Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Gráfelmélet

Átírás

1 Gráfelmélet DEFINÍCIÓ: (Gráf) Az olyan alakzatot, amely pontokból és bizonyos pontpárokat összekötő vonaldarabokból áll, gráfnak nevezzük. A pontokat a gráf csúcsainak, a vonalakat a gráf éleinek nevezzük. A gráfok esetén a geometriai elhelyezkedés (a vonalak alakja) nem számít, csak bizonyos pontpárok összekötöttsége. A vonaldarabok keresztezhetik egymást, de az élek (belső) metszéspontja (ha van ilyen) nem pontja a gráfnak. A gráf két csúcsát szomszédosnak nevezzük, ha azokat él köti össze. A gráf csúcsait v 1 ; v 2 ; ; v k vel, az éleit e 1 ; e 2 ; ; e k vel jelöljük. A G gráf pontjainak halmazát V (G) vel, éleinek halmazát E (G) vel jelöljük. DEFINÍCIÓ: (Véges gráf) A G gráfot véges gráfnak nevezzük, ha csúcsainak és éleinek a száma is véges, tehát egy nem negatív egész szám. DEFINÍCIÓ: (Fokszám) A G gráf v csúcsának fokszámán (fokán) a csúcsra illeszkedő élek számát értjük. Jele: d (v). 1

2 Egy G gráfot megadhatunk a fokszámsorozatával, vagyis a csúcsok fokszámainak növekvő sorrendben való megadásával. Az ábrán látható gráf fokszámsorozata: 0; 1; 2; 2; 3; 4. A gráf csúcspontjai fokszámának maximumát (G) vel, minimumát δ (G) vel jelöljük. DEFINÍCIÓ: (Irányított gráf) Egy G gráfot irányított gráfnak nevezünk, ha az élei két csúcsa közül az egyiket kezdőpontnak, a másikat végpontnak tekintjük. Irányított gráf esetén a csúcsoknak megkülönböztetjük a befokát (befutó élek számát) és kifokát (kifutó élek számát). Irányított gráfokban a csúcsok befokainak és kifokainak összege megegyezik. (Kézfogási tétel - fokszámtétel): Egy véges gráfban a csúcsok fokszámainak összege egyenlő az élek számának kétszeresével. Bármely véges gráf páratlan fokú csúcsainak a száma páros. Bármely véges gráfban a csúcsok fokszámainak összege páros. Bármely véges gráfban van két pont, amelynek a foka egyenlő. DEFINÍCIÓ: (Izolált csúcs) A G gráf egy pontját izolált csúcsnak nevezzük, ha nem illeszkedik rá él, vagyis a fokszáma 0. 2

3 DEFINÍCIÓ: (Hurokél) A G gráf egy élét hurokélnek nevezzük, ha az él két végpontja megegyezik. A hurokélt a fokszám során 2 élnek tekintjük. DEFINÍCIÓ: (Többszörös él) A G gráf éleit többszörös (párhuzamos) éleknek nevezzük, ha ugyanazt a két csúcsot kötik össze. DEFINÍCIÓ: (Egyszerű gráf) A G gráfot egyszerű (ismeretségi) gráfnak nevezzük, ha nem tartalmaz többszörös élt és hurokélt sem. Bármely G egyszerű gráfban van két olyan csúcs, amelyeknek fokszáma megegyezik. DEFINÍCIÓ: (Üres gráf) Az él nélküli G gráfot üres gráfnak nevezzük. 3

4 DEFINÍCIÓ: (Teljes gráf) Egy n pontú egyszerű gráfot n csúcsú teljes gráfnak nevezünk, ha bármely két csúcsa össze van kötve éllel. Jele: K n. Az n csúcsú teljes gráf éleinek száma: ( n n (n 1) ) =. 2 2 DEFINÍCIÓ: (Komplementer gráf) Egy n pontú, egyszerű G gráfnak n csúcsú teljes gráffá kiegészítő gráfját az eredeti gráf komplementer gráfjának nevezzük. Jele: G. Eredeti gráf: Komplementer gráf: A komplementer gráf csúcsai megegyeznek az eredeti gráf csúcsaival, s éppen azok a csúcsok vannak össze kötve éllel, melyek az eredeti gráfban nem voltak összekötve. DEFINÍCIÓ: (Részgráf) Egy G gráf részgráfja az eredeti gráf valahány csúcsából és az ezekhez a csúcsokhoz eredetileg tartozók közül valahány élből áll. Szemléletesen: A részgráfot úgy kapjuk, hogy az eredeti gráfból bizonyos élt, vagy csúcsot törlünk és a csúcsok törlése esetén az összes rájuk illeszkedő éleket is törölnünk kell. 4

