Ez a fejezet a 3D egyenletek. célszerû megismerkednie a 6. fejezet. tartalmával. x A z(x,y) egyenlet 3D grafikonjának

Átírás

1 10. fejezet: 3D ábrázolás 10 A 3D ábrázolás áttekintése D egyenletek ábrázolásának lépései A 3D és a függvényábrázolás közötti eltérések A kurzor háromdimenziós mozgatása A nézõszög elforgatása és/vagy megemelése D grafikon interaktív animálása A tengely és az ábrázolási mód megváltoztatása Szintvonal-grafikonok Példa: komplex függvény abszolútértékét szemléltetõ felület szintvonalai Implicit függvények grafikonjai Példa: Egy bonyolultabb egyenlet implicit függvényének grafikonja Ez a fejezet a 3D egyenletek Z TI-89 / TI-92 Plus kalkulátoron való (x,y,z) ábrázolását ismerteti. Elolvasása elõtt célszerû megismerkednie a 6. fejezet z (A függvényábrázolás alapjai) tartalmával. x A z(x,y) egyenlet 3D grafikonjának y egy pontját az itt bemutatott módon definiáljuk. A részletezõ nézet (Expanded view) lehetõvé teszi bármely 3D grafikon kinagyítását. Például: Normál nézet Részletezõ nézet Tanács: A grafikon az x, y vagy z tengely mentén az X, Y vagy Z lenyomásával ábrázolható. Tanács: Az egyik formátumstílusból a következõre történõ átváltáshoz (az IMPLICIT PLOT kihagyásával), nyomja meg a következõ gombot: TI-89: j [F] TI-92 Plus: F Ez megtartja az aktuális nézetet (akár részletezõ, akár Megjegyzés: normál). Az IMPLICIT PLOT-ra való átváltáshoz (a GRAPH FORMATS párbeszédpanelen keresztül), nyomja meg a következõ gombot: TI-92 Plus: F A normál és részletezõ nézetet az p gombbal lehet váltani (az p a szorzás gomb, nem az X betû). 3D grafikon ábrázolásakor automatikusan a részletezõ nézet adódik, ha: Ön a grafikonformátum stílust CONTOUR LEVELS vagy IMPLICIT PLOT értékre állítja vagy változtatja. Az elõzõ grafikon a részletezõ nézetet alkalmazta. Ha Ön kurzorgomb megnyomásával animálja a grafikont, a képernyõ automatikusan normál nézetbe kapcsol vissza. Részletezõ nézetben nem animálhatók a grafikonok. 10. fejezet: 3D ábrázolás 153

2 A 3D ábrázolás áttekintése Ábrázolja a z(x,y) = (xò y ì yò x) / 390 3D-egyenletet. Animálja a grafikont a nézõszöget vezérlõ "eye" ablakváltozó értékeinek interaktív változtatásával. Ezután tekintse meg a grafikont más grafikonstílusokban is. Lépések ³ TI-89 Billentyûk TI-92 Plus Billentyûk Képernyõ 1. Írassa ki a MODE párbeszédablakot. A Graph üzemmódhoz válassza a 3D menüpontot. 2. Jelenítse meg és törölje az Y= szerkesztõt. Ezután definiálja a következõ 3D egyenletet: z1(x,y) = (xò y ì yò x) / 390. Figyelje meg az implicit szorzást az egyenlet beadásakor. 3. Állítsa úgy át a grafikon formátumát, hogy a tengelyek láthatók és feliratozva legyenek. Állítsa be a Style = WIRE FRAME értéket is. (WIRE FRAME = drótváz) Mindegyik grafikonformátum stílus animálható, de a WIRE FRAME a leggyorsabb. 4. Válassza ki a ZoomStd-ot, amely automatikusan ábrázolja az egyenletet. Az egyenlet kiértékelése közben (még ábrázolása elõtt) a képernyõ bal felsõ sarkában látható a "kiértékeltségi százalék". Megjegyzés: Ha a kalkulátoron már ábrázoltak 3D egyenletet, a grafikon részletezõ nézetben jelenhet meg. Ha Ön animálja a grafikont, a képernyõ automatikusan normál nézetbe kapcsol vissza. (Az animáció kivételével minden müvelet elvégezhetõ normál és részletezõ nézetben egyaránt.) 5. Animálja a grafikont az eyef ablakváltozó értékének csökkentésével. Dés Cbefolyásolhatja eyeq és eyeψ értékét, de kevésbé, mint az eyef értékét. A grafikon folyamatos animálásához nyomja le, majd kb. 1 másodpercig tartsa lenyomva a kurzort. Ezután engedje fel. Az animálás az lenyomásával állítható le. 3 B 5 # ƒ8 cxz3y YZ3Xd e390 Í DB2 DB2 DB1 3 B 5 # ƒ8 cxz3y YZ3Xd e390 F DB2 DB2 DB1 6 6 p (A p gombbal váltogathatja a részletezõ és a normál nézetet.) DDDD DDDD p (A p gombbal váltogathatja a részletezõ és a normál nézetet.) DDDD DDDD fejezet: 3D ábrázolás

