Dr. Garab József. A faanyag és faalapú anyagok anizotrop tönkremeneteli elméleteinek vizsgálata alkalmazhatóságuk szempontjából

Átírás

1 NYUGATMAGYARORSZÁGI EGYETEM FAIPARI MÉRNÖKI KAR CZIRÁKI JÓZSEF FAANYAGTUDOMÁNY ÉS TECHNOLÓGIÁK DOKTORI ISKOLA Dr. Garab Józse A aanyag és aalapú anyagok anizotrop tönkremeneteli elméleteinek vizsgálata alkalmazhatóságuk szempontjából Tankönyv Talentum program * kutatásmódszertani tananyag kidolgozás 0 *A tankönyv kiadása a Talentum Hallgatói tehetséggondozás eltételrendszerének ejlesztése a Nyugatmagyarországi Egyetemen c. TÁMOP 4... B0/00008 számú projekt keretében, az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társinanszírozásával valósult meg.

2 Impresszum Dr. Garab Józse A aanyag és aalapú anyagok anizotrop tönkremeneteli elméleteinek vizsgálata alkalmazhatóságuk szempontjából Tankönyv a doktori (Ph.D.) értekezés átdolgozott anyaga Témavezető: Dr. Szalai Józse CSc. Programmegvalósító/Felelős kiadó: Nyugatmagyarországi Egyetem, Faipari Mérnöki Kar, Cziráki Józse Faanyagtudomány és Technológiák Doktori Iskola 9400 Sopron, BajcsyZsilinszky u. 4. Szakmai vezető: Pro. Dr. Tolvaj László, Cziráki Józse Doktori Iskola vezetője A tankönyv kiadása a TALENTUM Hallgatói tehetséggondozás eltételrendszerének ejlesztése a Nyugatmagyarországi Egyetemen c. TÁMOP 4... B 0/ számú projekt keretében, az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társinanszírozásával valósult meg. Kiadvány borítóterve: Orosz Ferenc Nyomdai előkészítés, kivitelezés: PALATIA Nyomda és Kiadó Kt., Győr Viza u. 4. Minden jog enntartva, beleértve a sokszorosítást, a mű bővített vagy rövidített kiadásának jogát is. A kiadó írásbeli hozzájárulása nélkül sem a teljes mű, sem annak része semmiéle ormában nem sokszorosítható, illetve semmilyen más adathordozó rendszerben nem tárolható. ISBN

3 Jobb dolgozni, mint dicsekedni. (Grozdits A. György) 3

4 Kivonat A aanyag és aalapú anyagok anizotrop tönkremeneteli elméleteinek vizsgálata alkalmazhatóságuk szempontjából A aanyag összetett belső szerkezete miatt a aanyag szilárdságának megbecsülése viszonylag bonyolult eladat. A aszerkezetek kritikus pontjaiban lineáris, síkbeli és térbeli eszültségállapot uralkodhat. Mivel a aanyag mechanikai tulajdonságai a makroszkopikus szerveződési szinten leginkább az ortogonálisan anizotrop (ortotrop) anyagmodellnek elelnek meg, a tönkremenetel leírására anizotrop tönkremeneteli elméletekre van szükség. A mechanika ejlődéstörténete olyamán számos tönkremeneteli elmélet született, ezek közül néhányat kiejezetten anizotrop anyagokra ejlesztettek ki. A tönkremeneteli elméletek alkalmazhatóságát azonban kísérletek segítségével alá kell támasztani. Kutatásunkban a von Mises, a TsaiWu és az Ashkenaziéle tönkremeneteli elméleteket vizsgáltuk lucenyő (Picea abies) aanyagon ható összetett eszültségállapot esetén. A síkbeli vizsgálatokkal kapcsolatos eredményeket a Bécsi Műszaki Egyetem Mechanika Intézete (TU Vienna, Institute or Mechanics o Materials and Structures, IMWS) bocsátotta rendelkezésünkre. A térbeli vizsgálatokat pedig szintén a bécsi intézetben mi végeztük el. A tönkremeneteli elméletek kivétel nélkül úgy működnek, hogy a ható eszültségi állapotot a aanyag anatómiai őirányainak rendszerében kell megadni. Ezért a kutatásunk során a aanyag éleihez, vagy a terhelőberendezés geometriájához kötött koordinátarendszerében kapott eszültségállapotokat transzormálni kellett. A tönkremeneteli viszonyszám deiniálása után meghatároztuk azokat mindhárom elmélettel az összes kísérleti eszültségállapotra. A tönkremeneteli viszonyszám segít 4

5 ségével következtethetünk arra, hogy melyik elmélet írja le helyesebben a tönkremenetel ellépését. Az eredmények azt mutatják, hogy összetett eszültségállapot esetén a von Mises, a TsaiWu, és az Ashkenazi elméletek közül egyedül az Ashkenaziéle elmélet írja le megelelően a aanyagok tönkremenetelét. Ezért az Ashkenazi elméleten alapuló szilárdsági méretezés elméletileg és gyakorlatilag is megalapozott. Kulcsszavak: anizotrop tönkremeneteli elméletek, biaxiális és triaxiális vizsgálatok, eszültségállapotok transzormációja, tönkremeneteli viszonyszám, Ashkenazi elmélet 5

6 Tartalomjegyzék Jelmagyarázat Bevezetés Az anizotrop tönkremeneteli elméletek bemutatása Anizotrop anyagok tönkremenetele Anizotrop szilárdsági kritériumok A lineáris szilárdsági kritérium A von Mises szilárdsági kritérium A TsaiWu szilárdsági kritérium Az Ashkenazi szilárdsági kritérium A szilárdsági kritériumok tenzorkomponenseinek meghatározása A lineáris kritérium tenzorkomponenseinek meghatározása A von Mises szilárdsági kritérium tenzorkomponenseinek meghatározása A TsaiWu szilárdsági kritérium tenzorkomponenseinek meghatározása Az Ashkenazi szilárdsági kritérium tenzorkomponenseinek meghatározása A sűrűség és a nedvességtartalom hatásának igyelembe vétele a tenzorkomponensek számításánál A tönkremeneteli elméletek graikus ábrázolása A lineáris szilárdsági kritérium graikus ábrázolása A von Mises szilárdsági kritérium graikus ábrázolása A TsaiWu szilárdsági kritérium graikus ábrázolása Az Ashkenazi szilárdsági kritérium graikus ábrázolása Anizotrop tönkremeneteli elméletek alkalmazhatóságának vizsgálata A tönkremeneteli elméletek összehasonlítása a normálszilárdságok iránytól való üggése alapján

7 3.. A tönkremeneteli elméletek összehasonlítása energetikai alapon A tönkremeneteli elméletek összehasonlítása kísérleti adatok alapján A kísérletek bemutatása A kísérletek célja A biaxiális törővizsgálatok bemutatása A triaxiális törővizsgálatok bemutatása Az összetett eszültségállapotok transzormációja a aanyag anatómiai őirányainak rendszerébe A tönkremeneteli elméletek ellenőrzése Eredmények és diszkusszió A szilárdsági kritériumok tenzorkomponensei A transzormált összetett eszültségállapotok A tönkremeneteli elméletek ellenőrzése A vizsgálatok alapján levont következtetések Konklúzió Irodalomjegyzék Függelék

8 Jelmagyarázat σ egy egyenértékű eszültségi állapot, σ a ható eszültségi állapot tenzora, ill. annak komponensei, ε kl a ható eszültségi állapot tenzora, ill. annak komponensei, a i, a, a k, a kl, a kl q,, 3, 4, zdimenziós tenzorok, ill. azok komponensei a kiinduló koordinátarendszerben (i, j, k, l, q=,, 3), a i, a i j, a i j k, a i j k l, a i j k l q,, 3, 4, az előbbi tenzorok, ill. azok komponensei a transzormált koordinátarendszerben (i, j, k, l, q =,, 3), c tetszőleges skalár, L, R, T a aanyag anatómiai őirányai: rost, sugár, és érintőirány, LR, LT, RT a aanyag anatómiai ősíkjai: sugár, érintő, bütüsík, I,I az első és a második eszültségi invariáns, δ a Kroneckerdelta, i az i irányhoz tartozó húzószilárdság (i=,, 3 vagy L, R, T), i az i irányhoz tartozó nyomószilárdság (i=,, 3 vagy L, R, T), k 45 húzószilárdság az irányok által képzett sík szögelezőjében (i=,, 3 vagy L, R, T), k 45 nyomószilárdság az irányok által képzett sík szögelezőjében (i=,, 3 vagy L, R, T), k az i, j síkban lévő, az i tengellyel α szöget bezáró irányhoz tartozó normálszilárdság (i=,, 3 vagy L, R, T), t az i normálisú síkon ható, j tengellyel párhuzamos hatásvonalú nyíróeszültséghez vagy a j normálisú síkon ható, i tengellyel párhuzamos hatásvonalú nyíróeszültséghez tartozó szilárdságok közül a kisebbik. i=,, 3 vagy L, R, T, 8

