A Mohr Westphal mérleggel a mérés úgy történik, hogy elıször kiegyensúlyozzuk a desztillált vízben, majd a mérendı sőrőségő folyadékban a felhajtó erıt a lovasokkal. Ezután a lovasok helyébıl leolvasható, hogy mennyivel kell a víz sőrőségét megszorozni, hogy megkapjuk a folyadék sőrőségét. Ha a mérendı sőrőség nagyobb, mint.ρ víz, akkor a kiegyensúlyozáshoz még egy, vagy több L súlyú lovast lehet használni. Ha a desztillált víz nem 0 C-s, akkor a benne fellépı felhajtó erı sem pontosan L. Ilyenkor a vízben fellépı felhajtó erıt is az összes lovas felhasználásával egyensúlyozzuk ki, és a folyadék sőrőségét úgy kapjuk meg, hogy a víz aktuális sőrőségét két négyjegyő szám hányadosával szorozzuk meg Folyadék sőrőségének mérése Bernoulli törvénye alapján Bernoulli törvénye értelmében az ideális közeg (összenyomhatatlan gáz vagy folyadék) stacionárius, veszteségmentes (súrlódás nélküli) áramlására igaz a következı összefüggés m m mv + mgh + p mv + mgh + p ρ ρ Ennek értelmében a közeg mozgási (kinetikai), helyzeti (potenciális) és nyomásának energiája állandó. Gravitációs térben az energiát egységnyi tömegre számítjuk: v + gh + p v + gh + p ρ ρ Folyadék, vagy gáz energiáját térfogategységre számítjuk (mρv helyettesítéssel): ρ v + ρgh + p ρv + ρgh + p Mindegyik tag nyomás mértékegységő. Ezért ezt a formát ventillátorok, légáramlások számítására használják. Ugyancsak a gravitációs tér jellegzetessége, hogy az energiát súlyegységnyre számítják: v + h + p v + h + p g ρg g ρg Most mindegyik tag mértékegysége méter; kifejezi a folyadékoszlop magasságát. Emiatt ez a forma igen elınyös a szivattyúk, a folyadékáramlások számítására. Jelen mérési gyakorlatunknál a vízsugár-szivattyút vízszintesen helyezzük el, h h. Itt p a sztatikus nyomás, v a közeg sebessége, ρ a közeg sőrősége, h magasság és g a nehézségi gyorsulás. A fentiek jobb megértése kedvéért a szövegben említett és kapcsolódó fogalmak vázlatosan:

17 forrás: térfogat, V tömeg, m töltés, Q anyagmennyiség, n forráserısség: térfogatáram, I V tömegáram, I m elektromos áram, I anyagmennyiségáram dn/dt potenciál: nyomás, p gravitációs elektromos kémiai potenciál, µ potenciál, gh potenciál, El munka, energia: p V gh m El Q µ n teljesítmény: p I V gh I m El I µ dn/dt Itt tehát a források etenzívek, a térerı és a potenciál intenzív mennyiség. Tehát: p + ρ v p + ρv. 9. ábra Áramlási csı A és A keresztmetszettel, ill. v és v sebességgel Stacionárius áramló közegekre érvényes a folytonossági tétel, vagy kontinuitási tétel A v Av, ahol az A keresztmetszetnél az áramló közeg sebessége v, A keresztmetszetnél a közeg sebessége v. 0. ábra Vízsugár légszivattyú A vízsugár-légszivattyú a kétfolyadékos energiaátalakítók közé tartozik. Az ú.n. primer folyadéktól származik az energia; a szekunder folyadék az, amely ennek egy részét átveszi, úgy hogy teljesüljön ezen energiák egyensúlya. Adott esetben a levegıtıl származik az energia, amelynek egy részét átveszi a csıben felemelkedı folyadék. Kísérleti összeállításunknál levegı áramot hozunk létre porszívóval. A légáramot egy vízsugár légszivattyún (0. ábra) engedjük át. A szivattyú szők keresztmetszetében a levegı sebessége nagyon megnı és ekkor a sztatikus nyomás csökken. Ha az alacsony nyomású térhez egy üvegcsıvel csatlakozunk (. ábra), amelynek az alja egy folyadékot tartalmazó edényben áll, akkor a folyadék felemelkedik a csıben h magasságra. Ilyenkor a folyadék p h hidrosztatikai nyomásának és a csıben levı levegı p sztatikai nyomásának összege egyensúlyt tart a külsı levegı p 0 nyomásával. A csıben nincs áramlás, elmarad a Bernoulliegyenletnek a kinetikai energiára vonatkozó tagja. Ami megmarad, nem más, mint a hidrosztatikai nyomás képlete: ρ gh + p ρgh + p. A légköri nyomást p 0 jelöli: p p + h p 0

18 . ábra Sőrőség mérése Bernoulli törvénye alapján Az áramló levegıre felírhatjuk Bernoulli törvényét és a folytonossági tételt. Az egyik hely a légszivattyú összeszőkülı keresztmetszete, a másik a kísérleti helység légtere, amely 0 m/s sebességgel mozog, és a statikus nyomás megegyezik a külsı légnyomással, p 0 -val. Az összeszőkülı keresztmetszetben a levegı áramlási sebessége v levegı, sőrősége ρ, és a sztatikus nyomás p. p + ρ levegı vlevegı p0 Összevetve az elıbbi egyenlettel ph + p ρ levegı vlevegı + p Ebbıl ph ρlevegı vlevegı A csıben felemelkedett folyadék hidrosztatikai nyomása (g a nehézségi gyorsulás): p h g h ρ folyadék folyahék Így ρ folyadék h folyadék g ρlevegı vlevegı Ez a kifejezés alkalmas ismert sőrőségő folyadék esetén a levegı sebességének meghatározására, ill. a levegı sebességének ismeretében egy ismeretlen sőrőség meghatározására. Ha pl. vízzel végezzük a kísérletet, akkor a víz és a levegı sőrőségének ismeretében, a vízoszlop magasságának lemérésével a levegı sebessége kiszámítható: ρvízhvíz g vlevegı ρ Ha egy ismeretlen sőrőségő ( ρ ) folyadék h magasságra emelkedik fel, amikor a levegı v levegı sebességgel áramlik, akkor ρ levegı vlevegı ρ h g A levegı állandó sebességét úgy tudjuk biztosítani, hogy a porszívóra kapcsolt feszültséget állandó értéken tartjuk. Különbözı levegı sebességeket a porszívóra kapcsolt feszültség változtatásával lehet beállítani. levegı levegı

