A Számítástudomány alapjai

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A Számítástudomány alapjai"

Átírás

1 Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék A Számítástudomány alapjai Szemelvények az Elméleti Számítástudomány területéről

2 Fogalmak: Számítástechnika Realizáció, technológia Elméleti számítástudomány Matematikai elméleti tudományág Kurt Gödel ( ) egy cseh származású (Brünn) amerikai matematikus volt, többek között logikával foglalkozott. Híres "eldönthetetlenségi elmélete" - mely szerint minden szigorúan logikus matematikai rendszerben vannak olyan állítások, amelyeknek az igaz vagy hamis volta nem igazolható a rendszer axiómái alapján. Alonzo Church ( ) amerikai matematikus és logikus, a számítástudomány (computer science) egyik megalapozója. (lambda-kalkulus, számítási modellek) Alan Mathison Turing ( ) brit matematikus, a modern számítógép-tudomány egyik atyja. (Turing gép, megállási probléma)

3 Turing koncepciója, a Turing gép megfogalmazása Külső adat és tárolóterület: végtelen szalag, amelynek egymás után cellái vannak, amelyek vagy üresek, vagy jelöltek. A gép egyszerre egy cellával foglalkozik (Az író/olvasó feje egy cellán áll). A szalagon tud jobbra-balra lépni, tud jelet olvasni, törölni és írni. A bevitel, a számítás és a kivitel minden konkrét esetben véges marad, ezen túl a szalag üres.(0) A gép belső állapotait számozzuk meg 0,1,2,... A gép működését megadja egy explicit helyettesítési táblázat. Állapot, bemenet --> Állapot, kimenet, fejmozgás Church - Turing tézis Ha egy algoritmus elég mechanikus és világos, akkor bizonyára található olyan Turing-gép, amely azt végrehajtja. A Turing gép definiálja mindazt, amit matematikailag algoritmikus eljárás alatt értünk. Minden más algoritmikus eljárást végrehajtó rendszer ekvivalens valamely Turing-géppel.

4 Automata elmélet Pl.: determinisztikus véges állapotú automata (DFA deterministic finite state machine) T: 0 1 S1 S2 S1 S2 S1 S2 A: S1 S2 Igen Nem M automata bemenete: 0,1-ből álló string Feladata, meghatározni, hogy a bemeneti stringben páros számú 0 karakter van-e. M = (S, Σ, T, s, A), ahol Σ = {0, 1}, S = {S 1, S 2 }, s = S 1, A = {S 1 }, és A T átmeneti függvényt a következő állapot átmeneti tábla határozza meg:

5 Turing gép Minden digitális számítógép őse A C 9 E Író-olvasó fej Belső állapottér (regiszterek) Turing gép megállási problémája: Nem tudjuk, hogy adott programmal megáll-e! Van-e arra bizonyítási módszerünk, hogy egy eljárás biztosan algoritmus-e? NINCS!! Központi vezérlő egység Verem automata, Véges utasításkészlet

6 Formális nyelvek Nyelvtanok levezetési szabályokkal nyelveket generálnak. A nyelv elemei a mondatok. Formális nyelvtan: G = (N, Σ, P, S), ahol N: grammatikai szimbólumok Σ: ábécé P: levezetési szabályok S: mondatszimbólum L nyelv a Σ* részhalmaza (L Σ ) w jelsorozat mondata az L nyelvnek, ha w L

7 Formális nyelvek, példa G =({S, B, C}, {a, b, c},p,s) ahol: P= {S asbc, S abc, CB BC, bb bb, bc bc, cc cc} A nyelv egy mondata például: S asbc aabcbc aabbcc aabbcc aabbcc aabbcc sikertelen levezetés, pl: S asbc aabcbc aabcbc? L(G) = {a i b i c i i>0}

8 Nyelvek és automaták A levezetési szabályok összetettsége alapján különböző nyelvosztályok definiálhatók Minden nyelvosztályhoz egy automata típus tartozik 3. nyelvosztály: reguláris nyelvek; véges automata 2. nyelvosztály: környezetfüggetlen nyelvek; verem automata 1. nyelvosztály: környezetfüggő nyelv; lineárisan korlátos automata 0. nyelvosztály: tetszőleges típusú levezetési szabály; Turing gép

9 Eljárások, algoritmusok Eleme-e egy adott jelsorozat a nyelvtanával meghatározott nyelvnek, generálható-e a szóban forgó jelsorozat az adott nyelvtannal? Műveletsorozattal, lépések egymásutánjával választ kapunk-e a kérdésre? Algoritmus: a választ véges számú lépés után mindenképpen megkapjuk Eljárás, procedúra: nem garantálhato, hogy véges lépésben, tehát valaha is választ kapjunk kérdésünkre Pl. egész együtthatós egyenlet, polinóm gyökei: sorban behelyettesítjük a racionális számokat. Elsőfokú esetben algoritmus (racionális megoldás), másodfokú esetben eljárás (lehet, hogy sohasem kapunk eredményt) -> algoritmikusan eldönthetetlen A tartalmazás kérdése algoritmikusan eldönthetetlen

10 Algoritmus Köznyelvben: Egy véges utasítássorozat (pl. telefonfülke, telefonálás tevékenység) Véges utasítássorozat, amely bármely input esetén véges lépésszám után megáll, eredményt ad. (A végrehajtó automata stabil állapotba kerül.) Kiszámíthatóság Eljárás Algoritmus jelölt Szg. Program írható Emberi szóval megfogalmazott feladat??? NEM minden eljárás algoritmus!! Az Algoritmus fogalmára formális definíciónk nincs! Algoritmus Church - tézise Maga a Turing gép matematikai leírása az algoritmus fogalmának formális definíciója. Minden probléma, amelyre eljárás, procedúra szerkeszthető, Turing-géppel megoldható. -> Az ember azokra és csakis azokra a kérdésekre tud választ adni, amelyekre a Turing-gép is képes.

