Morfológia. Sergyán Szabolcs Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar Szoftvertechnológia Intézet
|
|
|
- József Orsós
- 4 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Morfológia Sergyán Szabolcs Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar Szoftvertechnológia Intézet október 9. Sergyán (OE NIK) Morfológia október 9. 1 / 41
2 Bevezetés A matematikai morfológia a képanaĺızishez biztosít hasznos eszközöket A matematikai morfológia műveleteit halmazműveletekkel írjuk le Sergyán (OE NIK) Morfológia október 9. 2 / 41
3 Alapműveletek A műveletek a d-dimenziós euklideszi tér tetszőleges részhalmazain értelmezettek Legyenek X és Y a képpontok V halmazának részhalmazai 2D kép esetén: V = Z 2 3D kép esetén: V = Z 3 Sergyán (OE NIK) Morfológia október 9. 3 / 41
4 Alapműveletek X ponthalmaz komplementere X C = {p p / X } = V \ X X ponthalmaz a-val való eltolása (X ) a = {x + a x X }, ahol a V és + a komponensenkénti/koordinátánkénti összeadás Az Y ponthalmaz tükrözése Ŷ = { y y Y }, ahol a komponensenkénti -1 -gyel való szorzás Sergyán (OE NIK) Morfológia október 9. 4 / 41
5 Alapműveletek Forrás: Palágyi Kálmán Képfeldolgzás haladóknak Sergyán (OE NIK) Morfológia október 9. 5 / 41
6 Dilatáció X ponthalmaznak az Y -nal való dilatációja { } X Y = a (Ŷ ) a X = ahol az Y ponthalmazt szerkesztőelemnek nevezzük { a [(Ŷ ) a X ] X A szerkesztőelem koordináta-rendszerének origóját eltoljuk V minden elemére és az adott elemet felvesszük a dilatált halmazba, ha a szerkesztőelemnek legalább egy pontja X -beli ponttal kerül fedésbe Belátható, hogy X X Y, azaz a dilatáció hízlal, ha az Y szerkesztőelemnek eleme a saját origójában lévő elem }, Sergyán (OE NIK) Morfológia október 9. 6 / 41
7 Erózió X ponthalmaznak az Y -nal való eróziója X Y = {a (Y ) a X } = (X C Ŷ ) C A V halmaz egy pontja akkor kerül be az erodált halmazba, ha a szerkesztőelem koordináta-rendszerének origóját az adott pontba eltolva minden egyes Y -beli pont Y -belivel kerül fedésbe Ha Y tartalmazza az origót, akkor X Y Y, vagyis az erózió fogyaszt Sergyán (OE NIK) Morfológia október 9. 7 / 41
8 Dilatáció és erózió Forrás: Palágyi Kálmán Képfeldolgzás haladóknak Sergyán (OE NIK) Morfológia október 9. 8 / 41
9 Dilatáció és erózió Forrás: Palágyi Kálmán Képfeldolgzás haladóknak Sergyán (OE NIK) Morfológia október 9. 9 / 41
10 Iterált szerkesztőelem Legyen Y V egy tetszőleges szerkesztőelem és jelölje O V az origót (ami (0, 0), ha V = Z 2 és (0, 0, 0), ha V = Z 3 ). Az Y elem k-adik iteráltja: Y (k) = { {OV }, ha k=0 Y (k 1) Y, ha k 1 Forrás: Palágyi Kálmán Képfeldolgzás haladóknak Sergyán (OE NIK) Morfológia október / 41
11 Iterált dilatáció és erózió X ponthalmaznak az Y szerkesztőelemmel való iterált dilatációja { X, ha k = 0 X k Y = (X k 1 Y ) Y, ha k > 0 X ponthalmaznak az Y szerkesztőelemmel való iterált eróziója { X, ha k = 0 X k Y = (X k 1 Y ) Y, ha k > 0 Sergyán (OE NIK) Morfológia október / 41
12 Dilatáció és erózió tulajdonságai Asszociativitás (X Y ) Z = X (Y Z) (X Y ) Z = X (Y Z) X {O V } = X X {O V } = X Sergyán (OE NIK) Morfológia október / 41
13 Iterált dilatáció és erózió Előzőekből következik: X k Y = X Y (k) X k Y = X Y (k) Következmény: A nagyméretű szerkesztőelemekkel való dilatáció és erózió kiváltható kisméretűekkel végrehajtott iterált műveletekkel Sergyán (OE NIK) Morfológia október / 41
