Diszkrét állapotú rendszerek modellezése. Petri-hálók

Átírás

1 Diszkrét állapotú rendszerek modellezése Petri-hálók

2 Diszkrét eseményű rendszerek Discret Event (Dynamic) Systems DES, DEDS állapotterük diszkrét halmaz állapotváltozásuk kizárólag az időben aszinkron módon megjelenő, diszkrét eseményektől függ modelljeik számára a differenciál-, illetve differenciaegyenletek nem megfelelőek az idő közvetlenül nem befolyásolja az ilyen rendszer vezérlését, így a megfelelő modellekben nem lehet független változó Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 2

3 Diszkrét eseményű rendszerek Feladat: a megfelelő modellezési eljárás megtalálása. Kell egy olyan eszköz, amely képes egy jól definiált szabályok szerinti nyelv reprezentálására. Automata modell Markov-modell Sorbanállási modell Petri-háló Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 3

4 Automata modell Leírás: irányított gráf állapotátmeneti diagram csomópontok állapotok: X={x, y, z} címkézett élek állapotátmenetek: E={a, b, g} címkék az átmenetet kiváltó események f: X E X f x, a = x f x, g = z f y, a = x f y, b = y f z, b = z f z, a = f z, g = y a a x y g a,g z b Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 4 b

5 Automata modell Determinisztikus, véges állapotú automata Automata állapotgép generátor G = (X, E, f) Deterministic Finite-state Automaton DFA Finite-State Machine FSM X az állapotok véges halmaza E a G-beli állapotátmenetekkel társított események véges halmaza f: X E X az átmeneti függvény, a determinisztikus jelleg forrása f x, e = x azt jelenti, hogy létezik egy e címkével jelzett esemény által kiváltott x x állapotátmenet, ahol x, x X Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 5

6 Markov-modell Sztochasztikus állapotátmenetek modellezésére lásd Közlekedési automatika 3λ 2λ 2 μ 2μ Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 6

7 Sorbanállási modell VEVŐ ÉRKEZIK a SOR SZERVER d VEVŐ TÁVOZIK Bizonyos források használata céljából várakozni kell. A három alapelem: a vevők (customers) a kiszolgáló egységek (servers) a sor (queue). lásd Közlekedési üzemtan Modell vizsgálata: elsősorban szimulációval Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 7

8 Sorbanállási modell VEVŐ ÉRKEZIK a SOR SZERVER d VEVŐ TÁVOZIK Állapotváltozó: a sorban álló vevők száma (a sor hossza) X={,, 2, } Esemény: érkezés, (kiszolgálás), távozás E={a, d} Egyszerű sorbanállási rendszer jellemzői az érkezési és kiszolgálási folyamat eloszlása, intenzitása a szerver kapacitása (csatornák száma) a sorbanállási (kiszolgálási) rend Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 8

9 Petri-háló Carl Adam Petri (926-2) Ötlet (3 évesen!) Kidolgozás: 962. doktori disszertáció Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 9

10 Petri-háló A Petri-hálók (PN) az információ-áramlás absztrakt formális modelljei. Kiválóan alkalmasak a DES modellezésére grafikus reprezentációval (átláthatóság) formális matematikai leírással (egyértelműség). A PN egyik erőssége az egyidejű események modellezése Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók

11 Petri-háló alapelemek Tranzíciók események Helyek bemeneti az események előfeltételei kimeneti az események következményei Élek: a helyek és a tranzíciók között levő kapcsolatok leírása Tokenek jelölők, a PN állapotának leírása Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók

12 Petri-háló struktúrája Grafikus reprezentáció PN: irányított, súlyozott, páros gráf Kétféle csomópont hely tranzíció Élek: hely tranzíció, tranzíció hely A PN állapota: a tokenek eloszlása az egyes helyeken Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 2

13 Petri-háló struktúrája Formális definíció Petri-háló Helyek halmaza Tranzíciók halmaza Élek halmaza Súlyfüggvény Kezdőállapot PN P,T,E,W,M P p p p, 2, T t, t, t 2 P T T P E w * : E N M : P N Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 3

14 Petri-háló struktúrája P={p, p 2, p 3 } T={t } w (p, t )= 2 w + (t, p 2 )= w + (t, p 3 )= 3 M ={m(p ), m(p 2 ), m(p 3 )}={3,, } 2 Ősök: p =Ø t =p p 2 =t p 3 =t Utódok: p =t t ={p 2, p 3 } p 2 =Ø p 3 =Ø Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 4

