Lineáris algebra Közgazdász szakos hallgatóknak a Matematika Aa Vektorfüggvények tantárgyhoz 9. tavaszi félév
Tartalomjegyzék. Komplex számok és polinomok.................... 4.. A komplex számok bevezetése, m veletek értelmezése......... 4.. Komplex szám trigonometrikus alakja. Gyökvonás........... 4.. Polinomok gyökei. Az algebra alaptétele. Polinomok gyöktényez s alakja..................... 4.4. Feladatok................................. 4. Sík és térbeli vektorok.......................... 5.. Vektor értelmezése, m veletek...................... 5.. Koordináták, m veletek koordinátákkal................. 5.. Skaláris szorzat. Vektorok felbontása.................. 5.4. Vektoriális- és vegyesszorzat....................... 5.5. Sík és egyenes egyenletei......................... 5.6. Feladatok................................. 5. A rendezett szám n-esek lineáris tere................ 7.. M veletek értelmezése R n -en....................... 7.. Lineárisan független és összefügg vektorok. Bázis........... 9.. Alterek R n -ben...............................4. Feladatok................................. 5 4. Mátrixok.................................. 7 4.. Deníciók................................. 7 4.. M veletek mátrixokkal.......................... 9 4.. Feladatok................................. 5. Négyzetes mátrix determinánsa.................... 7 5.. A determináns deníciója........................ 7 5.. A determináns elemi tulajdonságai................... 8 5.. Feladatok................................. 6. Téglalapmátrix és vektorrendszer rangja.............. 6.. Mátrix rangjának a deníciója...................... 6.. Mátrix rangjának a meghatározása................... 4 6.. Vektorrendszer rangjának meghatározása................ 5 6.4. Feladatok................................. 6
Tartalomjegyzék 7. Négyzetes mátrix inverze........................ 8 7.. Mátrix invertálhatóságának és inverzének az értelmezése....... 8 7.. Az inverzmátrix létezése és tulajdonságai................ 9 7.. Az inverzmátrix meghatározása az adjungálttal............ 9 7.4. Az inverzmátrix meghatározása elemi sortranszformációkkal..... 4 7.5. Mátrixegyenletek............................. 4 7.6. Feladatok................................. 44 8. Lineáris egyenletrendszerek....................... 49 8.. Lineáris egyenletrendszerek általános alakja.............. 49 8.. A megoldások létezése.......................... 5 8.. Az inverzmátrix-módszer és a Cramer-szabály............. 5 8.4. Gauss-féle kiküszöbölési eljárás..................... 5 8.5. A megoldáshalmaz szerkezete...................... 6 8.6. Feladatok................................. 65 9. Sajátérték, sajátvektor. Diagonalizálás............... 78 9.. Négyzetes mátrix sajátértékei és sajátvektorai............. 78 9.. Négyzetes mátrix diagonalizálása.................... 79 9.. Feladatok................................. 8 9.4. A feladatok megoldásai.......................... 8
4. Komplex számok és polinomok. Komplex számok és polinomok.. A komplex számok bevezetése, m veletek értelmezése.. Komplex szám trigonometrikus alakja. Gyökvonás.. Polinomok gyökei. Az algebra alaptétele. Polinomok gyöktényez s alakja.4. Feladatok
. Sík és térbeli vektorok 5. Sík és térbeli vektorok.. Vektor értelmezése, m veletek M veletek: összeadás, számmal való szorzás.. Koordináták, m veletek koordinátákkal.. Skaláris szorzat. Vektorok felbontása.4. Vektoriális- és vegyesszorzat.5. Sík és egyenes egyenletei.6. Feladatok Skaláris szorzat. Számítsa ki az a = (,, ) és b = (,, ) vektorok skaláris szorzatát.. Határozza meg λ értékét úgy, hogy az a = (,, ) és a b = (, 5, λ) vektorok mer legesek legyenek.. Határozza meg az a = (,, ) és a b = (,, ) vektorok szögét. 4. Számítsa ki az A = (, 5, ), B = (6,, 5), C = (6, 4, 9) csúcspontú háromszög szögeit. 5. Bontsa fel a v = (,, 5) vektort az a = (4,, ) vektorral párhuzamos és arra mer leges komponensek összegére. 6. Tükrözze az v = (, 6, ) vektort az a = (,, ) vektorra. Határozza meg a tükörkép vektor koordinátáit. Vektoriális szorzat 7. Számítsa ki az a = (,, ) és b = (, 4, 7) vektorok vektoriális szorzatát. 8. Határozza meg az ABC háromszög területét, ha A(,, ), B(,, ) és C(,, ). Vegyesszorzat 9. Határozza meg az a = (,, 5), b = (,, 4) és c = (,, ) vektorok abc, cba és cab vegyesszorzatait.
6. Sík és térbeli vektorok. Számítsa ki az a = (,, ), b = (,, ) és c = (,, ) vektorok által kifeszített paralelepipedon térfogatát.. Bizonyítsa be, hogy az A = (4,, ), B = (,, ), C = (4,, ) és D = (7,, 6) pontok egy síkon fekszenek. Koordinátageometriai alkalmazások. Írja fel a P (,, 4) ponton átmen n = (,, ) normálvektorú sík egyenletét.. Írja fel az A(,, ), B(4,, ), C(,, ) pontokon átmen sík egyenletét. Számítsa ki a P (,, ) pont távolságát a fenti síktól. Írja fel a P ponton átmen, a fenti síkra mer leges egyenes egyenletét. Keresse meg a P pontnak a fenti síkra való mer leges P vetületének a koordinátáit. 4. Mutassa meg, hogy az x y +z = és a x 4y +z = síkok párhuzamosak, és határozza meg a két sík távolságát. 5. Írja fel az A(4,, ) és a B(,, 5) pontokon átmen egyenes vektoregyenletét, paraméteres egyenletrendszerét és egy egyenletrendszerét. 6. Keresse meg az x y + 4z = és az x + y z = 5 síkok metszésvonalának az egyenletét. 7. Határozza meg a P (,, 8) ponton átmen és az x + = y = z egyenlet egyenesre mer leges síknak az egyenessel való döfésponját. 8. Számítsa ki a P (5,, 4) pont távolságát az x = t, y = t, z = t + 4 (t R) egyenlet egyenest l. Írja fel a P ponton átmen és az adott egyenesre illeszked sík egyenletét. 9. Mutassa meg, hogy az x = y + 4 = z 4 és x + 4 = y = z + 5 8 egyenlet egyenesek párhuzamosak. Határozza meg a távolságukat. Írja fel a két egyenesre illeszked sík egyenletét.. Határozza meg az x y + z = és a x 4y + z = síkok távolságát.