3 Lépések ³ TI-89 Billentyûk TI-92 Plus Billentyûk Képernyõ 6. Állítsa vissza a grafikont az eredeti helyzetébe. Ezután vigye körbe a nézõszöget a nézõpálya mentén. A nézõpályáról szóló részletes leírást a 164. oldalon találja meg. 7. Tekintse meg a grafikont az x- tengely, y-tengely és z-tengely mentén. 0 (nulla, nem az O betû) AAA X 0 (nulla, nem az O betû) AAA X Ez a grafikon ugyanolyan az y-tengely és x-tengely mentén. Y Y Z Z 8. Állítsa vissza az eredeti helyzetet Ábrázolja a grafikont más grafikonstílusokban is. Í F (A stílusokat az (A stílusokat az F Í gombbal lehet gombbal lehet változtatni) változtatni) HIDDEN SURFACE (rejtett felület) CONTOUR LEVELS (a szintvonalak kiszámolása idõigényes lehet) WIRE AND CONTOUR (drótváz és szintvonal) WIRE FRAME (drótváz) Megjegyzés: A GRAPH FORMATS párbeszédablak ( ƒ 9 vagy TI-92 Plus: F) segítségével a grafikon implicit grafikonként is ábrázolható. A stílusok TI-89: Í TI-92 Plus: F -el való váltogatásakor az implicit grafikon nem jelenik meg. 10. fejezet: 3D ábrázolás 155

4 3D egyenletek ábrázolásának lépései 3D egyenletek ábrázolási lépései hasonlóak a 6. fejezetben (A függvényábrázolás alapjai) az y(x) függvényábrázolással kapcsolatban leírtakhoz. A következõ oldalakon részletesen elmagyarázzuk a 3D egyenletekre vonatkozó eltéréseket. 3D egyenletek ábrázolása Állítsa a Graph üzemmódot (3) 3D-re. Szükség szerint állítsa be az Angle szögmérték üzemmódot is. Definiálja a 3D egyenleteket az Y= szerkesztõben ( #). Tanács: Kapcsolja ki a statgrafikonokat (16. fejezet), ha vannak ( 5 vagy ). Válassza ki ( ) az ábrázolandó egyenletet. Egyszerre csak egy 3D egyenlet választható. Megjegyzés: 3D grafikonok esetén a nézõablak neve nézõkocka. Zoomis átállítja a nézõkockát. Tanács: A 3D grafikonok tájolása egyértelmûbben látszik, ha bekapcsolja a tengelyeket (Axes) és tengelyfeliratokat (Labels). Megjegyzés: A grafikon kirajzolása elõtt a képernyõn a percent evaluated ("kiértékeltségi százalék") értéke látható. Definiálja a nézõkockát ( $). Állítsa át a grafikon formátumát ƒ 9 vagy TI-89: Í TI-92 Plus: F ha szükséges. Ábrázolja a kiválasztott egyenletet ( %). A grafikon vizsgálata Tanács: Letapogatás közben a z(x,y) ki is értékelhetõ. Írja be az x értéket, majd nyomjon -t; ezután írja be az y értéket és nyomjon -t. A Graph képernyõn Ön a következõ beavatkozásokat végezheti el: Letapogathatja az egyenletet. Az Zoom eszközsávi menü segítségével kinagyíthatja a grafikon bármely részét. Egyes menüpontokat nem lehet kiválasztani 3D grafikonokhoz (ezek a menüpontok szürkén jelennek meg). Az Math eszközsávi menü segítségével kiszámolhatja az egyenlet helyettesítési értékét egy adott pontban. 3D grafikonokhoz csak az 1:Value menüpont választható fejezet: 3D ábrázolás

5 A 3D és a függvényábrázolás közötti eltérések Ebben e fejezetben feltételezzük, hogy Ön már áttanulmányozta a függvényábrázolás alapjait ismertetõ 6. fejezetet és tudja, hogyan kell y(x) függvényeket ábrázolni. Ez a fejezet a 3D egyenletekre vonatkozó eltérésekkel foglalkozik. A Graph üzemmód beállítása A 3 gombbal állítsa be a Graph = 3D üzemmódot, még az egyenletek definiálása vagy az ablakváltozók beállítása elõtt. Az Y= és a Window szerkesztõ csak az aktuális Graph üzemmód-beállításra vonatkozó információ bevitelét engedi meg. 3D egyenletek definiálása az Y= szerkesztõben A 3D egyenletek definiálási tartománya z1(x,y) z99(x,y). Tanács: Függvények és egyenletek bármely ábrázoló üzemmódhoz és az aktuális üzemmódtól függetlenül de-finiálhatók a kezdõképernyõ Define utasításával (lásd az "A" függelékben). Az Y= szerkesztõ külön függvénylistát tart nyilván a Graph üzemmód minden beállításához. Vegyük például a következõ helyzetet: FUNCTION ábrázoló üzemmódban Ön definiálja az y(x) függvények egy halmazát. Utána átvált 3D ábrázoló üzemmódba és definiálja a z(x,y) egyenletek egy halmazát. A FUNCTION ábrázoló üzemmódba visszatérve az y(x) függvények továbbra is definiáltak az Y= szerkesztõben. A 3D ábrázoló üzemmódban változatlanul definiáltak a z(x,y) egyenletek. Az ábrázolási stílus kiválasztása Tekintve, hogy egyszerre csak egy 3D egyenlet ábrázolható, az ábrázolási stílus nem választható. Az Y= szerkesztõben szürkén jelenik meg a Style eszközsávi menü. 3D egyenleteknél ugyanakkor a: ƒ 9 vagy TI-92 Plus: F segítségével WIRE FRAME vagy HIDDEN SURFACE állítható be a Style formátumban. További részletekkel a A tengely és az ábrázolási mód megváltoztatása alfejezet szolgál a 165. oldalon. 10. fejezet: 3D ábrázolás 157

