2.7 Factor integrante 83. y 2 sen x. x cos x. 2x sen 2 x 4xye xy2) dy D 0. 2 x. x 2 y 2x dx D 0:

Átírás

1 .7 Factor integrante y ln x C y/ dx C.x ln x e y / dy Œy sec.xy/ C sen x dx C Œx sec.xy/ C sen y dy 0. [ x 0. y sen y y ] [ y y x cos C dx C x x cos x. ye y x C x C y y 0 y xe x. x C y..y sen x y C y e xy / dx 3..xy e 3y / dx C.x kxe 3y 3y / dy 0. Resolver los siguientes PVI: x y sen x y ( x sen x 4xye xy) dy 0. C ] dy 0. y 4. y cos x 3x y x dx C y sen x x 3 C ln y dy 0; con y.0/ e: 5..y C xe x C / dx C.x C e y / dy 0; con y./ e y sen x C tan y/ dx e y cos x x sec y dy 0; con y.0/ 0. x C y 7. dx C.y C arctan x/ dy 0; con y.0/. C x 8. eterminar los valores de las constantes A y B que hacen exacta a la ecuación diferencial y 3 y sen x x dx C Axy C By cos x 3y dy 0: 9. Obtener una función.x; y/ de modo tal que sea exacta la ecuación diferencial.x; y/ dx C.e x cos y C cos y/ dy 0: 0. Obtener una función.x; y/ de modo tal que sea exacta la ecuación diferencial.7 Factor integrante x y.x; y/ dy C x y x dx 0: Como puede observarse en todas las E resueltas hasta ahora, es frecuente que hagamos manipulaciones algebraicas para simplificar su forma y resolverlas con cierta comodidad. Esto es válido, pues las E antes y después de las operaciones tendrán la misma solución. Sin embargo, algunas de las E pueden perder la propiedad de exactitud al modificarse algebraicamente. Ejemplo.7. Vamos a calcular la diferencial total de la función f.x; y/ x 3 y Cx y y manipular la E asociada para obtener una E no exacta. ado que se tiene 3x y C x3 C x dx dy.3x y C xy / dx C.x 3 C x y/ dy:

2 84 Ecuaciones diferenciales Claramente, la E.3x y C xy / dx C.x 3 C x y/ š dy 0 (.4) es exacta, pues además de que el lado izquierdo es la diferencial total de f.x; y/ x 3 y C x y, podemos comprobar la igualdad de las 3x C 4xy 3x C 4xy: En ambos paréntesis de la E (6.55) podemos factorizar x y escribir o bien, si dividimos entre x obtendríamos la E, x.3xy C y / dx C x.x C xy/ dy 0;.3xy C y / š dx C.x C xy/ dy 0: (.43) Sin embargo esta nueva E (.43), aunque es equivalente a la (6.55), ya no es exacta, como podemos ver con las derivadas 3x C 4y x C y: Esto nos sugiere la idea de la existencia de ecuaciones diferenciales que no son exactas, pero que al ser multiplicadas por ciertas funciones.x; y/ dan como resultado ecuaciones diferenciales exactas, cuyas soluciones son también soluciones de las ecuaciones diferenciales originales no exactas. Supongamos inicialmente que se tiene una ecuación diferencial.x; y/ dx C.x; y/ dy 0 (.44) que no es exacta. Esto @ y que.x; y/ es una función tal que la ecuación diferencial, obtenida al multiplicar (.44) por : resulta exacta. Es decir, que.x; y/.x; y/ dx C.x; y/.x; y/ @. /: Cuando esto sucede se dice que la función.x; y/ es un factor integrante de la E (.44). Se supone, claro está, que la función.x; y/ no es la función idénticamente cero,.x; y/ 0 y además.x; y/ puede depender de dos variables x & y o bien de sólo una de ellas. Ejemplo.7. Verificar que la función.x/ sea un factor integrante de la ecuación diferencial: x3.3x 5 tan y y 3 / dx C.x 6 sec y C 4x 3 y 3 C 3xy / dy 0:

