Prof. Báthori Éva, Prof. Betuker Enikő, Prof. Gyulai Andrea, Prof. István Zoltán, Prof. Nagy Olga, Prof. Pálhegyi-Farkas László ÉRETTSÉGI SEGÉDANYAG

Prof. Báthori Éva, Prof. Betuker Enikő, Prof. Gyulai Andrea, Prof. István Zoltán, Prof. Nagy Olga, Prof. Pálhegyi-Farkas László ÉRETTSÉGI SEGÉDANYAG MATEMATIKA M TECHNOLÓGIAI SZAKOSZTÁLYOK RÉSZÉRE 05 ORADEA ISBN 978-97-0-854-6

Autori: Prof. Báthori Éva Liceul Teoretic "Ady Endre" Oradea Prof. Betuker Enikő Liceul Teoretic " Horváth János" Marghita Prof. Nagy Olga Liceul Teoretic "Arany János" Salonta Prof. Gyulai Andrea Colegiul Național "Mihai Eminescu" Oradea Prof. István Zoltán Liceul Teoretic "Ady Endre" Oradea Prof. Pálhegyi-Farkas László Colegiul Național "Mihai Eminescu" Oradea Coordonatori: Prof. Kéry Hajnal, Inspector Școlar General Adjunct IȘJ Bihor, Prof. Zsigó Tamás, Inspector de Specialitate, IȘJ Bihor, Prof. István Zoltán Liceul Teoretic "Ady Endre" Oradea Îndrumător metodic pentru disciplina matematică nivel liceal în limba maghiară, avându-se în vedere competenţele specifice şi conţinuturile obligatorii necesare pentru atingerea unei note de trecere la evaluare

Valós számok 9. osztály. Fejezet: Valós számok Műveletek tizedes törtekkel Közönséges törtet osztással alakítjuk át tizedes törtté. Példa: 7 5 = 7: 5 = 0,8 A véges tizedes törtet ahogy (helyesen) kiolvassuk, úgy írjuk le törtvonallal, majd egyszerűsítünk, ha lehet. Példa: 0,75 = 75 00 = 4,04 = 4 000 = 5 = 5 + = 8 5 5 Tiszta szakaszos tizedes törtet a következőképpen alakítjuk át: - a tört számlálójába írjuk a szakaszt, - a nevezőbe annyi 9-est írunk, ahány számjegyből áll a szakasz, - ha lehet, egyszerűsítünk. Példa: 0, (6) = 6 9 = 0, () = 99, () = 999 = 7 + 7 = = 404 Vegyes szakaszos tizedes törtet a következőképpen alakítjuk át: A számlálóba leírjuk a szakasz előtti számjegyekből és a szakaszból alkotott számot, ebből kivonjuk a nem ismétlődő számjegyekből alkotott számot. A nevezőbe annyi 9-est írunk, ahány számjegyből áll a szakasz; utána annyi 0-t, ahány számjegyből áll a nem ismétlődő rész. Ha lehet, egyszerűsítünk. Példa: 0,(8) = 8 990 = 5 990 = 7 96 9,9(6) = = 85 900 900 = + = = 5 Megjegyzés. Ha egy műveletsorban közönséges tört és tizedes tört is szerepel, a tizedes törteket átalakítva végezzük el a műveleteket. Begyakorló példák megoldással. Számítsd ki: 0,(8) + 0,(7) +, (6).

Minden tizedes törtet átalakítunk közönséges törté: Valós számok 0,(8) + 0,(7) +, (6) = 8 90 + 7 90 + 6 9 = 6 90 + 6 90 + 6 9 = = 6 90 + 6 90 + 9 + 6 = 6 9 90 + 5 9 = 6 90 + 50 90 = 86 90 = 6 0 = 5. Számítsd ki: (4,4) : 0,. 5 Bevisszük az egészet a törtbe (a számlálóba: a nevezőt szorozzuk az egész résszel, majd hozzáadjuk a számlálót, a nevező marad változatlanul), átalakítjuk a tizedes törteket. Tört osztása törttel: az osztandót (az első törtet) megszorozzuk az osztó (második tört) inverzével (fordítottjával). (4 5 5 +,4) : 0, = (4 4 5 0 ) : 0 = (6 5 5 ) : 0 = (6 5 5 + ) : 5 0 =. Számítsd ki: [6, (5) 4 5 + 0,5] : 8. = ( 6 5 5 ) 0 = 50 5 0 = 0 0 = 00 [6, (5) 4 5 + 0,5] : 8 = (6 5 9 4 5 + 5 00 ) : 8 = (6 9 + 5 4 9 5 + 4 ) : 8 = = ( 59 9 4 5 + 4 ) : 8 = A zárójelben levő törtek közös nevezője a nevezők legkisebb közös többszöröse lesz, ami ebben az esetben 80. Az első törtet bővítjük 0-szal, a másodikat -vel, a harmadikat 45-tel. = ( 8 80 48 80 + 45 80 ) : 8 = 5 80 8 = 6 8 = 9 = 46 7 4. Határozd meg a 0,(546) szám 04-edik tizedes számjegyét. Az ilyen típusú feladatoknál a következőképpen járunk el: ahányadik számjegyet kell kiszámolni, azt a számot osztjuk az ismétlődő számjegyek számával. A maradék mondja meg, hogy az ismétlődő számjegek közül hányadik lesz a keresett számjegy. Észre kell venni, hogy ugyanaz a 6 számjegy ismétlődik. 04-et elosztjuk 6-tal, hányados 5, maradék 4. A maradékos osztás tétele alapján 04 = 5 6 + 4. ami azt jelenti, hogy az első 04 tizedes számjegyben az ismétlődő 6 számjegy 5-ször jelenik meg, és még 4 számjegy. Vagyis a 04-edik számjegy ebben az esetben az 5. 5. Határozd meg 0,(7690) szám 05-ödik tizedes számjegyét. Ugyanúgy járunk el, mint az előző feladatnál. 05-öt elosztva 7-tel (mert 7 ismétlődő számjegy van), maradékul 6-ot kapunk. 05 = 87 7 + 6 Vagyis a 05-ödik tizedes számjegy az ismétlődő számjegyek közül a hatodik, azaz a 0 lesz. 4

Valós számok Javasolt feladatok eredménnyel. Számítsd ki:,65 + 0,5 + 4. Eredmény:.. Számítsd ki: [ + 0, () + 0,75] : 9. Eredmény: 4 08.. Számítsd ki: ( 4 4,) : 0,4. 5 Eredmény: 4. 4. Számítsd ki: ( 0,75) : 0,5. 4 Eredmény: 4 40. 5. Számítsd ki: (0,45 + ) : 0,8. Eredmény: 59 6. 6. Számítsd ki: ( + 0,75) : 0,0(4). 8 Eredmény: 7 4. 7. Számítsd ki: ( ) + 4. Eredmény:. 8. Határozd meg 0,(764) szám 05-ödik tizedes számjegyét. Eredmény: 4. 9. Határozd meg 0,(4567) szám 05-ödik tizedes számjegyét. Eredmény: 6. 0. Határozd meg 0,(0957) szám 04-edik tizedes számjegyét. Eredmény: 5.. Határozd meg a,(87654) szám 05-ödik tizedes számjegyét. Eredmény: 4.. Határozd meg az,(978654) szám 05-ödik tizedes számjegyét. Eredmény: 4. Valós számok egész kitevőjű hatványai Ha a R, n N, n, akkor a n = a a a a n szer Ha a R, n N, akkor a n = a n. (Egy valós szám negatív hatványa egyenlő a szám reciprokával felcseréljük a számlálót a nevezővel.) 5

Valós számok Példák: 6 = ( 6 ) = 6 = ( ) = ( ) = ( ) = ( 5 ) = ( 5 ) Ha a, b R, m, n Z, akkor a m a n = a m+n a m : a n = a m n (a m ) n = a m n (a b) n = a n b n Begyakorló példák megoldással ( a b ) n = an b n. Számítsd ki: + + + Először a hatványozásokat végezzük el majd közös nevezőre hozással összeadjuk a törteket.. Számítsd ki: + + + 4. + + + = + + 4 + 8 = 8 8 + 4 8 + 8 + 8 = 5 8 A negatív hatványok értelmezését felhasználva + + + 4 = + + + 4 = + 6 + 4 + = 5. Igazold, hogy 4 + 4 = 0,5 4. Számítsd ki: + ( ). 4 + 4 = 4 + 6 = 4 6 + 6 = 5 = 5: 6 = 0,5 6 + ( ) = + ( = ) 9 + = 9 + 9 = 9 + 8 9 = 8 9 9 5. a = -ra igazold, hogy a (a ) = 5 6. Első lépésben az a helyére behelyettesítjük a -at, majd használjuk a negatív hatvány értelmezését. Közös nevezőre hozva a törteket, és elvégezve a számításokat megkapjuk a kért eredményt. a (a ) = ( ) = = 9 6 4 6 = 5 6 6