. A rendezett szám n-esek lineáris tere 7. A rendezett szám n-esek lineáris tere Korábban a vektorokat irányított szakaszokként deniáltuk, és láttuk, hogy az i, j, majd a k vektorok bevezetésével egy kétdimenziós (sík)vektor és egy valós számpár, valamint egy háromdimenziós (tér)vektor és egy valós számhármas között kölcsönösen egyértelm megfeleltetés létesíthet, ezért például az (x, x, x ) számhármast vektornak is tekinthetjük. Az alábbiakban bevezetjük a vektor fogalmának egy általánosítását. Ehhez nem geometriai meggondolásokon, hanem algebrai deníciókon keresztül jutunk el. Legyen n egy rögzített pozitív egész szám és jelöljük R n -nel R-nek önmagával vett n-szeres Descartes-szorzatát. R n elemei tehát rendezett szám n-esek, amelyeket az x = (x, x,..., x n ), y = (y, y,..., y n ) szimbólumokkal fogjuk jelölni. Utalva ezek geometriai hátterére, az R n elemeit vektoroknak, az x, x,..., x n számokat az x vektor koordinátáinak vagy komponenseinek szokás nevezni. Az x, y R n szám n-eseket akkor tekintjük egyenl nek, ha a megfelel komponenseik egyenl ek: x = y, x = y,..., x n = y n... M veletek értelmezése R n -en Az x := (x,..., x n ), y := (y,..., y n ) R n vektorok összegét, valamint az x vektor és a λ valós szám szorzatát röviden vektor számszorosát így értelmezzük: x + y := (x + y, x + y,..., x n + y n ), λ x := (λx, λx,..., λx n ). (A szorzás jelét el szokás hagyni. Ezt a m veletet így fogjuk jelölni: λ.) Világos, hogy minden x, y R n esetén x + y R n (szavakban: R n zárt az összeadásra nézve), minden λ R, x R n esetén λ x R n (szavakban: R n zárt a számmal való szorzásra nézve). Igen egyszer en igazolható, hogy ezek a m veletek rendelkeznek az alábbi tulajdonságokal.. tétel. o Az R n elemei között értelmezett összeadásra a következ k teljesülnek: (i) kommutatív, azaz bármely x, y R n elemekre x + y = y + x;
8. A rendezett szám n-esek lineáris tere (ii) asszociatív, azaz minden x, y, z R n vektorra (x + y) + z = x + (y + z); (iii) létezik nullelem, azaz van olyan R n vektor, amellyel bármely x R n esetén x + = x (a := (,,..., ) R n vektor rendelkezik ezzel a tulajdonsággal); (iv) minden elemnek létezik ellentettje, azaz bármely x R n elemre a x R n vektorra fenáll az x + ( x) = egyenl ség ( x az x vektor ellentettje). o A R n halmazban bevezetett számmal való szorzás m velete az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik: (i) x = x (x R n ); (ii) (λµ)x = λ(µx) (λ R, x R n ); (iii) (λ + µ)x = λx + µx (λ, µ R, x R n ); (iv) λ(x + y) = λx + λy (λ R, x, y R n ). Megmutatható lenne az, hogy az iménti tételben megfogalmazott alaptulajdonságokból a sík- és tér vektorainál sokszor használt további tulajdonságok (pl. a nullelem és az ellentett egyértelm sége, a minden x R n esetén fennálló x = és ( ) x = x egyenl ségek) már levezethet k lennének. Az R n halmazt tehát két m velettel láttuk el. A matematikában ezt úgy szokás kifejezni, hogy értelmeztünk egy struktúrát. Az. tételben az (R n, +, λ) struktúra meghatározó tulajdonságait soroltuk fel. Hamarosan (pl. a mátrixoknál) látni fogjuk azt, hogy más halmazokon is lehet értelmezni ilyen m veleteket pontosan ilyen alaptulajdonságokkal. Ez az oka annak, hogy egy új elnevezést vezetünk be: Az (R n, +, λ) struktúrát az R (számtest) feletti lineáris térnek (vagy az R (számtest) feletti vektortérnek) nevezzük és a továbbiakban röviden csak R n - teret mondunk. (Az elnevezésben R kiemelése azt fejezi ki, hogy a λ értékeket az R számtest elemeib l vesszük.) Megjegyzés. Az x = (x, x,..., x n ) szám n-est gyakran sorvektornak is nevezzük, és ekkor az x = [x, x,..., x n ] jelölést is használjuk. Az x R n komponenseit megadhatjuk oszlopba rendezve is: ilyenkor oszlopvektorról beszélünk. x = x. x n
.. Lineárisan független és összefügg vektorok. Bázis 9 Az oszlopvektorok és a sorvektorok halmazában analóg módon értelmezhetjük az összeadás és a számmal való szorzás m veletét. A rendezett szám n-esek, az oszlopvektorok és a sorvektorok halmaza között olyan kölcsönösen egyértelm megfeleltetést lehet létesíteni, ami megtartja a m veleteket, ezért e három struktúra között nem teszünk különbséget... Lineárisan független és összefügg vektorok. Bázis Korábban már láttuk sík- és térbeli vektorok körében a párhuzamos- (kollineáris-) és az egysíkú (komplanáris) vektorok jelent ségét. Most ezek általánosítását adjuk meg. Szükségünk lesz a következ elnevezésekre: A továbbiakban végig m és n tetsz leges természetes számokat fog jelölni. Az x, x,..., x m R n vektorok lineáris kombinációjának nevezzük a λ x + λ x + + λ m x m alakú R n -beli vektorokat, ahol λ,..., λ m tetsz leges valós számok. Triviális lineáris kombinációnak nevezzük a λ = = λ m = együtthatókkal képzett lineáris kombinációt. Világos, hogy a triviális lineáris kombináció az R n -tér nulleleme. Deníció. o Az x, x,..., x m R n vektorok lineárisan összefügg k, ha vannak olyan nem mind nulla λ, λ,..., λ m R valós számok (azaz λ + + λ m > ), amelyekkel a λ x + λ x + + λ m x m = egyenl ség teljesül, azaz az x, x,..., x m vektoroknak van olyan nem triviális lineáris kombinációja, ami a vektort állítja el. o Az x, x,..., x m R n vektorok lineárisan függetlenek, ha nem lineárisan összefügg k, azaz λ x + λ x + + λ m x m = = λ = λ = = λ m =, és ez azt jelenti, hogy a vektort az x, x,..., x m vektoroknak csak a triviális lineáris kombinációja állítja el. Megjegyzés. Ezek a fogalmak valóban a kollinearitás és komplanaritás általánosításai. Gondoljuk meg a következ ket: az a, b R síkbeli vektorok az a, b, c R térbeli vektorok kollineárisak ha lineárisan összefügg k, nem kollineárisak ha lineárisan függetlenek; komplanárisak ha lineárisan összefügg k, nem komplanárisak ha lineárisan függetlenek.
. A rendezett szám n-esek lineáris tere Igen fontos kérdés a következ : hogyan lehet eldönteni az R n -ben megadott vektorokról azt, hogy azok lineárisan függetlenek-e vagy lineárisan összefügg k? A deníció alapján ez attól függ, hogy a vektorok milyen lineáris kombinációja állítja el a vektort. A vektorok triviális lineáris kombinációja nyilván a vektort adja. A vektorok akkor lineárisan függetlenek, ha más lineáris kombináció nem állítja el a vektort; az ellenkez esetben a vektorok lineárisan összefügg k. Tegyük fel, hogy adottak az x k := x k x k. x nk Rn (k =,,..., m) vektorok. Azt kell megvizsgálni, hogy milyen λ,..., λ m valós számokra áll fenn a λ x + λ x + + λ m x m = egyenl ség. Ezt koordinátákkal felírva azt kapjuk, hogy x x m λ x + + λ m x m λ x + + λ m x m = λ. + + λ m. =. =.. x n x nm λ x n + + λ m x nm Két vektor pontosan akkor egyenl, ha a koordinátái megegyeznek, ezért a λ,..., λ m ismeretlenekre a következ egyenletrendszert kapjuk: λ x + λ x + + λ m x m =, λ x + λ x + + λ m x m =,. λ x n + λ x n + + λ m x nm =. Ha ennek az egyenletrendszernek csak a triviális (azaz λ = λ = = λ m = ) megoldása van, akkor az x,..., x m vektorok lineárisan függetlenek, az ellenkez esetben pedig lineárisan összefügg k. Az elmondottakat a következ példán illusztráljuk.. példa. Döntsük el, hogy a következ R -beli vektorok lineárisan függetlenek-e vagy nem: (a) x :=, x :=, x := ;
.. Lineárisan független és összefügg vektorok. Bázis (b) x :=, x :=, x := 4. 6 A következ állításban felsoroljuk a lineárisan független, illetve lineárisan összefügg vektorrendszerek néhány alapvet tulajdonságát.. tétel. o Az x, x,..., x m R n vektorok akkor és csak akkor lineárisan összefügg k, ha legalább az egyik közülük kifejezhet a többi lineáris kombinációjával. o Ha az x, x,..., x m R n vektorok közül az egyik a vektor, akkor a vektorrendszer lineárisan összefügg. o Lineárisan összefügg vektorokhoz az R n -tér bármelyik vektorát hozzávéve lineárisan összefügg vektorrendszert kapunk. 4 o Lineárisan függetlenek vektorrendszer bármelyik részrendszere is lineárisan független. Az R n -térben van n elemb l álló lineárisan független vektorrendszer.. tétel. o Az R n térben az e :=, e :=, e :=,..., e n :=.... vektorok lineárisan függetlenek. o Minden x R n (oszlop)vektor egyértelm en írható fel az e, e,..., e n vektorok lineáris kombinációjaként. Az R n -térben más olyan vektorrendszerek is megadhatók, amelyekre teljesülnek az el z tétel állításai. Ezt R -ban illusztráljuk.. példa. (a) Az R -beli f :=, f :=, f := vektorok lineárisan függetlenek. (b) Minden x R (oszlop)vektorhoz egyértelm en léteznek olyan λ, λ, λ valós számok, amelyekre x = λ f + λ f + λ f.
