TERÜLETI STATISZTIKA, 015, 55(5): 470 483. DR. ARATÓ MIKLÓS Bztosítások terület kockázatának meghatározásáról A bztosítóknál dolgozó aktuárusok egyk legfontosabb feladata hagyományosan a díszámítás. A szükséges díszntet nagyon sok tényező együttesen határozza meg. Ilyenek például a bztosítás szerződés azon ellemző, amelyek befolyásolák a károk számát és nagyságát, a törléseket. Igen fontos tényezők még a költségek, a utalékok, a tőkeköltségek és a tuladonosok nyereségelvárása s. Jelen ckkben a szerződők lakcímének, telephelyének a károk számára és nagyságara történő hatásával foglalkozom. Ezen hatások helyes meghatározása segíthet a bztosítókat a veszteségek elkerülésében, az állományszerzésben, valamnt az állományvesztés elkerülésében. A bztosítás gyakorlatban a terület számítások gyakran ad hoc történnek. Munkámban elgazítást kívánok adn a megfelelő modell kválasztásához. Ehhez egyrészt bemutatom az alkalmazható modellek körét, másrészt smertetem a modellkválasztást segítő módszereket. Az egyetem oktatás keretén belül ezekre a témákra sok más fontos terület mellett nem ut elegendő dő, és a téma specaltása matt nem s tartom feltétlenül ott oktatandónak. Az smertetésre kerülő elárásokra, módszerekre vonatkozóan magyar nyelvű rodalom nem áll rendelkezésre, így tanulmányomat e szempontból s hánypótlásra szánom. Reményem szernt a következőkben smertetett elárások más alkalmazás területeken tevékenykedők számára s hasznosíthatók. Az 1. feezetben bemutatom a magyarország tapasztalatokat a terület dídfferencálás témaköréből. Történet áttekntés után a díak terület megkülönböztetésének elenleg helyzetét vzsgálom meg. A terület díkülönbözőségeken túl azt s bemutatom, mlyen tényezők befolyásolhaták ezeket. Külön ktérek a katasztrófa károk különbözőségére, mvel meggyőződésem szernt ezek becslésére nem elegendő csak a saát kártapasztalatok fgyelembevétele, hanem hdrológa, geofzka modellek képítésére s szükség van. A terület epdemológa (spatal epdemology) és a betegségtérképezés (dsease mappng) a terület, térbel statsztka (spatal statstcs) egyk legnkább kdolgozott területe. Ezen elemzések során amennyben a vzsgálatokba sok terület egységet vonnak be egy-egy egységben a megfgyelések (megbetegedések) száma általában alacsony, ezért ahhoz, hogy a terület kockázatokat megbecsülék, szükség van a háttérváltozókra összefüggőség struktúrákat feltételezn. Ez lényegében bayes megközelítésnek felel meg. Az alkalmazott modelleknél általános, hogy szomszédság feltételeket és szomszédság összefüggéseket állítanak fel. Igen gyakor a Markov-tuladonság feltételezése s, tehát, hogy egy terület egység kockázata az összes több kockázattól csak a szomszéda kockázatán keresztül függ. A legnagyobb hatásúak talán Clayton, Kaldor (1987) és Besag, York, Mollé (1991) munká voltak. Ezek a ckkek nsprálták az első, terület kockázatokkal foglalkozó bztosításmatematka ckkeket s. Az általam legfontosabbnak tartott terület aktuárus modelleket a másodk feezetben mutatom be. A harmadk feezetben egy magyarország nem életbztosítás állomány terület szempontú elemzését mutatom be. Az ehhez kapcsolódó adatbázs-állomány több mnt félmlló
TERÜLETI STATISZTIKA, 015, 55(5): 470 483. BIZTOSÍTÁSOK TERÜLETI KOCKÁZATÁNAK MEGHATÁROZÁSÁRÓL 471 szerződés és több mnt százezer kár adatát tartalmazza. Az adatokra több modellt s llesztettünk. Az llesztés mellett bemutatom azt s, hogy mlyen módszerekkel választhatunk a különböző lehetőségek közül. Kemelten fontosnak tartom az egyed szerződés- és káradatok felhasználását. Ez sokkal megbízhatóbbá tesz a választás döntést, mnt a publkácók döntő részében felhasznált adataggregálás. Annak ellenére, hogy üzlet ttkok megsértése nélkül csak az adatok egy részét mutathatom be, remélem, hogy az aktuárusok fel tudák használn munkáukban az elemzés módszeret. Magyarország tapasztalatok Magyarországon a II. vlágháború előtt gen felett bztosítás pac működött. Ennek megfelelő volt a bztosításmatematka színvonala s, de a nemzetköz gyakorlatnak megfelelően a bztosításmatematkusok (aktuárusok) elsősorban az életbztosításokkal foglalkoztak. A nem életbztosítások díanál már a 19. században s megelent vdék, nem vdék megkülönböztetés. Nncs nformácónk arról, hogy mlyen díszámítás módszereket alkalmaztak a dímegkülönböztések meghatározásához. A szocalzmus korszakában 195-től 1986-g egyetlen bztosító működött: az Állam Bztosító. Ebben az dőszakban a nyereséges működés ks szerepet átszott és a nem életbztosítás díszámításra csekély fgyelmet fordítottak. 1986-ban a vállalat két részre bomlott, az Állam Bztosítóra és a Hungára Bztosítóra. 1988-tól kezdtek megelenn tovább versenytársak s a magyar pacon, napankban már néhány tucat bztosító működk. Ez a változás hozzáárult a kalkulácós eszközök felesztéséhez. 