Valós számok Javasolt feladatok eredménnyel. Számítsd ki: + + 4. Eredmény: 6.. Számítsd ki: + + 4. Eredmény: 9 8.. Igazold, hogy + 5 =,. 4. Igazold, hogy = 0,5. 5. Igazold, hogy 5 + 5 = 5,. 6. Számítsd ki: +. Eredmény: 0 7. 7. a = -ra igazold, hogy 5 a (5 a ) = 6 5. 8. a = 5-re igazold, hogy a + a = 5. 9. Számítsd ki: ( 4 ) + 4. Eredmény: 0. 0. a = -re, számítsd ki: a + a + ( a ) Eredmény:. Valós szám négyzetgyöke. Köbgyök. Műveletek gyökmennyiségekkel. Egy a pozitív, legfeljebb 0 szám négyzetgyöke az az nemnegatív valós szám, melynek négyzete egyenlő a-val. a = = a (a 0, 0) Ha a 0, b 0, érvényesek a következő tulajdonságok: Szorzás: a b = a b, például = 6 a = a, például =, ( 5) = 5 = 5 = 5 Osztás: a = b a 00, b 0, például = b 4 00 = 5 = 5 4 Tényező kiemelése a gyökjel alól: Ha a 0, b 0, akkor a b = a b Például: 7 = 9 = = Tényező bevitele a gyökjel alá: Ha a 0, b 0, akkor a b = a b Például: 5 = 5 = 45 Egy a valós szám köbgyöke (harmadrendű gyöke) az az valós szám, melynek köbe (harmadik hatványa) megegyezik a-val. Például: 7 a =, mert = 7; 8 = = a, a, R =, mert ( ) = 8 7

Ha a, b R, érvényesek a következő tulajdonságok: Szorzás: a a Osztás: a b b = a b = a, például 7 = a b Valós számok, például = ( ), b 0, például 000 5 5 =, 64 = 000 Tényező kiemelése a gyökjel alól: Ha a, b R, akkor a b Például: 8 = 7 = = Tényező bevitele a gyökjel alá: Ha a, b R, akkor a b Például: = = 7 = 54 5 = 5 = a b = a b = 4 = 8 = 0 = 4 = Összeadni és kivonni (összevonni) csak egynevű gyökmennyiségeket lehet. (Egynevűek azok a gyökmennyiségek, melyekben a gyök alatti mennyiségek azonosak.) Összevonás előtt tényező kiemelésével próbálunk egynevű gyökmennyiségeket kialakítani. A négyzetgyökök, köbgyökök szorzása és osztása a fentebb említett tulajdonságok alapján történik. Begyakorló példák megoldással =. Igazoljuk, hogy 4( + ) 8 = A zárójel előtti 4-el beszorozzuk a zárójelben lévő mindkét tagot, majd összevonjuk az egynevű tagokat. 4( + ) 8 = + 8 8 =. Igazoljuk, hogy ( ) + 8 természetes szám. A feladat, bár másképp hangzik, mint az előző, mégis ugyanabba a típusba tartozik. Különbség annyi, hogy ebben az esetben nincs megadva az eredmény, azt nekünk kell kiszámolni. Észrevesszük még, hogy a 8 egy olyan összetett szám, melynek gyökéből tényezőt emelhetünk ki a gyökjel elé. ( ) + 8 = + 4 = + = + = N, vagyis a kapott eredmény természetes szám.. Igazold, hogy 6( 5 + ) + ( 5) = 4. A zárójelekben levő minden tagot megszorzunk a zárójel előtti számmal, majd összevonjuk az egynevű tagokat: 6( 5 + ) + ( 5) = 6 5 + 6 + 5 = 6 5 + + 6 5 = 4 4. Igazoljuk, hogy 4 + 8 =. A négyzetgyök alól tényezőt emelünk ki, elvégezzük a lehetséges gyökvonásokat, majd összevonjuk az egynevű tagokat: 4 + 8 5. Igazold, hogy 7 = 4 + 6 = 4 + 4 = 4 + 4 = = 4 + 4 = 48 + 4 egész szám. 8

Valós számok A 7-ből köbgyököt vonunk, a négyzetgyöknél kiemelünk tényezőt a gyökjel elé, majd összevonjuk az egynevű tagokat: 7 48 + 4 = 6. Számítsd ki: ( 5 4 ) 64. 6 + 4 = 6 + 4 = 4 + 4 = = 4 + 4 = Z 5 Használjuk a valós számok negatív hatványára vonatkozó értelmezést, köbgyököt vonunk, majd összevonjuk az egynevű tagokat. ( 5 4 ) 64 5 = 4 5 64 5 7. Igazold, hogy 7 9 természetes szám. 8 4 A gyökökre vonatkozó tulajdonságok alapján indulunk el: 7 8 Javasolt példák eredménnyel.. Számítsd ki: 5 + 5( ). Eredmény: 0. Igazold, hogy 8 + természetes szám. Eredmény:. = 4 5 4 = 4 5 5 4 5 = 0 9 4 = 7 9 8 4 = = = 0 N. Igazold, hogy ( + ) természetes szám. Eredmény: 6. 4. Számítsd ki: 5( ) + 00. Eredmény: 5. 5. Igazold, hogy 7 + 5 természetes szám. Eredmény: 5 6. Igazold, hogy 5 Eredmény: 5. 4 + 6 természetes szám. 7. Számítsd ki: ( 00 7) + 7 0. Eredmény: 0. 8. Igazold, hogy 9 + 7 Eredmény: 6. + természetes szám. 9. Igazold, hogy 8 ( 7 ) természetes szám. Eredmény: 0. 0. Számítsd ki: ( 5 ) 5 4 + 0. Eredmény: 0.. Igazold, hogy 8 6 ( ) 5 egész szám. 9

Valós számok Eredmény: 5. Rövidített számítási képletek Bármilyen a, b, c valós számok esetén fennállnak a következő egyenlőségek:. (a + b) = a + ab + b Például: ( + ) = + + ( ) = + + = +. (a b) = a ab + b Például: ( 5 ) = ( 5) 5 + = 5 4 5 + 4 = 9 4 5. (a + b) (a b) = a b Például: ( + ) ( ) = ( ) = 4 = Begyakorló példák megoldással. Igazold, hogy ( ) + ( + ) természetes szám. Alkalmazzuk az első és második rövidített számítási képletet (mindkettőben a =, b = ), majd összevonjuk az egynevű tagokat. Mivel a két zárójel között összeadás szerepel, emiatt a zárójeleket elhagyhatjuk: ( ) + ( + ) = + ( ) + + + ( ) = = + + + + = 8 N. Igazold, hogy ( + ) ( ) =. Alkalmazzuk az első és második rövidített számítási képletet (mindkettőben a =, b = ). Figyelnünk kell arra, hogy a második zárójel előtt kivonás van, ami majd megváltoztatja a zárójelben levő tagok előjelét. A zárójel felbontása után összevonjuk az egynevű tagokat: ( + ) ( ) = + + ( ) ( + ( ) ) = = 9 + 6 + (9 6 + ) = + 6 ( 6 ) = + 6 + 6 =. Igazold, hogy ( 7 ) + 4 7 =. A második rövidített számítási képletet alkalmazzuk, a helyére 7-et, míg b helyére -t helyettesítünk. Az egynevű tagok összevonása után megkapjuk a kért eredményt. ( 7 ) + 4 7 = ( 7) 7 + + 4 7 = 7 4 7 + 4 + 4 7 = 4. Igazold, hogy (4 + 5) (4 5) 6 természetes szám. 0

Valós számok A harmadik rövidített számítási képletet alkalmazzuk, melyben most a helyére 4-et, b helyére 5-öt helyettesítünk: (4 + 5) (4 5) 6 = 4 ( 5) 6 = 6 5 6 = 5 N 5. Igazold, hogy ( + ) 4 természetes szám. Az első rövidített számítási képletben a helyére -t, b helyére -t helyettesítünk. azt is észre kell venni, hogy a 4-ből tényezőt lehet kiemelni a gyökjel elé: ( + ) 4 = ( ) + + ( ) 4 6 = + + 4 6 = = + 6 + 6 = 5 Javasolt példák eredménnyel.. Igazold, hogy ( + ) + ( ) természetes szám. Eredmény: 0.. Igazold, hogy (5 ) + (5 + ) természetes szám. Eredmény: 56. Igazold, hogy 8 + (4 ) természetes szám. Eredmény: 8 4. Számítsd ki: ( 6 + ) 4. Eredmény: 8. 5. Igazold, hogy ( ) + ( + ) =. 6. Igazold, hogy ( ) ( + ) + 6 = 0. 7. Igazold, hogy ( 7 6) ( 7 + 6) természetes szám. Eredmény: 0. 8. Számítsd ki: ( 5 ) + 0. Eredmény: 6. 9. Számítsd ki: ( 7 + ) + ( 7 ). Eredmény: 0. 0. Igazold, hogy ( 0 5) + ( 0 + 5) természetes szám. Eredmény: 0. Valós számok rendezése Bármely két valós számot össze lehet hasonlítani. Két valós szám közül az a nagyobb, amelyik a számegyenesen a másikhoz képest jobb felől helyezkedik el.