6 Ablakváltozók A Window szerkesztõ a Graph üzemmód minden beállításához külön ablakváltozó-készletet tart nyilván (ahogy az Y= szerkesztõ is külön függvénylistákat vezet). A 3D grafikonok a következõ ablakváltozókat használják. Megjegyzés: Az xgrid vagy ygrid változóra beadott törtszámot a TI-89 / TI-92 Plus a legközelebbi 1 egész számra kerekíti. Megjegyzés: 3D üzemmódban nincsenek scl ablakváltozók, ezért nem írathatók osztásjelek a tengelyekre. Változó eyeq, eyef, eyeψ xmin, xmax, ymin, ymax, zmin, zmax xgrid, ygrid Magyarázata A grafikon nézõszögének értéke (mindig fokban értendõ). További részletekkel a A nézõszög elforgatása és/vagy megemelése alfejezet szolgál a 162. oldalon. A nézõkocka határai. Az xmin és xmax valamint az ymin és ymax közötti távolságot a TI-89 / TI-92 Plus felosztja a megadott számú osztásra. A z(x,y) egyenletet azokban a rácspontokban értékeli ki, ahol a rácsvonalak (másnéven rácsdrótok) metszik egymást. x és y növekményét a következõ képlettel számítja ki: xmax ì xmin x lépés = xgrid ymax ì ymin y lépés = ygrid A rácsvonalak száma xgrid + 1 és ygrid + 1. Például, ha xgrid = 14 és ygrid = 14, az xy rács 225 (15 15) pontból áll. z(xmin,ymin) z(xmin,ymax) z(xmax,ymin) z(xmax,ymax) ncontour A z-értékek ábrázolt tartományában egyenletesen elosztott kontúrok száma. Lásd a 168. oldalt. A standard alapértékek (az Zoom eszközsávi menü 6:ZoomStd pontjának választásakor) a következõk: eyeq = 20. xmin = ë 10. ymin = ë 10. zmin = ë 10. eyef = 70. xmax = 10. ymax = 10. zmax = 10. eyeψ = 0. xgrid = 14. ygrid = 14. ncontour = 5. Megjegyzés: A rácsváltozók értékének növelése csökkenti a számítási sebességet. A kellõ pontsûrûség biztosításához esetleg növelni kell a grid változók (xgrid, ygrid) standard alapértékeit fejezet: 3D ábrázolás

7 A grafikonformátum beállítása Az Axes és a Style formátum csak a 3D ábrázoló üzemmódban létezik. További részletekkel a A tengely és az ábrázolási mód megváltoztatása alfejezet szolgál a 165. oldalon. A grafikon vizsgálata Tanács: Lásd A kurzor háromdimenziós mozgatása alfejezetet a 160. oldalon. Tanács: Letapogatás közben a z(x,y) ki is értékelhetõ. Írja be az x értéket, majd nyomjon -t; ezután írja be az y értéket és nyomjon -t. A függvényábrázoláshoz hasonlóan a 3D grafikonok is vizsgálhatók az alábbi eszközökkel. A TI-89 / TI-92 Plus a koordinátákat derékszögû vagy henger formában írja ki, a grafikonformátum beállításától függõen. 3D ábrázolásnál a TI-89 / TI-92 Plus akkor használja a hengerkoordinátákat, ha Ön a: ƒ 9 vagy TI-92 Plus: F menüben a Coordinates = POLAR értéket állítja be. Eszköz Szabadonfutó kurzor 3D grafikonok esetén: A szabadonfutó kurzor nem választható. Zoom Ugyanúgy mûködik, mint a függvénygrafikonoknál, csak Ön most három dimenzióban mozog, nem kettõben. Csak a következõ Zoom-ok választhatók: Trace 2:ZoomIn 5:ZoomSqr A:ZoomFit 3:ZoomOut 6:ZoomStd B:Memory C:SetFactors Csak az x (xmin, xmax), y (ymin, ymax) és z (zmin, zmax) ablakváltozókat érinti. A grid (xgrid, ygrid) és eye (eyeq, eyef, eyeψ) ablakváltozókat nem érinti, csak akkor, ha Ön a 6:ZoomStd-ot választja (amely e változókat standard alapértékeikre állítja vissza). Lehetõvé teszi a kurzor rácspontról rácspontra való mozgatását a 3D felületen. A letapogatás megkezdésekor a kurzor az xy háló középpontjában jelenik meg. A QuickCenter választható. A nézõkocka közepét a letapogatás során bármikor a kurzorhoz állíthatja az lenyomásával. A kurzor csak x és y irányban mozgatható. A kurzort nem lehet túlvinni a nézõkocka határain, amelyeket xmin, xmax, ymin és ymax állít be. Math 3D grafikonokhoz csak az 1:Value választható. Ez az eszköz az adott x és y értékhez tartozó z értéket írja ki. Az 1:Value kiválasztása után írja be az x értékét, majd nyomjon -t. Ezután írja be az y értékét és nyomjon -t. 10. fejezet: 3D ábrázolás 159