. A rendezett szám n-esek lineáris tere Ez a példa is motiválja a következ fontos fogalom bevezetését. Deníció. Azt mondjuk, hogy az R n -beli a, a,..., a m vektorrendszer az R n -tér egy bázisa, ha (a) a vektorok lineárisan függetlenek, (b) minden x R n vektor egyértelm en állítható el az R n -beli a,..., a m vektorok lineáris kombinációjával, azaz! λ,..., λ m R : x = λ a + λ a + + λ m a m. A fentiek alapján R n -ben van n vektort tartalmazó bázis: e, e,..., e n. Ezt az R n -tér kanonikus bázisának nevezzük. Láttuk azt is, hogy R n -ben más bázis is megadható. Felvet dik tehát a következ kérdés: hány vektor alkothat bázist R n - ben? Erre ad választ a következ állítás. 4. tétel. Az R n -tér minden bázisa pontosan n vektort tartalmaz. Ennek az állításnak egy nyilvánvaló következménye az 5. tétel. Az R n -beli a,..., a n (tehát n számú) vektor akkor és csak akkor bázis R n -ben, ha a vektorok lineárisan függetlenek. Vegyük most R n egy tetsz leges a, a,..., a n bázisát, és jelöljük ezt a-val. A bázis deníciójából következik, hogy ekkor minden x R n vektorhoz egyértelm en léteznek olyan λ, λ,..., λ n valós számok, amelyekre x = λ a +λ a + +λ n a n. A λ, λ,..., λ n együtthatókkal képzett (oszlop)vektort az x vektor a bázisra vonatkozó koordinátáinak nevezzük, és így jelöljük:. példa. Legyen λ λ λ n [x] a :=.. a :=, a :=, a :=, x :=. 9 Igazoljuk, hogy a, a, a bázis R -ban, és határozzuk meg az x vektornak erre a bázisra vonatkozó koordinátáit.
.. Alterek R n -ben.. Alterek R n -ben Kitüntetett szerepet játszanak az R n tér azon részhalmazai, amelyek az összeadásra és a számmal való szorzásra zártak. Az ilyen részhalmazokat fogjuk altereknek nevezni. Deníció. Az M R n halmaz altér R n -ben, ha (i) x, y M esetén x + y M, (ii) x M és λ R esetén λx M. Az egész R n tér, illetve a csak a vektorból álló részhalmaz nyilván alér. Ezeket triviális altereknek nevezzük. Nyilvánvaló az is, hogy a zérusvektor az R n tér minden alterének eleme. Alterekre a legfontosabb példa a következ : Tekintsük az R n tér tetsz leges a, a,..., a m vektorait. Szinte nyilvánvaló, hogy ezek összes lineáris kombinációinak a halmaza altér R n -ben. Ezt az alteret az a, a,..., a m vektorok által kifeszített (vagy generált) altérnek nevezzük, és az alábbi szimbólumok valamelyikével jelöljük: a, a,..., a m vagy Span {a, a,..., a m } Ezt az alteret szokás még az a, a,..., a m vektorok lineáris burkának is nevezni. Az a,..., a m vektorokat a szóban forgó altér generáló elemeinek is mondjuk. Az elmondottak alapján tehát a, a,..., a m := Span {a, a,..., a m } := := {λ a + + λ m a m λ,..., λ m R} Nyilvánvaló, hogy ha az a, a,..., a m vektorok lineárisan függetlenek (ekkor m n), akkor a vektorok közül bármelyiket elhagyva az a, a,..., a m altért l különböz halmazt kapunk. A helyzet megváltozik akkor, ha az a, a,..., a m vektorok lineárisan összefügg k. Gondoljuk meg például azt, hogy R -ben az (, 6) vektor által generált altér megegyezik a (, ), (7, 4) vektorok által generált altérrel. Ebben az esetben bizonyos vektorokat elhagyhatunk úgy, hogy a maradék vektorok által generált altér az eredeti vektorok által generált altérrel egyezik meg. Legfeljebb hány vektort hagyhatunk el, és hogyan lehet ezeket a vektorokat kiválasztani? Ezekkel a kérdésekkel kapcsolatos a következ Deníció. Az R n -beli a, a,..., a m vektorrendszer rangján a rendszerb l kiválasztható lineárisan független vektorok maximális számát értjük, és ezt a számot így jelöljük: rang (a, a,..., a m ).
4. A rendezett szám n-esek lineáris tere Mivel az R n tér bármelyik n + vektora lineárisan összefügg, ezért bármelyik vektorrendszer rangja n. A deníció másik közvetlen következménye az alábbi állítás: 6. tétel. Ha az R n -beli a, a,..., a m vektorrendszer rangja r, akkor (i) a vektorok között van r számú lineárisan független vektor, (ii) az a, a,..., a m altér minden eleme egyértelm en el állítható az r lineárisan független vektor lineáris kombinációjával (tehát az ezek által generált altér megegyezik az a, a,..., a m altérrel). Ez a tétel választ ad arra a kérdésre, hogy az a, a,..., a m vektorok közül legfeljebb mennyit hagyhatunk el úgy, hogy a maradék vektorok ugyanazt az alteret generálják, mint az a, a,..., a m vektorok. A jelenlegi eszközeinkkel is mutathatnánk olyan módszert, amelynek segítségével ezek a vektorok kiválaszthatók lennének. Újabb ismeretek birtokában azonban a kiválasztásra egy jóval egyszer bb eljárást fogunk mutatni. A fentieket tetsz leges altérre is kiterjeszthetjük. Deníció. Az M R n altér b, b,..., b m vektorait az M altér egy bázisának nevezzük, ha (i) ezek a vektorok lineárisan függetlenek, (ii) minden M-beli elem egyértelm en el állítható a b, b,..., b m vektorok lineáris kombinációjával. 7. tétel. Tetsz leges M R n altérben van bázis. Minden bázis ugyanannyi elemb l áll. Egy bázist alkotó vektorok számát az M altér dimenziójának nevezzük, és dim M-mel jelöljük. 8. tétel. Legyen a, a,..., a m tetsz leges R n -beli vektorrendszer. Ekkor az általuk generált a, a,..., a m altér dimenziószáma az a, a,..., a m vektorrendszer rangjával egyenl : dim a, a,..., a m = rang (a, a,..., a m ). 4. példa. Jellemezzük és szemléltessük az R sík és az R tér altereit. Hány dimenziósak az alterek? 5. példa. Szemléltessük az R tér M := { (x, y, z) R x + y = 5z } részhalmazát, és mutassuk meg, hogy ez altér R -ban. Hány dimenziós ez az altér? Adjuk meg egy bázisát.
