Turjányi Sándor Bevezetés a kombinatorikába és a gráfelméletbe mobidiák könyvtár
mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ: FAZEKAS ISTVÁN
Turjányi Sándor Debreceni Egyetem Bevezetés a kombinatorikába és a gráfelméletbe Egyetemi jegyzet Első kiadás mobidiák könyvtár Debreceni Egyetem
Lektor: Dr. Lakatos Piroska, egyetemi docens Debreceni Egyetem Copyright c Turjányi Sándor Copyright c elektronikus közlés mobidiák könyvtár, 2005-08-10 mobidiák könyvtár Debreceni Egyetem Informatikai kar 010 Debrecen Pf.12 http://mobidiak.inf.unideb.hu A mű egyéni tanulmányozás céljára szabadon letölthető. Minden egyéb felhasználás csak a szerző előzetes írásbeli engedélyével történhet. A mű a "mobidiák önszervező mobil portál"(ikta,omfb-00373/2003) projekt keretében készült.
Előszó A kombinatorika a matematikának egy viszonylag fiatal ága, nagyon gyorsan fejlődő területe. A fiatal jelző itt arra utal, hogy e résztudomány nagyobbik része a XX. század második felében született. Természetesen itt is találhatók olyan problémák, például a szabályos testek, amelyek már az ókorban is ismertek voltak. A következő oldalak zöme a gráfelméletről szól. A gráfelmélet népszerűségét szemléletességének, egyszerűségének, sokféle alkalmazásának köszönheti. A fiatalság, s a látszólagos egyszerűség mögött azonban nagyon mély eredmények és hatékony eszközök rejtőznek, amelyekre legfeljebb utalni tudunk. Körülbelül 500 oldalas az a cikksorozat, amelyben Neil Robertson és Paul Seymour publikálta a minor-tétel bizonyítását 1983 és 2000 között. A minor-tétel azt állítja, hogy véges gráfok bármely végtelen halmazában van legalább egy olyan gráf, amelyik egy másiknak minorja. A minor-tételről illetve egyszerűbb változatának bizonyításáról a részletek iránt érdeklődőnek Reinhard Diestel könyvét ajánljuk a figyelmébe. Természetesen mi csak "rövid" bizonyításokat ismertettünk, s azokból sem túl sokat. Úgy véljük azonban, hogy a bizonyítások alapötleteinek megértése, végiggondolása a matematika lényegéhez szorosan hozzá tartozik. A feladatok megoldásához többnyire a bizonyítások megértése szolgáltatja az ötletet, a kulcsot. A teljesség igénye nélkül ismertettünk néhány gráfelméleti algoritmust, mellőzve az eljárások alaposabb elemzését. Ajánljuk az Érdeklődő Olvasónak, hogy az irodalomjegyzékben szereplő könyvek közül többe is lapozzon bele és válassza ki a saját maga számára legjobban olvasható, érthető könyvet. Néhány webcímet is megadunk, ahol letölthető könyvet, jegyzetet, példatárat lel a Tisztelt Olvasó. Néhány matematikusról lábjegyzetben írunk egy pár szót. E matematikatörténeti megjegyzésekkel azt szeretnénk érzékeltetni, hogy a matematikát emberek alkotják, s absztraktsága ellenére is nagyon emberi tudomány, amely az emberekről szól az emberekért. Szeretnénk köszönetet mondani azoknak, akik megjegyzéseikkel, észrevételeikkel munkánkat segítették, hallgatóknak és kollégáknak egyaránt. Jónás Ágnesnek, Hutás Henriettának, Miskolczi Pannának külön is köszönjük, hogy nyári szabadidejüket részben e jegyzet olvasására áldozták. Ádám Zsolt volt az, aki azon túl, hogy e jegyzetet Win Wordből Tex-be áttette, átszerkesztette, igen sok elírást is kiigazított. Nyul Gábornak, Tengely Szabolcsnak számos hasznos kritikai megjegyzést köszönhetünk. Lakatos Piroskának alapos lektori munkáját köszönjük. Gaál Istvánnak nagy türelmét és rendkívüli segítőkészségét köszönjük. Győry Kálmánnak, Kedves Tanárunknak oly sok mindenért tartozunk köszönettel (és oly régóta), hogy az egyszerű felsorolás is bőven meghaladná e soványka jegyzet terjedelmét. Elnézést kérünk mindazoktól, akik bármilyen formában is segítették munkánkat és itt nem említettük meg név szerint őket.
Tartalomjegyzék Fejezet 1. Gráfelméleti alapfogalmak........................................ 1 1. Gráfok, csúcsok, élek............................................................... 1 2. Lokális tulajdonságok............................................................... 3. Utak, körök, fák.................................................................... 7. Speciális gráfok, teljes gráf, komplementer gráf...................................... 13 Feladatok............................................................................. 15 Fejezet 2. A klasszikus kombinatorikus leszámlálás alapjai.................. 18 1. Permutációk, variációk, kombinációk ismétléssel és ismétlés nélkül................... 18 2. Binomiális és polinomiális tétel..................................................... 21 2.1. A Pascal-háromszög................................................... 22 3. Sperner tétele az antiláncokról...................................................... 25. Szita-formula (Tartalmazás és kizárás elve).......................................... 26 5. Permutációk, szimmetrikus csoport................................................. 28 Feladatok............................................................................. 31 Fejezet 3. Euler-gráfok, Euler-utak, Hamilton-utak és Hamilton-körök...... 35 1. Euler-gráfok........................................................................ 35 2. Hamilton-körök, Hamilton utak..................................................... 38 3. Az utazó ügynök problémája........................................................ 2 3.1. A "legközelebbi szomszéd" algoritmus................................. 2 3.2. A rendezett élek algoritmusa.......................................... 2 Feladatok............................................................................. 3 Fejezet. Összefüggőség................................................... 6 1. Szeparáló élhalmazok, vágások..................................................... 6 2. Él szerinti összefüggőség, csúcsok szerinti összefüggőség............................. 7 3. Páros gráfok....................................................................... 52 Feladatok............................................................................. 58 Fejezet 5. Euler-formula, síkbarajzolható gráfok, szabályos testek.......... 60 1. Euler-formula, gráfok síkbarajzolhatósága.......................................... 60 2. Szabályos poliéderek............................................................... 65 Fejezet 6. Lineáris algebra és gráfok....................................... 67 1. Vektorterek a 2 elemű test felett................................................... 67 2. Mátrix reprezentációk.............................................................. 70 2.1. Az illeszkedési mátrix................................................ 70