11 Példa nem algoritmizálható problémára: (Nem kiszámítható feladat) Dominópélda Dominó (egy példány) Dominó típus (megszámlálhatóan végtelen példány) Dominó készlet (definíciója: 3, 2,4,9,5, 1,6,2,7, 4,5,3,1) Kérdés: A definiált dominókészlettel lefedhető-e a teljes sík: Válasz: IGEN vagy NEM?????

12 Komplexitás (Algoritmusok bonyolultsága) Komplexitás vizsgálata, ha már tudjuk, hogy az adott problémára létezik algoritmus, azaz a probléma kiszámítható. Idő komplexitás Tárkomplexitás Exponenciális bonyolultság Idő komplexitás (lépésszám) Polinomiális bonyolultság Lineáris bonyolultság Konstans bonyolultság Bemenetek bonyolultsága

13 Bonyolultságelmélet Probléma osztályok P: a polinomidőben megoldható problémák osztályát reprezentálja a gyakorlatban hatékonyan megoldható problémák osztálya NP: a polinomidőben verifikálható problémák osztályát a lehetséges megoldások polinomidőben előállíthatóak nemdeterminisztikus Turing-géppel, majd determinisztikusan polinomidőben ellenőrizhető az, hogy az előállított lehetséges megoldás valóban megoldás-e A számítástudomány híres megoldatlan kérdése: P NP

14 Utazó ügynök probléma Az utazó ügynök probléma célja a legkisebb költségű út megtalálása városok között, minden várost pontosan egyszer érintve és visszatérve a kiindulási pontba Az irodalomban a városok közötti költség az Euklideszi távolságon alapul, a probléma szimmetrikus, a költségek konstansok NP-nehéz probléma, azaz ha találnánk egy hatékony algoritmust (mely optimális megoldást nyújt polinom számú lépésben), akkor hatékony algoritmust tudnánk találni más bonyulult NP-beli (nemdeterminisztikus polinom idejű) problémákra A szimmetrikus változat esetén (n-1)!/2 lehetséges út van, az aszimmetrikus esetben pedig (n-1)! Kimerítő keresés nem lehetséges nagy n esetén a gyakorlatban Főbb megoldási módszerek: Vegyes-egész programozás Korlátozás és elágazás módszer Heurisztikus keresések (lokális keresés, szimulált lehűtés, neurális hálózat, genetikus algoritmus, stb.)

15 Utazó ügynök probléma Megoldás a Berlin 52 tesztproblémára

16 A másik szobában vagy egy lámpa, amelynek 3 lehetséges állapota van: kék, piros, kikapcsolt A mi szobánkban van két kapcsoló, amelyekkel a lámpa állapotát lehet változtatni. Az állapot a következő diagram alapján változik: Ha az 1-es kapcsolót nyomjuk meg, akkor a lámpa az óramutató járásának megfelelő, ábra szerinti következő állapotba kerül Ha a 2-es kapcsolót nyomjuk meg és a lámpa kék vagy piros állapotban van, akkor az állapot nem fog változni Ha a 2-es kapcsolót nyomjuk meg és a lámpa kikapcsolt állapotban van, akkor a kék állapotba fog kerülni Biztosak szeretnénk lenni abban, hogy a lámpa ki van kapcsolva, de mivel a másik szobában van, ezért nem látjuk, hogy milyen állapotban van. Mi az a legrövidebb kapcsolás-sorozat, amellyel garantálhatjuk, hogy a lámpa kikapcsolt állapotba kerül.

A Számítógépek felépítése, mőködési módjai. A Számítógépek hardverelemei

A Számítógépek felépítése, mőködési módjai. A Számítógépek hardverelemei Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék Kovács Endre tud. Mts. A Számítástudomány alapjai Szemelvények az Elméleti Számítástudomány területérıl A Számítógépek felépítése, mőködési módjai

Részletesebben

A digitális számítás elmélete

A digitális számítás elmélete A digitális számítás elmélete 8. előadás ápr. 16. Turing gépek és nyelvtanok A nyelvosztályok áttekintése Turing gépek és a természetes számokon értelmezett függvények Áttekintés Dominó Bizonyítások: L

Részletesebben

Deníciók és tételek a beugró vizsgára

Deníciók és tételek a beugró vizsgára Deníciók és tételek a beugró vizsgára (a szóbeli viszgázás jogáért) Utolsó módosítás: 2008. december 2. 2 Bevezetés Számítási problémának nevezünk egy olyan, a matematika nyelvén megfogalmazott kérdést,

Részletesebben

A számítógépes nyelvészet elmélete és gyakorlata. Automaták

A számítógépes nyelvészet elmélete és gyakorlata. Automaták A számítógépes nyelvészet elmélete és gyakorlata Automaták Nyelvek és automaták A nyelvek automatákkal is jellemezhetőek Automaták hierarchiája Chomsky-féle hierarchia Automata: új eszköz a nyelvek komplexitásának

Részletesebben

Turing-gép május 31. Turing-gép 1. 1

Turing-gép május 31. Turing-gép 1. 1 Turing-gép 2007. május 31. Turing-gép 1. 1 Témavázlat Turing-gép Determinisztikus, 1-szalagos Turing-gép A gép leírása, példák k-szalagos Turing-gép Univerzális Turing-gép Egyéb Turing-gépek Nemdeterminisztikus

Részletesebben

Automaták mint elfogadók (akceptorok)

Automaták mint elfogadók (akceptorok) Automaták mint elfogadók (akceptorok) Ha egy iniciális Moore-automatában a kimenőjelek halmaza csupán kételemű: {elfogadom, nem fogadom el}, és az utolsó kimenőjel dönti el azt a kérdést, hogy elfogadható-e