.4. Feladatok 5 6. példa. Szemléltessük az R tér M := { (x, y, z) R x + y + z = } részhalmazát, és mutassuk meg, hogy ez nem altér R -ban..4. Feladatok Lineárisan összefügg és független vektorrendszerek. Döntse el, hogy a következ R -beli vektorok lineárisan függetlenek-e vagy nem: (a),, ; (b),, ; 4 (c),, ; (d), 4, 5. 7 8. Tegyük fel, hogy az R 6 tér b, b, b, b 4, b 5 és b 6 vektorai lineárisan függetlenek. Döntse el, hogy az alábbi vektorrendszerek lineárisan függetlenek vagy összefügg k: (a) b b, b b, b 4 b, b 5 b 4, b 6 b 5, b ; (b) b b, b b, b 4 b, b 5 b 4, b 6 b 5, b b 6.. Bizonyítsa be, hogy a,, vektorok lineárisan függetlenek, ezért bázist alkotnak R -ban. Adja meg a 7 vektornak erre a bázisra vonatkozó koordinátáit.
6. A rendezett szám n-esek lineáris tere Alterek 4. Tekintsük az R tér a := (,, 4 ), b := (, 7, ), c := (,, ) vektorait. Döntse el, hogy az x := (,, ) vektor benne van-e a vektorok által generált az a, b, c szimbólummal jelölt altérben. 5. Szemléltesse az R tér M := { (x, y, z) R x + y = z }, M := { (x, y, z) R x + y = z } részhalmazait. Alteret alkotnak-e ezek a részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? 6. Igazolja, hogy az R 4 tér M := { (x, x, x, x 4 ) R 4 x + x = 5x x 4 } részhalmaza egy altér R 4 -ben. Hány dimenziós ez az altér? Adja meg egy bázisát.
4. Mátrixok 7 4.. Deníciók m n-es mátrix: 4. Mátrixok a a a k a n A := [ a a a k a n ].... a ik := a i a i a ik a in.... a m a m a mk a mn a ik -k valós számok (az A mátrix elemei); i : sorindex; k : oszlopindex. [a i, a i,..., a in ] : a mátrix i-edik sorvektora; a k a k. a kn : a mátrix k-adik oszlopvektora. R m n : az m n-es valós elem mátrixok halmaza. Deníció. Az A = [a ik ] R m n és a B = [b ik ] R p q mátrixok egyenl ek, ha (i) azonos típusúak, azaz m = p és n = q, (ii) az egyenl index elemeik megegyeznek, azaz a ik = b ik Speciális mátrixok. Zérusmátrix: (i =,,..., m; k =,,..., n)....... :=... Rm n.... Sorvektor: az n-es mátrix: [a, a,..., a n ] R n.
8 4. Mátrixok Oszlopvektor: az m -es mátrix: a a a m. Rm.. Négyzetes mátrix: a sorainak és az oszlopainak a száma egyenl : a a... a n a a... a n A :=... Rn n a n a n... a nn.a n-edrend egységmátrix: f átló...... E n :=........... (n-edrend mátrix)..b n-edrend diagonális mátrix: a f átlón kívüli elemek mind nullák: a... a... a........... a nn.c n-edrend alsóháromszög-mátrix: a f átló feletti elemek mind nullák: a... a a... a a a........ a n a n a n... a nn
4.. M veletek mátrixokkal 9.d n-edrend fels háromszög-mátrix: a f átló alatti elemek mind nullák: a a a... a n a a... a n a... a n........ a nn 4.. M veletek mátrixokkal. Transzponálás. Deníció. Az m n-es a a a... a n a a a... a n A := a a a... a n R m n.... a m a m a m... a mn mátrix transzponáltjának nevezzük a sorok és az oszlopok felcserélésével kapott mátrixot: a a a... a m a a a... a m A T := a a a... a m R n m..... a n a n a n... a mn Az m n-es mátrix transzponáltja tehát egy n m-es mátrix. Ha például [ ] A := 7 6 4 6 R4, akkor A T = R 4. 7 5 4 5 Deníció. Az n-edrend A = [a ik ] R n n mátrix szimmetrikus, ha A T = A, antiszimmetrikus, ha A T = A.
4. Mátrixok Nyilvánvaló, hogy egy A = [a ik ] n-edrend mátrix pontosan akkor szimmetrikus, ha az elemei a f átlóra szimmetrikusak, azaz a ik = a ki (i, k =,,..., n); illetve pontosan akkor antiszimmetrikus, ha a f átlóra szimmetrikus elemek egymás ellentettjei, azaz a ik = a ki (i, k =,,..., n). Speciálisan: a ii = a ii -b l következik, hogy a ii = (i =,,..., n), tehát antiszimmetrikus mátrix f átlójában minden elem.. Két mátrix összege (csak azonos típusú mátrixok esetén értelmezzük). Deníció. Az m n-es A = [a ik ], B = [b ik ] R m n mátixok összegét így deniáljuk: a + b a + b a + b... a n + b n a + b a + b a + b... a n + b n A + B :=.... Rm n. a m + b m a m + b m a m + b m... a mn + b mn. Mátrix számszorosa. Deníció. Ha A = [a ik ] R m n és λ R, akkor λa λa λa... λa n λa λa λa... λa n λa :=.... Rm n. λa m λa m λa m... λa mn 4. Két mátrix szorzata (csak akkor értelmezzük, ha az els tényez oszlopainak a száma egyenl a második tényez sorainak a számával). Deníció. Az m n-es A = [a ik ] R m n és az n p-s B = [b ik ] R n p mátrixok szorzatának nevezzük és A B-vel jelöljük azt az m p-s C = [c ik ] mátrixot, amelynek c ik eleme c ik := a i b k + a i b k + + a in b nk = n a il b lk l= (i =,,..., m; k =,,..., p). A C szorzatmátrix i-edik sorában és k-adik oszlopában álló elemet tehát úgy kapjuk meg, hogy az A mátrix i-edik sorának és a B mátrix k-adik oszlopának
4.. M veletek mátrixokkal megfelel elemeit összeszorozzuk és a szorzatokat összeadjuk, vagyis a C szorzatmátrix c ik eleme az A mátrix i-edik sorvektorának és a B mátrix k-adik oszlopvektorának a skaláris szorzata. (Ezért szokás azt is mondani, hogy két mátrix szorzatát sor-oszlopszorzással deniáljuk.) Szorozzuk össze példaként az A := R4, és a B = mátrixokat. Ezek A B szorzata képezhet : [ ] A B = 4 = = 4 + + ( ) ( ) + 4 + + ( ) ( ) + ( ) 4 + ( ) + ( ) ( ) ( ) + 4 + + ( ) ( ) + [ ] 4 R 4 = 8 4. A fenti két mátrix esetén a B A szorzat nem képezhet, mert B oszlopainak a száma különbözik A sorainak a számától. Világos, hogy az A R m n és a B R p q mátrixokra az A B és az B A szorzat akkor és csak akkor képezhet, ha m = q és n = p. Ebben az esetben A B R m m és B A R n n, ami azt jelenti, hogy a mátrixszorzás kommutativitásáról csak négyzetes mátrixok esetén lehet szó. Jegyezzük meg jól, hogy a mátrixszorzás nem kommutatív: Ezt mutatja a következ példa: [ ] [ ] = A B B A. [ ] [ ] [ ] = [ ]. Bizonyos A és B mátrixok esetén persze el fordulhat, hogy teljesül az A B = B A egyenl ség. Ilyen speciális eset például az, amikor az egyik tényez a zérusmátrix vagy az egységmátrix. Ekkor érvényesek az alábbi azonosságok: A = A = (A, R n n ), A E n = E n A = A (A, E n R n n ).