Begyakorló példák megoldással Valós számok. Rendezd növekvő sorrendbe a következő számokat: ( ), 7 Elvégezzük a hatványozásokat, a gyökvonásokat: ( ) = 9, 7 < 5 < 9 7 =, 5 = 5 < 5 < ( ) és 5.. Rendezd növekvő sorrendbe a következő számokat: ( ), 6 és 8. Elvégezzük a hatványozást és a gyökvonást: ( ) = ( ) = = 4 8 = = < 4 < 6 8 < ( ) < 6. Rendezd növekvő sorrendbe a következő számokat: 7, ( ) és 6. 7 = ( ) = ( ) = ( ) = = 9 6 = 6 < 6 < 9 7 < 6 < ( ) 4. Rendezd csökkenő sorrendbe a következő számokat: 5, 5 5 = 5 5 = ( 5) = 5 ( 5 ) = ( 5 ) = 5 = 5 és ( 5 ). 5 > 5 > 5 ( 5 ) > 5 > 5 5. Rendezd csökkenő sorrendbe a 64, ( ) és 00 számokat. 64 = 4 = 4 ( ) = ( ) = = 8

Valós számok 00 = 0 0 > 8 > 4 00 > ( ) > 64 Javasolt példák eredménnyel.. Rendezd növekvő sorrendbe a következő számokat:, 8 Eredmény: 8 < 6 < és 6.. Rendezd növekvő sorrendbe a következő számokat: ( ), 8 és ( ). Eredmény: 8 < ( ) < ( ). Rendezd növekvő sorrendbe a következő számokat: 5, ( 7 ) és 64. Eredmény: 64 < 5 < ( 7 ) 4. Rendezd növekvő sorrendbe a következő számokat: ( ), 7 és 5. Eredmény: ( ) < 5 < 7 5. Rendezd növekvő sorrendbe a következő számokat: 00, ( ) és ( 4 ). Eredmény: ( 4 ) < ( ) < 00 6. Rendezd csökkenő sorrendbe a következő számokat: ( 6 ), 7 Eredmény: ( 6 ) > 8 > 7 és 8. 7. Rendezd csökkenő sorrendbe a következő számokat: ( 4 ), 8 és 7. Eredmény: 8 > 7 > ( 4 ) 8. Rendezd csökkenő sorrendbe a következő számokat: 5, 49 és ( ) 4. Eredmény: 49 > 5 > ( ) 4 9. Rendezd csökkenő sorrendbe a következő számokat: ( 5 ), ( 4) és 00. Eredmény: 00 > ( 4) > ( 5 ) 0. Rendezd csökkenő sorrendbe a következő számokat: 64, ( 64 ) és 64. Eredmény: ( 64 ) > 64 > 64 Intervallumok. Műveletek intervallumokkal. Zárt intervallum: [a, b] = { R a b} a b Nyílt intervallum: (a, b) = { R a < < b} a b

Valós számok Balról zárt, jobbról nyílt intervallum: [a, b) = { R a < b} a b Balról nyílt, jobbról zárt intervallum: (a, b] = { R a < b} a b Balról zárt, jobbról nem korlátos intervallum: [a, + ) = { R a } a Balról nyílt, jobbról nem korlátos intervallum: (a, + ) = { R a < } a Balról nem korlátos, jobbról zárt intervallum: (, a] = { R a} a Balról nem korlátos, jobbról nyílt intervallum: (, a) = { R < a} a Műveletek intervallumokkal: Legyen A és B két halmaz. Egyesítés: A B = { A vagy B} Metszet: A B = { A és B} Begyakorló példák megoldással. Adottak az A = [, ) és a B = (, 4] intervallumok. Határozd meg az A B és A B halmazokat. Az ilyen típusú feladatoknál mindig nagy segítséget nyújt, ha az intervallumokat ábrázoljuk. Ábrázoljuk mindkét intervallumot ugyanazon a számegyenesen két különböző színnel (piros és zöld). Mivel a két halmaz egyesítése olyan elemeket jelent, amelyek vagy az egyik, vagy a másik halmazban benne vannak, ezért az egyesített halmaz az az intervallum lesz, ahol vagy a piros vagy a zöld szín megjelenik. A halmazok metszete olyan elemeket tartalmaz, amelyek mindkét halmazban benne vannak (közösek), ezért a metszet az a rész lesz a számegyenesen, ahol mindkét szín megjelenik. - - - 0 4 A B = (, ) A B = [, 4]. Adottak az A = [, ) és a B = (5, 8] intervallumok. Határozd meg az A B és A B halmazokat. Az előző feladat megoldásához hasonlóan itt is az ábrázolás módszerét választjuk: - - - 0 4 5 6 7 8 4

Valós számok Mivel a két intervallumnak nincs közös része (az ábrán nem fedi egymást a két szín), ezért A B = és A B = [, ) (5, 8] (az egyesítésüket sem lehet egyetlen halmazként felírni).. Adottak az A = (, ] és a B = (, 5] intervallumok. Határozd meg az A B és A B halmazokat. Alkalmazzuk itt is az ábrázolás módszerét: Mivel B, ezért A B = (,]. A B = (, 5] - - - 0 4 5 6 7 8 4. Adottak az C = (, ) és a D = (0, + ) intervallumok. Határozd meg az C D és C D halmazokat. Alkalmazva itt is az ábrázolást módszerét, könnyen észrevehető, hogy mivel 0 D, ezért C D = (0, ). Mivel 0 D, de 0 C ezért C D = (, + ). - - - 0 4 5 6 7 8 5. Adottak az E = (, ) és a F = (0, + ) intervallumok. Határozd meg az E F és E F halmazokat. Az ábrázolás módszerét alkalmazva észrevesszük, hogy a két szín teljesen lefedi a valós számegyenest, ezért E F = R. -4 - - - 0 4 5 6 7 Mivel E, ezért nem lesz eleme akét halmaz metszetének sem, vagyis E F = [, ). Javasolt példák eredménnyel.. Adottak az A = [ 4, ) és a B = (0, ] intervallumok. Határozd meg az A B és A B halmazokat. Eredmény: A B = (0, ), A B = [ 4, ].. Adottak az A = ( 6, 0) és a B = [, 5) intervallumok. Határozd meg az A B és A B halmazokat. Eredmény: A B = [, 0), A B = ( 6, 5).. Adottak a C = [, 0] és a D = (, 7) intervallumok. Határozd meg az C D és C D halmazokat. Eredmény: C D =, C D = [, 0] (, 7). 4. Adottak a C = ( 5, ) és a D = [0, ) intervallumok. Határozd meg az C D és C D halmazokat. Eredmény: C D =, C D = ( 5, ) [0, ) 5. Adottak az E = (, ) és a F = (0, 6) intervallumok. Határozd meg az E F és E F halmazokat. Eredmény: E F = (0, ), E F = (, 6). 6. Adottak az E = (, 4) és a F = [ 5, 7] intervallumok. Határozd meg az E F és E F halmazokat. Eredmény: E F = [ 5, 4), E F = (, 7]. 7. Adottak az G = (, + ) és a H = (, 5) intervallumok. Határozd meg az G H és G H halmazokat. Eredmény: G H = (, 5), G H = (, + ). 5

Valós számok 8. Adottak az G = [ 5, + ) és a H = ( 7, ] intervallumok. Határozd meg az G H és G H halmazokat. Eredmény: G H = [ 5, ], G H = ( 7, + ) 9. Adottak az I = (, ) és a J = [0, + ) intervallumok. Határozd meg az I J és I J halmazokat. Eredmény: I J = [0, ), I J = R. 0. Adottak az I = (, ) és a J = [, + ) intervallumok. Határozd meg az I J és I J halmazokat. Eredmény: I J = [, ), I J = R Valós szám abszolút értéke (modulusa) Az a valós szám abszolút értékén a következő valós számot értjük: Például: =,, =, a, ha a 0 a = { a, ha a < 0 Tulajdonság: a = 0 a = 0 Az a > 0 valós szám és az abszolút érték segítségével értelmezhetjük a következő intervallumokat: [ a, a] = { R a} = { R a a} -a ( a, a) = { R < a} = { R a < < a} a -a 0 a (, a] [a, + ) = { R a} = { R a és a} -a 0 a (, a) (a, + ) = { R > a} = { R < a és > a} -a 0 a Begyakorló példák megoldással. Határozd meg az A = { N } halmaz elemeit. Mivel természetes szám, emiatt egész szám lesz. Azok az egész számok, melyeknek abszolút értéke kisebb, vagy egyenlő, mint, a, 0,. Ez azt jelenti, hogy a modulusban levő kifejezést sorra egyenlővé kell tegyük ezzel a három számmal (vagyis a feladat visszavezetődik három elsőfokú egyismeretlenes egyenlet megoldására). = = + = 0 = 0 = 0 + = = = + = 6