Részletesebben

NP-teljesség röviden

NP-teljesség röviden NP-teljesség röviden Bucsay Balázs earthquake[at]rycon[dot]hu http://rycon.hu 1 Turing gépek 1/3 Mi a turing gép? 1. Definíció. [Turing gép] Egy Turing-gép formálisan egy M = (K, Σ, δ, s) rendezett négyessel

Részletesebben

A Formális nyelvek vizsga teljesítése. a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon:

A Formális nyelvek vizsga teljesítése. a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon: A Formális nyelvek vizsga teljesítése a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon: 1. Öt kis kérdés megválaszolása egyenként 6 pontért, melyet minimum 12

Részletesebben

Bonyolultságelmélet. Monday 26 th September, 2016, 18:28

Bonyolultságelmélet. Monday 26 th September, 2016, 18:28 Bonyolultságelmélet Monday 26 th September, 2016, 18:28 A kurzus teljesítési követelményei 2 Gyakorlat Három kisdolgozat 6 6 pontért kb. a 4., 7. és 10. gyakorlaton Egy nagydolgozat 28 pontért utolsó héten

Részletesebben

A Formális nyelvek vizsga teljesítése. a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon:

A Formális nyelvek vizsga teljesítése. a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon: A Formális nyelvek vizsga teljesítése a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon: 1. Öt rövid kérdés megválaszolása egyenként 6 pontért, melyet minimum

Részletesebben

Logika és számításelmélet. 10. előadás

Logika és számításelmélet. 10. előadás Logika és számításelmélet 10. előadás Rice tétel Rekurzíve felsorolható nyelvek tulajdonságai Tetszőleges P RE halmazt a rekurzívan felsorolható nyelvek egy tulajdonságának nevezzük. P triviális, ha P

Részletesebben

definiálunk. Legyen egy konfiguráció, ahol és. A következő három esetet különböztetjük meg. 1. Ha, akkor 2. Ha, akkor, ahol, ha, és egyébként.

definiálunk. Legyen egy konfiguráció, ahol és. A következő három esetet különböztetjük meg. 1. Ha, akkor 2. Ha, akkor, ahol, ha, és egyébként. Számításelmélet Kiszámítási problémának nevezünk egy olyan, a matematika nyelvén megfogalmazott kérdést, amire számítógéppel szeretnénk megadni a választ. (A matematika nyelvén precízen megfogalmazott

Részletesebben

Bonyolultságelmélet. Monday 26 th September, 2016, 18:27. Bonyolultságelmélet

Bonyolultságelmélet. Monday 26 th September, 2016, 18:27. Bonyolultságelmélet Monday 26 th September, 2016, 18:27 A kurzus teljesítési követelményei Gyakorlat Három kisdolgozat 6 6 pontért kb. a 4., 7. és 10. gyakorlaton Egy nagydolgozat 28 pontért utolsó héten előadáson Pontszám:

Részletesebben

Számításelmélet. Második előadás

Számításelmélet. Második előadás Számításelmélet Második előadás Többszalagos Turing-gép Turing-gép k (konstans) számú szalaggal A szalagok mindegyike rendelkezik egy független író / olvasó fejjel A bemenet az első szalagra kerül, a többi

Részletesebben

Algoritmuselmélet 12. előadás

Algoritmuselmélet 12. előadás Algoritmuselmélet 12. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Április 9. ALGORITMUSELMÉLET 12. ELŐADÁS 1 Turing-gépek

Részletesebben

A számítógépes nyelvészet elmélete és gyakorlata. Formális nyelvek elmélete

A számítógépes nyelvészet elmélete és gyakorlata. Formális nyelvek elmélete A számítógépes nyelvészet elmélete és gyakorlata Formális nyelvek elmélete Nyelv Nyelvnek tekintem a mondatok valamely (véges vagy végtelen) halmazát; minden egyes mondat véges hosszúságú, és elemek véges

Részletesebben

Számítógép és programozás 2

Számítógép és programozás 2 Számítógép és programozás 2 8. Előadás Megoldhatóság, hatékonyság http://digitus.itk.ppke.hu/~flugi/ Elméleti áttekintés a SzámProg 1 tárgyból Algoritmikus eldönthetőség kérdése Bizonyíthatóság kérdése,

Részletesebben

Számításelmélet. Will június 13. A kiszámíthatóság fogalma és a Church-Turing tézis

Számításelmélet. Will június 13. A kiszámíthatóság fogalma és a Church-Turing tézis Számításelmélet Will 2010. június 13. A kiszámíthatóság fogalma és a Church-Turing tézis. A Turing gép, mint algoritmus modell. A rekurzív és a rekurzívan felsorolható nyelvek. Algoritmikusan eldönthet

Részletesebben

Bonyolultságelmélet. Monday 26 th September, 2016, 18:50

Bonyolultságelmélet. Monday 26 th September, 2016, 18:50 Bonyolultságelmélet Monday 26 th September, 2016, 18:50 A kiszámítás modelljei 2 De milyen architektúrán polinom? A kiszámításnak számos (matematikai) modellje létezik: Általános rekurzív függvények λ-kalkulus

Részletesebben

Az informatika elméleti alapjai 2 elővizsga december 19.

Az informatika elméleti alapjai 2 elővizsga december 19. Név (aláírás): Az informatika elméleti alapjai 2 elővizsga 2017. december 19. A vizsgadolgozat 1. feladatára helyes válaszonként 1-1 pont kapható, a 2-3. feladatok megoldásáért 6-6 pont, a 4. feladatra

Részletesebben

Számítógép és programozás 2

Számítógép és programozás 2 Számítógép és programozás 2 6. Előadás Problémaosztályok http://digitus.itk.ppke.hu/~flugi/ Emlékeztető A specifikáció egy előfeltételből és utófeltételből álló leírása a feladatnak Léteznek olyan feladatok,

Részletesebben

Algoritmuselmélet. Bonyolultságelmélet. Katona Gyula Y.

