Statisztika feladatgyűjtemény. Fekete Dóra

Statisztika feladatgyűjtemény Fekete Dóra

Tartalomjegyzék I. Bevezető 5 II. Statisztikai sokaságok 6 II.1. feladat 7 II.2. feladat 7 II.3. gyakorló feladat 8 II.4. feladat 9 II.5. feladat 9 III. Ismérvek 10 III.1. feladat 11 III.2. feladat 11 III.3. feladat 12 III.4. feladat 12 III.5. feladat 13 III.6. feladat 14 III.7. feladat 14 III.8. feladat 14 IV. Statisztikai sorok 15 IV.1. feladat 15 IV.2. feladat 15 IV.3. feladat 15 IV.4. feladat 16 IV.5. feladat 16 IV.6. feladat 17 IV.7. feladat 17 IV.8. feladat 17 IV.9. feladat 18 IV.10. feladat 18 IV.11. feladat 19 V. Statisztikai táblák 20 V.1. feladat 20 V.2. feladat 20 V.3. feladat 20 V.4. feladat 21 V.5. feladat 22 V.6. feladat 23 V.7. feladat 23 V.8. feladat 24 V.9. feladat 24 V.10. feladat 24 V.11. feladat 25 2/ 51

V.12. feladat 27 V.13. feladat 28 V.14. feladat 29 V.15. feladat 30 V.16. feladat 30 V.17. feladat 31 V.18. feladat 31 V.19. feladat 32 V.20. feladat 32 V.21. feladat 32 VI. Viszonyszámok 33 VI.1. feladat 33 VI.2. feladat 33 VI.3. feladat 33 VI.4. feladat 34 VI.5. feladat 35 VI.6. feladat 35 VI.7. feladat 36 VI.8. feladat 37 VI.9. feladat 38 VI.10. feladat 38 VI.11. feladat 39 VI.12. feladat 39 VI.13. feladat 40 VI.14. feladat 40 VI.15. feladat 41 VI.16. feladat 41 VI.17. feladat 42 VI.18. feladat 43 VI.19. feladat 43 VII. Rangsor, középértékek (átlagok, medián, módusz) 45 VII.1. feladat 46 VII.2. feladat 46 VII.3. feladat 46 VII.4. feladat 47 VII.5. feladat 47 VII.6. feladat 47 VII.7. feladat 48 VII.8. feladat 49 VII.9. feladat 49 3/ 51

VII.10. feladat 51 VII.11. feladat 51 4/ 51

I. Bevezető A feladatgyűjtemény sikeres használatához és a példák megértéséhez, valamint az eredményes kidolgozásukhoz az alapvető matematikai alapismeretek szükségesek. Minden fejezet önálló egységet képez és a benne helyet foglaló példák a megfelelő fejezet tartalmi részeinek megfelelően készültek, tehát kevés kivétellel tartalmaznak utalást a korábban tárgyalt anyagrészekre nézve. Ez nagyfokú rugalmasságot biztosít az anyag elsajátításában illetve annak oktatásában. Számos feladatnak megtalálható a megoldása is, melyek segítenek ellenőrizni a kiszámított feladatokat, ezáltal elmélyíteni a tanultakat. Az ajánlott módszer az elsajátításra, hogy kezdetben tanulmányozzuk át a fejezet elején lévő példákat, esetleg alapfogalmakat és ezek megértése után lássunk a nehezebbeknek. Fő a fokozatosság! Sikeres gyakorlást! A szerző 5/ 51

II. Statisztikai sokaságok ALAPFOGALMAK Statisztikai sokaság a statisztikai megfigyelés tárgyát képező egyedek összessége, halmaza. Egy adott sokasághoz tartozó egyedek bizonyos meghatározott kritériumok szempontjából egyformák. Sokaság fajtái: 1. Véges sokaság: nagysága pontosan meghatározható (pl. népesség száma egy adott területen, adott időpontban) 2. Végtelen sokaság: számossága pontosan nem előre jelezhető (pl. kísérleti statisztika eredményei, modellezés) 3. Diszkrét sokaság: Elemei különálló, jól szeparálható egységekből állnak pl. polcon lévő üvegek száma. (végtelen diszkrét: természetes számok halmaza) 4. Folytonos sokaság: Ha a sokaság nagysága véges vagy végtelen számmal adható meg, de az egyetlen nagy egységből, azaz egy tömbből áll (Mo. 2002-es gránit termelése). Az ilyen sokaság nagyságát önkényes méréssel lehet megállapítani (1 tonna, 1 KW, stb.). (végtelen folytonos: valós számok halmaza) Sokat kifejez pl. a mértékegység rendszer, hiszen a távolság, űrmérték, távolságmérték stb. esetében egészen pontos érték sohasem adható meg (mindig lehet finomítani a mérésen). 5. Álló sokaság: amennyiben az adatgyűjtés időponti megfigyelés eredménye, az így megfigyelt sokaság állapotot fejez ki. Elemeinek vizsgálatát egy adott időpontban végezzük. 6. Mozgó sokaság: amennyiben az adatgyűjtés folyamatosan történik, a sokaság folyamatot, történést érzékeltet, időtartamra vonatkozóan eseményekből, folyamatokból áll. Elemeinek vizsgálata egy időtartamra értelmezhető. 6/ 51

II.1. feladat Az alábbi felsorolásból döntsd el, hogy mely sokaság milyen kategóriába sorolható (álló, mozgó, diszkrét, folytonos, véges, végtelen). Egy jellemző akár több kategóriába is besorolható! Spanyolország népessége A 18 éven aluliak cukor fogyasztása 2005-ben A 2009-ben legyártott Ferrarik száma Magyarország alkohol fogyasztása 2010-ben Magyarország népessége 2011.02.01-én Megnevezés Spanyolország népessége 2009-ben A 18 éven aluliak cukor fogyasztása 2005- ben A 2009-ben legyártott Ferrarik száma Magyarország alkohol fogyasztása 2010- ben Magyarország népessége 2011.02.01-én Típus Véges, mozgó, diszkrét Véges, mozgó, folytonos Véges, mozgó, diszkrét Véges, mozgó, folytonos Véges, álló, diszkrét II.2. feladat Az alábbi felsorolásból döntsd el, hogy mely sokaság milyen kategóriába sorolható (álló, mozgó, diszkrét, folytonos, véges, végtelen). Egy jellemző akár több kategóriába is besorolható! Norvégia széntermelése 2010 második felében Valós számok Természetes számok 2009 első felében eladott Nokia mobiltelefonok száma Az egri borvidék várható terméshozama Megnevezés Norvégia széntermelése 2010 második felében Valós számok Természetes számok 2009 első felében eladott Nokia mobiltelefonok száma Az egri borvidék várható terméshozama Típus Véges, folytonos, mozgó Végtelen, folytonos, álló Végtelen, diszkrét, álló Véges, diszkrét, mozgó Végtelen, folytonos, mozgó 7/ 51

II.3. gyakorló feladat Az alábbi felsorolásból döntsd el, hogy mely sokaság milyen kategóriába sorolható (álló, mozgó, diszkrét, folytonos, véges, végtelen). Egy jellemző akár több kategóriába is besorolható! A 2010-es futball vb-n rúgott gólok száma A 2011.02.14-én Madagaszkáron született kisoroszlánok száma 2009 első negyedévében az USA-ba behozott BMW-k száma A Mikulás által vélhetően megtett km-ek száma 2010-ben Magyarországon előállított villamos energia mennyisége 2009 őszén Veszprém megyében felszínre hozott ásványvíz mennyisége 2008. augusztus 29-én a magyarországi fagylaltozók száma A 2010-es Forma-1 futamokon résztvevő nézők száma Hollandia sajttermelése 1999 első félévében A tatai Öreg-tóban lévő halak száma 2008-ban A Gyűrűk ura c. könyvben igazságtalanul bántalmazott orkok száma 2011.02.14-én Magyarországon lebonyolított telefonhívások száma A csillagok száma A cukorrépa lehetséges terméshozama világszerte 2009. december 6-án a drogfogyasztók száma Amsterdamban 2010-ben a budapesti heavy metal zenekarok koncertjein megjelenő rajongók száma 1969. január 1-jén elfogyasztott lencsefőzelék mennyisége Magyarországon 2009-ben kiadott magyar nyelvű könyvek száma Európában A kolumbiai drogtermelés mennyisége 2008 nyarán 8/ 51