19 Nem szükséges a levegı sebességének ismerete ahhoz, hogy ismeretlen sőrőséget mérjünk. Elıször vízbe állatjuk a csövet és azután ugyanolyan levegı sebességnél ismeretlen sőrőségő folyadékba, akkor: ρ vízhvíz g ρlevegı vlevegı és ρ h g ρlevegı vlevegı. Ezen két egyenletbıl a baloldalak egyenlıségével kapjuk, hogy hvíz ρ vízhvíz g ρ h g, ill. ρ ρvíz. h Ezzel lényegében a sőrőség mérését hosszúság mérésére vezettük vissza: a víznél és az ismeretlen sőrőségő folyadéknál az emelkedés magasságát lemérve és ismerve a víz sőrőségét, a fenti egyenletbıl az ismeretlen sőrőség meghatározható. A mérés menete. A légáram elıállításához porszívót használunk. A porszívóra adott feszültség változtatásával változtatható a légáram sebessége. A porszívóra kapcsolt feszültség értékét digitális voltmérıvel mérjük. Egy pohárba elıször vizet öntünk. A vízsugár légszivattyúhoz csatlakozó függıleges mőanyagcsövet a hozzáerısített vonalzóval együtt a vízbe állítjuk. Óvatosan elkezdjük a porszívóra kapcsolt feszültség értékét egy toroid transzformátor segítségével növelni. 30 V 60 V feszültségtartományban 0 V-onként növeljük a feszültség értékét. A négy beállított feszültségnél a mőanyagcsıben felemelkedett vízoszlop magasságát leolvassuk. Ezt a feszültség lecsökkentésével, majd újra emelésével még kétszer megismételjük. Ezután a mérendı sőrőségő folyadékba állítjuk a mőanyagcsövet a vonalzóval együtt. Az elıbbi feszültségeket állítjuk be újra (ezzel biztosítjuk, hogy a légáram sebessége ugyanaz), és a csıben felemelkedett folyadékoszlop magasságát megmérjük, szintén minden feszültségnél háromszor. Az egy feszültséghez tartozó vízoszlop magasságokat, illetve folyadékoszlop magasságokat átlagoljuk, ezek lesznek a h víz és h. Ezekkel az értékekkel a hvíz ρ ρvíz képlet segítségével kiszámítjuk a folyadék sőrőségét. A víz sőrőségét adott h hımérsékleten táblázatból keressük ki. A víz sőrőségét különbözı hımérsékleten a következı táblázat tartalmazza: t C ρ, kg/m 3 t C ρ, kg/m 3 t C ρ, kg/m , , 5 997, ,95 998, , ,75 997, , , , , , , ,95 A h víz értékek ismeretében az egyes feszültségeknél meghatározhatjuk a levegı áramlási sebességét a ρ vízhvíz g ρlevegı vlevegı összefüggéssel. A levegı sőrősége,93 kg/m 3. p + ρ v p összefüggésbıl a csıben kialakuló nyomást határozhatjuk meg. A A levegı levegı 0 pillanatnyi légnyomás, p o, értékét nyomásmérırıl olvassuk le. Ha a légköri nyomás aktuális értéke nem ismeretes, akkor helyettesítsük annak konvencionális valódi értékét: 035 Pa. (A Nemzetközi Metrológiai Értelmezı Szótárban: Conventional true value of a quantity).

20 Feladatok A kiadott oldat sőrőségének meghatározása négy különbözı feszültségértéknél. Egy-egy feszültségnél háromszor mért vízoszlop, ill. folyadékoszlop magasságokból átlag, szórás és az átlag szórásának meghatározása. A négy különbözı feszültségnél a légáram sebességének és a csıben uralkodó nyomásnak a meghatározása. A vízsugár-légszivattyúk energia-átalakítási tényezıje eltérı lehet. Válasszunk a méréshez olyan feszültség-tartományt, amelyben a mérés végrehajtható. Ábrázoljuk a villamos feszültség és a mért sőrőség összefüggését! A mérıfeszültséget a vízszintes tengelyre vegyük fel. Tekintettel arra, hogy a feszültség nem befolyásolja a sőrőséget, ez az összefüggés csakis egyenes vonallal közelíthetı. Ha ρ a sőrőség és s ρ a szórása, akkor további vízszintes vonalat húzunk a ρ+s ρ és a ρ-s ρ értékeknél. A mérési eredmények legtöbbje ezen a sávon belül helyezkedik el Felületi feszültség mérése Két (egymással nem elegyedı közeg) határán mindig fellép a felületi feszültségbıl származó erı. Oka, hogy a közegek felületén elhelyezkedı atomokra, vagy molekulákra ható erık értéke nem egyezik meg a közeg belsejében levı részecskékre ható erık értékével. Ugyanis, a közeg belsejében elhelyezkedı részecskére a szomszédos részecskéktıl származó erık eredıje nulla, míg a felszínen levı részecskékre a folyadék belseje felé irányuló eredı erı tapasztalható.. ábra Felületi feszültség értelmezése A. ábrán az (pl. levegı) és a (pl. víz) közeg határán, l szakaszon F erı hat a folyadék belseje felé. Az erı arányos a szakasz hosszával: F α l, ill. ebbıl kifejezve α -t F α l Ez a felületi feszültség, α, definíciója. A felületi feszültség mértékegysége N/m. A felületi feszültséget gyakran jelölik γ betővel. Ha egy folyadékhártya felületét A értékkel megnöveljük, akkor az ehhez szükséges munka W α A Ebben az összefüggésben az α -t fajlagos felületi energiának nevezzük, amelynek számértéke megegyezik a fent definiált α értékkel. A fajlagos felületi energia mértékegysége J/m. Ha a két közeg határfelülete nem sík, akkor ún. görbületi nyomás lép fel a két közeg határán. Gömbfelület esetén a görbületi nyomás: α p g r Illusztráljuk a felületi feszültség értékét egy közismert anyagra: az alkohol víz elegyre vonatkozó táblázattal. A táblázatban az értékeket mn/m-ben tüntettük fel:

21 tömegtört hımérséklet, C % ,6 74, 7,6 7, 69,9 0 5,4 49,7 47,9 46, 44,4 0 4,7 4,3 39,8 38,4 37,0 35, ,5 35,6 34,7 33,7 3,8 3,9 3,0 40 3,7 3,0 3,3 30,6 9,9 9, 8,5 50 3,0 30,3 9,6 8,9 8, 7,5 6,8 60 9,8 9, 8,4 7,7 7,0 6,3 5,6 70 8,8 8, 7,4 6,7 6,0 5,3 4,6 80 7,8 7,0 6,3 5,6 4,8 4, 3,4 90 6,8 6, 5,3 4,5 3,7,9, 00 5,8 5,0 4, 3,3,4,6 0,7 Természetesen 0 % a tiszta vizet; 00 % a tiszta alkoholt jelenti. Az alkohol víz elegy eutektikus pontja -5 C; ilyen hımérsékleten nem ismeretes a felületi feszültsége. A felületi feszültség hımérsékletfüggését Eötvös Loránd után a következı képlettel számíthatjuk: α Vm k( TC 6 T ) α a felületi feszültség, V m a folyadék moláris térfogata, T C a kritikus hımérséklet, T az aktuális hımérséklet. Az Eötvös-féle állandó k J/K. Nézzünk erre egy példát! A víz sőrősége 5 C-on 997 kg/m 3, moláris tömege M 0,0805 kg/mol. Moláris térfogata kg 0, M m V mol m 0, ρ kg 997 mol 3 m Kritikus hımérséklete 374 C, azaz 647 K. Eötvös állandója kisebb, mint az elméleti érték: 03 nj/k. Keressük a felületi feszültségét 5 C-ra, tehát 98 K-re. 3 ( T 6 T ) 03 nj/k mol ( 647K 6K 98K) k C α Vm m 0, mol 9 J Az Eötvös-állandó elméleti értéke: K mol A felületi feszültség mérési módszerei , N 0, 05 m Felületi feszültség mérése kapilláris emelkedés módszerével Ha kapilláris (kicsiny belsı átmérıjő) üvegcsövet merítünk vízbe, akkor, a víz felszíne a csıben magasabban lesz, mint az edényben (3. a ábra). Ha pedig folyékony higanyba merítjük az üveg csövet, akkor a csıben a higany szint alacsonyabban lesz, mint az edényben (3. b ábra)

