Filozófia táblázatkezelő formátumban I.

Filozófia táblázatkezelő formátumban I. András Ferenc kézirat 2013 december A - z 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2-1 01-2 -3-4 -5-6 -7-8 -10-9 -11 1 2 3 4 B - y 5 6 7 8 9 101112 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 B - x

Előszó Tartalom Előszó... 4 Fizika és metafizika... 8 Kocsi és csiga... 8 A nyíl paradoxon... 17 A piszkavasat tűzbe tesszük... 21 Modellek matematikán innen és túl... 25 Anyagi modellek... 25 Modellek matematikán belül... 28 Mire jó mindez?... 32 Modellek és perspektívák... 35 A jelenlét talánya... 37 Létezik-e az idő?... 37 Matematikai alapok... 41 Az A és B sorozat fogalma... 42 Egy biztos állítás... 45 Egyszerű példa... 48 Az A sorozat definíciója a B sorozat alapján... 49 Mi változik az időben?... 54 Az érv logikai rekonstrukciója... 56 Az A sorozat mint tulajdonságok sorozata... 56 Az A sorozat mint viszonyok sorozata... 58 Mi a tanulság?... 61 A bináris relációk alapvető tulajdonságai... 63 Áttekintés... 63 Relációk és predikátumok... 65 Néhány fontosabb relációelméleti alapfogalom... 66 Két egyszerű példa.... 69 Hasonlóság, egyformaság, azonosság... 72 Bevezetés... 72 Logikai filozófiai, matematikai háttér... 73 Ismeretelméleti alapok... 73 Logikai alapok... 76 Az azonosság értelmezése a halmazelméletben... 77 Egy fontos filozófiai tanulság... 78 Az azonosság definiálhatósága... 79 A halmazelmélet alkalmazása valamint az eternalizmus... 83 Azonosság és szükségszerűség... 86 Hasonlóságtól az egyformaságig... 90 Áttekintés... 90 A féltestvére reláció... 91 A látás... 94 Egyformaság és fölcserélhetőség... 94 Áttekintés... 94 Példa 1... 95 Példa 2... 95 Példa 3... 96 Mire használható, mit jelent az egyformaság a gyakorlatban?... 97 Gyakorlati alkalmazások... 97 Azonosság és fölcserélhetőség.... 98 Önazonosság a fizikai tárgyak világában... 99 A tér-időbeliség elve (Space-Time Principle)... 99-2 -

Előszó Gyengített Lockiánus elv (Weak Lockean Principle)... 100 Változatlan tárgyak... 102 Egy ellenvélemény... 102 Változékony fizikai tárgyak... 104 Átalakuló tárgyak... 106 Mikrofizikai objektumok, elemi részek... 106 Thészeusz hajója metafizikai vizekre téved... 108 A kitört árboc... 108 Ekvivalencia reláció és azonosság... 108 Mi a helyzet Thészeusz hajójával?... 109 Az azonosság nyelvhez kötöttsége... 110 Most akkor hogyan is állunk a kiállított hajóval?... 112 Megoldható-e a Thészeusz hajója probléma?... 115 Összefoglalás... 122 A nemlétezés rejtélye logikai formulák fényében McX rehabilitálása... 123 Rövid mentegetőző bevezetés... 123 Russell és Quine nyomában... 124 Fizikalista - perdurantista megközelítés... 125 McX fizikalista megközelítése... 126 Másodrendű logikai megfontolások... 127 Megjegyzés a behelyettesítési kvantifikációról (substitutional quantification)... 128 Metanyelvi megformulázás... 129 Értékréses megközelítés... 130 A modális logika javaslata... 131 Epilógus... 131 Automaták metafizikai célokra... 132 Fogalmi kapcsolatok... 132 Modellek és automaták... 134 Mealy gépek... 135 Alapgondolatok... 135 Matematikai megközelítés... 136 Az automaták típusai... 139 Miért pont véges automata?... 143 Véges automaták mint a leírás és realitás modelljei... 144 Modális fogalmak a véges automata modellek világában... 145 Bevezetés... 145 Kapcsolat a logikával... 145 Egy példa... 146 A szituációk és az alternatíva reláció meghatározása... 148 Lehetőség és szükségszerűség a véges automaták világában... 150 Összefoglalás... 153 Logikai, matematikai szimbólumok jegyzéke... 154 Táblázatkezelő modellek... 155 Ábrák jegyzéke... 155 Név és tárgymutató... 157 Ajánlott irodalom... 161 Jegyzetek... 162-3 -