II.4. feladat Jelöld meg (tegyél X-et), hogy melyik sokaság melyik kategóriába esik. Sokaság Egy zeneiskola forgalma 2010. IV. félévében Egy videotéka filmállománya 2009.09.01- jén A hazánkba látogató turisták 2010 első negyedévében Egy kocsma forgalma 2010 harmadik havában A magyar lakosság vízfogyasztása 2008-ban A 4-es metró várható építési költsége 2009 második felében A villamos vonalak hossza Magyarországon 2009 júniusában II.5. feladat Álló sokaság Mozgó sokaság Folytonos sokaság Döntsd el az alábbi állításokról, hogy igazak vagy hamisak. Diszkrét sokaság A statisztikai sokaság mindig mozgó, mert sohasem lehet az adatgyűjtést egyetlen pillanat alatt elvégezni. A végtelenül nagy sokaság vizsgálata nem a statisztika tárgya. A megfigyelés tárgyát nem feltétlenül alkotja a sokaság mindegyik eleme. A mozgó sokaságot időtartamra értelmezzük. Statisztikai sokaság a statisztikai megfigyelés tárgyát képező egyedek összessége, halmaza. Véges sokaság: számossága pontosan nem előre jelezhető (pl. kísérleti statisztika eredményei, modellezés). Végtelen sokaság: nagysága pontosan meghatározható (pl. népesség száma egy adott területen, adott időpontban). 9/ 51

III. Ismérvek ALAPFOGALMAK Ismérvnek nevezzük a statisztikában egy sokaság egyedeinek tulajdonságait. Ismérv minden olyan szempont vagy kritérium, ami szerint a sokaságot vizsgáljuk Egy adott ismérv szerint a sokaság egységei többféle tulajdonsággal rendelkezhetnek. Ezek a tulajdonságok az ismérv változatai. Ismérvek fajtái: Területi ismérv: egy adott régió adataira vonatkozik pl. ország, város, megye, stb. Időbeli ismérv: egy időpont vagy időtartam kifejezésére szolgál, pl. nap, év, hónap, 2011.04.22, születési dátum, stb. Minőségi ismérv: minőségjelzővel leírható tulajdonság pl. nem, szemszín, iskolai végzettség, stb. Mennyiségi ismérv: egy bizonyos mennyiséget fejez ki pl. nyereség, jövedelem, életkor. stb. Mérési skálák: 1. Nominális skála Ez a legegyszerűbb, ez szolgáltatja a legkevesebb információt Segítségével csak az smérvek azonossága vagy különbözősége állapítható meg, pl: férfi vagy nő 2. Ordinális skála Ismérvértékek közötti sorrend is megállapítható sorrendbe lehet rakni, de nem lehet az állítások között távolságot meghatározni pl: egészség (különböző szintek-nagyon jó, jó, közepes, rossz), katonai rendfokozat, stb. 3. Intervallumskála vagy különbségi skála Kezdőpontja önkényesen választott, ezért az ismérvek sorrendje és különbsége értelmezhető, de aránya nem pl: IQ, Celcius 4. Arányskála A kezdőpontnak önálló jelentése van, adatain minden matematikai művelet értelmezhető pl: jövedelem, tömeg, testsúly, magasság, távolság stb. 10/ 51

III.1. feladat Az alább felsorolt ismérvek (változók) mennyiségi vagy minőségi ismérvek? Milyen mérési skálán mérnéd őket? Egy villanykörte várható élettartama Egy villanykörte márkája Egy részvény hozadéka Egy vállalatnál egy hét alatt bekövetkezett balesetek száma A balesetek típusa A munkára megjelentek száma Megnevezés Egy villanykörte várható élettartama A villanykörte márkája Egy részvény hozadéka Egy vállalatnál egy hét alatt bekövetkezett balesetek száma A balesetek típusa A munkára megjelentek száma Ismérv / Skála Időbeli / Különbségi Minőségi / Nominális Mennyiségi / Arány Mennyiségi / Arány Minőségi / Nominális Mennyiségi / Arány III.2. feladat A következő információk találhatók meg Rád Lehel személyzeti lapján. Osztályozd adattípus és mérési módszer szerint az információkat! Neme: férfi Családi állapota: nőtlen Legmagasabb végzettsége: egyetem Magassága: 184 cm Súlya: 78 kg Születési idő: 1978.11.12 Foglalkozása: humorista Fizetése Ft/év: 2.000.000 11/ 51

Megnevezés Neme Családi állapota Legmagasabb végzettsége Magassága Súlya Születési idő Foglalkozása Fizetése Ft/év Ismérv / Skála Minőségi / Nominális Minőségi / Nominális Minőségi / Nominális Mennyiségi / Arány Mennyiségi / Arány Időbeli / Intervallum Minőségi / Nominális Mennyiségi / Arány III.3. feladat Az alább felsorolt ismérvek (változók) mennyiségi vagy minőségi ismérvek? Egy dvd lemez várható élettartama Egy elektromos gitár márkája Kiskutyánk életkora Egy részvény hozadéka Egy rock zenekar turnéja alatt bekövetkezett tömegverekedések száma A verekedés hatására kialakult sérülések típusai Modellválogatáson a munkára megjelentek száma Egy western csizma élettartama III.4. feladat Az alábbi tesztkérdésekben csak egyetlen helyes válasz szerepel. Találd meg. 1.) Egy borz bundájának színét skálán mérjük. a) Nominális b) Ordinális c) Intervallum d) Arány 2.) Egy kiscica neve ismérv. a) Minőségi b) Mennyiségi c) Területi d) Időbeli 3.) Ha a sokaság volumenére (nagyságára) nincs pontos értékünk, akkor az sokaság. a) Véges b) Végtelen c) Mozgó d) Álló 12/ 51

4.) Az alábbiak közül melyik nem mérési skála? a) Diszkrét b) Sorrendi c) Különbségi d) Arány 5.) A felsoroltak közül melyik minőségi ismérv? a) Születési év b) Nem c) Bruttó kereset d) Lakhely (város) 6.) A tűzoltóságnál használatos rendfokozatok a következő skálán mérhetőek. a) Nominális skála b) Ordinális skála c) Különbségi skála d) Arányskála 7.) Melyik lehetőséget rendelnéd az arányskálához? a) Egy adott személy neme b) Egy adott személy neve c) Kelvin fok d) Kilométer 8.) Melyik igaz a nominális skálára? a) A lehető legkevesebb információt tartalmazza. b) Az ismérvértékek között hányadosok, arányok is értelmezhetőek. c) Sorrendet lehet az ismérvértékek között képezni. d) A lehető legtöbb információ nyerhető ezen skála elemeiből. III.5. feladat Milyen mérési skálán mérnéd a következő adatokat? Egy teherautó rendszáma Agárversenyen a kutyák helyezése Banki kamat (%) Nemek Havi bruttó fizetés Év végi osztályzatok Hőmérséklet ( C) Naptári időszak TV műsorok hossza Magasság Életkor Futóversenyen elért helyezések 13/ 51

III.6. feladat Döntsd el, hogy a következő felsorolásban szereplő változók mennyiségi vagy minőségi ismérvek-e? Valamint határozd meg, hogy a mennyiségi változók közül melyik diszkrét és melyik folytonos. Az otthoni borospoharak élettartama. Azok a motorkerékpárok, melyek rendelkeztek érvényes forgalmi engedéllyel 2009-ben. Újszülött kiselefántok súlya. A csokoládégyárban megtöltött cukorkás zacskók súlya. Az elromlott tehervonatok száma 2008 decemberében. A magyar női kosárlabda válogatott meccseinek száma 2010-ben. III.7. feladat Válogasd külön az alábbi változókat minőségi és mennyiségi ismérvek szerint, majd a mennyiségi ismérveket diszkrét, illetve folytonos csoportosítás szerint is! 1. A NBA-ben szereplő csapatok 2. Futballisták júniusi bére 3. A babkonzervek töltési tömege 4. A McLaren F1 típusú autóból választható színek 5. Az osztályban lévő tanulók testmagassága 6. Az osztályban lévő tanulók testsúlya 7. Az osztályban tanuló diákok hajának színe III.8. feladat Egy motorkerékpár adatlapján a következő jellemzőket találjuk. Döntsd el, hogy az egyes változókat milyen ismérvfajtákba sorolnád és milyen mérési skálán mérnéd! Márka Rendszám Hengerűrtartalom Teljesítmény Szín Származási ország Gyártó cég Gyártás ideje Forgalomba helyezés éve Forgalmi érvényességének ideje 14/ 51

