Bevezetés. 3. Egy ötfős társaságban Mindenkinek legalább 1 ismerőse van. Rajzoljon meg néhány lehetőséget!

Átírás

1 Bevezetés A megoldásokat a feladatsor végén találod! 1. Hencidát út köti össze Kukutyimmal, Boncidával, Lustafalvával és Dágványoshetyével. Boncidáról Álmossarokra is vezet út. Lustafalvát út köti össze Álmossarokkal is. Iszapszenkukacosról út vezet Dágványoshetyére és Álmossarokra. Munkavégről csak Álmossarokra lehet eljutni. Rajzold meg a térképet. Minden helység mellé írd oda, hogy hány településsel köti össze út! Hogyan lehet eljutni Kukutyimból Iszapszentkukacosra? 2. Egy héttagú társaság minden tagja a társaság minden tagjával lefolytat egy telefonbeszélgetést. Eddig András 6, Béla 2, Csaba 5, Dani 1, Ervin, Feri és Gábor pedig egyaránt 4-4 telefont bonyolított le. a) Rajzoljon olyan ábrát, mely az eddigi telefonbeszélgetéseket szemlélteti! b) Az összes telefonbeszélgetésnek eddig hány százalékát nem bonyolították még le? 3. Egy ötfős társaságban Mindenkinek legalább 1 ismerőse van. Rajzoljon meg néhány lehetőséget! 4. Egy iskolai kiránduláson 19-en vettek részt. Megkérdeztek 8 embert, hogy hány osztálytársunk van jelen. Ketten azt mondták, hogy négy osztálytársunk van jelen. Három srácnak 3 osztálytársa kirándult. Két srácnak egy osztálytársa volt ott a kiránduláson, míg egyik fiúnak 5 osztálytársa volt jelen. Ha a többieket is megkérdeznénk, vajon mit válaszolnának? 5. Egyetlen vonallal meg lehet-e rajzolni a köv. ábrákat? a) b) Eddig a feladatok megoldása során a hosszú szöveg megértését segítették az olyan ábrák, ahol bizonyos dolgokat pontokkal, a köztük levő kapcsolatokat vonalakkal, esetleg nyilakkal jelöltük. A bonyolultabb kérdések könnyebb megválaszolása miatt érdemes tanulmányozni a témakört. 6. Egy gyereknek 3 feladata van. Ábrázolja, hogy hányféleképpen szervezheti meg a munkát! 7. Szervezze meg egy 9 fős kieséses pingpong verseny lebonyolítását! A pontokból és vonalakból álló ábrák a logikai feladatok megoldásában is segíthetnek: 8. Egy bajnokság rájátszásában négy csapat szerepel: a Kétballábasok (K), a Lusták (L), a Futógépek (F) és az Ügyesbabák (Ü). Mindenki mindenkivel egyszer játszik, de még nem játszották le az összes meccset. Pisti a következő híreket hallotta a bajnokság pillanatnyi állásáról: A Kétballábasok legyőzték a Lustákat, kikaptak a Futógépektől, és játszottak egy döntetlent. Több döntetlen eddig nem volt. A Lustáknak és a Futógépeknek is ugyanannyi győzelme van, mint veresége. A Lusták utolsó meccséről kitiltották a közönséget.