Előszó Előszó Ebben a könyvben a filozófia alapkérdéseiről van szó. Meddig azonos egy tárgy önmagával? Mit jelent, hogy szükségszerűen fölmelegszik a piszkavas, ha tűzben tartjuk? Mi az igazság? Létezik-e az idő? Nem foglalkozom az elme és agy viszonyának szerteágazó problémáival, de több olyan területtel sem, amelyik szorosan összefügg az itt tárgyaltakkal. Nincs szó ebben a könyvben az okság vagy a természeti törvény fogalmáról, vagy az ontológiai kategóriák rendszeréről, és az ehhez kapcsolódó olyan kérdésekről, hogy vajon saját jogon léteznek-e a számok, a fizikai tulajdonságok vagy az események. Az oksággal, valamint az ontológiai kategóriákkal kapcsolatos kérdésekre majd a könyv második kötetében kerítek sort. Viszont foglalkozom a nemlétezés kétezer éves rejtélyével, valamint érintőlegesen a létezés dimenzióival, miközben a tarskiánus igazság fogalmat védelmezem. Mindazonáltal a létezés fogalmával kapcsolatban egy hallgatólagos előfeltevés mostani írásaimban kirajzolódik. Nevezetesen, hogy csak az azonos logikai forma köti össze a különböző létezési állításokat. Olyan filozófiai problémákkal foglalkozom ebben a könyvben, melyek önállóan is tárgyalhatók, már amennyire ez a filozófiában egyáltalán lehetséges. Az egyes kérdésköröket különböző terjedelmű, önállóan is olvasható tanulmányokban vizsgálom. Az írások által elemzett problémák sorrendjében van egyfajta fokozatosság és egymásra épülés, de tanulmányaim más sorrendben is olvashatók. Írásaim egy része már megjelent korábban, de így kötetbe szerkesztve kiegészítik egymást, egymásba fonódva jobban érthetőek, mint külön-külön. Azért van ez így, mert ezeknek a filozófiai kérdéseknek olyan a természete, hogy a főbb gondolatokat lehetetlen tökéletesen steril, axiomatikus formában tárgyalni. A metafizika és ismeretelmélet alapkérdései több szálon kapcsolódnak egymáshoz, egyrészt azért mert a filozófiában szinte minden kérdés vitatott és vitatandó, és indoklásra szoruló, másrészt azért, mert a problémák fogalmi sémánk alapjait érintik, és nincs semmi fogódzó, biztos pont rajtuk kívül. Annyit tehetünk csupán, hogy hol az egyik, hol a másik bizonytalan válaszra, mint ideiglenes alapra támaszkodva egyre följebb kapaszkodunk, abban a reményben, hogy fentről nézve majd mindent jobban látunk. Általában a filozófiában szokásos módon azzal kezdem a vizsgálódást, hogy körüljárom mit jelent a szóban forgó filozófiai terminus. Miután tisztáztam a terminus jelentését, állításokat - 4 -