1986-ban létrehozták az Állam Bztosításfelügyeletet, amelynek kora korszakában egyk legfontosabb feladata a termékengedélyezés volt. A díkalkulácók tekntetében az engedélyezés 1991-től már nem a díak szntére koncentrált, hanem az alkalmazott módszerek megfelelőségét vzsgálták. A termékengedélyezés először a nem életbztosításoknál szűnt meg az 1990-es évek közepén, utána nem sokkal az életbztosításoknál s. A kötelező gépármű-felelősségbztosításnál (KGFB) azonban még a 000-es évek eleén s csak a felügyelet által engedélyezett díakat lehetett alkalmazn. Az ú cégek 1988-as megelenésétől kezdve a bztosítók fokozatosan egyre több szempontot kezdtek fgyelembe venn a kockázatok díának meghatározásánál. Az életbztosítások esetében a hagyományoknak megfelelően elsődlegesen az életkor és a nem (ez utóbb megkülönböztetés unós előírás matt már nem lehetséges) határozta meg a díat, továbbá betegség és néha dohányzás és elhízás matt emelték meg az alapdíat. Más tényezőket sem korábban sem most nem vesznek fgyelembe. A nem életbztosításoknál a szerződés ellege szernt gen sok tényezővel számolnak. Ilyenek például a gépármű-bztosításoknál a gépkocs típusa, színe, telesítménye, a lakásés egyéb ngatlan bztosításoknál a lakóépület magassága, tetőzete, építés éve, az egyéb kockázatoknál akár a szerződő életkora, a szerződés megkötésének éve. A budapest nem budapest megkülönböztetés már az 1990-es évek eleétől megelent a casco-, a lakás- és a balesetbztosításoknál. Többen a vdék nagyobb városokra s külön dítételeket határoztak meg. Nagyon részletes terület dístruktúrát azonban most sem alkalmaznak a kötelező gépármű-felelősségbztosítás (KGFB) kvételével. A KGFB bztosítás alapon (nem benznárba építve) 1991 úlusában ndult. Több éven keresztül a díat központlag határozták meg és az a személygépkocsknál csak a gépkocs
TERÜLETI STATISZTIKA, 015, 55(5): 470 483. 47 DR. ARATÓ MIKLÓS motorának térfogatától függött. A dílberalzácó után a bztosítótársaságok egyre több terület kategórát s bevezettek. A bztosítók ogszabály kötelezettsége, hogy KGFB dítételeket nylvánossá tegyék. A http://www.mabsz.hu/hu/kgfb-dtarfak.html oldalon valamenny olyan bztosító día megtalálható, amelyek KGFB-vel foglalkoznak. Ez lehetővé tesz, hogy összehasonlítsuk a különböző cégek terület besorolásanak hasonlóságat és különbözőséget. Az összehasonlíthatóság lehetősége egyedülálló, egy másk terméknél sncs mód lyen egyszerűen megfgyeln a bztosítók tarfát. Az egyes tarfákban a terület csoportok száma 5 és 40 között. A legdrágább és legolcsóbb dí terület matt eltérése s bztosítónként más és más, leggyakrabban az arány kétszeres. A tarfákban a terület besorolás matt elég elentősek az eltérések az egyes bztosítók között. Ez azonban nem feltétlenül elent azt, hogy a végső, megállapított díakban s elentősek az eltérések, hszen a dímeghatározásánál a terület mellett sok más tényezőt s fgyelembe vesznek. Az egyéb kockázat szempontoknál (kor, nem, gépkocs típusa stb.) alkalmazott eltérő szorzók összességében hasonló díat eredményezhetnek. Mtől függnek a terület díeltérések? Az alábbakban felsorolunk néhány lehetséges tényezőt. Várható kárkfzetés. A dímeghatározásnál ez a legfontosabb szempont. Szerződések várható élettartama, törlés valószínűségek. Más termékek eladás lehetősége. Kockázatok koncentrácóa. A 016-tól érvényes az Európa Unóban a Szolvenca szabályozás sokkal nagyobb hangsúlyt fektet a kockázatoktól függő szavatolótőke-szükségletre. A katasztrófakockázat matt tőkeszükséglet erősen függ attól, hogy közel területeken menny a lakás- és a vállalatvagyon-bztosítás összeg. A szavatolótőke-szükséglet most már egyre több bztosítónál díbefolyásoló tényező és a katasztrófakockázat matt főleg Budapesten növelhet a díat. Más bztosítók díanak hatása. A verseny matt a bztosítók eltéríthetk díakat az általuk reálsnak tartottól s. A díak szntét még erősen befolyásolák a költségek, ezen belül a utalékok. Ezeket azonban Magyarországon nem szokták terület alapon dfferencáln. Ckkünkben csak a kárkfzetések terület különbözőségének vzsgálatával fogunk foglalkozn. Mlyen adatok felhasználásával történnek a számítások? Amennyben a bztosító most kezd a működését, vagy telesen ú termék teresztését kezd meg, akkor legnkább más bztosítók dítételere és a vszontbztosítók tanácsara alapoz. Élet-, betegség- és balesetbztosítások esetében a saát tapasztalattal rendelkező bztosítók s fel szokták használn az elérhető KSH, ONYF és más statsztkákat. A halandóság eltérések kstérség szntű eltérésevel kapcsolatban megemlíthető Arató Dryden Taylor (006) és Bálnt (011) tanulmánya. Azonban az egész népességre vonatkozó mortaltás, egészségügy adatok csak korlátozottan alkalmasak bztosító felhasználásra. Például az üzlet bztosítással rendelkezők halandósága 30 50%-kal ksebb a néphalandóságnál. Ezt a terület dfferencálásnál s fgyelembe kell venn, mert a halálozásokat nagyban befolyásoló kereset, foglalkoztatás
