Csoportelmélet jegyzet

Csoportelmélet jegyzet Pongrácz András 2015.

1 CONTENTS 1. Bevezetés 2 2. Alapok 3 2.1. Csoport fogalma 3 2.2. Részcsoportok, példák 3 2.3. Homomorfizmusok, normálosztók 6 2.4. Izomorfizmustételek 8 3. Direkt szorzat és Abel csoportok 11 3.1. Kommutatív csoportok 12 3.2. Végesen generált Abel-csoportok 15 3.3. Szemidirekt szorzat 16 4. Nevezetes részcsoportok és csoporthatások 19 4.1. Csoporthatások 19 4.2. Permutációcsoportok 23 4.3. Primitív permuatációcsoportok 23 5. p-csoportok és Sylow-tételek 29 6. Nilpotens és feloldható csoportok 31 6.1. Nilpotens csoportok 31 6.2. Feloldható csoportok 33 7. Egyszerű csoportok 37 7.1. A projektív általános lineáris csoport 38 7.2. Golay-kódok, Steiner-rendszerek és egyszerű csoportok 41 8. Szabad csoportok 45 8.1. Kongruenciák 45 8.2. Szabad csoportok jellemzése 46 8.3. Csoportprezentációk 47

2 1. BEVEZETÉS A csoportelmélet az algebra egyik legsikeresebb ága, amelyet a matematika minden területén alkalmaznak. Csoportokkal leggyakrabban szimmetriacsoportok formájában találkozunk, pl. geometriában a síkidomok és testek, modellelméletben és algebrában a struktúrák szimmetriáit (automorfizmusait) említhetjük. Ennek speciális esete a Galois-csoport is, melynek az egyenletek gyökjelekkel való megoldhatóságában és a szerkesztések elméletében van kiemelkedő szerepe. A jegyzet az alapoktól építkezve nyújt betekintést néhány fontos területbe. Részletesen tárgyaljuk a primitív permutációcsoportok elméletét, O Nan és Scott tételével bezárólag, melynek csak egy egyszerű formáját mutatjuk be a bizonyítás nehéz részeinek mellőzésével. Továbbá igyekszünk rávilágítani a véges egyszerű csoportok jelentőségére, és megérteni a véges csoportok elméletben betöltött szerepüket. A jegyzet fő célja az, hogy tudományos segédanyagként szolgáljon a Debreceni Egyetem elsőéves matematikus MSc szakos hallgatóinak a Csoportelmélet tárgy teljesítéséhez. Köszönöm Remete Lászlónak a részletes hibajegyzéket és az észrevételeit, amiknek köszönhetően érthetőbb és a hallgatók számára könnyebben emészthető ez az összefoglaló.

3 2. ALAPOK 2.1. Csoport fogalma. Definíció 2.1. Legyen G egy halmaz, és rajta egy kétváltozós művelet, 1 egy egyváltozós művelet és e G egy konstans. Ekkor (G;, 1,e) egy csoport, ha teljesülnek rá a következő axiómák: asszociatív: g 1,g 2,g 3 G-re (g 1 g 2 ) g 3 = g 1 (g 2 g 3 ) e egységelem: g G-re e g = g e = g 1 inverz: g G-re g g 1 = e = g 1 g Megjegyzés 2.2. A jelet nem szokás kiírni. Néha a kétváltozós műveletet + jelöli (ekkor mindig kiírják, és jellemzően kommutatív csoportokban szokás így jelölni.) Az asszociatív szabály miatt nem szokás egyáltalán zárójelezni a többtényezős szorzatokat. Néhány triviális következmény: Állítás 2.3 (Az egységelem egyértelmű). Legyen G egy csoport és tegyük fel, hogy valamely e G-re fennáll, hogy g G : e g = g (vagy g G : ge = g). Ekkor e = e. Bizonyítás: e = e e = e H F : Cseréljük le a kvantort -re. Igazoljuk az egyszerűsítési szabályt: au = bu a = b. Állítás 2.4 (Az inverz egyértelmű). Legyen G egy csoport és tegyük fel, hogy valamely g G-re g G olyan elem, amire gg = e (vagy g g = e). Ekkor g = g 1. Bizonyítás: g = g 1 gg = g 1. Következmény 2.5. Legyen G egy csoport és legyen g,a,b G. Ekkor (g 1 ) 1 = g és (ab) 1 = b 1 a 1. 2.2. Részcsoportok, példák. Definíció 2.6 (Részcsoport). Legyen G egy csoport, és H G olyan részhalmaza, amiből nem vezetnek ki a műveletek, vagyis: e H g H g 1 H g 1,g 2 H g 1 g 2 H Ekkor H a műveletek megszorításával szintén csoportot alkot. Ezeket G részcsoportjainak hívjuk.

4 Példa 2.1. A számelmélet központi objektumai a (Z; +) végtelen (ciklikus) csoport, az n szerinti maradékosztályok (Z n ;+) csoportja, illetve az n szerinti redukált maradékosztályok csoportja a szorzásra nézve. Az algebrában nagyon fontosak a rögzített K test feletti, n n-es invertálható mátrixok csoportjai, illetve ennek különböző részcsoportjai: GL n (K), SL n (K), PGL n (K), PSL n (K), PΓL n (K),... Különösen fontosak és érdekesek ezek véges testek, R és C esetén. GL n (R) fontos részcsoportjai az ortogonális mátrixok O n (R) és a speciális ortogonális mátrixok SO n (R) csoportjai. Ezekkel analóg módon tekinthető GL n (C)-ben az unitér mátrixok U n (C) és a speciális unitér mátrixok SU n (C) csoportja. A leggyakoribb csoportkonstrukció, amikor valamilyen matematikai objektum szimmetriáinak csoportját tekintjük. Ez a matematika különböző ágaitól függően lehet pl. geometria: Síkidomok, testek szimmetriacsoportja, odellelmélet, algebra: struktúrák automorfizmuscsoportja (ennek speciális esete a testbővítések Galois-csoportja is), topológia: Homeo(X), metrikus terek izometriacsoportja, mértékelmélet: mértéktaró transzformációk csoportja, stb. A legegyszerűbb példa struktúrák automorfizmuscsoportjára egyben az egyik legfontosabb is: amikor a struktúra nyelve üres, vagyis a halmazok automorfizmuscsoportjai. Definíció 2.7. Legyen X egy halmaz. Ekkor S X (vagy egyes forrásokban Sym(X)) jelöli az X halmaz összes permutációjából álló csoportot, vagyis az összes X X bijekció csoportját a kompozíció műveletére nézve. Ha X véges, és elemszáma n, akkor gyakran S n a bevett jelölés. Megjegyzés 2.8. A pontos megfogalmazás kedvéért: ha α,β S X, akkor ezek szorzata αβ := β α. Definíció 2.9 (Homomorfizmus). Legyen adott a G és a H csoport. Egy ϕ : G H függvény homomorfizmus, ha g, h G-re ϕ(gh) = ϕ(g)ϕ(h), beágyazás, ha injektív homomorfimus, izomorfizmus, ha bijektív homomorfizmus. A G G alakú izomorfizmusok G automorfizmusai. Ezek is csoportot alkotnak, jele: Aut(G). Példa 2.2. Legyen K egy test és K a nemnulla elemek csoportja a szorzásra nézve. Ekkor det : GL n (K) K homomorfizmus a determinánsok szorzástétele alapján. A 2-vel való szorzás egy (Z;+) (Z;+) beágyazás. Legyen (Z 2 ;+) = {0,1}. Ekkor a páros egészeket 0-ba, a páratlanokat 1-be képező függvény egy szürjektív Z Z 2 homomorfizmus.