Előszó fogalmazok meg, majd következtetéseket vonok le ezekből, és állást foglalok vitás kérdésekben. A filozófia hagyományaihoz híven mindig használta a logikát mint az érvelés eszközét. Ez az eszköz azonban csak a XIX. század végétől, Gottlob Frege és Bertrand Russell alapvető munkássága után vált adekvát eszközzé, olyan szigorúan pontos (formális) nyelvvé, amelyen meg lehetett fogalmazni a matematika, fizika és a filozófia egyes tételeit. Ezt a nyelvet, a szimbolikus logika nyelvét, valamint a halmazelmélet és reláció elmélet, illetve a véges automaták alapfogalmait intenzíven használom a vizsgálódásaimban. De ne riasszon el senkit a látszólag sok formula! Az alkalmazott logikai-matematikai eszköztár nem haladja meg egy alapfokú logika szemeszter tananyagát, néhány elemi relációelméleti fogalmat pedig részletesen, példákkal illusztrálva elmagyarázok. Fontos ezeknek az egyszerű matematikai fogalmaknak a mély megértése. Mindez nagyon természetes, a filozófia és a formális tudományok közötti bensőséges viszonyból fakad. Olyan a logika viszonya a metafizikához, mint a matematika viszonya a fizikához. Számos példán keresztül mutatom be a modern logika filozófiai alkalmazási lehetőségeit. Aki kevéssé járatos a formulák nyelvében, azoknak is segít megérteni, hogy mit és hogyan képesek ezek a logikai-matematikai formulák kifejezni a filozófia problémáiból. Röviden szót ejtek a könyvben használt logikai jelölésekről. Az ABC első kisbetűivel a,b,c jelölöm a logikai tulajdonneveket, olyan szavakat mint: Mount Everest, 100ºC, Euler féle szám, Kerberosz, a Kerberosz fogalma (feltéve, hogy van ilyen egyértelmű dolog), a boldogság. Figyeljük meg, hogy ezek a nevek a létezők olyan nagy csoportjaiba tartoznak, melyeket mélységes ontológiai szakadék választ el egymástól. Némelyik közülük egy fizikai tárgy neve, egy fizikai tulajdonság neve, absztrakt entitás, nem létező élőlénynek a neve, vagy egy fogalom, de logikai-grammatikai szempontból nincs különbség köztük valamennyien nevek a logika ontológiailag semleges eszköz. Az ABC utolsó kisbetűivel x,y,z jelölöm a változónak nevezett névmáspótló kifejezéseket, melyek értékei az imént fölsorolt különféle egyedi dolgok lehetnek. Megjegyzem, hogy nem előfeltevés hogy minden egyes dolognak van neve, másképp fogalmazva van annyi logikai tulajdonnév, mint ahány egyedi létező. Az egyes formulákat vagy fontosabb állításokat zárójelbe tett számokkal vagy betűkkel jelölöm, hogy könnyen hivatkozhassak rájuk. Ezek mindig a formula bal oldalán szerepelnek. A formula jobb oldalán szerepelnek azok a korábbi formulák vagy axiómák, melyekből a formula következik. Csillaggal jelölöm a premisszákat, minden új premissza, egy - 5 -