9 CoV [%] variációs koeiciens százalékos értékben megadva, t k 45 nyírószilárdság, ha a nyírási sík normálisa merőleges a j tengelyre, az i tengellyel 45 os szöget zár be, és a nyíróeszültség hatásvonala párhuzamos a j iránnyal, ρ a aanyag sűrűsége, u a aanyag nedvességtartalma, technikai szilárdság %os nedvességtartalmi értéken, u technikai szilárdság a mért nedvességtartalmi értéken, ρ technikai szilárdság ρ=0,46 g/cm 3 sűrűségtartalmi értéken, ρ technikai szilárdság a mért sűrűségtartalmi értéken, ~ U kiegészítő rugalmas potenciál, φ koordinátatranszormációs szög, ami a aanyag rostirányával megegyezik, ϑ koordinátatranszormációs szög, ψ koordinátatranszormációs szög, ami a aanyag évgyűrűállásával megegyezik, x i a próbatest éleivel párhuzamos koordinátarendszer őtengelyei (i=,, 3), P a triaxiális nyomóvizsgálatok során ható oldalnyomás, i i', i' i transzormációs mátrixok, n tönkremeneteli viszonyszám, Σ Biax az összes biaxiális eszültségi állapot, Σ Triax az összes triaxiális eszültségi állapot. 9

10 . Bevezetés Egy szerkezet teherbírása alatt azt értjük, hogy a szerkezet az őt érő környezeti hatásoknak (terhelésnek, hőmérsékletnek stb.) ellenáll és eredeti unkcióját maradéktalanul betölti. A teherbírás megszűnését tönkremenetelnek nevezzük. Egy szerkezet tönkremenetele az őt ért hatásoknak megelelően végtelen sokéleképpen mehet végbe. Ez a tény nagyon megnehezíti a teherviselő szerkezet teherbírásának előrejelzését. A tudomány ezért azt a megoldást választja, hogy először meghatározza a szerkezetet alkotó anyag teherbírását. Az anyag teherbírását szilárdságnak nevezzük. Egy anyag esetében az igénybevétel ajtájától üggően ez is sokéle lehet (pl.: húzó, nyomó, nyírószilárdság). A szerkezetet alkotó anyag(ok) szilárdságának és a szerkezet geometriai tulajdonságainak, ill. statikai erőjátékának ismeretében már következtethetünk az egész szerkezet teherbírására. Az anyagok tönkremenetelének jellege alapvetően két csoportra osztható. Szívós anyagoknál, mint pl. az acél, a olyáshatár elérésével, az alakváltozás olyan nagymértékű lesz, hogy a szerkezet már nem képes ellátni a eladatát, tehát tönkrementnek tekinthető. Rideg anyagoknál ilyen tulajdonságú a aanyag is a tönkremenetel repedések, törés ormájában jelentkezik, melyet nem előz meg jelentős alakváltozás. E két tönkremeneteli orma között azonban igen széles az átmenet, sőt egy anyag tönkremenetelének jellege a külső körülményektől üggően jelentősen változhat. A szerkezetekben a külső terhelés hatására az igénybevételek általában olyan jellegűek, hogy hatásukra a testben összetett eszültségi állapot ébred. Ilyen eszültségi állapotban az anyag már akkor is tönkre mehet, ha egyetlen eszültségkomponense sem éri el az egyszerű eszültségi állapotnak megelelő szilárdságot. Azt a eszültségi állapotot, melynél az 0

11 anyag tönkremegy, tönkremeneteli határállapotnak nevezzük. Könnyen elképzelhető, hogy végtelen sok eszültségi állapot létezik, melynél az anizotrop anyag a tönkremenetel határállapotába kerülhet. A műszaki gyakorlat számára rendkívül ontos ezeknek a tönkremeneteli határállapotoknak az ismerete, azonban lehetetlen minden anyagra a végtelen sok határállapotnak a kísérleti meghatározása. Arra van szükségünk, hogy egy adott eszültségi állapot esetén el tudjuk dönteni, tönkre megye a vizsgált anyagunk vagy sem. Ezért a kutatók kísérleti eredmények és elméleti megontolások alapján olyan módszereket dolgoztak ki, melyekkel választ kapunk a kérdésre. Ezeket az elméleteket tönkremeneteli elméleteknek nevezzük. A izikában a jó elmélet két eltételnek tesz eleget. Viszonylag kevés önkényes elemet tartalmazó modell alapján pontosan leírja a megigyelések jelentős csoportját, de határozott előrejelzésekkel is szolgál jövőbeni megigyelések eredményeiről. Így például Arisztotelész elmélete, mely szerint minden anyag négy elemből áll öld, levegő, tűz, víz kellőképpen egyszerű ugyan, de nem tesz semmiéle előrejelzést. Newton gravitációs elmélete még egyszerűbb modellen alapul: azon, hogy a testek vonzzák egymást, s a vonzóerő arányos a tömegükkel és ordítottan arányos a távolságuk négyzetével. S mégis ez az egyszerű elmélet nagy pontossággal megjósolja a Nap, a Hold és az összes égitest mozgását (Hawking 998). Karl Popper tudományilozóus külön kiemelte: a jó elméletet éppen az jellemzi, hogy számos olyan előrejelzést tartalmaz, melyeket a megigyelések csak később igazolnak. Az elmélet mindaddig érvényben marad, belévetett bizalmunk mindaddig nő, amíg az új kísérletek eredményei megelelnek az előrejelzéseknek. A valóságban egy új elmélet gyakran nem más, mint a régi elmélet kiterjesztése. A aanyagokra alkalmazott tönkremeneteli elméletek általában azt a módszert alkalmazzák, hogy a eszültségi állapotok összehasonlításához,

12 egy tipikus, kísérlettel viszonylag egyszerűen meghatározható eszültségi állapotot választanak alapul, és valamilyen elogadott kritériumot elhasználva, a tényleges eszültségi állapotot ehhez hasonlítják. Az egyes tönkremeneteli elméletek alapjaiban abban különböznek egymástól, hogy hogyan ogalmazzák meg az egyenértékű eszültségi állapot kritériumát. Egyenértékűek azok a eszültségi állapotok, melyeknél a tönkremenetel azonos valószínűségű. Összehasonlító eszültségi állapotként az egytengelyű húzásnak megelelő eszültségi állapotot választják, mivel az viszonylag egyszerűen előállítható, és a tönkremeneteli határállapot eszültségi állapota egy adattal, az + húzószilárdsággal jellemezhető. Az összetett eszültségi állapotok alapján egy egyenértékű eszültséget számítanak. Ez egy iktív lineáris eszültségi állapot, és egyetlen nem nulla normáleszültségkomponensét, egyenértékű eszültségnek nevezzük. Lineáris eszültségi állapotban az anyag akkor megy tönkre, ha a húzóeszültség eléri az + húzószilárdságot, így a tényleges eszültségi állapot akkor nem okoz tönkremenetelt, ha az egyenértékű eszültség kisebb, mint a húzószilárdság, ill. határesetben egyenlő vele. Nincsen tönkremenetel, ha egy.. A σ egy = σ egy (σ ) egyenértékű eszültség konkrét üggvényalakját az alkalmazott tönkremeneteli elmélet szabja meg. A műszaki mechanika ejlődése során többéle tönkremeneteli elméletet dolgoztak ki a tudósok. Izotrop anyagokra kidolgozott tönkremeneteli elméletek pl. a Coulomb, a Tresca, Mohr és a belső alaktorzulási energia elméletek. Kutatásunk az anizotrop anyagok tönkremenetelének vizsgálatára irányul, amely során összehasonlítjuk gyakorlati alkalmazhatóság szerint a három leggyakrabban használt tönkremeneteli elméletet: a von Mises, a TsaiWu és az Ashkenazi elméletet.

13 . Az anizotrop tönkremeneteli elméletek bemutatása.. Anizotrop anyagok tönkremenetele Anizotrop anyagok tönkremenetelénél nemcsak a eszültségi állapot komponenseinek nagysága beolyásol, hanem az is, hogy a eszültségi őtengelyek milyen helyzetben vannak az anyag szerkezeti szimmetriatengelyeihez képest. Erre kiváló példa a természetes aanyag húzóvizsgálatánál tapasztalható eredmények. Faanyag esetén, rostokkal párhuzamos irányban ható, a húzószilárdságnál kisebb normáleszültség még éppen nem okoz tönkremenetelt, azonban rostra merőleges irányban az anyag már biztosan elszakad (pl. Kollmann 95, Molnár 004). A szilárdsági jellemzőket célszerű természetes aanyag esetén az anatómiai őirányok rendszerében megadni, és a eszültségi állapotot is erre a rendszerre érdemes átszámolni. A aanyag összetett szerkezete miatt a aanyag szilárdságának megbecsülése viszonylag bonyolult eladat. Faszerkezetek kritikus pontjaiban összetett eszültségi állapot is uralkodhat. Mivel a aanyag anizotrop, ezért anizotrop tönkremeneteli elméletek alkalmazása szükséges... Anizotrop szilárdsági kritériumok A tudomány jelenlegi álláspontja szerint leghasználhatóbb szilárdsági kritériumok kivétel nélkül az alábbi általános alakú polinomba oglalhatók össze: 3