4. Mátrixok Deníció. Az n-edrend A, B R n n mátrixok felcserélhet k (egymással kommutálnak), ha A B = B A. A mátrixm veletek tulajdonságai o A R m n halmazban bevezetett összeadás m velete (i) kommutatív: A + B = B + A (A, B R m n ); (ii) asszociatív: (A + B) + C = A + (B + C) (A, B, C R m n ); (iii) a zérusmátrixra a következ teljesül: A + = A (A R m n ) (a zérusmátrix az R m n tér nulleleme); (iv) minden A R m n mátrix esetén a A R m n mátrixra A+( A) = teljesül. ( A az A mátrix ellentettje). o Az R m n halmazban bevezetett számmal való szorzás m velete az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik: (i) A = A (A R m n ); (ii) (λµ)a = λ(µa) (λ C, A R m n ); (iii) (λ + µ)a = λa + µa (λ, µ C, A R m n ); (iv) λ(a + B) = λa + λa (λ C, A, B R m n ). o A mátrixok között értelmezett szorzás (i) nem kommutatív; (ii) asszociatív: (A B) C = A (B C) (A R m n, B R n p, C R p q ). (iii) disztributív: A (B + C) = A B + A C) (A R m n, B, C R n p ) (A + B) C = A C + B C) (A, B R m n, C R n p ). 4 o A transzponálás tulajdonságai: ( (i) ) A T T = A (A R m n ). (ii) (A + B) T = A T + B T (A, B R m n ). (iii) (A B) T = B T A T (A R m n, B R n p ). Kapcsolat az R m n és az R m n terek között Figyeljük meg, hogy a mátrixok között értelmezett összeadás és a valós számmal való szorzás m veletek ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkeznek, mint az R n -beli vektorok között értelmezett hasonló m veletek. A.. pont végén tett megjegyzések alapján tehát azt is mondhatjuk, hogy R m n (vagy pontosabban az ( R m n, +, λ ) struktúra) R feletti lineáris tér (vagy R feletti vektortér). Igen egyszer en meg tudjuk adni ennek a térnek egy bázisát.. tétel. Legyen m és n tetsz leges természetes szám és i m, j n indexek esetén E ij jelölje azt a mátrixot, amelynek i-edik sorának j-edik oszlopában
4.. Feladatok, a többi helyen pedig áll. Ekkor az m n számú E ij R m n ( i m, j n) mártixrendszer bázis az R m n lineáris térben, ezért a dimenziószáma m n, azaz dim R m n = m n. Tekintsük most a rendezett valós szám (m n)-esek R m n lineáris terét. A.. pontban mondottak szerint ennek dimenziószáma m n, azaz dim R m n = m n. Természetes megfeleltetést tudunk létesíteni a mátrixok Rm n halmaza és az R m n vektorhalmaz között. Egy ilyen leképezésre példa az a ϕ : R m n R m n függvény, amelyik egy A R m n mátrixhoz azt az a R m n vektort rendeli, amit úgy kapunk, hogy A sorait egymás után leírjuk. Nyilvánvaló, hogy ez a leképezés bijekció (kölcsönösen egyértelm megfeleltetés) az R m n és az R m n halmazok között. Egyszer en igazolható az is, hogy ϕ m velettartó, azaz a ϕ(λa + µb) = λϕ(a) + µϕ(b) egyenl ség minden A, B R m n mátrixra és minden λ, µ valós számra fennáll. Ezt a tényt röviden úgy fejezzük ki, hogy az R m n és az R m n lineáris terek izomorfak. A két tér tulajdonságai tehát ugyanazok, csak az elemeik természete különbözik. Ezért az egymással izomorf terek között nem teszünk különbséget, azonosaknak tekinthetjük ket. 4.. Feladatok M veletek mátrixokkal. Legyen A = [ ], B =, C =, D =. 4 Mi az értéke a következ mártixkifejezések közül azoknak, amelyek értelmezve vannak: A + C, AB, A + B T, CD D, C, AD B, D T D?
4 4. Mátrixok. Végezze el a következ szorzásokat: [ ] 7 x x, y, z 6 y. 5 z. Számítsa ki az AB és a BA mátrixokat, ha 4 A = 5 5, B = 4. 4 4 4. Határozza meg az A := A A mátrixot, ha [ ] [ ] a a cos ϕ sin ϕ (a) A := (b) A :=, a sin ϕ cos ϕ ahol a, illetve ϕ tetsz leges valós szám. 5. Egy cég három gyárában négyféle terméket állít el. Az 4 5 A := 5 6 4 mátrix a ij eleme jelentse az i-edik gyárban egy nap alatt el állított j-edik termék számát. A 4 p := 6 5 vektor j-edik komponense a j-edik termék egységára. Mekkora az egy nap alatt el állított termelési érték gyáranként? 6. Egy üzem háromféle alapanyagból (A, A, A ) kétféle félkészterméket (F, F ), majd ezekb l háromféle végterméket (V, V, V ) állít el. Az anyagszükségletek a következ k: F := A A A F F 4, V := F F V V V 4.
4.. Feladatok 5 (a) Mekkora az egyes termékek alapanyagszükséglete? (b) Mekkora az alapanyagszükséglet, ha V -b l db-ot, V - b l 5 db-ot és V -ból 5 db-ot gyártanak? 7. Egy üzem négyféle alapanyagból (A, A, A, A 4 ) háromféle félkészterméket (F, F, F ), majd ezekb l kétféle végterméket (V, V ) állít el. Az anyagszükségletek a következ k: F := A A A A 4 F F F, V := F F F V V 4. (a) Mekkora az egyes termékek alapanyagszükséglete? (b) Mekkora az alapanyagszükséglet, ha V -b l 4 db-ot, V - b l 5 db-ot gyártanak? 8. Egy kereskedelmi cég n féle terméket forgalmaz m boltjában. Az A mátrix a ij eleme jelentse a j-edik termék i-edik boltban egy hónap alatt forgalmazott mennyiségét. A p vektor p i komponense jelölje az i-edik termék egyszégárát. Az A mátrix, az p vektor, az e i (a kanonikus bázisvektor), valamint az (az az oszlopvektor, amelynek minden koordinátája ) vektorok segítségével írja fel: (a) az r-edik boltban a q-adik áruból eladott mennyiséget; (b) az r-edik bolt bevételét termékenként; (c) a q-adik termék eladásából származó bevételt; (d) az egy hónap alatt eladott termékmennyiséget termékenként; (e) a havi összbevételt. 9. n bank m különböz valuta eladásával foglalkozik. Jelentse a P mátrix p ij eleme az i-edik valutából a j-edik bankban egy hónap alatt eladott mennyiséget, az A mátrix a ij eleme pedig az i-edik valuta j-edik bank szerinti árfolyamát forintban. A P, az A, a diagonális mátrix, valamint az egységvektorok felhasználásával adja meg: (a) a k-adik bank havi deviza eladását devizánként; (b) a k-adik bank l-edik devizájának forintárfolyamát; (c) az s-edik bank havi devizaeladását forintban; (d) az s-edik bank havi devizánkénti forgalmát forintban.
6 4. Mátrixok. Határozza meg mindazon B mátrixokat, amelyek az mátrixszal felcserélhet k. A = [ ]. Mi a szükséges és elégséges feltétele annak, hogy A R és A T felcserélhet legyen?