5 Eredeti gráf: Élek törlésével kapott részgráf: Csúcs törlésével kapott részgráf: DEFINÍCIÓ: (Izomorf gráfok) Két gráfot izomorfnak (azaz gráfelméleti szempontból megegyezőnek) nevezünk, ha éleik között és csúcsaik között is létezik illeszkedéstartó, kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés. Szemléletesen: Két gráfot egyenlőnek (izomorfnak) tekintünk, ha található a két gráf csúcsai között olyan kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés, amelyik úgy felelteti meg az egyik gráf csúcsait a másik gráf csúcsainak, hogy az egyik gráfban két csúcsot pontosan annyi él köt össze, mint a másik gráfban a nekik megfelelő csúcsokat. Ezek alapján az izomorf gráfoknak ugyanannyi élük és csúcsuk van, s az egymásnak megfelelő csúcsok fokszáma megegyezik. Megfeleltetés: A H; B G; C J; D K; E I; F L 5

6 Gráfok végigjárása DEFINÍCIÓ: (Séta) A G gráf egy olyan élsorozatát, amelyben a csúcsok és élek többször is szerepelhetnek, sétának nevezzük. Egy lehetséges séta: A; 1; B; 2; C; 3; D; 4; E; 12; B; 1; A; 9; G DEFINÍCIÓ: (Vonal) A G gráf egy olyan élsorozatát, amelyben az élek nem ismétlődhetnek, de a csúcsok igen, vonalnak nevezzük. Egy lehetséges vonal: D; 4; E; 12; B; 11; G; 9; A; 1; B; 2; C Abban az esetben, ha a vonal kezdőpontja megegyezik a végpontjával, akkor zárt vonalról, ellenkező esetben pedig nyílt vonalról beszélünk. DEFINÍCIÓ: (Út) A G gráf egy élsorozatát, amelyben az élek és a csúcsok sem ismétlődhetnek, útnak nevezzük. 6

7 Egy lehetséges út: H; 7; G; 9; A; 1; B; 10; F; 5; E; 4; D Szemléletesen: Az út olyan vonal, amely sehol sem metszi önmagát. Az út hossza alatt az út által tartalmazott élek számát értjük. DEFINÍCIÓ: (Távolság) Egy G gráf két csúcsának távolságán az azokat összekötő legrövidebb út hosszát értjük. Ha két csúcsot nem köt össze út, akkor a két pont távolságát végtelennek tekintjük. DEFINÍCIÓ: (Átmérő) Egy G gráf csúcsai közötti távolság maximumát a gráf átmérőjének nevezzük. Jele: diam(g). DEFINÍCIÓ: (Kör) A G gráf egy olyan élsorozatát, amelyben az élek és a csúcsok sem ismétlődhetnek, kivéve a kezdő és végpontokat, melyek megegyeznek, körnek nevezzük. Egy lehetséges kör: B; 1; A; 9; G; 6; F; 10; B 7

8 Szemléletesen: A kör olyan út, melynek kezdő és végpontja megegyezik. A kör hossza alatt a kör által tartalmazott élek számát értjük. DEFINÍCIÓ: (Összefüggő gráf) Egy G gráfot összefüggőnek nevezünk, ha bármely csúcsból vezet bármely másik csúcsba út. Szemléletesen: Az összefüggő gráf nem tartalmaz izolált csúcsot. Ha egy összefüggő gráfban minden csúcs fokszáma legalább 2, akkor a gráfban van kör. Ha egy egyszerű gráf bármely csúcspontjának foka legalább k (k > 1), akkor van a gráfban egy legalább k + 1 hosszúságú kör. Egy összefüggő gráfban bármely kör élét elhagyva összefüggő marad. Az n csúcsú összefüggő, egyszerű gráfnak legalább n 1 darab éle van. Ha egy n csúcsú összefüggő gráfban n nél kevesebb él van, akkor a gráf tartalmaz elsőfokú csúcsot. 8

9 DEFINÍCIÓ: (Fagráf) Egy összefüggő, egyszerű G gráfot fa gráfnak nevezünk, ha nem tartalmaz kört. Egy fagráf bármely két pontját összekötve, a kapott gráfban már lesz kör. Egy fagráf bármely élét elhagyva, a kapott gráf már nem lesz összefüggő. Ezek alapján az n pontú összefüggő gráfok közül a fagráfnak van a legkevesebb éle és a fa gráf a maximális élszámú körmentes gráf. A fagráf elsőfokú csúcsait leveleknek nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Feszítő fa) Egy G gráf feszítőfájának nevezzük a G - t, ha G fa és részgráfja G nek, illetve G minden csúcsa G - nek is csúcsa. Minden egyszerű, összefüggő gráfnak van feszítő fája. Egy n csúcsú fagráfnak pontosan n 1 éle van. Egy fagráf bármely két csúcsa között pontosan egy út létezik. Bármely fagráfban van legalább két elsőfokú csúcs. (Cayley) Az n csúcspontú K n teljes gráf különböző feszítőfáinak a száma: n n 2. 9