TERÜLETI STATISZTIKA, 015, 55(5): 470 483. BIZTOSÍTÁSOK TERÜLETI KOCKÁZATÁNAK MEGHATÁROZÁSÁRÓL 473 adatok terület különbsége sokkal ksebbek a bztosítottak csoportára szűkítve. Casco bztosításoknál fel szokták használn az autólopás és közlekedés baleset adatokat, a lakásbztosítások betörés lopás modulánál pedg a betörések számát. Nem katasztrófakockázatoknál a legfontosabb forrás a saát szerződés- és káradatbázs. Ezek felhasználhatóságánál krtkus a bztosító adatnylvántartás-vezetésének megfelelősége. A terület adatok vonatkozásában például szerencsés, ha nemcsak a szerződő lakhelyének címe, hanem a kockázatvselés helyének címe s rendelkezésre áll. Gyakran csak a posta rányítószám van feldolgozható formában rögzítve, ez azonban több esetben még a települést sem azonosíta. A károknál alapvető, hogy a kár dőponta, a beelentés dőponta és a kfzetés(ek) dőponta s rögzítve legyen. A több nem életaktuárus számításhoz hasonlóan mndg tekntetbe kell venn a beelentés és kfzetés késlekedést. Elvleg előfordulhat, hogy ebben s különbség van a különböző területek között. A természetkatasztrófa-kockázatok közül a vharkárokra a bztosítók elentős része megfelelő saát tapasztalattal rendelkezk, bár az s kérdéses, hogy Magyarországon a vharok teknthetők-e katasztrófakockázatnak. Az árvíz- és földrengéskockázat azonban semm esetre sem elemezhető csak a saát adatok segítségével. Szerencsére az utolsó gazán elentős károkat okozó árvíz 1970-ben volt, míg az utolsó elentős földrengés a 16. században fordult elő Pest-Budán. Ennek ellenére az lyen károk egyáltalán nem elhanyagolhatók. Gondolunk bele, ha egy 30 mlló forntos ház helyét átlagosan 100 évente önt el az árvíz, akkor az lyen esetre 15 mlló forntos kárt feltételezve, a várható éves kárkfzetés csak árvízkárokra 150 ezer fornt. Mnden költség, kockázat ráhagyás nélkül! Jelenleg a mnden kockázatra kteredő bztosítások s sokkal olcsóbban kaphatók. Mvel lyen veszélyességű terület nem kevés van Magyarországon, erre feltétlenül tekntettel kell lenn a díak meghatározása során. Az árvízkockázatok megfelelő felmérését csak hdrológa, vízügy mérnök elemzések, kutatások segítségével lehet elvégezn. Jelenleg hazánkban nagyon ks mértékben különböztetk meg árvíz-veszélyesség szempontból a bztosítás szerződéseket, lényegében csak bzonyos területeket zárnak k a szerződéskötés lehetőségből. Valóában az árvíz díszükségletet szétterítk a teles veszélyközösségre. Ez a porlasztás, áthárítás csupán addg tehető meg, amíg nem elenk meg egy olyan szereplő a pacon, amely az árvízzel nem veszélyeztetett területeken nem kínál olcsóbb bztosításokat. A földrengéskockázatok megfelelő felmérése csak földrengéskutatók (geofzkusok) segítéségével oldható meg. Ők rendelkeznek olyan földrengés-adatbázssal és geofzka modellel, amellyel modellezhető a földrengések előfordulás helye, mélysége, magntudóa és teredése. Az adott ntenztású rengések által okozott károk meghatározásához külföld bztosítás tapasztalatokat avasolt felhasználn, de tekntettel kell lenn arra, hogy az eltérő építés kultúra és szabályozás, esetleg egyéb tényezők matt ezek magyarország felhasználhatósága csak korlátozott. A magyarország települések földrengés veszélyeztetettsége eltérő, azonban az eltérések nem túl nagyok. Például az, hogy egy rég család ház rendelkezk-e betonkoszorúval sokkal fontosabb kockázat tényező, mnt a ház terület elhelyezkedése. Jelenleg nem tudok magyarország dímegkülönböztetésről földrengéskockázat matt. Hogyan határozzák meg a bztosítók a kockázat díszükségletet? Módszere nem nylvánosak. Azt lehet tudn, hogy egyes cégek aktuárus szoftvereket, mások saát felesztésű
TERÜLETI STATISZTIKA, 015, 55(5): 470 483. 474 DR. ARATÓ MIKLÓS programokat használnak. A leggyakorbb, hogy mnd a kárdarabszámra, mnd a kárnagyságra általánosított lneárs modellt (GLM) alkalmaznak. Ez persze azt feltételez, hogy mnd a területeknél, mnd a koroknál már elvégezték a csoportosítást. Nem életbztosítás magyarország terület becslésekről eddg a Márkus Arató Proka (010) és Vtéz (007) tanulmánya elentek meg. Bztosítás kockázatok terület becslésének szakrodalma A terület kockázatok aktuárus-statsztka vzsgálatát általában nagyon nehezítette a települések relatíve magas száma és így az smeretlen paraméterek száma gyakran kezelhetetlennek bzonyult. Ematt gyakran gaz statsztka modellek alkalmazása nélkül, egyes ellemzők (pl. kárhányad, kárgyakorság) segítségével történt a