Valós számok A = {0,, }. Határozd meg a B = { Z < } halmaz elemeit. Mivel Z Z. Azok az egész számok, melyeknek abszolút értéke szigorúan kisebb, mint, a, 0,. Az előbbi feladat megoldásához hasonlóan, ez azt jelenti, hogy a -et sorra egyenlővé kell tennünk e három számmal, megoldanunk a kapott egyenleteket, majd azok megoldásai közül kiválasztani azokat, amelyek egész számok. Ezen értékek lesznek a B halmaz elemei. = = + = 0 = 0 Z = 0 = 0 + = = Z = = + = = Z B = {0, }. Határozd meg a C = { N + < } halmaz elemeit. Használjuk most az értelmezést: Két egyenlőtlenséget oldunk meg egyszerre: + < < + < < + < > 4 { { 4 { + < < < { > 4 < 4 < <. De tudjuk azt is, hogy N. A 4 és közötti természetes szám a 0. Vagyis C = {0}. Megjegyzés. Az előző két feladatnál használt megoldási módszer is alkalmazható. Mindenki a maga számára könnyebb módszert válassza. 4. Határozd meg a D = { Z + } halmaz elemeit. Használjuk itt is az értelmezést: Megoldjuk az egyenlőtlenségeket: + + + { { { { + Tudjuk azt is, hogy Z. Ezért D = {,, } 5. Határozd meg az E = { R } halmaz elemeit. + { { + {0 0 6 [0, 6] 6 6. Határozd meg az F = { R 5} halmaz elemeit. 5 { 5 5 { 8 { 4 [4, + ) { (, ] F = (, ] [4, + ) 7

Valós számok Javasolt példák eredménnyel.. Határozd meg az A = { N + } halmaz elemeit. Eredmény: A = {0}.. Határozd meg a B = { N < } halmaz elemeit. Eredmény: B = {}.. Határozd meg a C = { N + < } halmaz elemeit. Eredmény: C = {0}. 4. Határozd meg a D = { Z = 0} halmaz elemeit. Eredmény: D = {} 5. Határozd meg az E = { Z + < } halmaz elemeit. Eredmény: E = {, 0} 6. Határozd meg az F = { Z + } halmaz elemeit. Eredmény: F = { 4,,, }. 7. Határozd meg a G = { Z + } halmaz elemeit. Eredmény: G = {,, }. 8. Határozd meg a H = { R } halmaz elemeit. Eredmény: H = [, 5]. 9. Határozd meg az I = { R > } halmaz elemeit. Eredmény: I = (, 0) (4, + ). 0. Határozd meg a J = { R + 5 < } halmaz elemeit. Eredmény: ( 6, 4). 8

Az elsőfokú függvény. Fejezet: Az elsőfokú függvény Az elsőfokú függvény értelmezése, az elsőfokú függvény behelyettesítési értéke Az f :, f a b függvényt, ahol a, b és a 0, elsőfokú függvénynek nevezzük. A függvény val való behelyettesítési értékét úgy kapjuk meg, hogy az helyébe az értékét helyettesítjük be. Például, ha f ( ) és, akkor a behelyettesítési érték: f ( ) ( ) 5 lesz. Begyakorló példák megoldással 6. Adott az f :, f ( ) függvény. Számítsátok ki f f f... f 5. Ez a faladat olyan típusú, hogy az egyik tag értéke nulla, ezért a szorzat értéke is nulla. Csak ki kell találni a megfelelő tagot, ez az O tengellyel való metszéspont szokott lenni, a mi estünkben az f () 0. Tehát f f f f... 5 0. függvény. Számítsátok ki f f f... f 5 7. Adott az f :, f ( ) 6 Észrevesszük, hogy () 6 6 6 0 f. Tehát f f f f 8. Adott az f :, f ( ).... 5 0. függvény. Számítsátok ki f 0 f 9 f 8... f 0. Összesen függvényérték szorzatáról van szó, de észrevesszük, hogy f () 0. Tehát f 0 f 9 f 8... f 0 0 9. Adott az f :, f ( ) függvény. Számítsátok ki f f... f 5. Először tanuljuk meg kiszámolni az első n természetes szám összegét. Írjuk le egymás alá az összeadandó tagokat egyszer növekvő, majd csökkenő sorrendben: n n n n Észrevesszük, hogy minden oszlopban a tagok összege ugyanaz, vagyis n, de ilyen párosból pontosan n van, tehát a két sor összege n n. n n Mivel kétszer számoltunk a keresett összeg. Ezt a képletet meg is lehet tanulni: nn n. Most oldjuk meg a feladatot: Ha felírjuk sorra a behelyettesített értékeket formálisan, azaz anélkül, hogy elvégeznénk a számolásokat, kapjuk, hogy: 9

Az elsőfokú függvény f (), f (),, f (5) 5, összeadjuk őket úgy, hogy külön csoportosítjuk a szorzatokat, amelyeknek 5 a közös tényezője és külön az egyeseket: 5 5 f f f 5 5 5 5 5 5 5 0. 5ször f :, f 5 függvény. Számítsátok ki 0. Adott az f ( a) f ( a ). Egyenként behelyettesítjük a függvénybe helyett az a, illetve a értéket: f ( a) f ( a ) 5a 5( a ) 5a 5a 0 0a 5a 6. Javasolt feladatok eredménnyel. Adott az f :, f ( ) Eredmény: 0. függvény. Számítsátok ki f f f... f 5. 4. Adott az f :, f ( ) 4 6 függvény. Számítsátok ki f 6 f 5 f 4... f 6. Eredmény: 0. függvény. Számítsátok ki f f f 5. Adott az f :, f ( ) Eredmény: 05. 6. Adott az f :, f ( ) Eredmény: 0. 7. Adott az f :, f ( ) Eredmény:.... 05 05. függvény. Számítsátok ki f f f... 0. függvény. Számítsátok ki f f f 0 9... 0. 8. Adott az f :, f ( ) függvény. Számítsátok ki f ( a) f ( a ). Eredmény: a. 9. Adott az f :, f ( ) 5 függvény. Számítsátok ki f( ) f(). Eredmény: 0. 0. Adott az f :, f ( ) Eredmény: 0. függvény. Számítsátok ki f f f... 05.. Adott az f :, f ( ) függvény. Számítsátok ki f( 05) f(05). Eredmény: 6.. Adott az f :, f ( ) 0 függvény. Számítsátok ki 000 f 0 f 0... f 000. 0

Az elsőfokú függvény Eredmény: 000. Az elsőfokú függvény koordinátatengelyekkel való metszéspontjai b Az elsőfokú függvény az O tengelyt a,0 a pontban metszi. Az elsőfokú függvény az Oy tengelyt a 0,b pontban metszi. Begyakorló példák megoldással 6. Határozzátok meg az : metszéspontjait. f, f 4 függvény grafikus képének a tengelyekkel való A fentiek alapján a 4, b, ezért és az Oy tengelyt a 0, pontban metszi. b a. A függvény az O tengelyt a 4 4,0 7. Határozzátok meg az f :, f ( ) függvény grafikus képének a tengelyekkel való metszéspontjait. Az a, b, ezért az O tengelyt a,0 és az Oy tengelyt a 0, pontban metszi. 8. Határozzátok meg az f :, f ( ) metszéspontjait. függvény grafikus képének a tengelyekkel való b 0 Az a, b 0, ezért 0 az O tengelyt is és az Oy tengelyt is a 0,0 pontban metszi. a Ebben az esetben a két metszéspont egybeesik az origóval. 9. Határozzátok meg az f :, f ( ) 05 függvény grafikus képének a tengelyekkel való metszéspontjait. Az a 05, b, ezért az O tengelyt a,0 05 és az Oy tengelyt a 0, pontban metszi. 0. Határozzátok meg az f : elsőfokú függvényt úgy, hogy a függvény grafikus képe az O tengelyt az 5, 0 A függvény ( ) illetve a 0, 5 A pontban és az Oy tengelyt a 0, 5 f a b alakú, az 5, 0 B pontban metssze. A pontban metszi az O tengelyt, tehát 5a b 0, B pontban metszi az Oy tengelyt, tehát b 5. Az előbbi összefüggésbe visszahelyettesítve, kapjuk, hogy 5a 5 0, innen pedig kifejezve az ismeretlent a. A keresett függvény tehát f ( ) 5.