IV. Statisztikai sorok IV.1. feladat Készíts összehasonlító sort az alábbi felsorolásból: Országok Hollandia Magyarország Ausztria Litvánia Ukrajna 1 főre jutó csokifogyasztás (gramm)/év 2560 3542 3321 1211 1456 IV.2. feladat Országok 1 főre jutó csokifogyasztás (gramm)/év Hollandia 2560 Magyarország 3542 Ausztria 3321 Litvánia 1211 Ukrajna 1456 Az alábbi szövegből készítsd el az adatokra leginkább jellemző statisztikai sort. Egy közelmúltbeli kutatás azt vizsgálta, hogy egy főre egy évben mennyi romlott tojás jut a következő országokban. Franciaország 23, Németország 11, Magyarország 26, Ausztria 12, Románia 33, Szlovákia 31, Egyiptom 44. IV.3. feladat Országok 1 főre jutó romlott tojás (db/év) Franciaország 23 Németország 11 Magyarország 26 Ausztria 12 Románia 33 Szlovákia 31 Egyiptom 44 Készíts csoportosító sort az alábbi adatokból. A 2004-es évben a magyar autósok 43,4%-a tankolt 95-ös benzint, 36,6% gázolajat, 18,9% 98-as benzint, 0,8% etanolt és a fennmaradó hányad keveréket tankolt. 15/ 51

IV.4. feladat Üzemanyag Megoszlás Benzin (95) 43,4% Benzin (98) 18,9% Gázolaj 36,6% Etanol 0,8% Keverék 0,3% Összesen 100% Az alábbi szövegből készítsd el az adatokra leginkább jellemző statisztikai sort. A dél-amerikai országok népességére vonatkozóan a legfrissebb adatok a következők: Argentína (39 900 000), Bolívia (9 000 000), Brazília (188 100 000), Chile (16 100 000), Ecuador (13 500 000), Guyana (770 000), Kolumbia (43 600 000), Paraguay (6 500 000), Peru (28 300 000), Suriname (440 000), Uruguay (3 400 000), Venezuela (25 700 000). IV.5. feladat Országok Lakosság (fő) Argentína 39 900 000 Bolívia 9 000 000 Brazília 188 100 000 Chile 16 100 000 Ecuador 13 500 000 Guyana 770 000 Kolumbia 43 600 000 Paraguay 6 500 000 Peru 28 300 000 Suriname 440 000 Uruguay 3 400 000 Venezuela 25 700 000 Összesen 376 000 000 Készíts leíró sort Brazíliáról, ha tudjuk, hogy 8 511 965 km 2 nagyságú területen helyezkedik el, 188 100 000 lakosa van, a népsűrűség 22 fő/ km 2 és az egy főre eső GDP 8500 USD! 16/ 51

Brazília főbb adatai Terület 8 511 965 km 2 Lakosság 188 100 000 fő Népsűrűség 22 fő/ km 2 GDP / PPP 8500 USD / fő IV.6. feladat Készíts az osztályodról: 1. mennyiségi, 2. minőségi 3. területi sort is. IV.7. feladat Dolgozó orvosok száma 1975 23 588 1985 29 524 1995 34 634 2005 32 563 1. Nevezd meg a statisztikai sorban szereplő sokaságot és annak típusát! 2. Milyen ismérv alapján figyelték meg a sokaságot? 3. Melyek voltak az ismérvváltozatok? 4. Sorolj fel még néhány ismérvet, amely alapján a sokaság megfigyelhető! 5. Határozd meg a statisztikai sor típusát! 6. A fenti adatok alapján néhány mondattal elemezd a sor tartalmát! IV.8. feladat Egy bt. termelésére vonatkozó adatok 2005 III. negyedévében Hónap Termelési érték (ezer Ft) Július 5 460 Augusztus 4 420 Szeptember 17 650 17/ 51

Összesen 27 530 Válaszolj az alábbi kérdésekre: 1. Mi volt a statisztikai sokaság, milyen típusú? 2. Milyen ismérv szerint figyelték meg a sokaságot? 3. Nevezd meg a statisztikai sor típusát! 4. Hogyan keletkezett? 5. Néhány mondatban elemezd ennek a negyedévnek a termelési értékben kifejezett alakulását! IV.9. feladat Foglalkoztatottak szám 2008. (ezer fő) Közép-Magyarország 1 246,90 Közép-Dunántúl 459,4 Nyugat-Dunántúl 424,7 Dél-Dunántúl 335,5 Észak-Magyarország 410,2 Észak-Alföld 513,1 Dél-Alföld 489,6 Összesen 3 879,40 Válaszolj az alábbi kérdésekre: 1. Mi volt a statisztikai sokaság, milyen típusú? 2. Milyen ismérv szerint figyelték meg a sokaságot? 3. Nevezd meg a statisztikai sor típusát! 4. Hogyan keletkezett? 5. Néhány mondatban elemezd ennek a negyedévnek a termelési értékben kifejezett alakulását! IV.10. feladat Az alábbi statisztikai sorban egy lakópark gázfogyasztási adatait láthatjuk. Válaszolj az alábbi kérdésekre: Gázfogyasztás (m 3 ) Lakások száma -40 21 41-80 21 81-8 Összesen 50 1. Mi volt a statisztikai sokaság, milyen típusú? 2. Milyen ismérv szerint figyelték meg a sokaságot? 3. Nevezd meg a statisztikai sor típusát! 4. Hogyan keletkezett? 18/ 51

IV.11. 5. Néhány mondatban elemezd ennek a negyedévnek a termelési értékben kifejezett alakulását! feladat Tekintsük a következő statisztikai sort: A háztartások fogyasztása folyó áron termékfőcsoportok szerint Megnevezés 2000 2003 2006 01. Élelmiszerek és alkoholmentes italok 18,883% 17,760% 16,841% 02. Szeszes italok, dohányáruk és kábítószerek 8,448% 8,797% 8,865% 03. Ruházat és lábbeli 4,417% 4,059% 3,394% 04. Lakásszolgáltatás, víz, villamos energia, gáz és egyéb tüzelőanyag 18,406% 18,266% 18,625% 05. Lakberendezés, lakásfelszerelés, rendszeres lakáskarbantartás 6,533% 6,567% 6,348% 06. Egészségügy 3,245% 3,549% 3,595% 07. Közlekedés és szállítás 14,891% 15,020% 16,031% 08. Hírközlés 4,080% 4,464% 4,263% 09. Szabadidő és kultúra 7,427% 7,560% 7,859% 10. Oktatás 1,065% 1,258% 1,229% 11. Vendéglátás és szálláshelyszolgáltatás 4,778% 4,619% 5,082% 12. Egyéb termékek és szolgáltatások 7,826% 8,081% 7,868% Hazai fogyasztási kiadás 100,000% 100,000% 100,000% Válaszolj az alábbi kérdésekre: 1. Mi volt a statisztikai sokaság? 2. Milyen ismérv szerint rendezték a sokaság adatait? 3. Milyenek voltak az ismérvváltozatok? 4. Nevezd meg a sokaságot és részsokaságokat is! 5. Hogyan, milyen módon keletkezett a fenti sor? 6. Milyen következtetéseket tudsz levonni az adatok alapján? forrás KSH 2007 19/ 51

V. Statisztikai táblák V.1. feladat Készíts statisztikai táblát az alábbi adatok felhasználásával: 1996-ban a külföldre utazó magyarok száma 15.432,8 ezer fő volt, 1999-re ez 23%-kal emelkedett. 1996-ban a kiutazók 78%-a közúton hagyta el az országot, ez az arány 1999-re megnőtt 84%-ra. 1996-ban 11%-uk utazott vonaton, 1999-re ez nem változott. A repülőn utazók száma 1996-ban 1697,61 ezer fő volt, míg 1999-ben 949,12 ezer fő. Utazások 1996 1999 Közút 12037,58 15945,17 Vonat 1697,61 2088,06 Repülő 1697,61 949,12 Összesen 15432,80 18982,34 V.2. feladat Készíts statisztikai táblát az alábbi adatok felhasználásával: Egy középiskola első évfolyamába 150 diák jár. 22%-uk A osztályba, 30%-uk B osztályba, 24%-uk C osztályba, és a többi diák fele D osztályba jár, a másik fele pedig az E osztályba. Az A osztály 100%-a lány, a B osztály 60%-a fiú, a C, D, E osztályok 50%-a lány. Az első évfolyam megoszlása Lányok Fiúk Összesen A osztály 33 0 33 B osztály 18 27 45 C osztály 18 18 36 D osztály 9 9 18 E osztály 9 9 18 Összesen 87 63 150 V.3. feladat Egy cégnek összesen 500 alkalmazottja van, 300 fizikai munkás és 200 adminisztratív alkalmazott. A cégnél összesen 200 nő dolgozik. A 40 éven aluli alkalmazottak száma 190, ebből 90 nő. A 40 év alatti női fizikai munkások száma 40, a 40 éven felüli férfi fizikai munkások száma 50. 20/ 51

