A mágneses tér energiája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek

Átírás

1 A mágneses tér energája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek A mágneses tér energája Egy koncentrált paraméterű R ellenállással és L nduktvtással jellemzett tekercs U=áll feszültségre kapcsolásakor az U = u () t u () t u () t L d t t () R d t R () () + L = R + = + ψ feszültség dt dt egyenlet érvényes R (t) L U Koncentrált paraméterű tekercs modell A tekercs által dt dő alatt felvett energa: dw=u(t)dt=dw R +dw m = (t)rdt+(t)dψ(t) Az energa egyk része (t)rdt a tekercs ellenállásán hővé alakul, másk része pedg (t)dψ(t) felhalmozódk a mágneses térben Ez utóbb rész az áram csökkenésekor a tér leépülésekor vsszanyerhető a egy bekapcsolás folyamat alatt a ψ(t) fluxus -ról Ψ értékre nő (az (t) áram -ról I -re), akkor a mágneses térben felhalmozódó teljes W m energa: W m Ψ () = t dψ Lneárs ψ() kapcsolat (pl vasmentes tekercs) esetén L=áll, Ψ =LI és dψ=ld, így az ntegrál egyszerűsíthető: I Ψ W = m () t dψ = L () t d = LI I = Ψ = Ψ L A tekercsben felhalmozott mágneses energa a tekercsfluxusból és az áramból számítható, azonos áramnál az nduktvtással arányos Ferromágneses anyagot tartalmazó körben (pl vasmagos tekercsnél) a ψ() kapcsolat nemlneárs, L áll, ezért az ntegrálás nem egyszerűsíthető ψ Ψ dψ I ψ Ψ dψ I Egy tekercsben felhalmozott energa, ha a közeg nem ferromágneses ferromágneses

2 VIVEMA3 Váltakozó áramú rendszerek 5 A fent tekercset a tápforrásról lekapcsolva a mágneses térben tárolt energát vsszakapjuk, a fluxuscsökkenés hatására keletkező önndukcós feszültség ugyans az áram fenntartására, csökkenésének késleltetésére törekszk (l Lenz törvénye) Ez az nduktív áramkörök megszakításakor s gaz, ezért az lyen művelet különös fgyelmet és körültekntést gényel omogén, lneárs esetben (=áll esetén) a mágneses energa egyszerűen kfejezhető a térjellemzőkkel s A Ψ=NΦ=NA és a Θ=NI=l összefüggések felhasználásával W = I = NA l Ψ = V, N ahol V=Al a vzsgált térfogat A térfogategységben tárolt energa (energasűrűség): w W = = = = V omogén, nemlneárs térben ( áll esetén, pl vasmagos szolenod, torod) ψ ψ Φ l W () t d N d l = ψ = ψ = NdΦ = A d = V d N l, a térfogategységben tárolt energa (energasűrűség) pedg: w = d Az utóbb összefüggés az nhomogén tér egyes pontjara s gaz, így általános esetben, adott V térfogat mágneses energája: W = ddv V Csatolt körök mágneses energája Kéttekercses rendszert vzsgálva vasmentes közegben legyen az első tekercs árama I =állandó, a másodk tekercs pedg árammentes Ebben az esetben az első tekercsben felhalmozott mágneses energa: W = LI Ezután a másodk tekercs (t) áramát nulláról I -re növelve a ψ fluxus kalakulása és változása matt az első tekercsben s feszültség ndukálódk, amelynek nagysága a d áramváltozás hatására: dt dψ u M d = = dt dt I =áll I = I u t Kndulás állapot A másodk tekercs áramának növelése t

