Tranziens káosz klasszikus jelenségekben:

Átírás

1 Tranziens káosz klasszikus jelenségekben: utózengés, Poincaré-visszatérés, csőbeli turbulencia Tél Tamás ELTE Elméleti Fizikai Tanszék

2 Mi a tranziens káosz? x a) t Véges élettartamú káosz x b) t Véletlenszerűen választott kezdőfeltételekre létezik az élettartamok egy P(t) eloszlása. Ez az eloszlás exponenciális: P(t) ~ exp(- κt), t>>1/κ, κ : szökési ráta (l. rádioaktív bomlás). Az átlagos élettartam becsülhető mint τ 1/ κ

3 A tranziens káoszhoz tartozik egy soha (időben se előre se hátra) el nem szökő halmaz a fázistérben, a kaotikus nyereghalmaz. Ezen a mozgás örökké kaotikus: kaotikus nyereghalmaz és eloszlása kaotikus attraktor es eloszlása

4 A kaotikus nyereg v n 0,5 0,5 0,5 x n 0,5 kettős Cantor-halmaz: nullmértékű es nem vonzó. A kaotikus nyereg gyakorlatilag nem található el, de a közelébe el lehet jutni. Az onnét lassan eltávozó trajektóriák adják az exponenciális lecsengést.

5 A κ szökési ráta a nyereghalmaz jellemzője, független a kezdőfeltételek választásától. A nullmértékű, nem vonzó halmaz megfigyelhetővé válik az őt elhagyó tranzienseken keresztül. A tranziens káosz egyfajta metastabil állapot. A nyereghalmaz kísérletben is előállítható Gerjesztett inga Leven, Selent, Chaos. Sol. Fract. 4, 2217 (1994), Flepp,Jánosi,Tél, PRL (1994) Végtelen sok instabil periodikus mozgást tartalmaz.

6 Alapító mesterek C. Grebogi E. Ott J. Yorke Phys. Rev. Lett. 48, 1507 (1982) H. Kantz P. Grassberger Physica D 17, 75 (1985)

7 Kantz--Grassberger-összefüggés: D=1-κ/λ, D: dimenzió az instabil irányban, κ: szökési ráta, λ: Ljapunov-exponens. Ez a geometria és a dinamika kapcsolata. P. Szépfalusy, T. Tél, Phys. Rev. A 34 (1986) Mára a tranziens káosznak számos alkalmazása van, : a shimmiző keréktől a nanostruktúrákig.

8 Lyukas biliárdok A zárt biliárd néhány ütközés sok ütközés után a permanens (konzervatív) káosz egyik mintapéldája. Ha lyukat fúrunk a lapba vagy a falba, nyitott rendszerré válik -> tranziens káosz

9 Zárt biliárd fázistere egyenletes káoszt mutat Lyukas, nyitott biliárd fázisterében megjelenik a kaotikus nyereghalmaz.

10 Ha a biliárd peremébe egy nyílást fúrunk, exponenciális lecsengést kapunk. A t élettartam bekövetkezési valószínűsége ahol κ szökési ráta. Kis, méretű nyílás esetén P(t) ~ exp(-κt) κ kicsi. Az átlagos élettartam κ=c /(π S) τ=π S/(c ). S: a billiárd területe c: a részecskék sebessége (Nagyon hosszú időkre a lecsengés lehet hatványfüggvény szerinti.) Legrand, Sornette, Chaos, 1990 Nemkaotikus biliárdokban a lecsengés végig hatványfüggvény.

11 Az ütközések számát vizsgálva, n ütközés megvalósulásának valószínűsége ahol a szökési ráta P(n) ~ exp(-κn) κ= /P, P: a biliárd kerülete Érvényes minden kaotikus biliárdra kis lyuk, <<P esetén. 3D biliárdokban, valódi időben τ=4 V/(c A), V: a biliárd térfogata A: a lyuk felülete

12 A hangvesenyterem 3D biliárd! A berlini operaház hosszmetszete Mivel a hang hullámhossza jóval kisebb, mint a terem mérete -> geometriai hangtan, hangsugarak A részecskék c sebessége a hangsebesség. A terem alakja szabálytalan -> a 3D biliárd kaotikus

13 A Sabine-képlet Wallace C. Sabine ( ), a teremakusztika megalapítója: A hang minősége erősen függ az utózengéstől. Ha a hang gyorsan lecseng, a hangot üresnek, tompának érezzük. A forrás kikapcsolása után a hang intenzitása exponenciálisan csökken. Utózengési idő T: az az idő, mely alatt a hang intenzitása egy milliomod részére csökken (10-6 os szorzó, 60dB). Mérései szerint 1898: T=0.16 V/A (SI rendszerben) V: a terem térfogata, A az elnyelő felület (vagy ekvivalens felület) nagysága. T Független a forrás helyétől, a terem részleteitől, ha a terem jó keverő, Tarnóczy T.: Építészeti hangtan, 1948