14 a a klmnop a kl kl a klmn kl mn op *... c, kl mn. ahol, σ a ható eszültségi állapot tenzora, ill. annak komponensei, a, a kl, a klmnop, a szilárdságra jellemző, 4, 6, 8, dimenziós tenzorok, c tetszőleges skalármennyiség. Ha a test vizsgált pontjában a ténylegesen ható eszültségi állapot öszszetevői.t kielégítik, a pont éppen a tönkremeneteli határállapotban van. Geometriai szempontból a szilárdsági határállapotot a eszültségek 9, ill. a dualitás tétel értelmében, 6dimenziós térben deiniált hiperelület adja meg. A c skalár értéke a elület jellegét nem, csak annak nagyságát beolyásolja, ezért célszerű egységnyire választani.. szerint az anyag valamely pontjában a szilárdságot annyi különböző dimenziójú tenzor jellemzi, ahány tagot veszünk el, ill. hagyunk meg benne. Ez azonban matematikai és izikai szempontból egyaránt kényelmetlen. A modern szilárdsági kritériumok éppen abban különböznek egymástól, hogy. bal oldalán hány és milyen típusú tagot tartanak meg, ill. hogyan deiniálják a tenzorkomponensek izikai értelmét. A. ből levezetett elméleteknél, egyenlőség ennállása esetén a vizsgált pont éppen a tönkremenetel határállapotában van. Ha a baloldal kisebb, mint a jobb, az anyag épen marad, ugyanakkor a reláció megordulása tönkremenetelt jelent. * Itt és a továbbiakban a szorzatként egymás mellett álló, alsó és elsőindexes mennyiségeket a utó indexek lehetséges indexeire összegezni kell (Einstein éle jelöléskonvenció). Pl.: a i x i = a x + a x + a 3 x 3. 4

15 A következőkben röviden bemutatjuk az anizotrop anyagokra, így a természetes aanyagra is legelterjedtebben alkalmazott szilárdsági kritériumokat.... A lineáris szilárdsági kritérium Lineáris közelítésnél a eszültségkomponenseknek csupán az első okú hatványait engedjük meg, ezért.ből csupán az első tagot hagyjuk meg: a i, j= L, R, T. ahol, L a a rostiránya (a törzs hossztengelye, longitudinális irány), R a a sugáriránya (az évgyűrűk sugáriránya), T a a húriránya (az évgyűrűk érintőjének az iránya). A kiejtett alak sem túl bonyolult, hiszen ortotrop anyagnál az anatómiai őirányok rendszerében csak az azonos indexű tagok különböznek nullától: a LL LL RR TT a a. RR TT.3 Mivel a szilárdság egyetlen kétdimenziós tenzorral nem jellemezhető (Szalai 994), ez a tönkremeneteli elmélet a gyakorlatban nem alkalmazható aanyagra, ezért a kezdeti polinomunkból több tagot vagyunk kénytelenek megtartani, így eljutunk a gyakorlatban alkalmazható szilárdsági kritériumokhoz.... A von Mises szilárdsági kritérium Olyan plasztikus anyagokra, melyeknél a húzó és nyomószilárdság megegyezik, szilárdsági kritériumként von Mises (98) egy másodokú polinomot javasolt, melyet plasztikus potenciálnak nevezett: 5

16 a kl kl. i, j, k, l = L, R, T.4 Természetes aanyagra a von Mises szilárdsági kritérium a következő alakot ölti: a ( a ( a ( a ( a ( a LLLL RRTT RTRT LTLT LRLR LLRR LL a a a a a LL TTRR RTTR LTTL LRRL a ) RRLL RR ) a a a RRRR LL TRRT TLLT RLLR TT RR ( a RR a a a RR TRTR TLTL RLRL a LLTT ) ) ) a RT LT TTTT RL TTLL RT LT RL TT ) TT LL. TT.5 A enti összeüggésben a zárójelben lévő összetevők izikai szempontból egy értéket jelentenek. Mivel a aanyag ortotrop, ezért a üggetlen jellemzők száma 9. A konkrét izikai jelentésüket ismét egyszerű igénybevételek alkalmazásával határozhatjuk meg...3. A TsaiWu szilárdsági kritérium Tsai és Wu (97) az általános szilárdsági kritérium (.) első két tagját tartotta meg. Ezt a szilárdsági kritériumot tetszőleges anizotrop anyagra alkalmazhatónak, és érvényesnek tekintette, még akkor is, ha a tönkremenetel nem plasztikus. kl a a, i, j, k, l = L, R, T.6 kl 6

17 Természetes aanyagra a TsaiWu kritérium a következő alakot ölti: a LL a ( a ( a ( a ( a ( a RRTT RTRT LTLT LRLR LL RRRR LLRR a RR a a a a a RR TTRR RTTR LTTL LRRL RR ) RRLL RR a ) a a a a RR TTTT LL TRRT TLLT RLLR TT TT ( a RR a a TT a TT TRTR TLTL RLRL a TT LLTT ) ) ) LLLL a RT LT RL TTLL RT LT LL RL ) LL LL. TT.7 Ortotrop anyagoknál, a zárójelben lévő tagok izikai értelemben egyetlen mennyiséget jelentenek, tehát a kritérium kétdimenziós tenzorának 3, a négydimenziós tenzorának 9 üggetlen komponense van a őirányok rendszerében...4. Az Ashkenazi szilárdsági kritérium Ashkenazi (966, 967, 976), valamint Ashkenazi és Ganov (97) a szilárdság jellemzésére az általános szilárdsági kritérium második és negyedik tagját tartotta meg annyi változtatással, hogy a jobb oldalon az egység helyett egy tetszőleges állandót választott. a kl kl a klmnop kl mn op c i,j,k,l,m,n,o,p= L,R,T.8 a kl négydimenziós tenzor, a klmnop nyolcdimenziós tenzor, c tetszőleges skalár. Ez a szilárdsági kritérium a eszültségek negyedik hatványát tartalmazza, a polinom tehát negyedokú, az eddigi másodokú közelítésekkel 7

18 szemben. Joggal várhatjuk el tehát, hogy az Ashkenazi szilárdsági kritérium a valóságnak jobban megelelve tudja leírni az anizotrop anyagok tényleges szilárdsági viselkedését. Azonban a négydimenziós tenzor 3 4 = 8 és a nyolcdimenziós tenzor 3 8 = 656 komponensét még nem ismerjük. Az eddig alkalmazott eljárás, hogy egyszerű terheléseknek megelelő eszültségi állapotok eszültségi komponenseit helyettesítjük a szilárdsági kritériumba és onnan ejezzük ki a keresett szilárdsági tenzorkomponenseket itt nem alkalmazható a komponensek roppant nagy száma miatt. Ashkenazinak azonban sikerült a.8 kiejezést oly módon átalakítania (Ashkenazi 966), hogy benne a szilárdsági tenzor komponensei a aanyag ún. technikai szilárdságaival ejezhetők ki. A.8al egyenértékű kiejezés a következő alakot ölti: a kl I I kl. i, j, k, l = L, R, T.9 Egyszerű átalakítás után (Szalai 994) a következő kiejezés keletkezik: a kl I I kl, i, j, k, l = L, R, T.0 ahol, I, I az első és második eszültségi invariáns, a kl az Ashkenaziéle szilárdsági tenzor, δ a Kroneckerdelta. 8

19 Természetes aanyagra az Ashkenazi szilárdsági kritérium a következő alakot ölti: a ( a ( a ( a ( a ( a LLLL RRTT LLRR RTRT LTLT LRLR LL RR RT LL a a a a a TTRR RRLL RTTR LTTL LRRL LL TT LL RT a ) ) RRRR RR LL a a a RR LL TLLT LT TRRT RLLR TT RR RR TT LT RR a a a RR ( a TRTR TLTL RLRL LLTT TT LL LR a ) ) ) TT LT RR RT RL LR TTTT a TTLL RT LT RL TT ) TT LL TT. Meg kell azonban jegyezni, hogy célszerűbb a eszültségi invariánsokat tartalmazó képlet alkalmazása, mivel így nem kell elhasználnunk a Kroneckerdeltát, ezáltal egyszerűsödnek a matematikai számítások..3. A szilárdsági kritériumok tenzorkomponenseinek meghatározása Az egyes tönkremeneteli elméleteknek megelelő tenzorok eltérő rendűek és szerkezetűek. A tenzorkomponensek meghatározási szabályai az egyes tönkremeneteli elméletek és a ható eszültségállapotok üggvényei. A tenzorkomponensek meghatározásához mindhárom tönkremenetel esetében szükséges az adott aaj technikai szilárdságainak ismerete. Technikai szilárdságnak nevezzük az egytengelyű húzó, nyomó, valamint nyíróigénybevétel alkalmazása során meghatározott szilárdsági értékeket. Tiszta nyíróigénybevétel előállítása nehéz ezért a nyírószilárdságot közvetett módon is meg lehet határozni (Szalai 99). A Nyugat magyaror 9