2 Pistinek sikerült jegyet szereznie az Ügyesbabák utolsó meccsére, amelyen majd eldől a bajnokság sorsa. Kivel játszanak ekkor az Ügyesbabák? 9. Hat fiú közül pontosan kettő almát lopott, de kik? A vallomások a következők: Hugó: Csaba és Gábor a tettes. János: Dénes és Tamás a bűnös. Dénes: Tamás és Csaba tette. Gábor: Hugó és Csaba a tolvaj. Csaba: Dénes és János követték el. A vallomások közül négyben az egyik bűnöst helyesen, a másikat helytelenül nevezték meg. Az ötből az egyik vallomásban megnevezettek mindketten ártatlanok. Kik lopták el az almákat? 10. Igaz-e, hogy egy hattagú társaságnak mindig van vagy három olyan tagja, akik kölcsönösen ismerik egymást, vagy három olyan tagja, akik kölcsönösen nem ismerik egymást? ( Úgy is írhattuk volna, hogy egy legalább hattagú társaságnak.) 11. Egy egyetemi campus területén 17 épület helyezkedik el. Kösse őket össze úttal, úgy hogy a lehető legkevesebb aszfaltot kelljen felhasználni, de mindenhonnan mindenhova el lehessen jutni az utak mentén! Készíts térképet a feladathoz! 12. Aladdin bejut a szultán kincseskamrájába. Tudja, hogy ez még egyszer nem jön össze. A hátizsákjában 60 kilót tud elcipelni. Mit tegyen a zsákba, ha ismeri a tárgyak értékét és tömegét? Készíts listát a feladathoz! 12. Nyolc királynő probléma. Az első tíz feladat megoldása: 1. Hencidát út köti össze Kukutyimmal, Boncidával, Lustafalvával és Dágványoshetyével. Boncidáról Álmossarokra is vezet út. Lustafalvát út köti össze Álmossarokkal is. Iszapszenkukacosról út vezet Dágványoshetyére és Álmossarokra. Munkavégről csak Álmossarokra lehet eljutni. Rajzold meg a térképet. Minden helység mellé írd oda, hogy hány településsel köti össze út! Hogyan lehet eljutni Kukutyimból Iszapszentkukacosra? Kukutyim (1) Boncida (2) Munkavég (1) Álmossarok (4) Hencida (4) Iszapszentkukacos (2) Lustafalva (2) Dágványoshetye (2) Kukutyimból Iszapszentkukacosra többféleképpen is eljuthatunk: Kukutyim Hencida Boncida Álmossarok Iszapszentkukacos Kukutyim Hencida Lustafalva Álmossarok Iszapszentkukacos Kukutyim Hencida Dágványoshetye Iszapszentkukacos 2. Egy héttagú társaság minden tagja a társaság minden tagjával lefolytat egy telefonbeszélgetést. Eddig András 6, Béla 2, Csaba 5, Dani 1, Ervin, Feri és Gábor pedig egyaránt 4-4 telefont bonyolított le. a) Rajzoljon olyan ábrát, mely az eddigi telefonbeszélgetéseket szemlélteti! b) Az összes telefonbeszélgetésnek eddig hány százalékát nem bonyolították még le? Ha mindenki mindenkivel beszél, akkor mindenkit mindenkivel össze kell kötni.

3 Színezzük ki a megtörtént beszélgetéseket jelentő vonalakat. András (6) Béla (2) Feri Egy ember 6 másikal tud beszélni. Ez összesen beszélgetést jelent. Csaba (5) Gábor Ervin Dani A még hátralévő beszélgetéseket a fekete vonalak ábrázolják. Tehát még 6 beszélgetés van hátra. Ami az összes beszélgetés ( 6 0,2857 ) 29 %-a Egy öt fős társaságban Mindenkinek legalább 1 ismerőse van. Rajzoljon meg néhány lehetőséget! pl.: v v 4. Egy iskolai kiránduláson 19-en vettek részt. Megkérdeztek 9 embert, hogy hány osztálytársunk van jelen. Ketten azt mondták, hogy négy osztálytársunk van jelen. Három srácnak 3 osztálytársa kirándult. Két srácnak egy osztálytársa volt ott a kiránduláson, míg egyik fiúnak 5 osztálytársa volt jelen. Ha a többieket is megkérdeznénk, vajon mit válaszolnának? Ha valakinek 4 osztálytársa volt jelen, akkor abból az osztályból öten kirándultak. Ebből az osztályból még hárman azt válaszolnák, hogy 4 osztálytársuk van jelen. Egy tanuló azt válaszolná, hogy 3 osztálytársa van jelen. Még két srác mondaná, hogy 1 osztálytársa van jelen.