22 3.a ábra 3.b ábra Kapilláris emelkedés (a) és süllyedés (b) 4.a ábra 4. b ábra Üveg és víz (nedvesítı folyadék; a) és higany (nem nedvesítı folyadék; b) határa A víz nedvesíti az üveget, azaz a víz és az üveg között viszonylag nagy az adhéziós erı (4. ábra) a vízmolekulák közötti kohéziós erıhöz képest. A kialakuló folyadék felszín olyan, hogy merıleges az eredı erıre. A higany és az üveg esetén a higanymolekulák között fellépı kohéziós erı nagyobb az üveg és higany közötti adhéziós erıhöz képest. A folyadék felszín itt is merıleges az eredı erıre. A kapilláris emelkedésnél, ill. a süllyedésnél a hidrosztatikai nyomás (p h ) és a görbületi nyomás (p g ) egyenlı egymással α ρgh r Ebbıl a kifejezésbıl a felületi feszültség meghatározható, ha ismerjük a kapilláris sugarát, a folyadék sőrőségét és emelkedési magasságát. rρgh α Ez a kifejezés akkor érvényes, ha kapillárisban a folyadék felszíne tökéletes félgömb, azaz a folyadék felszínhez húzott érintı a folyadék hártya végénél éppen függıleges. Ilyenkor azt mondjuk, hogy a víz tökéletesen nedvesíti az üveget. Valóságban a folyadék felszín nem tökéletes félgömb (5. ábra), és a folyadékfelszínhez húzott érintı Θ szöget zár be az üvegcsı falával. A Θ szöget illeszkedési szögnek nevezik. Az érintı merıleges a gömb sugarára (R), így merıleges szárú szögek miatt az ábra alapján a görbületi nyomás α α α cos Θ p g R r r cos Θ

23 5. ábra Az illeszkedési szög ( Θ ) értelmezése és szerepe Ebben az esetben a felületi feszültség meghatározásához még a Θ szöget is ismernünk kell rρgh α cosθ Gondosan megtisztított kapilláris esetén ez a módszer alkalmas a felületi feszültség meghatározására. Felületi feszültség mérése du Noüy győrőleszakítás módszerrel és változata: az ú.n. minimális módszer, fémtő használatával Ha valamely anyagot nedvesít a folyadék, akkor az ebbıl az anyagból készült testet kihúzva a folyadékból, folyadékhártya alakul ki a test és a folyadék között, amely akkor szakad le, ha a húzóerı egyenlı a test súlyának és a felületi feszültségbıl származó erınek az eredıjével. Pl. egy fémgyőrő és víz esetén (6 ábra) a húzó F erı a győrő G súlyának, valamint a győrő külsı és belsı széle mentén fellépı felületi feszültségbıl származó erınek az összege. 6. ábra Győrő leszakítás módszere F G + α[ rπ + ( r + r) π ] Mérve F-et és ismerve r-t és r -t, az α felületi feszültség számítható. Részletesen nem ismertetjük: Quincke-mérleg: drótkeretre elmozdítható keresztirányú huzalt erısítünk, amelyre mérlegsúlyt lehet függeszteni. A keret belsejében kifeszített folyadékhártya így egyensúlyt tart a súlyerıvel. Wilhelmy plate módszer: függıleges síklapot süllyesztünk a folyadékba, és mérjük rajta az erı értékét Jaeger s buboréknyomásos módszer (pl. levegı befúvatásával)

24 Érintkezési szög mérése: vízszintes felületen nyugalomban elhelyezett folyadékcseppnek a felülettel bezárt szögét mérjük. Függı csepp módszere: kapilláris végén függı folyadékcsepp átmérıjét és hosszát mérjük. A módszer használható igen magas hımérsékleten is; üvegnél, fémolvadékoknál. Felületi feszültség mérése sztalagmométerrel Ezt a mérést hallgatóink is elvégzik. A sztalagmométer (7. ábra) egyfajta speciális hasas pipetta, melynek alsó csöve kapilláris. A kapilláris vége kiszélesedik, a sugara r. A pipettából lassan kicsepegı cseppek akkor szakadnak le, amikor a növekvı csepp súlya (G csepp ) éppen egyenlıvé válik a felületi feszültségbıl származó erıvel ( α πr ): G csepp α πr. Egy csepp súlyát megkapjuk, ha a V térfogatú folyadék kicsepegésekor megszámoljuk a cseppeket. Ha n cseppet számolunk, akkor G ρvg G csepp n n 7. ábra Sztalagmométer A V a sztalagmométer felsı és alsó szárán levı körbefutó osztások közötti térfogat, ρ a folyadék sőrősége és g a nehézségi gyorsulás. Így ρvg α πr. n Ha r-t, V-t és a sőrőséget ismerjük, n-t számoljuk, akkorα meghatározható. Mivel r és V pontos mérése nehéz, ezért általában relatív mérést végzünk. A fenti egyenletet felírjuk, pl. vízre és az ismeretlen felületi feszültségő anyagra: ρvízvg ρ Vg α víz πr és α πr nvíz n és elosztjuk egymással. V-vel, r-rel, g-vel és π -vel lehet egyszerősíteni és kapjuk, hogy ρ nvíz α α víz ρvízn A víz felületi feszültségét és sőrőségét ismerjük táblázatokból kikereshetıek, a cseppszámokat megszámoljuk mind a vízre, mind az ismeretlen folyadékra, a mérendı oldat sőrőségét ( ρ ) megmérjük és α -t számoljuk.

25 8. ábra Mérés sztalagmométerrel Méréskor az elsı - cseppet nem számoljuk, mivel másképp cseppennek le, mint a további cseppek. Ezért méréskor a sztalagmométerbe a folyadékot a felsı körbefutó jel fölé szívjuk fel, majd - cseppet számolás nélkül leengedünk. Ezután megnézzük, hogy hol van a folyadék felszíne a körkörös jelhez képest, és feljegyezzük (pl. a körkörös jel felett 3 osztással). Ezután megszámoljuk a pipettából kifolyó cseppek számát (n) és feljegyezzük, hogy a folyadék felszín hol áll (pl.7 osztással az alsó körkörös jel alatt). Ekkor nem pontosan a V térfogatban levı cseppek számát határoztuk meg, hanem 7+30 osztásnak megfelelı többlet térfogatban levı cseppek számát. Hogy tudjunk korrigálni, meg kell határozni, hogy hány osztás egy csepp. Ha például a következı ábrának megfelelıen 9. ábra Csepp korrekció egy csepp térfogata 6 osztás, akkor egy osztásnak /6 csepp felel meg. Így az elızı 0 példában az n cseppszámot csökkenteni kell 0/6 cseppszámmal: n ; ennyi csepp lesz 6 pontosan a V térfogatban. Ezt a korrekciós eljárást nevezik cseppkorrekciónak. A sőrőség is és a felületi feszültség is függ a hımérséklettıl. A víz felületi feszültségét t C-n a következı egyszerősített összefüggéssel kapjuk meg: α 0.076( 0.00t C ) N/m Számítsuk ki az Eötvös-féle képlettel is! A mérés menete A pipettázó labdacsból (30. ábra) kinyomjuk a levegıt. Ezután felhúzzuk a sztalagmométerre, majd a sztalagmométer alját vízbe merítjük. Megnyomjuk a felszívó szelepet (egy felfelé mutató nyíl van rajta; az ábrán baloldalt), és felszívjuk a vizet a felsı függıleges száron levı osztások fölé. A kiengedı szelepet (lefelé mutató nyíl van rajta)