8 A kurzor háromdimenziós mozgatása A kurzor 3D felületen való mozgatásakor furcsának tûnhet a kurzor mozgása. A 3D grafikonoknak nem egy, hanem két független változója van (x,y), és az x és y tengely másként fekszik, mint a többi ábrázoló üzemmódban. Hogyan mozgassuk a kurzort Megjegyzés: A kurzor csak x és y irányban mozgatható. A kurzort nem lehet túlvinni a nézõkocka határain, amelyeket xmin, xmax, ymin és ymax állít be. Egy 3D felületen a kurzor mindig a drótváz vonalai mentén mozog. Kurzorgomb A következõ rácspontra viszi a kurzort: B Pozitív x irányban A Negatív x irányban C Pozitív y irányban D Negatív y irányban Bár a szabályok világosak, a kurzor mozgása furcsának tûnhet, ha Ön nem ismeri a tengelyek fekvését. 2D ábrázolásnál az x és y tengely mindig ugyanúgy fekszik a Graph képernyõn. Tanács: Ha meg kívánja jeleníteni a tengelyeket és azok feliratait az Y= Editor, Window Editor vagy Graph képernyõrõl, használja a következõ parancsot: TI-92 Plus: F 3D ábrázolásnál az x és y fekvése változhat a Graph képernyõn. Ezenkívül a nézõszög körbevihetõ és megemelhetõ. eyeq=20 eyef=70 eyeψ=0 Egyszerû példa a kurzor mozgatására Tanács: A tengelyek és felirataik kiíratásával könnyebben érthetõvé válik a kurzor mozgása. Az alábbi grafikon egy ferde síkot mutat, amelynek egyenlete: z1(x,y) = ë (x + y) / 2. Tételezzük fel, hogy szeretné körbejárni a határvonalak mentén. B pozitív x irányba mozgat, xmax-ig. Az megnyomásakor az xy rács közepén megjelenik a letapogató kurzor, amely a kurzorgombokkal innét bármelyik határvonalra kivihetõ. D negatív y irányba mozgat, vissza ymin-ig. C pozitív y irányba mozgat, ymax-ig. A negatív x irányba mozgat, vissza xmin-ig. Tanács: A rácspontok sûríthetõk nagyobb xgrid és ygrid ablakváltozó értékek megadásával. Ha a letapogató kurzor a sík egy belsõ pontján áll, akkor csak a drótváz mentén, rácspontról rácspontra mozgatható. Átlósan nem mozog. Figyelje meg, hogy a drótváz drótjain nem mindig látszik, hogy párhuzamosak a tengelyekkel fejezet: 3D ábrázolás

9 Példa rejtett felületrészen álló kurzorra Bonyolultabb felületek esetén elõfordulhat, hogy a kurzor úgy látszik, mintha nem is rácsponton állna. Ez azonban csak látszat, amit az okoz, hogy a kurzor rejtett felületrészen áll. Vegyük például a z1(x,y) = (xñìyñ) / 3 nyeregfelületet. Az alábbi grafikon a nyeregfelület y tengely felõli nézetét mutatja. Nézzük most meg ugyanezt a nyerget az x-tengelytõl 10 -os szögben (eyeq = 10). Tanács: A nyereg felénk esõ oldala úgy metszhetõ le, hogy xmax=0 beállításával csak negatív x értékeket ábrázolunk. A kurzor olyan helyre vihetõ, ahol úgy tûnik, mintha nem rácsponton állna. A kurzort takaró oldal lemetszésével kitûnik, hogy a kurzor a hátsó oldal egy rácspontján áll. A görbétõl elvált kurzor esete Noha a kurzor csak a drótvázon mozoghat, elõfordulhat, hogy látszólag teljesen elválik a 3D felülettõl. Ez olyankor lehetséges, amikor a z-tengely túl rövid ahhoz, hogy ráférjen az x és y értékhez tartozó z(x,y) érték. Tételezzük fel például, hogy Ön a feltüntetett ablakváltozó értékekkel ábrázolja a z(x,y) = xñ +.5yñ paraboloidot. Ekkor könnyen az alábbi helyzetbe hozható a kurzor: Letapogató kurzor Érvényes koordinátái Tanács: A QuickCenter segítségével a nézõkocka közepe a kurzorhoz állítható az lenyomásával. Noha a kurzor valójában a paraboloidon áll, mégis úgy tûnik, mintha nem lenne rajta a felületen, mert: bár xc és yc a nézõkockán belül van, ugyanakkor zc a nézõkockán kívül van. Ha zc a nézõkocka z-határán kívül fekszik, a kurzor a zmin vagy zmax pontban jelenik meg (bár kiírt letapogatási koordinátái helyesek). 10. fejezet: 3D ábrázolás 161

10 A nézõszög elforgatása és/vagy megemelése 3D ábrázoló üzemmódban az eyeq és eyef ablakváltozóval állítható be a nézõszög. Az eyeψ ablakváltozó segítségével körbeforgatható a grafikon. Hogyan mérjük a nézõszöget A nézõszögnek három összetevõje van: eyeq a pozitív x-tengellyel bezárt szög, fokban. eyef Z Megjegyzés: eyeψ=0 esetén a z tengely függõleges a képernyõn. eyeψ=90 esetén a z tengely az óramutató járásával ellenkezõ irányban 90 -kal van elforgatva és vízszintes. eyef a pozitív z-tengellyel bezárt szög, fokban. eyeψ az a szög (fokban), amellyel a grafikon az óramutató járásával ellenkezõ irányban el van forgatva az eyeq és eyef által beállított nézõtengely körül. A Window szerkesztõben ( $) mindig fokban kell megadni eyeq, eyef és eyeψ értékét, függetlenül az aktuális szögmérték-üzemmódtól. X eyeψ eyeq Y Ne írja be a jelet. Írjon például 20, 70, és 0 értéket, nem pedig 20, 70, és 0 -ot. Az eyeq változtatásának hatása A Graph képernyõ mindig a nézõszög szerint van beállítva. Az eyeq változtatásával tehát körbejárható a z tengely. z1(x,y) = (x 3 y - y 3 x) / 390 Ebben a példában eyef = 70 Megjegyzés: Ebben a példában eyeq értékét 30 fokonként léptettük. eyeq = 20 eyeq = 50 eyeq = fejezet: 3D ábrázolás