14 Sabine megfigyelései szerint egy jó hangversenyteremben: T~ 2 sec Az első, ebben a szellemben tervezett Terem a Boston Music Hall, Sabine, 1900: Vegyük észre: T=6 ln10 τ=6 ln 10 4 V/(c A)=0.16V/A (c=340m/s-mal). A Sabine-képlet a történetileg első alkalmazása a tranziens káosz fogalmának (igazából az energia szökik) és a lyukas biliárdoknak (ha ajtó nincs nyitva, energiaelnyelő felületek révén). A hangversenytermeket hangolják a kellemes T eléréséig.

15 Poincaré-visszatérések J. H. Poincaré ( ) Poincaré-féle visszatérési tétel (1892): Zárt konzervatív rendszerek majdnem minden trajektóriája végtelen sokszor visszatér a kezdőfeltétel tetszőleges ε sugarú környezetébe a fázistérben. A háromtest-probléma vizsgálata során Poincaré ezt a tételt a zártság kritériumaként kezelte. J. Barrow-Green, Poincaré and the Three Body Problem, Am. Math. Soc. 1997

16 E. Zermelo ( ) Zermelo-paradoxon: A levegőt kezdetben nyomjuk össze egy szoba sarkába. Ezután engedjük szabadon változni. A Poincaré-tétel értelmében az össze molekula egyszer visszajut a szoba sarkába, méghozzá az eredetinek közel megfelelő sebességgel. Ezért a rendszer entrópiája is közelítőleg újra felveszi kezdeti értékét, s ez ellentmond a második főtételnek, vagy a Boltzmann-féle H-tételnek. ~1896

17 L. Boltzmann ( ) Teljesen érthetetlen számomra hogy hogyan juthat bárki a valószínűségi elmélet elutasítására azon az alapon, hogy valamely más gondolatmenet szerint kivételeknek borzasztó hosszú időnként elő kell fordulniuk, hiszen maga a valószínűségi elmélet is ugyanezt állítja. Boltzmann Zermelo-hoz, 1897 In other words, the impossibility of an uncompensated decrease of entropy seems to be reduced to an improbability. Gibbs 1875, Boltzmann idézi 1890 körül, Lebowitz, Rev. Mod. Phys. 71, 346 (1999)

18 A macska leképezés: x' = 2x + v mod 1 v' = x + v mod 1 Egy egyszerű kaotikus leképezés Hatása: v n n = 1 v n = 0 n v n n = 1 x n x n x n

19 A macska leképezés hatása Poincaré arcképére Crutchfield et al., Scientific American, Dec Poincarévisszatérés

20 Egzakt állítás: Kac-lemma A T átlagos visszatérési idő a fázistér egy I tartományába: T=t 0 /µ(i), t 0 : mintavételezési idő, µ(i): az I tartomány mértéke (konzervatív rendszerben fázis térfogata) Kac, 1959 Szemléletes bizonyítás: Tekintsük az x i idősort, melynek értékeit t 0 időnként rögzítettük i=n>>1-ig. Az egyes visszatérési idők az I tartományba: T 1, T 2,. A vizsgált intervallumban N r visszatérés történt I-be, azaz az összes pontból N r került I-be. A teljes eltelt idő: Σ T i = T N r = N t 0 -> T=t 0 /(N r /N) Ergodikusság: az I-be eső pontok relatív száma az I tartomány µ(i) mértéke µ(i)=n r /N. A Kac-lemma érvényes bármilyen méretű I tartományra.

21 A visszatérési idő becslése egy gáz Planck-állandó méretű fáziscellájába T=t 0 /µ(i), µ(i)=[h/(l m v)] 3f I=fáziscella Adatok: h=10-34 Js Planck-állandó L=1m a szoba mérete m= kg proton tömeg v=1000m/s átlagsebesség szobahőmérsékleten f= Avogadro-szám t 0 =10-10 s átlagos ütközési idő Az eredmény: T= s Az Univerzum élettartama T=10 17 s

22 A káosz megjelenése óta Alacsony dimenziós rendszerekben az átlagos visszatérés kivárható. Poincaré-visszatérési idők p(t) eloszlását érdemes vizsgálni I-be. Ez az eloszlás fontos analizátora a kaotikus rendszernek Chirikov, Shepelyansky, 1984 A tapasztalat szerint, diszkrét időben, az n lépés utáni visszatérés valószínűsége p (n) ~ exp(-γ n), γ : lecsengési ráta. Az átlagos visszatérési idő < n > = 1/ µ(i) Kac-lemma 1959 disszipatív rendszerre is érvényes. γ 1/< n > = µ(i), a lecsengési ráta független µ(i)-től, véges méretű I-re, de I-nek függvénye.

