Elektromosságtan. I. Egyenáramú hálózatok. Magyar Attila

Átírás

1 Elektromosságtan I. Egyenáramú hálózatok Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatika Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék február 1.

2 Áttekintés Alaptörvények Áramerősség 1 Alaptörvények Áramerősség Feszültség Potenciál A feszültség és az áram kapcsolata Ellenállás Források és generátorok 2 Lineáris egyenáramú hálózatok elemi számítása Magyar Attila (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 2 / 39

3 Áramerősség Alaptörvények Áramerősség Elektromos áram: töltött részecskék mozgása. Áramirány: pozitív töltéshordozók iránya. Jele I. [I ] = amper = A (Kirchoff csomóponti törvénye) Bármely csomópontra az I k áramerősségek előjeles összege nulla. n I k = 0 A csomópontba befolyó a negatív, a kifolyó a pozitív. Magyar Attila (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 3 / 39

4 Alaptörvények Áramerősség Ismeretlen áramirányoknál referencia áramiránnyal dolgozunk. I 4 + I 5 I 1 I 2 I 3 = 0 Csomóponti törvény Töltésmegmaradás elve: a csomópontot körülvevő zárt felület belsejében levő töltések száma állandó. Általánosítása a vágattörvény Magyar Attila (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 4 / 39

5 Feszültség Alaptörvények Feszültség Töltésáramlás energiaviszonyait fejezi ki, jele U. Iránya a pozitív pólusból a negatív felé mutat. Mérése voltmérővel történik. [U] = volt = V (Kirchoff huroktörvénye) Bármely hurok (irányított zárt görbe) mentén az U k feszültségek előjeles összege nulla. (Az ellenkező irányúakat negatív előjellel kell figyelembe venni.) n U k = 0 Magyar Attila (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 5 / 39

6 Potenciál Alaptörvények Potenciál 4 csomópont, köztük 6 feszültség mérhető. Helyette megadható 3 csomópont feszültsége (potenciálja) egy alapponthoz viszonyítva: Huroktörvény a kijelölt hurokra: U A0 U B0 U AB = 0 Φ A Φ B = U AB Két pont potenciáljának különbsége a két pont közt eső feszültség. Magyar Attila (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 6 / 39

7 Alaptörvények A feszültség és az áram kapcsolata Fesz és áram kapcsolata A kétpólusra szabályozható feszültségforrást kapcsolva és az áramot mérve megkaphatjuk a kétpólus U = f (I ), illetve I = g(u) karakterisztikáját. Magyar Attila (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 7 / 39

8 Teljesítmény Alaptörvények Fesz és áram kapcsolata Időegység alatt felvett, vagy leadott energia, illetve végzett munka. Teljesítmény jele P, [P] = watt = W, P = U I Mérése wattmérővel történik Fogyasztói referencia, termelői referencia Magyar Attila (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 8 / 39

9 Alaptörvények Fesz és áram kapcsolata A P = U I teljesítmény lehet pozitív, vagy negatív. Ennek alapján a kétpólus lehet passzív, vagy aktív. passzív: csak (villamos) teljesítmény felvételére képes fogyasztó: teljesítményt vesz fel aktív: teljesítmény leadására termelő: teljesítményt ad le is képes Passzív kétpólus csak fogyasztó lehet, aktív kétpólus fogyasztó és termelő is lehet. Magyar Attila (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 9 / 39

10 Ellenállás Alaptörvények Ellenállás Az ellenállás passzív kétpólus. Ha a karakterisztikája lineáris, akkor lineáris az ellenállás, ha nem, akkor nemlineáris. Az ellenállás, mint fizikiai mennyiség: rezisztencia Magyar Attila (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 10 / 39

11 Alaptörvények Ellenállás (Ohm-törvénye) Lineáris ellenálláson eső feszültség egyenesen arányos a rajta átfolyó árammal. U = R I, I = G U G = 1 R vezetés, vagy konduktancia. Mértékegységeik: [R] = V A = ohm = Ω [G] = A V = siemens = S = Ω 1 Lineáris ellenállás teljesítménye: U I = (R I ) I = R I 2 P = U I = U U R = G U2 Az ellenállás teljesítménye mindig pozitív, azaz az ellenállás mindig fogyasztó. (Negatív ellenállás: olyan aktív elem, amely mindig termelő - nemlineáris kétpólusok leírására alkalmas.) Magyar Attila (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 11 / 39

12 Források Alaptörvények Források és generátorok A források és generátorok aktív kétpólusok. A feszültségforrás U V forrásfeszültsége (az áramforrás I A forrásárama) állandó, azaz U U V (I I A ). A feszültségforrással párhuzamosan kapcsolt bármely elem a hálózat többi elemének szempontjából elhagyható, mivel csak a feszültségforrás áramát befolyásolja. Magyar Attila (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 12 / 39