26 óvatosan megnyomjuk, és addig engedünk le cseppeket, amíg a vízszint az osztásoknál helyezkedik el. 30. ábra. Griffin labda Megjegyezzük, melyik osztásnál van a vízszint. Ekkor egyetlen csepp leengedésekor megszámoljuk, hány osztást süllyedt a vízszint. Ez lesz egy vízcsepp térfogatának megfelelı osztásszám. Ezt a mővelet sort a víz újra felszívása után még kétszer megismételjük. Az így kapott három érték számtani közepe lesz egy cseppnek megfelelı osztás. Ezután következik a sztalagmométerben levı víz mennyiségnek megfelelı cseppszám meghatározása. Megjegyezzük, hogy melyik osztásnál van a folyadékszint, és megszámoljuk a sztalagmométerbıl kicsepegı cseppek számát a kiengedı szelep folytonos nyomása mellett. Megnézzük, hogy a lenti osztásoknál hol áll a vízszint a cseppszámlálás végén. Kiszámítjuk a cseppkorrekció értékét, majd a V térfogatban levı korrigált cseppszámot. Ezt a mőveletsort is még kétszer megismételjük a vízzel, majd háromszor a mérni kívánt folyadékkal. A három víz ρ nvíz cseppszámból, ill. a három folyadék cseppszámból a α α víz összefüggéssel ρvízn meghatározzuk az ismeretlen felületi feszültséget. Az ismeretlen sőrőséget areométerrel mérjük. A víz sőrőségét táblázatból keressük ki az adott hımérsékleten, a felületi feszültségét α t képlettel. pedig számítjuk a ( ) 0 C Feladatok A kiadott oldat felületi feszültségének meghatározása három méréssel. A kapott értékek átlagának kiszámítása, a szórás és az átlag szórásának meghatározása. Számítsuk ki a felületi feszültséget is a teremben uralkodó hımérséklet alapján is! A vízre elızıleg megadtuk az adatokat. A mérésbe bevont ismeretlen közegre nem szabad elvégezni a számítást, mert az a kritikus hımérséklet elérése elıtt fizikai és kémiai változásokat szenved (komponenseire bomlik) Viszkozitás mérése A reális folyadékok áramlása veszteséges. Az itt következı méréseknél most ezt vesszük figyelembe. Súrlódás lép fel az egymáson elcsúszó folyadék részek között. Kísérleti megfigyelések alapján, ha egy folyadék felszínen egy A felülető lapot mozgatunk állandó v sebességgel, akkor ahhoz állandó nagyságú, F erı szükséges. 3. ábra Réteges (lamináris) áramlás viszkozitás definíciója a Newton-féle súrlódási törvény alapján

27 Ezt a jelenséget úgy képzeljük el, hogy a legfelsı folyadékréteg hozzátapad a laphoz (a lapot nedvesíti a folyadék), ez a réteg v sebességgel mozog. A következı, lejjebb levı réteg, már egy kicsit kisebb sebességgel, v v sebességgel mozog. A sebesség csökkenés oka a két folyadék réteg között fellépı súrlódási erı. A súrlódási erı és a mozgató F erı egyenlı nagyságú és ellentétes irányú egymással, mivel a felsı folyadékréteg állandó sebességgel mozog (a rá ható erık eredıje nulla). Az erı, a felület és a sebességcsökkenés között a következı összefüggés áll fenn: dv F ηa, dz amelyet Newton-féle súrlódási törvénynek nevezünk, és amely az η viszkozitást definiálja. A viszkozitás mértékegysége a fenti egyenletbıl Pa s. Mivel a víz viszkozitása ezerszer kisebb, emiatt gyakorta használják a mpa s mértékegységet is. F A fenti egyenletet átrendezve, és bevezetve aτ nyírófeszültséget, kapjuk, hogy A dv τ η dz Azért nevezzük τ -t nyírófeszültségnek, mert F iránya párhuzamos az A felülettel és a felsı folyadékréteget mintegy elnyírja, elcsúsztatja az alatta levı rétegen. Másik neve: csúsztatófeszültség. Ilyen réteges (lamináris) áramlás csak kis sebességeknél lép fel. Ha a sebesség nagy, akkor örvényes, turbulens áramlás jön létre. A turbulencia kritériumot a Reynolds-féle szám adja meg. Azokat a közegeket, amelyekre igaz a Newton-féle súrlódási törvény, és a viszkozitás nem dv függ a sebességtıl, newtoni közegeknek nevezzük. Ezeknél a sebesség gradiens dz függvényében a τ nyíró feszültséget ábrázolva az origóból kiinduló egyenest kapunk. A viszkozitás jelenségét lamináris áramlásra a Hagen Poiseuille-törvénnyel írjuk le. Ezt a mérési gyakorlatnál ismertetjük. Gradienst csak skaláris mennyiségekbıl számíthatunk. Ezért a képletben most a sebességnek az áramlás irányába esı komponense (abszolút értéke) szerepel; a dz irányra merıleges komponense. Fent definiáltuk a dinamikai viszkozitási együtthatót. Ennek alapján határozzuk meg a η kinematikai viszkozitási együtthatót: ν, ahol ρ a sőrőség. ρ A viszkozitás hımérsékletfüggése. Ezt Svante August Arrhenius és Julio de Guzmán Carrancio (93) szerint számítjuk: η Ae Itt η a dinamikai viszkozitási együttható, A az egyenlet konstansa (preeponenciális faktor), e a természetes logaritmus alapja, E az aktiválási energia, R az általános gázállandó, és T az abszolút hımérséklet. Víz esetén érdemes A Pa s és E J/mol értékekkel számolni Ostwald Fenske viszkoziméter E RT

28 Ha egy l hosszúságú, r sugarú csıben p p p nyomás különbség hatására t idı alatt V térfogatú, η viszkozitású folyadék áramlik át stacionárius, réteges áramlással, akkor a dv V következı összefüggés adja meg az I v térfogatáramot: dt t V π p p 4 r t 8 η l Ezt az egyenletet nevezzük Hagen Poiseuille törvénynek. Az áramlástanban néha önálló szerephez jut az egyenlet középsı része: a hosszegységre esı nyomásveszteség. Az Ostwald-féle kapilláris viszkoziméter U-alakú csı, amelynek egyik szárában l hosszúságú, r sugarú kapilláris van. Ezen keresztül áramlik a felsı gömbbıl a V térfogatú, η viszkozitású, h + h ρ sőrőségő folyadék t idı alatt a p p ρ g átlagos hidrosztatikai nyomás különbség hatására az alsó gömbbe. 3. ábra Ostwald-féle kapilláris viszkoziméter Beírva a hidrosztatikai nyomás kifejezését a Hagen Poiseuille törvénybe, kapjuk, hogy h + h ρg V π 4 r t 8 η l Ez az összefüggés már használható a viszkozitás meghatározására, ha megmérjük a V, a ρ, az r, az l, a h és h értékét és mérjük azt a t idıt, amely alatt a felsı gömb felsı szélén levı jeltıl a folyadék szint a felsı gömb alsó szélén levı jelig csökken, azaz amíg a V térfogat átáramlik a kapillárison. A V, l és r értékét nehéz pontosan megmérni, ezért vízhez viszonyított relatív mérést végzünk. Elıször vizet áramoltatunk át a kapillárison, majd az ismeretlen viszkozitású folyadékot. A két folyadékból azonos térfogatot kell a viszkoziméterbe önteni, hogy a hidrosztatikai nyomásnál a magasságok számtani közepe azonos legyen mindkét folyadékra. Mindkét folyadék áramlási idejét mérjük. Mindkét sőrőséget meghatározzuk. Felírva a két összefüggést: h + h ρvíz g V π 4 r tvíz 8 ηvíz l és h + h ρ g V π 4 r t 8 η l