Készíts kombinációs táblát, melyben feltünteted a foglalkoztatottakat a megadott számok szerint (a foglalkozási osztály az oldalrovatokba kerüljön). 40 évnél idősebb Dolgozók eloszlása Férfi 40 éves vagy fiatalabb 40 évnél idősebb Nő 40 éves vagy fiatalabb Összesen Adminisztratív 150 0 0 50 200 Fizikai 50 100 110 40 300 Részösszeg 200 100 110 90 Összesen 300 200 V.4. feladat Készíts az alábbi diagramból táblázatot! Szántóföldek nagysága 500 Zala Veszprém Vas Tolna Jász-Nagykun-Szolnok Szabolcs-Szatmár-Bereg Somogy Pest Nógrád Komárom-Esztergom Heves Hajdú-Bihar Győr-Moson-Sopron Fejér Csongrád Borsod-Abaúj-Zemplén Békés Bács-Kiskun Baranya Budapest 36,8 79,7 103,5 125,9 142,4 151,8 155,8 215,4 232,9 250,5 257,4 261,2 229,1 283,1 255,3 270,2 331,8 352,3 391,8 374,6 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 Hektár 21/ 51

Szántók nagysága (ezer hektár) 2009.05.31 Budapest 36,8 Baranya 229,1 Bács-Kiskun 374,6 Békés 391,8 Borsod-Abaúj-Zemplén 261,2 Csongrád 257,4 Fejér 250,5 Győr-Moson-Sopron 232,9 Hajdú-Bihar 331,8 Heves 155,8 Komárom-Esztergom 103,5 Nógrád 79,7 Pest 270,2 Somogy 255,3 Szabolcs-Szatmár-Bereg 283,1 Jász-Nagykun-Szolnok 352,3 Tolna 215,4 Vas 151,8 Veszprém 142,4 Zala 125,9 V.5. feladat Készíts statisztikai táblát az alábbi adatok felhasználásával: Egy rock együttes 2005-ben Budapesten 3500 főnek adott koncertet, ebből 65% férfi volt, Miskolcon 2200 főnek játszottak és a nők aránya 35% volt, Pécsett 5400 embernek játszottak és 3670 férfi volt jelen. 2006-ban mindenütt 15%-kal nagyobb volt a közönség és a férfiak aránya Budapesten 12%-kal, Miskolcon 10%-kal, Pécsett 30%-kal nőtt. 2005 2006 Koncertek Résztvevők Férfiak Nők Összesen Budapest 2275 1225 3500 Miskolc 1430 770 2200 Pécs 3670 1730 5400 Budapest 2548 1477 4025 Miskolc 1573 957 2530 Pécs 4771 1439 6210 22/ 51

V.6. feladat Készíts az alábbi diagramból táblázatot! Madár Kisállatokat örökbefogadó családok alakulása 345 222 232 145 543 2008 2009 Macska Kutya Madár Macska 453 432 444 377 467 678 453 432 222 165 278 126 475 378 433 356 344 2130 3476 4561 Szeged Pécs Miskolc Debrecen Budapest Kutya 345 430 540 276 3214 0 1000 2000 3000 4000 5000 V.7. feladat Város 2008 2009 Kutya Macska Madár Kutya Macska Madár Budapest 3214 2130 475 4561 3476 543 Debrecen 276 344 126 432 377 145 Miskolc 540 356 278 453 444 232 Pécs 430 433 165 678 432 222 Szeged 345 378 222 467 453 345 1993-ban 1674 ezer birka, 11 765 ezer sertés és 3212 szarvasmarha volt Magyarországon, míg 1996-ban 1896 ezer birka 12 345 ezer sertés és 4561 szarvasmarha volt. Feladat: a) Mi volt a példában a statisztikai sokaság? b) Rendezd az adatokat statisztikai táblába! c) Milyen statisztikai sorokat tartalmaz a tábla? d) Milyen típusú a létrejött tábla? Miért? 23/ 51

V.8. feladat 1980-ban a levélpostai küldemények száma 743,7 millió db, a csomagforgalom 11,4 millió db, a távbeszélő vonalak száma 617,2 ezer db volt. 1990-ben a levélpostai küldemények száma 885,1 millió db, a csomagforgalom 7,1 millió db, a távbeszélő vonalak száma 995,8 ezer db volt. 2000-ben a levélpostai küldemények száma 1 183,1 millió db, a csomagforgalom 11,3 millió db, a távbeszélő vonalak száma 3 801,5 ezer db volt. Feladat: a) Mi volt a példában a statisztikai sokaság? b) Rendezd az adatokat statisztikai táblába! c) Milyen statisztikai sorokat tartalmaz a tábla? d) Milyen típusú a létrejött tábla? Miért? V.9. feladat Készíts az alábbi diagramból táblázatot! Házasságkötés 1000 lakosra Vas; 3,6; 4,81% Tolna; 3,6; 4,81% Jász-Nagykun- Szolnok; 3,4; 4,55% Szabolcs-Szatmár- Bereg; 3,8; 5,08% Veszprém; 3,9; 5,21% Somogy; 3,2; 4,28% Zala; 3,4; 4,55% Budapest; 4,9; 6,55% Baranya; 4; 5,35% Bács-Kiskun; 3,4; 4,55% Békés; 3,1; 4,14% Borsod-Abaúj- Zemplén; 3,5; Csongrád; 3,6; 4,68% 4,81% Fejér; 3,9; 5,21% Pest; 4; 5,35% Nógrád; 3,2; 4,28% Komárom- Esztergom; 4,1; 5,48% Heves; 3,6; 4,81% Hajdú-Bihar; 4; 5,35% Győr-Moson- Sopron; 4,6; 6,15% V.10. feladat 1970-ben a dolgozó orvosok száma 20 491 fő volt, a tízezer lakosra jutó dolgozó orvosok száma 19,8, a működő kórházi ágyak száma 85 768 és a tízezer lakosra jutó kórházi ágy 82,9 volt. 1990 ugyanezek az értékek 32 883; 31,7; 105 097; 101,5. Míg 2007-ben 32 202; 32,1; 71 902; 71,6. Foglald táblázatba az adatokat és értelmezd az esetleges változásokat. 24/ 51

Grafikus ábrázolások V.11. feladat Az alábbi kartogram alapján határozd meg, mely három megyében volt a legnagyobb és mely 2 megyében a legkisebb a foglalkoztatottak száma 2008-ban. Foglalkoztatottak száma 2008 (ezer fő) Budapest 747,6 Baranya 135,6 Bács-Kiskun 198,4 Békés 130,4 Borsod-Abaúj-Zemplén 225,9 Csongrád 160,8 Fejér 174,7 Győr-Moson-Sopron 190,9 Hajdú-Bihar 187,9 Heves 113,7 Komárom-Esztergom 137,8 Nógrád 70,6 Pest 499,3 Somogy 113,2 Szabolcs-Szatmár-Bereg 175,9 Jász-Nagykun-Szolnok 149,3 Tolna 86,7 Vas 110,2 Veszprém 146,9 Zala 123,6 Készíts a fenti táblázat alapján oszlopdiagramot, sávdiagramot, valamint kördiagramot a foglalkoztatottak számának eloszlásáról. 25/ 51

800 700 600 500 400 300 200 100 0 Megoldás Budapest 747,6 Baranya 135,6 Bács-Kiskun 198,4 130,4 Békés Borsod-Abaúj-Zemplén Foglalkoztatottak (ezer fő) 225,9 160,8 174,7 190,9 187,9 137,8 113,7 70,6 Csongrád Fejér Győr-Moson-Sopron Hajdú-Bihar Heves Komárom-Esztergom Nógrád 499,3 Pest 175,9 149,3 146,9 123,6 113,2 86,7 110,2 Somogy Szabolcs-Szatmár-Bereg Jász-Nagykun-Szolnok Foglalkoztatottak (ezer fő) Tolna Vas Veszprém Zala Budapest Baranya Bács-Kiskun Békés Borsod-Abaúj-Zemplén Csongrád Fejér Győr-Moson-Sopron Hajdú-Bihar Heves Komárom-Esztergom Nógrád Pest Somogy Szabolcs-Szatmár-Bereg Jász-Nagykun-Szolnok Tolna Vas Veszprém Zala Foglalkoztatottak aránya megyénként 4,5% 2,9% 12,9% 3,8% 2,2% 2,8% 3,8% 1,8% 3,6% 2,9% 4,8% 3,2% 4,9% 4,5% 19,3% 4,1% 5,8% 3,5% 5,1% 3,4% Foglalkoztatottak (ezer fő) Foglalkoztatottak (ezer fő) Zala Veszprém Vas Tolna Jász-Nagykun-Szolnok Szabolcs-Szatmár-Bereg Somogy Pest Nógrád Komárom-Esztergom Heves Hajdú-Bihar Győr-Moson-Sopron Fejér Csongrád Borsod-Abaúj-Zemplén Békés Bács-Kiskun Baranya Budapest 123,6 146,9 110,2 86,7 149,3 175,9 113,2 70,6 137,8 113,7 187,9 190,9 174,7 160,8 225,9 130,4 198,4 135,6 499,3 747,6 0 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 480 520 560 600 640 680 720 760 800 26/ 51