23 Visszatérés és lyukasztás Tekintsük azt a kilyukasztott rendszert, melyben a lyuk ugyanaz, mint a Poincaré-visszatéréshez használt I tartomány. Hasonlítsuk össze a visszatérési idők és a szökési idők eloszlását (diszkrét idejű eset): Visszatérés Szökés: n>n* -re n>n* r e -re p (n) =g exp(-γ n) P (n) =G exp(-κ n) < n > = 1/ µ(i) τ, n* e, G a kezdőfeltételek eloszlásától is függ n* r n* e, < n > τ, g G

24 A kaotikus nyereghalmaz A kilyukasztott Hénon-attraktor (a=1.4, b=0.3) kaotikus nyerge, a I lyuk egy 0.05 sugarú kör. Ugyanezt a nyereghalmazt kell azoknak a trajektóriáknak is követniük, melyek hosszú idő után jutnak el az I visszatérési tartományba. Ezért γ = κ

25 Numerikus eredmény (a) p e (n), p r (n) n * r (b) p(n)exp(γn) n * e n piros: visszatérés, fekete: szökés, a kezdeti eloszlás γ= a természetes eloszlás a Hénon-attraktoron, κ=0.055

26 Speciális kezdőfeltétel, mely teljes egyezéshez vezet Osszunk el pontokat a zárt rendszer természetes eloszlásának megfelelően a I lyuk belsejében. Képezzük ennek a M leképezés szerinti képét, s a megfelelő eloszlást tekintsük a kilyukasztott rendszerben vizsgált tranziens káosz kezdőfeltétel-eloszlásának. escape I M(I) 1 iteration (closed map) T 1 n- iterations 1 Γ Ezzel a kétfajta eloszlás pontosan megegyezik: p (n) = P (n).

27 Numerikus eredmény: 10-1 p r (n), p e (n) n Piros: viszatérés, zöld körök: szökés a speciális kezdőfeltétellel Altmann, Tél, PRL 2008, PRE 2009 E. Altmann

28 A turbulencia kialakulása csövekben Régi probléma, az első alapos vizsgálója O. Reynolds University of Manchester, 1883 A releváns paraméter: Re= U D/ν U: átlagsebesség, D: átmérő, ν kinematikai viszkozitás

29 Turbulencia egy kritikus Re c Reynolds-szám fölött alakul ki Budó: Kísérleti Fizika I, 1968 Re c =1160 Németh E.: Hidrodinamika, Landau-Lifsic, Hidrodinamika, 1953 (magyar 1980) P. Kundu: Fluid Mechanics, Lajos T.: Az áramlástan alapjai,

30 Hiszterézis Massey: Mechanics of Fluids, 1975 A-nál alsó, C-nél felső kritikus Reynolds-szám. Ezek értéke és a CD meredekség függ a fal érdességétől (a meredekség érdes fal esetén nagyobb). A turbulencia túlhűthető. Az alsó kritikus érték tipikus esetekben 2000 körüli.

31 A modern szemlélet A turbulenciába történő átmenet akkor történik meg a Re=2000 körüli Reynolds-számok tartományában, ha valamilyen kezdeti zavart alkalmazunk, pl. folyadékot injektálunk. Kritikus Reynolds-szám csak a zavar erősségének függvényében értelmezhető.. A turbulencia kialakulásának tehát kettős feltétele van: mind a zavar erősségének, mind a Reynolds-számnak eléggé nagynak kell lennie. A turbulencia kettős köszöbe sematikusan, S. Grossmann, Rev. Mod. Phys. 72, 603 (1999).