tarfabesorolás (az lyen ellegű érdekesebb publkácók közül lásd például (Brubaker 1996, Chrstopherson Werland 1996, Guven 004, Wang Zhang 003). A bztosítás kockázatok terület különbséget tudományos gényességgel először Taylor vzsgálta (1989). Ausztrála ngóságbztosítások régós szntű kárarányara és kárgyakorságara llesztett smításként kétdmenzós splneokat. Boskov és Verrall publkálta az első olyan aktuárus ckket (1994), amely felhasználta a térbel statsztka eredményet. A szerződéseknek csak a földraz helyét smerték és ennek hatását becsülték. A betegségtérképezéshez hasonlóan felsmerték azt, hogy a területek nagy száma matt a területenként önálló becslés nem adna megbízható becslést. A modell lényegében Besag, York és Mollé modelle (BYM) (1991) volt, tehát a kárszámokról Posson-eloszlást feltételeztek, a kárszámntenztásra egy lognormáls modellt, ahol erőteles a szomszédság hatás. A modellben és a számításokban a károk számát és a szerződésszámokat (vagy az előzetes számításokban már meghatározott több hatás szorzóával módosított szerződésszámokat) régónként (területenként) összesítették és ezekre az összesített értékekre számoltak. Rövden bemutatuk modellüket. Az -edk régó kárszámát elölük η -vel, feltételes eloszlásuk Posson. Legyen a -edk régó Posson paramétere, amt a következő alakban keresünk: e x, (1) log( x ) t u v. Az e a szerződésben töltött dő módosított értéke, t az -edk régó smert hatása, u a terület függőség hatás, v a véletlen ngadozás. Ez utóbbról feltételezzük, hogy azonos eloszlású 0 várható értékű független normálsak. Ha smerük x -t, a károk számának eloszlása a következő módon adható meg: exp( e x )( e x ) y ) P( y x () y! Térünk rá a térbel hatás változónak eloszlására. A szerzők a BYM modellhez hasonlóan összefüggést tételeztek fel a szomszédos régók között. Ehhez persze defnáln kell egy szomszédság vszonyt a régók között. Szomszédosnak lehet teknten a közös határral rendelkező régókat, de településeknél gyakor például, hogy a valamlyen rögzített távol-
TERÜLETI STATISZTIKA, 015, 55(5): 470 483. BIZTOSÍTÁSOK TERÜLETI KOCKÁZATÁNAK MEGHATÁROZÁSÁRÓL 475 ságnál közelebbek a szomszédok. Jelöle azon ndexek halmazát, amely sorszámú régók szomszédosak a. régóval. Ekkor alkalmazható a Markov-mező-modell, amelyben az U -k a pror eloszlását, a hperparaméter mellett a következőnek választuk: 1 [ u u,, ] N ( u, ). ahol x y típusú elölés folytonos esetben az f x ( x Y y ) feltételes sűrűségfüggvény, dszkrét esetben a P X x Y y helyett áll. -vel elölük az eloszlásban egyezőséget, vagy a konstans szorzótól eltekntve egyenlőt. U feltételes eloszlása tehát normáls, a várható értéke a szomszédos U k átlaga, szórása pedg a szomszéda számával fordítottan arányos. Ekkor az U -k együttes eloszlása a következőképpen írható fel: m 1 1 [ u ] exp ( u u ) 1, A hperparaméter azt mutata, hogy mlyen mértékű hasonlatosságot tételezünk fel a szomszédos régók között. Ha a -t 0-nak választuk, akkor a pror mnden U azonos lesz, míg választással az egyes régók hatása egymástól független. Persze általában nncs megbízható nformácó a régók közt összefüggés mértékéről, gyakran -t s valószínűség változónak tekntük. Boskov és Verrall munkáának továbbfelesztését elentk azok a (Brouhns Denut Masuy Verrall 00, Denut Lang 004) publkácók, ahol megpróbálák egyszerre kezeln a különböző kockázat tényezőket. Denut és Lang ckkének (004) térbel modelle megegyezk az előzővel, de tt szerződésszntű modellről van szó. Az egyes szerződések kárszámát elölük Y -vel, feltételes eloszlásuk tt s Posson. Amennyben s kockázat tényező (például kor, nem, kocs típusa, lakóház magassága stb.) befolyásola a kárdarabszámot, akkor az. szerződő Posson paraméterére és ennek logartmusára feltételezték, hogy 1 s log( ) log( e ) 0 k.... 1, k u s, r v r m Itt e a szerződésben töltött dőt, az. szerződőre ellemző m. kockázat csoport k m, hatását elöl. u r és vr az. szerződéshez tartozó településnek, régónak a hatását ada. Ezek eloszlása megegyezk Boskov és Verrall ckkében szereplővel. Y -kről feltételezték, hogy feltételes függetlenek és Posson eloszlásúak, így a Bayestétel segítségével felírható U -k a posteror eloszlása: n 1 s 1 [ u uk, k,,, y] exp exp(loge 0 k... u ) exp( y u ) exp( u' Ku) 1, k s, 1, r ahol K egy négyzetes mátrx (l a sorok száma megegyezk a régók számával), amelynek eleme a főátlóban a megfelelő régó szomszédanak száma: Kr, r r, a több helyen K r,s = 1, ha az r. és s. régó szomszédosak, egyébként 0. A a már említett hperparaméter, amely azt mutata, hogy mlyen mértékű hasonlatosságot tételezünk fel a szomszédos régók között. a pror eloszlását Lang és Denut nverzgammának választotta, elsősorban a számolások megkönnyítése végett. A hperparaméter a posteror eloszlását a [ u, y] [ u ][ ]