13 Alaptörvények Források és generátorok Áramforrás: A teljesítmény pozitív is lehet, ha a terhelő kétpólus aktív. Az áramforrással sorba kapcsolt bármely elem a hálózat többi elemének szempontjából elhagyható, mivel csak az áramforrás feszültségét befolyásolja. Magyar Attila (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 13 / 39

14 Generátorok Alaptörvények Források és generátorok A valódi aktív kétpólust generátornak hívjuk. Generátor = forrás + ellenállás A karakterisztika helyettesíthető feszültség- és áramgenerátorral is. Magyar Attila (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 14 / 39

15 Alaptörvények Generátoros helyettesítések Források és generátorok Fesz. generátor karakterisztikája: Áramgenerátor karakterisztikája: U = U V I R b I = I A G b U A feszültséggenerátor üresjárási feszültsége az U V forrásfeszültség, az áramgenerátor rövidzárási árama az I A forrásáram. A kettő hányadosa a generátor R b belső ellenállása: U V I A = R bi A I A = R b Magyar Attila (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 15 / 39

16 Alaptörvények Feszültséggenerátor hatásfoka Források és generátorok Az R ellenállással lezárt feszültséggenerátor kapocsteljesítménye az R b -n hővé alakuló teljesítménnyel kisebb a forrás teljesítményénél: P = U I = (U V I R b ) I = U V I I 2 R b. P = R I 2, P b = R b I 2, η = P hasznos P teljes = P P+P b Az R terhelő ellenállás által felvett teljesítmény: P = R I 2 = U 2 V R (R + R b ) 2 Magyar Attila (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 16 / 39

17 Teljesítmény illesztés Alaptörvények Források és generátorok Keressük meg azt az R 0 terhelést, amely mellett a teljesítmény maximális! P max = U2 V 4R b, η = 50% Terhelő ellenállás által felvett teljesítmény: P = R I 2 = UV 2 R (R + R b ) 2 Maximalizáljuk a felvett teljesítményt: dp dr = 0 = = UV 2 (R + R b ) 2 2R(R + R b ) (R + R b ) 4 R 0 = R b mellett maximális Magyar Attila (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 17 / 39

18 Alaptörvények Források és generátorok Bármely, P max -nál kisebb teljesítmény két különböző R-rel biztosítható P 1 = UV 2 R (R + R b ) 2 = R U2 V R 2 + 2R b R + Rb 2 nullára rendezve: R 2 P 1 + (2R b P 1 UV 2 ) R + R2 b P 1 = 0 R-ben másodfokú egyenlet UV 2 2R b P 1 ± (2R b P 1 UV 2 )2 4Rb 2 P2 1 R 1,2 =, R 1 R 2 = Rb 2 2P 1 A belső ellenálláson hővé alakuló teljesítmény P b = R b I 2 = UV 2 R b (R + R b ) 2 Hatásfok η = P = R P + P b R + R b Magyar Attila (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 18 / 39

19 Áttekintés 1 Alaptörvények 2 Lineáris egyenáramú hálózatok elemi számítása Lineáris hálózat Szuperpozíció elve Ellenállások soros és párhuzamos kapcsolása Ellenállások csillag-háromszög átalakítása Wheatstone - híd A helyettesítő generátorok tétele Millmann tétele Magyar Attila (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 19 / 39

20 Lineáris hálózat Lineáris hálózat Egy hálózat lineáris, ha felépíthető lineáris kétpólusokból. Lineáris kétpólus matematikai alakja: U = R I + U 0 lineáris feszültséggenerátor I = G U + I 0 lineáris áramgenerátor U 0 = 0, ill. I 0 = 0 esetben homogén lineáris karakterisztika, egyébként inhomogén lineáris. R = 0, ill. G = 0 esetben az áramforrás és feszültségforrás karakterisztikája adódik. Egyenáramú hálózat: U V, I A, és R időben állandó. (Lineáris egyenáramú hálózatok számításának alapfeladata) Adott a hálózat struktúrája, az ellenállások rezisztenciája, a források forrásfeszültsége, és forrásárama; határozzuk meg a hálózatot alkotó elemek ismeretlen feszültségeit és áramait! Magyar Attila (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 20 / 39