2.2. A körmátrix.......................................................... 7 2.3. A csúcsmátrix........................................................ 75 3. Matroidok......................................................................... 77 3.1. A mohóalgoritmus matroidokra................................................... 79 Fejezet 7. Gráfok színezése................................................ 80 1. Gráfok csúcsainak, éleinek színezése, kromatikus szám, kromatikus index........... 80 2. Az ötszín-tétel..................................................................... 86 Fejezet 8. Ramsey-féle problémák.......................................... 90 Fejezet 9. Generátorfüggvények, rekurzív sorozatok........................ 95 Feladatok............................................................................. 100 Tárgymutató............................................................................ 103 Irodalomjegyzék........................................................................ 107
FEJEZET 1 Gráfelméleti alapfogalmak "Minden józan ítéletű ember előtt ismeretes, hogy néhány év óta már elkezdődött az írás magyar nyelven is, amelyet nekünk Cicero és minden műveltebb nemzet példája alapján, súlyos okokból napról-napra mind jobban és jobban, tőlünk telhetőleg művelni és gazdagítani kell." Bornemisza Péter: Üdvözlet a nyájas olvasónak (1558). 1. Gráfok, csúcsok, élek Van, aki a gráfelmélet kezdetét 1735-re datálja, mikor is Euler 1 megoldotta a königsbergi hidak problémáját. Van, aki Kirchoff elektromos hálózatokra vonatkozó 187-ben publikált eredményeihez kapcsolja a gráfelmélet kezdetét. Mások Cayleynek egy 1857-ben megjelent cikkét tekintik az első gráfelméleti tanulmánynak, melyet egy szerves-kémiai alkalmazás motivált. S természetesen olyanok is vannak, akik Guthrienek (1850 körül) De Morganhoz intézett kérdésétől számítják a gráfelmélet kezdetét. A nevezetes kérdés a négyszín-sejtés korai megfogalmazása volt. Mindenesetre talán elfogadható álláspont az, hogy a gráfelmélet valahol, valamikor megszületett, és az utóbbi 50 évben egyre több helyen alkalmazzák: operációkutatásban, elektromos hálózatok tervezésében, számítástechnikában. Emlékezve a gráfelmélet 1 Leonhard Euler (1707-1783) Svájcban, Basel mellett született egy miniszter fiaként. Svájcban teológiát és matematikát tanult. Matematika tanára Johann Bernoulli volt, akinek fiaival Nicklaus-sal, s Daniel-lel jó barátokká váltak (érdemes megjegyezni, hogy Euler apja pedig Jakob Bernoulli-tól, Johann Bernoulli bátyjától tanult matematikát). Euler 16 évesen filozófiából mester fokozatot szerzett (ez nagyjából a mai magyar egyetemi diplomának felel meg). Nagy Péter cár 1727-ben, Nicklaus és Daniel Bernoulli ajánlására, meghívja Szentpétervárra, az 1725-ben alapított Imperial Academy-re. 1727 és 171, valamint 1766 és 1783 között Szentpéterváron él és alkot, 171-től 1766-ig pedig Berlinben, a Royal Academy-n volt állásban, ahová Nagy Frigyes hívta meg. Több mint 700 cikket és könyvet írt. 178-ban megjelent "Introductio" c. két kötetes könyvében a végtelen sorfejtések elméletét ismerteti, s ott szerepel többek között az e x, sin x, cos x végtelen sora, a ζ(s) = 1 n=1 n s ha R(s) > 1 komplex (analitikus) függvény, és annak a prímszámokkal való kapcsolata is. Euler munkásságáról, tevékenységéről, mindennél többet mondanak Gauss (1777-1855) szavai: "Euler műveinek a tanulmányozása mindig a legjobb iskola lesz a matematika különböző területei számára és semmi más nem helyettesítheti". Gaussról tudni kell, hogy soha senki sem vádolta meg azzal, hogy túlzásba viszi más matematikusok munkáinak dicséretét. Laplace (179-1827) tömören csak annyit mond: "Olvassák Eulert, ő a mi mesterünk mindenben". Euler kétszer nősült, s 13 gyermeke volt, 1735-ben az egyik, 1766-ban a másik szemére is megvakult. A Svájci Tudományos Akadémia Euler összegyűjtött munkáit és leveleit 85 kötetben tervezi megjelentetni, s 1999-ig 76 kötetet már ki is adott. 1
2 geometriai, topológiai indíttatására, a gráfokat némileg pontatlanul úgy is szokták jellemezni, mint pontok és vonalak halmazát. Mi itt, a tárgyalás elején, igyekszünk tisztán a halmazelmélet nyelvén definiálni a legtöbb gráfelméleti alapfogalmat. Természetesen nem mondunk le arról a lehetőségről sem, hogy felhasználjuk a matematika más területein elért eredményeket mondandónk jobb megvilágítása érdekében. 1.1. Definíció. Legyenek E, V diszjunkt halmazok és legyen ϕ : E V V (az E halmaznak V önmagával vett V V Descartes szorzatába való) leképezése, ekkor a G = (E, ϕ, V ) -t irányított gráf nak nevezzük. A V halmaz önmagával vett rendezetlen szorzatán azt a halmazt értjük melynek elemei a (v i, v j ) alakú rendezetlen párok, ahol v i, v j V, más szóval a (v i, v j ) és a (v j, v i ) rendezett párokat azonosnak tekintjük. Jele: V rn V. 1.2. Definíció. Legyenek E, V adott halmazok és legyen ϕ : E V rn V. A G = (E, ϕ, V ) -t gráf nak nevezzük. Az E halmaz elemeit a G gráf éleinek, a V halmaz elemeit a gráf csúcspontjainak mondjuk. A G = (E, ϕ, V ) gráf éleinek a jelölésére alkalmanként az E(G) szimbólumot, csúcsainak a jelölésére a V (G) szimbólumot fogjuk használni a rövidség kedvéért. Ha e E, és ϕ(e) = (v 1, v 2 ), ahol v 1, v 2 V, akkor ezt úgy mondjuk, hogy az e él a v 1 csúcspontból kifut (kimegy), s a v 2 csúcspontba megy, v 2 -be fut. A ϕ leképezést a gráf illeszkedési leképezésének mondjuk. A továbbiakban valamely A halmaz számosságának a jelölésére az A szimbólumot használjuk. Itt jegyezzük meg, hogy e tárgyon belül kivételes esetektől eltekintve, majdnem mindig véges halmazokkal foglalkozunk, azaz a halmazaink elemeinek a száma valamely nemnegatív egész. A G = (E, ϕ, V ) gráfot végesnek mondjuk, ha E és V véges halmazok. A továbbiakban, hacsak az ellenkezőjét nem mondjuk, mindig véges gráfokról beszélünk. 1.3. Definíció. A G = (E, ϕ, V ) gráfot a G = (E, ϕ, V ) gráf részgráf jának nevezzük, ha (i) E E, V V és (ii) e E : ϕ (e) = ϕ(e). 1 5 2 G 1 3 6 1 5 2 G 2 3 1 5 2 G 3 3 6 1. ábra. A fenti definíciót szemléletesen úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a G gráf bármely G részgráfját megkaphatjuk oly módon, hogy G bizonyos éleit töröljük, és ugyancsak törölhetjük G bizonyos csúcsait is. A csúcsok törlésénél, azonban ügyelnünk kell arra, hogy az adott csúcsra illeszkedő valamennyi élt töröljük. Ha a gráfnak valamely e élét töröljük a törlés után megmaradt gráfot röviden (G e)-vel jelöljük. Az 1. ábra G 1 gráfjának 6-os csúcspontjának törlése után kaptuk a G 2 gráfot, G 1 (, 5) élének a törlése után kapjuk G 3 -at.