10 Utazó ügynök problémája: Az utazó ügynök problémája azt jelenti, hogy a kereskedelmi utazónak adott városokat kell bejárnia, oly módon, hogy minden városba csak egyszer megy el, és végül visszatér a cégének székhelyére. Mivel egy - egy útnak jól meghatározott útiköltsége is van, így több út esetén célszerű azt az utat választania, melynek költsége minimális. Súlyozott gráf minimális feszítőfájának keresése: Egy gráfot súlyozottnak nevezünk, ha minden éléhez hozzá van rendelve egy valós szám. A gráf feszítőfáját minimálisnak mondjuk, ha az éleihez rendelt súlyok összege minimális. Kruskal - algoritmus: Először válasszuk a gráf éleiből a minimális súlyú e 1 et. Ezt követően a megmaradó élekből válasszuk a minimális súlyú e 2 t úgy, hogy az előzőleg választott éllel ne alkosson kört. Ezt az eljárást addig folytatjuk, amíg tudunk olyan minimális súlyú élt kiválasztani, mely az előzőleg választott élekkel nem alkot kört. Amennyiben több ilyen él nem létezik, akkor az algoritmus véget ért. Prim - algoritmus: Először válasszuk ki a gráf egy tetszőleges v 1 csúcsát. Ezután kiválasztunk az erre a csúcsra illeszkedő élek közül egy minimális súlyú e 1 et, s legyen ennek a másik végpontja v 2. A következő lépésben a v 1, illetve v 2 csúcsokra illeszkedő élek közül választunk egy minimális súlyú e 2 t úgy, hogy az előzőleg választott éllel ne alkosson kört, s legyen ennek a másik végpontja v 3. Ezt az eljárást addig folytatjuk, amíg van a gráfnak még választható pontja. Amennyiben a gráf csúcsai elfogytak, akkor az algoritmus véget ért. DEFINÍCIÓ: (Komponens) Egy G gráfnak az összefüggő maximális részgráfjait G komponenseinek nevezzük. A részgráf maximális abban az értelemben, hogy nem lehet növelni G csúcsainak vagy éleinek hozzá vételével, mert akkor már nem lenne összefüggő. 3 komponensű gráf: Szemléletesen: A komponensek egy nem összefüggő gráf összefüggő részei. 10

11 DEFINÍCIÓ: (Erdő) Egy G gráfot erdőnek nevezünk, ha komponensei fák. Ha egy gráf erdő és k komponensből áll, akkor a csúcsok és élek számának különbsége k. DEFINÍCIÓ: (Euler vonal) A G gráf egy vonalát Euler vonalnak nevezzük, ha a gráf minden élét tartalmazza. Egy lehetséges Euler vonal: F; 6; A; 1; B; 2; C; 3; D; 4; E; 8; B; 7; F; 5; E A zárt Euler vonallal rendelkező gráfot Euler gráfnak nevezzük. Egy összefüggő gráfnak pontosan akkor van zárt Euler - vonala, ha minden csúcsának foka páros. Egy összefüggő gráfnak pontosan akkor van nyílt Euler - vonala, ha pontosan kettő páratlan fokszámú csúcsa van. (Ekkor éppen ez a két csúcs az Euler vonal kezdő, illetve végpontja.) Ha egy gráfnak 2 nél több páratlan fokú csúcsa van, akkor nem rajzolható le egy vonallal. Ha egy összefüggő gráfban a páratlan fokú csúcsok száma 2k, akkor legkevesebb k 1 él nem rajzolható meg egyetlen vonallal. 11

12 DEFINÍCIÓ: (Hamilton út) A G gráf egy útját Hamilton útnak nevezzük, ha a gráf minden csúcsát tartalmazza. Egy lehetséges Hamilton út: A; 1; B; 7; F; 5; E; 4; D; 3; C DEFINÍCIÓ: (Hamilton kör) A G gráf egy körét Hamilton körnek nevezzük, ha a gráf minden csúcsát tartalmazza. Egy lehetséges Hamilton kör: D; 3; C; 2; B; 1; A; 6; F; 5; E; 4; D (Dirac) Ha egy egyszerű, összefüggő gráfnak n csúcsa van (n > 2) és minden csúcsának a foka legalább n, akkor van a gráfnak Hamilton - köre. 2 Ha egy egyszerű, összefüggő gráfnak van olyan k csúcsa, melyek törlése után k + 1 komponensére esik szét, akkor nincs a gráfnak Hamilton - köre. Ha egy egyszerű, összefüggő gráfnak van olyan k pontja, melyek törlése után k + 2 komponensre esik szét, akkor nincs a gráfnak Hamilton útja, s így Hamilton - köre sem. Általános esetben Hamilton kör és Hamilton út keresésére ma sem ismert igazán jó algoritmus. A fentebb közölt két utolsó tételben a feltétel csak szükséges és nem elégséges, azaz előfordulhat, hogy akkor sincs a gráfban Hamilton kör vagy Hamilton út, ha csak k komponensre esik szét. 12