21 Szuperpozíció elve Szuperpozíció elve Lineáris hálózat esetén az x bemenet és az y kimenet között lineáris kapcsolat áll fenn: y = L{x}, ahol L{c 1 x 1 + c 2 x 2 } = c 1 L{x 1 } + c 2 L{x 2 }, c 1,2 R Összegtartás: szuperpozíció elve Aránytartás: a kimenet a bemenet változásával arányosan változik (Szuperpozíció elve) Lineáris hálózat esetén a különböző források egymástól függetlenül hozzák létre feszültségeiket és áramaikat, ezek a hálózati elemeken összegződnek, szuperponálódnak. Az egyes források hatása úgy is vizsgálható, hogy a többi forrást kikapcsoljuk, azaz a feszültségforrásokat rövidzárral (U V = 0), az áramforrásokat pedig szakadással (I A = 0) helyettesítjük. Magyar Attila (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 21 / 39

22 Szuperpozíció elve A szuperpozíció elve csak lineáris hálózatokra érvényes. I 1 = I 1 + I 1, I 2 = I 2 + I 2, U 1 = U 1 + U 1, U 2 = U 2 + U 2 Magyar Attila (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 22 / 39

23 Ellenállások soros kapcsolása Soros és párhuzamos kapcsolás Sorba kapcsolt ellenállások árama közös, feszültségeik összegződnek Az eredő kétpólus is ellenállás: n n U = R S I = U k = R k I = I és R S = n R k n R k, Az ellenállásokon eső feszültségek arányosak az ellenállások rezisztenciájával: U k = R k I = R k R S U, k = 1,..., n Magyar Attila (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 23 / 39

24 Rezisztív feszültségosztó Soros és párhuzamos kapcsolás Két sorba kapcsolt ellenállás rezisztív feszültségosztót alkot: A leosztott feszültségek: U 1 = U R 1 R 1 + R 2 = U G 2 G 1 + G 2 U 2 = U R 2 R 1 + R 2 = U G 1 G 1 + G 2 G 1 = 1 R 1, G 2 = 1 R 2, és U 1 U 2 = R 1 R 2 = G 2 G 1 Magyar Attila (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 24 / 39

25 Ellenállások párhuzamos kapcsolása Soros és párhuzamos kapcsolás Párhuzamosan kapcsolt ellenállások feszültsége közös, áramaik összegződnek I = U R P = ebből n 1 R P = U R k = U n 1 R k Az ellenállásokon átfolyó áramok fordítottan arányosak az ellenállások rezisztenciájával: I k = U = R P I, k = 1,..., n R k R k n 1 R k, Magyar Attila (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 25 / 39

26 Rezisztív áramosztó Soros és párhuzamos kapcsolás Két párhuzamosan kapcsolt ellenállás rezisztív áramosztót alkot: A leosztott áramok: (Szimmetria) I 1 = R P R 1 I = I I 2 = R P R 2 I = I R 2 G 1 = I R 1 + R 2 G 1 + G 2 R 1 G 2 = I R 1 + R 2 G 1 + G 2 A sorba kapcsolt konduktanciákra vonatkozó összefüggések ugyanolyan alakúak, mint a párhuzamosan kapcsolt rezisztanciákra vonatkozók, és fordítva. R 1 és R 2 párhuzamos eredője R 1 R 2 (replusz) R 1 R 2 = R 1 R 2 R 1 + R 2 Magyar Attila (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 26 / 39

27 Csillag-háromszőg átalakítás Ellenállások csillag-háromszög átalakítása A csillagkapcsolás és a háromszögkapcsolás rezisztenciái mindig megválaszthatók úgy, hogy a hálózat többi részében a feszültségek és áramok nem változnak meg: a két kapcsolás ekvivalens (Kérdés) Mi az összefüggés a két kapcsolás ellenállásai között? Magyar Attila (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 27 / 39

28 Háromszög csillag Csillag-háromszőg átalakítás Az ekvivalencia feltétele, hogy bármely két kapocsra nézve az eredő rezisztencia a két kapcsolásnál megegyezzen, ha a harmadik kapocs árammentes. (i) R 10 + R 20 = R 12 (R 23 + R 31 ) (ii) R 20 + R 30 = R 23 (R 31 + R 12 ) (iii) R 10 + R 30 = R 31 (R 12 + R 23 ) A csillag kapcsolás rezisztanciái R 10 = R 31 R 12 R Jelölés: R = R 12 + R 23 + R 31 R 10 : (i) + (iii) (ii) R 20 : (i) + (ii) (iii) R 30 : (ii) + (iii) (i) R 20 = R 12 R 23 R R 30 = R 23 R 31 R Magyar Attila (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 28 / 39

29 Csillag háromszög Csillag-háromszőg átalakítás Ötlet: páronként zárjuk rövidre a kapcsokat, és határozzuk meg az így kapott kétpólus konduktanciáját. Például 2 és 3 rövidre zárva, és határozzuk meg 1 és 2 közötti konduktanciát! Magyar Attila (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 29 / 39