20 szági Egyetem Faipari Mérnöki Karának Műszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézetében több hazai lombos, valamint enyő aaj technikai szilárdságát határozták meg kísérleti mérések során (Szalai 996, 997, 998, 999, 005; Garab és Karácsonyi 00). A tönkremeneteli elméletek alkalmazásához a következő technikai szilárdságokra van szükség, melyek kísérleti adatokból származnak. Az anatómiai őirányokba eső húzó és nyomószilárdságok: L, L, R, R, T, T, a ősíkok diagonális irányaiba eső húzó és nyomószilárdságok: L, L, R, R, T, T, valamint a őirányokra merőleges síkokon ható nyíróeszültségekhez szükséges nyírószilárdságok: t, t, t. LR LT RT A tönkremeneteli elméletek alkalmazhatóságának kísérleti vizsgálatához lucenyő (Picea abies) aanyagot használtunk, az ellenőrzéshez szükségünk lesz a lucenyő technikai szilárdságaira, melynek rendszerét Szalai (00) vizsgálatai alapján vettük el:.. táblázat: Lucenyő húzószilárdságai (Szalai 00). L T (45) LR R R(45) LT T L(45) RT Elemszám [db] Átlag 63,5 9,5 5,9 6,06 3,47 4,0 CoV [%] 3,6 8,59 8,8,86 30, 0,6 0

21 .. táblázat: Lucenyő nyomószilárdságai (Szalai 00). L T (45) LR R R(45) LT T L(45) RT Elemszám [db] Átlag 49,4 9,08 3,49, 7,05 3,67 CoV [%] 7,8 5,4,7 6,5 0,7 0,5.3. táblázat: Lucenyő nyírószilárdságai (Szalai 00) *. t LR t LT RT Átlag 8,93 8,3,0 CoV [%] 0,00 0,00 0,00 * A nyírószilárdságokat közvetett módszerrel határozták meg t A következőkben bemutatjuk a kutatásunk során alkalmazott szilárdsági tenzorkomponensek meghatározási módjait az egyes tönkremeneteli elméleteknek megelelően..3.. A lineáris kritérium tenzorkomponenseinek meghatározása Lineáris közelítésnél a eszültségkomponenseknek csupán első okú hatványait engedjük meg, így.ből csak az első tagot tartjuk meg. Kiejtve.et, a tönkremenetel határállapotában a következő reláció érvényesül: a LL LL RR TT a a. RR TT i, j= L, R, T. A három tenzorkomponens izikai értelmét a következő gondolatmenettel kapjuk meg. Alkalmazzunk húzó vagy nyomóigénybevételt, melynek hatására valamelyik anatómiai őtengellyel pl. a rostiránnyal (L) párhuzamosan lineáris eszültségi állapot ébred. A eszültségi állapot σ RR és σ TT komponense ilyenkor nulla. A külső terhelést olyamatosan növel

22 ve elérünk a test tönkremeneteléhez. A tönkremenetel pillanatában jelöljük a σ LL normáleszültség értékét L el. Ennek az L jelű, rostirányú normálszilárdságnak ki kell elégítenie.t. innen: a, LL L a LL. L Tehát az a LL szilárdsági tenzorkomponens az anyag rostirányú normálszilárdságának a reciproka, dimenziója ennek megelelően a eszültségdimenzió reciproka. Teljesen analóg módon értelmezhetjük a másik két tenzorkomponenst. A lineáris kritérium tenzorkomponensei természetes aanyag esetén a következőképpen oglalhatók össze: a ii vagy =, i i i=l, R, T.3 ahol: i és i a technikai szilárdságok a aanyag anatómiai őirányokban. A pozitív első index a húzó, a negatív első index a nyomószilárdságot jelenti.

23 A lineáris szilárdsági kritérium a entiek szerint 3 anyagjellemzőt tartalmaz. Az i és az i jellemzők közül úgy kell kiválasztani a szükséges hármat, hogy azok első indexe megegyezzen a tényleges eszültségi állapot normáleszültségkomponenseinek előjelével. Azaz, ha pl. σ LL és σ TT nyomó, σ RR húzóeszültség, akkor alkalmazni. L, T és R jellemzőket kell.3.. A von Mises szilárdsági kritérium tenzorkomponenseinek meghatározása A von Mises szilárdsági tenzor komponenseit az előző ejezetben alkalmazott eljáráshoz hasonlóan határozhatjuk meg (Szalai 994). Végeredményül a következőket kapjuk: a iiii i vagy a, iiii i i= L,R, T.4 ahol, i, ahol, i húzó és nyomószilárdságok a aanyag őirányaiban. a a ji a ji a ji, t i, j = L, R, és L, T, és R, T.5 t a aanyag nyírószilárdságai az anatómiai ősíkokban. Az egyéb, nullával nem egyenlő tenzorkomponensek az ún. interaktív tenzorkomponensek. Meghatározásuk különböző módszerek segítségével történhet (Szalai 994). Kutatásunkban a következőket alkalmaztuk: 3

24 4 aij a jjii k 45 t 4 aij a jjii k 45 t a ij a ( ) ( ) ( t a a ij ahol, jjii jjii i ( 45 k45 ) i k,, t k ( j j ) i i ( t j j k (45) ) ) k (45), i,j= L,R és L,T és R,T.6 45 k45 húzó, nyomó, és nyírószilárdságok, t az anatómiai ősíkok szögelezőjében. t k 45 és k 45 t értékét Szalai (994)ből használtuk el A TsaiWu szilárdsági kritérium tenzorkomponenseinek meghatározása A TsaiWu tenzorok másod és negyedrendűek. Szalai (994) alapján a tenzorkomponensek kapcsolata a technikai szilárdságokkal: a ii, i = L, R, T.7 i i a iiii, i = L, R, T.8 i i a t t 0, i,j = L,R és L,T és R, T.9 4

25 5 ji ji ji t t a a a a. i,j = L,R és L,T és R,T..0 Az interaktív tenzorkomponenseket a következőképpen határozzuk meg: j j i i k j j i i k k jjii ij j j i i k j j i i k k jjii ij t t a a t t a a 4 4 és,

26 6 j j i i k j j i i k k jjii ij j j i i k j j i i k k jjii ij t t t a a t t t a a ) ( ) ( ) ( és, ) ( ) ( ) ( (45) (45) (45) (45) (45) (45) Az Ashkenazi szilárdsági kritérium tenzorkomponenseinek meghatározása Az Ashkenazi tenzor komponenseinek a meghatározása Szalai (994) alapján a következők szerint történik: i iiii a vagy i, i = L, R, T.3, ji ji ji t a a a a i, j = L,R és L,T és R,T.4

27 4 aij a jjii k 45 vagy, t 4 a a, ij jjii k 45 i i j j t i, j = L,R és L,T és R,T.5 valamint, a a ij ij a a jjii jjii i i j j t t k (45) k (45),. i, j = L,R és L,T és R,T A sűrűség és a nedvességtartalom hatásának igyelembe vétele a tenzorkomponensek számításánál Az egyes szilárdsági tenzorok komponenseit lucenyő aanyag technikai szilárdságaiból (Szalai 00) számoltuk. Ezek a technikai szilárdságok %os nedvességtartalomra és 0,46 g/cm 3 sűrűségre érvényesek. Eberhardsteiner (00) a méréseiben zömében 0,440,48 g/cm 3 sűrűségű lucenyő aanyagot vizsgált %os aanyagnedvességtartalmi körülményekkel, ezért a Szalai (00) által meghatározott technikai szilárdságok alkalmazása a tenzorkomponensek számítása során elogadható. Az általunk végzett triaxiális nyomóvizsgálatok során összetört próbatestek sűrűségi, valamint a nedvességtartalmi értékeinek az átlaga a következők: ρ=0,39 g/cm 3 és u=3,9%. A mért értékek jelentősen eltértek Szalai (00) által mért értékeitől ezért a technikai szilárdságokat módosítani kellett a tenzorkomponensek meghatározásához. 7

28 A nyomószilárdság változása a nedvességtartalom üggvényében lineáris kapcsolatot mutat, valamint a húzószilárdság változása 4% nedvességtartalom között szintén lineárisnak kapcsolatnak tekinthető (Kollmann 95). A nyírószilárdság és a nedvességtartalom közötti kapcsolatra kevés az irodalmi adat. A %os nedvességtartalmi értékhez tartozó technikai szilárdságok különböző ajtáit a mért nedvességtartalomhoz tartozó technikai szilárdságra Kollmann szerint a következőképpen határozzuk meg: u 3 u,.7 0 ahol, technikai szilárdság %os nedvességtartalmi értéken, u technikai szilárdság a mért nedvességtartalmi értéken. Azonos aajú, de különböző sűrűségű aanyagok technikai szilárdságai is eltérnek egymástól. Mivel a aanyag sűrűsége és a szilárdsági jellemzők között a kapcsolat szintén lineáris (Kollmann 95, Molnár 004), ezért a következő egyszerű összeüggést alkalmaztuk, hogy átszámítsuk a technikai szilárdságokat a sűrűség üggvényében: ' ',.8 ahol, ρ technikai szilárdság a Szalai (00) által meghatározott sűrűségtartalmi értéken (ρ=0,46 g/cm 3 ), ρ technikai szilárdság a mért sűrűségtartalmi értéken..4. A tönkremeneteli elméletek graikus ábrázolása A tönkremeneteli elméleteket nemcsak matematikailag lehet leírni, hanem bizonyos eltételek mellett geometriai eszközökkel is tudjuk 8