1. GRÁFOK, CSÚCSOK, ÉLEK 3 A G = (E, ϕ, V ) gráf és a G = (E, ϕ, V ) gráfok metszetén a G G = G (E, ϕ, V ) gráfot értjük, ahol E = E E, V = V V jelöli. Továbbá értelemszerűen bármely e E esetén teljesül, hogy ϕ (e) = ϕ(e) = ϕ (e) (lényegében feltételezzük, hogy G és G oly módon adottak, hogy ha e E, akkor ϕ(e) = ϕ (e)). A G = (E, ϕ, V ) gráf és a G = (E, ϕ, V ) gráfok unióján a G = (E, ϕ, V ) gráfot értjük, ahol E = E E, V = V V jelöli, valamint ha e E, akkor { ϕ(e) ha e E ϕ (e) = ϕ (e) ha e E Teljesen hasonlóan értelmezzük a (G G )-t, a gráfok különbségét, azaz vesszük a V V ill. az E E halmazokat és a ϕ -t ϕ-nek E E -re való megszorításával kapjuk. 1 2 5 2 G 1 6 3 G 3 7 1 5 2 1 5 2 3 3 8 G és G metszete G és G uniója 6 5 7 8 6 G és G különbsége 2. ábra. A G = (E, ϕ, V ) gráf G = (E, ϕ, V ) részgráfját a V V által indukált részgráf jának mondjuk, ha csak olyan e éleket tartalmaz, amelyek mindkét végpontja V -nek eleme. A G=(E, ϕ, V ) gráf G =(E, ϕ, V ) részgráfját az E E által indukált részgráfjának mondjuk, ha csak olyan csúcspontot tartalmaz, amely valamely e E él végpontja, azaz v V ( e E : ϕ(e ) = (v, u)). 2 2 2 3 3 3 1 1 1 G 1 G 2 G 3 7 6 5 5 6 6 3. ábra. A G 1 gráf 1, 2, 3, 5, 6 csúcspontjai által indukált részgráfja a 3. ábra G 2 gráfja. A G 1 gráf (1,6),(2,3),(3,) élei a G 3 gráfot indukálják.
2. Lokális tulajdonságok "..., hossza éjszakról délre 80, szélessége nyugatról keletre 70 magy. mérföld." P. Gegő Elek: A moldvai magyar csángó telepekről, Budán, 1888. 1.. Definíció. A G = (E, ϕ, V ) irányított gráf v V csúcsának ki fokán a v csúcsból kifutó élek számát értjük és δ ki (v)-vel jelöljük. 1.5. Definíció. A G = (E, ϕ, V ) irányított gráf v V csúcsának be fokán a v csúcsba befutó élek számát értjük és δ be (v)-vel jelöljük. 1.1. Tétel. Ha G=(E, ϕ, V ) véges gráf, akkor δ ki (v) = δ be (v) = E. Bizonyítás: Az élek száma szerinti teljes indukcióval bizonyítunk. Ha a G gráfnak nincs éle, akkor a v V δ ki(v); v V δ be(v); E számok rendre nullával egyenlőek, s így a tétel állítása nyilván teljesül. Tételezzük fel, hogy a tétel igaz bármely olyan G gráfra, amelynek az éleinek a száma n vagy kisebb mint n. Igazoljuk az állítást azon G gráfokra, amelyeknek pontosan n + 1 éle van. Legyen most adott G=(E, ϕ, V ) és E = n + 1, továbbá legyen G =(E, ϕ, V ) olyan részgráfja G-nek, melyre E = n és V = V teljesül, más szóval G -t G valamely e élének a törlésével kaptuk. Az indukciós feltevés szerint δ ki(v) = δ be(v) = E (1) v V v V Azonban a G=(E, ϕ, V ) véges gráf ϕ illeszkedési leképezése bármely e E élhez egyértelműen hozzárendel egy (v 1, v 2 ) rendezett párt, ahol v 1 a ki fokok, v 2 a be fokok, az e él pedig az élek számát növeli eggyel-eggyel. Tehát ha (1) mindkét oldalához 1-et adunk, akkor pont a bizonyítandó δ ki (v) = δ be (v) = E egyenlőség adódik. v V v V 1.6. Definíció. Ha az e él ugyanabba a pontba megy vissza, amelyből kifutott, akkor hurokélnek mondjuk, azaz ha ϕ(e) = (v 1, v 2 ) és v 1 = v 2. A. ábrán a (,), a (21,21) élek hurokélek. 1.7. Definíció. Ha az e 1, e 2 élekre ϕ(e 1 ) = (v 1, v 2 ) és ϕ(e 2 ) = (v 1, v 2 ), akkor az e 1, e 2 éleket szigorúan párhuzamosak nak mondjuk. A. ábrán a (2,3)a és a (2,3)b élek szigorúan párhuzamos élek. 1.8. Definíció. Ha az e 1, e 2 élekre ϕ(e 1 ) = (v 1, v 2 ) és ϕ(e 2 ) = (v 2, v 1 ), akkor az e 1, e 2 éleket párhuzamosak nak mondjuk. A. ábrán az (1,3) és a (3,1) élek párhuzamos élek. Ha a G gráf nem irányított gráf, akkor nincs értelme szigorúan párhuzamos élekről beszélni. Ekkor egyszerűen párhuzamos élt, esetleg többszörös élt mondunk. Nyilván a hurok él fogalma irányított és irányítatlan gráf esetén ugyanaz. Ha valamely G gráfban nincs sem párhuzamos, sem hurokél, akkor a G gráfot egyszerű gráf nak nevezzük. Ha a G gráf egyszerű gráf, akkor bármely e = ϕ(u, v) élét egyértelműen meghatározza az u, v végpontja. A rövidség kedvéért az e élt gyakran csupán uv-vel jelöljük, esetleg használjuk még az uv E(G) jelölést is. A Kedves Olvasó találkozhat v V v V
(2,3) b 1. LOKÁLIS TULAJDONSÁGOK 5 1 (1,2) 2 5 15 16 13 6 20 7 1 19 (1,3) (2,3) 17 (3,1) 9 18 (1,) 8 10 (,) (,3) 3 11 12 21 (21,21). ábra. olyan könyvekkel is, amelyben azon G gráfokat, amelyekben párhuzamos élek is találhatók, multigráfoknak nevezik. Ha valamely gráfnak egyetlen éle sincs, szokás azt üres gráf nak mondani. 1.9. Definíció. A G gráf v csúcsának fokszámán a v-re illeszkedő élek számát értjük. Jele: δ(v), vagy d(v). A G gráf V = (v 1, v 2,..., v n ) csúcsai fokszámainak maximumán a csúcsai fokszámainak minimumán a és az átlagos fokszámán a (G) = max v V (G) d(v) δ(g) = min d(v) v V (G) d(g) = 1 V d(v) számot értjük. A G gráf átlagos fokszáma a gráf globális tulajdonságát méri. Azt, hogy milyen sok éle van a gráfnak a csúcspontjainak a számához viszonyítva. Gyakran használják az ε(g) = E V jelölést is. v V