4 Ebből az osztályból öten azt válaszolnák, hogy 5 osztálytársuk van jelen 5. Egyetlen vonallal meg lehet-e rajzolni a köv. ábrákat? a) b) Ezt igen. Pl. Itt, ha sokat próbálkozol, akkor sem találsz megoldást. De ha nem találsz, az nem jelenti azt, hogy nincs is. A kezdő és a végponton kívül a többi pontba, ha bemegyek, akkor ki is megyek belőle. Ez azt jelenti, hogy ezekbe a pontokba befutó utak száma páros, a kezdő és a végpontba befutó utak száma páratlan. Csak akkor lehet egy vonallal megrajzolni az alakzatot, ha két pontjába páratlan számú út fut be és az összes többibe páratlan Itt minden pontba páratlan számú út fut be, ezért nem lehet egy vonallal megrajzolni. Ha minden pontba páros számú út fut be, akkor úgy is meg tudjuk egy vonallal rajzolni, hogy a kezdő és a végpont ugyanaz. 6. Egy gyereknek 3 feladata van. Ábrázolja, hogy hányféleképpen szervezheti meg a munkát! B C A C A B A B C C B C A B A A srác összesen 6-féleképpen szervezheti meg a munkáját. 7. Szervezze meg egy 9 fős kieséses pingpong verseny lebonyolítását! Mivel páratlan számú versenyző van, a két leggyengébbnek előselejtezőt kell vívnia.

5 Döntő Elődöntők Selejtezők Előselejtező 1. selejtezős 1. elődöntős 1. döntős 2. selejtezős 3. selejtezős Győztes 2. elődöntős 4. selejtezős 3. elődöntős 5. selejtezős 2. döntős 6. selejtezős 7. selejtezős 4. elődöntős 8. selejtezős 8. Egy bajnokság rájátszásában négy csapat szerepel: a Kétballábasok (K), a Lusták (L), a Futógépek (F) és az Ügyesbabák (Ü). Mindenki mindenkivel egyszer játszik, de még nem játszották le az összes meccset. Pisti a következő híreket hallotta a bajnokság pillanatnyi állásáról: A Kétballábasok legyőzték a Lustákat, kikaptak a Futógépektől, és játszottak egy döntetlent. Több döntetlen eddig nem volt. A Lustáknak és a Futógépeknek is ugyanannyi győzelme van, mint veresége. A Lusták utolsó meccséről kitiltották a közönséget. Pistinek sikerült jegyet szereznie az Ügyesbabák utolsó meccsére, amelyen majd eldől a bajnokság sorsa. Kivel játszanak ekkor az Ügyesbabák? A csapatokat jelöljük betűkkel. Ha egy csapat legyőz egy másikat, akkor rajzoljunk tőle a legyőzött csapatnak megfelelő betűhöz mutató nyilat. A két csapat közötti döntetlent a betűiket összekötő vonal jelzi. A Kétballábasok legyőzték a Lustákat és kikaptak a Futógépektől, így a döntetlent csak az Ügyesbabákkal játszhatták. K L F Ü Mivel több döntetlen eddig nem volt, és a Lustáknak és a Futógépeknek is ugyanannyi győzelme van, mint veresége, a Lusták és a Futógépek is eddig egy meccset nyertek és egyet vesztettek (L; F : Egy nyíl be, egy nyíl ki). Két eset lehet: 1. A Lusták és a Futógépek még nem játszottak egymással. K L