29 Elosztva a két egyenletet, és az ismeretlen viszkozitást kifejezve kapjuk, hogy: ρ t η ηvíz ρvíztvíz A víz hımérsékletét megmérjük és a hozzátartozó sőrőséget táblázatból keressük ki. A víz viszkozitását az alábbi táblázatból írjuk ki, vagy határozzuk meg lineáris interpolálással: Víz hımérséklete, C Víz viszkozitása, Pa s 0, , , , , , , , , , , , Szokásos a viszkozitást mpa s-ban mérni, mert így a szobahımérséklető víznél egy közelébe esik az értéke. Az egyes folyadékok áramlási idejét ötször egymás után megmérjük, majd az átlag átfolyási idıvel határozzuk meg a viszkozitást. Kiszámítjuk az átfolyási idık szórását is. Feltételezzük, hogy a viszkozitás meghatározásának hibáját fıleg az idımérésben elkövetett hiba okozza. A hibaterjedés törvénye alapján a viszkozitás hibája: η dη dt ( t ) + ( t ) η ( t ) + η ( t ) dη dt víz víz víz ρ ρ t víz víz víz ρ t ρ t víz víz ρ t A konstansok kiemelhetıek a gyökjel alól: η ( ) ( ) ηvíz t + t víz víz t víz t (a víz ρ víz adatát táblázatból olvassuk, az ismeretlen közeg sőrőségét pedig mérjük). A képletben t az idımérés szórása. Néha elıfordul, hogy túl kevés a mérések száma, és a szórás nem számítható ki. A hibaterjedés számítását ilyenkor is végezzük el. Mint említettük, ha a szórás hihetı értéke nem áll rendelkezésre, beírhatjuk helyébe a mőszer felbontóképességét (a skálaosztást). Idımérés esetében egy másodpercnél jobb felbontású mérést hallgatóink nem tudnak végezni. Ha ezt írjuk a hibaterjedés képletébe, a megmérhetı legkisebb hiba értékét kapjuk. A mérés menete A viszkoziméterbe 0 ml vizet öntünk. A pipettázó labdacsból kinyomjuk a levegıt, majd a viszkoziméter V térfogatú tartálya feletti szárra csatlakoztatjuk. A felszívó szelepet megnyomva, óvatosan felszívjuk a vizet a V térfogatú részbe úgy, hogy a víz szintje a felsı részen levı jel fölött legyen. A labdacsot eltávolítjuk a viszkoziméterrıl és megmérjük azt az idıt, amíg a víz szintje a felsı jeltıl az alsó jelig csökken, azaz azt az idıt mérjük, amíg a V térfogatú víz átáramlik az l hosszúságú, r sugarú kapillárison. Víz esetén még kétszer megmérjük az átfolyási idıt. Ezután a vizet kiöntjük a viszkoziméterbıl és a mérendı folyadékból öntünk bele 0 ml térfogatot. Ezzel a folyadékkal is megismételjük háromszor az víz

30 átfolyási idı mérését. Az átfolyási idıket mind a vízre, mind a folyadékra átlagoljuk, szórást, ill. átlag szórását számítunk. A víz sőrőségét és viszkozitását táblázatból keressük ki, az ismeretlen folyadék sőrőségét areométerrel mérjük meg. Az ismeretlen viszkozitást ρ t η ηvíz összefüggés alapján számítjuk. A viszkozitás hibáját a hibaterjedés törvénye ρvíztvíz alapján határozzuk meg. Feladatok A kiadott folyadék viszkozitását határozzuk meg. Elıször vizet folyatjuk át a viszkoziméter kapillárisán háromszor, majd az ismeretlen folyadékot. Az átlagolt idıkkel számolunk. A hibaterjedés alapján meghatározzuk a viszkozitás hibáját Höppler viszkoziméter Ha egy η viszkozitású, ρ sőrőségő folyadékban egy r sugarú golyó esik állandó v sebességgel, akkor a golyóra ható erık eredıje nulla. Ezt a fizikai jelenséget ülepedésnek nevezzük. A G súlyú részecske süllyed, ha a sőrősége nagyobb, mint a folyadéké; emelkedik, ha kisebb (buborék a szódavízben). Ezúttal a részecskére ható súrlódó erıket vizsgáljuk. 33. ábra Folyadékban, vagy gázban esı golyóra ható erık A G súlyerı lefelé hat, az F f felhajtó erı felfelé, és az F k közegellenállási erı pedig szintén felfelé, mivel a golyó lefelé mozog. Az erık egyensúlya: F k +F f -G0. Ha a közegellenállási erı a Stokes-féle súrlódási erı: 6πrηv, és a felhajtó erı, a kiszorított folyadék súlya: F k 4r 3 π 4r 3 π F f ρ folyadék g, ill. a golyó súlya: G ρ golyó g. Felírva az erık egyensúlyát 3 3 kifejezı összefüggést: 3 3 4r π 4r π ρ folyadék g + 6πrηv ρ golyó g A v sebességet meghatározhatjuk, ha a golyó esési idejét mérjük két jel között; a két jel közötti távolságot osztjuk az esési idıvel, vs/t. A sebességet beírva a fenti egyenletbe a folyadék viszkozitása kifejezhetı: g( ρ golyó ρ folyadék ) r η t 9s Ez a Stokes-törvény. A Stokes-törvény csak a korlátozatlan ülepedés esetén igaz. A Höppler viszkoziméterben kicsi a távolság a golyó és a csıfal között, ez a korlátozott ülepedés esete. Az ehhez szükséges képletet lejjebb közöljük. A rendelkezésünkre álló viszkoziméterhez üvegbıl és fémbıl készült golyókat is mellékeltek. A legnagyobb golyó gázok viszkozitásának mérésére készült.

31 34 ábra Höppler-féle viszkoziméter képe és sematikus ábrája Például a Höppler-féle viszkoziméterben (34. ábra) az esı golyók átmérıje 0-5 mm között van. Ekkor az egyes golyókra egy ún. golyó állandót (K) határoznak meg, és a viszkozitást a következı összefüggéssel lehet kiszámolni: η K( ρ golyó ρfolyadék )t A nagy mérető golyók esésekor a golyót nedvesíti a folyadék, azaz a golyó felületére tapadt folyadék molekulák együtt mozognak a golyóval. Így tulajdonképpen az egyes folyadékrétegek egymáson történı elcsúszásánál fellépı súrlódási erıt mérjük A Höppler-féle viszkoziméternél a golyó-ejtı csövet üveghenger veszi körül, amelyben termosztáló folyadékot keringtethetünk, így különbözı hımérsékleten mérhetı a viszkozitás. Általában a folyadékok viszkozitása csökken a hımérséklet emelkedésével. A következı táblázat a golyókészletünk adatait tartalmazza jele a golyó K mőszerállandója átmérıje sőrősége cgs SI mm kg/m 3 cp.cm 3 /g.s Pa.m 3 /kg Pa.s minimális viszkozitás GGL 5, , gázokra 5, ,003 0, ,0006 5, , , , , ,3 0, ,05 4 5, ,,.0-6 0,5 5 3, ,6 0,6.0-6,5 6 0, ,5 40, e, ,5 80 f 0,