11 Az eyef változtatásának hatása Az eyef változtatásával a nézõszög az xy-sík fölé emelhetõ. Ha 90 < eyef < 270, a nézõszög az xy-sík alatt van. z1(x,y) = (x 3 y - y 3 x) / 390 Ebben a példában eyeq = 20 Megjegyzés: Ez a példa az xy síkban (eyef = 90) kezdõdik majd eyef értékét 20 fokonként csökkentve a "horizont" fölé megy. eyef = 90 eyef = 70 eyef = 50 Az eyeψ változtatásának hatása Megjegyzés: Forgatás közben a tengelyek megnyúlnak vagy zsugorodnak, hogy beleférjenek a képernyõ szélességébe és magas-ságába. Ez némi torzítást okozhat, amint azt példa mutatja. z=10 Ha eyeψ=0, a z-tengely áll a képernyõn. z=ë10 Ha eyeψ=90, a z-tengely vízszintes a képernyõn. z=10 z=ë10 A z-tengely 90 -os elforgatásával a tengely ábrázolt tartománya (példánkban ë 10 10) az eredetinek csaknem duplájára nyúlik meg. Az x és y tengely is hasonlóan nyúlik meg vagy zsugorodik össze. A kezdõképernyõrõl vagy programból A Graph képernyõ mindig az eyeq és eyef által beállított nézõszög szerint van beállítva. Az eyeψ változtatásával elforgatható a grafikon e nézõtengely körül. z1(x,y)=(x 3 yì y 3 x) / 390 eyeψ=0 eyeψ=45 eyeψ=90 Ebben a példában eyeq=20 és eyef=70 Az eye értékeket az eyeq, eyef és eyeψ rendszerváltozó tárolja. Ezek a változók szükség szerint kiolvashatók vagy más értékekkel elmenthetõk. TI-89:A f vagy ψ begépeléséhez nyomja meg a cj[f] vagy cú gombot. A 2 lenyomása után a görögbetû-menüt is választhatja. TI-92 Plus: A f vagy ψ begépeléséhez nyomja meg a 2 G F, illetve a 2 G Y gombot. A 2 lenyomása után a görögbetû-menüt is használhatja. 10. fejezet: 3D ábrázolás 163

12 3D grafikon interaktív animálása 3D grafikonok ábrázolását követõen a kurzorral interaktívan állítható a nézõszög. Lásd a 154. oldalon feltüntetett példát. A nézõpálya Megjegyzés: A nézõpálya eltérõ mértékben érinti az eye ablakváltozókat. Amikor a A és B gombbal animálunk egy grafikont, tulajdonképpen körbejárjuk a nézõpálya mentén. A nézõpályán haladva a z-tengely enyhén imbolyoghat (ez a 154. oldal példáján látszik is). A grafikon animálása Megjegyzés: A grafikon részletezõ nézetben való ábrázolásakor kurzorgomb lenyomásakor automatikusan visszatér a normál nézet. Tanács: A grafikon animálása után leállíthatja, majd újraindíthatja az animálást ugyanabban az irányban a következõ gombokkal: TI-89: vagy j TI-92 Plus: vagy szóköz Tanács: Animáció közben a következõ gombokkal lehet a következõ grafikonstíusra lépni: TI-89: Í TI-92 Plus: F Tanács: A 162. oldalon láhatók az eye szögek. Mit kíván tenni: Hogyan teheti meg: A grafikont lépésekben animálni Nyomja meg, majd gyorsan engedje fel a kurzort. A nézõpályán körbejárni: A vagy B lenyomásával. A pálya emelkedési-szögét változtatni: C vagy D lenyomásával. (elsõsorban eyef értékét növeli vagy csökkenti) A grafikont folyamatosan animálni Négy animálási sebességet váltogatni (növelni vagy csökkenteni az eye ablakváltozók léptetésének mértékét) Úgy módosítani egy nem animált grafikon nézõszögét, hogy az x, y vagy z tengely felõl nézze a grafikont Visszatérni a kezdeti eye szögértékekhez Nyomja meg, majd csak kb. 1 mp múlva engedje fel a kurzort. TI-89: Leállítás: N,, vagy (szóköz). TI-92 Plus: Leállítás: N,, vagy a szóközbillentyû. «vagy lenyomásával. X, Y vagy Z lenyomásával. 0 lenyomásával (ez nulla, nem az O betû). Grafikonképek sorozatának animálása Grafikon úgy is animálható, hogy elmentünk egy grafikonkép-sorozatot és váltogatva ábrázoljuk õket. Errõl bõvebben a 12. fejezet (További ábrázolási témák) Grafikonkép-sorozatok animálása címû alfejezete ír. Ezzel a módszerrel jobban követhetõk az ablakváltozó értékei, különösen az eyeψ (162. oldal), amely forgatja a grafikont fejezet: 3D ábrázolás

13 A tengely és az ábrázolási mód megváltoztatása Alapbeállításai szerint a TI-89 / TI-92 Plus kirajzolja a 3D grafikonok rejtett felületeit, de nem rajzolja ki a tengelyeket. A grafikonok megjelenési stílusa azonban bármikor módosítható. A GRAPH FORMATS párbeszéd-ablak kiíratása Az Y= vagy a Window szerkesztõben, vagy a Graph: ƒ 9 vagy TI-92 Plus: F A párbeszéd-ablak az aktuális grafikonformátum beállításokat mutatja. Módosítás nélkül kilépni az N-pel lehet. Ebben a párbeszédablakban is úgy változtathatók meg a beállítások, mint bármely más (például a MODE) párbeszédablak esetén. Példák a tengelyek beállítására Tanács: A Labels = ON beállítás segít bármelyik típusú 3D tengely helyes értelmezésében. A választható Axes beállítások kiíratásához jelölje ki az aktuális beállítást, majd nyomjon B-t. AXES Az alapállapotú xyz tengelyeket mutatja. BOX A 3-dimenziós téglatest tengelyeit mutatja. A téglatest széleit az xmin, xmax, stb. ablakváltozók határozzák meg. z1(x,y) = xñ+.5yñ Az origó (0,0,0) sok esetben a doboz belsejében, nem valamelyik sarkán van. Például, ha xmin = ymin = zmin = ë 10 és xmax = ymax = zmax = 10, az origó a téglatest közepén helyezkedik el. 10. fejezet: 3D ábrázolás 165