Az elsőfokú függvény Javasolt feladatok eredménnyel. Határozzátok meg az, f :, f ( ) 7 függvény grafikus képének a tengelyekkel való metszéspontjait. Eredmény: az O tengelyt a 7,0 pontban, az Oy tengelyt a 0, 7 pontban metszi.. Határozzátok meg az, f :, f ( ) függvény grafikus képének a tengelyekkel való metszéspontjait. Eredmény: az O tengelyt a,0 pontban, az Oy tengelyt a 0, pontban metszi.. Határozzátok meg az, metszéspontjait. f :, f ( ) függvény grafikus képének a tengelyekkel való Eredmény: az O tengelyt a,0 pontban, az Oy tengelyt a 0, pontban metszi. 4. Határozzátok meg az, metszéspontjait. f :, f ( ) 7 függvény grafikus képének a tengelyekkel való Eredmény: az O tengelyt a 4,0 pontban, az Oy tengelyt a 0, 7 pontban metszi. 5. Határozzátok meg az, f :, f ( ) függvény grafikus képének a tengelyekkel való metszéspontjait. Eredmény: az O tengelyt a 0,0 pontban, az Oy tengelyt a 0,0 pontban metszi. 6. Határozzátok meg az, f :, f ( ) 05 04 függvény grafikus képének a tengelyekkel való metszéspontjait. Eredmény: az O tengelyt a 05,0 04 pontban, az Oy tengelyt a 0,05 pontban metszi. 7. Határozzátok meg az f : elsőfokú függvényt úgy, hogy a függvény grafikus képe az O tengelyt az, 0 Eredmény: f ( ) 4. A pontban és az Oy tengelyt a 0, 4 B pontban metssze. 8. Határozzátok meg az f : elsőfokú függvényt úgy, hogy a függvény grafikus képe az O tengelyt az, 0 Eredmény: f ( ). A pontban és az Oy tengelyt a 0, B pontban metssze. 9. Határozzátok meg az f : elsőfokú függvényt úgy, hogy a függvény grafikus képe az O tengelyt az, 0 Eredmény: f ( ). A pontban és az Oy tengelyt a 0, B pontban metssze. 0. Határozzátok meg az f : elsőfokú függvényt úgy, hogy a függvény grafikus képe az O tengelyt is és az Oy tengelyt is az A 0, 0 pontban metssze. Eredmény: f ( ) a, ahol a 0.

Az elsőfokú függvény Pont hozzátartozása az elsőfokú függvény grafikonjához Egy A, pont akkor van rajta az elsőfokú függvény grafikus képén, ha f ( ), azaz ha a pont első koordinátáját (abszcisszának nevezzük) behelyettesítve a függvénybe a pont második koordinátáját (ordinátának nevezzük) kapjuk. Például, ha f ( ), akkor az A,4 pont rajta van a függvény grafikus képén, mert f () 6 4. Begyakorló példák megoldással f :, f függvény. Határozzatok meg a függvény grafikus képén egy. Adott az olyan pontot, amelynél az abszcissza egyenlő az ordinátával. Egy olyan pontot keresünk, ahol A m, m és a pont hozzátartozik a grafikus képéhez, azaz f ( m) m, tehát m m, innen m m m m. A keresett pont A,. 8. Határozzátok meg az m értékét úgy, hogy az képe áthaladjon az A 4, 6 ponton. f :, f m függvény grafikus Az A 4, 6 pont rajta kell legyen a függvény grafikus képén, tehát az f ( 4) 6 összefüggés kell teljesüljön. f ( 4) m ( 4) 4m, innen 4m 6 4m 6 4m 4, tehát m. 9. Határozzátok meg az m értékét tudva, hogy az f :, f ( ) m függvény grafikus képe tartalmazza az A, m pontot. Az A, m pont rajta kell legyen a függvény grafikus képén, tehát az f m összefüggés kell teljesüljön. f m m, innen m m m m m m. 0. Határozzátok meg az f :, f ( ) a b függvényt, ahol ab,, tudva, hogy a függvény grafikus képe áthalad az,0 A és 0,4 B pontokon. Az A,0 és a B 0,4 pontok rajta kell legyenek a függvény grafikus képén, tehát az f () 0 és f (0) 4 összefüggések kell teljesüljenek. Vagyis f () a b 0 és f (0) 0 a b b 4. A b értékét ezzel meg is határoztuk. Visszahelyettesítve az első összefüggésbe 4 a b a 4 0 a 4 a. Egy elsőfokú függvény akkor van meghatározva, ha ismerjük az együtthatóit: f ( ) 4.. Adott az f :, f ( ) 4m függvény. Határozzátok meg az m értékét úgy, hogy az A(m,4 m) pont hozzátartozzon az f függvény grafikus képéhez.

Az elsőfokú függvény Az A(m,4 m) pont rajta kell legyen a függvény grafikus képén, tehát az f m 4m összefüggés kell teljesüljön. f (m ) m 4m 4m 4m 8m 4 Visszahelyettesítve az összefüggésbe, kapjuk, hogy 8m 4 4m 8m 4m 4 4m 4 m. Javasolt példák eredménnyel.. Határozzátok meg az a értékét úgy, hogy az képe áthaladjon az A, 4 ponton. Eredmény: a. 5. Határozzátok meg az m értékét úgy, hogy az :, képe áthaladjon az A 0, ponton. Eredmény: m. 6. Határozzátok meg az m értékét úgy, hogy az :, képe áthaladjon az A, m ponton. Eredmény: m. 7. Határozzátok meg az m értékét úgy, hogy az képe áthaladjon az A, 5 ponton. Eredmény: m 4. 8. Adott az f :, f a függvény grafikus f f m függvény grafikus f f m függvény grafikus f :, f m függvény grafikus f :, f függvény. Határozzatok meg a függvény grafikus képén egy olyan pontot, amelynél az abszcissza egyenlő az ordinátával. Eredmény: m. f :, f függvény. Határozzatok meg a függvény grafikus képén egy 9. Adott az olyan pontot, amelynél az abszcissza egyenlő az ordinátával. Eredmény: m. f :, f 5 8 függvény. Határozzatok meg a függvény grafikus képén egy 0. Adott az olyan pontot, amelynél az abszcissza egyenlő az ordináta háromszorosával. Eredmény: m 4. 0. Határozzátok meg az f :, f ( ) a b függvényt, ahol ab, grafikus képe áthalad az,0 Eredmény: f ( ). A és 0, B pontokon.. Határozzátok meg az f :, f ( ) a b függvényt, ahol ab, grafikus képe áthalad az 4,0 Eredmény: f ( ). A és 0, B pontokon., tudva, hogy a függvény, tudva, hogy a függvény. Adott az f :, f ( ) m függvény. Határozzátok meg az m értékét úgy, hogy az A(m 5, m ) pont hozzátartozzon az f függvény grafikus képéhez. Eredmény: m. 4

Az elsőfokú függvény Az elsőfokú függvény monotonitása, az elsőfokú függvény előjelszabálya Az elsőfokú függvény szigorúan monoton függvény, ha f :, f a b és a 0 akkor szigorúan növekvő: Ha f :, f a b és a 0 akkor szigorúan csökkenő: Az előbbiekből következik az elsőfokú függvény előjelszabálya, amely segítségével oldható meg az elsőfokú egyenlőtlenség: Az elsőfokú függvény előjelszabály táblázata b a f( ) a-val ellentétes előjel 0 a-val megegyező előjel Például, ha f ( ), akkor a és b, innen következik, hogy b a, tehát az előjelszabály alapján f( ) 0 (azaz negatív, mert a pozitív) a, intervallumon és f( ) 0 (azaz pozitív, mert a pozitív) a, intervallumon. Begyakorló példák megoldással 5. Oldjátok meg a valós számok halmazában a 5 egyenlőtlenséget. Vigyünk mindent át a baloldalra (nullához hasonlítunk), kapunk egy elsőfokú kifejezést 8 0, vagyis f ( ) 0, a baloldali kifejezést elneveztük f( ) -nek. 5

Mivel a és b, innen b a Az elsőfokú függvény és a pozitív, elkészítjük az előjeltáblázatot: f( ) 0 Mivel a függvény a negatív értékeket a, intervallumon veszi fel, ez lesz az egyenlőtlenség megoldása. Megjegyzés: a váltási pontnál szigorú egyenlőtlenségnél kerek, másképp szögletes zárójelet használunk. 6. Oldjátok meg a valós számok halmazában a egyenlőtlenséget. Vigyünk itt is át a baloldalra a tagokat 0, f ( ) 4 a és b 4, innen b 4, a táblázat a következő: a f( ) 0 A megoldás tehát:,. 7. Oldjátok meg a valós számok halmazában a 5 0 egyenlőtlenséget. a és b 5, b a 5 a táblázat a következő: 5 f( ) 0 A megoldás tehát: 5,. 8. Oldjátok meg a valós számok halmazában a 4 0 egyenlőtlenséget. a és b 4, b a 4 a táblázat a következő: f( ) 0 A megoldás tehát:,. 6. Oldjátok meg a természetes számok halmazában a 5 egyenlőtlenséget. 6