15 Petri-háló dinamikája Állapotváltozás tranzíciók engedélyezettsége tranzíció tüzelése tokenek vándorlása a bemeneti helyekről: p t a kimeneti helyekre: p t token eloszlás megváltozása: M M Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 5

16 Petri-háló dinamikája Tranzíciók engedélyezettsége egy t j tranzíció akkor engedélyezett, ha a tokenek száma valamennyi p i bemeneti hely vonatkozásában legalább akkora, mint a p i helyet a t j tranzícióval összekötő él súlya m(p i ) w (p i, t j ) valamennyi p i t j p p p p 2 2 t p 3 2 p 3 t 2 p 2 p 2 t p Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 6

17 Petri-háló dinamikája Tranzíció tüzelése ha egy tranzíció engedélyezett, akkor tüzelhet egyszerre mindig csak egy tranzíció tüzel tokenek elvétele a bemeneti helyekről tokenek kirakása a kimeneti helyekre m p i = m p i w p i, t j + w + p i, t j valamennyi p i t j t j p p 2 2 t p Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 7

18 Petri-háló dinamikája Token eloszlás megváltozása 2 3 M ={3,, } 2 3 M ={, 2, 3} Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 8

19 Petri-háló dinamikája Token eloszlás megváltozása p t p 2 p 3 t 2 t 3 p 4 M ={2,,, } p 4 p t p 2 p 3 t 2 t 3 M ={,,, } Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 9

20 Petri-háló dinamikája Speciális csomópontok forrás és nyelő tranzíciók bemenő és kimenő hely nélküli ( t=ø és t =Ø) forrás tranzíció minden esetben tud tüzelni egy PN tiszta, ha nincsenek önhurkai, azaz minden t T tranzícióra: t t = Ø Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 2

21 Petri-háló dinamikája Formális leírás tüzelő tranzíció tüzelési vektor u = t t j t τ T = T szomszédossági mátrix w ij = w p i, t j + w + p i, t j W T mátrix (dimenziója: π τ): w p p i p π t t j t τ w ij w πτ Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 2

22 Petri-háló dinamikája szomszédossági mátrix 2 3 W T = 2 3 p t p 2 p 3 t 2 t 3 p 4 W T = Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 22

23 Petri-háló dinamikája szomszédossági mátrix W T = állapotátmeneti függvény, állapotegyenlet M = f(m, t j ) M = M + W T u t 2 p 2 t 2 2 p p 3 t Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 23

24 Petri-háló dinamikája állapotegyenlet M = M + W T u = = M = p p t t p 2 p 3 p 2 p 3 t 2 t 3 t 2 t 3 p 4 p Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 24

25 Petri-háló dinamikája állapotegyenlet M 2 = M + W T u + + = 2 = M 2 = p p t t p 2 p 3 p 2 p 3 t 2 t 3 t 2 t 3 p 4 p Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 25

26 Petri-háló dinamikája állapotegyenlet M 2b = M + W T u + + = = M 2b = p p t t p 2 p 3 p 2 p 3 t 2 t 3 t 2 t 3 p 4 p Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 26

27 Petri-háló jellemzők felkészülés. versenyző 2. versenyző rajt futás Petri-háló jellemzők azonnali tüzelések Modellezési tulajdonságok elemi (atomi) esemény bíró időmérés Szinkronizálás! Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 27

28 Petri-háló jellemzők Petri-háló jellemzők Modellezési tulajdonságok pakolás a bőröndbe utazás külföldre azonnali tüzelések aszinkron tüzelések elemi (atomi) esemény események szekvenciájának függetlensége mozijegy vásárlás filmnézés Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 28

29 Petri-háló jellemzők Petri-háló jellemzők Modellezési tulajdonságok papír papírrepülő azonnali tüzelések aszinkron tüzelések elemi (atomi) esemény események szekvenciájának függetlensége dolgozat nemdeterminisztikus konkurencia toll Implicit időfogalom! Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 29

30 Petri-háló jellemzők Petri-háló jellemzők Modellezési tulajdonságok tej cappuccino azonnali tüzelések aszinkron tüzelések elemi (atomi) esemény események szekvenciájának függetlensége kávé ír kávé nemdeterminisztikus legalább egy közös előfeltétel konkurencia konfliktus whisky Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 3