A szimmetrikus csoportok többek között azért kitüntetett szerepűek a csoportelméletben, mert izomorfia erejéig minden csoport előáll egy szimmetrikus csoport részcsoportjaként. Tétel 2.10 (Cayley reprezentációs tétele). Legyen G egy csoport. Ekkor G beágyazható S G -be. Bizonyítás: Adott g G-re definiáljuk az α g S G függvényt a következő módon. α g (x) := g 1 x Legyen ϕ : G S G, g α g. Ekkor g,h,x G-re α gh (x) = (gh) 1 x = h 1 g 1 x = h 1 α g (x) = α h (α g (x)) = (α h α g )(x), így ϕ(gh) = ϕ(g)ϕ(h). Továbbá ϕ injektív, hiszen g h esetén α g (e) α h (e) miatt α g α h. Definíció 2.11 (Mellékosztály). Legyen G egy csoport, és legyen H G egy részcsoportja. Ekkor adott g G elemre a gh = {gh h H} G részhalmazt H g-szerinti baloldali mellékosztályának hívjuk (G-ben). Hasonlóan, a Hg = {hg h H} G részhalmazt H g-szerinti jobboldali mellékosztályának hívjuk (G-ben). Definíció 2.12 (Komplexusszorzat). Legyen G egy csoport, és legyen S, T G. Ekkor ST := {st s S,t T }. Ez egy asszociatív szorzási műveletet definiál G részhalmazain, melynek speciális esete a mellékosztály is. Értelmezzük még az S 1 = {s 1 s G} kifejezést is. H F : Igazoljuk a komplexusszorzás asszociativitását, és azt, hogy (ST ) 1 = T 1 S 1. Tétel 2.13. Legyen G egy csoport, és legyen H G egy részcsoportja. Ekkor H bármely két baloldali mellékosztálya vagy egyenlő vagy diszjunkt, és a baloldali mellékosztályok partícionálják G-t. (Hasonlóan jobboldali mellékosztályokra.) Bizonyítás: Ha g 1 H g 2 H /0 valamely g 1,g 2 G-re, akkor legyen x g 1 H g 2 H. Legyenek h 1,h 2 H olyan elemek, amelyekre g 1 h 1 = x = g 2 h 2. Legyen h H tetszőleges. Ekkor g 1 h = g 1 h 1 h 1 1 h = g 2h 2 h 1 1 h g 2H. Így g 1 H g 2 H, és persze hasonlóan g 2 H g 1 H is igazolható. Tehát g 1 H = g 2 H. Már csak azt kell észrevennünk, hogy minden g G elem benne van egy baloldali H-mellékosztályban, pl. g = ge gh. Következmény 2.14 (Lagrange-tétel). Ha G véges csoport és H G, akkor H osztója G -nek. Definíció 2.15 (Rend, index). Ha G véges csoport, akkor a G számra G rendjeként hivatkozunk. Ha H G, akkor a G / H számot a H részcsoport indexének nevezzük. (Lagrange tétele szerint ez egész szám.) Végtelen G csoport esetén egy H G indexe H (baloldali) mellékosztályai halmazának a számossága (ami lehet véges egész szám és végtelen is). Jele: G : H. 5

6 H F : Mutassuk meg, hogy az index definíciója nem függ attól, hogy H bal- vagy jobboldali mellékosztályainak számosságát tekintjük. (Emiatt mostantól kezdve legális H indexéről beszélni.) H F : Mutassuk meg, hogy véges sok véges indexű részcsoport metszete is véges indexű. (Poincaré) Definíció 2.16 (Generált részcsoport, generátorrendszer, ciklikus csoportok). Legyen G egy csoport, és legyen S G egy részhalmaz. Az S által generált részcsoport G-ben a legszűkebb részcsoportja G-nek, ami S-et tartalmazza. Jelölése: S. Ha S = G, akkor S a G egy generátorrendszere. Ha a G csoportnak van egyelemű generátorrendszere, akkor G ciklikus. H F : Jellemezzük belülről a generált részcsoportot. 2.3. Homomorfizmusok, normálosztók. Definíció 2.17 (Konjugálás). Legyen G egy csoport, és legyen g G. Ekkor az α g : G G, x g 1 xg műveletet g szerinti konjugálásnak hívjuk. H F : Gondoljuk át, hogy az x y g G : g 1 xg = y egy ekvivalenciareláció G-n. Ekvivalenciaosztályait G konjugáltosztályainak nevezzük. Definíció 2.18 (Normálosztó). Legyen G egy csoport, és N G olyan részcsoportja, ami zárt bármely G-beli elemmel való konjugálásra. Ezeket G normálosztóinak hívjuk. Jelölés: N G. H F : Jellemezzük belülről a generált normálosztót. (Ez mit jelent?) Definíció 2.19 (Mag, kép). Legyen adott egy ϕ : G H csoporthomomorfizmus. Ennek magja a {g G ϕ(g) = e H } halmaz. Jele: Ker(ϕ). A ϕ homomorfizmus képe a {h H g G : ϕ(g) = h} halmaz. Jele: Im(ϕ). H F : A 2.17. Definícióbeli jelölést használva: g G-re α g automorfizmus, és α : G Aut(G), g α g homomorfizmus. Im(α) jelölése Inn(G). Mi Ker(α)? Lemma 2.20. Legyen adott egy ϕ : G H csoporthomomorfizmus. Ekkor ϕ(e G ) = e H és g G : ϕ(g 1 ) = ϕ(g) 1. Bizonyítás: Csoportban az egységelemet egyértelműen jellemzi az e 2 = e tulajdonság, és ϕ(e G ) 2 = ϕ(e 2 G ) = ϕ(e G), így ϕ(e G ) = e H. A második állításhoz az inverz egyértelműsége miatt elég: ϕ(g)ϕ(g 1 ) = ϕ(gg 1 ) = ϕ(e G ) = e H és hasonlóan ϕ(g 1 )ϕ(g) = e H. Állítás 2.21. Legyen adott egy ϕ : G H csoporthomomorfizmus. Ekkor Ker(ϕ) G és Im(ϕ) H.

Bizonyítás: Ker(ϕ) részcsoport: ϕ(e G ) = e H, g Ker(ϕ) ϕ(g 1 ) = ϕ(g) 1 = e 1 H = e H g 1 Ker(ϕ), g 1,g 2 Ker(ϕ) ϕ(g 1 g 2 ) = ϕ(g 1 )ϕ(g 2 ) = e H e H = e H g 1 g 2 Ker(ϕ). Normalitás: g G,n Ker(ϕ) ϕ(g 1 ng) = ϕ(g 1 )ϕ(n)ϕ(g) = ϕ(g 1 )e H ϕ(g) = ϕ(g) 1 ϕ(g) = e H g 1 ng Ker(ϕ). Im(ϕ) részcsoport: ϕ(e G ) = e H e H Im(ϕ), g G ϕ(g 1 ) = ϕ(g) 1 ϕ(g) 1 Im(ϕ), g 1,g 2 G ϕ(g 1 g 2 ) = ϕ(g 1 )ϕ(g 2 ) ϕ(g 1 )ϕ(g 2 ) Im(ϕ). Állítás 2.22. Legyen adott egy G csoport és egy N G normálosztó. Ekkor minden g G elemre gn = Ng. Bizonyítás: Legyen n N tetszőleges. Ekkor gn = (gng 1 )g Ng. Így gn Ng, és hasonlóan Ng gn. Ezzel értelmet nyert az a kifejezés, hogy egy normálosztó mellékosztályai, nem szükséges megadni, hogy bal- vagy jobboldali mellékosztályokról beszélünk. Célunk annak megmutatása, hogy amennyiben a 2.12. Definícióbeli komplexusszorzást kellőképpen speciális részhalmazokra szorítjuk meg, akkor csoportot kapunk. Ezek a speciális részhalmazok egy adott normálosztó mellékosztályai. Definíció 2.23 (Faktorcsoport). Legyen G egy csoport és N G. Ekkor N mellékosztályai csoportot alkotnak a komplexusműveletekre nézve. Továbbá N az egységelem, (gn) 1 := g 1 N, g 1 Ng 2 N := g 1 g 2 N. Ezt a G csoport N szerinti faktorcsoportjának nevezzük. Jelölése: G/N. Bizonyítás: Vegyük észre, hogy N 1 = N és NN = N, hiszen N részcsoport. Továbbá tetszőleges g G-re g 1 Ng N és gng 1 N, hisz N normálosztó, ezért N g 1 Ng, ami a másik irányú tartalmazással együtt a g 1 Ng = N egyenlőséghez vezet. Így (gn) 1 = Ng 1 = g 1 N, valamint g 1 Ng 2 N = g 1 g 2 NN = g 1 g 2 N az 2.22. Állítás miatt. A csoportaxiómák könnyen ellenőrizhetők. Állítás 2.24. Legyen adott egy G csoport és egy N G normálosztó. Ekkor a ν : G G/N, x xn függvény szürjektív homomorfizmus, melynek magja N. Bizonyítás: A szürjektivitás nyilvánvaló. Homomorfizmus, mert ν(g 1 g 2 ) = g 1 g 2 N = g 1 g 2 NN = g 1 Ng 2 N = ν(g 1 )ν(g 2 ). Tetszőleges g G-re ν(g) = N gn = N g N, így Ker(ν) = N. Definíció 2.25 (Természetes homomorfizmus). A 2.24. Állításbeli homomorfizmust az N-hez tartozó természetes homomorfizmusnak hívjuk. Állítás 2.26 (Normálosztók jellemzése). Legyen G egy csoport és N G. Az alábbiak ekvivalensek: 7