29 modellezni. A különböző szilárdsági kritériumok polinomjai a eszültségek hat dimenziós terében egy hiperelületet, egy ún. szilárdsági elületet képeznek. A szilárdsági elület mindazon pontok halmaza a térben, amelyeknek megelelő eszültségi állapot komponensei kielégítik a szilárdsági kritérium egyenletét, azaz a szilárdsági elületnek megelelő eszültségállapotok éppen tönkremeneteli határállapotot okoznak. A legnagyobb gondot az okozza, hogy a szilárdsági elület hat dimenziós ábrázolására sajnos nincsen mód. Azonban, ha a ható eszültségi állapot síkbeli, akkor képesek vagyunk megszerkeszteni a szilárdsági elületet. Esetünkben azonban a síkbeli eszültségi állapot ogalmát kicsit szűkítenünk kell. Mivel anizotrop anyagnál minden eszültségi állapotot a szimmetriatengelyek rendszerére kell transzormálnunk, a szilárdság szempontjából csak azok a eszültségi állapotok tekinthetők síkbelinek, amelyek síkja az anyag valamelyik szimmetriasíkjába esik. Általánosan anizotrop anyag esetén: ii jj ji,,. i, j =, és,3 és,3.9 Természetes aanyag esetén a utóindexek megegyeznek az anatómiai őirányokkal, azaz i, j = L,R és L,T és R,T. A szilárdsági elület könnyebb ábrázolása szempontjából célszerű a tönkremeneteli elméletnek megelelő szilárdsági kritériumból (.,.4,.6,.8) a nyíróeszültség komponens kiejezése. Ez esetben egy ii jj,, a, a ) alakú üggvényt kapunk, amelyben üggetlen ( kl változóként a két normáleszültség szerepel. Miután rendelkezésünkre áll a üggvény, lehetőségünk nyílik a szilárdsági elület ábrázolására. A továbbiakban bemutatjuk az anizotrop tönkremeneteli elméleteknek megelelő szilárdsági elületeket, kiemelve jellegzetes tulajdonságaikat, előnyeiket valamint hátrányaikat. 9

30 .4.. A lineáris szilárdsági kritérium graikus ábrázolása Lineáris közelítésnél a eszültségkomponenseknek csupán az első okú hatványait engedjük meg, így a elületet síklapok képezik (.. ábra). Már korábban beláttuk, hogy a lineáris kritérium nem tükrözi hűen a aanyag tönkremenetelét, ezért nem is alkalmazzák. A kritérium bemutatása azonban az egymásra épülő elméletek miatt célszerű... ábra: Lineáris kritérium szilárdsági elülete..4.. A von Mises szilárdsági kritérium graikus ábrázolása Von Mises (98) a kiinduló szilárdsági kritérium második tagját tartotta meg (.4). Mivel a szilárdsági tenzor komponensei a második hatványon vannak ezért a szilárdsági elület egy másodrendű elület, egy ellipszoid (.. ábra). Feltehető, hogy egy másodrendű elület jobban tükrözi a tönkremenetel pillanatában ható eszültségi állapotot, mint egy síklapokkal határolt elület. 30

31 Kiejezve.4ből a nyíróeszültség komponenst megkapjuk: ii a iiii ii ii a a jjjj a ji jj jj a ( a ji ij a a ji jjii ii ) jj. i, j = L,R és L,T és R,T.30 Ábrázolva a aanyag tönkremenetelét von Mises szerint a szilárdsági elület a.. ábra szerint alakul... ábra: Lucenyő szilárdsági elülete az LR síkban a von Mises szerint A TsaiWu szilárdsági kritérium graikus ábrázolása Tsai és Wu (97) a szilárdsági kritérium első két tagját tartotta meg (.6). A szilárdsági tenzor komponensei az első valamint a második hatványon szerepelnek, ezért a szilárdsági elület szintén egy ellipszoid. Azonban az ellipszoid helyzete változott a von Miseséle elülethez képest. 3

32 A TsaiWu tönkremeneteli elület (.3. ábra) egy olyan ellipszoid, amelynek helyzete elorgatott a szimmetriatengelyekhez képest, ráadásul a szilárdsági elület eltolt az origóhoz viszonyítva, azaz a középpontja nem egyezik meg a szimmetriatengelyek metszéspontjával. Kiejezve.6ból a nyíróeszültség komponenst megkapjuk: ii ii a ii a jj jj a a iiii ii ii a ji a a jjjj ji jj a jj ji ( a ij a jjii ii ) jj i, j = L,R vagy L,T vagy R,T.3 A TsaiWu tönkremeneteli elmélettel illesztett elület az.3. ábrának megelelő alakot veszi el..3. ábra: Lucenyő szilárdsági elülete az LR síkban a TsaiWu elmélet szerint. 3

33 .4.4. Az Ashkenazi szilárdsági kritérium graikus ábrázolása Ashkenazi (966) a kezdeti polinom második és negyedik tagját tartotta meg (.8). A szilárdsági elület egy negyedrendű elület lesz. Ez azért ontos, mert a elület nemcsak domború, hanem homorú részeket is tartalmazhat (.4. ábra), ezáltal kedvezőbben írja le a aanyag tönkremenetelét a többi elmélethez képest. Ashkenazi elmélete tehát lényegesen változatosabb elületalakot eredményez, ugyanakkor ugyanazt a kilenc technikai szilárdságot használja el, mint a többi elmélet. Síkbeli eszültségi állapot esetén.8 egyszerűsödik: a iiii ii ( ) ii ( ) a ( jj jjjj ) ( jj ) ii ( a jj iiii a ( ) jjii ii ) 0 jj ( ai j a ji a ji a ji )( ).3 Hosszas átalakítás, valamint elemi matematikai műveletek sorozata után megkapjuk.8.ból a nyíróeszültség komponenst (Szalai 994): q q a 4q iiii ii ( ) a q iiii a jjjj ii ( ) jj ( ) ( a a q jjjj jj ij a jjii jj ( ) ii ) jj a ij a q jjii ii jj,.33 ahol, q a a a a. i, j = L,R és L,T és R,T ji ji ji Ezután ábrázolhatjuk a tönkremeneteli elületet. Az.4. ábrán egyértelműen kirajzolódik, hogy a tönkremenetel pillanatában milyen eszültségi állapot uralkodik a aanyagban. 33

34 .4. ábra: Lucenyő szilárdsági elülete az LR síkban az Ashkenazi elmélet szerint. Mivel síkbeli eszültségállapot esetén a tönkremenetelt graikusan is tudjuk ábrázolni, ezért az ábráról eldönthető, hogy a modellezett tönkremenetelhez képest a kísérleti tönkremeneteli eszültségi állapotunk hogyan viszonyul. Ha a vizsgált eszültségi képpontunk a szilárdsági elület elett helyezkedik el, akkor a aanyag valódi törése a tönkremeneteli elmélettel meghatározottnál nagyobb eszültségeken történik. Abban az esetben, ha a képpont a szilárdsági elület alá esik, akkor elméletileg még nincs tönkremenetel, jóllehet a kísérleti eredménye törést eredményez. Ha az a határeset következik be, hogy a vizsgált képpontunk rajta van a szilárdsági elületen akkor a gyakorlati érték tökéletesen alátámasztja a tönkremeneteli elméletben meghatározottakat. Természetesen ez a aanyag tulajdonságaiból akadóan nem teljesülhet mindig. A aanyag mindig rendelkezik természetes változékonysággal, így a statisztikai kiértékelésnél ezt igyelembe kell venni. 34

35 3. Anizotrop tönkremeneteli elméletek alkalmazhatóságának vizsgálata A aanyag és aalapú anyagok izikaimechanikai tulajdonságai a makroszkopikus szinten ortogonálisan anizotrop. A szilárdsági méretezéseket csak megelelő tönkremeneteli elmélet alkalmazása mellett lehet elvégezni. A tönkremeneteli elméletek alkalmazhatóságát azonban alá kell támasztani, mind elméleti megontolások segítségével, mind gyakorlati vizsgálatokkal. Az elméleti megközelítéseket Szalai (994, 008) alapján mutatjuk be. Meg kell jegyezni, hogy ontos áttekintő munkát végzett a témakörben Kasal és Leichti (005). Az eltérő tönkremeneteli elméleteknek megelelő szilárdsági kritériumok valamelyik anyagra való alkalmazhatóságát az alapján kell eldöntenünk, hogy az elmélet előrejelzései mennyire vannak összhangban az adott anyagajtán végzett kísérletek eredményeivel. Elméleti megontolások alapján azonban lehetséges, hogy előre kiválasszuk a sokéle szilárdsági kritérium közül azt, amelyik egy anyagajta tönkremenetelét a legjobban leírja. Az ilyen előzetes elméleti vagy gyakorlati tapasztalatokon nyugvó kiválasztás sokszor lényegesen csökkentheti a költséges és olykor igen bonyolult kísérleti vizsgálatok nagy számát. A következőkben több elméleti szempont alapján elemezzük a tönkremeneteli elméleteket igyelembe véve, hogy mennyire tükrözik hűen a természetes aanyag viselkedését. Az elméleti szempontok bemutatása után a kísérletek elvégzését indokoljuk. 3.. A tönkremeneteli elméletek összehasonlítása a normálszilárdságok iránytól való üggése alapján A normálszilárdság iránytól üggő változását megadó üggvények jellegzetességei alapján megszabhatunk olyan eltételeket bizonyos technikai 35