31 Petri-háló jellemzők Petri-háló jellemzők Modellezési tulajdonságok alvás munka azonnali tüzelések aszinkron tüzelések elemi (atomi) esemény események szekvenciájának függetlensége nemdeterminisztikus konkurencia legalább egy közös előfeltétel konfliktus neminterpretált absztrakt tulajdonságok Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 3

32 Petri-háló jellemzők alvás munka késésben öltözés reggeli utazás Petri-háló jellemzők azonnali tüzelések aszinkron tüzelések nemdeterminisztikus legalább egy közös előfeltétel neminterpretált absztrakció és finomítás Modellezési tulajdonságok elemi (atomi) esemény események szekvenciájának függetlensége konkurencia konfliktus absztrakt tulajdonságok hierarchikus modellezés Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 32

33 Petri-háló példák Gyalogos jelzőlámpa nyomógombbal Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 33

34 Petri-háló példák Jelzőlámpa gyalogátkelőhellyel Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 34

35 Petri-háló példák Jelzőlámpa meghibásodással Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 35

36 Petri-háló példák Vasúti útátjáró fail-safe meghibásodással Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 36

37 Petri-háló példák Váltóállítás Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 37

38 Petri-háló kiterjesztések Helyek kapacitáskorlátja Cél: véges erőforráskészlet megjelenítése Minden helyhez rendelhetünk kapacitást: K(p i ) Tüzelési szabály kiegészítése: egy t j tranzíció csak akkor engedélyezett, ha a feltételezett tüzelés után kimenő helyek tokenszáma nem haladja meg az adott hely kapacitáskorlátját: m p i + w + p i, t j K p i p i t Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 38

39 Petri-háló kiterjesztések Helyek kapacitáskorlátja Példa K=3 2 munka kezd feladat végez kész Megvalósítható kiegészítő hely felhasználásával is szabad kapacitás 2 2 munka kezd feladat végez kész Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 39

40 Petri-háló kiterjesztések Tiltó élek használata Cél: negatív feltételek ellenőrzése (zéró teszt) Tüzelési szabály kiegészítése: ha a tranzícióhoz kapcsolódó tiltó él súlyánál több token van az adott bemenő helyen, akkor a tüzelés nem hajtható végre Hátrány: számos analízis módszer nem alkalmazható tiltó éleket tartalmazó PN-ra Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 4

41 Petri-háló kiterjesztések Tiltó élek használata Példa munka Megvalósítható negált ( ) hely felhasználásával is munka kezd feladat végez kész 2 kezd 2 feladat 2 feladat végez kész Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 4

42 Petri-háló kiterjesztések Prioritás bevezetése Cél: nemdeterminizmus korlátozása A tranzíciókhoz prioritást rendelünk Tüzelési szabály kiegészítése: az engedélyezett tranzíciók közül egy alacsonyabb prioritású mindaddig nem tüzelhet, amíg egy magasabb prioritású tranzíció engedélyezve van Prioritási szinten belül továbbra is nemdeterminisztikus választás :T N Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 42

43 Petri-háló kiterjesztések Prioritás bevezetése Példa zárthelyi meghívás t t 2 tanulás buli π > π 2 Bizonyítható: a tiltó él helyettesíthető prioritással π > π Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 43

44 Petri-háló kiterjesztések Időzített Petri-hálók (Time PN TPN) Cél: teljesítményanalízis és ütemezési feladatok A tüzelések végrehajtásához időt rendelünk Determinisztikus időfogalom A tüzelések végrehajtásának ideje fix Alkalmazás: pl. maximális ciklusidő modellezése Sztochasztikus időfogalom A tüzelések végrehajtásának ideje valamilyen valószínűségi eloszlást követ Alkalmazás: pl. sorbanállás, megbízhatósági számítások Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 44

45 Petri-háló kiterjesztések Időzített Petri-hálók (Time PN TPN) Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 45

46 Petri-háló kiterjesztések Színezett Petri-hálók (Coloured PN CPN) Cél: kompaktabb megjelenítés 2 INTxDATA INT A n,p n ANr (, Hello ) (2, World ) () n,p INTxDATA Cs if n=k then k+ else k n,p DATA str V ( ) if n=k then str+p else str k if n=k then k+ else k VNr INT () Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 46