14 Nyitás X ponthalmaznak az Y szerkesztőelemmel való nyitása X Y = {(Y ) a (Y ) a X } = (X Y ) Y X halmaz megad egy szegmenst a kifestőkönyvben Y szerkesztőelem leírja az egyet méretét és alakját A nyitás eredménye a szegmens szabályos kifestésének felel meg (a szegmenst maximálisan kifestettük anélkül, hogy kifutottunk volna belőle) Sergyán (OE NIK) Morfológia október / 41
15 Zárás X ponthalmaznak az Y szerkesztőelemmel való zárása X Y = (X Y ) Y = (X C Ŷ ) C Sergyán (OE NIK) Morfológia október / 41
16 Nyitás és zárás tulajdonságai 1 A nyitás fogyaszt, a zárás pedig hízlal X Y X X X Y 2 Monotonitás: Ha X 1 X 2, akkor X 1 Y X 2 Y X 1 Y X 2 Y 3 Idempotencia: (X Y ) Y = X Y (X Y ) Y = X Y Sergyán (OE NIK) Morfológia október / 41
17 Morfológiai szűrés (X Y ) Y = (((X Y ) Y ) Y ) Y Forrás: Palágyi Kálmán Képfeldolgzás haladóknak Sergyán (OE NIK) Morfológia október / 41
18 Morfológia szűrés 1 Erózió törli a kisméretű külső zajokat. 2 Eközben a kisméretű üregek megnőnek, így a megőrzendő objektumok fogynak. Kell egy dilatáció, amely visszaálĺıtja az objektumok és üregek eredeti méretét. 3 Újabb dilatáció kitölti a kisméretű (zajnak minősülő) üregeket. 4 Eközben az objektumok meghíznak, amit egy újabb erózió álĺıt helyre. Sergyán (OE NIK) Morfológia október / 41
19 Nyitás, zárás, morfológiai szűrés Forrás: Palágyi Kálmán Képfeldolgzás haladóknak Sergyán (OE NIK) Morfológia október / 41
20 Nyitás hatása jól megválasztott szerkesztőelemmel Forrás: Palágyi Kálmán Képfeldolgzás haladóknak Sergyán (OE NIK) Morfológia október / 41
21 Hit-or-miss transzformáció Az Y szerkesztőelemet két diszjunkt részhalmazra bontjuk, azaz Y = Y 1 Y 2, ahol Y 1 Y 2 =. X ponthalmaz Y -nal való hit-or-miss transzformációja X Y = (X Y 1 ) (X C Y 2 ) = (X Y 1 ) \ (X Ŷ 2 ) A hit-or-miss transzformált halmaznak olyan pont lesz eleme, amellyel a szerkesztőelem origóját eltolva az Y 1 által lefedett valamennyi pont X -be esik, de az Y 2 által lefedett pontok között nincs X -beli. Sergyán (OE NIK) Morfológia október / 41
22 Hit-or-miss transzformáció Forrás: Palágyi Kálmán Képfeldolgzás haladóknak Sergyán (OE NIK) Morfológia október / 41
23 Morfológia vékonyítás X halmaznak az Y szerkesztőelemmel való vékonyítása X Y = X \ (X Y ) = X (X Y ) C A formula a vékonyítás egy lépését adja meg A vékonyítást addig kell végezni, amíg X Y Sergyán (OE NIK) Morfológia október / 41
24 Morfológiai vékonyítás Amennyiben a vékonyítás az ún. irány-szekvenciális megközeĺıtést követi, úgy egy iterációs lépés több fázisból áll, ahol az egymást követő fázisokhoz különböző szerkesztőelemek tartoznak. k-fázisú (k > 1) vékonyítás esetén egy k tagból álló szerkesztőelem-rendszert kell megadni: Y = {Y 1, Y 2,..., Y k }, ahol Y i az i-edik fázis során alkalmazandó szerkesztőelem (1 i k). X halmaznak az Y-nal történő vékonyításának egy iterációs lépése X Y = ((... ((X Y 1 ) Y 2 )...) Y k ) Sergyán (OE NIK) Morfológia október / 41
25 Szerkesztőelem-rendszer Forrás: Palágyi Kálmán Képfeldolgzás haladóknak Sergyán (OE NIK) Morfológia október / 41
26 Morfológiai vékonyítás Forrás: Palágyi Kálmán Képfeldolgzás haladóknak Sergyán (OE NIK) Morfológia október / 41
27 Morfológiai váz Diszkrét terek a morfológiai váz meghatározásához olyan Y szimmetrikus szerkesztőelemet szoktak feltételezni, ami az origó középpontú, 1 sugarú hipergömb egy közeĺıtése. Morfológiai váz: S(X ) = S k (X ) = k=0 Véges X halmazra: S(X ) = K S k (X ) = k=0 {(X k Y ) \ [(X k Y ) Y ]} k=0 K {(X k Y ) \ [(X k Y ) Y ]}, k=0 ahol K = max {k (X k Y ) } Sergyán (OE NIK) Morfológia október / 41