3 .7 Factor integrante 85.x; y/ 3x 5 tan y y 3x5 sec y 6y.x; y/ x 6 sec y C 4x 3 y 3 C 3xy 6x5 sec y C x y 3 C 3y @ : La E no es exacta. Al multiplicar la E por la función.x/ x 3, se obtiene: x 3.3x 5 tan y y 3 / dx C x 3.x 6 sec y C 4x 3 y 3 C 3xy / dy 0 ) ).3x tan y x 3 y 3 / dx C.x 3 sec y C 4y 3 C 3x y / dy 0I (.45) Ahora hallamos que 3x tan y x 3 y 3x sec y 6x 3 y x 3 sec y C 4y 3 C 3x y 3x sec y 6x 3 y @ : Entonces la nueva ecuación diferencial (.45) es exacta. Por lo tanto la función.x/ x 3 x 3 es un factor integrante de la E dada. Ejemplo.7.3 Verificar que la función.y/ y sea un factor integrante de la ecuación diferencial:.3x y C y / dx C.3x 3 y C 4xy/ dy 0:.x; y/ 3x y C 3x C yi.x; y/ 3x 3 y C 4xy 9x C 4yI @ ) la E no es exacta. Al multiplicar la ecuación diferencial por la función.y/ y, se obtiene: y.3x y C y / dx C y.3x 3 y C 4xy/ dy 0 ) ).3x y 3 C y 4 / dx C.3x 3 y y 4 C 4xy 3 / dy 0: (.46) Y ahora: 3x y 3 C y 9x y C 4y 3 3x 3 y y 4 C 4xy 3 9x y C 4y 3 @ ) la nueva E (.46) es exacta. Por lo que la función.y/ y es un factor integrante de la ecuación diferencial dada. Ejemplo.7.4 Verificar que la función.x; y/ sea un factor integrante de la ecuación diferencial: x C y.x C y x/ dx C.x C y y/ dy 0:

4 86 Ecuaciones diferenciales.x; y/ x C y 4y.x; y/ x C y y x Al multiplicar la ecuación diferencial por la función.x; y/ Y ahora: ) [.x C y / x ] x C y x x C y dx C ƒ dx @ x C y : ) la E no es exacta. [.x C y / y ] x C y dy 0 ) y x C y dy 0: (.47) x.x C y x. / x C y y xy x C y y.x C y / y. / x C y x xy x C y La nueva ecuación diferencial (.47) es exacta. Por lo tanto, la función.x; y/ integrante de la ecuación diferencial dada. Por otra parte, si f.x; y/ C es la solución general de la ecuación diferencial exacta:.x; y/.x; y/ dx C.x; y/.x; y/ dy 0; entonces f.x; y/ C satisface a la ecuación diferencial:.x; y/ Œ.x; y/ dx C.x; y/ dy 0; por lo que f.x; y/ C es la solución general de la ecuación diferencial (no exacta).x; y/ dx C.x; y/ dy 0; ya que.x; y/ 0: @ : es un factor x C y Es decir, la solución f.x; y/ C de la nueva ecuación diferencial exacta es también solución general de la ecuación diferencial original no exacta. Por lo tanto, para resolver la ecuación diferencial no exacta debemos resolver la ecuación diferencial exacta. Pero la ecuación diferencial exacta se tendrá siempre y cuando se conozca un factor integrante, por lo cual es muy importante saber determinar u obtener dicho factor integrante para la ecuación diferencial no exacta Cómo obtenerlo? Veamos el caso general: La función.x; y/ es un factor integrante para la ecuación diferencial no exacta:.x; y/ dx C.x; y/ dy 0 si y sólo si.x; y/ dx C.x; y/ dy 0 es exacta @. : Vemos que.x; y/ debe ser solución de la ecuación diferencial: y C y x C x : (.48) Observamos que para determinar necesitamos resolver una ecuación diferencial parcial, lo cual no está a nuestro alcance. Por lo tanto, no podemos resolver el problema general, que es cuando un factor integrante.x; y/ depende de ambas variables x & y. Qué sucede cuando depende sólo de una variable? Consideremos dos casos:

5 .7 Factor integrante 87. Cuando depende sólo de x (esto es, no depende de y)..x/ x y 0: Al utilizar.x/ y sus derivadas en la ecuación diferencial (.48), se tiene:.x/ y C y.x/ x C x ).x/ y C 0.x/ x C 0.x/ ) ).x/ y.x/ x 0.x/ ) 0.x/. y x /.x/ ) ) 0.x/.x/ y que es una ecuación diferencial ordinaria para.x/ siempre y cuando el cociente y dependa sólo de x, es decir, siempre y cuando este cociente y x no dependa de la variable y, después de simplificar dicha expresión. Por qué?, porque 0.x/ no depende de y, depende solamente de x..x/ Ahora bien, si y de donde x x ; g.x/, entonces existe un factor integrante.x/ determinado por 0.x/.x/ y x g.x/ 0.x/ dx g.x/ dx ) ln.x/ g.x/ dx ).x/ g.x/ dx er :.x/ otemos que g.x/ dx h.x/ C C con C R ).x/ e h.x/cc e h.x/ e C Ce h.x/, con C R: Lo cual nos indica la existencia de una infinidad de factores integrantes. Pero, debido a la necesidad de contar con sólo un factor integrante, podemos ignorar la constante de integración C y quedarnos con.x/ e h.x/.. Cuando depende sólo de y (esto es, no depende de y 0.y/ x 0: Al usar.y/ y sus derivadas en la ecuación diferencial.:48/, se tiene:.y/ y C y.y/ x C x ).y/ y C 0.y/.y/ x C 0 ) x ) 0.y/.y/ x.y/ y.y/. x y / ) ) 0.y/.y/ x y ; que es una ecuación diferencial ordinaria para.y/ siempre y cuando x dependa sólo de y, es decir, siempre y cuando el cociente x y no dependa de la variable x, después de simplificar dicha expresión. Por qué?, porque 0.y/.y/ no depende de x, depende solamente de y. y

6 88 Ecuaciones diferenciales Ahora bien, si x y g.y/, entonces existe un factor integrante.y/ determinado por 0.y/.y/ x y g.y/ ) d g.y/ dy; de donde d g.y/ dy ) ln.y/ g.y/ dy ).y/ g.y/ dy er : otemos que g.y/ dy j.y/ C C con C R ).y/ e j.y/cc e j.y/ e C Ce j.y/, con C R: Lo cual nos indica la existencia de una infinidad de factores integrantes. Pero debido a la nececidad de contar con sólo un factor integrante, podemos ignorar la constante de integración C y quedarnos con.y/ e j.y/. Ejemplo.7.5 Resolver la E.3x 5 tan y y 3 / dx C.x 6 sec y C 4x 3 y 3 C 3xy / dy 0. 3x 5 tan y y 3 ) y 3x 5 sec y 6y x 6 sec y C 4x 3 y 3 C 3xy ) x 6x 5 sec y C x y 3 C 3y ) y x : La E no es exacta. Existe un factor integrante.x/? Es decir, es y Veamos: x una función sólo de x? y x.3x5 sec y 6y /.6x 5 sec y C x y 3 C 3y / x 6 sec y C 4x 3 y 3 C 3xy 3x5 sec y x y 3 9y x 6 sec y C 4x 3 y 3 C 3xy 3.x5 sec y C 4x y 3 C 3y / x.x 5 sec y C 4x y 3 C 3y / 3 I que depende sólo de x: x Entonces existe un factor integrante.x/ dado por 0.x/.x/ y x 3 x ) 0.x/.x/ dx ) ln.x/ 3 ln x ln x 3 ).x/ x 3 : 3 x dx ) ultiplicando la ecuación diferencial por.x/ x 3 : x 3.3x 5 tan y y 3 / dx C x 3.x 6 sec y C 4x 3 y 3 C 3xy / dy 0 ) ).3x tan y x 3 y 3 / dx C.x 3 sec y C 4y 3 C 3x y / dy 0: (.49) Ahora se tiene: 3x tan y x 3 y 3 ) y 3x sec y 6x 3 y I x 3 sec y C 4y 3 C 3x y ) x 3x sec y 6x 3 y I ) y x : La nueva E (.49) es exacta. Entonces existe una función f.x; y/ que cumple df f x dx C f y dy dx C dy:

7 .7 Factor integrante 89 Es decir, existe f.x; y/ tal que f x & f y. Integrando f x y ahora f x ) f.x; y/ x dx x.3x tan y x 3 y 3 / dx ) ) f.x; y/ x 3 tan y C x y 3 C x3 sec y C 3x y C h 0.y/I f y ) x 3 sec y C 3x y C h 0.y/ x 3 sec y C 4y 3 C 3x y ) Sustituyendo h.y/ en f.x; y/ se tiene que: ) h 0.y/ 4y 3 ) h.y/ y 4 C C : f.x; y/ x 3 tan y C x y 3 C y 4 C C : Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial exacta, así como de la no exacta, es f.x; y/ C ) x 3 tan y C x y 3 C y 4 C C C ) ) x 3 tan y C x y 3 C y 4 C: Ejemplo.7.6 Resolver la E.3x y C y / dx C.3x 3 y C 4xy/ dy 0. 3x y C y ) y 3x C yi 3x 3 y C 4xy ) x 9x C 4yI Existe un factor integrante.x/? Es decir, es y x y x.3x C y/.9x C 4y/ 3x 3 y C 4xy ) y x ) la E no es exacta. x una función sólo de x? Veamos: 6x y 3x 3 y C 4xy g.x/: El cociente y no depende sólo de x, ya que también depende de y. Esto nos permite asegurar que no existe un factor integrante.x/. Ahora bien, existe un factor integrante.y/? Es decir: es x x y y.9x C 4y/.3x C y/ 3x y C y y 6x C y 3x y C y.3x C y/ y.3x C y/ y : una función sólo de y? Veamos: Observamos que x está en función sólo de y, lo que nos permite asegurar que existe un factor y integrante.y/, el cual está dado por 0.y/.y/ x y 0 y ).y/.y/ dy y dy ) ) ln.y/ ln y ln y ).y/ y : Al multiplicar la ecuación diferencial no exacta por.y/ y : y.3x y C y / dx C y.3x 3 y C 4xy/ dy 0 ) ).3x y 3 C y 4 / dx C.3x 3 y y 4 C 4xy 3 / dy 0: (.50)

8 90 Ecuaciones diferenciales Ahora se tiene: 3x y 3 C y 4 ) y 9x y C 4y 3 3x 3 y y 4 C 4xy 3 ) x 9x y C 4y 3 Entonces existe una función f.x; y/ tal que df f x dx C f y dy dx C dy: ) y x ) la nueva E (.50) es exacta. Es decir, existe f.x; y/ tal que f x & f y : y y f y ) f.x; y/ dy.3x 3 y y 4 C 4xy 3 / dy ) ) f.x; y/ 3x 3 y 3 y 5 y 3 5 C 4x 4 C h.x/ ) 4 ) f.x; y/ x 3 y 3 5 y5 C xy 4 C h.x/ 3x y 3 C y 4 C h 0.x/I y ahora f x ) 3x y 3 C y 4 C h 0.x/ 3x y 3 C y 4 ) h 0.x/ 0 ) h.x/ C : Sustituyendo h.x/ en f.x; y/ se tiene que f.x; y/ x 3 y 3 5 y5 C xy 4 C C : Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial exacta, así como de la no exacta, es Ejemplo.7.7 Resolver la ecuación diferencial: f.x; y/ C ) x 3 y 3 5 y5 C xy 4 C C C ) ) 5x 3 y 3 y 5 C 5xy 4 C: 3y cot x C sen x cos x.3y cot x C sen x cos x/ dx y dy 0: (.5) ) y 6y cot x y ) x 0 ) y x I entonces la E (.5) no es exacta. Existe un factor integrante.x/?, es decir, es y y x 6y cot x y x una función sólo de x? 3 cot x: Esta última expresión depende sólo de x; entonces sí existe un factor integrante.x/ y cumple con la ecuación diferencial ) 0.x/.x/ y x 3 cot x ) d 3 cot x dx ) d cos x 3 sen x dx ) ln 3 ln.sen x/ ln.sen x/ 3 ) ).x/ sen 3 x:

9 .7 Factor integrante 9 ultiplicando la ecuación diferencial (.5) por el factor integrante:.3y sen 4 x cos x C sen x cos x/ dx y sen 3 x dy 0: (.5) Se tiene ahora que 3y sen 4 x cos x C sen x cos x ) y 6y sen 4 x cos x y sen 3 x ) x 6y sen 4 x cos x ) y x : La nueva E (.5) es exacta. Entonces existe f.x; y/ tal que f x & f y. Tenemos: y y f x & f.x; y/ dy y sen 3 x dy y sen 3 x C h.x/: erivando respecto a x e igualando a : Entonces: f x 3y sen 4 x cos x C h 0.x/ 3y sen 4 x cos x C sen x cos x ) ) h 0.x/ sen x cos x ) h.x/ sen x cos x dx sen x C C : Por lo tanto, la solución general de la E es f.x; y/ y sen 3 x sen x C C : f.x; y/ C ) y sen 3 x sen x C C C ) y sen 3 x C sen x C ) ) y C sen x C sen 3 x: Ejemplo.7.8 Resolver la ecuación diferencial: y ln y C ye x x C y cos y ) x.y ln y C ye x / dx C.x C y cos y/ dy 0: (.53) ) y C ln y C e x ) y x ) la E no es exacta. Existe un factor integrante.x/? y x C ln y C ex x C y cos y El último cociente no depende sólo de x, entonces no existe.x/. Existe un factor integrante.y/? x y ln y ex y ln y C ye x ln y C ex x C y cos y : ln y C e x y.ln y C e x / y : En este caso, este último cociente sí depende sólo de y, entonces existe.y/ el cual cumple con la ecuación diferencial 0.y/.y/ x y y ) d dy y ) d dy y ) ) ln ln y ln y ).y/ y :

10 9 Ecuaciones diferenciales ultiplicando la ecuación diferencial (.53) por el factor integrante:.ln y C e x / dx C.xy C cos y/ dy 0: (.54) Ahora tenemos ln y C e x xy C cos y ) y y ) x y ) y x ) la nueva E (.54) es exacta. Entonces existe f.x; y/ tal que f x & f y. Tenemos: x f y & f.x; y/.ln y C e x / dx x ln y C e x C h.y/: erivando respecto a y e igualando a : f y x y C h 0.y/ xy C cos y ) h 0.y/ cos y ) h.y/ sen y C C : Entonces: f.x; y/ x ln y C e x C sen y C C : Por lo tanto, la solución general de la E es f.x; y/ C ) x ln y C e x C sen y C C C ) ) x ln y C e x C sen y C: Ejemplo.7.9 Resolver la E y 0 y sen x C xy y 3 sen x. Se puede escribir esta ecuación diferencial como Se tiene ahora: dy dx y sen x C xy y sen x C xy y 3 sen x ) y sen x C xy y 3 sen x ) x sen x cos x sen x Existe un factor integrante.x/? y x ).y sen x C xy / dx.y 3 sen x/ dy ) ).y sen x C xy / dx C.y 3 sen x/ dy 0: (.55) sen x C xy C sen x y 3 sen x ) y x ) la E (.55) no es exacta. sen x C xy y 3 sen x Entonces no existe.x/, ya que la expresión anterior no depende sólo de x. Existe un factor integrante.y/? x y g.x/: sen x xy.sen x C xy/ y sen x C xy y.sen x C xy/ y : Entonces, por lo anterior, sí existe.y/, el cual cumple con 0.y/.y/ y ) d y dy ) d dy y ) ) ln ln y ln y ).y/ y :

11 .7 Factor integrante 93 ultiplicando (.55) por el factor integrante, se obtiene:.y sen x C x/ dx C.y y sen x/ dy 0: (.56) Vemos que y sen x C x ) y y sen x y y sen x ) x y sen x cos x y sen x ) y x ) ) la E (.56) es exacta. Por lo tanto, existe f.x; y/ tal que f x & f y. e la primera condición: f x ) f.x; y/ erivando con respecto a y e igualando a : x.y sen x C x/ dx y cos x C x C h.y/: (.57) f y y cos x C h 0.y/ y y sen x ) ) h 0.y/ y y sen x y cos x y y ) h 0.y/ y y ) h.y/ y cos x sen x y dy y C y C C : y cos x y y ) Entonces, sustituyendo h.y/ en (.57): f.x; y/ y cos x C x C y C y C C : Por lo tanto, por ser la diferencial de f.x; y/ igual a cero, f.x; y/ es una constante y la solución general de la E es f.x; y/ C ) y cos x C x C y C y C C C ) ultiplicando por y: ) y cos x C.x C y / C ) y sen x C.x C y / C: sen x C y.x C y / Cy ) sen x C y.x C y / Cy: Ejemplo.7.0 Comprobar que la E lineal y 0 Cp.x/y q.x/; con p.x/ 0 no es exacta, pero sí tiene factor integrante.x/. Se tiene: y 0 C p.x/y q.x/ ) dy C p.x/y q.x/ 0 ) Œp.x/y q.x/ dx C dy 0: (.58) dx p.x/y q.x/ ) y p.x/ ) x 0 ) y x ) la E lineal (.58) no es exacta.