36 szilárdságok között, melyek lehetővé teszik annak eldöntését, hogy melyik töréselmélet a legalkalmasabb az adott anyagajta szilárdsági viselkedésének leírására. Faanyagnál és sok mesterségesen kialakított ortotrop anyagnál (pl. kompozitok) többnyire létezik egy olyan őirány, melynek normálszilárdsága lényegesen nagyobb, mint a másik két őirányhoz tartozó. Természetes aanyagon végzett kísérletek azt mutatják, hogy i k( ) j i, j =L,R, vagy L,T 3. Ebből az következik, hogy a normáleszültségek szélsőértékei az anatómiai őirányokba esnek. A két kisebb szilárdságnak megelelő irányok síkjában aanyagnál RT síkban a enti relációnak nem eltétlenül kell teljesülnie. Függvényvizsgálatok sora után arra a következtetésre juthatunk, hogy a három szilárdsági kritériumból kiszámított i, j irányok közti erde síkokon ébredő normálszilárdságok értékei, és a mért szilárdsági értékek egy szögtartományon belül jelentős eltérést mutathatnak. A üggvényvizsgálatok arra vezettek, hogy az eltérés oka az k (45) technikai szilárdság értékében rejlik. Kimutatható, hogy ha k (45) értéke egy bizonyos tartományon kívülre esik, akkor az elmélet nem írja le helyesen a normálszilárdság orientációs változását. Ha a tényleges technikai szilárdság a kelölt határok közé esik, a normálszilárdság üggvényének a 0 <α<90 szögtartományon nem lesz szélső értéke. Ha k (45) kisebb, mint az alsó határérték, a üggvénygörbének 45 és 90 között minimuma van (3.. ábra 4es és 5ös görbéje), ha nagyobb, mint a első határértéke, 0 és 45 között maximuma, esetleg a végtelenbe ugró értéke lesz (3.. ábra es és 3as görbéje). 36

37 3.. ábra: Szöget bezáró normálszilárdságok változása (maximum helyek). 3.. ábra: Szöget bezáró normálszilárdságok változása (minimum helyek). Szalai (994) kimutatta, hogy az k (45) megengedhető eltérésének tartománya a három tönkremeneteli elmélet közül az Ashkenaziélében a legnagyobb. Az Ashkenazi elmélet tehát sokkal kevésbé ügg k (45) kísérletben meghatározott értékének esetleges hibájától. 37

38 Összeoglalva elmondható, hogy míg az Ashkenazi elmélet helyességét nem érinti számottevően az k (45) normálszilárdságok változása, addig a von Mises és a TsaiWu elmélet érzékenyen reagál ezeknek az anyagjellemzőknek a tényleges (mért) értékére, ill. hibájára. 3.. A tönkremeneteli elméletek összehasonlítása energetikai alapon Természetes aanyag esetén az alakváltozási jelleggörbe a törés bekövetkezéséig abszolút száraz állapottól a rosttelítettségi nedvességtartalomig gyakorlatilag lineáris (3.3. ábra), vagy egy olyan hatványüggvénnyel közelíthető, amely csak a törési alakváltozás közelében görbül meg kis mértékben. Rideg törés esetén a képlékeny anyagra jellemző nagy alakváltozás nem lép el és az alakváltozási olyamat egészen a tönkremenetelig rugalmasnak tekinthető ábra: Faanyag alakváltozási jelleggörbéje. 38

39 Lineárisan rugalmas anyagnál minden törési eszültségi állapotnak megelelő képpont a 3.vel megadott kiegészítő rugalmas potenciálnak megelelő ellipszoidra esik: ~ U ~ du s kl kl i, j = L,R és L,T és R,T 3. Amíg bekövetkezik a tönkremenetel, addig a rugalmas alakváltozást az Ω kiegészítő rugalmas potenciál határozza meg. Folyamatosan növelve egy adott eszültségi állapot komponenseit a normalitás és a konvexitás törvénye a tönkremenetelig ennáll. Azonban anizotrop anyag esetén a különböző eszültségi állapotokhoz különböző nagyságú Ω=c k (k=, ) elületek tartoznak. Izotrop anyag esetén nincsen iránytól való üggés. Itt a szilárdsági elület egyetlen egy ellipszoid, azaz mindenhol konvex. Anizotrop anyagnál azonban minden orientációhoz különböző kiegészítő potenciál, azaz különböző nagyságú ellipszoid tartozhat. A tönkremenetelhez tartozó eszültségi képpontok összessége alkotja a rideg anyagok szilárdsági elületét, s ez bármilyen alakot elvehet. Ezt mutatja be az 3.4. ábra, ha a eszültségi állapot síkbeli. 39

40 3.4. ábra: A aanyag szilárdsági elülete. Rideg, anizotrop anyagok tönkremeneteli elülete (síkbeli eszültségi állapotot elételezve) domború és homorú részeket is tartalmazhat. Anizotrop anyag esetén így a szilárdsági elület nem eltétlenül konvex. Az 3.4. ábrán látható módon a tönkremeneteli eszültségi képpontok különböző ellipszoidokon ekszenek, de a tönkremenetelhez tartozó képpontok által alkotott elület konvex és konkáv részeket egyaránt tartalmazhat. A tönkremenetel pillanatában a Druckeréle stabilitási eltétel nem érvényes, hiszen megszűnik az anyag olytonossága, és a d d szorzat izikailag értelmét veszti. Ezzel elméletileg is belátható az a kísérleti tapasztalat, hogy aanyag esetén a tönkremeneteli elület egyes részei homorú alakot is elvehet. Korábban bemutattuk, hogy a három szilársági elmélet közül egyedül az Ashkenaziéle képes homorú elületrészekkel rendelkezni (a von Mises és a TsaiWu elmélet mindig ellipszoid, azaz konvex), így a három elmélet közül a aanyag számára gyakorlatilag csak az Ashkenaziéle jöhet szóba. 40

41 A tönkremeneteli elméleteket energetikailag vizsgálva arra a következtetésre jutunk, hogy a von Mises és a TsaiWu elmélet szerint értelmezett kiegészítő potenciál egy állandó érték: L L kl a kl L, 3.3 kl a akl L. 3.4 Ezzel szemben az Ashkenazi szilárdsági kritérium az egyedüli elmélet, amely szerint a kiegészítő potenciális energia nem egy állandó érték, hanem mindig ügg a ható eszültségi állapot orientációjától: kl a kl I I, i, j, j, l= L, R, T 3.5 ahol, I az első eszültségi invariáns, I a második eszültségi invariáns. A kiegészítő potenciál állandósága csak izotrop anyagnál igaz. Anizotrop anyag esetén egyértelmű, hogy a különböző orientációk esetén a törésig elhalmozott kiegészítő potenciális energia más és más. Ez a tény is az Ashkenaziéle tönkremeneteli elmélet helyességét igazolja, sőt azt kell megállapítanunk, hogy a kiegészítő potenciális energia egyenlőségét hirdető másik két elmélet elvileg helytelen A tönkremeneteli elméletek összehasonlítása kísérleti adatok alapján A három szilárdsági kritérium (von Mises, TsaiWu, Ashkenazi) közül az Ashkenazi elmélet látszik megelelőnek az elméleti megontolások után. Azonban egy elmélet akkor jó, ha a gyakorlat igazolja. Ezért kísérletekkel kell alátámasztani az egyes tönkremeneteli elméletek helyességét. Olyan mérésekből származó eszültségértékekre van szükségünk, melyek segít 4

42 ségével a tönkremeneteli elméleteket ellenőrizhetjük alkalmazhatóságuk szempontjából. Feladatunk síkbeli, és térbeli eszültségállapotok létrehozása, majd a keletkezett eszültségértékek segítségével a tönkremeneteli elméletek ellenőrzése. Ellenőrzött összetett eszültségállapotok létrehozása nem könnyű eladat. A kéttengelyű (biaxiális) kísérleteket Eberhardsteiner (00) munkásságából vettük át, így a kísérleteket nem kellett nekünk elvégezni. Eberhardsteiner proesszor a rendelkezésünkre bocsátotta a mérési adatait, így azokat további kutatási célból hasznosítani tudtuk. A triaxiális kísérleteket pedig az Ernst Mach Stipendium keretein belül, a Bécsi Műszaki Egyetem Mechanika Intézetének (TU Vienna, Institute or Mechanics o Materials and Structures, IMWS) laboratóriumában hajtottuk végre, szintén Eberhardsteiner proesszor úr irányítása mellett. 4. A kísérletek bemutatása 4.. A kísérletek célja A kísérletek célja az volt, hogy lucenyő próbatesteken kontrollált, összetett eszültségi állapotokat hozzunk létre, amelyek segítségével a tönkremeneteli elméleteket ellenőrizni tudjuk. A szakirodalom már oglalkozott olyan kísérletekkel, melyek a aanyagot úgy terhelték, hogy azon összetett eszültségi állapot uralkodjon. YamasakiSasaki (003, 004) a rugalmas és a tönkremeneteli tulajdonságokat vizsgálta húzócsavaró, kombinált terhelés esetén. Sasaki és tsai. (00, 004, 005, 007) pedig pulzáló húzócsavaró terhelést is alkalmazott, hogy vizsgálják a aanyag mechanikai viselkedését összetett, dinamikus terhelés alatt. 4