TERÜLETI STATISZTIKA, 015, 55(5): 470 483. 476 DR. ARATÓ MIKLÓS kfeezés ada meg, mely (a,b) paraméterű nverzgamma a pror eloszlás esetén mverzgamma lesz; l 1 a, b u' K u paraméterekkel. Kárnagyságokra egy kssé meglepő módon normáls eloszlást avasolnak. Ez azért meglepő, mert a bztosítás számításokban általában exponencáls, lognormáls, Pareto, gamma káreloszlásokkal dolgoznak. A kockázat tényezők és a terület hatását a kárszámeloszlás paraméterének logartmusára felírt modellel valósíták meg úgy, hogy ugyanezt a modellt a káreloszlás várható értékére írák fel. A Dmakos Frgess (00)-ckk teles Bayes megközelítést alkalmaz valamenny kárszám- és kártényezőre, azonban tt a régók száma mndössze 19. A káreloszlásnál a Denut Lang ckkel ellentétben feltételes gammaeloszlást llesztenek. Mndkét publkácóban a modell bonyolultsága matt Markov-lánc Monte Carlo (MCMC)-elárással becsülk meg a paramétereket. A Márkus Arató Proka (010) ckkben Boskov Verrall (1)-() modelléhez hasonlóan csak a terület hatást vzsgáltuk. A terület tényezőkön kívül kockázat hatások a vzsgálat eleén GLM-el lettek megbecsülve. Az egyszerűsítést az ndokolta, hogy több mnt 3000 településre becsültük meg a terület hatást. Itt Clayton és Kaldor (1987) feltételes autoregresszós modellének (CAR) egy modfkácóát alkalmaztuk. Az -edk település Posson paramétere e t, ahol t a település szerződésenek terület kockázatoktól különböző kockázataval módosított szerződésben töltött deének összessége, a kárszám közös paramétere. A terület együtthatók együttes kovarancamátrxát DI A 1 D alakban kerestük, ahol I az egységmátrx, A r,s = 1, ha az r. és s. régó (település) szomszédosak és különbözőek, egyébként 0. D dagonáls mátrx a főátlóban poztív elemekkel. A paramétert a ( 0, max) ntervallumon keressük, ahol az A mátrx legnagyobb saátértékémax tékének recproka. A poztvtást azért követelük meg, hogy a kovaranca bármely két település között ne legyen negatív, a másk határ a kovarancamátrx poztív szemdefntségéből adódk. Érdekesség, hogy amennyben az összes több paramétert rögzítük, úgy a lkelhoodfüggvény maxmuma -ban könnyen adódott. N y ˆ 1 N e t 1 A modell előnye, hogy a lkelhoodfüggvényhez szükséges mátrxnvertálást ez esetben nem kell mnden MCMC lépésben elvégezn, elég egyszer meghatározn az A mátrx saátértéket. Ez lehetővé tesz a számításokat még a több mnt 3000x3000-es mátrxoknál s. Gschlößl és Czado (007) ckkében a kárszámok térbel összefüggése szntén CAR modellel lett megközelítve, azonban a kovarancamátrx egészen más alakú volt. A ckk údonsága abban relett, hogy megvzsgálták a károk számának és a kár nagyságának öszszefüggését s. A káreloszlást gammának választották és magyarázó változónak bevonták a szerződés kárszámát s. A vzsgált német adatokon a várt eredményt kapták, tehát több kár esetén ksebb a várható kár nagysága.
TERÜLETI STATISZTIKA, 015, 55(5): 470 483. BIZTOSÍTÁSOK TERÜLETI KOCKÁZATÁNAK MEGHATÁROZÁSÁRÓL 477 Scheel és társa kutatásukban (013) azt vzsgálták meg, hogy mlyen összefüggés van kárszám, kárnagyság és meteorológa körülmények között. A cél annak kderítése volt, hogy az esetleges éghalatváltozás mlyen hatással lenne a bztosítókra. Az (, ) paraméterű akadályozott Posson eloszlás a következő: n n e P( N 0), P( N n) (1 ) (1 ), n 1,,3,... (1 e ) n! ( e 1) n! Norvéga régónak nap kárszámara ezt az akadályozott Posson modellt írták fel úgy, hogy az első paraméter a terület aznap és néhány korább nap meteorológa adatától függött, a másodk paramétert pedg az állomány és a terület ellemző határozták meg. Érdekesség, hogy a terület összefüggést Isng-modellel határozták meg, azzal, hogy az Isngmodell egyk állapota azt elz, hogy a kockázat hatás érvényesül a területen, a másk állapot pedg a hatástalanságot elz. Egy magyarország bztosítás példa A bztosítás kockázatok terület kockázataval kapcsolatos számításokra nézzünk meg egy magyarország példát! A nem publkus adatbázs több mnt 500 ezer szerződés egy specáls nem életkártípusának adatat tartalmazza, több mnt 1 mlló 800 ezer dőegységny megfgyeléssel és több mnt 150 ezer kárral. Nagyon fontos, hogy a szerződés- és káradatok szerződésenként álltak rendelkezésünkre. A szerződéseknél 3 kockázat tényezőt különböztettünk meg. Lakásbztosításoknál ezek például lehetnének a lakóépület, a szerződő korcsoporta és a tetőzet fatáa. Gépármű-bztosításnál pedg például a gépármű típusa, a szerződő korcsoporta és az üzemanyag fatáa. 3171 település kockázatát szeretnénk megbecsüln. A településeket 168 kstérségbe soroltuk és 10 fata településnagyságot különböztettünk meg. 1. ábra Kstérségek kárgyakorsága % 13,6 0,4 11, 13,5 9, 11,1 7, 9,1 5,0 7,1,3 4,9 Forrás: saát szerkesztés.