Az elsőfokú függvény 5 8 0, észrevesszük, hogy az egyenlőtlenség osztható -vel, tehát 4 0 a és b 4, b a 4 4 a táblázat a következő: 4 f( ) 0 A megoldás tehát:,4 lenne a valós számok halmazán. De ebben a megoldáshalmazban csak a következő természetes számok vannak: 0,,,,4. Ez a feladat megoldása. Javasolt példák eredménnyel.. Oldjátok meg a valós számok halmazában a 0 egyenlőtlenséget. Eredmény:,.. Oldjátok meg a valós számok halmazában a egyenlőtlenséget. Eredmény:,4.. Oldjátok meg a valós számok halmazában a 5 egyenlőtlenséget. Eredmény:,. 4. Oldjátok meg a valós számok halmazában a 4 egyenlőtlenséget. Eredmény:,. 5. Oldjátok meg a valós számok halmazában a egyenlőtlenséget. Eredmény:,4. 6. Oldjátok meg a valós számok halmazában a 4 egyenlőtlenséget. Eredmény:,. 7. Oldjátok meg a valós számok halmazában a 7 egyenlőtlenséget. Eredmény:,5. 8. Oldjátok meg a természetes számok halmazában a 5 egyenlőtlenséget. Eredmény: 0,,,, 4,5,6. 9. Oldjátok meg a természetes számok halmazában a 7 egyenlőtlenséget. Eredmény: 0,,. 0. Oldjátok meg a természetes számok halmazában a 4 egyenlőtlenséget. Eredmény: 0,,,. Az elsőfokú függvény grafikus ábrázolása 7

Az elsőfokú függvény Mivel az elsőfokú függvény grafikus képe egy egyenes és egy egyenest két különböző pontja meghatározza, elég két pontját egy derékszögű koordinátarendszerben ábrázolni és azt egy vonalzóval összekötni. Ez a két pont lehet a tengelyekkel való metszéspont is. A biztonság kedvéért lehet három pontot is ábrázolni, ugyanis, ha elszámolunk, a három ábrázolt pont nagy valószínűséggel nem lesz egy egyenesen. Ilyenkor ellenőrizni kell a számolásokat. Begyakorló példák megoldással 6. Ábrázoljátok grafikusan az f :, f ( ) függvényt. A függvény a tengelyeket a,0 és 0, pontokban metszi, ezeket ábrázolva a derékszögű koordinátarendszerben és vonalzóval összekötve, a következő grafikus képet kapjuk: 7. Ábrázoljátok grafikusan az f :, f ( ) függvényt. A függvény a tengelyeket a,0 és 0, pontokban metszi. Az első pont helyett a tört miatt lehet másik pontot választani, a könnyebb ábrázolhatóság érdekében, például legyen,. Ezt a és a 0, pontot ábrázolva a derékszögű koordinátarendszerben és vonalzóval összekötve, a következő grafikus képet kapjuk: 8. Ábrázoljátok grafikusan az f :, f ( ) 6 függvényt. A függvény a tengelyeket a,0 és 0, 6 pontokban metszi, ezeket ábrázolva a derékszögű koordinátarendszerben és vonalzóval összekötve, a következő grafikus képet kapjuk: 8

Az elsőfokú függvény 9. Ábrázoljátok grafikusan az f :, f ( ) 6 függvényt. A függvény a tengelyeket a,0 és 0,6 pontokban metszi, ezeket ábrázolva a derékszögű koordinátarendszerben és vonalzóval összekötve, a következő grafikus képet kapjuk: 0. Ábrázoljátok grafikusan az f :, f ( ) függvényt. A függvény a tengelyeket a,0 és 0, pontokban metszi, ezeket ábrázolva a derékszögű koordinátarendszerben és vonalzóval összekötve, a következő grafikus képet kapjuk: 9

Az elsőfokú függvény Javasolt példák eredménnyel.. Ábrázoljátok grafikusan az f :, f ( ) függvényt. Eredmény:. Ábrázoljátok grafikusan az f :, f ( ) függvényt. Eredmény:. Ábrázoljátok grafikusan az f :, f ( ) függvényt. Eredmény: 4. Ábrázoljátok grafikusan az f :, f ( ) függvényt. Eredmény: 5. Ábrázoljátok grafikusan az f :, f ( ) függvényt. Eredmény: 6. Ábrázoljátok grafikusan az f :, f ( ) 4 4 függvényt. Eredmény: 0

Az elsőfokú függvény 7. Ábrázoljátok grafikusan az f :, f ( ) függvényt. Eredmény: 8. Ábrázoljátok grafikusan az f :, f ( ) 4 4 függvényt. Eredmény: 9. Ábrázoljátok grafikusan az f :, f ( ) függvényt. Eredmény: 0. Ábrázoljátok grafikusan az f :, f ( ) függvényt. Eredmény: Az elsőfokú egyenletrendszerek Az elsőfokú egyenletrendszerek alakja a következő: a by d, ahol a, b, c, d, e c dy e. Megoldása több módszerrel is lehetséges, a továbbiakban egyet fogunk bemutatni, a kiejtés módszerét. Ez abban áll, hogy az egyenleteket megfelelő számmal szorozva és ezután összeadva, a célunk az, hogy vagy az vagy az y változó kiessen. Akkor a maradt változó meghatározható a kapott egyenletből. Ezt az értéket visszahelyettesítve az egyik eredeti egyenletbe, kiszámítjuk a másik változó értékét.

Az elsőfokú függvény Begyakorló példák megoldással y5 6. Oldjátok meg az, y, y egyenletrendszert. Kiválasztjuk például az y változót. Az első egyenletet szorozzuk -vel, a másodikat -mal: 46y0 Az egyenletrendszer a következőképpen alakul:, összeadjuk és kapjuk a következő 96y egyenletet:, vagyis. Helyettesítsük vissza az eredeti egyenletrendszer első egyenletébe: y 5 y 5 y y. Tehát az egyenletrendszer megoldása:, y. 7. Oldjátok meg az y 5 y, 4 y egyenletrendszert. Kiválasztjuk az változót, az első egyenletet szorozzuk 4-el, a másodikat nem bővítjük: 4 8y 0 Az egyenletrendszer a következőképpen alakul:, összeadjuk és kapjuk a következő 4 y egyenletet: 7y, vagyis y. Helyettesítsük vissza az eredeti egyenletrendszer első egyenletébe: 6 5 5 6. Tehát az egyenletrendszer megoldása:, y. 8. Oldjátok meg az y8, y, 54y egyenletrendszert. Kiválasztjuk például az y változót. Az első egyenletet szorozzuk -4-el, a másodikat -mal: 8y Az egyenletrendszer a következőképpen alakul:, összeadjuk és kapjuk a következő 5 y9 egyenletet: 7 7, vagyis. Helyettesítsük vissza az eredeti egyenletrendszer első egyenletébe: y 8 y 8 y 6 y. Tehát az egyenletrendszer megoldása:, y. 9. Oldjátok meg az 7 y 6, y, y egyenletrendszert. Kiválasztjuk például az változót. Az első egyenletet szorozzuk --vel, a másodikat nem bővítjük:

Az elsőfokú függvény 4 4y Az egyenletrendszer a következőképpen alakul: 6, összeadjuk és kapjuk a következő y 4 egyenletet: y, y, vagyis y. Helyettesítsük vissza az eredeti 6 6 egyenletrendszer masodik egyenletébe:. Tehát az egyenletrendszer megoldása:, y. 0. Oldjátok meg az y 5, y, y egyenletrendszert. Kiválasztjuk például az y változót, mert azt azonnal megkaphatjuk az első egyenletből: 5 y. Ezt behelyettesítjük a második egyenletbe: egyenletrendszer megoldása: 7 5, y. 5 5 7. Tehát az Javasolt példák eredménnyel. y0. Oldjátok meg az, y, y Eredmény:, y. y8. Oldjátok meg az, y, y Eredmény:, y. y 4. Oldjátok meg az, y, y 0 Eredmény:, y. y 6 4. Oldjátok meg az, y, 4y8 Eredmény: 0, y. y 5. Oldjátok meg az, y, 50y5 Eredmény:, y 0. y 6. Oldjátok meg az, y, y0 Eredmény: 4, y 8. egyenletrendszert. egyenletrendszert. egyenletrendszert. egyenletrendszert. egyenletrendszert. egyenletrendszert. 7. Oldjátok meg az y5, y, y 7 egyenletrendszert.