8 N G. N G és N konjugáltosztályok uniója. N G és g G : g 1 Ng N. N G és g G : gn = Ng. N egy homomorfizmus magja. Következmény 2.27. Legyen G tetszőleges csoport, és legyen H G. Tegyük fel, hogy G : H = 2. Ekkor H G. Bizonyítás: A 2.26. Állítás negyedik pontja alapján közvetlenül adódik. 2.4. Izomorfizmustételek. Tétel 2.28 (Homomorfizmustétel). Legyen adott egy ϕ : G H csoporthomomorfizmus. Ekkor Im(ϕ) = G/Ker(ϕ). Bizonyítás: Legyen Ker(ϕ) := N és deiniáljuk a ι : (G/N) Im(ϕ), gn ϕ(g) leképezést. Ekkor ι jóldefiniált és injektív, hiszen g 1 N = g 2 N g 1 2 g 1 Ker(ϕ) ϕ(g 1 2 g 1) = e H ϕ(g 1 ) = ϕ(g 2 ). Nyilván ι szürjektív is. Emellett ι homomorfizmus, hiszen ι(g 1 g 2 N) = ϕ(g 1 g 2 ) = ϕ(g 1 )ϕ(g 2 ) = ι(g 1 N)ι(g 2 N). H F : Bizonyítsuk be, hogy minden ciklikus csoport izomorf (Z;+) vagy Z n valamelyikével (n N + ). Példa 2.3. Legyen K tetszőleges test, melynek multiplikatív csoportja K. Ekkor det : GL n (K) K szürjektív homomorfizmus, magja SL n (K). Így SL n (K) GL n (K), és K = GL n (K)/SL n (K). σ : S n { 1,1} leképezés, mely pontosan a páros permutációkhoz rendel 1-et, egy szürjektív homomorfizmus. Ennek magja a páros permutációk A n részcsoportja. Következmény 2.29 (I. izomorfizmustétel). Legyen G egy csoport, és legyen N G, H G. Ekkor (H N) H, H,N = HN = NH G, és H/(H N) = HN/N. Bizonyítás: A H, N = HN = NH G állítások a normálosztók korábban igazolt tulajdonságai alapján nyilvánvalóak. Általában egy struktúrán értelmezett homomorfizmus megszorítható annak bármely részstruktúrájára, és így egy a részstruktúrán értelmezett homomorfizmust kapunk. A ν : G G/N természetes homomorfizmus megszorításával H-ra épp egy H G/N homomorfizmust kapunk, melynek képe H, N /N = HN/N, magja pedig azon H-beli elemek

halmaza, melyeket a természetes homomorfizmus N-be képzett, azaz H N. A homomorfizmustétel alapján készen vagyunk. Következmény 2.30 (II. izomorfizmustétel). Legyen G egy csoport, és legyen M, N G, melyekre M N. Ekkor (N/M) (G/M), (G/M)/(N/M) = G/N, és G/M részcsoportjai egy-egyértelmű megfeleltetésben állnak G-nek az M-et tartalmazó részcsoportjaival, és a megfeleltetés a normálosztókat is párba állítja. Bizonyítás: Célunk egy olyan ϕ : G/M G/N homomorfizmust definiálni, ami összeköti a G (G/M) és G (G/N) természetes homomorfizmusokat. Legyen ϕ(gm) := gn tetszőleges g G-re. Ez jóldefiniált, hiszen g 1 M = g 2 M g 1 2 g 1 M g 1 2 g 1 N g 1 N = g 2 N, és homomorfizmus, mert ϕ(ghm) = ghn = gnhn = ϕ(gm)ϕ(hm). Ker(ϕ) = N/M, így (N/M) (G/M), továbbá Im(ϕ) = G/N, így a homomorfizmustétel alapján (G/M)/(N/M) = G/N. Legyen adott H úgy, hogy M H G. Ekor M H, és persze (H/M) (G/M). A ι : H H/M megfeleltetés tehát megad egy leképezést G-nek az M-et tartalmazó részcsoportjairól G/M részcsoportjaiba. Ha pedig K (G/M), akkor legyen χ(k) := {g G gm K}. Könnyen ellenőrizhető, hogy M χ(k) G, és hogy ι és χ egymás inverz függvényei. Már láttuk, hogy H G-re ι(h) (G/M). Végül K (G/M),g χ(k) és h G esetén h 1 ghm = h 1 MgMhM = (hm) 1 (gm)(hm) K, azaz h 1 gh χ(k). Így χ(k) normális G-ben. Megjegyzés 2.31. A homomorfizmustétel, illetve az I. és II. izomorfizmustételek általánosíthatók gyűrűkre, sőt teljesen általános algebrai struktúrákra is. 9 Következmény 2.32 (Zassenhaus-lemma). Legyen G egy csoport, és legyenek adottak a H 1,H 2 G és N 1 H 1, N 2 H 2 részcsoportok. Ekkor Bizonyítás: Legyen N 1 (H 1 H 2 ) N 1 (H 1 N 2 ) H 1 H 2 = (H 1 N 2 )(N 1 H 2 ) = N 2(H 1 H 2 ) N 2 (H 2 N 1 ) H := H 1 H 2,N (1) := N 1 (H 1 N 2 ),N (2) := N 2 (H 2 N 1 ) Az ötlet az, hogy alkalmazzuk az I. izomorfizmustételt a HN (i) csoportban a H részcsoportra és az N (i) normálosztóra (i = 1,2). Ehhez be kell látnunk, hogy H valóban normalizálja az N (i) részcsoportot G-ben, azaz tetszőleges h H elemre a h-val való konjugálás nem vezet ki N (i) -ből (i = 1, 2). A bizonyítást i = 1-re végezzük el. Legyen tehát n 1 n 2 N (1), ahol n 1 N 1,n 2 H 1 N 2, és legyen h H. Ekkor h 1 n 1 n 2 h = (h 1 n 1 h)(h 1 n 2 h), és h 1 n 1 h N 1 (mert h H 1,n 1 N 1 ), valamint h 1 n 2 h H 1 N 2 (mert h H 1,n 2 H 1, és mert h H 2,n 2 N 2 ).

10 H1 H2 HN(1) HN(2) H:=H1 H2 H N(1):=N1(H1 N2) N(1) N(2) N(2):=N2(H2 N1) (H1 N2)(H2 N1) N1 N2 H2 N1 H1 N2 FIGURE 1. A piros vonalakkal jelzett faktorcsoportok izomorfak Így valóban H,N (i) = HN (i). Ahhoz, hogy az I. izomorfizmustétel felírásával épp a kívánt eredményt kapjuk, a következőt kell leellenőriznünk: H N (1) = (H 1 N 2 )(N 1 H 2 ) Valójában belátjuk, hogy az ábra szerinti tartalmazási viszonyok mind helyesek. Így megmutatjuk, hogy (H 1 N 2 )(H 2 N 1 ) = (H 2 N 1 )(H 1 N 2 ) = H N (1) = H N (2) = N (1) N (2). A rövidség kedéért legyen M := (H 1 N 2 )(H 2 N 1 ). Az világos, hogy M (H 2 N 1 )(H 1 N 2 ), hiszen ha n 2 H 1 N 2 és n 1 H 2 N 1, akkor n 2 n 1 = n 1 (n 1 1 n 2n 1 ) (H 2 N 1 )(H 1 N 2 ). Az indexek cseréjével megkapjuk a fordított irányú tartalmazást is. Ebből az is közvetlenül adódik, hogy M N (1) és M N (2), azaz M N (1) N (2). Most belátjuk az állítás szempontjából lényeges (H 1 N 2 )(H 2 N 1 ) = H N (1) összefüggést. Ehhez ismét írjuk fel a baloldal egy elemét n 2 n 1 alakban, ahol n 2 H 1 N 2 és n 1 H 2 N 1.

Ekkor n 1,n 2 H, így n 2 n 1 H. Így M H. Másrészt M N (1) már volt, tehát M H N (1). A fordított irányú tartalmazáshoz legyen h H N (1). Ekkor h H felírható h = n 1 n 2 alakban, ahol n 1 N 1,n 2 H 1 N 2. Spec., n 2 H, ezért n 1 = hn 1 2 H, vagyis n 1 H N 1. Így n 1 n 2 épp egy jó felírás: n 1 H 2 N 1,n 2 H 1 N 2. Tehát megkaptuk, hogy M = H N (1), és az indexek cseréjével M = H N (2). Az I. izomorfizmustételt felírva készen vagyunk. Végül (az ábra teljes igazolása végett) megmutatjuk, hogy N (1) N (2) M. Ehhez annyit kell észrevenni, hogy N (i) H i miatt N (1) N (2) H. 3. DIREKT SZORZAT ÉS ABEL CSOPORTOK Definíció 3.1 (Ciklikus csoport). Az egy elemmel generálható csoportokat ciklikus csoportnak nevezzük. Minden ciklikus csoport izomorf (Z;+) vagy Z n valamelyikével (n N + ). Definíció 3.2 (Elemrend). Legyen G egy csoport és g G. Ekkor o(g) = g a g elem rendje. Ez a legkisebb n N +, amire g n = e, feltéve hogy ilyen szám létezik (különben végtelen rendű elemről beszélünk.) 11 Megjegyzés 3.3. A számelméletből jól ismert Euler-Fermat-tétel nem egyéb, mint a redukált maradékosztályok Zn szorzáscsoportjára felírt Lagrange-tétel. mod n Állítás 3.4. Legyen G egy csoport és g G egy véges rendű elem. Ekkor tetszőleges k N-re g k = e o(g) k, és ez a tulajdonság egyértelműen jellemzi az o(g) számot a természetes számok között. Bizonyítás: Osszuk el maradékosan a k számot o(g)-vel. Ekkor g k = g r = e r = 0 o(g) k. k = m o(g) + r Állítás 3.5. Legyen g a Z n ciklikus csoport egy generátoreleme, és legyen k N. Ekkor o(g k ) = n (n;k). Bizonyítás: (g k ) m = e g km = e n km n (n;k) m Következmény 3.6. Legyen k N. Z n -ben pontosan akkor van k-rendű elem, ha k n, és a k- rendű elemek száma ekkor ϕ(k), ahol ϕ az Euler-féle ϕ függvény. (Spec: Z n -ben pontosan egy Z k -val izomorf részcsoport van minden k n esetén.) Bizonyítás: Egy k-adrendű elem egy k-elemű részcsoportot generál, így Lagrange tétele miatt k n szükséges feltétel. Másrészt ez elégséges is, hiszen az 3.5. Állítás miatt o(g n/k ) = k ha g egy generátorelem Z n -ben. Továbbá, szintén az 3.5. Állítás miatt 1 m n esetén o(g m ) = k n (n;m) = k (n;m) = n nk k 1 l k amire m = l és (l;k) = 1. Az ilyen l számok száma épp ϕ(k).