TERÜLETI STATISZTIKA, 015, 55(5): 470 483. 478 DR. ARATÓ MIKLÓS A települések kárszáma nagyon különbözk egymástól. Amennyben nagyobb terület egységeket, kstérségeket veszünk, akkor s láthatuk az 1. ábrán, hogy a kárgyakorság (károk száma osztva a kockázatban töltött dővel),3%-tól 0,4%-g változk. A térbel modellek ellenőrzésére az egyk első módszer, hogy ábrázoluk azokat a területeket, ahol a kárszám vagy nem ér el a területre előreelzett eloszlás 5%-os kvantlsét, vagy meghalada a 95%-os kvantlst. A. ábrán egy lyen térképet láthatunk (valószínűségtérkép vagy probablty map), ha a kárszámra Posson-eloszlást feltételezünk, de semmféle terület hatás nélkül. Pros színnel eleztük azokat a területeket, melyeknél a bekövetkezett kárszám meghalada az eloszlás 95%-os kvantlsét, sárgával, ahol nem ér el az 5%-os kvantlst, és zölddel azokat a területeket, ahol a kárszám a középső 90%-os sávba esk. Az olyan térképeknél, ahol a pros és sárga területek részaránya elentősen eltér az 5 5%-tól, különösen, ha elentősen meghalada azt, akkor azt mondhatuk, hogy az alkalmazott modell nem felel meg a kockázatok terület eloszlásának. Az adott ábra pont ezt mutata, mvel a kstérségek nagy része a ks valószínűségű részbe esk, így azt a következtetést vonhatuk le, hogy a terület hatás gen elentős.. ábra Valószínűségtérkép Sok kár Kevés kár Normál Forrás: saát szerkesztés. Az egyes szerződések kárszámát továbbra s Y -vel elölük, feltételes eloszlásuk tt s Posson, paraméterrel. Az edk szerződés kockázatban töltött tartama e. A következő modelleket llesztettük a kárszámadatokra. 1.) Általánosított lneárs modell (GLM), úgy, hogy a településellemzők közül csak a településnagyságot vesszük fgyelembe. log( N A B C ) log( e ) 0 k., k N A, k B, kc, Itt k N,, k A,, k B,, k C, azt elzk, hogy az edk szerződés települése nagyság szernt melyk csoportban van, lletve az A, B, C kockázat szernt a szerződésnek m a ellemzőe.
TERÜLETI STATISZTIKA, 015, 55(5): 470 483. BIZTOSÍTÁSOK TERÜLETI KOCKÁZATÁNAK MEGHATÁROZÁSÁRÓL 479 Felmerülhet a kérdés, hogy mért pont a településnagyságot vesszük fgyelembe a településellemzők közül. Ennek egyk oka, hogy meglepő módon még a természet károknál s van hatása. Ennek magyarázata lehet egyrészt a településmérettől függő építkezés mód, másrészt kárbeelentés halandóság különbözősége s. Természetesen a konkrét esetekben mndg érdemes körülnézn az elérhető adatok között. Például a gépármű-bztosításoknál lehet, hogy fontos a gépárművek száma..) Általánosított lneárs modell (GLM) úgy, hogy a faktorok közé bevesszük a kstérséget s N A B C log( ) log( e ) 0 k ( )., k N A, k B, k C, r Itt r() azt mutata, hogy az edk szerződés települése melyk kstérséghez tartozk.. 3.) Paraméterek a pror eloszlása gamma. N A B C log( ) log( e ) 0 k ( )., k N A, k B, k C, s Itt s() az edk szerződés települését elz. Feltételezzük, hogy valamenny β és δ paraméterre exp(β)-k és exp(δ)-k a pror eloszlása független 1 várható értékű gamma eloszlás. Ebben az esetben könnyen számolható mnden paraméter a posteror várható értéke (a több paramétert állandónak teknthető), mvel eredet gamma paraméter csoport káranak száma eredet gamma paraméter csoport kockázatba n töltött összdee törttel egyenlő. 4.) Paraméterek a pror eloszlása gamma úgy, hogy a faktorok közé bevesszük a kstérséget s. N A B C log( ) log( e ) 0 k ( ) ( )., k N A, k B, k C, r s 5.) Kárgyakorságok smítása. Algortmusunk 1)* a következő lépésekből áll. a) Először a 168 kstérség kárgyakorságát (károk száma osztva a kockázatban töltött dővel) határozzuk meg. b) A kstérség kárgyakorságokra megfelelő smaságú felületet llesztünk az R programcsomag surf.gls függvényével. Így valamenny településre kapunk egy előzetes kárszámntenztás becslést. c) A kockázatban töltött dőket módosítuk ezekkel az ntenztásokkal. d) Elvégezzük az 1. modellnek megfelelő GLM-számítást a módosított kockázat dőkkel. e) Az eredet kockázat dőket módosítuk a GLM-számításból kapott együtthatókkal. f) 4-szer megsmételük az a)-e) lépéseket. g) Az ntenztásértéket és a településnagyság szorzót összesítve a település szorzókat pl. 5 csoportba soroluk és ezt mnt szempontot fgyelembe véve úra elvégezzük a GLM-számítást. A modell számítása nagyon gyorsak a szokásos terület számításokhoz képest. Látható, hogy a terület összefüggéseket csak az 5. modellben használuk, de a feezetben csak az a célunk, hogy bemutassuk a terület számítások modellenek összehasonlítását. 1)*Ez az algortmus I.Drydennel, L. Márkussal és C. Taylorral közös munka.