V.12. feladat Az alábbi kartogram a háziorvosok betegforgalmát mutatja 2008-ban. Mely megyékben volt kiemelkedően magas a betegforgalom? Háziorvosok betegforgalma, 2008 (fő) Budapest 7 502 Baranya 10 864 Bács-Kiskun 12 023 Békés 11 678 Borsod-Abaúj-Zemplén 11 769 Csongrád 10 138 Fejér 12 289 Győr-Moson-Sopron 11 231 Hajdú-Bihar 10 434 Heves 13 200 Komárom-Esztergom 11 490 Nógrád 12 348 Pest 10 694 Somogy 11 155 Szabolcs-Szatmár-Bereg 14 011 Jász-Nagykun-Szolnok 12 344 Tolna 12 120 Vas 10 580 Veszprém 10 757 Zala 11 003 Készíts a fenti táblázat alapján sávdiagramot a betegforgalomról, valamint kördiagramot a megyénkénti betegforgalom eloszlásáról. 27/ 51

V.13. feladat Az alábbi kartogram a 10 000 lakosra jutó működő kórházi ágyak számát mutatja. Mely megyékben van jóval kevesebb működő kórházi ágy? Működő kórházi ágy 10 000 lakosra, 2008 (ágy) Budapest 107,8 Baranya 81,5 Bács-Kiskun 56,1 Békés 64,9 Borsod-Abaúj-Zemplén 71,9 Csongrád 71,1 Fejér 59 Győr-Moson-Sopron 71,4 Hajdú-Bihar 68,4 Heves 68,2 Komárom-Esztergom 62,1 Nógrád 69 Pest 29,1 Somogy 69,2 Szabolcs-Szatmár-Bereg 68,8 Jász-Nagykun-Szolnok 63 Tolna 66,3 Vas 69,8 Veszprém 85,9 Zala 76,3 Párosítsd a megfelelő értékeket a megfelelő megyékhez, majd készíts sávdiagramot az adatokból. 28/ 51

V.14. feladat A következő táblázat (egy) 15 mintát tartalmaz, mely azt mutatja, hogy hogyan változik a diákok matematika érdemjegye egy adott hónapban, ha tudjuk, hogy a válaszadók mennyit járnak koncertekre az adott hónapban. Koncertlátogatás/hó Matekjegy 13 1 3 5 12 1 9 2 0 5 2 4 11 3 1 4 0 5 1 4 4 3 7 3 12 2 12 1 3 4 Készíts megfelelő diagramot, mely szemlélteti, hogy milyen tendenciát követnek a matematika osztályzatok. Magyarázd meg az eredményt! Matematika előmenetel 6 Matematika jegyek 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Havi koncertlátogatások Látható, hogy minél többet látogatják a diákok a különböző rendezvényeket (koncerteket), annál inkább csökkenő tendenciát mutatnak a matematika jegyeik. Azaz a koncertlátogatás és a matematikai eredmények között fordított arányosság figyelhető meg. 29/ 51

V.15. feladat Egy kutatás során azt vizsgáltuk, hogy a havi samponhasználat mennyire befolyásolja a hajhullás mértékét. Az alábbi táblázat alapján ábrázold az értékeket egy megfelelő diagram segítségével és vond le a szükséges következtetést az adatok és a grafikon alapján. Sampon használat (havonta) Hajhullás mértéke (g/hó) 28 15 25 18 30 12 2 80 14 35 10 40 5 74 12 69 9 43 7 55 Hajhullás mértéke (g/hó) Hajhullás mértéke 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 Samponhasználat Minél többször mosunk samponnal hajat, annál kevesebb hajunk hullik ki. V.16. feladat Ismerjük egy cégnél tíz évre visszamenőleg a reklámköltségekbe fektetett pénzmennyiséget és az abból származó árbevételt. Ábrázold az adatokat egy erre alkalmas grafikonon, majd elemezd, hogy megéri-e vajon reklámokba fektetnie a cégnek. 30/ 51

Reklámköltség (millió Ft.) Árbevétel (millió Ft.) 4,5 131,6 3,5 123,4 2,1 107,8 2,6 120,5 2,5 119,1 1,5 115,2 2 122,5 3 128 1 102,6 3,5 145 V.17. feladat Az alábbi táblázatban egy részvény napi árfolyamait láthatjuk. Ábrázold a részvény árfolyamának változását egy szemléletes grafikonon. V.18. feladat Dátum Részvény árfolyama 2009.11.01 12 812 Ft 2009.11.02 12 771 Ft 2009.11.03 12 687 Ft 2009.11.04 12 345 Ft 2009.11.05 12 784 Ft 2009.11.06 12 479 Ft 2009.11.07 12 691 Ft 2009.11.08 12 450 Ft 2009.11.09 12 375 Ft 2009.11.10 12 506 Ft 2009.11.11 12 495 Ft 2009.11.12 12 405 Ft 2009.11.13 12 326 Ft 2009.11.14 12 652 Ft 2009.11.15 12 790 Ft Egy 5 millió Ft-os befektetésünk 2004 végére 12%-os hozamot produkált, majd a rákövetkező 3 évben 18%-os hozammal büszkélkedett, de a hátralévő 4 évben már csak 14% éves hozam volt tapasztalható. Ábrázold grafikonon a befektetésünk alakulását. 31/ 51

V.19. feladat Egy középiskola 9. évfolyamát alapul véve 30 diák jár A osztályba, 22 diák B-be, 25 C-be és 19 D osztályba. Az A osztályban 60% fiú, a B osztályban 14 lány van, a C-ben és D-ben 15-15 lány diák tanul. Ábrázold az osztályok megoszlását különböző diagramok segítségével. V.20. feladat Budapesten a lakások átlagos alapterülete 82,5 m 2, a családi házaké 134,6 m 2, a nyaralóké 46,8 m 2. Vidéki városokban ezek a számok 67,2 m 2 ; 112,4 m 2 ; 65,9 m 2. Községekben 45,6 m 2 ; 124,5 m 2 ; 78,5 m 2. Ábrázold különböző grafikonokon az adatokat. V.21. feladat Az alábbi táblázatban az 1993-as évhez képest láthatjuk a növénytermesztés és az állattenyésztés ágazataiban tapasztalható forgalom változásait. Készíts vonaldiagramot a két ágazatban tapasztalható változásokról. Év Növénytermesztés Állattenyésztés 1994 147% 95% 1995 109% 87% 1996 129% 114% 1997 142% 108% 1998 110% 109% 1999 108% 121% 2000 138% 117% 2001 110% 85% 2002 130% 85% 2003 123% 80% 32/ 51

VI. Viszonyszámok VI.1. feladat 1994-ben 419 000 középiskolás volt, ebből 337 ezren nappali tagozaton tanultak. Számítsd ki a nappali és az esti tagozaton tanulók arányait! Nevezd meg a kiszámított viszonyszámot! Megoszlási viszonyszám. VI.2. feladat Középiskolás diákok megoszlása Megnevezés Diákok (ezer fő) Megoszlás Nappalis diák 337 80,430% Esti tagozatos diák 82 19,570% Összesen 419 100% 1993-ban szénből 12 593 ezer tonnát, kőolajból 1 709 ezer tonnát, bauxitból 1 561 ezer tonnát, nyersacélból 1 753 ezer tonnát termeltünk. Számítsd ki ezen kategóriák arányait! Nevezd meg a kiszámított viszonyszámot! Nyersanyagtermelés megoszlása Megnevezés Termelés (ezer tonna) Megoszlás Szén 12 593 71,486% Kőolaj 1 709 9,701% Bauxit 1 561 8,861% Nyersacél 1 753 9,951% Összesen 17 616 100% Megoszlási viszonyszám. VI.3. feladat A következő adatokat ismerjük: Év Koncertek száma A koncerteken résztvevők száma (ezer fő) 1995 199 91 1996 204 86 1997 173 74 1998 147 59 1999 116 58 2000 126 62 2001 141 78 33/ 51