43 Ehlbeck és Hemmer (986) az erdei enyő (Pinus sylvestris), a douglasenyő (Pseudotsuga menziesii), a jegenyeenyő (Abies alba) és a lucenyő szilárdsági viselkedését tanulmányozta összetett eszültségi állapotban. Igen bonyolult eljárással 0 cm átmérőjű mm alvastagságú csöveket készítettek, amelyeket a cső hosszirányában normál és csavaróigénybevételnek, valamint belső nyomásnak tettek ki. Ilyen módon a cső alában bonyolult, összetett eszültségi állapotot tudtak létrehozni. A tönkremenetelig terhelt próbatestek kritikus eszültségállapotát a TsaiWu éle szilárdsági elmélettel ellenőrizték. Vizsgálataik célja azonban nem a szilárdsági elmélet ellenőrzése volt, azt adottnak és helyesnek tételezték el. A TsaiWu elméletet inkább arra használták el, hogy segítségével következtetéseket vonjanak le az általuk vizsgált négy aaj szilárdsági viselkedéséről. Szalai Proesszor Úr doktori védésére (Szalai 000, személyes beszélgetés alapján) elkészítette az Ehlbeck és Hemmer által közzé adott szilárdsági állapotokra a TsaiWu és az Ashkenazi elmélet alkalmazhatósági vizsgálatát. Az összehasonlítás eredménye az lett, hogy a két tönkremeneteli elmélet között nem adódott értékelhető különbség. Ennek oka eltehetőleg az volt, hogy az Ehlbeck és Hemmer által elvégzett kísérletekben nem voltak szélsőséges eszültségállapotok, illetve a elhasznált kísérleti adatok száma alig érte el a él tucatot. Eberhardsteiner (00) biaxiális terheléssorozatot hajtott végre lucenyő aanyagon. A kísérletek során 43 próbatestet törtek össze. Eredményként, a tönkremenetel pillanatában uralkodó összetett eszültségi állapotot határozták meg. Mivel a Nyugatmagyarországi Egyetem Műszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézete valamint a Bécsi Műszaki Egyetem Mechanika Intézete között már több évtizede szakmai kapcsolat van, Eberhardsteiner proesszor úr a rendelkezésünkre bocsátotta a mérési adatait, így mi azokkal tovább tudtunk dolgozni és meg tudtuk vizsgálni 43

44 az anizotrop tönkremeneteli elméletek alkalmazhatóságát biaxiális eszültségállapot esetén. A tönkremeneteli elméleteket azonban térbeli eszültségállapot esetén is le akartuk ellenőrizni, ezért szükségünk volt a tönkremenetel pillanatában uralkodó térbeli eszültségállapotokra is. Ezért olyan kísérleteket kellett végrehajtanunk, melyek eredményeként kontrollált térbeli eszültségállapotok jöttek létre a törés pillanatában. Lehetséges megoldásként kínálkozott a triaxiális nyomóterhelés, mint kísérlettípus, amivel térbeli eszültségállapotot lehet létrehozni. Triaxiális nyomóterhelést azonban eddig még csak ritkán alkalmaztak aanyagon. Saliklis és tsai. (998) a aanyagot multiaxiális nyomóterhelés esetén tesztelte. Lineáris nyomóvizsgálatot alkalmaztak úgy, hogy a aanyag keresztirányú alakváltozásait meggátolták, ezáltal a passzív irányokban is keletkezett nyomóterhelés. Az eredmények azonban azt mutatták, hogy ha hasáb alakú próbatestet terhelünk, akkor ismeretlen nagyságú súrlódóerő jelentkezik, és helyi tönkremenetelek alakulhatnak ki a teherátadás környezetében. Meg kell jegyezni, hogy hasonlókra jutott Vágó (005) is. Megoldást jelenthet a geotechnikában alkalmazott triaxiális nyomócellák alkalmazása, melyet beton és talajvizsgálatok során alkalmaznak (pl. Bongers és Rutten 998, Ser és tsai. 00, Elkadi és van Mier 006). Ezért a választásunk erre az eszközre esett. A kísérleteket mi végeztük el Bécsben, a korábban bemutatott intézet laboratóriumában. 4.. A biaxiális törővizsgálatok bemutatása A Bécsi Műszaki Egyetem Mechanika Intézetében speciálisan kialakított lucenyő próbatesteken szervohidraulikus, biaxiális törőgéppel roncsolásos, terheléses vizsgálatokat hajtottak végre. 44

45 A próbatestek kialakításához végeselem analízist alkalmaztak. Az ideális ormát egy kereszt alakban találták meg. A középső négyzet alakú terület jól láthatóvá teszi az évgyűrűszerkezetet, és a majdani törési képet (4.. ábra). A testet a vizsgált rostleutási iránynak megelelően vágták ki a rönköknek az évgyűrűszerkezetnek megelelő részéiből, így a próbatest rostleutási irányai a vízszinteshez képest: φ=0 (L); 7,5 ; 5 ; 30 ; 45. A CNC megmunkálást követően a próbatesteket 0 C hőmérsékleten, 65%os páratartalmon tárolták, míg a aanyag nedvességtartalma közelítőleg %os lett. 4.. ábra: A lucenyő próbatest kialakítása biaxiális terheléshez. A vizsgálóberendezésben a megogást a próbatest peremének a kialakítása segítette elő. Az így elkészített próbatesteket a 4.. ábrának megelelő módon terhelték. 45

46 4.. ábra: Lucenyő próbatest biaxiális terhelése. A biaxiális terhelést egy speciális, egyedi kivitelezésű, a Bécsi Műszaki Egyetemen gyártott, kéttengelyű szakítóvizsgálatokra kiejlesztett mérőműszerrel végezték, amely egyedülálló KözépEurópában. A berendezés három ő egysége a szervóhidraulikus terhelési berendezés, a számítógép által vezérelt szabályozórendszer, valamint az automata digitális mérőregisztráló egység. A kiejlesztett mechanikus gép szerkezeti vázát a 4.3. ábra mutatja be. 46

47 4.3. ábra: A terhelőberendezés elépítése. a) duplaalú acélváz b) merevítő edél c) merevítő keret d) terhelő tengelyek e) rögzítő modulok ) ékezőcsapok g) összekötő tengelyek h) beállító kerék. Az ábrán látható, hogy a terhelést 4 db Vormájú páros munkahenger és db csap adta át a aanyagra, így a terhelés gyakorlatilag egyenletes eloszlásúnak tekinthető. A gépészeti kivitelezésnek köszönhetően a próbatesteket megelelően tudták pozícionálni, így a eszültségi eloszlás a eltételezettnek megelelően alakult. A vezérlést egy általuk kiejlesztett szotver segítségével végezték, mely igyeli a hidraulika által működtetett terhelést és automata erőbeállítást végez. Továbbá, ellenőrzi a terhelési pontokat, valamint elügyeli az optikai alakváltozásmérést. A aanyag terheléséből keletkező alakváltozásait egy speciális optikai mérőműszer igyelte. A szemcseképes intererometrián (Electronic Speckle Intererometry) alapuló berendezés képes háromdimenziós alakváltozásmérésre, ezáltal nyomon követi a próbatest változásait a terhelés üggvényében. 47

48 4.3. A triaxiális törővizsgálatok bemutatása A tönkremeneteli elméletek ellenőrzéséhez szükségünk volt általános térbeli eszültségállapotokra is, ezért triaxiális nyomóvizsgálatokat hajtottunk végre lucenyő aanyagon egy szervohidraulikus triaxiális törőberendezéssel. A törőberendezés hidraulikus oldalnyomással működik, ezért csak hengeres próbatestek tesztelésére alkalmas. Hasáb alakú próbatest terhelésére nem megelelő. A triaxiális nyomóvizsgálatokhoz tehát hengeres próbatesteket készítettünk lucenyő pallókból. A próbatest kialakított végső geometriája 50 mmes átmérővel 00 mmes magassággal rendelkező ahenger (4.4. ábra) volt, amelyet a tönkremenetelig terheltük triaxiálisan ábra: A próbatest elkészítése, orientációja valamint az alkalmazott terhelési irányok. Háromajta rostirányú lécet vágtunk ki a pallókból (φ=0 [L],,45 ) és az évgyűrűállás (ψ) 0 (T)90 (R) tartományon belül változott. A lécek keresztmetszete 60x60 mm volt. Ezután az 50 mmes átmérőt esztergáltuk ki. Végül a hasáb alakú véget levágtuk, majd belőle meghatároztuk nedvességtartalmat. Az axiális terhelés iránya (F) az x tengely, míg az oldalnyomás (P) az x x 3 síkban ébredt. A próbatestek körülbelül egyorma évgyűrű szélességgel rendelkeztek, és a külső gesztből lettek kivágva, azaz az ortogonális anizotrópiát eltételezni lehet. Azokat a próbatesteket nem törtük össze, melyek jelen 48