32 Feladat Kössük a mőszert termosztátra! Vegyük fel a tiszta vízre vonatkozó értéket egyszer. Vegyük fel a gyakorlatvezetı által kiadott ismeretlen folyadék viszkozitását többféle hımérsékleten. Számítsuk ki és ábrázoljuk a hımérséklet viszkozitás függvényt! Készítsünk táblázatot az eredményekbıl; beleértve a kinematikai viszkozitás értékét is Rotációs viszkoziméter A rotációs viszkoziméternél egy henger forog állandó, ω, szögsebességgel a mérendı folyadékot tartalmazó hengeres edényben. A hengerre ható M forgatónyomatékkal a folyadékban keletkezı ellenállás tart egyensúlyt. A folyadékban fellépı τ nyírófeszültség az r sugarú, h magasságú henger felületén hoz létre τ rπh nyíróerıt, illetve F ny r forgató nyomatékot, amely az M-mel tart egyensúlyt: M πrhτr F ny 35. ábra Rotációs viszkoziméternél a forgó henger és álló edény sematikus ábrája Egy adott r sugárnál a kerületi sebesség v rω, az r+dr sugárnál pedig: v + dv ( r + dr)( ω + dω) A jobb oldalon a szorzásokat elvégezve: r ω + drω + rdω + drdω. Az utolsó tagot, amely másodrendően kicsi elhanyagoljuk. A többit beírjuk a fenti egyenletbe: dv rdω + drω Ebbıl a dv/dr sebesség gradienst kifejezzük: dv dω ω + r dr dr A német kifejezés tükörfordítása miatt sebességesésnek (Geschwindigkeitsgefälle) is nevezik. Helyesebb a nyírósebesség szó használata. Ha a folyadék nedvesíti a hengert, azaz a hengerre tapadó folyadékréteg együtt mozog a hengerrel, akkor a nyírás sebességét a dv/dr-t csak az rd ω / dr tag határozza meg, vagyis dv dω r dr dr newtoni közeg esetén dv dω τ η η r dr dr Ezt a kifejezést beírva a forgatónyomaték kifejezésébe, kapjuk, hogy dω M πrhη r r dr Innen kifejezve a dω -t

33 M dr dω 3 πhη r Ez egy szétválasztható változójú differenciálegyenlet, amelynek a bal oldala csak az ω függvénye, a jobb oldala pedig csak az r függvénye. Integrálva: ω R M dr dω 3 πhη 0 r r Az integrálást elvégezve és a viszkozitást kifejezve: M η 3 3 4πhω r R Ismerve a henger és az edény sugarát, a henger bemerülési mélységét, valamint a forgatónyomatékot és a szögsebességet, a viszkozitás számolható. Általában a különbözı éleknél és felületeknél különbözı hatások lépnek fel. Ezért a rotációs viszkozimétereket ismert viszkozitású folyadékkal hitelesítik, és korrekciós tényezıt határoznak meg. A nem-newtoni folyadékra a nyíró feszültség a sebesség gradiens tört kitevıs hatványával arányos: n dv d " ω τ η η" r. dr dr Az η " itt az ún. látszólagos viszkozitás, a nyírófeszültség és a sebesség gradiens hányadosa. Hasonló számításokat végezve, kapjuk: n τ n r n ω η" R Ezen kifejezés alapján a lgτ -t ábrázolva a lg ω függvényében, megkapjuk az n-et, amellyel aztán a látszólagos viszkozitást is meghatározhatjuk. A gyakorlaton bemutatjuk a Haake RotoVisco rotációs viszkoziméter használatát. A mőszer leírását és a viszkozitással kapcsolatos ismereteket kérjük a gyakorlat elıtt elolvasni. Üzemzavarnál, vagy balesetnél a vészkikapcsolót meg kell nyomni; ez a jobboldali mőszeroszlop tetején található. A gyakorlathoz desztillált vizet használunk, ehhez a -498 serleget kell a viszkoziméterbe behelyezni, a viszkoziméter termosztátjába. A Z34DIN rotort felül, a mőszer felsı részébe illesztjük. A viszkoziméter kapcsolója hátul, a hálózati csatlakozó felett van. A mőszer bekapcsolása után indítjuk a számítógépes szoftvert. A számítógépbıl a viszkoziméternek minden funkciója vezérelhetı. A mérést a beállításoknak a mőszerbe való letöltésével kezdjük. A mőszer többféle mérési üzemmódja közül választhatunk. (A szoftver angol és német nyelvre állítható; a legszükségesebb kifejezéseket az alábbiakban megadjuk.) Tiotrópia és (Ostwald) folyási görbe felvétele. Ez három fázisból tevıdik össze: forgatás, megállás és visszaforgatás. Ekkor a nyírósebesség szerinti hiszterézisgörbét vesszük fel. Idıfüggés mérése. Ez azt jelenti, hogy meg tudjuk mérni a vizsgált folyadék viszkozitásának idıfüggését. Folyáshatár vizsgálata. Ehhez igen alacsony fordulatszámot állítunk be, és mindaddig forgatjuk a rotort, amíg el nem érjük a vizsgált folyadék folyáshatárát (plasztikus tulajdonság). n

34 A vizsgálati beállítások: o o o Controlled Rate. Ebben az esetben állandó fordulatszámot, szögsebességet, nyírósebességet állítunk be, és a mőszerrel a felvett nyomatékot mérjük, állandósult állapotig (két, vagy három percig). Controlled Stress. Ebben az esetben állandó nyomatékot, illetve nyírófeszültséget állítunk be. Ekkor a mőszer a szögsebességet méri, és ebbıl számítja a viszkozitást. CD Modus. Rendkívül nagy viszkozitású folyadékok méréséhet kisebbre is lehet állítani a fordulatszámot, mint 0, min -. (A rotor tíz perc, vagy hosszabb idı alatt fordul körbe.) A viszkoziméterek mérési tartománya a gázoktól a rendkívül nagy viszkozitás tartományáig (méz, ragasztók) használhatjuk. A modellközegként használt víz az igen alacsony viszkozitású közegek közé tartozik. Javasoljuk a következı beállításokat: o Nyírósebesség, Geschwindigkeitsgefälle γ000 s - (gamma-felülpont az idı szerinti elsı derivált jele) o Szögsebesség, Winkelgeschwindigkeit: Ω85 rad/s o Fordulatszám, Drehzahl: n800 min - o Nyírófeszültség, Schubspannung: τ Pa o Nyomaték, Drehmoment: M d 0,000 Nm o Sugarak aránya, Radienverhältnis szabványosan: δ,0847 o Alaktényezı, Geometriefaktor, Scherfaktor: M,3 (megkülönböztetésül a nyomatékot M d -vel jelöli a mőszer eredeti leírása) o Mőszerállandó, Schubfaktor (jele vagy A, vagy H): 9080 Pa/Nm A mérési adatok alapján jegyzıkönyvet kell készíteni, el kell végezni a számításokat és táblázatok alapján meg kell nézni: reálisak-e az eredményül kapott adatok. 4.6.Reológiai mérések Ennek a fejezetnek elolvasásához feltétlenül szükséges a sztatika (a deformálható testek szilárdságtana) alapismereteinek elsajátítása, mert ezekre épülnek a reológiai ismeretek. Általában, ha egy zöldségre vagy egy gyümölcsre erı hat, akkor alakváltozás is bekövetkezik. Az alakváltozást leíró deformáció nem azonnal az erıhatás pillanatában alakul ki, hanem függ az idıtıl. Ez azt jelenti, hogy erıhatás alatt a vizsgált objektum részecskéi elmozdulnak egymáshoz képest pl. az egyes sejt rétegek elcsúsznak, elfolynak egymáson. Az ilyen jellegő mozgásoknál fellépı erık és deformációk közötti törvények leírásával foglalkozik a reológia. A reológia szó a görög eredető reo, ρεω, folyás szóból származik és folyástant jelent. Az erık és a deformációk közötti kapcsolat függ az objektum keménységétıl. A zöldségek és a gyümölcsök egyik fontos tulajdonsága a keménység. A keménység általában csökken az érés és a tárolás folyamán. A keménység meghatározza a szállítási és tárolási körülményeket. A keménységet sokszor felhasználják a minıség jellemzésére is. A hétköznapi szóhasználatban keménységnek neveznek több szilárdságtani fogalmat, pl. rugalmassági modulus, rugalmassági tényezı; vonatkoztatják az erı, vagy a mechanikai feszültség értékére, néha a folyáshatárnál, máskor a roncsolási határnál. Az alábbiakban mindig megjelöljük, mit értünk keménység alatt. A relatív alakváltozás és az alakváltozás (deformáció) arányos egymással (36. ábra). Ahol ez nem zavarja az érthetıséget, ott nem említjük. Az erı és a mechanikai feszültség arányos egymással, ezt is csak szükség esetén említjük.