6 G 1 1 d c G 2 a G 3 e b 2 5. ábra. Az 5. ábra G 1 gráfjának az 1. és a 2. csúcspontjának a fokszáma maximális, azaz (G 1 ) = max d(v) = 5 = d(1) = d(2). A G 2 gráf egyik csúcspontja izolált pont, a másik pontjára is v V (G 1 ) csupán egy hurokél illeszkedik. Az 5. ábra G 3 gráfjának az a, b, c csúcspontjainak a fokszáma minimális, azaz δ(g 3 ) = min d(v) = 1 = d(a) = d(b) = d(c). v V (G 3 ) 1.2. Tétel (kézfogási tétel). Ha a G=(E, ϕ, V ) gráf véges, akkor δ(v) = 2 E. Tekintsünk egy társaságot, ahol az emberek nem csak szóba állnak egymással, de olykorolykor még kezet is fognak, sőt azt sem zárjuk ki, hogy egyesek többször is kezet fogtak vagy valaki önmagával fogott kezet. Ha most az embereket tekintjük a gráfunk csúcspontjainak és egy-egy kézfogást egy élnek, akkor a tétel pontosan azt állítja, hogy a kézfogások száma bármely társaságban páros. Félreértések elkerülése végett, ha X kezet fogott Y-al, akkor Y is kezet fogott X-el (más szóval a kézfogások egyenrangúak). A tétel szigorú bizonyítása az 1.1. tétel bizonyításához hasonlóan történhet. Ha valamely csúcspont foka 0, akkor azt a pontot izolált pontnak nevezzük. 2.1. Következmény. A G gráf páratlan fokú csúcsainak a száma páros. Valóban, a v V δ(v) összeget fel lehet bontani két részre külön gyűjtve a páros és a páratlan fokú csúcsokat, azaz δ(v) = δ(v) + δ(v) = 2 E v V Ebből látható, hogy a összege páratlan, ezért a v V, δ(v) 0 (mod 2) v V, δ(v) 1(mod 2) v V, δ(v) 1(mod 2) Megjegyzés. A kézfogási tétel miatt d(g) = 1 V v V, δ(v) 1 (mod 2) v V δ(v) szám páros, s mivel páratlan sok páratlan szám δ(v) tagjainak a száma csak páros lehet. v V d(v) = 1 2 E = 2ε(G). V
1. UTAK, KÖRÖK, FÁK 7 3. Utak, körök, fák "Hozzon a föld sarjat, magtermő füvet, gyümölcsfát,..." Genezis-Brésith, I.11. 1.10. Definíció. A G=(E, ϕ, V ) gráf e 1, e 2,..., e k élsorozatát sétának mondjuk, ha ϕ(e 1 ) = (v 0, v 1 ), ϕ(e 2 ) = (v 1, v 2 ),..., ϕ(e k ) = (v k 1, v k ). Azaz sétánál ugyanazok az élek és csúcsok többször is szerepelhetnek. rövidebb v 0 e 1 v 1 e 2 v 2... v k 1 e k v k jelölést is fogjuk használni. Séta jelölésére a 1.11. Definíció. A G=(E, ϕ, V ) gráf e 1, e 2,..., e k élsorozatát vonalnak mondjuk, ha ϕ(e 1 ) = (v 0, v 1 ), ϕ(e 2 ) = (v 1, v 2 ),..., ϕ(e k ) = (v k 1, v k ) és az e 1, e 2,..., e k élek páronként különbözőek. Vegye észre a Kedves Olvasó, hogy vonalnál élek nem ismétlődhetnek, de csúcsok igen. 1.12. Definíció. A v 0 e 1 v 1 e 2 v 2... v k 1 e k v k vonalat útnak mondjuk, ha a v 0, v 1, v 2,..., v k 1, v k csúcsok páronként különbözőek. A fenti definíciót úgy is megfogalmazhatjuk kicsit szemléletesebben, hogy a G gráf v 0 csúcsából út megy v k -ba, vagy az út olyan nyílt vonal, mely sehol sem metszi önmagát. Az n+1 darab V = (v 0, v 1, v 2,..., v n 1, v n ) csúcsponttal és az n darab E = (e 1, e 2,..., e n ) éllel rendelkező utat P n+1 -gyel jelöljük (az angol path=út szóra utalva). 1.13. Definíció. A v 0 e 1 v 1 e 2 v 2... v k 1 e k v k vonalat körnek (ciklusnak) mondjuk, ha a v 0, v 1, v 2,..., v k 1, v k csúcsok páronként különbözőek, de v 0 = v k. Az (n + 1) darab V = (v 0, v 1, v 2,..., v n 1, v n ) csúcsponttal és (n + 1) darab E = (e 1, e 2,..., e n, e n+1 ) éllel rendelkező kört C n+1 -gyel jelöljük (az angol cycle=kör szóra utalva). A G = (E, ϕ, V ) gráf V = (v 0, v 1, v 2,..., v n 1, v n ) csúcspontjai fokszámainak, d(v 0 ), d(v 1 ), d(v 2 ),..., d(v n 1 ), d(v n )-nek csökkenő sorrendbe rendezett sorozatát d 0 d 1 d n 1 d n a G fokszámsorozatának mondjuk. Vegye észre a Tisztelt Olvasó, hogy d(v i ) nem feltétlenül egyenlő d i -vel, nyilvánvaló, hogy a P n+1 út fokszám sorozata 2,...,2,1,1 és a C n ciklusé pedig 2,2,...,2,2. 1.1. Definíció. A G = (E, ϕ, V ) gráf u, v csúcspontjainak a d(u, v) távolságán az őket összekötő legrövidebb út hosszát értjük. Ha a két pontot nem köti össze út, akkor a két pont távolságát végtelennek tekintjük. 1.15. Definíció. A G = (E, ϕ, V ) gráf pontjai közötti távolság maximumát a G gráf átmérőjének nevezzük, amit diam(g)-vel jelölünk, diam(g(e, ϕ, V )) = max d(u, v). u,v V 1.16. Definíció. A G=(E, ϕ, V ) gráfot összefüggőnek mondjuk, ha bármely csúcsából visz bármely másik csúcsába út. 1.3. Tétel. Ha a G=(E, ϕ, V ) gráf összefüggő, akkor a csúcspontok halmaza metrikus tér az előbb értelmezett távolság fogalomra nézve.