3 A mágneses tér energája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek Amennyben változása során a tekercsek azonos rányban mágneseznek (ψ =ψ +dψ ), akkor az ndukálódó u feszültség Lenz törvénye értelmében I -et csökkenten akarja (hogy az tekerccsel kapcsolódó eredő fluxus változatlan maradjon) I állandó értéken maradásához (t) változásától függő dw=u I dt=m I d energa-bevtelre van szükség az tekercset tápláló forrásból Az (t) teljes változás deje alatt (t= t ) a csatolás matt szükséges energafelvétel: cs I W = M I d = M I I A másodk tekercs terének felépítése során a tekercsben felhalmozott energa: W = LI A két tekercs együttes energája tehát: W = L I + M I I + L I A bekapcsolás sorrendjétől a teljes felhalmozott energa általában nem függ, fordított sorrend esetén, a másodk tekercs után az első feszültségre kapcsolásakor W = L I + M I I + L I A csatolás matt tag előjele attól függ, hogy a két áram egymás mágneses hatását erősít vagy rontja, így MII < > Csatolt körök szórásának számítása a mágneses energa alapján a egy tekercs csak részben kapcsolódk a közelében elhelyezkedő másk tekercs fluxusával, akkor a mágneses energa egy része a közös, másk része a szórt térben halmozódk fel Ezért valamlyen adott tekercsfluxus létrehozása többletenergát gényel, a szórt térbe kerülő energát I Φ Φ Ψ s Ψ s I Ψ Φ m =Φ +Φ Csatolt tekercsek Tételezzük fel, hogy az tekercsben akkora Ψ fluxust kell létrehozn, am nagyobb az I által létrehozhatónál (Ψ >Ψ =I L ), tehát a tekercs közreműködése, az I által előállított Ψ =I M s szükséges: Ψ =I L + I M Ψ létrehozása során így kalakul a tekercs Ψ s szórása s, a tekercs szórt terében s felhalmozódk valamenny energa A két tekercs együttes mágneses energája az előzőek szernt: W = L I + M I I + L I 3

4 VIVEMA3 Váltakozó áramú rendszerek 5 Vzsgáljuk meg azt, hogy mekkora W * energával (és I * árammal) lehetne az előírt Ψ fluxust egyedül csak az tekercs árama által létrehozn Ebben az esetben ugyans mvel I = maradhat nem alakul k Ψ s szórt fluxus és nem s tárol energát a tekercs szórt tere Ψ M I I L L I = = + Ebben az esetben a Ψ fluxus kalakítása során tárolt energa: M W L I L I I L I M L I L I M I I M = = + + = + + L I A tekercs szórt fluxusának létrehozására az első esetben fordított W s energa megegyezk a W-W * különbséggel: M Ws = W W = LI LL A zárójelben lévő kfejezés a tekercs szórás tényezője: σ = M LL, amvel Ws = σ LI Mvel M L L, ezért <σ < A szórás tényező értelmezése tehát: az I áram a σ L nduktvtáson hozza létre a szórt fluxust, az (-σ )L nduktvtáson az tekerccsel s kapcsolódó Ψ kölcsönös fluxusrészt: Ψ s =I σ L és Ψ =I (-σ )L, mvel Ψ =Ψ s +Ψ =I L Másképpen, a szórás tényező egy tekercs szórt fluxusának és teljes fluxusának hányadosa: ψ s σ = ψ A tekercs szórt terének energája a tekercs által létrehozott mágneses térben felhalmozott teljes W energa σ -szerese Fordított esetben, amkor valamlyen Ψ fluxust kell létrehozn az tekercs közreműködésével, akkor az tekercs szórt terének létrehozásához szükséges energa számítható Az tekercs szórás tényezője: σ = M LL Állandó mágnesek Az állandó mágnesek olyan anyagok, amelyek mágneses tere egyszer felmágnesezés után gerjesztés nélkül s tartósan megmarad, am csak erős lemágnesező hatással szüntethető meg Ezeket az anyagokat kemény mágneseknek s nevezk, a könnyen átmágnesezhető lágy mágnesektől eltérő tulajdonságak kfejezésére Általában a c > ka koerctív erejű mágnest m tekntk keménynek Egy zárt gyűrű alakú anyagban (torod alakú permanens mágnesben ) a telítés ndukcóg történő mágnesezését követően, a gerjesztés megszűnte után r remanens ndukcó marad fenn Mvel a Θ gerjesztés zérus, a gerjesztés törvény értelmében a vas térerőssége s zérus, így a W m tárolt mágneses energa s az A továbbakban a ndex a kemény mágnesre (permanens mágnes) vonatkozk 4