Határozd meg az összes bázis és lánc alapon számított viszonyszámokat, ezzel is segítve egy újabb koncertturné megszervezését és a várható nézőszám prognosztizálását! Év Koncertek száma A koncerteken résztvevők száma (ezer fő) Bázis viszonyszám Lánc viszonyszám 1995 199 91 100,00% - 1996 204 86 102,51% 102,51% 1997 173 74 86,93% 84,80% 1998 147 59 73,87% 84,97% 1999 116 58 58,29% 78,91% 2000 126 62 63,32% 108,62% 2001 141 78 70,85% 111,90% VI.4. feladat Nemzetközi idegenforgalmi bevételek és kiadások alakulása Magyarországon: Év Bevételek Kiadások milliárd Ft 1995 26 11 1996 27 11 1997 38 13 1998 39 35 1999 48 59 2000 64 38 2001 79 39 2002 99 52 Vizsgáld meg a bevételek és a kiadások alakulását 1995-höz képest, valamint évről évre. Év Bevételek Kiadások Bevételek Kiadások Bevételek Kiadások milliárd Ft Bázis viszonyszám Lánc viszonyszám 1995 26 11 100,00% 100,00% - - 1996 27 11 103,85% 100,00% 103,85% 100,00% 1997 38 13 146,15% 118,18% 140,74% 118,18% 1998 39 35 150,00% 318,18% 102,63% 269,23% 1999 48 59 184,62% 536,36% 123,08% 168,57% 2000 64 38 246,15% 345,45% 133,33% 64,41% 2001 79 39 303,85% 354,55% 123,44% 102,63% 2002 99 52 380,77% 472,73% 125,32% 133,33% 34/ 51

VI.5. feladat 2000-ben a focisták száma 21,6%-kal haladta meg az 1994. évit. 2000-hez viszonyítva a focisták számának alakulása (%): 2001 1,146 2002 1,719 2003 2,306 2004 2,166 2005 2,281 2006 2,039 Számítsd ki az évről évre történő változást a focisták számában, ha 1994- ben 22 ezer igazolt focista volt az országban. Számítsd ki mennyivel nőtt a focisták száma 2005-re 1994-hez viszonyítva. Év Arány Fő (ezer) Lánc viszonyszám 1994 1 22 2000 1,216 26,75-2001 1,146 30,66 1,15 2002 1,719 45,99 1,50 2003 2,306 61,69 1,34 2004 2,166 57,94 0,94 2005 2,281 61,02 1,05 2006 2,039 54,55 0,89 2005-ben 1994-hez képest 2,77 VI.6. feladat Egy vállalat forgalmára vonatkozó adatok Év Eladási forgalom (ezer Ft) 1990. 4 092 1991. 115,00% 1992. 5 115 1993. Eladási forgalom változása 1990. év = 100 % Előző év = 100 % 1994. 110,00% 1995. A forgalom 1993-ban 8%-kal volt magasabb, mint az előző évben. Az 1995. évi forgalom 60%-kal volt magasabb, mint az 1990. évi. 35/ 51

Feladat: a) Számítsd ki a táblázat hiányzó adatait! b) Számítsd ki a forgalom változását az 1992. évhez hasonlítva évenként! Év Eladási forgalom Eladási forgalom változása (ezer Ft) 1990. év = 100 % Előző év = 100 % 1990. 4 092 100,00% - 1991. 4705,8 115,00% 115,00% Forgalom változása 1992. év = 100% 1992. 5 115 125,00% 108,70% 100,00% 1993. 5524,2 135,00% 108,00% 108,00% 1994. 6076,62 148,50% 110,00% 118,80% 1995. 6547,2 160,00% 107,74% 128,00% A megoldás lépései ezt zárójelbe tett számok jelzik pl. (3) a 3. lépés - és az alábbi ábrán láthatóak, felhasználva a fenti táblázatban lévő értékeket. Év Eladási forgalom Eladási forgalom változása (ezer Ft) 1990. év = 100 % Előző év = 100 % 1990. 4 092 (1) 100,00% (1) - 1991. (2) 4092 1,15 115,00% (3) 115,00% Forgalom változása 1992. év = 100% 1992. 5 115 (4) 5115/4092 (5) 5115/4705,8 (14) 100,00% 1993. (7) 5115 1,08 (8) 5524,2/4092 (6) 108,00% (15) 108,00% 1994. (9) 5524,2 1,1 (10) 6076,62/4092 110,00% (16) 6076,62/5115 1995. (12) 4092 1,6 (11) 160% (13) 6547,2/6076,62 (17) 6547,2/5115 VI.7. feladat 2000-ben a turisták száma 25,5%-kal haladta meg az 1990. évit. 2000-hez viszonyítva a turisták számának alakulása: 2001 1,167 2002 1,823 2003 2,567 2004 2,456 2005 2,213 2006 2,056 a) Számítsd ki az évről évre történő változást a turisták számában, ha 10 345 ezer turista látogatott az országba 1990-ben. b) Számítsd ki mennyivel nőtt a turisták száma 2005-re 1990-hez viszonyítva. 36/ 51

Év Arány Fő (ezer) Lánc 1990 1 10 345 viszonyszám 2000 1,255 12 982,98-2001 1,167 15 151,13 1,17 2002 1,823 23 667,96 1,56 2003 2,567 33 327,30 1,41 2004 2,456 31 886,19 0,96 2005 2,213 28 731,32 0,90 2006 2,056 26 693,00 0,93 2005-ben 1990-hez képest 2,78 VI.8. feladat Egy vállalat forgalmára vonatkozó adatok Év Eladási forgalom (ezer Ft.) 2000. 3286,00 2001. 112,00% 2002. 4412,00 2003. Eladási forgalom változása Előző év = 100 2000. év = 100 % % 2004. 107,00% 2005. A forgalom 2003-ban 12,5%-kal volt magasabb, mint az előző évben. A 2005. évi forgalom 60%-kal volt magasabb, mint a 2000. évi. Feladat: a) Számítsa ki a táblázat hiányzó adatait! b) Számítsa ki a forgalom változását a 2002. évhez hasonlítva évenként! Év Eladási forgalom (ezer Ft.) Eladási forgalom változása Előző év = 100 2000. év = 100 % % 2000. 3286,00 100,00% - 2001. 3680,32 112,00% 112,00% Forgalom változása 2000. év = 100% 2002. 4412,00 134,27% 119,88% 100,00% 2003. 4963,50 151,05% 112,50% 112,50% 2004. 5310,95 161,62% 107,00% 120,38% 2005. 5257,60 160,00% 99,00% 119,17% 37/ 51

VI.9. feladat Az alábbi táblázatban Patagónia bruttó nemzeti össztermékét láthatod. Számítsd ki a hiányzó cellák értékeit! VI.10. Év GDP milliárd Ft 2000 = 100% Előző év = 100% 2000 13528,6 2001 15270,1 2002 17180,6 2003 18940,7 2004 20717,1 2005 22055,1 2006 23561,5 feladat GDP Év milliárd Ft 2000 = 100% Előző év = 100% 2000 13528,6 100,00% - 2001 15270,1 112,87% 112,87% 2002 17180,6 126,99% 112,51% 2003 18940,7 140,00% 110,24% 2004 20717,1 153,14% 109,38% 2005 22055,1 163,03% 106,46% 2006 23561,5 174,16% 106,83% Egy vállalatnál a következő adatokat ismerjük: Megnevezés Érték Foglalkoztatottak létszáma (fő) 25 Teljesítmény (óra) 250 Bérmennyiség (Ft) 3.500.000 Határozd meg az egy főre jutó teljesítményt, valamint az egy főre jutó átlagbért! teljesitmény(óra) 250 Egy _ före _ jutó _ teljesitmény = = = 10db / fö foglalkoztatottak _ száma(fö) 25 bérmennyiség(ft) 3500000 Átlagbér = = = 140000Ft / fö foglalkoztatottak _ száma(fö) 25 38/ 51

VI.11. feladat 1994-ben 419 000 középiskolás volt, ebből 337 ezren nappali tagozaton tanultak. Állapítsd meg a nappalisokra jutó esti tagozatos diákok számát! VI.12. feladat Megnevezés Diákok (ezer fő) Nappalis diák 337 Esti tagozatos diák 82 Összesen 419 82 V k = = 0, 243 fő 337 A táblázat egy hazai vállalkozás forgalmi adatait mutatja. Számítsd ki a táblázat hiányzó celláinak értékét. Év 1992. Forgalom (ezer db) 1992 = 100% Előző év = 100% Változás (ezer db) 1993. 620 40 1994. 125,00% 1995. 108,00% 1996. 111,73% 1997. 886 1998. 825 1999. 900 2000. Összesen 7560 Év Forgalom (ezer db) 1992 = 100% Előző év = 100% Változás (ezer db) 1992. 580 100,00% - - 1993. 620 106,90% 106,90% 40 1994. 725 125,00% 116,94% 105 1995. 783 135,00% 108,00% 58 1996. 875 150,84% 111,73% 92 1997. 886 152,76% 101,27% 11 1998. 825 142,24% 93,12% -61 1999. 900 155,17% 109,09% 75 2000. 1366 235,54% 151,79% 466 Összesen 7560 39/ 51