28 Morfológiai váz Forrás: Palágyi Kálmán Képfeldolgzás haladóknak Sergyán (OE NIK) Morfológia október / 41
29 Morfológiai váz A kiindulási X halmaz rekonstruálható a morfológiai váz S k (X ) részhalmazainak ismeretében: X = K S k (X ) k Y k=0 Sergyán (OE NIK) Morfológia október / 41
30 Morfológia szürkeárnyalatos képekre Ha a szerkesztőelem csak egy ponthalmaz, akkor lapostetejű szerkesztőelemről és operátorokról beszélünk Ha a szerkesztőelemhez tartozó pontoknak értéke is van, a szerkesztőelem és a művelet nem-lapostetejű Sergyán (OE NIK) Morfológia október / 41
31 Dilatáció és erózió szürkeárnyalatos képekre Legyen A = [a(i, j)] egy szürkeárnyalatos kép Jelölje a lapostetejű S szerkesztőelem tartományát D S B = A S = [b(i, j)] dilatáció b(i, j) = max {a(i u, j v)} (u,v) D S C = A S = [c(i, j)] erózió c(i, j) = min (u,v) D S {a(i + u, j + v)} Sergyán (OE NIK) Morfológia október / 41
32 Dilatáció és erózió nem-lapostetejű S = [s(u, v)] szerkesztőelemre B = A S = [b(i, j)] dilatáció b(i, j) = C = A S = [c(i, j)] erózió c(i, j) = max {a(i u, j v) + s(u, v)} (u,v) D S min (u,v) D S {a(i + u, j + v) s(u, v)} Sergyán (OE NIK) Morfológia október / 41
33 Kapcsolat a dilatáció és az erózió között A S = (A C Ŝ) C, ahol A C = [a C (i, j)] és Ŝ = [ŝ(u, v)], valamint a C (i, j) = a(i, j) és ŝ(u, v) = s( u, v) Sergyán (OE NIK) Morfológia október / 41
34 Dilatáció és erózió szürkeárnyalatos képekre Forrás: Palágyi Kálmán Képfeldolgzás haladóknak Sergyán (OE NIK) Morfológia október / 41
35 Nyitás, zárás és morfológiai szűrés szürkeárnyalatos képek esetén Nyitás A S = (A S) S Zárás A S = (A S) S Morfológiai szűrés MFilter(A, S) = (A S) S Sergyán (OE NIK) Morfológia október / 41
36 Nyita s, za ra s e s morfolo giai szu re s Forra s: Pala gyi Ka lma n Ke pfeldolgza s halado knak Sergya n (OE NIK) Morfolo gia okto ber / 41
37 Nyitás és zárás tulajdonságai Vezessük be a relációt az alábbi módon: Az A 1 = [a 1 (i, j)] m 1 n 1 -es és az A 2 = [a 2 (i, j)] m 2 n 2 -es képekre A 1 A 2, ha m 1 m 2, n 1 n 2 és a 1 (i, j) a 2 (i, j), ahol i = 1,..., m 1 és j = 1,..., n 1. Tulajdonságok 1 A S = (A C Ŝ) C és A S = (A C Ŝ) C vagyis a nyitás és a zárás egymás duálisai 2 A S A és A A S, azaz a nyitás sötétít, a zárás pedig világosít 3 Ha A B, akkor A S B S és A S B S, tehát mindkét művelet monoton 4 (A S) S) = A S és (A S) S = A S, vagyis mindkét művelet idempotens Sergyán (OE NIK) Morfológia október / 41
38 További négy művelet Morfológiai gradiens Grad(A, S) = (A S) (A S) Morfológiai Laplace-transzformáció Laplace(A, S) = (A S) + (A S) 2 A Top-hat transzformáció TopHat(A, S) = A (A S) Well-hat transzformáció WellHat(A, S) = (A S) A Sergyán (OE NIK) Morfológia október / 41
39 Morfológiai gradiens és Laplace-transzformáció Forrás: Palágyi Kálmán Képfeldolgzás haladóknak Sergyán (OE NIK) Morfológia október / 41
40 Top-hat és well-hat transzformáció Forrás: Palágyi Kálmán Képfeldolgzás haladóknak Sergyán (OE NIK) Morfológia október / 41
41 Felhasznált irodalom Palágyi Kálmán: Képfeldolgozás haladóknak. Typotex Kiadó, 2011 Sergyán (OE NIK) Morfológia október / 41
Morfológia. Sergyán Szabolcs Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar Szoftvertechnológia Intézet
Morfológia Sergyán Szabolcs sergyan.szabolcs@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar Szoftvertechnológia Intézet 2013. szeptember 15. Sergyán (OE NIK) Morfológia 2013. szeptember
Pontműveletek. Sergyán Szabolcs Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar február 20.