13 Síkba rajzolható gráfok, gráfok színezése DEFINÍCIÓ: (Síkgráf) Egy G gráfot síkba rajzolható gráfnak (síkgráfnak) nevezünk, ha úgy ábrázolhatjuk a síkon, hogy éleinek a csúcsokon kívül nincs közös pontjuk, vagyis az élek nem keresztezik egymást. Topológikus bővítés szűkítés: Gráfok síkba rajzolhatóságát nem befolyásolja, ha valamely élükön egy új másodfokú csúcspontot veszünk fel (bővítés), vagy ha valamely két élét a gráfnak, amelyek ugyanarra a másodfokú csúcsra illeszkedtek egybeolvasszuk, s a csúcsot töröljük (szűkítés). DEFINÍCIÓ: (Topológikusan izomorf) A G gráfot a G gráffal topológikusan izomorfnak nevezzük, ha G - ből véges sok topológikus szűkítéssel, illetve bővítéssel G - vel izomorf gráf állítható elő. DEFINÍCIÓ: (Tartomány) Egy G gráfnak azon minimális köreit, melyek a belsejükben már nem tartalmaznak a gráfnak semmilyen pontját, tartományoknak (országoknak) nevezzük. Két tartományt szomszédosnak szokás nevezni, ha van közös élük. Három ház három kút probléma: Egy mezőn három házat építettek és a lakóknak három kutat ástak. Mivel a kutak gyakran kiszáradnak, ezért minden házból minden kúthoz utat kell építeni. Ám a házak lakói haragban vannak egymással. Megépíthetőek - e az utak úgy, hogy ne keresztezzék egymást? 13

14 Kuratowski féle gráfok: Az öt csúcsú teljes gráfot és a három ház három kút gráfot együttesen Kuratowski féle gráfoknak nevezzük. (Euler - formula) Ha egy gráf síkgráf, akkor teljesül, hogy c e + t = k + 1, ahol e az élek, c a csúcsok, t a tartományok és k a komponensek számát jelöli. A Kuratowski - féle gráfok nem rajzolhatóak síkba. (Kuratowski - tétele) Egy gráf pontosan akkor síkgráf, ha nem tartalmaz olyan részgráfot, amely topológikusan izomorf az öt csúcsú teljes gráffal vagy a három ház három kút gráffal. Szemléletesen: Egy G gráf akkor és csak akkor síkgráf, ha nem tartalmaz olyan részgráfot, amely vagy ötcsúcsú teljes gráffá vagy három ház három kút gráffá vonható össze. A gráf összevonásán a másodrendű csúcsok megszüntetését értjük. A Kuratowski féle gráfokból elhagyva egy egy élt már síkba rajzolható gráfok adódnak. (Fáry Wagner) Ha egy G gráf síkba rajzolható, akkor van olyan síkbarajzolása, ahol minden él egyenes szakasz. Egy G egyszerű, síkba rajzolható gráfnak létezik olyan csúcsa, amely legfeljebb ötödfokú. Ha egy síkbarajzolható gráfban a minimális fokszám 5, akkor legalább 12 darab ötödfokú csúcsa van a gráfnak. Ha G egyszerű, síkba rajzolható gráf és pontjainak száma legalább 3, akkor teljesül, hogy e 3c 6, ahol e az élek és c a csúcsok számát jelöli. Ha G egyszerű, síkba rajzolható gráf, melynek minden köre legalább 4 hosszú és csúcsainak száma legalább 4, akkor teljesül, hogy e 2c 4, ahol e az élek, c a csúcsok számát jelöli. 14

15 Sztereografikus projekció: A sztereografikus projekcióval a síkon ábrázolhatunk egy gömbre rajzolt gráfot és fordítva, egy síkba rajzolt gráfot izomorf módon ábrázolhatunk a gömbön. Térképészetben gyakran használt eljárás, hogy egy G gömb és egy S sík pontjai között létesítünk egy megfeleltetést. Amennyiben a G gömbünk egy D pontban érinti a síkot, akkor a D pont átellenes pontja legyen E. A sík valamely P pontjának gömbi megfelelőjét úgy kapjuk meg, hogy a P - t E - vel összekötő egyenesnek vesszük a G gömbbel vett metszéspontját, s ezt jelöljük P - vel. A megfeleltetés kölcsönösen egyértelmű, szögtartó, de nem távolságtartó. Minden pontot le lehet vetíteni a síkra kivéve az E pontot. Amennyiben az E pont a gráf egy csúcsa, akkor a vetítés előtt a gömböt úgy forgatjuk, hogy a gráfnak ne legyen csúcsa az E pontban. Egy gráf pontosan akkor síkbarajzolható, ha gömbre rajzolható. A gömbön a külső és belső tartomány közti különbség eltűnik. Egy síkgráf bármely tartománya lehet egy másik síkbarajzolásnál külső tartomány. DEFINÍCIÓ: (k színezhető gráf) Egy G síkgráfot k - színezhetőnek nevezünk, ha tartományait ki lehet festeni k színnel úgy, hogy bármely két szomszédos tartomány különböző színű. 2 színnel kiszínezhető gráf 15