12 94 Ecuaciones diferenciales Existe un factor integrante.x/? y x p.x/ 0 p.x/: Por lo anterior, sí existe un factor integrante.x/ y cumple con 0 p.x/ ) d d p.x/ dx ) p.x/ dx ) ln.x/ ).x/ er p.x/ dx : p.x/ dx ) ultiplicando (.58) por.x/ e R p.x/ dx : Œp.x/y q.x/e R p.x/ dx dx C e R p.x/ dx dy 0: (.59) Entonces: Œp.x/y q.x/e R p.x/ dx ) y p.x/e R p.x/ dx er p.x/ dx ) x er p.x/ dx p.x/ ) y x ) la E (.59) es exacta. Por lo tanto la E (.58) sí tiene un factor integrante y éste es.x/ e R p.x/ dx. Ejemplo.7. Comprobar que la E lineal x 0 C p.y/x q.y/; con p.y/ 0 no es exacta, pero sí tiene un factor integrante.y/. Reescribimos la E en formato diferencial: Se tiene ahora: x 0 C p.y/x q.y/ ) dx C p.y/x q.y/ 0 ) dx C Œp.y/x q.y/ dy 0: (.60) dy ) y 0 p.y/x q.y/ ) x p.y/ Existe un factor integrante.x/? ) y x ) la E lineal (.60) no es exacta. y x 0 p.y/ ; no depende sólo de x: p.y/x q.y/ Entonces no existe un factor integrante.x/. Existe un factor integrante.y/? x y p.y/ 0 Sí existe un factor integrante.y/ y cumple con 0 p.y/ ) d ).y/ e R p.y/ dy : p.y/ dy ) p.y/, sí depende sólo de y: d p.y/ dy ) ln.y/ p.y/ dy ) ultiplicando (.60) por.y/ e R p.y/ dy : er p.y/ dy dx C Œp.y/x q.y/er p.y/ dy dy 0: (.6)

13 .8 iscelánea 95 Entonces: e R p.y/ dy Œp.y/x q.y/e R p.y/ dy ) y e R p.y/ dy p.y/ ) x p.y/e R p.y/ dy ) y x ) la E (.6) es exacta. Por lo tanto la E (.60) sí tiene un factor integrante y éste es.y/ e R p.y/ dy. Ejercicios.7. Factor integrante. Soluciones en la página 460. Verificar que la función.x; y/ sea un factor integrante de la ecuación diferencial: xy ( xy sen y C xy sen x C ) ( dx C x y cos y xy cos x C ) dy 0: x y. Verificar que la función.x; y/ sec.xy/ sea un factor integrante de la ecuación diferencial: 3. Verificar que la función.x; y/ Œy C sen x cos.xy/ dx C Œx C sen y cos.xy/ dy 0: sea un factor integrante de la ecuación diferencial: xy.x C y/.xy C y / dx C.x C 3xy/ dy 0: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales encontrando un factor integrante. 4. 3xy C y dx C x C xy dy 0: 5. xy 3y 3 dx C 7 3xy dy y 3 C e x y dx C e x C 3y dy x y C y C 5 dx C.x 3 C x/ dy dx dy y3 3x. y 9..sen y ye x sen x/ dx C.cos y C e x cos x/ dy y cos x dx C.y sen x C sen x/ dy 0:.8 iscelánea En este apartado queremos responder a la pregunta cómo proceder cuando se nos pide resolver una ecuación diferencial ordinaria de primer orden.x; y/ dx C.x; y/ dy 0 y no nos dicen de qué tipo es? La identificación del tipo de la ecuación diferencial ordinaria es importante para poder resolverla, cómo identificarla?, existe algún camino que nos ayude a eliminar posibilidades sin invertir demasiado tiempo?