5. Négyzetes mátrix determinánsa 7 5. Négyzetes mátrix determinánsa 5.. A determináns deníciója Most minden négyzetes mátrixhoz alkalmas módon hozzárendelünk egy számot, amit a mátrix determinánsának fogunk nevezni. A deníciót rekurzióval adjuk meg. Ez azt jelenti, hogy el ször -es (azaz másodrend ) mátrix determinánsát értelmezzük. Utána megmondjuk azt, hogy ha tetsz leges (n )-edrend mátrix determinánsát már ismerjük, akkor hogyan értelmezzük tetsz leges n-edrend mátrix determinánsát. Szükségünk lesz a következ denícióra: az A = [a ik ] R m n mátrix (ahol m, n egész szám) a ik eleméhez tartozó minormátrixán azt az (m ) (n )- es, A ik -vel jelölt mátrixot értjük, amelyet A-ból úgy kapunk, hogy elhagyjuk annak i-edik sorát és k-adik oszlopát. Ha például akkor 5 7 6 A := 4 7 5 R5 4, 5 6 7 4 5 7 6 A = 7 R 4, A 4 = 4 R 4. 5 7 7 5 Deníció. o A másodrend [ ] a a R a a mátrix determinánsát így értelmezzük: det A := a a a a := a a a a. o Tegyük fel, hogy tetsz leges (n )-edrend mátrix determinánsát már értelmeztük. Ekkor az n-edrend A = [a ik ] R n n mátrix determinánsát az els sor szerinti kifejtéssel így deniáljuk: a a... a n n det A :=... := ( ) +k a k det A k, a n a n... a nn k=
8 5. Négyzetes mátrix determinánsa ahol A k az A mátrix a k eleméhez tartozó (n )-edrend minormátrix. Így tetsz leges rend mátrix determinánsát értelmeztük. Például: 4 7 det 9 = 9 8 4 4 9 6 4 + 7 6 8 6 8 4 = ( 4 8 9) 4 (( ) 4 6 9) + 7 (( ) 8 6 ) =. Megjegyzés. Harmadrend (és csak harmadrend ) mátrix determinánsát a következ módon (Sarrus-szabály) is kiszámolhatjuk: a a a a a a a a det a a a = a a a a a = a a a a a a a a = a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a. (Igazoljuk ezt az állítást!) 5.. A determináns elemi tulajdonságai Egy magasabb rend mátrix determinánsának a kiszámolása a deníció alapján elég körülményes. Gondoljuk meg például azt, hogy egy negyedrend mátrix esetén 4 harmadrend (azaz másodrend ) mátrix determinánsát kell meghatározni. Most felsorolunk olyan állításokat, amelyek sok esetben megkönnyítik mátrix determinánsának a kiszámítását.. Ha egy mátrix egyik sorának (vagy oszlopának) minden elemét a λ számmal megszorozzuk, akkor a determinánsa λ-val szorzódik. Például: det [ ] [ ] = det. 4 4 (Közös tényez egy sorból (vagy oszlopból) kiemelhet.). Ha egy mátrix egy sorának (vagy oszlopának) minden eleme nulla, akkor a determinánsa is.
5.. A determináns elemi tulajdonságai 9. a a... a n... det b i + c i b i + c i... b in + c in =... a n a n... a nn a a... a n a a... a n...... = det b i b i... b in + det c i c i... c in....... a n a n... a nn a n a n... a nn 4. Alsóháromszög-, illetve fels háromszög-mátrix determinánsa a f átlóban lev e- lemek szorzata: a... a a... a n a a... det... = det a... a n... = a a... a nn. a n a n... a nn... a nn 5. Ha egy mátrixban két sort (vagy oszlopot) felcserélünk, akkor a determinánsa ( )-szeresére változik. 6. Ha egy A mátrixban két sor (vagy oszlop) megegyezik, akkor det A =. 7. Ha egy mátrix egyik sorához (vagy oszlopához) hozzáadjuk egy másik sor (vagy oszlop) λ-szorosát, akkor a mátrix determinánsa nem változik. 8. Egy mátrix determinánsa tetsz leges sor szerinti kifejtéssel is meghatározható, azaz tetsz legesen rögzített i =,,..., n index esetén (az i-edik sor szerinti kifejtés) a a... a n... det a i a i... a in =... a n a n... a nn n ( ) i+k a ik det A ik, ahol A ik (k =,,..., n) az A mátrix a ik eleméhez tartozó minormátrix. k=
5. Négyzetes mátrix determinánsa 9. Egy mátrix determinánsa tetsz leges oszlop szerinti kifejtéssel is meghatározható, azaz tetsz legesen rögzített k =,,..., n index esetén (a k-adik oszlop szerinti kifejtés) a... a k... a n... n det a i... a ik... a in = ( ) i+k a ik det A ik,... i= a n... a nk... a nn ahol A ik (i =,,..., n) az A mátrix a ik eleméhez tartozó minormátrix.. Ha egy mátrix sorait és oszlopait felcseréljük, akkor a determinánsa nem változik, azaz det A = det A T, ahol A T az A transzponáltja.. Az n-edrend A és B mátrixok szorzatának a determinánsa egyenl a két mátrix determinánsának a szorzatával: (A determinánsok szorzástétele.) 5.. Feladatok det A B = det A B.. Az elemi tulajdonságok alkalmazásával számítsuk ki az alábbi mátrixok determinánsát: 4 a b + c a a a (a) 9, (b), (c) b a + c, (d) a a x, 4 6 c a + b a a x (e), (h) 6 9, 4 (i) (f), 4 9 6 4 9 6 5 9 6 5 6. 6 5 6 49 (g) 4,
5.. Feladatok 4 9 6 (d) ; (e) ; (f) 4 9 6 5 9 6 5 6. 6 5 6 49. Legyen A =. Számítsa ki az A T A mátrixot és ennek a determinánsát.. Bizonyítsa be, hogy a a det b b = (b a)(c a)(c b). c c 4. A Vandermonde-féle determináns: Igazolja, hogy tetsz leges a,..., a n valós számok esetén a a... a n a a... a n det.... = a n a n... a n n i<j n (a j a i ).
6. Téglalapmátrix és vektorrendszer rangja 6. Téglalapmátrix és vektorrendszer rangja 6.. Mátrix rangjának a deníciója Emlékeztetünk arra, hogy az R n -beli a, a,..., a m vektorrendszer rangján a bel lük kiválasztható lineárisan független vektorok maximális számát értjük. Tegyük fel, hogy az iménti vektorrendszer rangja r ( = rang (a,..., a m ) ), és a vektorok úgy vannak indexelve, hogy az a,..., a r vektorok lineárisan függetlenek. Ekkor az a, a,..., a m vektorok ugyanazt az alteret generálják (ugyanazt az alteret feszítik ki), mint az a, a,..., a r vektorok, azaz a, a,..., a m = a, a,..., a r, következésképpen a, a,..., a r az a, a,..., a m altér egy bázisa. Ebb l az is következik, hogy a vektorok által generált altér dimenziója egyenl a vektorrendszer rangjával: dim a, a,..., a m = rang (a, a,..., a m ). Vegyük észre azt, hogy minden esetben r m. Ha r < m áll fenn, akkor a megadott a, a,..., a m vektorok által generált altér m-nél kisebb számú vektorral (például az a, a,..., a r vektorokkal) is generálható. Ezért fontos a már korábban is felvetett kérdés: Tetsz legesen megadott R n -beli a, a,..., a m vektorok közül hogyan választható ki maximális számú lineárisan független vektor, vagyis hogyan határozható meg a vektorrendszer által generált altér egy bázisa? Az eddig rendelkezésünkre álló eszközök birtokában persze a válasz a következ : Lineáris egyenletrendszer megoldásával már el tudjuk dönteni, hogy adott vektorok összefügg k-e vagy függetlenek. Az a -b l kiindulva sorba egymás után el tudjuk dönteni, hogy a következ vektor lineárisan független-e a megel z kt l. Ha igen, akkor meghagyjuk, az ellenkez esetben kidobjuk. Látható, hogy ez az eljárás már kevés számú vektor esetén is sok számolást igényel. A 6.. pontban egy ennél rövidebb, sokkal kevesebb számolást igényl módszert mutatunk ilyen vektorok kiválasztására. Ehhez szükségünk lesz a más szempontból is hasznos fogalomnak, a mátrix rangjának a deníciójára.