8 Bizonyítás: Az összefüggőség miatt d(u, v) R + és d(u, v) = 0 akkor és csak akkor, ha u = v. Mivel irányítatlan gráfról beszélünk, nyilván teljesül a szimmetria is, azaz d(u, v) = d(v, u). A háromszög egyenlőtlenség azért teljesedik, mert az u, v pontokat összekötő utak legrövidebbikénél nem lehet rövidebb olyan út, amelynél még plusz követelményt is szabunk, tudni illik azt, hogy még egy további pontot, w-t is tartalmaz, így d(u, v) d(u, w) + d(w, v), s ezzel a bizonyítás kész. A gráfelmélet alkalmazásainál nagyon gyakori feladat, hogy meg kell határozni a gráf pontjai közötti távolságot. Más szóval keresni kell a gráf két pontja közötti legrövidebb utat. A következő úgynevezett "szélességi algoritmus" megadja a G gráf valamely kiválasztott s pontjának és egy tetszőleges v pontjának a d(s, v) távolságát. Feltételezzük, hogy a G gráf ún. listás adat szerkezettel van megadva. A listás adat szerkezet itt azt jelenti, hogy a lista V (G) számú sorból áll. Továbbá feltesszük, hogy G csúcsait rendre v 1, v 2,..., v n 1, v n jelöli. S az i-edik sor elején v i áll és a vele egy sorban álló elemek v i -nek a szomszédjai. A v csúccsal együtt tárolunk egy d(s, v) számot és egy színt, amely fehér, zöld vagy piros lehet. Tárolunk továbbá még egy adatot, minden v csúcshoz hozzárendelünk majd egy másik ún. w szülő csúcsot. A w szülő csúcs pontosan az a csúcs lesz, amelyből az algoritmus végrehajtása során először értük el a v csúcsot. A kezdő csúcs szülő csúcsának a N IL értéket adjuk. Az algoritmusban s legyen azonos v 1 -gyel. Az első lépésben minden csúcs színét fehérre változtatjuk és minden d(s, v) értéket -re állítunk és az S segéd listába tesszük az s csúcsot. A második lépésben s szülő csúcsát a N IL-re állítjuk, d(s, s)-nek 0 értéket adunk, és s színét zöldre változtatjuk. A harmadik lépésben az s csúcs v szomszédjainak szülő csúcsát s-re állítjuk és színüket zöldre, és s színét pirosra változtatjuk, a d(s, v)-nek d(s, s) + 1 értéket adunk. Az S segéd listába berakjuk s szomszédjait és a lista elejéről töröljük az s csúcsot. A piros színnel azt jelezzük, hogy az adott csúcsot az algoritmus során végleg elhagytuk és oda már nem térünk vissza. Az s összes v szomszédjára megismételjük a harmadik lépést. Azaz vesszük v-t, az S segéd lista első elemét és ha u fehér szomszédja volt v-nek, akkor színét zöldre változtatjuk és d(s, u)-t d(s, v) + 1-re cseréljük, u szülőjét v-re állítjuk, majd u-t az S segéd lista végére pakoljuk. Ha v összes fehér szomszédját elhagytuk, akkor v színét pirosra változtatjuk, s töröljük az S segéd lista elejéről. Az eljárást addig folytatjuk, amíg az S segéd lista üres nem lesz. 1.. Tétel. Ha a G = (E, ϕ, V ) összefüggő egyszerű gráfnak l 1, l 2 maximális hosszúságú útjai, akkor az l 1, l 2 utaknak van legalább egy közös csúcspontjuk. l 1 v 0 v i v k l 3 u 0 u j u k 6. ábra. l 2 Bizonyítás: Indirekt bizonyítunk.
1. UTAK, KÖRÖK, FÁK 9 Legyen l 1 =v 0 e 1 v 1 e 2 v 2... v i 1 e i v i... v k 1 e k v k és l 2 =u 0 e k+1 u 1 e k+2 u 2... u j 1 e k+j u j... u k 1 e k+k u k. A G gráf összefüggő volta miatt az l 1 maximális út valamely v i csúcsából megy közvetlenül l 3 út az l 2 maximális út valamely u j csúcsába, s ezen l 3 útnak van legalább egy e 0 éle. Tegyük fel, hogy i j s tekintsük az l = v 0 e 1 v 1 e 2 v 2... v i 1 e i v i l 3 u j e k+j+1 u k+j+1... u k 1 e k+k u k utat, illetve becsüljük meg az l útban szereplő élek számát, azaz az l út hosszát. Az l út hossza pontosan i + l 3 + k j i + l 3 + k i l 3 + k k + 1. Ez viszont azt jelentené, hogy az l út hosszabb a maximálisnak mondott l 1, l 2 utaknál, s ez ellentmond a feltevésünknek, s a bizonyítás ezzel kész. Itt l 3 -val az l 3 út hosszát jelöltük, s figyelembe vettük, hogy l 3 hossza legalább 1. 1.17. Definíció. A G gráfnak a G részgráfját komponensnek nevezzük, ha rendelkezik a következő tulajdonságokkal: (i) G összefüggő, (ii) nem létezik G-nek olyan G összefüggő részgráfja, mely G -t valódi módon tartalmazza. Röviden fogalmazhattunk volna úgy is, hogy G összefüggő maximális részgráfjait G komponenseinek nevezzük. Maximális (legnagyobb) a G abban az értelemben, hogy G -t már nem lehet növelni G csúcsainak vagy éleinek a hozzávételével, mert akkor már nem lesz összefüggő a bővebb G gráf. Definiálhattuk volna a komponens fogalmát a következő módon is: A G gráf v csúcspontja relációban áll a v csúcspontjával (v v ), ha út köti össze v -t v -vel. Meg lehet mutatni, (s reméljük a Kedves Olvasó be is bizonyítja), hogy a reláció ekvivalencia reláció a V (G) halmazon. A ekvivalencia reláció létrehoz egy osztályozást a V (G) halmazon. S minden egyes V i (G) osztályban szereplő csúcspontok kijelölik (felfeszítik) G-nek egy-egy G i komponensét. 1.18. Definíció. A G egyszerű gráfot fának mondjuk, ha összefüggő és nem tartalmaz kört. A fa gráf minimálisan összefüggő egyrészt abban az értelemben, hogy bármely élét is töröljük, a visszamaradt gráf már nem lesz összefüggő, másrészt minimális abban az értelemben, hogy bármely csúcsából egy és csak egy út vezet bármely másik csúcsába. A paraffinok olyan szénhidrogén vegyületek, melyeknek a képlete a következő: C n H 2n+2. E vegyületekhez rendeljünk gráfot oly módon, hogy a gráf csúcsainak a vegyületben szereplő atomok feleljenek meg, s két csúcsot éllel kötünk össze, ha a nekik megfelelő atomokat kémiai kötés kapcsolja össze. A csúcsok száma ezért V = n + 2n + 2 = 3n + 2. A szénatomok vegyértékűek, a hidrogén atomok pedig 1 vegyértékűek. Egy paraffinnak egy fa gráf fog megfelelni. Ha felírjuk a megfelelő csúcspontok fokszámainak az összegét, akkor a kézfogási tétel miatt megkapjuk az élek számát, jelen esetben a vegyületben lévő kémiai kötések számát: 2 E = d(v) = n + 2n + 2 = 2(3n + 1) E = 3n + 1 v V Megjegyezzük, hogy a paraffinok struktúra izomereinek a száma az atomok számával rohamosan növekszik, amit a következő táblázat is érzékeltet. n 6 10 25 0 Izomerek száma 5 75 36797 6.2 x 10 12
10 metán etán propán n-bután i-bután 7. ábra. Paraffinok 1.5. Tétel. Bármely G fa tartalmaz legalább egy elsőfokú csúcsot. Bizonyítás: Indirekt bizonyítunk. Tegyük fel, hogy az állítás nem igaz, az nyilván annyit jelent, hogy G bármely csúcsának a foka 2-nél nagyobb vagy egyenlő-, 0 nem lehet az összefüggőség miatt. Induljunk el G valamely v 0 csúcsából. v 0 -ból vezessen e 1 él v 1 -be, v 1 -ből e 2 él v 2 -be és így tovább v k 1 -ből e k v k -ba. Előbb vagy utóbb visszaérkezünk egy olyan v j (j < k) csúcsba, amelyre v j = v k (s itt a kör), ahol már korábban jártunk, mivel G-nek véges sok csúcsa van és indirekt feltevésünk szerint mindegyik csúcsának a foka legalább kettő volt. Azaz ha beérkeztünk valamely csúcsba egy e éllel, akkor egy másik e éllel onnan tova is tudtunk ballókázni. S végül láttuk, hogy az e j... e k vonal egy köre a G gráfnak ellentétben azzal, hogy G fa volt, s az ellentmondás oka nyilván az indirekt feltevésünk vala. 1.19. Definíció. A G gráfot erdőnek mondjuk, ha komponensei fák. Az erdőt olyan gráfként is meghatározhatnánk, amely gráf egyszerű és nem tartalmaz kört (ciklust). S az összefüggő gráfot fának neveznénk. 1.6. Tétel. Ha a G gráf fa, akkor V 1 = E.