VI.13. feladat Számítsd ki a táblázat hiányzó celláinak értékét. Év Népesség száma (fő) 1987 = 100% 1991 = 100% Előző év = 100% 1987. 1988. 102,5 1989. 106,7 1990. 12.300 118 1991. 125 1992. 112 1993. 1994. 120 104,4 1995. 1996. 13.900 102,1 Év Népesség száma (fő) 1987 = 100% 1991 = 100% Előző év = 100% 1987. 10 423,7 100,00% 80,00% - 1988. 10 684,3 102,50% 82,00% 102,50% 1989. 11 400,2 109,37% 87,49% 106,70% 1990. 12 300,0 118,00% 94,40% 107,89% 1991. 13 029,7 125,00% 100,00% 105,93% 1992. 14 593,2 140,00% 112,00% 112,00% 1993. 14 976,6 143,68% 114,94% 102,63% 1994. 15 635,6 150,00% 120,00% 104,40% 1995. 13 614,1 130,61% 104,49% 87,07% 1996. 13 900,0 133,35% 106,68% 102,10% VI.14. feladat Számítsd ki a táblázat hiányzó celláinak értékét. Év Villamos energia, millió kwh 1960 = 100% Előző év = 100% 1965 11 177 1970 14 542 1975 183,10% 1980 116,66% 1985 26 725 1990 253,78% 1995 119,61% 40/ 51

Év Villamos energia, millió kwh 1960 = 100% Előző év = 100% 1965 11 177 100,00% - 1970 14 542 130,11% 130,11% 1975 20 465 183,10% 140,73% 1980 23 874 213,60% 116,66% 1985 26 725 239,11% 111,94% 1990 28 365 253,78% 106,14% 1995 33 928 303,55% 119,61% VI.15. feladat Egy nőnap alkalmából megrendezett koncerten a Budapest Sportcsarnokban 34 200 néző volt. A nőnapra való tekintettel a hölgyek ingyenesen látogathatták a rendezvényt. Tudjuk továbbá, hogy a koncert szervezői 26 750 jegyet adtak el. a) Mennyi volt a nők aránya a stadionban? b) Mennyi az egy nőre jutó férfiak aránya a koncerten? VI.16. Nézők Nők 7 450 Férfiak 26 750 Összesen 34 200 7450 a) A nők aránya a stadionban: = 0,218 = 21,8 % 34200 b) Az egy nőre jutó férfiak aránya a koncerten: 26750 = 3, 59 7450 fő feladat Egy kutya-cica panzióban 238 kisállat tölti jól megérdemelt pihenését. A nyávogó lakosok száma 46. a) Mennyi kutyák arány a panzióban? b) Mennyi az egy macskára jutó kutyák száma? Panzió Kutyák 192 Cicák 46 Összesen 238 41/ 51

VI.17. 192 a) A kutyák aránya a panzióban: = 0,8067 = 80,67% 238 b) Az egy macskára jutó kutyák száma: 192 = 4, 17 46 kutya feladat Az alábbi táblázat megmutatja régiók szerint a jellemző televíziós műsorvételi lehetőségeket és azok számát. 2009 (ezer db) 2010 (ezer db) Dunántúl Alföld Budapest Dunántúl Alföld Budapest Kábel TV 32 28 92 45 23 112 Műholdvevő készülék 11 16 56 10 25 67 Antenna 8 9 45 6 8 42 a) Határozd meg az egyes kategóriák megoszlását régiók szerint! b) Határozd meg az egyes régiók kategóriánkénti változásait 2009-ről 2010-re! c) Egy budapesti tv nézőre hány vidéki jutott 2009-ben és 2010-ben? Milyen arányban változott ez az érték? a) 2009 (ezer db) 2010 (ezer db) Dunántúl Alföld Budapest Dunántúl Alföld Budapest Kábel TV 62,75% 52,83% 47,67% 73,77% 41,07% 50,68% Műholdvevő készülék 21,57% 30,19% 29,02% 16,39% 44,64% 30,32% Antenna 15,69% 16,98% 23,32% 9,84% 14,29% 19,00% Összesen 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% b) Változás 2009-ről 2010-re Dunántúl Alföld Budapest Kábel TV 45/32 = 140,63% 23/28 = 82,14% 112/92 = 121,74% Műholdvevő készülék 10/11 = 90,91% 25/16 = 156,25% 67/56 = 119,64% Antenna 6/8 = 75,00% 8/9 = 88,89% 42/45 = 93,33% 42/ 51

c) Budapestiek összesen 2009-ben: 192 (ezer) 2010-ben: 221 (ezer) Vidékiek összesen 2009-ben: 53 + 51 = 104 (ezer), 2010-ben: 117 (ezer) Budapestiekre jutó vidékiek 2009-ben: 104/192=0,54 fő, 2010-ben: 0,53 fő A változás mértéke 2009-ről 2010-re: 0,53/0,54 = 98,25%, 1,75%-al csökkent. VI.18. feladat Egy vállalkozás adatait láthatjuk az alábbi táblázatban. Számítsuk ki a termelékenység változását! Megnevezés 2009 2010 Termelés (ezer db) 900 985 Létszám (fő) 245 216 Megnevezés 2009 2010 Változás (%) Vd Termelés (ezer db) A 900 980 980/900 = 1,0944 Létszám (fő) B 245 216 216/245 = 0,8816 Termelékenység (ezer db/fő) Vi 900/245 = 3,673 980/216 = 4,537? A termelékenység változását kétféleképpen is kiszámíthatjuk: 1.) Vd(Vi) = Vi,1/Vi,0 = 4,537 / 3,673 = 1,235 = 123,5% azaz 23,5% növekedés! 2.) Vd(Vi) = Vd(A)/Vd(B) = 1,0944 / 0,8816 = 1,241 = 124,1% Amint látható a két számítási végeredmény a tizedesjegyek kerekítése miatt eltér egymástól, azonban ez az eltérés messze nem számottevő. VI.19. feladat Az alábbi táblázat mutatja régiónként a kenyér és a kalács fogyasztását. Határozd meg a kenyérre jutó kalácsfogyasztást régiónként, majd ábrázold diagramon az arányokat! 43/ 51

Régió Kenyér (t) Kalács (t) Dél-Alföld 234 43 Dél-Dunántúl 345 46 Észak-Alföld 145 98 Észak-Magyarország 454 178 Közép-Dunántúl 346 56 Közép-Magyarország 231 29 Nyugat-Magyarország 223 33 Régió Kenyér Kalács Kalács/Kenyér (%) Dél-Alföld 234 43 18,38% Dél-Dunántúl 345 46 13,33% Észak-Alföld 145 98 67,59% Észak-Magyarország 454 178 39,21% Közép-Dunántúl 346 56 16,18% Közép-Magyarország 231 29 12,55% Nyugat-Magyarország 223 33 14,80% Kalács/Kenyér (%) 80,00% 70,00% 60,00% 50,00% 40,00% 30,00% 20,00% 10,00% 0,00% 18,38% 13,33% 67,59% 39,21% 16,18% 12,55% 14,80% Dél-Alföld Dél-Dunántúl Észak-Alföld Észak- Magyarország Közép- Dunántúl Közép- Magyarország Nyugat- Magyarország 44/ 51

VII. Rangsor, középértékek (átlagok, medián, módusz) ALAPFOGALMAK Átlagok Harmonikus Mértani Számtani Négyzetes Súlyozatlan X h = N i= 1 N 1 X i X = N g N X i i= 1 X = N i= 1 N X i X q = N i= 1 X N 2 i Medián Me Q 2 olyan érték amelynél kisebb értékű adatok legfeljebb 50% ban vannak és nagyobb értékü adatok legfeljebb 50%ban vannak. Módusz Mo a leggyakrabban előforduló (más szóval legnagyobb gyakorisággal, azaz legnagyobb valószínűséggel előforduló) elem értéke. A szórás (σ ) az alapadatok számtani átlagtól való eltéréseinek négyzetes átlaga. Relatív szórás (Populáció szórása): σ = N i= 1 ( X X) Az egyes ismérvértékek átlagosan hány százalékkal térnek el az átlagtól. V = σ X i N 2 45/ 51