5 A mágneses tér energája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek l légrésegyenes r r * ' c Gyűrű alakú állandó mágnes Állandó mágnes v - v görbéje (munkatartománya) A gyűrűbe légrést nytva a gerjesztés törvény szernt l + = (mvel továbbra sncs gerjesztés), amből a vas megváltozott térerőssége: =, l tt l a közepes erővonalhossz az állandó mágnesben Tehát negatív előjelű, lemágnesező térerősség alakul k az állandó mágnesben, az ndukcó pedg a mágnesezés görbe szernt a remanens értékről ' értékre csökken a a szórás elhanyagolható, Φ s =, akkor a fluxus az állandó mágnesben és a légrésben megegyezk, Φ =Φ vagy A = A, amből A = A kfejezését a gerjesztés törvényből kapott előző összefüggésébe helyettesítve: A = = a, A l vagys lneárs a légrés ( ) összefüggése alapján kapcsolatot kapunk az állandó mágnes térerőssége és ndukcója között (légrésegyenes) a a légrés szórása nem elhanyagolható, akkor a légrés fluxusa ksebb, mnt a állandó mágnesé σ = Φ s értelmezéssel (mvel az állandó mágnes a fluxus forrása): Φ Φ =Φ -Φ s =Φ -σφ =(-σ)φ ( σ) A A Ebből = és = σ = ( σ) a A A l Az állandó mágnes munkadagramja a ( ) mágnesezés görbe leszálló (lemágnesező) ága, amből a munkapontot a légrésegyenes kmetsz (mágnesezés görbe + gerjesztés törvény) A légrés használatos mérete az alkalmazástól függ A mágnes mnőségének egyk jellemzője az, hogy a légrés megszüntetése, a térerősség smételt zérusra csökkentése után kalakuló * r ndukcó ksebb-e és mlyen mértékben a kezdet r -nél Az állandó mágnesek munkatartománya rendszernt a - görbe lneárs, telítés szakaszára esk, ezért számításoknál permeabltását -nak vagy közel -nak veszk = 5

6 VIVEMA3 Váltakozó áramú rendszerek 5 Permanens mágnes ötvözetek Alnco magnesek Az Alnco ötvözetek összetevő általában alumínum (Al), nkkel (N), réz (Cu), vas (Fe) néhány termékben kobalt (Co) és ttán (T) s van Vas-króm-kobalt mágnesek Fő összetevő: vas (Fe), króm (Cr) és kobalt (Co), néhány termék vanádumot (V), szlícumot (S), ttánt (T), crkónumot (Zr), mangánt (Mn), molbdént (Mo) vagy alumínumot (Al) tartalmaz Rtkaföldfém mágnesek A használt rtkaföldfémek: szamárum (Sm), neodímum (Nd), prazeodímum (Pr), dszprózum (Dy) A használt átmenetfémek: vas (Fe), réz (Cu), kobalt (Co), crkónum (Zr), hafnum (f) árom fő összetétel csoportjuk van: - rtkaföldfém + kobalt 5, pl SmCo 5, - rtkaföldfém + átmenetfém 7, pl Sm Co 7, - rtkaföldfém + vas ötvözet, pl Nd Fe 4 A különböző ötvözetek kdolgozásának célja egyes jellemzők (pl hőmérséklet függés, remanenca, koerctív térerő) javítása Keráma (ferrt) mágnesek A legsmertebb anyagok bárum- vagy stroncumoxdot tartalmaznak pl ao 6 Fe O 3 és SrO 6 Fe O 3 Különleges anyag az Ag-Mn-Al, am nem ferromágneses anyagok ferromágneses ötvözete Kemény mágnesek optmáls khasználása Az állandó mágneseket tartalmazó mágneses körök rendszernt lágy mágnesből készült szakaszokat és légrést s tartalmaznak A kemény mágnes anyagok magas ára ndokolja a mnél ksebb mennység felhasználását A szórás és a lágyvas szakaszok mágneses feszültségének (gerjesztésének) elhanyagolásával =- l és Φ =Φ = A r optmáls munkapont c Az optmáls munkapont grafkus meghatározása 6