16 DEFINÍCIÓ: (Kromatikus szám) A k számot a G gráf kromatikus számának nevezzük, ha a gráf csúcsai kiszínezhetőek k színnel úgy, hogy az éllel összekötött csúcsok színei különbözőek lesznek. Jele: χ (G). Kromatikus szám: 3 DEFINÍCIÓ: (Kromatikus index) A k számot a G gráf kromatikus indexének (élkromatikus számának) nevezzük, ha a gráf élei kiszínezhetőek k színnel úgy, hogy a szomszédos élek, azaz egy csúcsra illeszkedő élek színei különbözőek lesznek. Jele: χ e (G). Kromatikus index: 3 DEFINÍCIÓ: (Páros gráf) Egy gráfot páros gráfnak nevezünk, ha a csúcsai két halmazba sorolhatóak úgy, hogy a gráf minden élének egyik végpontja az egyik, másik végpontja a másik halmazba tartozzon. A páros gráf csúcsai kiszínezhetőek 2 színnel úgy, hogy éleinek végpontjai különböző színűek. Ha a G páros gráf, akkor bármely körének az éleinek száma páros. Ha a G gráf egyszerű, akkor χ (G) (G) + 1. (Vizing) Ha a G gráf egyszerű, akkor χ e = (G) vagy χ e = (G)

17 Duális gráf: Egy G gráf minden T i tartományában vegyünk fel egy u i pontot. Legyen az e s olyan éle G - nek, mely a T i és T j tartományok határán fekszik, s ekkor vezessen e s él u i - ból u j - be. Az így felvett csúcsok és az őket összekötő élek alkotják a G duális gráfját. A fekete gráf duálisa a piros gráf. Térképek színezésénél szokásos eljárás az, hogy szomszédos országokat különböző színekkel színeznek ki. Ha az adott síkbarajzolható G gráf duálisa G, akkor a G gráf k színnel való színezhetősége G - re vonatkozólag azt jelenti, hogy G csúcsait ki lehet színezni k színnel úgy, hogy szomszédos csúcsok színei különbözőek (bármely élének két végpontja különböző színű). A színezési probléma duális gráfra való átfogalmazása lehetőséget ad arra, hogy tetszőleges gráf színezhetőségéről beszéljünk. Színezés esetén egyszerű gráfokról célszerű beszélni: párhuzamos élek nem változtatják meg a csúcsok színezhetőséget, hurokél esetén pedig a csúcs nem színezhető ki semmire, mert szomszédos önmagával. (Ötszín - tétel) Bármely síkbarajzolható sokszöggráf kiszínezhető öt színnel. Négyszín - sejtés: A négyszín sejtés alatt azt értjük, hogy minden térkép kiszínezhető legfeljebb négy színnel úgy, hogy egy - egy él mentén a szomszédos tartományok színe különböző legyen. A négyszín tétel bizonyítását eddig csak számítógépek alkalmazásával tudták végrehajtani a feltárt konfigurációk bonyolultsága miatt. A matematikusok egy része ma is vitatja azt, hogy egy tételnek a számítógépes bizonyítása elfogadható - e. A bizonyításban azóta többször is találtak hibát, de azok javíthatónak bizonyultak. Azt azonban könnyedén be lehet látni, hogy legalább 4 szín kell a síkbeli gráfok kiszínezéséhez (pl.: tetraéder síkba rajzolt gráfja). 17

18 Gyakorló feladatok K: középszintű feladat E: emelt szintű feladat 1. (K) Rajzolj olyan egyszerű gráfot melynek fokszám sorozata: a) 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 9 b) 1; 1; 2; 3; 4 c) 0; 1; 2; 3; 4; 5; 5; 6; 7; 9 d) 3; 4; 6; 6; 8; 9; 9; 9; 9; 9 e) 0; 1; 2; 2; 3 2. (K) Az alábbi ábrán egy sakkverseny öt versenyzője között már lejátszott mérkőzéseket láthatjuk. A versenyzők nevei: Anita, Boldizsár, Cecília, Dénes, Elemér. Sorold fel a még hátralevő mérkőzéseket, ha minden játékos minden játékossal pontosan egy mérkőzést játszik. 3. (K) Aladár és Betti ismerik egymást, Betti ismeri Gábort is. Karcsi mindhármukat ismeri. Ábrázold gráffal az ismeretségeket! (Az ismeretség kölcsönös.) 4. (K) Igaz - e, hogy egy hatfős társaságban mindig van két olyan ember, akik ugyanannyi embert nem ismernek a társaságból? 5. (K) Előfordulhat - e, hogy egy 7 fős társaságban mindenki pontosan 3 embert ismer? 6. (K) Tíz csapat egyfordulós körmérkőzéses bajnokságot játszik. Negyven mérkőzést már lejátszottak. Hány mérkőzés van még hátra? 18