14 Példák stílusbeállításra Tanács: A WIRE FRAME gyorsabban rajzol és a különbözõ formákkal való kisérletezéshez alkalmasabb lehet. A választható Style beállítások kiíratásához jelölje ki az aktuális beállítást, majd nyomjon B-t. WIRE FRAME A 3D alakzatot átlátszó drótvázként ábrázolja. HIDDEN SURFACES Árnyékolással különbözteti meg egy 3D alakzat két oldalát. Fejezetünk késõbbi pontjaiban magyarázzuk el a CONTOUR LEVELS, WIRE AND CONTOUR (167. oldal) és IMPLICIT PLOT (171. oldal) beállítást. Vigyázzon az optikai érzékcsalódásokra A grafikon kirajzolásához használt eye szögek (eyeq, eyef és eyeψ ablakváltozók) érzékcsalódást okozhatnak a perspektívikus megjelenítés során. Ez leginkább akkor fordulhat elõ, ha az eye szögek a koordináta-rendszer valamelyik negatív negyedébe esnek. Téglatest-tengelyek (box) még becsapósabbak lehetnek. Például nem egyértelmû, hogy melyik a téglatest eleje. Fentrõl nézve az xy síkra Alulról nézve az xy síkra Megjegyzés: Ezek a példák tényleges képernyõ-ábrákat mutatnak. eyeq = 20, eyef = 55, eyeψ = 0 eyeq = 20, eyef = 120, eyeψ= 0 Megjegyzés: Ezeken a példákon szürkére festettük a téglatest elejét (a szürkítés nem látható a TI-89 / TI-92 Plus képernyõjén). Az érzékcsalódás minimálisra csökkenthetõ a GRAPH FORMATS párbeszéd-ablakban Style = HIDDEN SURFACE beállításával fejezet: 3D ábrázolás

15 Szintvonal-grafikonok Szintvonalas ábrázolásnál vonal köti össze a 3D grafikon azonos z-értékû szomszédos pontjait. Ez az alfejezet a CONTOUR LEVELS és WIRE AND CONTOUR megjelenítési stílust magyarázza el. A grafikon megjelenítési stílusának kiválasztása Tanács: A Graph képernyõn az egyik grafikonformátumról a következõre történõ átváltáshoz (az IMPLICIT PLOT kihagyásával), nyomja meg a következõ gombot: TI-89: Í TI-92 Plus: F Megjegyzés: A CONTOUR LEVELS TI-89: Í TI-92 Plus: F -el való kiválasztása nem módosítja a nézõszög, a nézet, vagy a Labels formátum értékét, ellentétben: TI-92 Plus: gombbal. 3D ábrázoló üzemmódban definiáljon egy egyenletet és ábrázolja azt a szokásos módon, a következõ kivétellel. Az Y= vagy a Window szerkesztõben, vagy a Graph képernyõn a ƒ 9 lenyomásával írassa ki a GRAPH FORMATS párbeszéd-ablakot. Ezután állítsa be a következõket: Style = CONTOUR LEVELS vagy Style = WIRE AND CONTOUR A CONTOUR LEVELS esetén csak a kontúrok látszanak. A nézõszög olyan kezdõértékre áll, hogy a kontúrok a z-tengely felõl nézve jelennek meg. A nézõszög természetesen átállítható. A grafikon részletezõ nézetben jelenik meg. A részletezõ és a normál nézet között a p gombbal lehet váltogatni. A Labels formátum automatikusan OFF-ra áll. A WIRE AND CONTOUR esetén a kontúrok a drótvázra ülnek rá. A nézõszög, nézet (részletezõ vagy normál) és a Labels megõrzi korábbi beállítását. Stílus z1(x,y)=(xò yì yò x) / 390 z1(x,y)=xñ +.5yñ ì 5 Megjegyzés: Ezek a példák ugyanazokat az x, y és z ablakváltozó értékeket használják, mint a ZoomStd nézõkocka. ZoomStd használatakor Z lenyomásával lehet a z-tengely felõl nézni a grafikont. CONTOUR LEVELS A z-tengely felõl nézve eyeq=20, eyef=70, eyeψ=0 mellett CONTOUR LEVELS Megjegyzés: Ne tévessze össze a kontúrokat a drótváz-vonalakkal. A kontúrok sötétebbek. WIRE AND CONTOUR 10. fejezet: 3D ábrázolás 167

16 Hogyan határozzuk meg a Z-értékeket? Az ncontour ablakváltozó beállításával ( $ ) adható meg, hogy hány szintvonal jelenjen meg a z-tengelyen egyenletesen elosztva. Az összefüggések a következõk: zmax ì zmin növekmény = ncontour + 1 A kontúrok z-értékei: zmin + inkrementum zmin + 2(inkrementum) zmin + 3(inkrementum) zmin + ncontour(inkrementum) Az alapérték 5. Ez 0 és 20 között átállítható. Ha ncontour=5 és a standard nézõablak van beállítva (zmin=ë 10 és zmax=10), az inkrementum Öt kontúr jelenik meg, a z=ë 6.666, ë 3.333, 0, és értékeknél. A TI-89 / TI-92 Plus azonban nem rajzol kontúrt olyan z-értékekhez, amelyeken a 3D grafikon értéke nem meghatározott. Szintvonal interaktív rajzolása egy kiválasztott pont Z-értékénél Tanács: A korábbi kontúrok a grafikonon maradnak. Az alapértelmezett kontúrok eltávolításához kapcsolja be a Window szerkesztõt ( $) és állítsa be a ncontour=0 értéket. Ha a képernyõn éppen a szintvonalas grafikon látható, akkor kijelölhetõ ennek egy pontja és kontúrvonal rajzoltatható a hozzá tartozó z-értéknél. 1. A Draw menü behívásához nyomja meg a következõ gombot: TI-89: 2ˆ TI-92 Plus: ˆ 2. Válassza a 7:Draw Contour menüpontot. 3. Két lehetõsége van: Gépelje be a pont x-értékét, nyomjon -t, majd a pont y-értékét és nyomjon -t. vagy Állítsa a kurzort a kívánt pontra. (A kurzor a drótváz-vonalak mentén mozog.) Ezután nyomjon -t. Tételezzük fel például, hogy az aktuális grafikon z1(x,y)=xñ +.5yñì5. Ha Ön megadja az x=2 és y=3 értéket, a TI-89 / TI-92 Plus kontúrt húz a z=3.5 értéknél fejezet: 3D ábrázolás