7 A mágneses tér energája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek Φ Φ Φ Az állandó mágnes anyag térfogata = = helyettesítéssel, ha A = = A a kemény mágnes keresztmetszete és l = a lneárs méret: Φ V = l A = = Φ A A feladat rendszernt egy adott geometra méretű légrésben előírt értékű fluxust vagy ndukcót létrehozn A szükséges kemény mágnes térfogata akkor a legksebb, ha a - szorzat abszolút értéke (jóság szorzat, energa szorzat) a legnagyobb: V mn = c ( ) max ( ) max közelítően grafkus úton határozható meg: a r és c által kjelölt pontot az orgóval összekötő egyenes és a mágnesezés görbe metszéspontja Az állandó mágnes erőhatása Zárt (légrésmentes) mágnes energája (munkavégző képessége) zérus, mvel = (ha a zárólemezre jutó gerjesztést elhanyagoljuk) F m x dx F k A mágneses erőhatás számítása Légrésnytás után, a befektetett mechanka energa tárolt mágneses energává és veszteséggé alakul: dw mech =dw mágn +dw veszt, ahol dw mech a bevtt mechanka energa, dw mágn a mágneses energa, dw veszt a veszteség energa a a veszteség és a szórás elhanyagolható, akkor dw veszt =, φ =φ =φ, tt φ a légrés, φ a mágnes fluxusa A mechanka energa: dw mech =F k dx=-f m dx, tt F k a külső erőhatás, F m a mágnes által kfejtett húzóerő A negatív előjel azt jelent, hogy x ábra szernt felvett (+) ránya mellett F m hatására dx csökken F m nagysága a vrtuáls munkavégzés alapján számítható A vrtuáls munka elve Egy anyag rendszer akkor van egyensúlyban, ha a rá ható erők eredője zérus (Jelen esetben erő van, tehát F k +F m =) Ez az erőegyensúly meghatározható a vrtuáls munka számításával 7

8 VIVEMA3 Váltakozó áramú rendszerek 5 Vrtuáls munka: a rendszerre ható valóságos erőknek (F k, F m ) egy vrtuáls (lehetséges) dx elmozdulás során végzett munkája A valóságos erők egyensúlyának az a feltétele, hogy az eredő vrtuáls munka zérus legyen Vagys, egy valóságos, működő erőknek ktett rendszer akkor, és csaks akkor van egyensúlyban, ha a valóságos erők által végzett eredő vrtuáls munka zérus: F k dx+f m dx= a egy valóságos erő nem smert, de a vele egyensúlyt tartó másk erő által végzett munkát am megegyezk az smeretlen erő által végzett munkával energaváltozásból számítan tudjuk, akkor az smeretlen erő jelen esetben F m meghatározható A tárolt mágneses energa dw mágn változása a mágnesben (dw ) és a légrésben (dw ) felhalmozott energa változásából adódk: dw mágn = dw + dw A vasban felhalmozott teljes energa W = V d, így annak változása dw =V d =l A d =l dφ mvel V =A l A légrésben felhalmozott teljes energa W V V = = A zárólemez dx mértékű elmozdulása következtében a légrés mérete (térfogata) s és az ndukcó s változk, ezért dw W W = +, amből dw dx V = W V dx W dx + A légrés térfogata és annak megváltozása: V =A, dv =A dx, így dv dw dx dx V d dx dx Adx Vd = + = + = Adx + d Φ Ezekkel az energaegyenlet: Fdx k = ldφ + Adx + d Φ = ( l + ) d Φ + Adx Mvel a gerjesztés törvény szernt l + =, statkus állapotban a mágnes által kfejtett erő: F = m A Az elektromágnes erőhatása Ebben az esetben a mágneses teret gerjesztett tekercs hozza létre Az energa-megmaradás elve értelmében a külső forrásból felvett vllamos energa és a külső mechanka munka összege megegyezk a tárolt mágneses energa és a veszteség összegével, am változásokra s gaz: dw vll +dw mech =dw mágn +dw veszt A veszteség energa főleg a tekercs ohmos vesztesége Amennyben az I áram állandó, úgy a P=I R veszteség teljesítmény s állandó, vagys dw veszt közel zérus Egyenáramú táplálásnál a gerjesztőáramot a tekercs ellenállása határozza meg, ezért a gerjesztés állandó Θ = l = áll, így a légrés növelésekor a térerősség és a fluxus csökken, csökkenésekor növekszk A dψ fluxusváltozás matt keletkező u ndukált feszültség dt dő alatt u Idt vllamos energát jelent, am a változás ellen hat Tehát, a változás véghezvteléhez ezt az energát a külső tápforrásból ellensúlyozn kell 8