Az elsőfokú függvény Eredmény: 6, y 7. 7 5y 8 8. Oldjátok meg az, y, 5 8y Eredmény:, y. 7 y 9. Oldjátok meg az, y, 9 y Eredmény:, y. 4 egyenletrendszert. egyenletrendszert. y0 0. Oldjátok meg az, y, y Eredmény:, y. egyenletrendszert. 4

. Fejezet: Sorozatok Sorozatok Számtani sorozat (haladvány) Értelmezés: Azt a számsorozatot, amelynek minden tagját, a másodiktól kezdve, úgy kapjuk, hogy az előzőhöz ugyanazt a számot hozzáadjuk, számtani haladványnak nevezzük. Más szóval az a, a, a,..., a n, a n+, számsorozat számtani haladványt alkot, ha: a = a + r, a = a + r, a 4 = a + r,..., a n+ = a n + r, bármely n esetén. Ahol az r számot, a sorozat állandó különbségének (rációjának) nevezzük. Az (a n) számtani haladvány teljesen értelmezett, ha ismerjük az első tagját a és az r különbségét. Jelölése: (a n) Az (a n) számtani haladvány általános tagja felírható az első tag és az állandó különbség segítségével: a n = a + (n ) r, bármely n > esetén. Példák:. Ha a = és r = 4, akkor, a sorozat tagjai:, 7,, 5, 9,, 7,,.. a = +4 = 7, a = 7+4 =, a 4 =+4 = 5, a 5 = 5+4 = 9, a 6 =9+4 =,. vagy a = +4 = 7, a = + 4 =, a 4 = + 4 = 5, a 5 = +4 4 = 9, a 6 = +5 4 =,. Ha b = 0 és r = -, akkor, a sorozat tagjai: 8, 6, 4,, 0, -, -4, -6,.. b = 0+(-) = 8, b = 7+(-) = 6, b 4 =6+(-) = 4, b 5 = 4+(-) =, b 6 =+(-) = 0,. vagy b =0+(-) = 8, b = 0+ (-) = 6, b 4 =0+ (-) = 4, b 5 = 0+4 (-) =, b 6 =0+5 (-) = 0, Tulajdonságok: Bármely számtani haladványban: a a. a n = középarányosa. n n, n>, vagyis minden tag, a másodiktól kezdve a szomszédos tagok számtani n. Az első n tag összege: S n= a + a + a + + a n = a a n Megoldott feladatok:. Adott az ( an) n számtani haladvány, amelyben a és a5. Számítsd ki a 05. 5

Sorozatok Előbb kiszámítjuk az r állandó különbséget. Tudjuk, hogy a5 a 4r 4r 4r r. Alkalmazzuk az általános tag képletét: a a 04r a 04 a 604 a 604 05 05 05 05. Adott az ( an) n számtani haladvány, amelyben a 5 és a6. Számítsd ki a, r, a9, a, S. Mivel a = a + r, a 6 = a +5 r, a különbség közöttük r és a 6 a = 6, vagyis r = 6, r = 6 =. Az a = a + r egyenletbe behelyettesítve, kapjuk: 5 = a + 4, ahonnan a =. a 9 = a +8r, a 9 = +6 = 7, a = a + 0r, a = + 0 =, S a a a, kiszámoljuk az a -t. a = a + r, a = + =, 4 S 44. Az első tag összegét kiszámíthatjuk úgy is, hogy kiszámoljuk a tagokat és összeadjuk. S = + + 5 + 7 + 9 + + +5 +7 + 9 + + = 44.. Számítsd ki az 5 9... 5 összeget! Észrevesszük, hogy az összeg tagjai számtani haladványban vannak. Az első tag a =, r = 4. Megnézzük, hogy a 5 hanyadik tagja a sorozatnak, alkalmazva a képletet. a n = a + (n-)r, 5 = + (n-) 4, kivonva mindkét oldalból -et, a következőt kapjuk: 4 = (n-) 4, amit ha elosztunk 4-el megkapjuk, hogy n- = 6, ahonnan n = 7. Kiszámoljuk az első 7 tag összegét. S a a 7 5 7 67 7 9 7 7 Másik lehetőség az összeg kiszámítására, ha felírjuk az összes tagot: +5 + 9 + + 7 + + 5 = 9 4. Határozd meg valós értékét, ha, 4, egy számtani haladvány három egymás utáni tagja. Felhasználjuk azt a tulajdonságot, hogy bármely tagnak és az őt megelőző tagnak a különbsége állandő. Vagyis: 4 (-) = + 4 4 + =, 7 = 8 = = 4. 6

Sorozatok Egy másik lehetőség a feladat megoldására, ha felhasználjuk azt a tulajdonságot, hogy vagyis a a a 4 4 4. 5. Határozd meg az a n n számtani haladvány r különbségét, ha tudjuk, hogy a0 a 6. a a, n n an Mindkét tagot felírjuk az általános tag képlete segítségével. a0 a 9 r és a a r majd behelyettesítjük: a 9r a r 6. Felbontjuk a zárójelet a 9r a r 6 8r 6 r. Javasolt feladatok:. Adott az a számtani haladvány, amelyben n n első tíz tagjának az összegét! a és a 4. Számítsd ki a számtani haladvány. Adott az a n n számtani haladvány, amelyben a 7 és r. Számítsd ki a 8.. Határozd meg az a n n számtani haladvány első 6 tagjának összegét, ha a és a 5. 4. Adott az ( an) n számtani haladvány, amelyben a 7 és a 6. Számítsd ki a 7. 5. Adott az a n n számtani haladvány, amelyben a 5 és a. Számítsd ki a haladvány első 0 tagjának összegét. 6. Adott az ( an) n számtani haladvány, amelyben a 7 és a7 7. Számítsd ki a haladvány első tíz tagjának összegét. 7. Számítsd ki a számtani haladvány ötödik tagját, ha a haladvány első tagja 7 és a második tagja 9. 8. Határozd meg az valós számot, ha tudjuk, hogy az,, 9, 4, sorozat egy számtani haladvány! 9. Számítsd ki az... összeget. 0. Számítsd ki a 58 6 összeget.. Számítsd ki a 9 összeget.. Határozd meg az valós számot, ha az +, és + számok egy számtani haladvány egymás utáni tagjai.. Határozd meg egy számtani haladvány első tagját, ha az állandó különbség 8, és az első két tag összege 0. 4. Határozd meg értékét tudva, hogy, és egy számtani haladvány egymás utáni tagjai. 5. Határozd meg az valós számot tudva, hogy, 4 és egy számtani haladvány egymás utáni tagjai. 6. Határozzuk meg az a valós számot, ha tudjuk, hogy az 5; (+a) és számtani haladványban vannak. 7. Az a, -6, b, egy számtani haladvány egymásután következő tagjai. Számítsuk ki a bértékét. 7

Sorozatok 8. Határozzuk meg az első tagját és az állandó különbségét az a n számtani haladványnak, ha n a 4 a6 46 és a7 a 0. 9. Egy a n n számtani haladvány állandó különbsége és a.számítsuk ki a haladvány első 0 tagjának összegét. 0. Tudva, hogy az a n n egy számtani haladvány, amelyben a0 0 és a5 5, határozzuk meg a - et és az r állandó különbséget.. Ha az ( an) n sorozat számtani haladvány, amelyben a5 és a7, számítsuk ki a6 -ot.. Az a n n sorozat egy számtani haladvány, amelyben a5 7 és a0 7. Határozzuk meg az a n n. Az a n n a n n sorozat első tagjának az összegét. sorozat egy számtani haladvány, amelyben a6 7 és a9 6. Határozzuk meg az haladvány első 5 tagjának összegét. Mértani sorozat (haladvány) Értelmezés: Azt a számsorozatot, amelynek minden tagját, a másodiktól kezdve, úgy kapjuk, hogy az előző tagot szorozzuk ugyanazzal a nullától különböző számmal, mértani haladványnak nevezzük. Más szóval a b, b, b,... b n, b n+, számsorozat mértani haladványt alkot, ha: b = b q, b = b q, b 4 = b q,..., b n+ = b n q, bármely n esetén. Ahol a q számot, a sorozat állandó hányadosának nevezzük, b 0. b b b bn q... b b b b 4 n A (b n) métani haladvány teljesen értelmezett, ha ismerjük az első tagját b és a q hányadost. Jelölése: b n n A (b n) mértani haladvány általános tagja felírható az első tag és az állandó hányados segítségével: b n = b q (n-), bármely n > esetén. Példák:. Ha b = és q = 4, akkor, a sorozat tagjai:,, 48, 9,.. b = 4 =, b = 4 = 48, b 4 =48 4= 9,. vagy b = 4 =, a = 4 = 48, b 4 = 4 = 9,. Ha b =0 és q= -, akkor, a sorozat tagjai:0,- 0, 40, -80, 60, -0, 640, -80,.. b = 0 (-)= -0, b = (-0) (-) = 40, b 4 =40 (-) = -80, b 5 = -80 (-) = 60, b 6 =60 (-) = -0,. vagy b =0 (-) = -0, b = 0 (-) = 40, b 4 =0 (-) = -80, b 5 = 0 (-) 4 = 60, 8

Sorozatok b 6 =0 (-) 5 = -0, Tulajdonságok: Bármely pozitív tagú mértani haladványban:. b b b, n, vagyis minden tag, a másodiktól kezdve mértani közepe a vele szomszédos két n n n tagnak. Vagy más formában: bn bn bn, n. Bármely mértani haladvány esetén az első n tag összege: n, n. n q Sn b, q q Megoldott feladatok:. Adott a b n n mértani haladvány, amelyben b és az állandó hányados haladvány első négy tagjának az összegét. Felírjuk minden tagját, majd összeadjuk. b b q, b b q, b4 b q 4 4 4 4 6 6 4 64 64 6 4 5 Sn b b b b4 4 6 64 64 64 4. Számítsuk ki a. Határozzátok meg az y n n mértani haladvány első két tagját: y, y, 6,08, 4,... Mivel ismerjük a harmadik és negyedik tagot, meghatározhatjuk az állandó hányadost. y4 08 6 y 6, y4 08 q 4 y 6 y y y y q q. Adott a b n n mértani haladvány, amelyben b 6, b5 4. Határozzuk meg a b7, b9, b 0. Előbb kiszámítjuk az állandó hányadost a két megadott tagból. Az általános tag képletét felhasználva: 4 4 b5 b q 5 b b q b b q, b b q q, másrészt b 4 5 4 b 6. 6 b b q 6 b 4 b. Ismerve a 4 b et és q t, kiszámoljuk a tagokat..eset: 6 7 6 b, q b7 b q 64 9,.eset: 8 9 7 b b q b q 9 9 4 768, b b q 768 56 0 9 q 4 q vagy q. 9