30 Csillag-háromszőg átalakítás (i) G 12 + G 31 = G 10 (G 20 + G 30 ) (ii) G 23 + G 12 = G 20 (G 30 + G 10 ) (iii) G 31 + G 23 = G 30 (G 10 + G 20 ) Jelölés: G Y = G 10 + G 20 + G 30 G 12 : (i) + (ii) (iii) G 23 : (ii) + (iii) (i) G 31 : (i) + (iii) (ii) A háromszög kapcsolás konduktanciái G 12 = G 10 G 20 G Y G 23 = G 20 G 30 G Y G 31 = G 30 G 10 G Y Áttérve rezisztenciákra: továbbá 1 R Y = 1 R R R 30 R 12 = 1 G 12 = R 10 R 20 R Y R 23 = 1 = R 20 R 30 G 23 R Y R 31 = 1 = R 30 R 10 G 31 R Y Magyar Attila (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 30 / 39

31 Wheatstone-híd Wheatstone - híd Feladat: határozzuk meg az I áramot! Ötlet: alakítsuk át az A-B-C háromszöget csillaggá! Magyar Attila (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 31 / 39

32 Wheatstone - híd R = R + R 3 + R 1 R A = R 1 R R R B = R 3 R R R C = R 1 R 3 R A híd bemenő ellenállása a forrás kapcsairól nézve: R b = R 0 +R C +(R A +R 2 ) (R B +R 4 ) I A és I B ágáramok meghatározása: I A = U 0 R b R B + R 4 R A + R 2 + R B + R 4 I B = U 0 R A + R 2 R b R A + R 2 + R B + R 4 A és B közti feszültség, illetve áram: U = R 2 I A R 4 I B I = U R = R 2 I A R 4 I B R (Kiegyenlített híd) Abban az esetben, ha I=0 R 2 I A = R 4 I B R 2 R 3 = R 1 R 4 Magyar Attila (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 32 / 39

33 A helyettesítő generátorok tétele A helyettesítő generátorok tétele Tétel (Helmholtz) Bármely lineáris kétpólus helyettesíthető egy feszültséggenerátorral (Thévenin-ekvivalens), vagy egy áramgenerátorral (Norton-ekvivalens). Magyar Attila (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 33 / 39

34 A helyettesítő generátorok tétele A kétpólus linearitásának következménye. U és I kapcsolata: U = U V I R b, vagy I = I A G b U A helyettesítő generátor forrásfeszültsége a kétpólus üresjárási feszültsége (I = 0), forrásárama pedig a kétpólus rövidzárási árama (U = 0). Az üresjárási feszültség és a rövidzárási áram hányadosa az R b belső ellenállás, amely úgy is meghatározható, hogy kikapcsoljuk a forrásokat, és meghatározzuk a kétpólus bemeneti ellenállását. Magyar Attila (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 34 / 39

35 Sorba kapcsolt feszültséggenerátorok A helyettesítő generátorok tétele A forrásfeszültségek összeadódnak, az eredő belső ellenállás pedig a belső ellenállások soros eredője: R b = R b1 + R b2 U V = U V 1 + U V 2 n generátor esetén n R b = U V = n R bk U V k Magyar Attila (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 35 / 39

36 A helyettesítő generátorok tétele Párhuzamosan kapcsolt áramgenerátorok A forrásáramok összeadódnak, az eredő belső konduktancia pedig a belső konduktanciák párhuzamos eredője. G b = G b1 + G b2, I A = I A1 + I A2 n G b = G bk n I A = I Ak Magyar Attila (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 36 / 39

37 A helyettesítő generátorok tétele Párhuzamosan kapcsolt feszültséggenerátorok Párhuzamosan kapcsolt feszültséggenerátorokat helyettesíthetjük Norton-ekvivalensükkel. G bk = 1, k = 1, 2, G b = G b1 + G b2, U V = 1 (G b1 U V R bk G 1 + G b2 U V 2 ) b n n I A = G bk U V k G b = G bk, U V = 1 n G bk U V G k b Magyar Attila (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 37 / 39

38 Sorba kapcsolt áramgenerátorok A helyettesítő generátorok tétele Sorba kapcsolt áramgenerátorokat helyettesíthetjük Théveninekvivalensükkel. n n U V = R bk I Ak, R b = R bk, I A = 1 n R bk I Ak R b Magyar Attila (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 38 / 39

39 Millmann tétele Millmann tétele, vagy csillagpont-eltolódás tétele Határozzuk meg az alábbi kapcsolásban az U AB feszültséget! U AB = r r U Vk R k + 1 R k + t m=1 s I Am 1 R r+i i=1 = összes áram összes ellenállás Magyar Attila (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 39 / 39