Pontműveletek Sergyán Szabolcs sergyan.szabolcs@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar 2012. február 20. Sergyán (OE NIK) Pontműveletek 2012. február 20. 1 / 40 Felhasznált irodalom
Á Ü ő Ü ő Í Ü Í Í ő ő ő ő ő Ü Á ő Á É Í Í Í Í ő Í Ö Í Í ő Í Í Í ő Í ő Í Í ő Í Á Í Í Í Í Í Ü Ü Í Í ő Í Í ő Á Í Í Í ő Í Í Í Í Í Í ÍÍ Í Ö Í Í Í Í ő Í Í Ú Ö Í ő Í Í ő őé Í Í Í Í Í Í Í Í Í Í Í Í ő Í Í Í ő ő
Halmazelmélet. 1. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Halmazelmélet p. 1/1
Halmazelmélet 1. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Halmazelmélet p. 1/1 A halmaz fogalma, jelölések A halmaz fogalmát a matematikában nem definiáljuk, tulajdonságaival
1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes
1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes indukció Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető,
Matematikai logika és halmazelmélet
Matematikai logika és halmazelmélet Wettl Ferenc előadása alapján 2015-09-07 Wettl Ferenc előadása alapján Matematikai logika és halmazelmélet 2015-09-07 1 / 21 Tartalom 1 Matematikai kijelentések szerkezete
3. Szűrés képtérben. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/)
3. Szűrés képtérben Kató Zoltán Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/ 2 Kép transzformációk típusai Kép értékkészletének radiometriai információ
Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy
1. előadás: Halmazelmélet Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy hozzátartozik-e,
Egyszerű programozási tételek
Egyszerű programozási tételek 2. előadás Sergyán Szabolcs sergyan.szabolcs@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar 2011. szeptember 15. Sergyán (OE NIK) AAO 02 2011. szeptember 15.
Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
Összetett programozási tételek
Összetett programozási tételek 3. előadás Sergyán Szabolcs sergyan.szabolcs@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar 2011. szeptember 19. Sergyán (OE NIK) AAO 03 2011. szeptember
DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes
1. Algebrai alapok: DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz
Dr. Vincze Szilvia;
2014. szeptember 17. és 19. Dr. Vincze Szilvia; vincze@agr.unideb.hu https://portal.agr.unideb.hu/oktatok/drvinczeszilvia/oktatas/oktatott_targyak/index/index.html 2010/2011-es tanév I. féléves tematika
1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata.
1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HLMZOK halmaz axiomatikus fogalom, nincs definíciója. benne van valami a halmazban szintén axiomatikus fogalom,
Í Á ÓÉ Ú Á ö ú ö ó ö ü ö ó ö ü ö ó ö ú ú ö ú ó ó ö ó ó ó ö ó ó ű ó ö ó ö ö ú ó ó ú ö Ö ó ö Ö ö ó ó ó ö ö ú ó ö ú ó ó ó ü ó ú ó ö ö ú ó ó Á Á ú ó ü ö Ö ó ö ö ó ö ú Á ö ú ö ö ö ö ö ú ö ú ü ö ú ű ö ö ó ó
Í Í Á Í Á Ü Ö ü Á ü ó Í ó ű ó ü ó ó ó ú ű ó ó ü ű ó ó ű ó ü ü ü ű Í ű ü ü ű ó ű ü ó ű ü ű ű ü ű óé ű ü ó ű ű ü ü ó ú ü ű ó ü ü É ü ó ó ű ó ó ó ú ó ü ó ü ű ü ó ü ú ó Í ó ó ó ó ó ü ü ó ó ú ó ű ü ú ú ó ü
ő á ö é é í í ó ű á ő é é ő á á á é á é á é é é é ő é á á é é é é ö ö ú é íí ü é é ú ő ő é ó í é é é é ó í é é é ü ö ö á é ó é ő ó é á í ó é í ü é é á é é í é é ü é é á í ó í é ü ö ö é é ó ó é ó ó é á
ó ö ó őé é ü ő É ö ó ő é ű Ü ú é ü é ő ó ó ó é ő ó é é ó ö ó őé é Ü ő ó ő ú ó é ű Ü ú é ü é ó ó ö é ő ó é ó é ó ó ó ö ó ó őé é ü ő ő őé ü é ó ó ő é ű ü ú é ü é ő ó ö ó é ó é é ó ó Ó Á Á Á é é é ő ő é é
ő ö é Ü ü é Ó é é ú ü ö ű é é é é í Ü Ö ö ö ö ü ö é é Ó é é ő é ű í ű ő ő é é é ő é é é Ü Ü Ö Ö ő Ö é ü ö ü ő é é é ő ő é ü í ő é ő ő é é é é é é é é ő í ö é ö ő é ő é é ő é ü ő é é é é ú ő é é ő ő é é