12 Definíció 3.7 (Direkt szorzat). Legyen A és B két csoport. Ekkor A B az a csoport, melynek alaphalmaza A és B Descartes-szorzata, a műveletek pedig a két csoportból koordinátánként származtathatók: (a 1,b 1 ),(a 2,b 2 ) A B (a 1,b 1 )(a 2,b 2 ) = (a 1 a 2,b 1 b 2 ), (a 1,b 1 ) 1 = (a 1 1,b 1 1 ), az egységelem pedig (e A,e B ). Ha G = A B, akkor G-ben az (a,e B ) alakú elemek (a A) egy A-val izomorf normálosztót alkotnak, a beágyazást a ι A : A G, a (a,e B ) adja meg. Hasonlóan definiálható a ι B : B G, b (e A,b) beágyazás, melynek képe szintén normálosztó G-ben. Ekkor Im(ι A ) Im(ι B ) = {e G }, és Im(ι A ),Im(ι B ) = Im(ι A )Im(ι B ) = G. Most megmutatjuk, hogy ezek a feltételek valóban elegendőek is ahhoz, hogy egy csoport előálljon direkt szorzatként. Tétel 3.8 (A direkt szorzat belső jellemzése). Legyen G egy csoport, melyben A, B olyan normálosztók, amikre A B = {e} és A,B = G. Ekkor A minden eleme felcserélhető B bármely elemével, tetszőleges g G egyértelműen felírható g = ab, a A,b B alakban, és G = A B. Bizonyítás: Az első állítás gyakorlaton lesz. A,B = AB = G, tehát tetszőleges g G felírható g = ab, a A,b B alakban. Két ilyen felírásra, g = ab = a b esetén (a ) 1 a = b b 1 A B, ezért (a ) 1 a = b b 1 = e, azaz a = a és b = b. Tehát a felírás egyértelmű. Ekkor a G A B izomorfizmus megadható úgy, hogy tetszőleges g G elemhez hozzárendeljük az (a,b) párt, ahol g = ab az elem fentebbi egyértelmű felírása volt. 3.1. Kommutatív csoportok. Definíció 3.9. Ha egy (G;+,,0) csoportban a kétváltozós művelet kommutatív, azaz a,b G- re a + b = b + a, akkor G egy Abel-csoport. Megjegyzés 3.10. Kommutatív csoportok esetén direkt szorzat helyett a direkt összeg kifejezést használjuk, és ezt az szimbólummal jelöljük. Példa 3.1. A ciklikus csoportok kommutatívak. Sőt, ciklikus csoportok direkt összege is kommutatív. Célunk belátni, hogy véges csoportok körében nincs is más példa. A bizonyításhoz szükségünk lesz Cauchy tételére (melyet azonban nem csak kommutatív csoportokra igazolunk). Tétel 3.11 (Cauchy). Legyen G véges csoport, és legyen p N egy prím. Tegyük fel, hogy p G. Ekkor G-ben van p-rendű elem.

Bizonyítás: Legyen S := {(g 1,...,g p ) G p g 1 g p = e}. Értelmezzük G-n a relációt úgy, hogy (g 1,...,g p ) (g 1,...,g p) 1 i p amire g k = g k+i, ahol az indexek mod p értendők. Ez egy ekvivalenciareláció, és mivel p prím, így könnyen látható, hogy egy (g 1,...,g p ) G p ekvivalenciaosztálya pontosan akkor nem p-elemű, ha g 1 = = g p, akkor pedig az ekvivalenciaosztálynak egyetlen eleme van. S = G p 1, hiszen az első (p 1) koordináta szabad választása után a p-edik pontosan egyféleképpen adható meg úgy, hogy a p-es S-ben legyen. Tehát p S. Vegyük észre, hogy S-ben van egyelemű ekvivalenciaosztály szerint, hiszen {(e,...,e)} ilyen. Így az oszthatósági észrevétel miatt van legalább még egy egyelemű ekvivalenciaosztály: (g,...,g) S, vagyis g e, amire g p = e. Tétel 3.12 (Véges Abel-csoportok alaptétele). Minden véges Abel-csoport előáll prímhatványrendű ciklikus csoportok direkt összegeként. A felírásban a tagok sorrendtől eltekintve izomorfia erejéig egyértelműek. A bizonyítás néhány segédtétel után következik. Előbb a létezést látjuk be. Első lépésben az állítást visszavezetjük prímhatványrendű csoportokra. Lemma 3.13. Legyen G egy véges Abel-csoport, melyre G = p α 1 1 pα 2 2 pα r r G rendjének prímtényezős felbontása. Ekkor egyértelműen léteznek olyan G 1,...,G r G részcsoportok, melyekre G i = p α i i és G = G 1 G r. Bizonyítás: Minden 1 i r esetén legyen G i := {g G o(g) p k i,k N}. Jelöljük H i- vel a {g G p i o(g)} részhalmazt G-ben. Ezek G részcsoportjai, hiszen Abel-csoportokban o(a + b) o(a)o(b). Lagrange tétele miatt tetszőleges g G-re o(g) = p β 1 1 pβ 2 2 pβ r r alakú. Legyen g 1 = (p β 2 2 pβ r r ) g és legyen h 1 = p β 1 1 g. Ekkor pα 1 1 g 1 = 0, így g 1 G 1, továbbá (p β 2 2 pβ r r ) h 1 = 0, így h 1 H 1. Mivel p β 1 1 és p β 2 2 pβ r r relatív prímek, így alkalmas s,t N-re sp β 1 1 + t pβ 2 2 pβ r r = 1, vagyis s h 1 +t g 1 = g. Eszerint G = G 1 + H 1, és persze G 1 H 1 = {0}, azaz G = G 1 H 1. Indukcióval tovább bontva a H 1 részcsoportot adódik, hogy G épp a fentebb definiált G i részcsoportok direkt összege. Az egyértelműséghez vegyük észre, hogy amennyiben J i = p α i i és G = J 1 J r egy megfelelő felírás, úgy Cauchy tétele miatt J i G i. Ha valamelyik tartalmazás szigorú volna, úgy a J 1 J r direkt összeg elemszáma kisebb lenne G 1 G r = G -nél. Lemma 3.14. Legyen G egy véges Abel-csoport, melyre G = p n, p prím. Ekkor G előáll p- hatvány rendű ciklikus csoportok direkt összegeként. Bizonyítás: Ha n = 1, akkor az állítás triviális, így legyen n 2, és tegyük fel, hogy az állítás igaz (n 1)-re. Legyen g G a legnagyobb rendű elem G-ben, és jelöljük K-val a g által generált részcsoportot, valamint legyen p k := o(g). Megmutatjuk, hogy K-nak létezik direkt komplementuma, azaz olyan H G, amire K H = {0} és K + H = G. Ehhez válasszuk H-t úgy, hogy maximális legyen G azon részcsoportjai között, melyeknek a K-val való metszete triviális. 13