1. UTAK, KÖRÖK, FÁK 11 Bizonyítás: A G fa éleinek száma szerinti teljes indukcióval bizonyítunk. Ha a G-nek egy éle van, akkor az állítás igaz. Tételezzük fel, hogy bármely olyan fára igaz az állítás, melynek legfeljebb n éle van. Legyen most a G=(E, ϕ, V ) fagráfnak n + 1 éle, azaz E = n + 1. G egy élét törölve G 1 = (E 1, ϕ 1, V 1 ) és G 2 = (E 2, ϕ 2, V 2 ) komponensekre esik szét és nyilván mindkettő fa, amelyre már az indukciós feltevés miatt igaz az állítás. Tehát érvényes V 1 1 = E 1, V 2 1 = E 2 e két utóbbi egyenletet összeadva V 1 + V 2 2 = E 1 + E 2 adódik. Figyelembe véve, hogy V 1 + V 2 = V, továbbá E 1 + E 2 + 1 = E. Látható hogy az n + 1 élű gráfra is teljesül az állítás. 1.7. Tétel. Ha a G=(E, ϕ, V ) gráf erdő és k komponensből áll, akkor V k = E. Bizonyítás: A feltétel szerint a G=(E, ϕ, V ) gráf a G 1 =(E 1, ϕ 1, V 1 ), G 2 =(E 2, ϕ 2, V 2 ),..., G k = (E k, ϕ k, V k ) komponensekből áll, melyekre rendre teljesül, hogy V 1 1 = E 1, V 2 1 = E 2,..., V k 1= E k. E k darab egyenlet megfelelő oldalait összeadva adódik a tétel állítása. Az 1.5. tételben megfogalmaztuk, hogy egy G = (E, ϕ, V ) fagráfnak legalább egy elsőfokú (pl. v 1 V, δ(v 1 ) = 1) csúcsa van. E tételt most könnyen pontosíthatjuk, olyan formán, hogy egy fa gráfnak legalább két elsőfokú pontja van. Valóban, az 1.2. tétel szerint a gráf fokainak összege páros, azaz az előbb említett elsőfokú csúcson kívül tartalmaz még legalább egy (v 2 V, δ(v 2 ) 1 (mod 2)) vagy több páratlan fokú csúcsot. Az összefüggőség miatt 2 δ(v 3 ), 2 δ(v ),..., 2 δ(v V ), továbbá δ(v 1 ) = 1, 3 δ(v 2 ). Az előbbi egyenlőtlenségekkel alulról becsülve G fokainak összegét δ(v) 2 V adódik, ami ellentmond az 1.. tételnek. Azaz igazoltuk a következő tételt. 1.8. Tétel. Bármely fa gráfnak legalább 2 elsőfokú pontja van. v V Vegyük észre, hogy ez utóbbi állítás nem javítható, vagyis van olyan fa, amelynek pontosan 2 elsőfokú pontja van. Szemléltethetünk egy olyan gráfot, melynek csupán két elsőfokú pontja van, egy fonallal, melynek két végére csomót kötöttünk, s közbülső helyeken kötöttünk a fonálra V 2 csomót. A csomókat a gráf csúcsainak és két szomszédos csomót közvetlenül összekötő (csomó mentes) fonal darabot élnek tekintünk. A másik szélsőséges fát szemléltessük egy tarajossüllel. A fa éleinek a tarajossül tüskéit tekintsük, csúcspontoknak pedig egyrészt a tarajossült, illetve a tüskék szabadon maradt végét. A fának ekkor van egy pontja, melynek a foka k 1, s az összes többi csúcs foka 1. Ez utóbbi gráfot csillag gráf nak is szokás nevezni. Jele: S k. 1.20. Definíció. A G=(E, ϕ, V ) gráf a G 1 =(E 1, ϕ 1, V 1 ) gráffal izomorf, ha teljesednek a következő feltételek: (i) létezik kölcsönösen egyértelmű α leképezése E-nek E 1 -re (ii) létezik kölcsönösen egyértelmű β leképezése V -nek V 1 -re (iii) e E : (ϕ(e) = (v i, v j )) (ϕ 1 (α(e)) = (β(v i ), β(v j ))). Gráfok izomorfiája különbözik a topológia homeomorfia fogalmától. Tekintsük például azt a G 1 gráfot, amely két összefűzött C 2 körből áll. G 1 -t tekinthetjük két összekapcsolt kulcstartó karikának. Ha szétkapcsoljuk a két karikát, akkor a kapott G 2 gráf izomorf G 1 -gyel, de topológiai értelemben G 1 nem ekvivalens G 2 -vel. Gráfok izomorfiáját megfogalmazhatjuk
12 1 1 2 5 6 9 7 2 8 10 5 9 8 7 3 G 1 3 6 G 2 10 8. ábra. A G 1, G 2 gráfok látszólag különbözőek, de valójában izomorfak. Az izomorfizmusnál egymásnak megfeleltetett csúcsokat azonos számokkal jelöltük. másképpen is. A G = (E, ϕ, V ) gráf a G 1 = (E 1, ϕ 1, V 1 ) gráffal izomorf, ha létezik V (G)- nek olyan f bijektív (kölcsönösen-egyértelmű) leképezése V (G 1 )-re, melyre teljesül, hogy ha e = ϕ(u, v) E, akkor létezik olyan e 1 E 1, melyre teljesül, hogy ϕ 1 (e 1 ) = (ϕ(u), ϕ(v)). S fordítva is, ha e 1 E 1, akkor létezik olyan e = ϕ(u, v) E, hogy ϕ 1 (e 1 ) = (ϕ(u), ϕ(v)). Rövidebben fogalmazva (párhuzamos élektől mentes gráfokra): G 1, G 2 izomorf gráfok, ha csúcsaik között létezik olyan f kölcsönösen egyértelmű leképezés, hogy u, v V (G 1 ) akkor és csak akkor van éllel összekötve, ha G 2 -ben lévő képeiket f(u), f(v)-t is él köti össze. A G gráf ön- G 1 G 2 9. ábra. A G 1, G 2 gráfok a topológia szempontjából különböznek (nem homeomorfak). A G 1, G 2 gráfok gráfelméleti szempontból azonban azonosak (izomorf gráfok). magára való izomorf f leképezését a G automorfizmusának mondjuk. Bármely G gráfnak az automorfizmusai a leképezések szokásos egymásutáni elvégzésére nézve (az összetett függvény képzésére nézve, vagy más néven a leképezések szorzására nézve) csoportot alkotnak. A G gráf automorfizmusainak a csoportját szokták aut(g)-vel jelölni. Javasoljuk, hogy a Kedves Olvasó vizsgálja meg, mi lesz az automorfizmus csoportja a 2006 pontot tartalmazó él nélküli gráfnak, a K 2006 -nak, a 2006 csúcspontból álló körnek (aut(c 2006 ) =?), a 2006 csúcspontból álló útnak (aut(p 2006 ) =?). Kérjük a Kedves Olvasót vizsgálja meg, hogy izomorf gráfok automorfizmus csoportjai izomorfak-e? Keressen példát arra, hogy G 1, G 2 gráfok nem izomorfak, de automorfizmusaik csoportja (aut(g 1 ) és aut(g 2 )) izomorfak. Nem nehéz igazolni, hogy izomorf gráfok