Ü Á É É í Ő É Ő Á Ü Ó í Á É Ü Á É É í ŐÉ Ő Á Ü ü Ó Ó ö ő ö ö ö ő ó Ó ö ű ö ő ó Ó Ó ö ö Ó í ő ü ü ü Ü Á É í ő ő ü ú í ú Ü ű ö ü ö ü ü ú Ü í í ó ó É Ö ü ő ü ö ú Ü ö ö ü ő ő í ő Á Ó Ó í Ó ú ő ó í Ö Ó ö ö
ö ö É Ú Á í ö í ö ö öé ö í ö ö Ö Ö Ö ó ó ó ö Ö í í í ó ó Ö í Ö ű í ö ő í ő ü Ö ű í í Ö ó í ű Ö ó í í ó ó ö í Ö Ö Ö ű ó ó ő ő ő ő í ó ó í ó ű ó Ö Ö ű í ő ú ó ő Ö Ö ö Ö ü Ő ö ü ó ó í í ö ü ő Ö ü í ú ó ó
Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
Diszkrét matematika 1. középszint
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. sz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 3. el adás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének
6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük
1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba
Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai
Hraskó András, Surányi László: spec.mat szakkör Tartotta: Hraskó András. 1. alkalom
1. alkalom 1. Beszínezzük a koordináta-rendszer rácspontjait. Egyetlen szabályt kell betartanunk: az (a;b) pontnak ugyanolyan színűnek kell lennie, mint az (a-b;a) és az (a;b-a) pontnak (a és b egész számok).
KÉPFELDOLGOZÁS. 10. gyakorlat: Morfológiai műveletek, alakjellemzők
KÉPFELDOLGOZÁS 10. gyakorlat: Morfológiai műveletek, alakjellemzők Min-max szűrők MATLAB-ban SE = strel(alak, paraméter(ek)); szerkesztőelem generálása strel( square, w): négyzet alakú, w méretű strel(
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
Halmazok, intervallumok
Halmazok, intervallumok Alapfogalmak (nem definiált fogalmak): Halmaz, elem, eleme. Jelölés: x A (ejtsd: az x eleme az A halmaznak). Halmaz megadása: A vizsgálatok során mindig feltesszük, hogy a figyelembe
FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI
FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNY: Adott két halmaz, H és K. Ha a H halmaz minden egyes eleméhez egyértelműen hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor a hozzárendelést
4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI
4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok
Diszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek
1 Diszkrét matematika II., 8. előadás Vektorterek Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2007.??? Vektorterek Legyen T egy test (pl. R, Q, F p ). Definíció.
Jelek és rendszerek MEMO_03. Pletl. Belépő jelek. Jelek deriváltja MEMO_03
Jelek és rendszerek MEMO_03 Belépő jelek Jelek deriváltja MEMO_03 1 Jelek és rendszerek MEMO_03 8.ábra. MEMO_03 2 Jelek és rendszerek MEMO_03 9.ábra. MEMO_03 3 Ha a jelet méréssel kapjuk, akkor a jel következő
2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia
2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia Mind a hétköznapi, mind a tudományos életben gyakran előfordul, hogy bizonyos halmazok elemei között kapcsolat figyelhető meg. A kapcsolat fogalmának matematikai
Sergyán Szabolcs szeptember 21.
Éldetektálás Sergyán Szabolcs Budapesti Műszaki Főiskola Neumann János Informatikai Kar 2009. szeptember 21. Sergyán Sz. (BMF NIK) Éldetektálás 2009. szeptember 21. 1 / 28 Mit nevezünk élnek? Intuitív
5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók
5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 A kiterjesztési elv 2 Nyelvi változók A kiterjesztési elv 237 A KITERJESZTÉSI ELV A
1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK
MATEMATIKA TÉMAKÖRÖK 11. évfolyam 1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK 1.1. HALMAZOK 1.1.1. Halmazok megadásának módjai 1.1.2. Halmazok egyenlősége, részhalmaz, üres halmaz, véges,
Programozás I. Sergyán Szabolcs Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar szeptember 10.