14 Indirekte tegyük fel, hogy válsztható egy u G \ (K + H) elem. Mivel o(g) maximális rend G-ben, így p k u = 0 K + H. Legyen tehát 0 l k az a szám, amire p l u / (K + H) és p l+1 u (K +H). Vagyis v := p l u választással v / (K +H) és p v (K +H). Utóbbi alapján p v = r g + h alakú alkalmas r N,h H-ra. Mivel o(g) maximális rend G-ben, így p k v = 0, azaz p k 1 r g + p k 1 h = 0, és K H = {0} miatt ekkor p k 1 r g = p k 1 h = 0. De o(g) = p k, vagyis r = pt alkalmas t N-re. Így h = p (v t g). Legyen w := v t g. Nyilván w / K + H (hiszen ellenkező esetben v K +H), de p w H. Ezért w / H, azaz H,w bővebb részcsoport H-nál, és H, w : H = p. H választásából adódóan ekkor H, w metszete K-val nemtriviális, van benne egy s g 0 elem. Mivel H,w : H = p, így H,w -nek az egyetlen H-t szigorú értelemben tartalmazó részcsoportja maga H,w. Tehát H,s g = H,w, így w K + H, ellentmondás. Az indukciós feltevés szerint H előáll p-hatvány rendű ciklikus csoportok direkt összegeként. Ezzel minden készen áll ahhoz, hogy összefoglaljuk az 3.12. Tétel bizonyítását. Bizonyítás: [Véges Abel-csoportok alaptétele] Az 3.13. és 3.14. Lemmák alapján megkaptuk a véges Abel-csoportok alaptételéből a létezésre vonatkozó állítás bizonyítását. Most megmutatjuk az egyértelműséget. Adott p prímre, mely osztja G -t, a 3.13. Lemma szerint két felírásban megegyezik azon rész direkt összeg, mely összegyűjti a p-hatvány rendű ciklikusokat. Így az egyértelműséget elegendő p n -rendű Abel-csoportra igazolni. Legyen tehát p prím és G = p n egy Abel-csoport. Legyen G = Z p α 1 Z p α k, és tegyük fel, hogy α 1 α k. Számoljuk le G-ben a legfeljebb p l -rendű elemeket minden 1 l n-re. Megmutatjuk, hogy ez a (felírástól független) adathalmaz egyértelműen meghatározza k értékét és az {{α 1,...,α k }} multihalmazt. Minden 1 i n-re jelölje β i azon 1 j k indexek számát, amire α j i. (Spec: β 1 = k.) Legyen g G, és tegyük fel, hogy p l g = 0. Ha g = (g 1,...,g k ), akkor ez azzal ekvivalens, hogy 1 i k-ra p l g i = 0. Ilyen g i elemből Z p α i -ben (az 3.6. Következmény szerint) épp min(p α i, p l ) = p min(αi,l) van. (Spec: legfeljebb p-rendű elemből G-ben éppen p k van, ez meghatározza k értékét.) Ekkor tehát k i=1 p l -rendű elemek száma G-ben.. k p min(αi,l) i,l) = pi=1min(α egyértelműen meghatározott, hiszen ez épp a legfeljebb A G csoport tehát meghatározza k min(α i,l) értékét, ami éppen i=1 A k i=1 l i=1 min(α i,l) = l β l + (l 1) (β l 1 β l ) + + 2 (β 2 β 1 ) + 1 (β 1 β 2 ) = l β i i=1 β i értékekből ( 1 l n-re) a β i értékek is kikövetkeztethetők. Persze a β 1,...,β n értékek triviális módon meghatározzák a k,α 1,...,α k értékeket, igazolva a felírás egyértelműségét.

3.2. Végesen generált Abel-csoportok. A következő tétel általánosítja a véges Abel-csoportok alaptételét. Tétel 3.15 (Végesen generált Abel-csoportok alaptétele). Legyen G egy végesen generált Abelcsoport. Ekkor G előáll végtelen ciklikus csoportok (i.e., (Z; +)-szal izomorf csoportok) és prímhatványrendű ciklikus csoportok direkt összegeként. A felírás a tagok sorrendjétől eltekintve egyértelmű. Lemma 3.16 (Egy számelméleti érdekesség). Legyenek z 1,...,z k Z, amikre (z 1 ;...;z k ) = 1. Ekkor van olyan A Z k k mátrix, aminek első sora (z 1,...,z k ) és det(a) = ±1. ( A 1 Z k k ) Bizonyítás: A bizonyítás z 1 + + z k szerinti teljes indukcióval történik. Ha z 1 + + z k = 1, akkor pontosan az egyik z i elem értéke ±1, a többi 0. Ez az eset triviális. Az általános esetben feltehető, hogy z 1 és z 2 nem nulla és z 1 z 2 > 0. Ekkor cseréljük le z 1 -et a z 1 z 2 egész számra. Ekkor az indukciós feltevés miatt ez a sor kiterjeszthető egy B mátrixszá úgy, hogy det(b) = ±1. Ebből az A mátrix úgy kapható meg, ha hozzáadjuk B második oszlopát az elsőhöz. Definíció 3.17. Egy G csoportot torziócsoportnak nevezünk, ha benne minden elem rendje véges. Ha G egy Abel-csoport, akkor a G-beli véges rendű elemek részcsoportot alkotnak, ezt hívják G torziórészcsoportjának. Bizonyítás: [Végesen generált Abel-csoportok alaptétele] Létezés: Legyen {x 1,...,x k } minimális generátorrendszer, amire az (o(x 1 ),...,o(x k )) sorozat minimális a lexikografikus rendezés szerint (itt előfordulhatnak végtelen rendű elemek: a végtelenre úgy tekintünk, hogy az minden természetes számnál nagyobb). Azt állítjuk, hogy G = x 1 x k. Mivel definíció szerint {x 1,...,x k } generátorrendszer, így elég azt megmutatni, hogy ezek az elemek Z felett függetlenek. Tegyük fel, hogy ez nem így van, és legyen m j+1 x j+1 + + m k x k = 0 úgy, hogy m j+1,...,m k Z és m j+1 0. Feltehető, hogy 0 < m j+1 < o(x j+1 ). Legyen m = (m j+1 ;...;m k ) és z i := m i m minden j + 1 i k-ra. Ekkor a 3.16. Lemma alapján van olyan A Z (k j) (k j) aminek első sora épp (z j+1,...,z k ). Így A 1 Z (k j) (k j). Legyen x := (x 1,...,x k ) T és y := (x 1,...,x j,y j+1,...,y k ) T, ahol (y j+1,...,y k ) T = A (x j+1,...,x k ) T. Vagyis [ ] [ ] Ij 0 Ij 0 x = y, és 0 A 0 A 1 y = x mutatja, hogy x és y elemei ugyanazt a részcsoportot generálják G-ben (azaz G-t). Továbbá o(y j+1 ) m m j+1 < o(x j+1 ), ami ellentmond annak, hogy x-ben az elemrendek minimálisak a lexikografilkus rendezésre. Egyértelműség: Legyen G torziórészcsoportja G 0. Ez bármely felírásban éppen a véges komponensek direkt összege. Így a véges komponensek direkt összege minden felírásban ugyanaz, maguk a véges komponensek pedig emiatt izomorfia erejéig (sorrendtől eltekintve) egyértelműen meghatározottak (a véges Abel-csoportok alaptételében az egyértelműséget már megmutattuk). 15

16 Annyit kell még megmutatnunk, hogy a végtelen komponensek száma is egyértelmű. Belátjuk, hogy ez a szám éppen a G-ből kiválasztható olyan elemek maximális száma, amik függetlenek Z felett. (Véges Abel-csoportokra ez a szám 0.) Legyen tehát G egy felírásában r végtelen faktor. Ekkor G-ben van r független elem (Z felett), pl. azok az elemek a direkt összegben, amelyek valamely végtelen faktorban 1-et, a többi koordinátában 0-t vesznek fel. Másrészt legyen adott (r + 1) elem g 1,...,g r+1 G, ezek első r koordinátájából összeállítható a z 1,1... z 1,r. z r+1,1... z r+1,r Z (r+1) r mátrix. Erre tekinthetünk Q (r+1) r -beli mátrixként. Mivel rangja legfeljebb r, így alkalmas racionális együtthatókkal vett lineáris kombinációja a soroknak 0. Felszorozva a nevezőkkel megkapjuk a sorok egy egész együtthatós lineáris kombinációját is, ami 0. Ha az összes egész együtthatót megszorozzuk G 0 rendjével, akkor olyan n 1,...,n r+1 Z együtthatósorozatot kapunk, mellyel az n 1 g 1 + + n r+1 g r+1 = 0. Megjegyzés 3.18. A végesen generált Abel-csoportok alaptétele, a Jordan-normálalakról szóló tétel, valamint az a tétel, miszerint minden véges dimenziós vektortérnek van bázisa, egy tőről fakadnak. A közös általánosítás az ún. Főideálgyűrűk feletti végesen generált modulusok alaptétele. (Az Abel-csoportok épp a Z-modulusok, a K test feletti vektorterek pedig a K-modulusok. A Jordan-normálalak esetében a kapcsolat némileg bonyolultabb.) 3.3. Szemidirekt szorzat. Definíció 3.19 (Szemidirekt szorzat). Legyen N és H két csoport, és legyen adott egy ϕ : H Aut(N) homomorfizmus. Ekkor a H N alaphalmazon megadható egy csoport a következő szorzással: (h 1,n 1 ),(h 2,n 2 ) H N (h 1,n 1 )(h 2,n 2 ) = (h 1 h 2,ϕ(h 2 )(n 1 )n 2 ) Az egységelem (e H,e N ), az inverz (h,n) 1 = (h 1,ϕ(h) 1 (n 1 )). Jele: H ϕ N, vagy ha a ϕ homomorfizmust nem szeretnénk hangsúlyozni, akkor H N. Bizonyítás: A szorzás asszociatív: ((h 1,n 1 )(h 2,n 2 ))(h 3,n 3 ) = (h 1 h 2,ϕ(h 2 )(n 1 )n 2 )(h 3,n 3 ) = = (h 1 h 2 h 3,ϕ(h 3 )(ϕ(h 2 )(n 1 )n 2 )n 3 ) = (h 1 h 2 h 3,(ϕ(h 3 ) ϕ(h 2 ))(n 1 )ϕ(h 3 )(n 2 )n 3 ) = = (h 1 h 2 h 3,ϕ(h 2 h 3 )(n 1 )ϕ(h 3 )(n 2 )n 3 ) = = (h 1,n 1 )(h 2 h 3,ϕ(h 3 )(n 2 )n 3 ) = (h 1,n 1 )((h 2,n 2 )(h 3,n 3 )) Továbbá (e H,e N )(h,n) = (h,ϕ(h)(e N )n) = (h,n) = (he H,ϕ(e H )(n)e N ) = (h,n)(e H,e N ), és