1. SPECIÁLIS GRÁFOK, TELJES GRÁF, KOMPLEMENTER GRÁF 13 fokszám sorozatai egyenlők. Az állítás megfordítása nem igaz. Meg lehet mutatni például azt, hogy 17 olyan gráf van, amelyek páronként nem izomorfak, viszont mindegyiküknek a fokszám sorozata ugyanaz, nevezetesen 1,2,3,3,3,,. Javasoljuk a Kedves Olvasónak, hogy mutassa meg: tetszőleges K számhoz létezik K darab olyan gráf, amelyeknek fokszámsorozata megegyezik, de ők páronként nem izomorfak. 1.21. Definíció. A G = (E, ϕ, V ) gráf feszítőfájának mondjuk a G -t, ha G részgráfja G-nek és G fa, másrészt G minden csúcsa G -nek is csúcsa. 1.9. Tétel. A G gráfnak akkor és csak akkor van feszítőfája, ha G összefüggő. Bizonyítás: Legyen G összefüggő, mutassuk meg, hogy ekkor létezik feszítőfája. Ha G nem tartalmaz kört, akkor G az összefüggőség miatt fa és önmagának feszítőfája. Ha G tartalmaz kört, akkor a kör valamely e élét törölve G-ből G 1 gráfot kapunk, amely továbbra is összefüggő. Ha G 1 -nek van köre, akkor ismét elhagyunk egy e 1 élt a G 1 gráfból. Véges sok lépésen belül eljutunk egy olyan G k gráfhoz, amely még összefüggő, de már nincs köre, ez a G k gráf jó G feszítőfájának. Az állítás megfordítása triviális, mivel a fa gráf összefüggő. S az is elég magától értetődő, hogy ha az n csúcspontú G gráfnak van összefüggő n csúcspontú részgráfja, akkor G is összefüggő. Sok esetben bizonyul hasznosnak az irányított fa fogalma. e 1, e 2,..., e k élsorozat irányított út, ha ϕ(e 1 ) = (v 0, v 1 ), ϕ(e 2 ) = (v 1, v 2 ),..., ϕ(e k ) = (v k 1, v k ) A G irányított gráfban az és v i v j, ha i j. A G gráfnak valamely v csúcsa gyökere, ha G bármely v-től különböző csúcsába el lehet jutni irányított úttal. A G gráf irányított fa, ha irányítás nélkül tekintve fa, és van egy v gyökere, melyből bármely csúcsába vezet irányított út.. Speciális gráfok, teljes gráf, komplementer gráf 1.22. Definíció. A G = (E, ϕ, V ) gráfot n csúcsú teljes gráf nak nevezzük, ha bármely csúcsát él köti össze bármely másik csúccsal és V = n. Jele: K n. K 3 K 10. ábra. A 10. ábrán a K 3 ill. K teljes gráfok láthatók. 1.10. Tétel. A K n n csúcsú teljes gráf éleinek a száma n(n 1) 2.
1 Bizonyítás: A K n definíciója szerint bármely szögpont foka n 1. A gráfunknak összesen n csúcspontja van, ezért a gráf csúcspontjai fokainak az összege pontosan n(n 1). Az 1.2. tétel szerint ekkor a gráf éleinek a száma pontosan n(n 1) 2. 11. ábra. A szabályos ötszög gráfja izomorf a komplementerével. 1.23. Definíció. Legyen adott a G = (E, ϕ, V ) és V = n egyszerű gráf, s legyen K n -nek a G = (E, ϕ, V ) olyan részgráfja, mely G = (E, ϕ, V ) -vel izomorf. Töröljük K n -nek G = (E, ϕ, V ) -höz tartozó éleit. A kapott G c =(E c, ϕ c, V c ) (V = V c ) gráf lesz G komplementere. Más megfogalmazásban G = (E, ϕ, V ) komplementere a G = (E, ϕ, V ) gráfnak, ha G = (E, ϕ, V ) élei teljes gráffá egészítik ki G-t. Nyilván a teljes gráf komplementere az üres gráf, és fordítva az üres gráf komplementere a teljes gráf. Az n csúcspontú teljes gráfot lehet úgy tekinteni, mint az n csúcspontú n 1 dimenziós szimplex gráfját. Az egyszerűség kedvéért válasszuk a szimplexet szabályos szimplexnek. A szimplex szabályos, ha bármely két csúcspontjának a távolsága egyenlő. Az egydimenziós szimplex a szakasz, a kettő dimenziós szimplex a háromszög, a háromdimenziós szimplex a tetraéder, általában az n-dimenziós szimplex olyan n+1 pont az n dimenziós térben, amelyek közül bármely kettő távolsága egyenlő. Az euklideszi tér távolság fogalma nélkül a következő módon definiálhatjuk az n dimenziós szimplex fogalmát. Az n-dimenziós szimplex olyan n + 1 pont konvex burka az n dimenziós térben, amely n + 1 általános helyzetű (általános helyzetű n + 1 pont az n dimenziós térben, ha nincsenek egy hipersíkban). A H halmaz konvex burkán azt a HK konvex halmazt értjük, amelyet tartalmaz bármely olyan K konvex halmaz, amely tartalmazza H-t, azaz HK = K H Kés Kkonvex A K r1,r 2,...,r k gráfot teljesen r 1, r 2,..., r k particionáltnak mondjuk, ha csúcspontjainak V halmaza k nem üres diszjunkt részhalmazra bomlik (V = V 1 V 2 V k ) oly módon, hogy V 1 = r 1, V 2 = r 2,..., V k = r k és bármely u, v pontpárt akkor és csak akkor köt él össze, ha u V i, v V j és ahol a V i, V j halmazok csúcspontok fent említett diszjunkt részhalmazai és i j. A k = 2 esetet a sok alkalmazás miatt külön névvel illetik. Nevezetesen biparticionáltnak mondják. A 12. ábrán a K 2,3, illetve a K 2,2 gráf látható. Érdekes alkalmazások miatt kapott külön nevet a 13. ábrán látható Petersen-gráf.