9 A mágneses tér energája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek dw u Idt N d φ vll = = Idt = NIdφ, dt a légrés csökkenésekor a fluxus növeléséhez növeln, a légrés növekedésekor a fluxus csökkenéséhez csökkenten kell a külső energa-felvételt I F m x dx F k A elektromágneses erőhatásának számítása Az F k külső erő által végzett mechanka munka: dw mech = F k dx A mágneses körben (a vasmagban és a légrésben) felhalmozott energa a vrtuáls elmozdulás matt változk A szórás elhanyagolásával a vasmag mágneses energája az ndukcó változása matt változk dw vas =V vas vas d vas, a légrésben tárolt mágneses energa az ndukcó és a légrés megváltozása matt s változk W dw V dx W dx = + A légrés térfogata és annak megváltozása: V =A, dv =A dx, így dv dw dx dx V d dx dx Adx Vd = + = + = Adx + d Φ A veszteség energa változásának elhanyagolásával az egyensúly egyenlet: dw vll +dw mech = dw vas +dw ehelyettesítve az egyes összetevőket: NIdΦ + Fk dx = lvas vasdφ + Adx + d Φ = ( lvas vas + ) d Φ + Adx Mvel a gerjesztés törvény szernt Θ = NI = l +, ezért Fdx statkus állapotban az elektromágnes által kfejtett erő: F = m A, megegyezk az állandó mágnesnél kapott eredménnyel vas vas Adx és így k = A változó fluxus okozta veszteségek Az állandó mágneses tér (fluxus) fenntartása nem jár veszteséggel, nem kíván energa-bevtelt (l állandó mágnesek) 9

10 VIVEMA3 Váltakozó áramú rendszerek 5 Változó fluxus hatására vszont a mágneses kör vasmagjában veszteségek keletkeznek, amelyek annak melegedését okozzák A P Fe vasveszteségnek jellegét tekntve két összetevője van: - hszterézs veszteség, - örvényáram veszteség P Fe = P hsz + P örv Nemsznuszos változás esetén a felharmonkusok által okozott vasveszteséget külön kell számítan Vasveszteség sznuszos táplálásnál a) szterézs veszteség A hszterézs veszteség egyszerűen úgy értelmezhető, hogy a ndukcó és a térerősség változása következtében a vas elem mágnese átrendeződnek, am belső súrlódással jár Ez az átmágnesezés veszteség A térfogategységben felhalmozott mágneses energa sűrűsége w = d értéke a hszterézs görbe mentén szakaszonként számítható m r - m m - r 4 - m m r - m 3 - r - m m A felvett és a leadott mágneses energa a hszterézs görbe felszálló ága mentén leszálló ága mentén A - r m ( m ) szakaszon és d >, ezért w >, tehát energa felvétel történk A m r ( m ) szakaszon és d <, ezért w <, tt energa leadás történk 3 A r - m ( - m ) szakaszon és d <, ezért w >, ezen a szakaszon s energa felvétel történk 4 A - m - r (- m ) szakaszon és d >, ezért w <, tehát energa leadás történk Egy teljes átmágnesezés peródus alatt a felvett és a leadott energa különbsége az átmágnesezés vesztéség megegyezk a hszterézshurok területével Stenmetz tapasztalat képlete szernt a hszterézs hurok területe: w m =γ x max, tt γ anyagjellemző, x max -tól függő anyagjellemző, x=,7- Charles Proteus Stenmetz (865-93) német származású (Karl August Rudolf Stenmetz) amerka kutató, vllamosmérnök