6 F Ü Ez csak úgy lehetséges, ha a Futógépek kikaptak az Ügyesbabáktól és a Lusták legyőzték az Ügyesbabákat. Ekkor azonban az Ügyesbabák már minden meccsüket lejátszották volna, bár Pisti még csak ezután megy az utolsó meccsükre. Ez az eset nem lehetséges! 2. A Lusták és a Futógépek már játszottak egymással, és a Lusták győztek. Ekkor az Ügyesbabák még nem játszottak a Lustákkal és a Gólzsákokkal. Mivel a Lusták utolsó meccséről kitiltották a közönséget, Dani jegye a Ügyesbabák és a Futógépek közti döntő mérkőzésre szól. K L F Ü 9. Hat fiú közül pontosan kettő almát lopott, de kik? A vallomások a következők: Hugó: Csaba és Gábor a tettes. János: Dénes és Tamás a bűnös. Dénes: Tamás és Csaba tette. Gábor: Hugó és Csaba a tolvaj. Csaba: Dénes és János követték el. A vallomások közül négyben az egyik bűnöst helyesen, a másikat helytelenül nevezték meg. Az ötből az egyik vallomásban megnevezettek mindketten ártatlanok. Kik lopták el az almákat? Vegyünk egy olyan gráfot, melynek pontjai egy-egy gyanúsítottat jelölnek, és azok vannak éllel összekötve, akik egy állításban szerepelnek. H Cs D T G J Az öt élből négynek az egyik végpontja tolvaj, a másik nem, a maradék egy élnek viszont egyik végpontja sem tolvaj. Ez azt jelenti, hogy a tolvajokat jelentő két pontba összesen 4 él fut be: négy állításból egyenként 1, az ötödikből 0. Mivel egyetlen állításban sincs két tolvaj megnevezve, a tolvajoknak megfelelő pontok nincsenek éllel összekötve. H(1) Cs(3) D(2) T(2) G(1) J(1) Dénes és Tamás össze van kötve éllel, ők együtt nem lehetnek tolvajok, így 4 él csak úgy jöhet ki, hogy az egyik pont a hármas fokszámú, ehhez kell egy egyes fokszámú pontot választani. Csabáé a hármas fokszámú pont, az egyes fokszámú pontok közül csak a Jánoséval nincs összekötve. Tehát a két tolvaj Csaba és János.

7 Gráfos mo.: H(1) Cs(3) D(2) T(2) G(1) J(1) Egyik állításban két ártatlan van A tolvajok fokszámának 4 állításban egy ártatlan és egy bűnös van összege: = 4. A tolvajokat nem köti össze él. D és T v Cs és H v Cs és G v Cs és J lehet a tolvaj. Csak Cs és J lehet a tolvaj. 10. Igaz-e, hogy egy hattagú társaságnak mindig van vagy három olyan tagja, akik kölcsönösen ismerik egymást, vagy három olyan tagja, akik kölcsönösen nem ismerik egymást? (Úgy is írhattuk volna, hogy egy legalább hattagú társaságnak.) Megoldás 1. Eset: Ha A ismer legalább másik három résztvevőt (pl. B-t, C-t és D-t), akkor a következőt állapíthatjuk meg: ha B, C és D közül bármely kettő ismeri egymást (pl B és C), akkor készen vagyunk, hiszen ekkor A, B, és C mindhárman ismerik egymást. Ha B, C és D közül semelyik kettő nem ismei egymást, akkor ismét készen vagyunk, hiszen találtunk három olyan személyt, akik kölcsönösen nem ismerik egymást. B A C D 2. Eset: Tegyük fel hogy, A legalább másik három személyt nem ismer (pl. B-t, C-t és D-t). Most a vonal jelentse azt, hogy nem ismerik egymást. B A C D

8 Ha B, C és D, közül bármely kettő nem ismeri egymást (pl. B és C), akkor készen vagyunk, hiszen ekkor A, B és C kölcsönösen nem ismerik egymást. Ha viszont B, C és D között nincs kettő, akik nem ismerik egymást, akkor mindhárman kölcsönösen ismerik egymást, tehát ismét készen vagyunk.