35 36. ábra. Az erı deformáció és a feszültség relatív deformáció ábrák hasonlóak Nagyon sokféle kísérleti módszer létezik a keménység meghatározására. Vannak statikus és dinamikus módszerek. Ebben a félévben fıleg a statikus vizsgálatokkal ismerkedünk meg. Az egyik ismert és gyakran használt eljárás a penetrometria. A penetrometriás mérés során egy mérıfej, amely különbözı alakú lehet általában henger alakú erıhatást gyakorol a vizsgált testre, mintegy behatolva a testbe Mérés kézi penetrométerrel 37. ábra. Kézi penetrométer használata A kézi penetrométerrel csak roncsolási határt lehet megállapítani. Egy acélhengert (penetrométert) kell a gyümölcsbe belenyomni. A mőszer a legnagyobb erı értékét mutatja a roncsolás után. Általában két skála van a mőszeren, az egyik angol font erı (Lbs), a másik kg -ban méri az erıt. A kg a kilpond mértékegység régies jele. Az átszámítás N-ba: Lbs 4,448 N kp ( kg) 9,80665 N. (a font erı jele hibás; ezen a helyen lbf-nek kellene állnia: pound force) A behatoló fej, roncsoló fej átmérıjét angol hüvelykben adták meg:

36 d körte 5/6 7,9375 mm d alma 7/6,5 mm. Ezzel a mőszerrel végezzük a méréseket Elektronikus kézi penetrométer 38. ábra. Elektronikus penetrométer A tanszéken fejlesztették ki az elektronikus kézi penetrométert. Itt a behatolás mélységét, azaz a deformációt elıre be lehet állítani (lehetıleg a biofolyáshatár alatt). Az ehhez a deformációhoz tartozó erıt mérjük a kézi penetrométerrel. A deformációt és az erıt mikroprocesszoros adat tárolóba lehet rögzíteni;a kiolvasás, ill. adatfeldolgozás már számítógéppel történik. Elınye, hogy biológiai folyáshatár alatt a deformáció nem okoz maradandó alakváltozást, így ugyanazon a gyümölcsön sokszor lehet mérni, akár a fán érés során, akár tárolás során. Feladat: Kézi penetrométerrel öt-öt mérés átlagából határozza meg a roncsolási erıt mind hámozatlan, mind hámozott almán (héjszilárdság, hússzilárdság). Számítsa ki a szórásokat is! Finométer A finométert zöldborsó zsengeségének vizsgálatára fejlesztették ki. Egy edénybe kell a zöldborsót belehelyezni. Az edényke tetejét rögzíteni kell, majd a forgatókar segítségével a roncsoló tüskéket (penetrométer hengereket) kb. 6 másodperc alatt kell egyenletesen az edénykébe hajtani. Közben a zöldborsó szemek összeroncsolódnak. Az ehhez szükséges erıt méri a mőszer. Az erı mérésének elvi alapja ugyanaz, mint a kézi penetrométernél. A leolvasás finométer fokban történik.

37 4.6.. SMS Teture Epert elektronikus penetrométer 39. ábra Teture Epert A 39. ábrán reológiai mérıeszköz, látható, amely 6 mm átmérıjő acélhenger (penetrométer) lefelé mozgatásával az alma deformációját és a deformációhoz szükséges erıt képes megmérni. A mérıfejhez erımérı cella csatlakozik. A mérıfej pontos elmozdulását szintén mérni lehet. Egyre nagyobb deformációnál egyre nagyobb erı lép fel, amint ez a 40. ábra terhelıerı deformáció görbéjébıl látható. A görbe elsı szakasza a kis kezdeti görbülettıl eltekintve egyenes szakasz (O-B), amelyet a meredekség csökkenése követ, (B-R) szakasz, és végül az R pontnál az erı hirtelen csökkenése figyelhetı meg. A kezdeti kis görbült szakasznál a penetrométer véglapja és a görbült almafelszín találkozik, és fokozatosan deformálódik az alma felszín. A B pont alatt az erı és az alakváltozás elvileg arányos egymással. Ez a proporcionalitás szakasza. Az egyenes szakaszon az almasejtek összenyomódnak, rugalmas alakváltozással felelnek a deformáló erı hatására. A B pontnál a sejtek elveszítik rugalmasságukat, és a sejthártyák szétroppannak, a szövet állomány megfolyik. Ezért ezt a pontot biológiai folyás határnak (angolul bioyield point) nevezzük. Ezután a B-R szakaszon az elfolyósodott alma pép összenyomásához szükséges erıt mérjük. Az R pontban az alma héja is bereped. Ezt a pontot roncsolási határnak (angolul rupture point) hívjuk.

38 40. ábra. Erı deformáció görbe Ha a mérıfejet egy adott deformációig lefelé, az almába befelé mozgatjuk, majd azután felfelé mozgatjuk, és közben mérjük a deformációt és az erıt, akkor kapjuk a 4. ábrán látható görbesereget. Látható, hogy még nagyon kis deformációnál sem ugyanazokat a deformációkat és erıket méri a készülék a terhelés (angolul load) és a tehermentesítés (angolul unload) során. Tehát a kis erıhatásokra fellépı deformációk nem teljesen reverzibilisek, de nem is teljesen rugalmasok. A jelenséget mechanikai hiszterézisnek nevezzük. A terhelési görbe alatti terület a befektetett teljes, vagy az összes alakváltozási munka. A tehermentesítési görbe alatti terület a visszanyert, azaz a rugalmas munka. A terhelési és tehermentesítési görbe közötti hurok területe a visszamaradó, azaz az alakváltozási munka. A hiszterézis hurok területe kicsi, amíg a maimális deformáció a biológiai folyáshatár alatt van, az elfolyósodott szövet esetén rohamosan nı a hiszterézis hurok területe. 4. ábra

39 A 3. és a 4. ábrán látható görbe kezdeti egyenes szakaszának a meredeksége arányos az almaszövet rugalmassági modulusával. A Hooke-törvény szerint egy A keresztmetszető, l hosszúságú egyik végén rögzített hasáb l -lel való összenyomásához szükséges erı l F E A l ahol E az anyag rugalmassági modulusa. Az irodalom különbséget tesz két fogalom között. Az elméleti definíció idealizált rugalmas testre vonatkozik; a terhelési görbe lineáris szakaszára. Ez angolul a Modulus of elasticity. Az általunk mért közelítés neve: Modulus of deformability. F l Alkalmazzuk aτ mechanikai feszültséget és az ε relatív deformációt τ Eε. A l (A reológiában egyaránt jelölik tau és szigma betővel a mechanikai feszültséget. A két bető lehetıséget teremt a nyomó- és a csúsztatófeszültség között különbséget tenni. Ebben a fejezetben csak nyomófeszültségekrıl írunk.) Ismerve az alma átmérıjét (l) és a mérıfej átmérıjét (d), mérve az erıt (F) és a deformációt ( l), az alma rugalmassági modulusa számítható: F l E, vagy A l F E l F ahol az hányados a görbe egyenes szakaszának meredeksége, a rugalmassági tényezı; l hasonlatos a fizikában rugóállandónak nevezett mennyiséghez; a penetrométer behatolási keresztmetszete pedig d A 4 π l A 4. ábra. Az alakváltozási munka komponensei