6.. Mátrix rangjának a deníciója El ször néhány jelölést és elnevezést vezetünk be. Legyen adott az m n-es a a a k a n.... A := a i a i a ik a in.... a m a m a mk a mn mátrix. Jelöljük a k-adik oszlopvektorát a k -val, az i-edik sorvektorát pedig α i-vel. Ekkor a k egy m-dimenziós oszlopvektor, α i pedig egy n-dimenziós sorvektor: a k = a k. a mk R m ( vagy R m ), α i = [a i, a i,..., a in ] R n ( vagy R n ). Ezekkel a jelölésekkel az A mátrixot így is írhatjuk: α α A = [a, a,..., a n ] =. Minden mátrixhoz két lineáris alteret rendelhetünk hozzá: az egyik az oszlopvektorai által generált altér (ez az m-dimenziós R m -térnek egy altere), a másik a sorvektorai által generált altér (ez pedig az n-dimenziós R n -térnek egy altere). Be lehet látni azt, hogy a két altér dimenziója egyenl.. tétel. Tetsz leges A R m n mátrix oszlopvektorterének dimenziója megegyezik a sorvektorterének a dimenziójával, ezért az oszlopvektorrendszerének a rangja megegyezik a sorvektorrendszerének a rangjával, azaz rang (a, a,..., a n ) = rang (α, α,..., α m). Ezt a természetes számot az A mátrix rangjának nevezzük és a rang A szimbólummal jelöljük. Megjegyzések. o Nyilvánvaló, hogy α m rang A min(m, n). o Vegyük észre azt, hogy néhány olyan esetben, amikor a mátrix csak vagy elemet tartalmaz, akkor a rangja ránézésre megállapítható. Nyilvánvaló például.
4 6. Téglalapmátrix és vektorrendszer rangja az, hogy rang =, rang =. Ezt az észrevételt így általánosíthatjuk: Ha egy mátrix csak és elemeket tartalmaz úgy, hogy bármelyik sorban és oszlopban legfeljebb egyetlen -es áll, akkor az ilyen mátrix rangja a zérustól különböz elemek számával egyenl. Mátrix rangját determinánsokkal is lehet jellemezni. Nevezzük az A R m n mátrix minormátrixának azokat a mátrixokat, amelyek A-ból bizonyos számú sora, illetve oszlopa elhagyásával keletkeznek. Fennáll a következ állítás:. tétel. Az n-edrend A R n n mátrix rangja akkor és csak akkor r, ha A-nak van olyan r-edrend minormátrixa, amelynek a determinánsa nullától különböz, de minden r-nél magasabb rend minormátrixának a determinánsa nulla. 6.. Mátrix rangjának a meghatározása Mátrix rangjának meghatározása szempontjából rendkívül fontos az a tény, hogy bizonyos mátrixokon elvégzett m veletek nem változtatják meg a mátrix rangját. Ezzel kapcsolatos a következ állítás.. tétel. Az A R m n mátrix rangja nem változik meg, ha a mátrix (a) két sorát felcseréljük, vagy (b) egy sorát tetsz leges nem nulla számmal megszorozzuk, vagy (c) egy sorvektorának tetsz leges számszorosát hozzáadjuk egy másik sorhoz. A tételben leírt m veleteket elemi sorm veleteknek nevezzük. Hasonlóan értelmezhetjük az elemi oszlopm veleteket is, amelyekre hasonló állítás érvényes. Megállapodunk még abban is, hogy az azonos típusú A és B mátrixokat ekvivalensnek nevezzük (jelben A B), ha a rangjuk megegyezik. Bármely mátrixból kiindulva elemi sor- vagy oszlopm veletek egymás utáni alkalmazásával mindig olyan, vele ekvivalens mátrixhoz juthatunk, ami csak és elemeket tartalmaz úgy, hogy bármelyik sorban és oszlopban legfeljebb egyetlen - es áll. Ezt az észrevételt a fenti állítással kiegészítve a következ jól használható módszert kapjuk mátrix rangjának meghatározásához. Elemi sor- és oszlopm veletek segítségével minden mátrixból olyan vele ekvivalens mátrix képezhet, amelynek minden sorában és minden oszlopában legfeljebb egy zérustól különböz elem áll. Ha már ilyen felépítés mátrixhoz jutottunk, akkor a rang egyszer en a zérustól különböz elemek számával egyenl.
6.. Vektorrendszer rangjának meghatározása 5. példa. Határozzuk meg a mátrix rangját. Megoldás. 4 A := 5 5 7 5 A = 4 5 5 5 7 5 Az A mátrix rangja tehát.. 6.. Vektorrendszer rangjának meghatározása A fentiek alapján vektorrendszer rangjának a meghatározására is egy igen egyszer a továbbiak szempontjából is fontos, ezért begyakorlandó technika adódik: A vektorrendszerb l képezzünk egy mátrixot úgy, hogy a megadott vektorokat a mátrix oszlopaiba írjuk, majd az ismertetett módon meghatározzuk ennek a mátrixnak a rangját. Ez a szám, mint tudjuk az oszlopvektoraiból kiválasztható lineárisan független vektorok számával, tehát a vektorrendszer rangjával egyenl. Az eljárás végén az adott vektorrendszerb l ki tudjuk választani a lineárisan független vektorokat is. Megjegyzés. Vegyük észre azt, hogy az ismertetett technikával vektorrendszer lineáris függetlenségének (összefügg ségének) a problémáját is lehet kezelni, és ez az új módszer egyszer bb a korábban megismert módszernél (egyenletrendszer megoldásánál).. példa. Határozzuk meg az 4 a :=, a :=, a := 5, a 4 := 5 7 5 vektorok által generált altér dimenzióját, és adja meg az altér egy bázisát. Megoldás. A vektorokból el ször egy mátrixot kászítünk: 4 A = [a, a, a, a 4 ] = 5, 5 7 5
6 6. Téglalapmátrix és vektorrendszer rangja majd meghatározzuk ennek a rangját. Az el z példában látuk, hogy A = 4 5, 5 7 5 tehát A rangja. Ez azt jelenti, hogy az oszlopvektorok (vagyis a i -k) közöt van két lineárisan független vektor, de bármelyik három már lineárisan összefügg. Fogadjuk el azt a tényt, hogy az elemi sor/oszlop-m veletek során a sor/oszlopvektorok lineáris összef gg sége/függetlensége nem változik, és fordítsuk gyelmünket az utolsó mátrixra. Ebben az els két oszlop (következésképpen az eredeti a, a vektorok) lineárisan függetlenek. A csupa oszlopok azt jelentik, hogy a nekik megfelel vektorok (a és a 4 ) kifejezhet k az a, a lineáris kombinációjával. (Aki akarja az egyenletrendszeres módszerrel ezeket ellen rizheti.) Ez tehát azt jelenti, hogy az a, a lineárisan független vektorok ugyanazt az alteret feszítik ki, mint az a, a, a, a 4 vektorok: Az altér egy bázisa tehát a, a. a, a, a, a 4 = a, a, 6.4. Feladatok. Határozza meg az alábbi mátrixok rangját: 4, 4, 6 4. 6. Határozza meg az a :=, a :=, a :=, a 4 :=, a 5 :=. vektorrendszer rangját.. A t valós paraméter minden értéke mellett határozza meg az alábbi mátrixok t-t l függ rangját: t + 5 6 t t t 6,. t + 4 t t
6.4. Feladatok 7 4. Az a és b paraméterek mely értékei mellett lesz az alábbi mátrix rangja 4: 7 5 a 5. b 5. Határozza meg, hogy az a és b paraméterek mely értékére lesz az alábbi vektorrendszer rangja,,, 4 illetve 5! a 8 a :=, a :=, a 7 := 4, a 4 4 := 8 4, a b 5 := 6. 6. Határozza meg az a :=, a :=, a :=, a 4 := 6 vektorok által generált altér dimenzióját, és adja meg az altér egy bázisát. 7. Határozza meg az a :=, a :=, a := 4 5 8, a 4 := 7 7, a 5 := 7 4 vektorok által generált altér dimenzióját, és adjuk meg az altér egy bázisát. 7
8 7. Négyzetes mátrix inverze 7. Négyzetes mátrix inverze 7.. Mátrix invertálhatóságának és inverzének az értelmezése El ször a valós számok egy fontos tulajdonságát idézzük fel: minden nemnulla a R számhoz egyértelm en létezik olyan b valós szám, amit a-val szorozva, a szorzásra nézve kitüntetett elemet, vagyis -et kapunk: a b =. (7.) Ezt a b számot a reciprokának (vagy a szorzásra vonatkozó inverzének) neveztük (ez utóbbi elnevezést ritkán használtuk), és az a vagy az a szimbólummal jelöltük. A négyzetes mátrixok körében is értelmeztük a szorzás m veletét, ezért hasonló kérdést ott is feltehetünk. R n n -ben a szorzásra nézve a kitüntetett elem az n- edrend E n egységmátrix. Adott A R n n esetén kérdezhetjük tehát azt, hogy van-e olyan n-edrend B mátrix, hogy A B = E n. (7.) Mivel R-ben is volt a-ra feltétel a (7.) egyenl séget kielégít b szám létezésére (az, hogy a ), ezért várható, hogy mátrixok esetén is kell A-ra feltétel, hogy létezzen a (7.) egyenl séget kielégít B mátrix. Az A mátrixot akkor fogjuk invertálhatónak nevezni, ha létezik hozzá ilyen B mátrix. Deníció. Azt mondjuk, hogy az n-edrend A R n n mátrix invertálható (van inverze), ha létezik olyan B R n n mátrix, amelyre A B = B A = E n teljesül, ahol E n az n-edrend egységmátrix. A B mátrixot az A mátrix inverzének nevezzük és az A szimbólummal jelöljük. A deníció a következ kérdéseket veti fel:. Hogyan lehet jellemezni azokat a mátrixokat, amelyeknek van inverze?. Az inverzmátrixot hogyan lehet kiszámolni? A továbbiakban ezekre a kérdésekre válaszolunk.