Algoritmuselmélet. Bonyolultságelmélet. Katona Gyula Y. Algoritmuselmélet Bonyolultságelmélet Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 12. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet

Részletesebben

Kriptográfia 0. A biztonság alapja. Számítás-komplexitási kérdések

Kriptográfia 0. A biztonság alapja. Számítás-komplexitási kérdések Kriptográfia 0 Számítás-komplexitási kérdések A biztonság alapja Komplexitás elméleti modellek független, egyenletes eloszlású véletlen változó értéke számítással nem hozható kapcsolatba más információval

Részletesebben

Chomsky-féle hierarchia

Chomsky-féle hierarchia http://www.ms.sapientia.ro/ kasa/formalis.htm Chomsky-féle hierarchia G = (N, T, P, S) nyelvtan: 0-s típusú (általános vagy mondatszerkezetű), ha semmilyen megkötést nem teszünk a helyettesítési szabályaira.

Részletesebben

Formális nyelvek és automaták vizsgához statisztikailag igazolt várható vizsgakérdések

Formális nyelvek és automaták vizsgához statisztikailag igazolt várható vizsgakérdések 1. Feladat Az első feladatban szereplő - kérdések 1 Minden környezet független nyelv felismerhető veremautomatával. Minden környezet független nyelv felismerhető 1 veremmel. Minden 3. típusú nyelv felismerhető

Részletesebben

Chomsky-féle hierarchia

Chomsky-féle hierarchia http://www.cs.ubbcluj.ro/~kasa/formalis.html Chomsky-féle hierarchia G = (N, T, P, S) nyelvtan: 0-s típusú (általános vagy mondatszerkezet ), ha semmilyen megkötést nem teszünk a helyettesítési szabályaira.

Részletesebben

Véges automaták, reguláris nyelvek

Véges automaták, reguláris nyelvek Véges automaták, reguláris nyelvek Kiegészítő anyag az lgoritmuselmélet tárgyhoz (a Rónyai Ivanyos Szabó: lgoritmusok könyv mellé) Friedl Katalin BME SZIT friedl@cs.bme.hu 27. augusztus 3. véges automata

Részletesebben

Feladatok. 6. A CYK algoritmus segítségével döntsük el, hogy aabbcc eleme-e a G = {a, b, c}, {S, A, B, C}, P, S nyelvtan által generált nyelvnek!

Feladatok. 6. A CYK algoritmus segítségével döntsük el, hogy aabbcc eleme-e a G = {a, b, c}, {S, A, B, C}, P, S nyelvtan által generált nyelvnek! Feladatok 1. A CYK algoritmus segítségével döntsük el, hogy cabcab eleme-e a G = {a, b, c}, {S, A, B, C, D, E}, P, S nyelvtan által generált nyelvnek! P: S AD EB SS A AB a B DD b C CB c D EC a E AD b 2.

Részletesebben

Algoritmuselmélet 18. előadás

Algoritmuselmélet 18. előadás Algoritmuselmélet 18. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Május 7. ALGORITMUSELMÉLET 18. ELŐADÁS 1 Közelítő algoritmusok

Részletesebben

Formális nyelvek - 9.

Formális nyelvek - 9. Formális nyelvek - 9. Csuhaj Varjú Erzsébet Algoritmusok és Alkalmazásaik Tanszék Informatikai Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem H-1117 Budapest Pázmány Péter sétány 1/c E-mail: csuhaj@inf.elte.hu 1 Véges

Részletesebben

A Turing-gép. Formális nyelvek III.

A Turing-gép. Formális nyelvek III. Formális nyelvek III. Általános és környezetfüggő nyelvek Fülöp Zoltán SZTE TTIK Informatikai Intézet Számítástudomány Alapjai Tanszék 6720 Szeged, Árpád tér 2. Definíció. Egy Turing-gép egy M = (Q,Σ,Γ,

Részletesebben

Automaták és formális nyelvek

Automaták és formális nyelvek Automaták és formális nyelvek Bevezetés a számítástudomány alapjaiba 1. Formális nyelvek 2006.11.13. 1 Automaták és formális nyelvek - bevezetés Automaták elmélete: információs gépek általános absztrakt

Részletesebben

Turing-gépek. Kiegészítő anyag az Algoritmuselmélet tárgyhoz VIII. Friedl Katalin BME SZIT március 18.

Turing-gépek. Kiegészítő anyag az Algoritmuselmélet tárgyhoz VIII. Friedl Katalin BME SZIT március 18. Turing-gépek Kiegészítő anyag az Algoritmuselmélet tárgyhoz VIII. (a Rónyai Ivanyos Szabó: Algoritmusok könyv mellé) Friedl Katalin BME SZIT friedl@cs.bme.hu 2016. március 18. A veremautomatáknál az hogy

Részletesebben

Formális nyelvek Második, javított kiadás

Formális nyelvek Második, javított kiadás BACH IVÁN Formális nyelvek Második, javított kiadás Egyetemi tankönyv TYPOTEX Kiadó Budapest, 2002 A könyv az illetékes kuratórium döntése alapján az Oktatási Minisztérium támogatásával a Felsőoktatási

Részletesebben

Algoritmuselmélet. Függvények nagyságrendje, elágazás és korlátozás, dinamikus programozás. Katona Gyula Y.

Algoritmuselmélet. Függvények nagyságrendje, elágazás és korlátozás, dinamikus programozás. Katona Gyula Y. Algoritmuselmélet Függvények nagyságrendje, elágazás és korlátozás, dinamikus programozás Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem

Részletesebben

Turing-gépek. Kiegészítő anyag az Algoritmuselmélet tárgyhoz. Friedl Katalin BME SZIT augusztus 16.