17 Szintvonalak rajzolása adott Z- értékeken A Graph képernyõn hívja be a Draw menüt, majd válassza a 8:DrwCtour menüpontot. Automatikusan megjelenik a kezdõképernyõ, DrwCtour-ral a beviteli sorban. Ezután egyenként megadható egy vagy több z-érték, illetve z-értékek egy sorozata állítható elõ. Néhány példa: Tanács: Az alapértelmezett kontúrok eltávolításához kapcsolja be a Window szerkesztõt ( $) és állítsa be a ncontour=0 értéket. DrwCtour 5 DrwCtour {1,2,3} DrwCtour seq(n,n,ë 10,10,2) z=5-nél rajzol kontúrt. z=1, 2 és 3 értéknél rajzol kontúrt. ë10 és 10 között minden második z-értékre (ë10, ë8, ë6, stb.) rajzol szintvonalat. A TI-89 / TI-92 Plus a megadott kontúrokat az aktuális 3D grafikonra rajzolja. (Nem rajzol azonban kontúrt, ha a megadott z-érték a nézõkockán kívülre esik vagy ha a 3D grafikon értéke nem meghatározott az adott a z- értéken.) Megjegyzések a szintvonalas grafikonokról Kontúr-grafikonok esetén: A kurzorgombokkal animálható a kontúr-grafikon (164. oldal). A kontúrok mentén mem végezhetõ letapogatás ( ). Letapogatható azonban a Style=WIRE AND CONTOUR beállítással kirajzolt drótváz. Az egyenlet elsõ kiszámolása hosszabb idõt igényelhet. Az esetleges hosszabb kiszámolási idõ miatt érdemes a Style=WIRE FRAME felhasználásával beállítani a 3D egyenletet. Így sokkal rövidebb ideig tart a számolás. Majd miután megbizonyosodott arról, hogy a helyes Window változóértékekkel rendelkezik, hívja be a Graph Formats párbeszédpanelt, és adja meg a Style=CONTOUR LEVELS vagy WIRE AND CONTOUR beállítást. TI-92 Plus: F 10. fejezet: 3D ábrázolás 169

18 Példa: komplex függvény abszolútértékét szemléltetõ felület szintvonalai Az (a,b) = abs(f(a+bi)) komplex abszolútértékû felület bármely y=f(x) polinom komplex zérushelyeit adja meg. Példa Példánkban legyen f(x)=x x helyére az x+yi általános komplex alakot behelyettesítve, a komplex felület egyenlete: z(x,y)=abs((x+yù i) 3 +1). 1. A 3 -al állítsa be a Graph=3D értéket. 2. Nyomja meg a # gombot és definiálja a következõ egyenletet: z1(x,y)=abs((x+yù i)^3+1) 3. Nyomja meg a $ gombot és állítsa be a feltüntetett ablakváltozó értékeket. 4. Hívja be a Graph Formats párbeszédpanelt: TI-92 Plus: F Kapcsolja be a tengelyeket, adja meg a Style = CONTOUR LEVELS beállítást, és térjen vissza a Window szerkesztõbe. 5. A %gombbal ábrázolja az egyenletet. A grafikon kiértékelése eltart egy ideig, úgyhogy legyen türelemmel. A kirajzolás megtörténtével a komplex függvény abszolútértékét szemléltetõ felület pontosan a polinom komplex zérushelyein érinti az xy-síkot: ë 1, i, és 1 2 ì 3 2 i Megjegyzés: Pontosabb becsült értékek az xgrid és ygrid ablakváltozó értékek megnövelésével határozhatók meg. Ezzel azonban a grafikon kiértékelési ideje is nõ. Tanács: A grafikon animálásakor a képernyõ normál nézetre vált. A normál és a részletezõ nézet között a p gombbal lehet váltogatni. 6. Nyomja meg az -at és vigye a kurzort a negyedik negyedben levõ zérushelyre. A koordináták alapján a zérushely körülbelül.428ì.857 i. 7. Nyomjon N-et, majd a kurzor gombokkal animálja a grafikont és tekintse meg különbözõ eye szögekbõl. A zérushely pontos, ha z=0. Ebben a példában eyeq=70, eyef=70 és eyeψ= fejezet: 3D ábrázolás