TERÜLETI STATISZTIKA, 015, 55(5): 470 483. 480 DR. ARATÓ MIKLÓS Mlyen módszerekkel lehet összehasonlítan a modelleket? Bayes- modellek esetében gen gyakor, hogy a Spegelhalter és társa (00) DIC (devance nformaton crterum) krtérumot használák. Ez történt a Denut Lang (004) és Gschlößl Czado (007) ckkben s. Amennyben bayes és nem bayes- modellek s felmerülnek, úgy avasolható crossvaldaton (talán leggyakrabban keresztkértékelésnek és kereszt-valdálásnak szokták fordítan) alkalmazása. Esetünkben az elárás a következő. 1.) A több mnt 3000 településből kválasztunk 000 települést. A véletlenszerű kválasztás a kockázat dőkkel súlyozva történk..) A 000 település szerződésenek 70%-át választuk k vsszatevés nélkül mntavétellel. 3.) A kválasztott szerződések (gyakorló adatbázs) alapán elvégezzük a paraméterek becslését és a becsült paraméterekkel előreelezzük a kmaradt szerződések (teszt adatbázs) kárszámának eloszlását. A tényleges kárszámok smeretében kértékelük az eloszlások megfelelőségét. 4.) Az elárást 100-szor megsmételük. Nagyon számítás- és dőgényes modelleknél akár -3 smétlés s gen hasznos lehet. Az előreelzéseket a következő mérőszámokkal értékelük. Mvel a mostan vzsgálatunknál a legfontosabb a terület hatás, ezért a számítások vagy településenként, vagy kstérségenként történnek meg és utána összesítünk az egész országra. z elöl a -edk település tényleges kárszámát a teszt adatbázsban és ẑ ennek előreelzését a gyakorló adatbázs alapán. z zˆ 1.) Négyzetes eltérés:.) Módosított négyzetes eltérés: z zˆ zˆ z 3.) Logartmkus szkór: zˆ log z e! zˆ z zˆ zˆ e zˆ k zˆ e 4.) Brer szkór: z! k0 k! A 3. és a 4. mérőszámnál khasználtuk, hogy a ckkben Posson-eloszlást feltételeztünk. Mnél ksebbek ezek a mérőszámok, annál obban találtuk el a települések kárszámának eloszlását. Az 5 modell mérőszáma a következők lettek (a 100 cross-valdaton elárás átlagában).
TERÜLETI STATISZTIKA, 015, 55(5): 470 483. BIZTOSÍTÁSOK TERÜLETI KOCKÁZATÁNAK MEGHATÁROZÁSÁRÓL 481 A modellek mérőszáma 1. táblázat Modellek Négyzetes eltérés Módosított négyzetes eltérés Logartmkus szkór Brer szkór 1. modell 77 884 9 677 9 013 3. modell 61 177 6 716 7 556 30 3. modell 150 195 5 560 7 051 18 4. modell 146 79 5 176 6 840 16 5. modell 61 715 6 834 7 640 9 Forrás: saát szerkesztés. A táblázat azt mutata, hogy a vzsgált modellek közül a valamenny paraméterre apror gamma eloszlást feltételező modell adta a legobb eredményt. Erre a modellre és az eredet adatokra s ábrázoluk a 3. ábrán a valószínűségtérképet. Az előző valószínűségtérképhez képest órás a változás, a kugró területek száma a töredékére csökkent. Látható, hogy ebben az esetben talán túlzottan s ól skerült az llesztés, hszen csak 3 kstérségnél van kugróan alacsony érték, mközben körülbelül 17 nem zöld területet várnánk. A túlzottan s ó kfeezést úgy értük, hogy az ábra azt setet, hogy túlparaméterezésről lehet szó, de ez nem feltétlenül van így. Fgyelembe kell venn azt, hogy a kvantlsek és a tényleges káradatok összehasonlítását ugyanazokon az adatokon végeztül el, amelyek alapán a paramétereket becsültük. Ilyen esetben általában túl pontos lleszkedést kapunk. A keresztkértékelésnél kapott számok alapán mndenképpen ezt a modellt érdemes preferáln. 3. ábra Valószínűségtérkép gamma a pror eloszlással Kevés kár Normál Forrás: saát szerkesztés.