Turing-gépek. Kiegészítő anyag az Algoritmuselmélet tárgyhoz. Friedl Katalin BME SZIT augusztus 16. Turing-gépek Kiegészítő anyag az Algoritmuselmélet tárgyhoz (a Rónyai Ivanyos Szabó: Algoritmusok könyv mellé) Friedl Katalin BME SZIT friedl@cs.bme.hu 2017. augusztus 16. A veremautomatáknál az, hogy

Részletesebben

Felismerhető nyelvek zártsági tulajdonságai II... slide #30. Véges nemdeterminisztikus automata... slide #21

Felismerhető nyelvek zártsági tulajdonságai II... slide #30. Véges nemdeterminisztikus automata... slide #21 A számítástudomány alapjai Ésik Zoltán SZTE, Számítástudomány Alapjai Tanszék Bevezetes Bevezetés.................................................... slide #2 Automaták és formális nyelvek Szavak és nyelvek...............................................

Részletesebben

ZH feladatok megoldásai

ZH feladatok megoldásai ZH feladatok megoldásai A CSOPORT 5. Írja le, hogy milyen szabályokat tartalmazhatnak az egyes Chomskynyelvosztályok (03 típusú nyelvek)! (4 pont) 3. típusú, vagy reguláris nyelvek szabályai A ab, A a

Részletesebben

Bonyolultságelmélet. Thursday 1 st December, 2016, 22:21

Bonyolultságelmélet. Thursday 1 st December, 2016, 22:21 Bonyolultságelmélet Thursday 1 st December, 2016, 22:21 Tárbonyolultság A futásidő mellett a felhasznált tárterület a másik fontos erőforrás. Ismét igaz, hogy egy Ram-program esetében ha csak a használt

Részletesebben

Turing-gépek. Számításelmélet (7. gyakorlat) Turing-gépek 2009/10 II. félév 1 / 1

Turing-gépek. Számításelmélet (7. gyakorlat) Turing-gépek 2009/10 II. félév 1 / 1 Turing-gépek Logika és számításelmélet, 7. gyakorlat 2009/10 II. félév Számításelmélet (7. gyakorlat) Turing-gépek 2009/10 II. félév 1 / 1 A Turing-gép Az algoritmus fogalmának egy intuitív definíciója:

Részletesebben

Logika és számításelmélet. 7. előadás

Logika és számításelmélet. 7. előadás Logika és számításelmélet 7. előadás Elérhetőség, fóliasorok, ajánlott irodalom Előadó: Tichler Krisztián Elérhetőség: 2-708, ktichler@inf.elte.hu Előadások itt lesznek: www.cs.elte.hu/ tichlerk Elérhetőség,

Részletesebben

Logika és számításelmélet. 12. előadás

Logika és számításelmélet. 12. előadás Logika és számításelmélet 12. előadás NP lehetséges szerkezete NP-köztes nyelv L NP-köztes, ha L NP, L P és L nem NP-teljes. Ladner tétele Ha P NP, akkor létezik NP-köztes nyelv. (biz. nélkül) NP-köztes

Részletesebben

Előfeltétel: legalább elégséges jegy Diszkrét matematika II. (GEMAK122B) tárgyból

Előfeltétel: legalább elégséges jegy Diszkrét matematika II. (GEMAK122B) tárgyból ÜTEMTERV Programozás-elmélet c. tárgyhoz (GEMAK233B, GEMAK233-B) BSc gazdaságinformatikus, programtervező informatikus alapszakok számára Óraszám: heti 2+0, (aláírás+kollokvium, 3 kredit) 2019/20-es tanév

Részletesebben

Algoritmuselmélet. Függvények nagyságrendje, elágazás és korlátozás, dinamikus programozás. Katona Gyula Y.

Algoritmuselmélet. Függvények nagyságrendje, elágazás és korlátozás, dinamikus programozás. Katona Gyula Y. Algoritmuselmélet Függvények nagyságrendje, elágazás és korlátozás, dinamikus programozás Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem

Részletesebben

Osztatlan informatikatanár szakmai zárószigorlat tételsor (témakörök szerint felsorolva) Érvényes 2018 decembertől

Osztatlan informatikatanár szakmai zárószigorlat tételsor (témakörök szerint felsorolva) Érvényes 2018 decembertől Osztatlan informatikatanár szakmai zárószigorlat tételsor (témakörök szerint felsorolva) Érvényes 018 decembertől Szakmódszertani tételsor, amennyiben szükséges az utolsó oldalon lévő táblázat alapján

Részletesebben

Formális nyelvek - 5.

Formális nyelvek - 5. Formális nyelvek - 5. Csuhaj Varjú Erzsébet Algoritmusok és Alkalmazásaik Tanszék Informatikai Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem H-1117 Budapest Pázmány Péter sétány 1/c E-mail: csuhaj@inf.elte.hu 1 Lineáris

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

Tesztkérdések az ALGORITMUSELMÉLET tárgyból, 2001/2002 2. félév

Tesztkérdések az ALGORITMUSELMÉLET tárgyból, 2001/2002 2. félév 1. oldal, összesen: 6 Tesztkérdések az ALGORITMUSELMÉLET tárgyból, 2001/2002 2. félév NÉV:... 1. Legyenek,Q,M páronként diszjunkt halmazok; /= Ř, Q > 2, M = 3. Egyszalagos, determinisztikus Turing gépnek

Részletesebben

Államvizsga kérdések a matematikus szakon, 2001.

Államvizsga kérdések a matematikus szakon, 2001. Államvizsga '01, 12. tétel: Algoritmusok bonyolultsága... 1 Államvizsga kérdések a matematikus szakon, 2001. 10. tétel : Algoritmusok bonyolultsága (Számítási modellek, véges automaták, Turinggépek, eldönthet

Részletesebben

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1 Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok

Részletesebben

Logika és számításelmélet. 7. előadás

Logika és számításelmélet. 7. előadás Logika és számításelmélet 7. előadás Elérhetőség, fóliasorok, ajánlott irodalom Előadó: Kolonits Gábor Elérhetőség: 2-708, kolomax@inf.elte.hu Előadások innen tölthetők le: www.cs.elte.hu/ tichlerk Ajánlott

Részletesebben

6. előadás A reguláris nyelvek jellemzése 2.