11 A mágneses tér energája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek Ez a terület átmágnesezés cklus veszteségével arányos és egységny térfogatra vonatkozk, a P hsz hszterézs veszteség teljesítmény számításához ezt az dőegység alatt átmágnesezések számával, az f peródusszámmal és a V térfogattal kell szorozn: P hsz =γ x max fv k hsz Ψ f m r - m m w m - r - m A felvett és a leadott mágneses energa különbsége a hszterézs görbe alatt területtel arányos Egy adott mágneses körnél k hsz értéke a konkrét geometrára vonatkozk, azt s fgyelembe véve, hogy Ψ lehet maxmáls vagy effektív érték b) Örvényáram veszteség A változó fluxus a vasmagban feszültséget ndukál, am I örv ún örvényáramokat hoz létre a vszonylag jó vllamos vezető vasban a az örvényáram-pálya ellenállása R örv, akkor a keletkező örvényáram veszteség P örv =I örv R örv, am a vas melegedését okozza I örv dψ(t) P örv R örv Az örvényáramok keletkezése Csökkentése érdekében a vastestet, vasmagot nagy fajlagos ellenállású (pl szlícum tartalmú) ötvözetből készítk, továbbá egymástól vllamosan elszgetelt vékony lemezekből építk öszsze A lemezszgetelés valamlyen alkalmas anyagból (pl lakk) felvtt vékony réteg, vagy a mechanka és mágneses tulajdonságok beállítását szolgáló hőkezelés során létrehozott szgetelő felület

12 VIVEMA3 Váltakozó áramú rendszerek 5 d A sznusz alakú változás esetén ndukálódó U örv feszültség U ψ örv f dt Ψ, Iörv U örv, így P örv =k örv Ψ f Egy adott gépnél k örv értéke a konkrét geometrára vonatkozk, fgyelembe véve, hogy Ψ lehet maxmáls vagy effektív érték Az örvényáram- és a hszterézs veszteség szétválasztása Fejlesztés és dagnosztka vzsgálatoknál szükség lehet a vasveszteség egyes összetevőnek mérés eredményekből történő számítására Ψ=áll esetben, változó frekvencájú és feszültségű táplálásnál P Fe = P örv + P hsz =k örv Ψ f +k hsz Ψ f=fψ (k örv f+k hsz ), amből PFe fψ = + ( k f k ) örv hsz P f Fe Ψ Ψ=áll k örv f k hsz f Az örvényáram és a hszterézs veszteség szétválasztása mérés adatok alapján PFe A hányados láthatóan szétválk egy állandó és egy frekvencától lneársan függő összetevőre Ezt ábrázolva a k örv és k hsz tényezők fψ meghatározhatók Összeállította: Kádár István 5 áprls

13 A mágneses tér energája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek Ellenőrző kérdések ogyan határozható meg a vasmentes tekercsben tárolt mágneses energa? ogyan határozható meg a vasmagos tekercsben tárolt mágneses energa? 3 ogyan határozható meg térjellemzőkkel egy adott térrészben tárolt mágneses energa? 4 ogyan határozható meg térjellemzőkkel a mágneses tér energasűrűsége? 5 ogyan határozható meg a csatolt tekercsekben tárolt mágneses energa? 6 ogyan számítható a csatolt körök szórása a mágneses energa alapján? 7 Illusztrálja és értelmezze az állandó mágnes () görbéjét 8 Mt jelent az állandó mágnes optmáls khasználása? 9 M az "energaszorzat"? ogyan határozható meg az állandó mágnes erőhatása? ogyan alkalmazható a vrtuáls munka elve? ogyan határozható meg az elektromágnes erőhatása? 3 Mlyen összetevő vannak a vasveszteségnek? 4 Értelmezze a hszterézs veszteséget és annak frekvencafüggését 5 Értelmezze az örvényáram veszteséget és annak frekvencafüggését 6 Mlyen módon választható szét az örvényáram- és a hszterézs veszteség? 3