TERÜLETI STATISZTIKA, 015, 55(5): 470 483. 48 DR. ARATÓ MIKLÓS Összefoglalás A tanulmányban bemutattunk több olyan terület statsztka modellt, amelyeket bztosítás alkalmazásokban használnak fel. Ezek nagyobb része kárszámokra vonatkozott, de voltak kárnagyságokra llesztettek s. Egy konkrét magyarország bztosítás adatbázs kapcsán bemutattunk néhány terület függést nem feltételező struktúrát s. Itt hangsúlyoztuk az egyed adatok felhasználásának fontosságát, hszen ezáltal alkalmazhatunk például keresztkértékeléseket s. A modellek összehasonlítását ezzel a keresztkértékeléssel és előreelzés mérőszámok (szkórok) felhasználásával végeztük el. A bemutatott példában így találtunk s egy a többnél egyértelműen obb modellt. Annak ellenére, hogy a bemutatott módszertan és példa bztosítás, a tanulmányban smertetett eszközök felhasználhatók mnden olyan területen s, ahol terület függéseket feltételezhetünk és egyed szntű adatbázs áll rendelkezésre. IRODALOM Arató, N. M. Dryden, I. L. Taylor, C. C. (006): Herarchcal Bayesan modellng of spatal age-dependent mortalty Computatonal Statstcs & Data Analyss 51 (): 1347 1363. Márkus, L. Arató, M. Proka, V. (010): Herarchcal Bayesan Modellng of Geographc Dependendence of Rsk n Household Insurance In: Skadas, C. (Ed.): Advances n Data Analyss: Theory and Applcatons to Relablty and Inference Data Mnng, Lfetme Data and Neural Networks pp. 19-7., Brkhäuser, Basel. Bálnt, L. (010): A terület halandóság különbségek alakulása Magyarországon 1980 006, (Központ Statsztka Hvatal Népességtudomány Kutatóntézetének Kutatás Jelentése; 90.), KSH Népességtudomány Kutató Intézet, Budapest. Besag, J. York, J. Mollé, A. (1991): Bayesan mage restoraton, wth two applcatons n spatal statstcs Annals of the Insttute of Statstcal Mathematcs 43 (1): 1 0. Boskov, M. Verrall, R. J. (1994): Premum ratng by geographc area usng spatal models ASTIN Bulletn 4 (1): 131 143. Brouhns, N. Denut, M. Masuy, B. Verrall, R. (00): Ratemakng by Geographcal Area: A Case Study Usng The Boskov and Verrall Model Unverst E Catholque De Louvan, Insttut De Statstque, Dscusson Paper 00, Louvan. Brubaker, R. E. (1996): Geographc Ratng of Indvdual Rsk Transfer Costs wthout Terrtoral Boundares Casualty Actuaral Socety Forum, Wnter 1996. pp. 97 17. Chrstopherson, S. Werland, D. L. (1996): Usng a Geographc Informaton System to Identfy Terrtory Boundanes Casualty Actuaral Socety Forum, Wnter 1996. pp. 191 11. Clayton, D. Kaldor, J. (1987): Emprcal Bayes estmates of age-standardzed relatve rsks for use n dsease mappng Bometrcs 43 (3): 671 681. Denut, M. Lang, S. (004): Non-lfe rate-makng wth Bayesan GAMs Insurance: Mathematcs and Economcs 35 (3): 67 647. Dmakos, X. K. Frgess, D. R. A. (00): Bayesan Premum Ratng wth Latent Structure Scandnavan Actuaral Journal 00 (3): 16 184. Gschlößl, S. Czado, C. (007): Spatal modellng of clam frequency and clam sze n non-lfe nsurance Scandnavan Actuaral Journal 007 (3): 0 5. Serhat, G. (004): Multvarate Spatal Analyss of the Terrtory Ratng Varable, n 004 Dscusson Paper Program - Applyng and Evaluatng Generalzed Lnear Models Includng Research Papers on the Valuaton of P&C Insurance Companes Casualty Actuaral Socety pp. 45 60. Maor, J. A. Yakov, L. (001): Actuaral Applcatons of Multfractal Modelng Part I. Introducton and Spatal Applcatons http://www.casact.org/pubs/forum/01wforum/01wf31.pdf (letöltve: 015. augusztus).
TERÜLETI STATISZTIKA, 015, 55(5): 470 483. BIZTOSÍTÁSOK TERÜLETI KOCKÁZATÁNAK MEGHATÁROZÁSÁRÓL 483 Scheel, I. Ferkngstad, E. Frgess, A. Haug, O. Hnnerchsen, M. Meze-Hausken, E. (013): A Bayesan herarchcal model wth spatal varable selecton: the effect of weather on nsurance clams Journal of the Royal Statstcal Socety: Seres C (Appled Statstcs) 6 (1): 85 100. Spegelhalter, D. Best, N. Carln, B. van der Lnde, A. (00): Bayesan measures of model complexty and ft Journal of the Royal Statstcal Socety: Seres B 64 (4): 583 640. Taylor, G. C. (1989): Use of splne functons for premum ratng by geographc area ASTIN Bulletn 19 (1): 89 1. Vtéz, I. (007): Locaton as rsk factor Spatal analyss of an nsurance data-set In: Skadas, C. H.: Recent Advances n Stochastc Modelng and Data Analyss pp. 130-136., World Scentfc Publshng, Sngapore. Wang, H. H. Zhang, H. (003): On the Possblty of a Prvate Crop Insurance Market: A Spatal Statstcs Approach The Journal of Rsk and Insurance 70 (1): 111 14. Kulcsszavak: terület statsztka, bztosítás kárszám, betegségtérképezés, BYM modell, Markov véletlen mező. Resume Regonal dfferentaton of nsurance fees looks back upon a relatvely long past, nevertheless, systematc actuary examnaton of regonal rsks has relatvely short hstory. Frst publcatons appeared at the 1980s of last century nspred by sckness mappng models. The present paper ntroduces several such regonal statstcal methods, that are good for analysng nsurance rsks. Actuary work s presented through an nsurance example n Hungary, whch also takes nto consderaton regonal effects.