7.. Az inverzmátrix létezése és tulajdonságai 9 7.. Az inverzmátrix létezése és tulajdonságai Igazolható, hogy ha A-nak van inverze, akkor az egyértelm en meghatározott. Több olyan feltétel is megadható, amelyek biztosítják mátrix inverzének a létezését. Ezeket soroljuk fel a következ állításban.. tétel. Az n-edrend A R n n mátrix invertálható ha det A ; ha sorvektorai, illetve oszlopvektorai lineárisan függetlenek; ha rang A = n. Azokat a négyzetes mátrixokat, amelyek invertálhatók reguláris mátrixnak is nevezzük. A mátrix szinguláris, ha nem invertálható. Érdemes megjegyezni az inverzre vonatkozó alábbi állításokat.. tétel. Legyen A és B n-edrend invertálható mátrix. Ekkor (i) det ( A ) = (det A) ; (ii) A inverze is invertálható és (A ) = A. (iii) A transzponáltja, A T is invertálható és (A T ) = (A ) T ; (iv) A B is invertálható és (A B) = B A. 7.. Az inverzmátrix meghatározása az adjungálttal Deníció. Az n-edrend A R n n mátrix adjungáltjának nevezzük és az adj A = [â ik ] szimbólummal jelöljük azt az n-edrend mátrixot, amelynek elemei â ik := ( ) i+k det A ki (i, k =,,..., n), ahol A ki az A mátrix a ki eleméhez tartozó minormátrix. Az adj A mátrixot tehát így kapjuk meg: () az A mátrixot a f átlójára tükrözzük, azaz vesszük az A transzponáltját; () A -ben minden elemet kicseréljük a hozzá tartozó minormátrix determinánsának a sakktábla-szabály szerinti el jelezésével. Legyen például 4 A := 4 5 6, azaz A = 5. 6
4 7. Négyzetes mátrix inverze Ekkor 9 adj A = 6. 4 5 Például a. sor. elemét (6-ot) úgy kaptuk meg, hogy A -ben vettük a. sor. eleméhez tartozó minormátrix determinánsát: [ ] 4 det = 6 4 = 6, 6 és ezt elláttuk a sakktábla-szabály szerint adódó el jellel. A determináns elemi tulajdonságait felhasználva egyszer en igazolható, hogy Ebb l már következik az alábbi állítás. A adj A = adj A A = (det A) E n.. tétel. Az n-edrend A R n n mátrix akkor és csak akkor invertálható, ha det A. Ekkor inverze egyértelm, és A = adj A. det A A fenti A mátrix esetén det A =, ezért a mátrix invertálható és A = 9 6. 4 5 7.4. Az inverzmátrix meghatározása elemi sortranszformációkkal Mátrix invertálhatóságának vizsgálatához és inverzének az el állításához a legegyszer bb általános módszert a rang meghatározásánál ismertetett elemi sorm veletek segítségével nyerünk. E módszer alapja a következ észrevétel: mindegyik sorm velet eredményeként kapott mátrixot felírhatjuk úgy, hogy az adott mátrixot balról megszorozzuk egy alkalmas mátrixszal.
7.4. Az inverzmátrix meghatározása elemi sortranszformációkkal 4 Az m-edrend S mátrixot elemi mátrixnak nevezzük, ha S az m-edrend E m mátrixból elemi sorm veletekkel kapott mátrix. Lássunk néhány példát elemi mátrixra:, 4,. Igazolhatók az alábbi állítások:. Ha S m-edrend elemi mátrix és A tetsz leges m n-es mátrix, akkor az S A mátrix egyenl azzal a mátrixszal, amit A-ból az S-nek megfelel elemi sorm velettel nyerünk. Tekintsük például az A := 6 4 4 mátrixot, és az els sor háromszorosát adjuk hozzá a harmadik sorhoz. Ezt így is megkaphatjuk: 6 = 6 = S A. 4 4 9 4 4 Mivel det E m =, ezért a determinánsok elemi tulajdonságaiból azonnal adódik, hogy. minden S elemi mátrix invertálható, és az inverze is elemi mátrix.. Az n-edrend A R n n mátrix akkor és csak akkor invertálható, ha A- ból elemi sorm veletekkel az E n egységmátrix megkapható, azaz A ekvivalens az E n egységmátrixszal. Tegyük most fel, hogy A R n n invertálható. Ekkor A (mondjuk) k számú elemi sorm velettel az egységmátrixba transzformálható, azaz léteznek olyan S, S,..., S k elemi mátrixok, hogy S k... S S A = E n. (7.) Vegyük mindkét oldal inverzét: E n = E n = ( S k... S S A ) = A S S... S k,
4 7. Négyzetes mátrix inverze majd szorozzuk meg ezt egyenletet jobbról, egymás után az S k,..., S, S mátrixokkal: A = E n S k... S S. (7.4) A (7.) és a (7.4) egyenl ség a következ t jelenti: az A mátrixot az E n egységmátrixból megkapjuk úgy, hogy E n -re azokat a sorm veleteket alkalmazzuk, amelyek A-t az E n egységmátrixba transzformálják. Az eddigieket összefoglalva a következ módszert kapjuk: Az A R n n mátrix mellé írjuk le az E n egységmátrixot. Elemi sorm veleteket végzünk az [A E n ] mátrixon. Az A mátrix akkor és csak akkor invertálható, ha A az egységmátrixba transzformálható, azaz [A E n ]-b l az [E n B] mátrix nyerhet. Ebben az esetben A inverze a B mátrix. Ha A-ból elemi sorm veletekkel nem lehet megkapni az E n mátrixot, akkor A nem invertálható.. példa. Az ismertetett módszerrel határozzuk meg az mártix inverzét. Megoldás. 5 8 5 9 9 Az A mátrix tehát invertálható és A := 5. 8 5 5 5 5 4 6 9 5 5 4 6 9 A = 5. 5