V 3 7 6 9 1. FELADATOK 15 1 2 5 3 V 2 V 1 1 2 3 K V ={1,2},V ={3,,5} V ={6,7,8,9} 2,3, 1 2 3 K ;V ={1,2};V ={3,} 2,2 1 2 12. ábra. 13. ábra. Petersen-gráf Feladatok "Mesterfogást könnyebb példából mint előírásból megtanulni, ezért azt gondoltam, hogy itt helyénvaló lesz a következő példák beillesztése." Newton: Universal Arithmetick. 1. Rajzoljon olyan 5 csúcspontú gráfokat, melyeknek 2 harmadfokú és 3 negyedfokú pontja van. Hány éle van a rajzolt gráfoknak? 2. Egy társaság tagjai páros táncokat táncolnak. Bizonyítsa be, hogy páros azon emberek száma, akik páratlan sokszor táncoltak! 3. Bizonyítsa be, hogy ha a G=(E, ϕ, V ) egyszerű gráfnak 2 vagy kettőnél több csúcsa van ( V 2), akkor van két azonos fokszámú csúcsa!. Egy sakkversenyen bármely játékos játszik bármely másik játékossal. Bizonyítsa be, hogy a verseny bármely szakaszában van két olyan versenyző, akik addig azonos számú mérkőzést játszottak! 5. Hány olyan 5 pontú (páronként nem izomorf) egyszerű gráf van, amelyre teljesedik, hogy bármely pontjának a foka legalább 3?
16 6. a; Hány olyan 5 csúcspontú gráf van, ahol a csúcsok fokai rendre 1,2,2,3,3? b; Mutassa meg, hogy a 1. ábrán látható 3 gráf egyike sem izomorf valamely másikkal! G 1 n=7,m=11 G 2; n=7,m=11; 2,2,3,3,3,,5 G 3,n=7,m=11 1. ábra. c; Rajzoljon további olyan gráfokat, amelyek nem izomorfak sem az előző G 1, G 2, G 3 gráfokkal, sem egymással és fokszámsorozatuk ugyancsak 2,2,3,3,3,,5! 7. Bizonyítsa be, hogy ha a G összefüggő egyszerű gráf csúcsainak a száma n 2 és éleinek a száma n-nél kevesebb, akkor van elsőfokú csúcsa is! 8. Bizonyítsa be, hogy ha n számú telefonközpont közül bármely kettő között létesíthető összeköttetés, akkor van legalább n 1 számú közvetlen összeköttetés is! 9. Igazolja, hogy ha egy 2n pontú gráf minden pontjának a foka legalább n, akkor a gráf összefüggő! 10. Bizonyítsa be, ha a G gráf minden pontjának a foka legalább kettő, akkor van köre! 11. Egy sakk csapat bajnokságra n csapat nevezett be, s eddig n + 2 mérkőzést játszottak le. Mutassa meg, hogy van közöttük legalább egy csapat, amely legalább 3 mérkőzést már lejátszott! 12. Bizonyítsa be, hogy ha a G összefüggő gráf valamely élét törölve újból összefüggő gráfot kapunk, akkor a G gráfnak létezik legalább egy k köre! 13. Bizonyítsa be, hogy az n pontú, n élű egyszerű gráfnak van legalább egy köre! 1. Bizonyítsa be, hogy a G=(E, ϕ, V ) összefüggő egyszerű gráf akkor és csak akkor marad összefüggő egy e E élének törlése után, ha van G-nek olyan k köre, amely tartalmazza e-t! 15. Bizonyítsa be, hogy az összefüggő egyszerű véges gráf éleinek a halmaza akkor és csak akkor alkot kört, ha G valamennyi foka 2! 16. Melyik az a legnagyobb p egész szám, amelyre a q csúcsú teljes gráf p-szeresen összefüggő? 17. Mutassa meg, hogy ha egy teljes egyszerű gráf éleihez bárhogyan is irányítást írunk elő, akkor az eredményül kapott irányított gráfnak szükségszerűen létezik irányított feszítőfája! 18. Legyen δ 0 (G(E, ϕ, V )) = min v V δ(v), s G egyszerű gráf. Bizonyítsa, hogy 2 ] G összefüggő! Igaz lesz-e az előbbi állítás, ha csak a δ 0 (G(E, ϕ, V )) = min v V δ(v) V 1 [ V 1 2 teljesül, ahol az [x] függvény az x egészrészét jelöli? 19. Mutassa meg, hogy egy n csúcsú és k összefüggő komponensből álló gráfban az élek száma legfeljebb 1 (n k)(n k + 1) lehet! 2
1. FELADATOK 17 20. Bizonyítsa be, hogy egy összefüggő egyszerű gráfban bármely két maximális hosszúságú útnak van legalább egy közös csúcsa! 21. A 15. ábrán látható G i, G i (1 i 2) gráfok közül melyek izomorfak, melyek nem? G`1 G 1 G 2 G`2 15. ábra. 22. Határozza meg a kocka gráfjának az átmérőjét! 23. Határozza meg az n dimenziós kocka és az n dimenziós szimplex gráfjának (i) átmérőjét, (ii) éleinek számát. 2. Határozza meg azon G gráfok átmérőinek a maximumát illetve minimumát, amelyek összefüggőek és csúcspontjaik száma n. Adjon meg olyan gráfokat, amelyek átmérője megegyezik az előbb említett maximummal illetve minimummal! 25. A G gráf u, v csúcspontjára akkor mondjuk, hogy relációban állnak, ha u-ból halad út v-be. Mutassa meg, (i) hogy a reláció ekvivalencia reláció, (ii) hogy az egy ekvivalencia osztályba tartozó pontok a G gráf egy G komponensének a csúcspontjai! 26. 5 sorban és 6 oszlopban helyezkedik el 30 almafa egy téglalap alakú gyümölcsös kertben. A kert egyik sarkában lévő gyümölcsfán egy sárgarigó, a vele átellenes sarokban lévő gyümölcsfán egy barnakánya üldögél. 30 percenként átrepülnek a kert valamely szomszédos fájára, de mindig csak a téglalap oldalaival párhuzamosan repülnek. Lehetséges-e (?)-, hogy valamelyik almafán együtt üldögéljenek?