19 7. (K) Egy hét pontú egyszerű gráfban van izolált pont. Legfeljebb mennyi éle lehet? 8. (K) Egy ötfős társaságban 3 nő és 2 férfi található és tudjuk, hogy az azonos neműek nem ismerik egymást. Mindenki felírta egy darab papírra, hogy hány ismerőse van a társaság tagjai között. Lehetséges - e, hogy a papíron szereplő számok: 1; 2; 2; 2; 3? 9. (K) Egy társaságban 5 nő és 5 férfi szórakozik együtt. Mindenkit megkérdezünk az este végén, hogy hány ellenkező nemű emberrel táncolt az este folyamán. A nők válaszai rendre: 2; 2; 3; 3; 5. A férfiak válaszai pedig: 1; 2; 2; 4; 5. Bizonyítsd be, hogy valaki rosszul számolt! 10. (K) Egy estélyen 11 - en vettek részt. Akik ismerték egymást, koccintottak egymással egy pohár pezsgővel. Akik nem ismerték egymást, azok kézfogással bemutatkoztak egymásnak. Lehetséges e, hogy ugyanannyi koccintás volt, mint kézfogás? 11. (K) Egy 16 csúcsú egyszerű gráfnak negyedannyi éle van, mint a komplementerének. Hány éle van a gráfnak? 12. (E) Melyek izomorfak egymással az alábbi gráfok közül? 19

20 13. (K) Egy iskolai kirándulás 28 résztvevőjét megkérdezték, hogy hány osztálytársa van a kirándulás résztvevői között. Az első 15 válasz a következő volt: 8 - an mondtak 5 - öt, 2 - en mondtak 4 - et és 5 - en mondtak 3 - at. Mi lehetett a hiányzó 13 válasz, ha tudjuk, hogy mindenkinek volt osztálytársa a kiránduláson? 14. (K) Egy ökölvívó edzésen 4 egymást követő súlycsoport összesen 6 versenyzője készül a bajnokságra. Mind a 6 versenyző megmérkőzik minden olyan klubtársával, aki legfeljebb egy súlycsoportban tér el az ő súlycsoportjától. Hányan tartoznak az egyes súlycsoportokba, ha összesen 7 edzőmérkőzést kell vívniuk? 15. (K) Hat fiú közül pontosan kettő almát lopott, s a vallomások a következők: Hugó: Csaba és Gábor a tettes. Dénes: Tamás és Csaba tette. János: Dénes és Tamás a bűnös. Gábor: Hugó és Csaba a tolvaj. Csaba: Dénes és János követték el. A vallomások közül négyben az egyik bűnöst helyesen, a másikat helytelenül nevezték meg. Az ötödik (sorrendben nem feltétlenül ötödik) vallomásban megnevezettek mindketten ártatlanok. Kik lopták el az almákat? 16. (K) Rajzolj olyan fagráfot, amelyben a csúcsok fokszáma: 1; 1; 1; 1; 2; 2; 4! 17. (E) Döntsd el, hogy melyik fa az alábbi gráfok közül! Mennyi a levelek a száma? 18. (E) Mennyi pontja és mennyi levele lehet annak a fának, amelyben a pontok fokszámainak összege 16? 20

21 19. (K) Lehetséges e 30 gépet összefüggő hálózatba kötni 28 kábellel? 20. (K) Írjuk fel a 3960 prímtényezős felbontását és ábrázoljuk fagráffal! 21. (E) Mennyi pontból áll az az erdő, melynek 5 fájában összesen 16 él van? 22. (E) Rajzolj olyan erdőt, amely 4 komponensből és 10 csúcsból áll! Mennyi éle van? 23. (E) A 12 település között vízvezetékrendszert terveznek. A települések helyzetét és a közöttük lévő csatornafektetés összköltségeit az alábbi ábra modellezi. Az A település csatlakozik az országos hálózatra. Add meg a leggazdaságosabban megépíthető rendszert úgy, hogy minden település be legyen kötve a hálózatba! 24. (E) Keress maximális költségű favázat az alábbi gráfban! 21