6. előadás A reguláris nyelvek jellemzése 2. 6. előadás A reguláris nyelvek jellemzése 2. Dr. Kallós Gábor 2014 2015 1 Tartalom A reguláris nyelvek osztályának jellemzése a körbebizonyítás Láncszabályok A 2. állítás és igazolása Ekvivalens 3-típusú

Részletesebben

Bevezetés az informatikába

Bevezetés az informatikába Bevezetés az informatikába 8. előadás Dr. Istenes Zoltán Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Programozáselmélet és Szoftvertechnológiai Tanszék Matematikus BSc - I. félév / 2008 / Budapest Dr.

Részletesebben

Problémamegoldás kereséssel. Mesterséges intelligencia március 7.

Problémamegoldás kereséssel. Mesterséges intelligencia március 7. Problémamegoldás kereséssel Mesterséges intelligencia 2014. március 7. Bevezetés Problémamegoldó ágens Kívánt állapotba vezető cselekvéseket keres Probléma megfogalmazása Megoldás megfogalmazása Keresési

Részletesebben

Információk. Ismétlés II. Ismétlés. Ismétlés III. A PROGRAMOZÁS ALAPJAI 2. Készítette: Vénné Meskó Katalin. Algoritmus. Algoritmus ábrázolása

Információk. Ismétlés II. Ismétlés. Ismétlés III. A PROGRAMOZÁS ALAPJAI 2. Készítette: Vénné Meskó Katalin. Algoritmus. Algoritmus ábrázolása 1 Információk 2 A PROGRAMOZÁS ALAPJAI 2. Készítette: Vénné Meskó Katalin Elérhetőség mesko.katalin@tfk.kefo.hu Fogadóóra: szerda 9:50-10:35 Számonkérés időpontok Április 25. 9 00 Május 17. 9 00 Június

Részletesebben

Formális Nyelvek - 1. Előadás

Formális Nyelvek - 1. Előadás Formális Nyelvek - 1. Előadás Csuhaj Varjú Erzsébet Algoritmusok és Alkalmazásaik Tanszék Informatikai Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem H-1117 Budapest Pázmány Péter sétány 1/c E-mail: csuhaj@inf.elte.hu

Részletesebben

Dicsőségtabló Beadós programozási feladatok

Dicsőségtabló Beadós programozási feladatok Dicsőségtabló Beadós programozási feladatok Hallgatói munkák 2017 2018 Szavak kiírása ábécé felett Készítő: Maurer Márton (GI, nappali, 2017) Elméleti háttér Adott véges Ʃ ábécé felett megszámlálhatóan

Részletesebben

Bevezetés az informatikába

Bevezetés az informatikába Bevezetés az informatikába 6. előadás Dr. Istenes Zoltán Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Programozáselmélet és Szoftvertechnológiai Tanszék Matematikus BSc - I. félév / 2008 / Budapest Dr.

Részletesebben

Bevezetés az algebrába az egész számok

Bevezetés az algebrába az egész számok Bevezetés az algebrába az egész számok Wettl Ferenc V. 15-09-11 Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V. 15-09-11 1 / 32 Jelölések 1 Egész számok és sorozataik 2 Oszthatóság 3 Közös osztók

Részletesebben

Alap fatranszformátorok II

Alap fatranszformátorok II Alap fatranszformátorok II Vágvölgyi Sándor Fülöp Zoltán és Vágvölgyi Sándor [2, 3] közös eredményeit ismertetjük. Fogalmak, jelölések A Σ feletti alaptermek TA = (T Σ, Σ) Σ algebráját tekintjük. Minden

Részletesebben

Algebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev

Algebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev Algebra és számelmélet 3 előadás Nevezetes számelméleti problémák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Számok felbontása hatványok összegére 2. Prímszámok 3. Algebrai és transzcendens számok Tartalom

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK

ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK AZ ALGEBRAI KIFEJEZÉS FOGALMÁNAK KIALAKÍTÁSA (7-9. OSZTÁLY) Racionális algebrai kifejezés (betűs kifejezés): betűket és számokat a négy alapművelet véges sokszori alkalmazásával

Részletesebben

Matematika alapjai; Feladatok

Matematika alapjai; Feladatok Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \

Részletesebben

7. előadás Környezetfüggetlen nyelvtanok

7. előadás Környezetfüggetlen nyelvtanok 7. előadás dr. Kallós Gábor 2017 2018 Tartalom Bevezető Deriváció Előállított szó és nyelv Levezetési sorozat Reguláris nyelvtanok Reguláris nyelvekre vonatkozó 2. ekvivalencia tétel Konstrukciók (NVA

Részletesebben

5. előadás Reguláris kifejezések, a reguláris nyelvek jellemzése 1.

5. előadás Reguláris kifejezések, a reguláris nyelvek jellemzése 1. 5. előadás Reguláris kifejezések, a reguláris nyelvek jellemzése 1. Dr. Kallós Gábor 2014 2015 1 Tartalom Reguláris kifejezések Meghatározás, tulajdonságok Kapcsolat a reguláris nyelvekkel A reguláris

Részletesebben

Kvantum-számítógépek, univerzalitás és véges csoportok

Kvantum-számítógépek, univerzalitás és véges csoportok Kvantum-számítógépek, univerzalitás és véges csoportok Ivanyos Gábor MTA SZTAKI BME Matematikai Modellalkotás szeminárium, 2013 szeptember 24. Kvantum bit Kvantum bitek Kvantum kapuk Kvantum-áramkörök

Részletesebben

Számelmélet (2017. február 8.) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla

Számelmélet (2017. február 8.) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla Számelmélet (2017 február 8) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla 1 Oszthatóság 1 Definíció Legyen a, b Z Az a osztója b-nek, ha létezik olyan c Z egész szám, melyre ac = b Jelölése: a b 2 Példa 3 12, 2

Részletesebben

Modern irányzatok a bonyolultságelméletben: éles korlátok és dichotómia tételek

Modern irányzatok a bonyolultságelméletben: éles korlátok és dichotómia tételek Modern irányzatok a bonyolultságelméletben: éles korlátok és dichotómia tételek Marx Dániel Paraméteres Algoritmusok és Bonyolultság Kutatócsoport Informatikai Kutatólaboratórium SZTAKI 05. június 5. Kombinatorikus

Részletesebben

Kaposi Ambrus. Informatikai Kar. Pannonhalmi Bencés Gimnázium november 24.