Programozás I. 1. előadás Sergyán Szabolcs sergyan.szabolcs@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar 2012. szeptember 10. Sergyán (OE NIK) Programozás I. 2012. szeptember 10. 1 /
Sarokba a bástyát! = nim
Nim-összeadás, játékok összege Sarokba a bástyát! = nim Nim (két csomóval) Két kupac kaviccsal játszunk. Egy lépésben valamelyikből (de csak az egyikből!) elvehetünk bármennyit. Az nyer, aki az utolsó
ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak.
ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak. Időtartam: 60 perc 1. Halmazműveletek konkrét halmazokkal.
Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1
Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,
BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai
BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai 1.a. A B B A 2.a. (A B) C A (B C) 3.a. A (A B) A 4.a. I A I 5.a. A (B C) (A B) (A C) 6.a. A A I 1.b. A B B A 2.b. (A B) C A (B C) 3.b. A
Metrikus terek, többváltozós függvények
Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész
17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása
EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye
Regresszió. Csorba János. Nagyméretű adathalmazok kezelése március 31.
Regresszió Csorba János Nagyméretű adathalmazok kezelése 2010. március 31. A feladat X magyarázó attribútumok halmaza Y magyarázandó attribútumok) Kérdés: f : X -> Y a kapcsolat pár tanítópontban ismert
A valós számok halmaza
VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben
Képfeldolgozás. 1. el adás. A képfeldolgozás m veletei. Mechatronikai mérnök szak BME, 2008
Képfeldolgozás 1. el adás. A képfeldolgozás m veletei Mechatronikai mérnök szak BME, 2008 1 / 61 Alapfogalmak transzformációk Deníció Deníció Geometriai korrekciókra akkor van szükség, ha a képr l valódi
2. tétel Egész számok - Műveletek egész számokkal. feleletvázlat
1. tétel Természetes számok tízes számrendszer műveletek és tulajdonságaik Természetes számok, jele, jelölések, ábrázolása számegyenesen műveletek a természetes számok halmazán belül Tízes számrendszer
1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül?
1. Algebrai alapok: Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy
Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor
Programozás I. Sergyán Szabolcs Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar szeptember 10.
Programozás I. 1. előadás Sergyán Szabolcs sergyan.szabolcs@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar 2012. szeptember 10. Sergyán (OE NIK) Programozás I. 2012. szeptember 10. 1 /
Programozás I. 1. előadás: Algoritmusok alapjai. Sergyán Szabolcs
Programozás I. 1. előadás: Algoritmusok alapjai Sergyán Szabolcs sergyan.szabolcs@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar Alkalmazott Informatikai Intézet 2015. szeptember 7. Sergyán
Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.
HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak
A matematika nyelvéről bevezetés
A matematika nyelvéről bevezetés Wettl Ferenc 2006. szeptember 19. Wettl Ferenc () A matematika nyelvéről bevezetés 2006. szeptember 19. 1 / 17 Tartalom 1 Matematika Kijelentő mondatok Matematikai kijelentések
Á ö ú é ó é ő Ö é é é ő é ó ű ó é ó ő ő ó ó ő ö é é é ő ö ü ó í ó é ó ö é ő ő í ó é í é é é é ó ó ó ó ó ó ű ű é é é ö ö é é í Ö Ö őí é é é ó ó ö ö í é é é é ű é ű ú é ö é ü é é úé é é ű í ó ö é ü é ú é
Matematika szóbeli érettségi témakörök 2017/2018-as tanév
Matematika szóbeli érettségi témakörök 2017/2018-as tanév 1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, LOGIKA, KOMBINATORIKA, GRÁFOK 1.1. HALMAZOK 1.1.1. Halmazok megadásának módjai 1.1.2. Halmazok egyenlősége,
Struktúra nélküli adatszerkezetek
Struktúra nélküli adatszerkezetek Homogén adatszerkezetek (minden adatelem azonos típusú) osztályozása Struktúra nélküli (Nincs kapcsolat az adatelemek között.) Halmaz Multihalmaz Asszociatív 20:24 1 A
Diszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 2. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Matematikai logika Diszkrét matematika I. középszint
1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?
Definíciók, tételkimondások 1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 2. Sorolja fel a logikai jeleket. 3. Milyen kvantorokat ismer? Mi a jelük? 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?
2011. szeptember 14. Dr. Vincze Szilvia;
2011. szeptember 14. Dr. Vincze Szilvia; vincze@fin.unideb.hu https://portal.agr.unideb.hu/oktatok/drvinczeszilvia Első pillantásra hihetetlennek tűnik, hogy egy olyan tiszta és érzelmektől mentes tudomány,
Függvény fogalma, jelölések 15
DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük
Algoritmusok, adatszerkezetek, objektumok
Algoritmusok, adatszerkezetek, objektumok 1. előadás Sergyán Szabolcs sergyan.szabolcs@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar 2011. szeptember 14. Sergyán (OE NIK) AAO 01 2011.