VII.1. feladat Az átlagolandó értékek: 3, 4, 5, 8, 6, 10, 14, 20 Számítsd ki a számtani, a harmonikus, a mértani és a négyzetes átlagot. Hasonlítsd össze a kapott eredményeket! Számok 3 4 5 8 6 10 14 20 VII.2. feladat Harmonikus Mértani Számtani Négyzetes 6,171 7,300 8,750 10,283 Az átlagolandó értékek és a hozzájuk tartozó súlyok: (xi) adatok: 3, 4, 5, 8, 11, 8, 5 (fi) súlyok: 4, 4, 1, 1, 3, 5, 6 Számítsd ki a súlyozott számtani, harmonikus, a mértani és a négyzetes átlagot! Adatok 3 4 5 8 11 8 5 Súlyok 4 4 1 1 3 5 6 VII.3. feladat Átlagok Harmonikus 5,046 Mértani 5,491 Számtani 6,000 Négyzetes 6,526 Egy orvos várójában a személyzet megfigyelte azon betegek várakozási idejét, akik sürgősségi ellátást igényeltek. Egy hónap alatt a következő eredményeket kapták: Várakozási idő percben 2 5 10 12 4 4 5 17 11 8 9 8 12 21 6 8 7 14 18 3 Számítsd ki a különböző átlagokat, a mediánt és a módusz értékét is, majd értelmezd ezeket a mutatókat. Mekkora volt a leghosszabb és a legrövidebb idő? 46/ 51

Átlagok Módusz Medián Harmonikus Mértani Számtani Négyzetes 6,410 7,781 9,200 10,517 8 8 VII.4. feladat Számítsd ki a következő hallgatók súlyának átlagait (harmonikus, mértani, számtani, négyzetes), valamint a medián és a módusz értékét is. Ezek után értelmezd a kapott értékeket. Testsúly értékek 90 kg 61 kg 78 kg 89 kg 99 kg 100 kg 80 kg 56 kg 85 kg 68 kg 68 kg 100 kg 65 kg 68 kg 69 kg 68 kg Átlagok Harmonikus Mértani Számtani Négyzetes Módusz Medián 75,300 76,507 77,750 79,006 68 69 A leggyakoribb testsúly érték 68 kg. 69 kg-nál a résztvevők vele könnyebb a másik fele nehezebb. VII.5. feladat Számítsd ki a következő hallgatók magasságának átlagait (harmonikus, mértani, számtani, négyzetes), valamint a medián és a módusz értékét is. Ezek után értelmezd a kapott értékeket. Testmagasság értékek 167 cm 170 cm 197 cm 162 cm 165 cm 190 cm 162 cm 154 cm 162 cm 197 cm 178 cm 171 cm 162 cm 175 cm 162 cm 165 cm 162 cm 162 cm 161 cm Átlagok Módusz Medián Harmonikus Mértani Számtani Négyzetes 168,886 169,274 169,684 170,116 162 163,5 A leggyakoribb testmagasság 162 cm. 163,5 cm-nél a résztvevők vele alacsonyabb a másik fele magasabb. VII.6. feladat Számítsd ki a következő dolgozók életkorának átlagait (harmonikus, mértani, számtani, négyzetes), valamint a medián és a módusz értékét is. Ezek után értelmezd a kapott értékeket. 47/ 51

Dolgozók életkorai 25 év 60 év 60 év 43 év 28 év 57 év 21 év 21 év 28 év 18 év 21 év 27 év 23 év 21 év 52 év 45 év 21 év 32 év Átlagok Harmonikus Mértani Számtani Négyzetes Módusz Medián 28,462 30,713 33,500 36,538 21 27 A számtani átlag megmutatja, hogy egy főre átlagosan hány év jut. A leggyakoribb életkor érték 21 év. Továbbá azt is tudjuk, hogy 27 évnél a résztvevő fele fiatalabb, a fele idősebb. VII.7. feladat Számítsd ki a középiskolai diszkoszvető csapat dobási átlagait (harmonikus, mértani, számtani, négyzetes) és a szórást és a relatív szórást. Dobások hossza 82 m 81 m 33 m 75 m 52 m 85 m 62 m 59 m 30 m 42 m Szórás: A szórás: σ = N i= 1 Átlagok Harmonikus Mértani Számtani Négyzetes 52,800 56,558 60,100 63,180 Hossz Hossz-Átlag (Hossz-Átlag) 2 82 21,90 479,61 81 20,90 436,81 33-27,10 734,41 75 14,90 222,01 52-8,10 65,61 85 24,90 620,01 62 1,90 3,61 59-1,10 1,21 30-30,10 906,01 42-18,10 327,61 Összesen 3796,90 ( X X) i N 2 = 3796,9 10 = 379,69 = 19,486 σ 19,486 Relatív szórás: V = = = 0,324 = 32,4% Tehát az átlaghoz képest az X 601, eltérés mértéke 32,4%. 48/ 51

VII.8. feladat Számítsd ki a középiskolai gerelyhajító csapat dobási átlagait (harmonikus, mértani, számtani, négyzetes), valamint a medián és a módusz értékét is. Ezek után értelmezd a kapott értékeket. Dobások hossza 52 m 36 m 74 m 45 m 88 m 38 m 52 m 36 m 44 m 36 m 46 m 36 m 42 m 45 m 44 m 36 m 45 m 38 m 36 m 52 m 36 m Átlagok Harmonikus Mértani Számtani Négyzetes Módusz Medián 43,093 44,171 45,571 47,368 36 43 A számtani átlag az mutatja meg, hogy egy dobásra átlagosan mekkora távolság jut. A leggyakoribb dobott távolság 36m. Azt is tudjuk, hogy 43 méternél a dobások fele kisebb, a fele nagyobb. VII.9. feladat 2010-ben az egyik budapesti szórakozóhely biztonsági személyzetét tesztelték az egyik IQ teszt segítségével. A 21 dolgozó eredménye a következő volt: 102, 107, 115, 97, 104, 109, 108, 111, 120, 110, 88, 82, 92, 78, 104, 112, 106, 104, 93, 98, 110, Jellemezd középértékekkel az IQ-teszt eredmények eloszlását! Határozd meg a szórást és a relatív szórást is! 49/ 51

Számtani átlag Módusz Medián 102,381 104 104 IQ IQ-Átlag (IQ-Átlag) 2 78-24,381 594,431 82-20,381 415,383 88-14,381 206,812 92-10,381 107,764 93-9,381 88,002 97-5,381 28,955 98-4,381 19,193 102-0,381 0,145 104 1,619 2,621 104 1,619 2,621 104 1,619 2,621 106 3,619 13,098 107 4,619 21,336 108 5,619 31,574 109 6,619 43,812 110 7,619 58,050 110 7,619 58,050 111 8,619 74,288 112 9,619 92,526 115 12,619 159,240 120 17,619 310,431 Összesen 2330,952 A szórás: σ = N i= 1 ( X X) i N 2 = 2330,952 21 = 110,998 = 10,54 σ 10,54 Relatív szórás: V = = = 0, 1029 = 10,29% Tehát az átlaghoz képest X 102,381 az eltérés mértéke 10,29%. 50/ 51

VII.10. feladat Télen, néhány napon megmértük a reggeli hőmérsékletet, és a következő eredményeket kaptuk: -10, -12, -12, -8, -3, -8, -7, -8, -2, -4, -5, 0, 3, 2, 1, 2, 3. Mennyi volt a reggeli átlagos hőmérséklet, mennyi a módusz és a medián? VII.11. feladat Számtani Módusz Medián átlag -3,500-8 -4 Egy ember egy héten keresztül feljegyezte, hogy naponta hány percet tölt internetezéssel. Az eredmények a napok sorrendjében: 140, 408, 222, 130, 287, 321, 367. Mekkora a medián és mekkora szórás, valamint a relatív szórás mértéke? Átlag: Szórás: A szórás: σ = N i= 1 Medián 255 Átlag 267,86 Percek Percek-Átlag (Percek-Átlag) 2 130-137,86 19004,59 140-127,86 16347,45 222-45,86 2102,88 287 19,14 366,45 321 53,14 2824,16 367 99,14 9829,31 408 140,14 19640,02 Összesen 70114,86 ( X X) i N 2 = 70114,86 7 = 10016,41 = 100,082 σ 100,082 Relatív szórás: V = = = 0,3736 = 37,36% Tehát az átlaghoz képest X 267,86 az eltérés mértéke 37,36%. 51/ 51