Kaposi Ambrus. Informatikai Kar. Pannonhalmi Bencés Gimnázium november 24. Bizonyítás és programozás Kaposi Ambrus Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Pannonhalmi Bencés Gimnázium 2017. november 24. A tökéletes operációs rendszer (i) BeOS Plan9 2 / 22 A tökéletes operációs

Részletesebben

Logika és számításelmélet. 11. előadás

Logika és számításelmélet. 11. előadás Logika és számításelmélet 11. előadás NP-teljesség Emlékeztetőül: NP-teljes nyelv Egy L probléma NP-teljes (a polinom idejű visszavezetésre nézve), ha L NP L NP-nehéz, azaz minden L NP esetén L p L. Azaz

Részletesebben

Kibernetika korábbi vizsga zárthelyi dolgozatokból válogatott tesztkérdések Figyelem! Az alábbi tesztek csak mintául szolgálnak a tesztkérdések megoldásához, azaz a bemagolásuk nem jelenti a tananyag elsajátítását

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben

MintaFeladatok 1.ZH Megoldások

MintaFeladatok 1.ZH Megoldások Kérem e-mail-ben jelezze, ha hibát talál: (veanna@inf.elte.hu, vagy veanna@elte.hu ) 1. feladat L1 = {ab,ba,b} L2=b*ab* L3 = {a, bb, aba} L1L3 = {aba, abbb, ababa, baa, babb, baaba, ba, bbb, baba} (ab

Részletesebben

Programozás alapjai (ANSI C)

Programozás alapjai (ANSI C) Programozás alapjai (ANSI C) 1. Előadás vázlat A számítógép és programozása Dr. Baksáné dr. Varga Erika adjunktus Miskolci Egyetem, Informatikai Intézet Általános Informatikai Intézeti Tanszék www.iit.uni-miskolc.hu

Részletesebben

Leképezések. Leképezések tulajdonságai. Számosságok.

Leképezések. Leképezések tulajdonságai. Számosságok. Leképezések Leképezések tulajdonságai. Számosságok. 1. Leképezések tulajdonságai A továbbiakban legyen A és B két tetszőleges halmaz. Idézzünk fel néhány definíciót. 1. Definíció (Emlékeztető). Relációknak

Részletesebben

Kiegészítő részelőadás 1. Az algoritmusok hatékonyságának mérése

Kiegészítő részelőadás 1. Az algoritmusok hatékonyságának mérése Kiegészítő részelőadás 1. Az algoritmusok hatékonyságának mérése Dr. Kallós Gábor 2014 2015 1 Az Ordó jelölés Azt mondjuk, hogy az f(n) függvény eleme az Ordó(g(n)) halmaznak, ha van olyan c konstans (c

Részletesebben

1. Az informatika alapjai (vezetője: Dr. Dömösi Pál, DSc, egyetemi tanár) Kredit

1. Az informatika alapjai (vezetője: Dr. Dömösi Pál, DSc, egyetemi tanár) Kredit 2. MELLÉKLET Az oktatási koncepciója 1. Az informatika alapjai (vezetője: Dr. Dömösi Pál, DSc, egyetemi tanár) Az informatika alapjai Tud. Min. 1 Automata hálózatok 2 V Dr. Dömösi Pál DSc 2 Automaták és

Részletesebben

A SZÁMÍTÁSTUDOMÁNY ALAPJAI

A SZÁMÍTÁSTUDOMÁNY ALAPJAI Írta: ÉSIK ZOLTÁN A SZÁMÍTÁSTUDOMÁNY ALAPJAI Egyetemi tananyag 2011 COPYRIGHT: 2011 2016, Dr. Ésik Zoltán, Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar Számítástudomány Alapjai Tanszék

Részletesebben

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Diszkrét matematika 2. estis képzés Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 4-6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Algoritmuselmélet. Hashelés. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem

Algoritmuselmélet. Hashelés. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Algoritmuselmélet Hashelés Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 9. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 9. előadás

Részletesebben

Logika és számításelmélet

Logika és számításelmélet Logika és számításelmélet 12. előadás Irányítatlan/irányított Hamilton út/kör Hamilton út/kör Adott egy G = (V, E) irányítatlan / irányított gráf ( V = n). Egy P = v i1,..., v in felsorolása a csúcsoknak

Részletesebben

Formális nyelvek és automaták

Formális nyelvek és automaták Formális nyelvek és automaták Nagy Sára gyakorlatai alapján Készítette: Nagy Krisztián 2. gyakorlat Ismétlés: Megjegyzés: Az ismétlés egy része nem szerepel a dokumentumban, mivel lényegében a teljes 1.

Részletesebben

Csempe átíró nyelvtanok

Csempe átíró nyelvtanok Csempe átíró nyelvtanok Tile rewriting grammars Németh L. Zoltán Számítástudomány Alapjai Tanszék SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 1. előadás - 2006. április 10. Képek (pictures) I. Alapdefiníciók ábécé:

Részletesebben

ALGEBRAI NYELV- ÉS KÓDELMÉLET. Babcsányi István

ALGEBRAI NYELV- ÉS KÓDELMÉLET. Babcsányi István ALGEBRAI NYELV- ÉS KÓDELMÉLET Babcsányi István 2013 Tartalomjegyzék ELŐSZÓ................................. 5 I. NYELVEK 7 1. Nyelvek algebrája 9 1.1. Műveletek nyelvekkel........................ 9 1.2.