47 Petri-háló kiterjesztések Színezett Petri-hálók (Coloured PN CPN) Színes tokenek adattípusok Élkifejezések változók lekötése, függvények colour INT = int; colour DATA = string; colour INTxDATA = product INT * DATA; var n, k : INT; var p,str : DATA; A CPN modellező ereje megfelel a tiltó éllel kiegészített színezetlen Petri-hálókénak Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 47

48 Kapcsolat más modellekkel Automata transzformálása Petri-hálóvá Egy véges állapotú automata mindig transzformálható egy olyan Petri-hálóvá, amely ugyanazt a nyelvet generálja, mint az automata: L(N) = L(G) e x x e p t (p, e, p ) p Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 48

49 Kapcsolat más modellekkel Automata transzformálása Petri-hálóvá.) X P, ahol p i = x i minden x i X 2.) m p i =, ha p i = x, egyébként m p i = M = [,, ] 3.) E T, ahol t p,e,p = x, e, x minden e E 4.) w p, t = w + t, p = e x x e p t (p, e, p ) p Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 49

50 Kapcsolat más modellekkel Sorbanállási feladat modellezése Automata modell 2 3 Petri-háló x = 2 a a a a d d d d M = [,,,, ] a a a a VEVŐ ÉRKEZIK a SOR SZERVER a M = [2] Q d VEVŐ TÁVOZIK d d d d Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 5 d

51 Petri-háló állapottere Elérhetőségi gráf módszer Az összes elérhető állapotot vizsgálja (tulajdonképpen állapotgráfot állít elő) Probléma: túl nagy állapottér Algebrai megközelítés A háló algebrai reprezentációján végzett műveletek, bizonyítások, levezetések segítségével vizsgálja az állapotteret Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 5

52 Petri-háló állapottere p 4 π 2 < π 4 p t p 2 t 2 p 3 t 3 p 5 t 4 M t M t 2 t 4 t 3 M 2 M Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 52

53 Petri-háló állapottere p p 4 t 5 M t 6 t t 3 t t 3 M M 2 t 2 t 6 t 5 t 4 p p 7 p t 8 p t 6 M 3 M 6 t 3 t t 2 t 4 M 4 M 7 p 3 p 6 t 6 t 4 t 2 t 5 M Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 53

54 Petri-háló tulajdonságok Elérhetőség Valamely kezdőállapotból egy másik állapot vagy állapotok halmaza egy tetszőleges tüzelési szekvenvcia mellett elérhető-e Pl. elérhető-e egy nem biztonságos állapot? Megfordíthatóság/visszatérő állapot A kezdőállapot/azt követő valamely állapot a PN bármely állapotából kiindulva újra elérhető-e Pl. ciklikus működésű hálózatban ciklusok keresése Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 54

55 Petri-háló tulajdonságok p p 4 t 5 M t 6 t t 3 t t 3 M M 2 t 2 t 6 t 5 t 4 p p 7 p t 8 p t 6 M 3 M 6 t 3 t t 2 t 4 M 4 M 7 p 3 p 6 t 6 M 5 t 4 t 2 t 5 Elérhető-e az M=(** ** **) állapot? Nem. Megfordítható-e a háló? Igen. Van-e visszatérő állapot? Igen: mindegyik állapot visszatérő Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 55

56 Petri-háló tulajdonságok p 4 π 2 < π 4 M t M t 2 t 4 M 2 p t p 2 t 2 p 3 t 3 p 5 t 4 t 3 M 3 Elérhető-e az M=( ) állapot? Nem. Megfordítható-e a háló? Van-e visszatérő állapot? Nem. Igen: M, M 2, M Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 56

57 Petri-háló tulajdonságok Élőség Egy tranzíció élő, ha a PN bármely állapotából kiindulva újra engedélyezetté válhat Egy PN élő, ha valamennyi tranzíciója élő Pl. a PN valamennyi tranzíciója értelmes-e Élőség holtpontmentesség Holtpont (deadlock): nincs engedélyezett tranzíció Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 57