22 25. (E) Van e olyan fagráf, melyben van nyitott Euler vonal? 26. (E) Van e olyan gráf, amelyben van zárt és nyílt Euler vonal is? 27. (E) Van e olyan séta, amely út, de nem vonal? 28. (E) A 18. században Königsberg városát a Pergel folyón 7 híd kötötte össze (ábrán). a) Vasárnaponként a város lakói szívesen sétálgattak, és felvetették a következő kérdést: lehetséges - e, hogy valaki a lakásából indulva minden hídon átsétáljon, majd hazaérkezzen úgy, hogy egyik hídon se menjen át egynél többször? (A problémával Eulerhez fordultak, aki a szentpétervári akadémia tanára volt.) b) Van - e olyan városrész, amelyből indulva bejárhatjuk a hidakat úgy, hogy mindegyiken pontosan egyszer menjünk át, de nem kell feltétlenül visszaérkeznünk a kiindulási helyre? c) Legkevesebb hány hidat kell építeni, és hova, hogy legyen olyan városrész, amelyből indulva be tudjuk járni a hidakat úgy, hogy mindegyiken pontosan egyszer menjünk át, és nem kell feltétlenül visszaérkeznünk a kiindulási helyre? d) Legkevesebb hány hidat kell építeni és hová, hogy legyen olyan városrész, amelyből indulva be tudjuk járni a hidakat úgy, hogy mindegyiken pontosan egyszer menjünk át és visszaérkezzünk a kiindulási helyre? 22

23 29. (E) Lerajzolhatóak - e a következő ábrák a ceruza felemelése nélkül úgy, hogy minden vonalon pontosan egyszer haladjunk végig? 30. (E) Legalább hányszor kell felemelni a ceruzát és egy másik pontban folytatni a rajzolást, hogy megrajzoljuk az ábrákat úgy, hogy egy szakaszt se rajzoljuk át egynél többször? 23

24 31. (E) A térképen látható városrész pirossal jelzett utcáit egy meleg nyári nap estéjén locsoló kocsival locsolják. Lehetséges - e, hogy a locsoló kocsi minden utcán végigmenjen, de egyik utcán se menjen végig egynél többször? 32. (E) Betörőt fogtak a bankban, melynek alaprajza az ábrán látható. A betörőt a széf kinyitása közben fülelték le, és a biztonsági rendszer segítségével megállapították, hogy mire odáig eljutott, minden ajtón pontosan egyszer ment át. Melyik helyiségben van a széf? 33. (E) Az ábra 9 falu közötti úthálózatot mutatja, az utakra írt számok a falvak távolságát jelentik kilométerben. Az utak állapotát ellenőrzik, ezért egy autó indul az A faluból, és végigjárja az összes utat. Milyen útvonalat válasszon, hogy az összes útszakaszt megnézze és a lehető legrövidebb úton visszatérjen A - ba? 24

25 34. (E) Határozd meg a kocka gráfjának az átmérőjét! 35. (E) Tekintsük egy kocka csúcsait és éleit egy gráf csúcsainak, illetve éleinek. a) Végig mehet - e egy légy a kocka élein úgy, hogy minden csúcsot egyszer érint? b) Végig mehet - e egy légy a kocka élein úgy, hogy minden élen egyszer megy át? c) Hány testátlót kell felvenni a kockában, hogy a légy végigmehessen az éleken és a testátlókon úgy, hogy minden élen és testátlón pontosan egyszer haladjon végig? 36. (E) Egy 24 dm hosszú drótszálból egy 2 dm élű kocka élvázát kell elkészíteni. Legfeljebb hány kockaél alakítható ki úgy, hogy közbe ne vágjuk el a drótot? 37. (E) Rajzolj meg egy egy Hamilton kört a szabályos poliéderek gráfjaiban! 38. (E) Van e Hamilton kör, illetve Hamilton - út az alábbi gráfokban? 39. (E) A 4 x 4 es sakktáblát be lehet - e járni egyetlen lóval lóugrásokkal úgy, hogy mindig olyan mezőre lépünk, melyen korábban még nem jártunk? 40. (E) Az 5 x 5 ös sakktáblát be lehet - e járni egyetlen lóval lóugrásokkal oly módon, hogy mindig olyan mezőre lépünk, melyen korábban még nem jártunk? 25