32 A küszöb ráadásul fraktál szerkezetű Mérés: Darbyshire, Mullin, J. Fluid. Mech. 289, 83 (1995) Numerika: Schneider et al, PRL 99, 2007

33 Pöffök A turbulencia kialakulása során (Re kb ig) a turbulens viselkedés nem tölti be a csövet, hanem csomagokba, pöffökbe koncentrálódik. Minden egyes perturbáció egy pöfföt kelt, a pöff egyfajta gerjesztés. Szimulálás Egyenletesen mozognak: kb. U-val Kísérletben A pöff hossza kb 20D

34 A pöffök élettartama Elméleti háttér: A lamináris parabola profil minden Reynolds-számra lineárisan stabil Brosa, 1989 Brosa, Grossmann, 1999 Grossmann, 1999 A parabola profil az áramlás egyszerű időfüggetlen attraktora, egy fixpont a végtelen dimenziós fázistérben. Más egyszerű időfüggetlen vagy periodikus attraktor (pl. vonzó haladó hullám) nem ismeretes. A turbulencia megfelelhetne egy kaotikus attraktornak, ha élettartama végtelen lenne. A csőbeli turbulencia azonban tranziens káosz jellegű. B. Eckhardt, Nonlinearity 21 (2008)

35 Kísérletek.Hoszú csövek, L=13-30 m Delft, Manchester, Göttingen Átmérő D=3-10 mm, a közeg víz. PIV berendezés a sebességprofilokhoz Mért profilok: Laminar flow Turbulent

36 Az pöff-élettartam mérése Egyszerű módszer: perturbácio: folyadék injektálás Ha a pöff eléri a a cső végét, a kifolyás lassabb, mint a lamináris állapotban, mert a sebességprofilok mások A kísérletben pöff nem keletkezik gerjesztés nélkül Re=2700-ig.

37 Mért pöff-élettartam eloszlások Exponenciális lecsengés P(t) ~ exp(- κt) A szökési ráta a Reynolds-szám függvénye κ=κ(re) A 2006-os év: Peixinho, Mullin, PRL 96 (2006) κ(re)=re c -Re, Re c =1750 Pontosabb mérés: Hof, Westerweel, Schneider, Eckhardt Nature 443 (2006) κ(re)~exp(-b Re), b=0.034.

38 A legújabb kísérletek Pipe flow Duct flow 1 decay rate 1/τ E-3 1E-4 1E-5 1E-6 1E-7 Super-exponential Fit Willis & Kersweel PRL 2007 DNS Willis & Kersweel PRL 2007 Hof et al. Nature 2006 D = 10 mm (Delft) D = 4 mm (Gött, Man) 1E Reynolds number Re decay rate 1/τ E-3 1E-4 1E Reynolds Number Re Több kísérleti eredmény összeillesztése Hof, de Lozar, Kuik, Westerweell, PRL 101 (2008) Szuper-exponenciális: Piros görbe: κ(re) ~exp[-exp(c1 Re)] c1= Re-függés ugyanaz, még c1 is.

39 Hol tartunk? A csőbeli turbulencia a mérhető tartományon tranziens. Nincs turbulens attraktor, hanem egy turbulens kaotikus nyereghalmaz vezérli a dinamikát. A mért τ=1/κ(re) ~exp[exp(c1 Re)] képletbe Re=2100-at írva, már több tíz év adódik (U=0.5m/s, a D/U=10-2 s), az Re=2050-es mérés 10 nap. Alig lehet már finomítani az eredményt a szuper-exponenciális függés miatt. Hof, de Lozar, Göttingen B. Hof A de Lozar

40 A kaotikus nyereghalmaz szerkezete A nyereghalmaz egy végtelen dimenziós térben létezik (az elképzelhető csőbeli áramlások terében). A nyereghalmaz elemei mindig periodikus, de instabil mozgások. Léteznek-e a csőben instabil haladó hullámok? Az elsőket már ki is mérték Hof et al, Science 305 (2004) Ambiciózus terv: a nyereghalmaz leírása véges számú instabil hullám alapján: periodikus pálya sorfejtés

41 Melyik az igazi turbulencia? A turbulencia kialakulása hasonló hosszú tranziensekben mutatkozik meg más áramlásokban is: Ezek a turbulencia egy sajátos osztályát definiálják, közös vonásuk a fal, és ezzel együtt a nyírás fontos szerepe. Itt a határréteg az egész folyadékra kiterjed. Nem azonos a kifejlett, homogén izotróp (Kolmogorov-féle) turbulenciával. Ez a cső belsejében Re=10 5 körül jelenne meg.

42 Más turbulenciák Az első felismerés: Azóta számos más rendszerben is azt találtak (KS, komplex GL, reakció-diffúzió egyenletek), hogy a térben és időben szabálytalan viselkedés hosszú, de véges ideig tart (az attraktor egy egyszerű állapot). Az ilyen mintázatképződési turbulenciákban κ a rendszer L lineáris méretével sok esetben drasztikusan csökken, κ(l) ~L -a vagy exp(-a L) Tél. Lai, Phys. Rep. 460 (2008) Létezik a turbulenciák általános elmélete?