17 (h,n)(h 1,ϕ(h) 1 (n 1 )) = (e H,ϕ(h) 1 (n)ϕ(h) 1 (n 1 )) = = (e H,ϕ(h) 1 (e N )) = (e H,e N ) = (e H,n 1 n) = = (e H,ϕ(h)(ϕ(h) 1 (n 1 ))n) = (h 1,ϕ(h) 1 (n 1 ))(h,n) Ha G = H N, akkor G-ben a (h,e N ) alakú elemek (h H) egy H-val izomorf részcsoportot alkotnak, az (e H,n) alakú elemek (n N) pedig egy N-nel izomorf normálosztót. Megfeleltetve H-t és N-et ezeknek, fennáll, hogy H N = {e} és H,N = HN = NH = G. Megmutatjuk, hogy mindez elégséges ahhoz, hogy G előálljon szemidirekt szorzatként. Tétel 3.20 (A szemidirekt szorzat belső jellemzése). Legyen G egy csoport, melyben H G és N G-re H N = {e} és H,N = G. Ekkor (G = HN és) tetszőleges g G egyértelműen felírható g = hn, h H,n N alakban, és G = H N. Bizonyítás: Az első pont éppúgy igazolható, mint direkt szorzatra. Mivel N G, így tetszőleges h H elemmel való α h konjugálás (x h 1 xh) megszorítható N-re, és annak automorfizmusa. Legyen ϕ : H Aut(N), Ekkor tetszőleges h 1,h 2 H,n 1,n 2 N elemekre h α h N h 1 n 1 h 2 n 2 = h 1 h 2 h 1 2 n 1h 2 n 2 = h 1 h 2 ϕ(h 2 )(n 1 )n 2 Tehát ismét az egyértelmű g = hn felírásnak megfelelően definiálhatjuk a G H N bijekciót: hn (h,n). Ez egy G H ϕ N izomorfizmus. Egy speciális eset az úgynevezett holomorf. Definíció 3.21. [Holomorf] Legyen G egy tetszőleges csoport. Ekkor Aut(G) id G a G csoport holomorfja. Jelölése: Hol(G). Ekkor tehát G Hol(G). Ebben a bővebb csoportban G minden automorfizmusa egy (ideális) elemmel való konjugálás: α Aut(G) esetén (α,e G ) 1 (id G,g)(α,e G ) = (α 1,e G )(id G,g)(α,e G ) = = (α 1,e G )(α,α(g)) = (id G,α(g)) ami épp azt jelenti, hogy ha Hol(G)-ben az α automorfizmusnak megfelelő elemmel konjugáljuk a g-nek megfelelő G-beli elemet, akkor az α(g)-nek megfelelő G-beli elemet kapjuk. Példa 3.2. Hol(Z 3 ) = S 3 Példa 3.3. D n = Z2 Z n, a nemtrivális (2-rendű) automorfizmus Z n -ben itt az inverzképzés.

18 Megjegyezzük, hogy minden direkt szorzat egyben szemidirekt szorzat is; ehhez a ϕ homomorfizmust a triviális homomorfizmusnak kell válsztanunk, vagyis ami H minden elemét az identitáshoz rendeli. Példa 3.4 (Az affin geometria alaptétele). Legyen K egy test és V egy véges dimenziós vektortér K felett. Jól ismert tétel, miszerint a V -ből képzett A V affin geometria bijektív kollineációi (A V A V egyenestartó bijekciók) éppen a szemiaffin leképezések, vagyis azok, amik felírhatók egy V -beli szemilineáris transzformáció és egy eltolás kompozíciójaként. Egy ϕ : V V, ϕ(0) = 0 transzformáció szemilineáris, ha alkalmas α Aut(K) testautomorfizmusra fennáll, hogy k K,u,v V -re ϕ(u + v) = ϕ(u) + ϕ(v) és ϕ(ku) = α(k)ϕ(u). Ezek közül a bijektívek éppen egy GL(V )-beli lineáris transzformációnak és egy α Aut(K) testautomorfizmusnak a kompozíciói. V bijektív szemilineáris transzformációinak halmazát ΓL(V ) jelöli. Könnyen látható, hogy ebben GL(V ) (a lineáris transzformációk csoportja) egy normálosztó, és a testautomorfizmusok halmaza egy ettől diszjunkt részcsoport. Vagyis ΓL(V ) = Aut(K) GL(V ). Az összes bijektív kollineáció csoportját úgy kapjuk, ha ezeket komponáljuk az eltolásokkal. Abban az eltolások részcsoportja normálosztó, tehát az A V affin geometria "szimmetriáinak" csoportja (logikus a geometria szimmetriáinak azokat a permutációkat tekinteni, amik megőrzik a geometriai struktúrát) felbontható a ΓL(V ) (V ;+) szemidirekt szorzatra. Összegezve, A V bijektív kollineációi: (Aut(K) GL(V )) (V ;+). Példa 3.5 (A projektív geometria alaptétele). Legyen K egy test és V = K 3 egy háromdimenziós vektortér K felett. Ekkor P V jelöli azt a projektív síkot, melynek alaphalmaza (V \ {0})/, ahol u v k K : ku = v. Jól ismert tétel, miszerint a V -ből képzett P V projektív sík bijektív kollineációi (P V P V egyenestartó bijekciók) éppen a szemiprojektív leképezések, vagyis azok, amik egy V -beli szemilineáris transzformációból származtathatók. Ez alatt azt értjük, hogy a ΓL(V ) csoport hatását tekintjük a (V \ {0})/ halmazon. Ez a szemilinearitás miatt jóldefiniált, és ΓL(V )-beli elemek pontosan akkor indukálják ugyanazt a leképezést a (V \ {0})/ halmazon, ha egymás testelemszeresei. Vagyis a csoporthatás magjától úgy szabadulhatunk meg, ha a ΓL(V ) csoportot lefaktorizáljuk a skalármátrixok által alkotott normálosztóval (H F : ez épp a csoport centruma). Így kapjuk a PΓL(V ) csoportot. Analóg módon (és teljesen hasonló motivációból) definiálhatjuk a GL(V )/Z(GL(V )) = PGL(V ) csoportot is. (H F : itt is a centrummal faktorizáltunk.) Az előző példa mintájára PΓL(V ) = Aut(K) PGL(V ). Valójában megfelelő módon definiálva a projektív tereket tetszőleges n 2 dimenziós V vektortérből kiindulva, és megfelelő elvárásokat támasztva a szimmetriacsoportra, minden dimenzióban PΓL(V ) = Aut(K) PGL(V ) a projektív tér szimmetriacsoportja.

19 Kezdjük egy kis ismétléssel. 4. NEVEZETES RÉSZCSOPORTOK ÉS CSOPORTHATÁSOK Definíció 4.1 (kommutátor). Legyen G egy csoport, a,b G. Ekkor [a,b] := a 1 b 1 ab az a és b elemek kommutátora. Állítás 4.2. [a,b] = e ab = ba Definíció 4.3. Legyen G egy csoport, g G, H G. A g elem centralizátora C G (g) = {a G [a,g] = e}. A H részcsoport normalizátora N G (H) = {a G a 1 Ha H}. G kommutátor-részcsoportja G = [a,b] a,b G G centruma Z(G) = C G (h). h G Állítás 4.4. Legyen G egy csoport, g G, H G. Ekkor C G (g) G, és G : C G (g) a g konjugáltosztályának mérete. N G (H) G a legnagyobb részcsoport G-ben, amiben H normálosztó, és G : N G (H) a H részcsoport különböző konjugáltjainak a szám(osság)a. G G a legkisebb normálosztó G-ben, ami szerinti faktorcsoport kommutatív. Z(G) G. Az állítás első két pontja jól megfogalmazható a csoporthatások nyelvén. 4.1. Csoporthatások. Definíció 4.5. Legyen G egy csoport és X egy halmaz. Egy ϕ : G S X homomorfizmust csoporthatásnak nevezünk. Megjegyzés 4.6 (Alternatív definíció). Legyen G egy csoport és X egy halmaz, továbbá Φ : G X X egy olyan leképezés, amire: x X-re Φ(e,x) = x, és g,h G,x X-re Φ(g,Φ(h,x)) = Φ(gh,x) Ekkor a (G,X,Φ) hármast csoporthatásnak nevezzük. Gyakorta a körülményes jelölések helyett egyszerűen g x vagy gx is használatos. H F : Mutassuk meg a két definíció ekvivalenciáját. Definíció 4.7. Legyen adott egy ϕ : G S X csoporthatás, és legyen g G,x X. Ekkor x orbitja az Orb(x) = {y X h G : ϕ(h)(x) = y}. Az x elem stabilizátora: Stab G (x) = {h G ϕ(h)(x) = x}. Ez G-nek egy részcsoportja.