Programozás I. Metódusok C#-ban Egyszerű programozási tételek. Sergyán Szabolcs sergyan.szabolcs@nik.uni-obuda.hu
Programozás I. 3. előadás Tömbök a C#-ban Metódusok C#-ban Egyszerű programozási tételek Sergyán Szabolcs sergyan.szabolcs@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar Szoftvertechnológia
Halmazelméleti alapfogalmak
Halmazelméleti alapfogalmak halmaz (sokaság) jól meghatározott, megkülönböztetett dolgok (tárgyak, fogalmak, stb.) összessége. - halmaz alapfogalom. z azt jelenti, hogy csak példákon keresztül magyarázzuk,
Diszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2013 ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 9. előadás Mérai László merai@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ merai Komputeralgebra Tanszék 2013 ősz Halmazok Diszkrét
Ü Í Í í ú í ű ú ú Ú ú ű í ú íí í ú í ú í í ú Í ű ú ú í í ú í ú í í ú ú í í í í Ú Í ű í ú í í í í ú Ú í ű í ű í ú í ú í í í ű í í í Ú É í í í ú í ú É Ú ű ú í í ú í í ú í í í í í ú í í í í Á í í Í Í Í Í
Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja
Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással
MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2012
2012 2. Számhalmazok (a valós számok halmaza és részhalmazai), oszthatósággal kapcsolatos problémák, számrendszerek. 4. Hatványozás, hatványfogalom kiterjesztése, azonosságok. Gyökvonás és azonosságai,
1. Halmazok, halmazműveletek. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben. (x eleme az A halmaznak, x az A halmazhoz tartozik),
1. Halmazok, halmazműveletek. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben Halmazok A halmaz a matematikában nem definiált fogalom. A halmazt alapfogalomnak tekintjük, nem tudjuk egyszerűbb fogalmakkal
RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy
Diszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2013 ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László merai@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ merai Komputeralgebra Tanszék 2013 ősz Kombinatorika
2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia Egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai I. Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények
ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY
Koszinusztétel Tétel: Bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk e két oldal és az általuk közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát.
Alapvető polinomalgoritmusok
Alapvető polinomalgoritmusok Maradékos osztás Euklideszi algoritmus Bővített euklideszi algoritmus Alkalmazás: Véges testek konstrukciója Irodalom: Iványi Antal: Informatikai algoritmusok II, 18. fejezet.
Algoritmusok Tervezése. Fuzzy rendszerek Dr. Bécsi Tamás
Algoritmusok Tervezése Fuzzy rendszerek Dr. Bécsi Tamás Bevezetés Mese a homokkupacról és a hidegről és a hegyekről Bevezetés, Fuzzy történet Két értékű logika, Boole algebra Háromértékű logika n értékű
Programozás I. Egyszerű programozási tételek. Sergyán Szabolcs sergyan.szabolcs@nik.uni-obuda.hu
Programozás I. 3. előadás Egyszerű programozási tételek Sergyán Szabolcs sergyan.szabolcs@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar Alkalmazott Informatikai Intézet 2015. szeptember
A matematika nyelvér l bevezetés
A matematika nyelvér l bevezetés Wettl Ferenc 2012-09-06 Wettl Ferenc () A matematika nyelvér l bevezetés 2012-09-06 1 / 19 Tartalom 1 Matematika Matematikai kijelentések 2 Logikai m veletek Állítások
ü É Í ü ü ü Í ü ű ü ü ü ű ü ű ű ű ü ü ü ű ü Í ü ű ü ü ü Ű Í É É Á Ő Á Ó Á Á Á Á É Á Á Á Á É Á Í Á Á Í Í ű Á É É Á Á Ö Í Á Á Á Á Á É Á Á Ó ű Í ü ü ü ű ű ü ü ű ü Á ü ű ü Í Í Í ü Í Í ű ű ü ü ü ü ű ü ű ü ü
Í Á Á É ö ö ö ö ö ű ü ö ű ű ű ö ö ö ü ö ü í ü í í í ü í ü Á ü ö ö ü ö ü ö ö ü ö í ö ö ü ö ü í ö ü ű ö ü ö ü í ö í ö ű ű ö ö ú ö ü ö ű ű ű í ö ű í ű ö ű ü ö í ű í í ö í ö ö Ó Í ö ű ű ű ű í í ű ű í í Ü ö
Ű Í ó Ü Ö Á Á Ó Ö Ü Ü Ü Ü Á Í Ü Á Á Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ö Ü Í Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü Á Í Ü Í Í Á Í Í Ü Í Í Ü Á Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ő Ö Á ÁÍ Á Ü Ü Á Í Ü Í Á Ü Á Í ó Í Í Ü Ü ő Í Ü Ű Ü Ü Ü Ü Í Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü Í Ü Á Ü Ö Á