Sorozatok 6 7 6 b, q b7 b q 64 9, 8 9 7 b b q b q 9 9 4 768, b b q 768 56 0 9 4. Számítsátok ki az alábbi összeget: 0.... Az összeg tagjai mértani haladványt alkotnak. Az első tagja b, q és van tagunk. 0,,,,..., b b Felhasználjuk az első n tag összegének képletét. S q 048 b 047. q Kiszámíthatjuk úgy is, hogy kiszámoljuk minden tagját és összeadjuk. 0... 4 8 6 64 8 56 5 04 047 5. Egy sorozatnak az a tulajdonsága, hogy bármely n, n esetén az első n tag összege S 4. Döntsük el, hogy a sorozat mértani haladvány-e. Kiszámoljuk az S et. S b 4. Majd rendre felírjuk S, S, S 4. S 4 6 5 b b 5 b 5 b 5. S 4 64 6 b b b 6 5 b 6 b 6 5 48 Mivel megvan három tagja, következtethetünk az állandó hányadosra. b b 48 q 4, illetve q 4 b b. Mindkét esetben ugyanazt kaptuk. Ellenőrizzük az első n tag n n n q 4 4 n képletét: Sn b 4. Vagyis egy mértani haladvány. q 4 6. Határozd meg értékét tudva, hogy az, és 5 számok egy mértani haladvány egymás utáni tagjai. n n Mivel mértani haladványt alkotnak, felhasználjuk az első tulajdonságot: n n n b b b. b, b, b 5 b b b 5 Elvégezzük a műveleteket és rendezzük az egyenletet. 5 5 5 5 0 40

6 0 Beszorozzuk Sorozatok -el és megoldjuk a másodfokú egyenletet. 6 0, a, b, c 6, b 4 ac, 46 4 5, b b 4ac 5 5,,. a. eset: Ha, akkor a három tag:,, 9. Az állandó hányados q.. eset: Ha, akkor a három tag: 4,,. Az állandó hányados q. Javasolt feladatok:. Adott az a n n mértani haladvány, amelyben a és az állandó hányados haladvány első négy tagjának az összegét. 4. Számítsuk ki a. Határozd meg a ( bn) n mértani haladvány első három tagjának szorzatát, ha az első tagja és az állandó hányadosa q.. Számítsd ki egy mértani haladvány első négy tagjának szorzatát, ha első tagja hányadosa 5. és állandó 5 4. Határozd meg egy mértani haladvány negyedik tagját, ha az első tag 6 és a hányados. 5. Adott a b n n mértani haladvány, amelyben b és b. Számítsd ki b 4. 6. Határozd meg annak a mértani haladványnak a kilencedik tagját, amelynek állandó hányadosa első tagja 4. és 7. Számítsd ki 6 összeget. 8. Számítsd ki. 4 9. Ha az, 4 értékét. és számok mértani haladványban vannak, határozzuk meg az valós szám 0. Határozzuk meg -et ha tudjuk, hogy az,, és 5 számok mértani haladványban vannak és,. Eredmények Számtani haladvány:. S0 0 ;. a8 5 ;. S6 57 ; 4. a7 ; 5. S0 85 ; 6. S0 95 ; 7. a5 5 ; 8. =; 9. S 67; 0. S9 6 ;. S0 470 ;. =4;. a 6 ; 4. =8; 5. =5; 6. a=5; 4

Sorozatok 7. ab ; 8. a, r 5; 9. S0 60 ; 0. a, r ;. a, r 5, a6 77 ;. a r S, 4, 76 ;. a, r, S5 45 5 Mértani haladvány:. S4 ;. 8 5 5 ; 4. a4 ; 5. q, b4 7 ; 5 5 ;. 45 6. b9 ; 7. S7 7 ; 8. b9 ; 9. 5 vagy 5 ; 0. 7 8 5 4 4

4. Fejezet: Másodfokú függvény Másodfokú függvény Alapok Értelmezés: f: R R, f() = a + b + c ahol a, b, c R, a 0 Valós gyököknek nevezzük azokat a valós értékeket, amiket behelyettesítve a függvénybe 0-t kapunk, vagyis az a + b + c = 0 másodfokú egyenlet megoldásai A másodfokú függvény gyökeinek kiszámítása:, = b± Δ a ahol Δ = b 4ac. Csak akkor léteznek valós gyökök, ha a Δ 0 mert csak akkor lehet elvégezni a gyökvonást. Ha a Δ > 0, akkor két különböző valós gyököt kapunk, ha a Δ = 0, egybeeső gyököket ( = ). Ha léteznek valós gyökök, akkor a másodfokú kifejezés felbontható szorzattá a következő módon: a + b + c = a( )( ) Gyakorlatok:. Legyen f() = + 8 Számítsd ki az f(f()) f() kifejezés értékét! f() = + 8 = 8 = 6. f(f()) = f( 6) = ( 6) + ( 6) 8 = 6 6 8 =. f() = + 8 = 4 + 8 = Tehát a végeredmény: f(f()) f() = ( ) = + = 4.Adott az : f, f 6 függvény. Számítsd ki f f f f f 0 9... 0... 9 0. Megkeressük a függvény gyökeit. Most a=, b=0, c=-6. Gyökök: Δ = 0 4 () ( 6) = 64, = 0± 64 = ± 8 = ±4 A képlet szerint a függvény gyökei -4 és 4. Mivel f( 4) = ( 4) 6 = 6 6 = 0, a szorzat 0, nem is szükséges további tényezőket kiszámolni..adott az : megoldásait. f, f függvény. Határozd meg az f f 0egyenlet valós f () = f() f() = ( + ) = + 4 + 4 tehát: f () + f() = + 4 + 4 + ( + ) = + 5 + 6 vagyis az eredeti egyenlet egyenértékű az + 5 + 6 = 0 vagyis : Gyökök: Δ = 5 4 () (6) = 4 =, = 5± = 5 4.Határozz meg egy olyan másodfokú egyenletet, amelynek gyökei az 4 és. ( 4)( ) = 6 + 8 = 6 =, = 5+ = 4

5. Számítsd ki az metszéspontjai közötti távolságot! Másodfokú függvény f :, f 6 5 függvény grafikus képének az O tengellyel való Most a=-, b=-6, c=5 Az O tengellyel való metszéspontok valójában a gyökök., = ( 6)± 6 4 ( ) 5 ( ) = 6± 6 A köztük levő távolság = 5 = 4 6. Határozd meg az = 6±4 =, = 5. E 6 7 kifejezés értékét -re. Vagy elvégezzük a kijelölt műveleteket mint binom négyzetre emelése, vagy észrevesszük, hogy ha kiszámoljuk az 6 7 0 egyenlet gyökeit, azt kapjuk, hogy az egyik gyök pont. Tehát ha behelyettesítjük a kifejezésbe, 0-át kapunk. 7. Ha az 0 0egyenlet egyik megoldása, akkor igazold, hogy 0 Észrevesszük, hogy 0 nem gyöke az egyenletnek, tehát nem zéró, az adott kifejezést beszorozhatjuk -el. Kapjuk, hogy ( ) = 0, azaz = 0 ami egyenértékü az 0 = 0 egyenlettel. Ami igaz, mert gyöke az egyenletnek, tehát az teljesül. Javasolt feladatok:.adottak az, : f g, f 5 és 44 g függvények. Határozd meg az f ( ) g( ) egyenlet valós megoldásait. E: = 0 = 6.Adott az :.Adott az : 4.Adott az : 5.Adott az f, f 5 függvény. Számítsd ki f f f f, f 4 5 függvény. Számítsd ki f f 0 f 4 0... 6. E: 0 E: 46 f, f 6 5 függvény. Számítsd ki f 0 f f 05 E: 0 f :, f ( ) 4 függvény. Számítsd ki az f ( ) f ( ) f (0) f () f () szorzatot. E: 0 6.Határozd meg az 7.Adottak az E 4 kifejezés értékét -re. E: 0 f, g :, f ( ) 5 6, g( ) függvények. Oldd meg az f ( ) g( ) 5 egyenletet. E: d = 0 = 5 8. Adott az : f, f függvény. Számítsd ki az f függvény grafikus képének az O tengellyel való metszéspontjai közötti távolságot! E: 4 9. Ha az 5 0 egyenlet egyik megoldása, akkor igazold, hogy 5 0. Adott az : f f függvény. Old meg az f () f() = egyenletet E:, = ± 7