20 A g csoportelem fixpontjainak halmaza Fix(g) = {y X ϕ(g)(y) = y}. Megjegyzés 4.8. Az orbitok a következő ekvivalenciareláció ekvivalenciaosztályai: x y g G : ϕ(g)(x) = y. Állítás 4.9. Legyen adott egy ϕ : G S X csoporthatás, és legyen x X. Ekkor Orb(x) = G : Stab G (x). Bizonyítás: g,h G-re ϕ(g)(x) = ϕ(h)(x) ϕ(gh 1 )(x) = x gh 1 Stab G (x) g 1 Stab G (x) = h 1 Stab G (x). Példa 4.1. Legyen G tetszőleges csoport, g G, H G. Már definiáltuk az α : G Aut(G), h α h leképezést, ahol α h a h elemmel való konjugálás G alaphalmazán. Ez Aut(G) S G alapján egy csoporthatás. Egy elem orbitja épp a konjugáltosztálya, egy a G elem stabilizátora pedig C G (a). Erre a csoporthatásra felírva a 4.9. Állítást épp azt kapjuk, hogy a centralizátor indexe a konjugáltosztály mérete. Hasonlóan definiálhatjuk egy elem hatását egy részcsoporton a konjugálással. Legyen tehát Sub(G) a G részcsoportjainak halmaza, és ϕ(g)(h) := g 1 Hg tetszőleges g G,H G esetén. Ekkor ϕ : G S Sub(G) egy csoporthatás. Erre felírva a 4.9. Állítást épp azt kapjuk, hogy a normalizátor indexe a részcsoport konjugáltjainak számossága. Tétel 4.10 (Burnside-lemma). Legyen adott egy véges G csoport, egy véges X halmaz és egy ϕ : G S X csoporthatás. Ekkor 1 G Fix(g) az orbitok száma. g G Bizonyítás: A bizonyítás a kettős leszámlálás módszerén alapul. Legyen U = {(g,x) G X ϕ(g)(x) = x}. Az U halmaz elemszámát kétféleképpen számolhatjuk le: G illetve X elemei szerint csoportosítva a párokat. Ekkor U = G x X g G Fix(g). Másrészt a 4.9. Állítás miatt U = x X Stab G (x) = x X G Orb(x) = 1 Orb(x). Legyenek O 1,...O k a csoporthatás orbitjai. A szummában a tagokat orbitonként csoportosítva egy orbiton az összeg éppen 1 lesz: G x X G k, amit U másik felírásával összehasonlítva g G adódik. 1 Orb(x) = G k 1 i=1 x O i Fix(g) = G k és 1 G g G O i = G k 1 = i=1 Fix(g) = k Definíció 4.11. Egy csoporthatás tranzitív, ha egyetlen orbitja van. Általánosabban, egy ϕ : G S X csoporthatás k-tranzitív, ha tetszőleges páronként különböző a 1,...,a k X és páronként különböző b 1,...,b k X elemekre létezik olyan g G, amire ϕ(g)(a i ) = b i minden 1 i k esetén.

Példa 4.2. Legyen G egy csoport és H G. Ekkor G hat a H baloldali mellékosztályainak halmazán: ϕ(g)(ah) := g 1 ah. Ez minden esetben tranzitív csoporthatást definiál. (H = {e} választással megkapjuk Cayley reprezentációs tételét, lásd 2.10. Tétel.) A példában szereplő állítás lényegében előállítja az összes tranzitív csoporthatást. Definíció 4.12 (Csoporthatások izomorfiája). Legyen adott egy ϕ : G S X és egy ψ : H S Y csoporthatás. Ezek izomorfak, ha létezik olyan ι : G H csoportizomorfizmus és f : X Y bijekció, amire f (ϕ(g)(x)) = ψ(ι(g))( f (x)) minden g G,x X esetén. Állítás 4.13. Legyen adott egy ϕ : G S X tranzitív csoporthatás. Legyen H := Stab G (x) valamely x X elemre. Ekkor G hatása H baloldali mellékosztályain a balról szorzással izomorf a ϕ : G S X csoporthatással. Bizonyítás: Minden y X elem felírható ϕ(g y )(x) alakban alkalmas g y G-re. Az alaphalmazok közti bijekció ennek megfelelően legyen f : X (G : H), y g 1 y H, ahol (G : H) jelöli a H baloldali mellékosztályainak halmazát G-ben. (A ι : G G izomorfizmus az identitás.) Ekkor f jóldefiniált, lásd a 4.9. Állítás bizonyítását. Továbbá tetszőleges g G-re f (ϕ(g)(y)) = f (ϕ(g)(ϕ(g y )(x))) = f (ϕ(g y g)(x))), mert ϕ homomorfizmus, és ez f definíciója alapján éppen (g y g) 1 H = g 1 (g 1 y H) = g 1 f (y), ami a két csoporthatás izomorfiáját mutatja. Állítás 4.14. Legyen adott egy k 2 természetes szám és egy ϕ : G S X csoporthatás, X k. Az alábbiak ekvivalensek. (1) A ϕ : G S X csoporthatás k-tranzitív. (2) A ϕ : G S X csoporthatás tranzitív és bármely x X-re Stab G (x) hatása az X \ {x} halmazon (k 1)-tranzitív (3) A ϕ : G S X csoporthatás tranzitív és valamely x X-re Stab G (x) hatása az X \ {x} halmazon (k 1)-tranzitív Bizonyítás: (1) (2) Definíció szerint. (2) (3) Triviális. (3) (1) Legyenek adottak a páronként különböző a 1,...,a k X és páronként különböző b 1,...,b k X elemek. A tranzitivitás miatt vannak olyan g,h G elemek, amikre ϕ(g)(a 1 ) = x és ϕ(h)(b 1 ) = x. Továbbá Stab G (x) (k 1)-tranzitivitása miatt van olyan f Stab G (x), amire ϕ( f )(ϕ(g)(a i )) = ϕ(h)(b i ) teljesül minden 2 i k esetén. Ekkor ϕ(g f h 1 ) olyan permutációja X-nek, aminél a i képe b i minden 1 i k esetén. Példa 4.3. A testekkel koordinátázható affin terek kollineációinak csoportja (lásd 3.4. Példa) tranzitívan hat az affin téren. Valóban, eltolás segítségével tetszőleges pontot teszőleges másik pontba el tudunk vinni. Egy elem stabilizátora éppen a szemilineáris transzformációk ΓL(V ) csoportja. A megfeleltetés úgy kapható, ha a tér adott pontját (amelyiknek a stabilizátorát vettük) 21