49 tősebb ahibákat tartalmaztak. Azonban meg kell jegyezni, hogy egykét próbatestben tűgöcsök (<5mm) előordultak. A próbatesteket nem klimatizáltuk. A nedvességtartalom kiszárításos módszerrel történő meghatározása után a próbatesteket azonnal összetörtük. A sűrűség és a nedvességtartalom a következő határok között mozgott: 0,330,45 g/cm 3 és,34,83%. Három különböző rostleutást vágtunk ki a pallókból: φ= 0 (L), és 45. Az évgyűrűállás (ψ) 0 (T)90 (R) tartományon belül változott. Az esztergályozás előtt minden próbatest rostleutását, évgyűrűállását kamera és CADszotver segítségével megmértük. Minden oldalnyomásorientáció kombináció során 6 próbatestet törtünk össze, azaz összesen 54 darabot vizsgáltunk. A hengeres próbatesteket egy Walter und Bai gyártmányú triaxiális törőberendezéssel törtük össze (a gép típusa: DLV50/DZ0). A berendezés erőmérő cellája 50 kn terhelésig mér, a triaxiális nyomócella 50 bar hidrosztatikus nyomás kiejtésére képes. Szalai (00) alapján a lucenyő nyomószilárdsága az R irányban 3,49 MPa, T irányban 7,05 MPa ezért olyan oldalnyomás értéket választottunk, mely során eltételezzük, hogy pusztán az oldalnyomástól nem megy tönkre a aanyag, még erde rostleutás esetén sem. Az alkalmazott oldalnyomások 5,0 és 5 bar között változtak. Az axiális terhelési sebesség pedig mm/min volt. A tesztberendezés három ő részből állt: az univerzális terhelőberendezésből (ez adja át az axiális terhelést), a triaxiális nyomócellából (ebben van az oldalnyomás), valamint a nyomócellán belüli keretből, amely rögzíti a próbatestet (4.5. ábra). 49

50 4.5. ábra: Terhelőberendezés szétszerelt állapotban. a) triaxiális nyomócella, b) teherátadó acélrúd, c) gumi Ogyűrű, ) Telon lapka, g) hengeres lucenyő próbatest h) gumi burok. A nyíl az axiális erő irányát mutatja. Először a próbatestet egy gumi burokba kellett behelyezni, hogy elkerüljük a aanyag olajjal való érintkezését. Majd Telon lapkákat tettünk a bütü és a lapos émhengerek közé, hogy csökkentsük a súrlódást a aanyag és a ém között. A gumi Ogyűrűk segítségével rögzítettük a gumi burkot, a próbatestet, a Telon lapkákat, és a lapos acélhengereket. A lapos acélhengeren egy körbeutó nút volt található, melybe bele lehetett illesztetni a gumi Ogyűrűket. Ezután az eddig összeállított darabot belehelyeztük a keretbe, majd a keretet beleraktuk a triaxiális nyomócellába. Egy kis axiális terhelést alkalmaztunk (0,000,00 kn), hogy elkerüljük a próbatest elemelkedését akkor, mikor az olajjal töltjük el a triaxiális nyomócellát. Ezután eltöltöttük a cellát olajjal. Miután tele lett, légmentesen lezártuk, majd alkalmaztuk az éppen aktuális oldalnyomást (5, 0 50

51 vagy 5 bar). A végleges oldalnyomás elérése után terheltük a próbatestet axiálisan. Az oldalnyomás értéke a törővizsgálat során állandó volt. A teszt alatt mértük az axiális erőt, valamint az axiális elmozdulást. A próbatest akkor ment tönkre, amikor hirtelen visszaesett az erő, vagy állandó erőhöz növekvő axiális elmozdulás tartozott. Ezután eltávolítottuk a tengelyirányú terhelést, majd elvettük a nyomást és végül, leeresztettük az olajat. A 4.6. ábra bemutat egy tesztelt próbatestet ábra: Triaxiális nyomóvizsgálatnak kitett, os rostleutású lucenyő próbatest. A nyíl egy rostirányú repedésre hívja el a igyelmet. Az 54 darab triaxiálisan vizsgált próbatestből 4 darab eredménye nem értékelhető, mivel már az oldalnyomástól tönkre ment a aanyag, ezért a végeredményként 50 darab triaxiális eszültségállapot keletkezett a tönkremenetel pillanatában a különböző orientációjú próbatesteken. Miután a biaxiális és a triaxiális kísérleti értékek a rendelkezésünkre álltak, a kutatás következő eladata a kísérleti eszültségállapotok átszámítása volt a aanyag anatómiai őirányainak rendszerébe, hogy be tudjuk helyettesíteni a eszültségértékeket a von Mises, a TsaiWu és az Ashkenazi szilárdsági kritériumba. 5

52 5. Az összetett eszültségállapotok transzormációja a aanyag anatómiai őirányainak rendszerébe A arönkben a rostok szerveződésének köszönhetően a aanyagot makroszkopikus szinten ortogonálisan anizotrop (ortotrop) anyagnak lehet tekinteni (5.. ábra). A aanyag őirányainak tengelyeit L, R, T ortonormális egységvektorokkal jellemezhetjük, ahol L a rostirány (longitudinális irány), R a sugárirány (radiális irány), valamint T a húrirány (tangenciális irány). Továbbá megkülönböztetjük a aanyag anatómiai ősíkjait is: LR sugársík, LT érintősík, RT bütüsík. 5.. ábra: A természetes aanyag három egymásra merőleges szimmetriasíkja. L longitudinális irány, R radiális irány, T tangenciális irány, LR sugársík, LT érintő sík, RT bütü sík. A aanyag izikaimechanikai tulajdonságai jelentősen üggenek az iránytól. Egy csekély szögeltérés is számottevő hatással lehet a tulajdonságok nagyságára. Ezért űrészáru vizuális osztályozásánál igyelembe veszik a rostiránytól való szögeltérést, és a nagyságától üggően osztá 5

53 lyokba (MSZ EN 408) sorolják. A aszerkezetekben található elemek pontjaiban a eszültségi állapotot egy külső, általunk megadott koordinátarendszerben határozzuk meg. Ennek a koordinátarendszernek a tengelyei általában párhuzamosak a teherátadó berendezés szerkezeti őtengelyeivel vagy a vizsgált a próbatest éleivel. A mechanikai törővizsgálatokhoz készített próbatestek éleinek az irányai azonban nem mindig párhuzamosak a aanyag anatómiai őirányaival. A mi kísérleteink célja is éppen a mechanikai tulajdonságok irányüggésének a vizsgálata. Ha ismerjük az anyagtenzorokat az anatómiai őirányok rendszerében, akkor az egy iránnyal jellemezhető tulajdonságokat (pl. rugalmassági modulusz, normálszilárdság) a tenzorok transzormációs szabályai alapján számíthatjuk (Klingbeil 966, de Boer 98, Szalai 994). Azonban, ha a eszültségi állapot összetett, akkor a aanyag viselkedését már bonyolultabb elméletekkel kell meghatározni. Például anizotrop anyagok eszültségialakváltozási állapotainak a kapcsolatára az anizotrop anyagok általános Hooketörvényét kell alkalmazni. Ha a tönkremeneteli viselkedést tanulmányozzuk, akkor összetett eszültségi állapot esetén a szilárdsági elméleteket kell alkalmazni. Ezek azonban mind úgy működnek, hogy bennük a ható eszültség állapotot az anyagok anatómiai vagy szerkezeti őtengelyrendszerében kell megadni. Tehát, ha a eszültségi állapot praktikus okokból a a próbatest éleihez kötött koordináta rendszerben ismert, akkor azt át kell számítani a aanyag anatómiai őtengelyrendszerébe. Megjegyezzük, hogy úgy is alkalmazhatnánk a tönkremeneteli elméleteket, hogy maradunk az önkényesen elvett koordinátarendszernél, ekkor azonban a szilárdsági tenzor elemeit kellene átszámítani a aanyag anatómiai őtengelyrendszeréből az önkényesen választottba. A két koordinátarendszer egymáshoz viszonyított helyzetét azonban ilyenkor is ismerni kell, ráadásul nem a eszültségi állapot (két 53

54 dimenziós tenzor) hat komponensét, hanem a szilárdsági tenzor (négydimenziós tenzor) kilenc komponensét kellene átszámítani. Az utóbbi megoldás hosszadalmasabb és bonyolultabb. A tönkremeneteli elméletek ellenőrzését lineáris és síkbeli eszültségi állapotok esetén viszonylag könnyen elvégezhetjük. Egy és kéttengelyű eszültségi állapotot kísérletileg egyszerű létrehozni. A térbeli eszültségi állapot kísérleti megvalósítása őleg úgy, hogy a eszültségkomponensek pontosan mérhetők legyenek meglehetősen körülményes. A térbeli eszültségi állapot létrehozásához inkább azt az utat járjuk, hogy a berendezés által könnyen megvalósítható három, egymásra merőleges normál igénybevételt alkalmazva, a próbatest orientációját tetszőlegesre választjuk (5.. ábra). Ebben az esetben a eszültségi állapotot átszámítva a aanyag természetes koordinátarendszerébe, ormálisan általános, térbeli eszültségi állapotot kapunk, amely alkalmas a szilárdsági elméletek összetett eszültségi állapotnak megelelő ellenőrzésére. 5.. ábra: Lucenyő próbatestek: a) az anatómiai őirányok párhuzamosak a hasáb oldalélével, b) általános helyzetűek (Vágó 005). A b) ábrán az R és a T tengely nem párhuzamos a aanyag anatómiai irányaival. 54