ű í ú ü Á ü ü ü ü ü É É É Ü í ü Á í í ű í ú É É É Ü Í í í í Á í í Á í Á Í É Ő Ú ú Ú í í í íí í ú í í Í í Í Í É í í Í Í í ú í ü Ó í Í ú Í Í ű í ű í í í Í É Ü ű í ü ű í ú É É É Ü ű í í í í ü í Í í Ú Í í
TANMENET 2015/16. Készítette: KOVÁCS ILONA, Felhasználja: Juhász Orsolya
Tantárgy: Matematika Osztály: 10. B Készítette: KOVÁCS ILONA, Felhasználja: Juhász Orsolya Vetési Albert Gimnázium, Veszprém Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 108 Tankönyv: Hajdu Sándor Czeglédy István Hajdu
Konjugált gradiens módszer
Közelítő és szimbolikus számítások 12. gyakorlat Konjugált gradiens módszer Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Vinkó Tamás Faragó István Horváth Róbert jegyzetei alapján 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS
A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja
2017/2018. Matematika 9.K
2017/2018. Matematika 9.K Matematika javítóvizsga 2018. augusztus szóbeli 3 rövidebb (feladat, definíció, tétel) és 3 hosszabb feladat megoldása a 30 perces felkészülési idő alatt a megoldás ismertetése
Komplex számok. Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal.
Komplex számok Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal. 1. Komplex számok A komplex számokra a valós számok kiterjesztéseként van szükség. Ugyanis már középiskolában el kerülnek olyan másodfokú
Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
HALMAZELMÉLET feladatsor 1.
HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,
A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
Funkcionálanalízis. Gyakorló feladatok március 22. Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér
Funkcionálanalízis Gyakorló feladatok 2017 március 22 Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér N1 Metrikát deniálnak-e R-en az alábbi függvények: (a) d(x, y) = x y (b) d(x, y) = x y (c) d(x, y) =
MATEMATIKA TAGOZAT 5-8. BEVEZETŐ. 5. évfolyam
BEVEZETŐ Ez a helyi tanterv a kerettanterv Emelet matematika A változata alapján készült. Az emelt oktatás során olyan tanulóknak kívánunk magasabb szintű ismerteket nyújtani, akik matematikából átlag
A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/
A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/ Készítette: Almási István almasi84@gmail.com Lineáris függvény A függvény általános alakja: f (x):= m 1 m 2 x+b m a meredekség b a tengelymetszet 2/42
Jelek és rendszerek 1. 10/9/2011 Dr. Buchman Attila Informatikai Rendszerek és Hálózatok Tanszék
Jelek és rendszerek 1 10/9/2011 Dr. Buchman Attila Informatikai Rendszerek és Hálózatok Tanszék 1 Ajánlott irodalom: FODOR GYÖRGY : JELEK ÉS RENDSZEREK EGYETEMI TANKÖNYV Műegyetemi Kiadó, Budapest, 2006
Számítástudomány matematikai alapjai segédlet táv és levelező
Számítástudomány matematikai alapjai segédlet táv és levelező Horváth Árpád 2008. december 16. A segédletek egy része a matek honlapon található: http://www.roik.bmf.hu/matek Kötelező irodalom: Bagyinszki
Csoportmódszer Függvények I. (rövidített változat) Kiss Károly
Ismétlés Adott szempontok szerint tárgyak, élőlények, számok vagy fizikai mennyiségek halmazokba rendezhetők. A halmazok kapcsolatát pedig hozzárendelésnek (relációnak, leképezésnek) nevezzük. A hozzárendelés
A fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.)
24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) D) PERMUTÁCIÓK RENDJE Fontos kérdés a csoportelméletben, hogy egy adott elem hanyadik hatványa lesz az egység. DEFINÍCIÓ: A legkisebb olyan pozitív k számot,
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.
Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:
Gráfelmélet. I. Előadás jegyzet (2010.szeptember 9.) 1.A gráf fogalma
Készítette: Laczik Sándor János Gráfelmélet I. Előadás jegyzet (2010.szeptember 9.) 1.A gráf fogalma Definíció: a G=(V,E) párt egyszerű gráfnak nevezzük, (V elemeit a gráf csúcsainak/pontjainak,e elemeit