40 A hiszterézis görbékbıl az összes, vagy befektetett munka: W F( l) dl, a rugalmas B alakváltozás munkája W F( l) dl. A hiszterézishurok területe a maradandó alakváltozási r C W W munka, Wv Wö Wr. Ebbıl számítjuk a rugalmassági fokot: Wö Wr + Wv lr lr az alakváltozásokból is:. A két eredmény nem szükségképpen azonos. l l + l ö r v ö B O r r. Kiszámíthatjuk 43. ábra. Az alakváltozási munka számításának matematikai értelmezése A görbe alatti területet kiszámításához osszuk be a vízszintes tengelyen a deformáció szakaszát egyenlı részekre. Az i-ik rész hossza l i l i, a hozzá tartozó két erı F i és F i-. Feltételezve, hogy e két pont között az erı lineárisan változik; a munka, amíg a deformáció li -rıl l i re változik: Fi Fi W i ( li li ) A teljes görbe alatti terület az egyes W i munkák összege: W ö W i i Ha az erı értékét elosztjuk a penetrométer keresztmetszetével, akkor a mechanikai feszültséget számítjuk. Ez a mőszernél állandó értékő. Ha a vizsgált terméken létrejövı alakváltozást elosztjuk a termék eredeti méretével, akkor a relatív alakváltozást kapjuk. Nézzük az eredményt:

41 munka mértékegysége új fogalom mértékegysége W F l J N m W F l J N m V A l m 3 m m Ebben az esetben tehát a görbe alatti terület (az integrál) a térfogategységben elnyelt deformációs munkát fejezi ki. Feladat Keressük meg az erı alakváltozás ábrájának kezdeti lineáris szakaszát. Számítsuk ki annak meredekségét, mint a rugalmassági modulus egyik közelítését. Keressük meg az ábrán a biológiai folyáshatárt és olvassuk le a hozzá tartozó erı, feszültség, alakváltozás és relatív alakváltozás értékét. Ezt a négy jellemzıt számítsuk ki a roncsolási határnál is. Mérjük le a mechanikai hiszterézis görbéjén mindkét görbe alatti területet. Számítsuk ki a rugalmassági fokot a fent megadott képlettel. Számítsuk ki a rugalmassági fokot a teljes alakváltozás és a maradó alakváltozás hányadosa formájában is Ömleszetett anyag tulajdonságainak mérése nyíródoboz segítségével Halomban tárolt terményeknél, pl. gabonánál az egyes szemek között kohéziós erık és súrlódási erık lépnek fel. Ezek az erık, illetve egységnyi felületre vonatkoztatva fıfeszültségek a külsı erıkkel, illetve feszültségekkel egyensúlyt tartanak bizonyos körülmények között. A Mohr-féle szilárdsági elmélet alapján az anyag belsejében ébredı minden fıfeszültség-párhoz tartozik egy Mohr-kör, amelyen belül levı nyíró és nyomó feszültségek esetén a nyugalom még fenntartható. A Mohr-körök érintıje a Coulomb egyenes. Egyenlete: τ σtg Φ + τ 0 Ahol σ a külsı nyomófeszültség és τ a külsı nyíró feszültség. Közöttük lineáris összefüggés van. tg Φ az egyenes meredeksége, a belsı súrlódási szög tangense, τ 0 a kohézió. Az összetartozó σ és τ pontpárok által meghatározott nyomó és nyíró feszültségeknél az egyensúly még éppen fenntartható. A Φ értékét szögfokban kell kiszámítani. Ez azonos a szemcsés halmaz természetes rézsőszögének értékével. 44. ábra Ha meghatározzuk a különbözı nyomó feszültségekhez tartozó egyensúlyi nyíró feszültségeket, és a σ függvényében ábrázoljuk a τ értékeket, akkor a pontokra regresszió számítással egyenest lehet illeszteni, amelynek meredeksége megadja a belsı súrlódási szög

42 tangensét, tengelymetszete pedig a kohéziót. Ehhez a méréshez nyíródobozt (Jenike-féle készülék) lehet használni. 45. ábra. A nyíródoboz mőködési elve Az A keresztmetszető doboz felsı része olyan keret, amely el tud csúszni a doboz alsó részén. A felsı részhez kötél csatlakozik, amelyet húzva nyíró erıt tudunk kifejteni a keret és a doboz érintkezési síkjában levı A felülető terményrétegre. A dobozt a rá helyezett kerettel együtt megtöltjük a mérendı anyaggal (pl. búzaszemekkel). A termény tetejére helyezzük az A felülető lapot. Erre tesszük a nyomó súlyt. A csiga lehetıvé teszi, hogy a vízszintes nyíró erıt a tányérra helyezett tömegek függılegesen ható súlyával érjük el. Ezután a csigához kapcsolódó tányérra súlyokat kezdünk helyezni. Addig növeljük a nyíró erıt 0 g-onként, amíg a keret meg nem csúszik. (A mérlegsúlyokat tömegükkel azonosítják. Ezt át kell számítani a hozzá tartozó erıre.) Feladat Végezzünk legalább három-három mérést legalább ötféle nagyságú nyomóerınél. A nyomóés nyíróerıt mérlegsúlyokkal állíthatjuk elı, amelyek nagyságát tömegükkel adják meg. Számítsuk ki a hozzájuk tartozó erıt. A Jenike-készülék fedılapjának területével osztva megkapjuk a nyomó- és nyírófeszültség-értékeket is. A lineáris regresszió képletének alkalmazásával megkapjuk a Coulomb-egyenes egyenletét és a határ-nyírófeszültséget (a kohézió értékét). Ábrázoljuk ezt a feszültségek értékébıl szerkesztett koordinátarendszerben. Keressünk legalább egy olyan Mohr-kört, amely érinti a Coulomb-egyenest. Ez a halmaz elnyírásának határa. Készítsünk hozzá szöveges értelmezést is! 4.7. Fénytani mérések A fény és a fénnyel kapcsolatos jelenségek észlelése vagy mérése fontos területe a fizikának. A legtöbb ilyen jelenség mérése lehetıvé teszi összetett anyagi tulajdonságok egyszerő meghatározását. A fényerısség mértékegysége egyike a fizika alapmennyiségeinek: A kandela az olyan fényforrás fényerıssége adott irányban, amely Hertz frekvenciájú monokromatikus fényt bocsát ki, és sugárerıssége ebben az irányban /683-ad watt per szteradián The candela is the luminous intensity in a given direction, of a source that emits monochromatic radiation of frequency hertz and that has a radiant intensity in that direction of /683 watt per steradian Látjuk: a fényerısséget a sugárerısség alapján határozták meg. A fotometria további mennyiségeket is értelmez. A Φ v fényáram a tér minden irányába kisugárzott fény. A teljes tér mérete 4 π szteradián, kb,5 sr. A fényáram mértékegysége a lumen. A Q v fényenergia a fényáram idıintegrálja. Mértékegysége a lumen-szekundum. Az L v fénysőrőség a fényforrás egységnyi felületérıl kisugárzott fényerısség. Mértékegysége a kandela per négyzetméter. Az E v megvilágítás az egységnyi felületre jutó fényáram. Mértékegysége a lu.