22 origónak képzeljük, és felveszünk ebből kiindulva egy bázist. (A megfeleltetés nem természetes, a szó kategóriaelméleti értelmében.) Elhagyva ezt az origónak kinevezett pontot az alaphalmazból, a szemilineáris transzformációk csoportja még mindig tranzitív. (Bármely két nemnulla u, v V vektorhoz létezik olyan invertálható lineáris transzformációja V -nek, ami u-t v-be viszi.) Így az affin terek kollineációinak csoportja 2-tranzitív. Sőt, ehhez elegendő GL(V )-beli transzformációkat alkalmazni, nincs szükség testautomorfizmusokra. Vagyis GL(V ) (V,+) az értelemszerű hatással szintén 2-tranzitív. Az affin esetben általában itt ér véget a történet: ha u 1,u 2 összefüggők, de v 1,v 2 nem, akkor nyilván nincs olyan invertálható lineáris transzformációja V - nek (sőt nincs olyan kollineáció), ami az (u 1,u 2 ) párt (v 1,v 2 )-be viszi. Vagyis GL(V ) (V,+) (és az affin terek kollineációinak csoportja) általában nem 3-tranzitív. (Általában?) Példa 4.4. Adott K test mellett PΓL 2 (K) tekinthető a projektív egyenes szimmetriacsoportjának. (Miért?) Geometriailag ezt a hatást a K { } alaphalmazon képzelhetjük el. ( a végtelen távoli pont, valójában ez az (1,0) T K 2 vektor ekvivalenciaosztálya, míg K-nak megfelelnek a (k,1) T alakú elemek ekvivalenciaosztályai, k K.) Ezen tehát definiálható PΓL 2 (K) hatása a szokásos geometriai [ értelemben. ] Egyenlőre szorítkozzunk csak PGL 2 (K) hatásának vizsgálatára. Egy mátrixszal való szorzás ekkor a végtelen távoli (1,0) pontot az a 1,1 a 1,1 a 1,2 a a 2,1 a 2,1 2,2 pontba viszi (a fenti megfeleltetést alkalmazva, és a 0 nevezőjű törteket -nek definiálva), egy k K pontot pedig az a 1,1k+a 1,2 a 2,1 k+a 2,2 elembe (értelemszerűen a a 2,2 a 2,1 képe ). Így kapjuk a projektív egyenes Möbius-transzformációinak csoportját, ami tehát PGL 2 (K) hatása a projektív egyenesen a fenti megfeleltetéssel. A[ végtelen távoli ] pont stabilizátora a felső háromszögmátrixok (mellékosztályainak) halmaza: (1,0) T (1,0) T a 2,1 = 0. Ez 2-tranzitívan hat K a 1,1 a 1,2 pon- a 2,1 a 2,2 tjain. Ennek belátásához elég megmutatni, hogy pl. a 0 és 1 elemekből képzett rendezett pár bármilyen x 1,x 2 K, x 1 x 2 párba átvihető alkalmas (a pontot fixáló) Möbius-transzformációval. A 2-tranzitivitás definíciója alapján tehát olyan a 1,1,a 1,2,a 2,2 K elemeket keresünk, amikre a 1,1 0+a 1,2 a 2,2 = x 1 és a 1,1 1+a 1,2 a 2,2 = x 2 (a kissé megtévesztő jelölés ellenére a 1,1,a 1,2,a 2,2 az ismeretlenek és x 1,x 2 adott paraméterek.) Feltétel még, hogy a 1,1,a 2,2 0 (hiszen a mátrix determinánsa nem 0). Az egyenletrendszert megoldva a 1,1 a 2,2 = x 2 x 1 és a 1,2 a 2,2 = x 1, vagyis a 2-tranzitivitás igazolása mellett azt is megkaptuk, hogy skalárszorzó erejéig pontosan egy olyan mátrix van, amivel való szorzás egy adott elempárt egy másik adott elempárba visz. Ez úgy fogalmazható meg, hogy PGL 2 (K) hatása a projektív egyenesen szigorúan 3-tranzitív ( sharply 3-transitive ), ami a 3- tranzitivitásnál annyival állít többet, hogy egyértelműen létezik adott hármast adott hármasba átvivő csoportelem. Ez alapján nem várható, hogy a hatás 4-tranzitív legyen. Valóban, könnyen ellenőrizhető, hogy bármely GL 2 (K)-beli mátrixszal való szorzás megőrzi 4 elem kettősviszonyát.

23 4.2. Permutációcsoportok. Definíció 4.15. Legyen adott egy X halmaz és egy G S X csoport. Ekkor G egy permutációcsoport. A permutációcsoport a csoporthatás egy speciális esetének tekinthető: ha ϕ : G S X injektív (,i.e., Ker(ϕ) triviális), akkor ϕ beágyazza a G csoportot S X -be. Az ilyen csoporthatásokat szokás hűségesnek is nevezni. Mivel a permutációcsoportok speciális csoporthatások, így az előző alfejezetben igazolt tételek mind felírhatók rá. Az alfejezet további részében szinte kizárólag tranzitív permutációcsoportokkal kapcsolatos fogalmakat és tételeket tekintünk át. A 4.13. Állítás miatt tranzitív G S X permutációcsoportok esetén nincs lényegi különbség aközött, ha permutációcsoportként vagy absztrakt csoportként tekintünk G-re: a hatást egyértelműen meghatározza egy pont stabilizátora, ami G-nek egy részcsoportja. Definíció 4.16. Egy G S X permutációcsoport szemireguláris ha az egységelemet leszámítva minden eleme fixpontmentes. Reguláris, ha szemireguláris és tranzitív. ( szigorúan 1-tranzitív) Megjegyzés 4.17. A Cayley-tétel bizonyításánál megadott permutációcsoport reprezentációja a G csoportnak reguláris. Adott K test feletti V vektortérre (V,+) hatása az affin téren reguláris. Definíció 4.18. Legyen f : A A egy függvény és R A n egy n-változós reláció. Azt mondjuk, hogy f megőrzi R-et, ha minden (a 1,...,a n ) R esetén ( f (a 1 ),..., f (a n )) R. Továbbá f erősen megőrzi R-et, ha minden (a 1,...,a n ) A n esetén (a 1,...,a n ) R ( f (a 1 ),..., f (a n )) R. Hasonlóan A n A n alakú függvények halmazára is alkalmazzuk ezeket a fogalmakat, ha a függvényhalmaz minden elemére fennállnak. Spec.: egy permutációcsoport megőriz (ill. erősen megőriz) egy relációt, ha benne minden permutáció megőrzi (ill. erősen megőrzi) az adott relációt. Megjegyzés 4.19. Az egyenlőség relációt minden függvény megőrzi, és pontosan az injektív függvények őrzik meg erősen. Egy permutációcsoport pontosan akkor őriz meg egy relációt, ha erősen is megőrzi azt. Vigyázat: egyetlen permutációra viszont nem feltétlenül igaz hasonló állítás! Pl. az f : Z Z, x x+1 megőrzi a pozitív számok halmazát (ez egy egyváltozós reláció), de f (0) = 1, így erősen nem őrzi meg azt. 4.3. Primitív permuatációcsoportok. Definíció 4.20. Egy G S X permutációcsoport primitív, ha tranzitív és nem őriz meg egyetlen nemtriviális ekvivalenciarelációt sem (az = és az X X relációkat minden függvény megőrzi, ebben az esetben ezek a triviális ekvivalenciarelációk). Ellenkező esetben imprimitív permutációcsoportról beszélünk.

24 Megjegyzés 4.21. Általában csoporthatásra is volna értelme, de lényegében nem nyerünk vele: ϕ : G S X primitív G/Ker(ϕ) primitív. Definíció 4.22 (Imprimitivitási tartomány). Legyen adott egy G S X permutációcsoport. A X halmaz imprimitivitási tartomány, ha tetszőleges g G-re g = /0 vagy. Állítás 4.23. Egy G S X tranzitív permutációcsoport pontosan akkor primitív, ha az {x} és az X halmaztól eltekintve nincs imprimitivitási tartománya. Bizonyítás: Ha egy imprimitivitási tartomány, akkor a h alakú halmazok (h G) X egy partícióját adják. Az ennek megfelelő ekvivalenciarelációt (x y x és y ugyanabban a h alakú halmazban van) G megőrzi: g G-re és x y esetén ha x,y h, akkor gx,gy (gh)( ). Így primitív permutációcsoportnak nem lehet valódi nemtriviális imprimitivitási tartománya. Ha pedig a csoport megőriz egy ekvivalenciarelációt, akkor annak ekvivalenciaosztályai imprimitivitási tartományok. Állítás 4.24. Ha G S X 2-tranzitív, akkor primitív. Bizonyítás: Egy 2-tranzitív permutációcsoport csak az /0,=, és az X X relációkat őrzi meg a 2-változós relációk közül. A primitív permutációcsoportok osztálya tehát a tranzitív és a 2-tranzitív permutációcsoportok osztálya között foglal helyet. Megjegyzés 4.25. O Nan és Scott tételének köszönhetően jól használható leírást kaphatunk a véges primitív permutációcsoportokra. (O Nan és Scott eredetileg a véges szimmetrikus csoportok maximális részcsoportjaira adtak egy relatíve világos leírást, majd ezt az eredményt többen továbbfejlesztették.) A leírás igen bonyolult, előnye, hogy több osztályba sorolja a véges primitív permutációcsoportokat, melyek külön-külön viszonylag jól átláthatók. A leírásban szereplő osztályozásban fontos szerep jut a véges egyszerű csoportoknak és a koszorúszorzat konstrukciójának. (Utóbbit lásd lentebb.) A tétel igazi ereje abban rejlik, hogy a véges egyszerű csoportokat klasszifikálták, így egy primitív csoportokról szóló állítás vizsgálatánál az ezekkel kapcsolatos osztályokra az O Nan-Scott tételben gyakran könnyen ellenőrizhető az adott állítás. Definíció 4.26 (Koszorúszorzat). Legyen X véges halmaz és ϕ : H S X egy csoporthatás. Legyen G egy tetszőleges csoport. Legyen B = G X = { f f : X G} csoport a koordinátánkénti szorzással, vagyis minden x X esetén tekintjük G-nek egy G x példányát, és ezeket direkt szorozzuk. (Ha pl. X = {x 1,...x n }, akkor B = G n.) Ekkor H hat B-n: ψ : H Aut(B), ψ(h)( f )(x) = f (ϕ(h)(x)). (A másik jelöléssel: (h 1 f )(x) = f (h 1 x).) Így definiálható a H ψ B szemidirekt szorzat. Ennek jelölése G X H vagy GWr X H vagy Gwr X H, illetve alsó indexben jelölhetjük a ϕ homomorfizmust is. B a koszorúszorzat bázisa. A reguláris koszorúszorzat ennek a speciális esete, amikor X = H (és ϕ = id H ). Ezt (is) szokás G H vagy GWrH vagy GwrH-val jelölni. De ugyanez a jelölés olyankor is használatos, ha H hatása értelemszerű (pl. H = S n ).