19 Implicit függvények grafikonjai Az implicit grafikonok elsõsorban olyan 2D implicit alakok ábrázolására szolgálnak, amelyek függvényábrázoló üzemmódban nem ábrázolhatók. Technikailag az implicit grafikon olyan 3D kontúr-grafikon, amelyen egyetlen kontúr van a z=0 értéknél. Explicit és implicit alakok Tanács: Számos implicit alak a következõ megoldásokkal is ábrázolható: Paraméteres egyenletekkel fejezzük ki õket. Lásd a 7. fejezetet. Több explicit függvényre bontjuk õket. Lásd a 6. fejezet kezdõ példáját. 2D függvényábrázoló üzemmódban, az egyenletek explicit alakja y=f(x), ahol minden x értékhez egyetlen y érték tartozik. Sok egyenlet azonban csak az f(x,y)=g(x,y) implicit alakban adható meg, ahol y x-szel vagy x y- nal nem fejezhetõ ki explicit módon. Az implicit grafikonok 3D ábrázoló üzemmódban y-ra vagy x-re rendezés nélkül is ábrázolhatók. Rendezzük úgy át az implicit f(x,y)ì g(x,y)=0 alakot, hogy jobb oldala 0 legyen. Írjuk be az Y= szerkesztõbe az egyenlet bal oldalát. Ez érvényes, mert az implicit grafikon automatikusan nullával teszi egyenlõvé az egyenletet. Példaként adja be az Y = szerkesztõbe az ellipszis jobboldalt látható egyenletét. Egy x értékhez több y is tartozik, ami függvényábrázoló üzemmódban nem jeleníthetõ meg. z1(x,y)=f(x,y)ì g(x,y) Ha xñ +.5yñ =30, akkor z1(x,y)=xñ +.5yñì30. A grafikon megjelenési stílusának kiválasztása Megjegyzés: A Graph képernyõn TI-89: Í TI-92 Plus: F -fel is át lehet váltani más grafikon- stílusra. Az IMPLICIT PLOT-hoz azonban TI-92 Plus: F visz vissza. 3D ábrázoló üzemmódban definiáljon egy alkalmas egyenletet és ábrázolja szokásos 3D egyenletként, a következõ megszorítással. Írassa ki a GRAPH FORMATS párbeszéd-ablakot (ehhez az Y= vagy a Window szerkesztõben vagy a Graph képernyõn nyomjon. TI-92 Plus: F Ezután állítsa be a stílust: Style = IMPLICIT PLOT 10. fejezet: 3D ábrázolás 171

20 A nézõszög olyan kezdõértékre áll, hogy a kontúrok a z-tengely felõl nézve jelenjenek meg. A nézõszög természetesen átállítható. A grafikon részletezõ nézetben jelenik meg. A részletezõ és a normál nézet között a p gombbal lehet váltani. A Labels automatikusan OFF-ra áll. Megjegyzés: Ezek a példák ugyanazokat az x, y és z ablakváltozó értékeket használják, mint a ZoomStd nézõkocka. ZoomStd használatakor Z lenyomásával lehet a z-tengely felõl nézni a grafikont. Style IMPLICIT PLOT xñìyñ=4 z1(x,y)=xñìyñì4 (xù y) sin(x)+cos(y)= e (xù y) z1(x,y)=sin(x)+cos(y)ì e Megjegyzések az implicit grafikonokkal kapcsolatban Implicit grafikon esetén: Az ncontour ablakváltozó (168. oldal) hatástalan. A TI-89 / TI-92 Plus csak a z=0 kontúrt rajzolja ki, függetlenül az ncontour értékétõl. A kirajzolt grafikon megmutatja, hogy hol metszi az implicit alak az xysíkot. A kurzorgombokkal animálható a kontúr-grafikon (164. oldal). Maga az implicit grafikon nem tapogatható le ( ). Letapogatható azonban a 3D egyenlet láthatatlan drótváza. Az egyenlet elsõ kiértékelése hosszabb idõt igényelhet. Az esetleges hosszabb számolási idõ miatt érdemes a Style=WIRE FRAME felhasználásával ábrázolni a 3D egyenletet. Így sokkal rövidebb lesz a számolási idõ. Amikor már biztos, hogy jók az ablakváltozó értékek, Ön a beállíthatja a Style=IMPLICIT PLOT stílust: TI-92 Plus: F fejezet: 3D ábrázolás

21 Példa: Egy bonyolultabb egyenlet implicit függvényének grafikonja Az IMPLICIT PLOT megjelenítési stílussal más módon ábrázolhatatlanul bonyolult egyenletek ábrázolhatók és animálhatók. Bár egy ilyen grafikon kiértékelése hosszabb idõt igényelhet, a vizuális eredmények igazolhatják az idõráfordítást. Példa Ábrázolja a sin(x 4 +yì x 3 y) =.1 egyenletet. 1. A 3 -al állítsa be a Graph=3D értéket. 2. Nyomja meg a # gombot és definiálja az egyenletet: z1(x,y)=sin(x^4+yì x^3y)ì.1 3. Nyomja meg a $ gombot és állítsa be a feltüntetett ablakváltozó értékeket. Megjegyzés: A rajzolási pontosság az xgrid és ygrid ablakváltozó értékeinek megnövelésével növelhetõ. Ezzel azonban a grafikon ábrázolásának ideje is nõ. Tanács: A grafikon animálásakor a képernyõ normál nézetre vált. A normál és a részletezõ nézet között a p gombbal lehet váltani. 4. A: TI-92 Plus: F gombbal kapcsolja be a tengelyeket, állítsa be Style = IMPLICIT PLOT értékét és térjen vissza a Window szerkesztõbe. 5. A %gombbal ábrázolja az egyenletet. A grafikon kiértékelése eltart egy ideig, úgyhogy legyen türelemmel. 6. A kurzor gombokkal animálja a grafikont és tekintse meg különbözõ eye szögekbõl. A grafikon azokat a helyeket mutatja, ahol sin(x 4 +yìx 3 y) =.1 Részletezõ nézet eyeq=ë127.85, eyef=52.86 és eyeψ=ë18.26 mellett. 10. fejezet: 3D ábrázolás 173

22 fejezet: 3D ábrázolás