58 Petri-háló tulajdonságok p p 4 M t 5 t 6 t t 3 t t 3 M M 2 t 2 t 6 t 5 t 4 p p 7 p t 8 p t 6 M 3 M 6 t 3 t t 2 t 4 M 4 M 7 p 3 p 6 t 6 t 4 t 2 t 5 M 5 Élő-e a háló? Igen. Van-e holtpont a hálóban? Nincs Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 58

59 Petri-háló tulajdonságok π 2 < π 4 p t p 2 t 2 p 3 t 3 p 5 t 4 M t M t 2 t 4 t 3 M 2 M 3 Élő-e a háló? Nem: t nem élő. Van-e holtpont a hálóban? Nincs Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 59

60 Petri-háló tulajdonságok Korlátosság A helyeken felhalmozódó tokenek száma véges-e Pl. erőforrások használatának modellezése: azt vizsgálja, hogy a modellezett rendszerben a feladatok elvégzése garantált-e Az -korlátos hálót biztonságosnak (biztosnak) nevezzük Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 6

61 Petri-háló tulajdonságok p 4 π 2 < π 4 p t p 2 t 2 p 3 t 3 p 5 t 4 M t t 2 M t 4 t 3 M 2 M 3 Korlátos-e a háló? Igen: -korlátos. Biztos-e a háló? Igen Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 6

62 Petri-háló tulajdonságok p 4 K 5 =2 p t p 2 t 2 p 3 t 3 p 5 t 4 t M M t 2 t 4 t 4 t 4 2 M 2 M 4 M 6 t 3 t 2 t 3 t 2 t 4 2 M 3 M 5 Korlátos-e a háló? Igen: 2-korlátos. Biztos-e a háló? Nem Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 62

63 Petri-háló tulajdonságok p 4 p t p 2 t 2 p 3 t 3 p 5 t 4 t M M t 2 t 4 t 4 t 4 2 M 2 M 4 M 6 t 3 t 2 t 3 t 2 t 3 t 4 2 M 3 M 5 Korlátos-e a háló? Nem. Biztos-e a háló? Nem Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 63

64 Petri-háló tulajdonságok Perzisztencia Két tetszőleges engedélyezett tranzíció közül egyik tüzelése sem tiltja le a másik engedélyezettségét, tehát egy engedélyezett tranzíció engedélyezve marad a tüzelésig Azt vizsgálja, hogy az eredetileg párhuzamosnak szánt tevékenységek nem befolyásolják-e egymást Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 64

65 Petri-háló tulajdonságok p p 4 M t 5 t 6 t t 3 t t 3 M M 2 t 2 t 6 t 5 t 4 p p 7 p t 8 p t 6 M 3 M 6 t 3 t t 2 t 4 M 4 M 7 p 3 p 6 t 6 t 4 t 2 t 5 M 5 Perzisztens a háló? Nem: t tüzelése letiltja t 3 -at és fordítva. Viszont: t 3 -t 5 OK, t 4 -t 5 OK, t 5 -t 6 OK, t -t 6 OK, t 2 -t 6 OK! Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 65

66 Petri-háló tulajdonságok Fairség Egy tetszőleges tranzíció csak korlátos sokszor tüzelhet anélkül, hogy egy másik is tüzelne Arra keres garanciát, hogy a rendszerbeli párhuzamos folyamatok nem tartják-e fel egymást keresztbehatásuk révén, azaz előbb-utóbb minden folyamat végbemegy-e Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 66

67 Petri-háló tulajdonságok p p 4 M t 5 t 6 t t 3 t t 3 M M 2 t 2 t 6 t 5 t 4 p p 7 p t 8 p t 6 M 3 M 6 t 3 t t 2 t 4 M 4 M 7 p 3 p 6 t 6 t 4 t 2 t 5 t és t 2 fair? Igen. t és t 5 fair? Igen. t 5 és t 6 fair? Nem. M Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 67

68 Petri-háló analízise Az analízis célja Modellezzük a rendszert Megvizsgáljuk a modell bizonyos tulajdonságait Ezeket a tulajdonságokat (amennyiben a modell megfelelő volt) visszavetítjük az eredeti rendszerre, így az eredeti rendszer bizonyos tulajdonságait vizsgálhatjuk anélkül, hogy magát a rendszert megépítenénk Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 68

69 Petri-háló analízise Modellező eszközök PetriDotNet TimeNet CPN Tools cpntools.org stb Diszkrét állapotú rendszerek modellezése, Petri-hálók 69