26 41. (E) Bejárhatja - e a huszár a 8 x 8 as sakktáblát úgy, hogy minden mezőre pontosan egyszer lépjen, és utolsó lépéssel visszatérjen a kiindulási ponthoz? Bejárhatja - e a sakktáblát úgy, hogy az utolsó lépésként nem kell visszatérnie a kiindulási ponthoz? 42. (E) Átlós lépés nélkül be tudja - e járni a király a sakktáblát úgy, hogy minden mezőre pontosan egyszer lépjen, és utolsó lépéssel visszatérjen a kiindulási ponthoz, ha a sakktábla 4 x 4 - es; 5 x 5 - ös vagy 8 x 8 - as? Bejárhatja - e a feltételek mellett a sakktáblát akkor, ha utolsó lépésként nem kell visszatérnie a kiindulási ponthoz? 43. (K) Egy téglalap alakú gyümölcsös kertben 5 sorban és 6 oszlopban helyezkedik el 30 almafa. A kert egyik sarkában lévő gyümölcsfán egy sárgarigó, a vele átellenes sarokban lévő gyümölcsfán egy barnakánya ül. 30 percenként átrepülnek a kert valamely szomszédos fájára, de mindig csak a téglalap oldalaival párhuzamosan repülnek. Lehetséges - e, hogy valamelyik almafán együtt üljenek? 44. (K) Tizenkét fiú levelez. Mindegyik fiú legalább két másikkal tartja a kapcsolatot. Valamelyikük elküld egy hírt az egyik ismerősének. Az is elküldi egy ismerősének, de nem annak, akitől kapta. Más forrásból a fiúk nem jutnak a hírhez. a) Biztosan eljut - e a hír mindenkihez, mielőtt visszajut olyanhoz, aki már tudta? b) Igaz - e, hogy a hír biztosan visszajut egy olyan fiúhoz, aki már tudta? c) Legkevesebb hány fiúhoz jut el a hír? 45. (E) Az alábbi gráfok közül melyek rajzolhatók síkba? 26

27 46. (E) Egy nagyváros három vasútállomását és két autóbusz - pályaudvarát köztes megálló nélküli földalatti vasútvonalakkal kívánjuk összekötni úgy, hogy ezek ne keresztezzék egymást. (Nem szükséges egyenes pályát kialakítani.) a) Tervezd meg az összekötetést a pályaudvarok alábbi elhelyezkedése esetén úgy, hogy minden vasútállomásról vezessen vonal minden autóbusz pályaudvarhoz! (vasútállomás: ; buszpályaudvar: ) b) Tervezd meg a fenti feltételek figyelembevételével a földalatti vasúthálózatot úgy, hogy a vasútállomások és az autóbusz - pályaudvarok között is legyen közvetlen kapcsolat! 47. (E) Színezd ki az alábbi gráf éleit úgy, hogy a szomszédos élek színe különböző legyen! Legalább mennyi színre van szükség? 48. (E) Határozd meg azt a minimális számot, ahány színnel az alábbi gráfok csúcsai kiszínezhetőek úgy, hogy szomszédos csúcsok színe különböző legyen! 27

28 49. (E) Minimálisan mennyi színnel lehet kiszínezni a szabályos poliéderek csúcsait, illetve éleit úgy, hogy két szomszédos csúcs, illetve az egy csúcshoz illeszkedő élek különböző színűek legyenek? 50. (E) Egy 17 csúcsú teljes gráf éleit három színnel (piros, kék, zöld) színezzük. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges színezés esetén találunk egyszínű háromszöget! 51. (E) Színezd ki az alábbi vaktérképeken Európa, Ázsia, Afrika, Észak Amerika és Dél - Amerika országait úgy, hogy minden egymással határos ország különböző színű legyen, az óceánokkal határos területek ne legyenek világoskék színűek, továbbá a különálló szigeteket nem tekintjük semelyik országgal határosnak. Legkevesebb mennyi színnel teljesíthető ez a színezés, s legkevesebb mennyi színnel lehetne kiszínezni az egész világtérképet? 28

29 29

30 30

31 Felhasznált irodalom (1) Hajdu Sándor; 2004.; Matematika 11.; Műszaki Könyvkiadó; Budapest (2) Urbán János; 2003.; Sokszínű matematika 11; Mozaik Kiadó; Szeged (3) Ábrahám Gábor; 2010.; Matematika emelt szint; Maxim Könyvkiadó; Szeged (4) Urbán János; 2012.; Sokszínű matematika feladatgyűjtemény 11; Mozaik Kiadó; Szeged (5) Turjányi Sándor; 2005.; Bevezetés a kombinatorikába és gráfelméletbe (egyetemi jegyzet); Debreceni Egyetem (6) Dr. Gyapjas Ferencné; 2002.; Matematika feladatgyűjtemény I.; Nemzeti Tankönyvkiadó; Budapest (7) Korányi Erzsébet; 1998.; Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából; Nemzeti Tankönyvkiadó; Budapest (8) Vancsó Ödön; 2005.; Egységes Érettségi Feladatgyűjtemény Matematika I.; Konsept H Könyvkiadó; Piliscsaba (9) Ruff János; 2012.; Érettségi feladatgyűjtemény matematikából évfolyam; Maxim Kiadó; Szeged (10) Fröhlich Lajos; 2006.; Alapösszefüggések matematikából emelt szint; Maxim Kiadó; Szeged (11) (12) Saját anyagok 31