Részletesebben

Formális módszerek GM_IN003_1 Program verifikálás, formalizmusok

Formális módszerek GM_IN003_1 Program verifikálás, formalizmusok Formális módszerek GM_IN003_1 Program verifikálás, formalizmusok Program verifikálás Konkurens programozási megoldások terjedése -> verifikálás szükséges, (nehéz) logika Legszélesebb körben alkalmazott

Részletesebben

Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 13.

Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 13. Algoritmuselmélet NP-teljes problémák Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 13. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet

Részletesebben

MintaFeladatok 1.ZH Megoldások

MintaFeladatok 1.ZH Megoldások Kérem e-mail-ben jelezze, ha hibát talál: (veanna@inf.elte.hu, vagy veanna@elte.hu ) 1. feladat L1 = {ab,ba,b} L2=b*ab* L3 = {a, bb, aba} L1L3 = {aba, abbb, ababa, baa, babb, baaba, ba, bbb, baba} (ab+b)*

Részletesebben

Formális nyelvek és gépek (definíciós és tétel lista - 09/10/2)

Formális nyelvek és gépek (definíciós és tétel lista - 09/10/2) Formális nyelvek és gépek (definíciós és tétel lista - 09/10/2) ábécé: Ábécének nevezünk egy tetszőleges véges szimbólumhalmazt. Jelölése: X, Y betű: Az ábécé elemeit betűknek hívjuk. szó: Az X ábécé elemeinek

Részletesebben

Shor kvantum-algoritmusa diszkrét logaritmusra

Shor kvantum-algoritmusa diszkrét logaritmusra Ivanyos Gábor MTA SZTAKI Debrecen, 20 január 2. Tartalom és kvantum-áramkörök 2 A diszkrét log probléma Kvantum bit Állapot: a B = C 2 komplex euklideszi tér egy egységvektora: az a 0 + b szuperpozíció

Részletesebben

Atomataelmélet: A Rabin Scott-automata

Atomataelmélet: A Rabin Scott-automata A 19. óra vázlata: Atomataelmélet: A Rabin Scott-automata Az eddigieken a formális nyelveket generatív szempontból vizsgáltuk, vagyis a nyelvtan (generatív grammatika) szemszögéből. A generatív grammatika

Részletesebben

Programozás I. 1. előadás: Algoritmusok alapjai. Sergyán Szabolcs

Programozás I. 1. előadás: Algoritmusok alapjai. Sergyán Szabolcs Programozás I. 1. előadás: Algoritmusok alapjai Sergyán Szabolcs sergyan.szabolcs@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar Alkalmazott Informatikai Intézet 2015. szeptember 7. Sergyán

Részletesebben

Predikátumkalkulus. 1. Bevezet. 2. Predikátumkalkulus, formalizálás. Predikátumkalkulus alapfogalmai, formalizálás, tagadás, logikailag igaz formulák.

Predikátumkalkulus. 1. Bevezet. 2. Predikátumkalkulus, formalizálás. Predikátumkalkulus alapfogalmai, formalizálás, tagadás, logikailag igaz formulák. Predikátumkalkulus Predikátumkalkulus alapfogalmai, formalizálás, tagadás, logikailag igaz formulák. 1. Bevezet Nézzük meg a következ két kijelentést: Minden almához tartozik egy fa, amir l leesett. Bármely

Részletesebben

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0 I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)

Részletesebben

Emlékeztető: LR(0) elemzés. LR elemzések (SLR(1) és LR(1) elemzések)

Emlékeztető: LR(0) elemzés. LR elemzések (SLR(1) és LR(1) elemzések) Emlékeztető Emlékeztető: LR(0) elemzés A lexikális által előállított szimbólumsorozatot balról jobbra olvassuk, a szimbólumokat az vermébe tesszük. LR elemzések (SLR() és LR() elemzések) Fordítóprogramok

Részletesebben

Szekvenciális hálózatok és automaták

Szekvenciális hálózatok és automaták Szekvenciális hálózatok a kombinációs hálózatokból jöhetnek létre tárolási tulajdonságok hozzáadásával. A tárolás megvalósítása történhet a kapcsolás logikáját képező kombinációs hálózat kimeneteinek visszacsatolásával

Részletesebben

Algoritmusok bonyolultsága

Algoritmusok bonyolultsága Algoritmusok bonyolultsága 11. előadás http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/komplex.htm () 1 / 1 NP-telesség Egy L nyelv NP-teles, ha L NP és minden L NP-re L L. Egy Π döntési feladat NP-teles, ha Π NP és

Részletesebben

ALAPFOGALMAK 1. A reláció az program programfüggvénye, ha. Azt mondjuk, hogy az feladat szigorúbb, mint az feladat, ha

ALAPFOGALMAK 1. A reláció az program programfüggvénye, ha. Azt mondjuk, hogy az feladat szigorúbb, mint az feladat, ha ALAPFOGALMAK 1 Á l l a p o t t é r Legyen I egy véges halmaz és legyenek A i, i I tetszőleges véges vagy megszámlálható, nem üres halmazok Ekkor az A= A i halmazt állapottérnek, az A i halmazokat pedig

Részletesebben

Norma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei

Norma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei Indukált mátrixnorma Definíció A. M : R n n R mátrixnormát a. V : R n R vektornorma által indukált mátrixnormának nevezzük, ha A M = max { Ax V : x V = 1}. Az indukált mátrixnorma geometriai jelentése:

Részletesebben

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2012

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2012 2012 2. Számhalmazok (a valós számok halmaza és részhalmazai), oszthatósággal kapcsolatos problémák, számrendszerek. 4. Hatványozás, hatványfogalom kiterjesztése, azonosságok. Gyökvonás és azonosságai,

Részletesebben