Előszó új csillag oszlopot indít el. Tehát egy csillag nélküli sor logikai igazságot jelent. A sorok közé magyarázatokat szúrtam be egyes lépéseket megvilágítandó, de nem magyaráztam el minden lépést, mivel számítok az olvasó együttgondolkodására. Szokatlan lehet, hogy a formulák kifejezéseinek tagolására pont zárójeleket is használok, íme egy magyarázó példa: 4 * (3+5) pont zárójelekkel: 4*. 3+5 Vizsgálódásaimat több esetben elektronikus modellekkel, számoló táblázatokkal illusztrálom. Táblázatkezelő programokat mindenki használt már, aki ismeri a számítógépet. Nincsen semmi meglepő abban, hogy pénzügyi vagy mérnöki számításokra kiváló eszköz a táblázatkezelő program. Az sem újdonság, hogy az objektumorientált programozási nyelvek vagy az intelligens információkereső rendszerek logikai-filozófiai megfontolásokat alkalmaznak. De vajon lehet-e használni a népszerű gyakorlatias táblázatkezelő programokat elvont logikai-filozófiai problémák illusztrálására? Igen lehet! Sőt ez új megvilágításba helyez sok kérdést. Mi haszna van ennek, miért nem inkább az objektumorientált programozási nyelvek filozófiai vonatkozásaival foglalkozom? Azért, mert a programozási nyelvek csak egy szűk szakértő réteg számára érthetők, míg a táblázatkezelőkkel szimulált összefüggések egy sokkal szélesebb felhasználói réteg számára nyújthatnak magyarázatot. Ez a könyv azt az olvasót célozza meg, aki otthonos az informatikában és érdekli a filozófia metafizikának nevezett ága és alapfokú logikai jártasággal rendelkezik. Írásaimban arra vállalkozom, hogy a filozófia alapvető kérdéseit táblázatkezelő programok segítségével mutassam be. Azoknak ajánlom, akik maguk is gondolkoztak már ezeken a problémákon, ugyanakkor nem idegenkednek a matematikai-logikai nyelv, valamint a számítógépek használatától. Miben nyújt többet ez a megközelítés, mint a filozófiában megszokott fogalmi elemzés? Abban, hogy a papír alapú szöveg statikus, élettelen, míg az elektronikus dokumentum dinamikus, élő. Egy ilyen élő közegben az idővel, eseményekkel, leírás és realitás viszonyával kapcsolatos kétezer éves filozófiai rejtvények új megvilágításba kerülnek. Ha az olvasó veszi a fáradságot és maga is kipróbálja és tanulmányozza a működő modelleket, az ezeréves filozófiai viták új mederbe terelhetők. Más szerzőktől eltérően nem az volt a célom, hogy az olvasót zavarba ejtő kérdésekkel arról a közhely-igazságról győzzem meg, hogy a józan ész képtelen megbirkózni elvont filozófiai kérdésekkel, de a filozófiában is minden bizonytalan, a filozófusok semmiben sem értenek egyet. Épp ellenkezőleg, mindenekelőtt válaszokat kerestem és nem a megoldatlan vagy megoldhatatlan kérdések gyűjteményét, jobb esetben rendszerét. Nem térek ki a kortárs - 6 -

Előszó analitikus filozófiai áramlatok valamennyi megoldási javaslatának elemzésére, csak azokra, melyek jobban érthetővé teszik a saját álláspontom bemutatását. Az általam megfogalmazott igenekből következik, hogy mire és miért mondok nemet. Hitem szerint a filozófia normatív tudomány, nem pusztán leír és magyaráz, hanem értékeket őriz és továbbad. Azért, mert olyan kérdésekről próbál az olvasóval racionális párbeszédet folytatni, melyekről más korban és más helyen az előítéletek mondtak megkérdőjelezhetetlen ítéletet. Amikor a filozófia a korlátolt elfogultsággal szemben logikus érvekre, érthető példákra építő kiegyensúlyozott értékelésre törekszik, akkor a türelem és józan ész, a szabadság, sokoldalú tájékozottság, műveltség és kultúra értékeit védelmezi az újra és újra ránk támadó babonával, dogmatizmussal, fellengzős spekulációval vagy szakbarbár egyoldalúsággal szemben. Vissza Tartalomjegyzék - 7 -

Fizika és metafizika Fizika és metafizika A következő két egyszerű fizika példával bemutatom, hogy mi érdekli a fizikust és mi a filozófust, és ezért milyen formális logikai-matematikai nyelvet használ a fizika és milyet a filozófia. A példák kapcsán fölvetődik minden kérdés, amiről ez a könyv szól. Kocsi és csiga Vízszintes, egyenes pályán gördülő kocsi tömege m 1. A kocsit egy kötél húzza előre olyan módon, hogy a sínpálya végén, egy csigán átvetve lóg a mélybe a másik vége, melyen egy m 2 tömegű súly lóg. Ez a súly húzza előre a kocsit <a> gyorsulással. 1 Meghatározandó az <a> gyorsulás értéke a következő egyszerűsítő feltételekkel: a. a kocsi, a kötél és csiga súrlódási ellenállása valamint a levegő ellenállása elhanyagolható; b. a kötél nagyon erős, nem nyúlik, de nem is szakad el, könnyen hajlik és tömege elhanyagolható; c. a testekre ható nehézségi gyorsulás, melyet g -vel jelölök, állandó, nem függ a súly helyzetétől, magasságától; d. a rendszerre nem hat más erő, pl. nincs a közelben erős mágnes vagy fénynyomás. e. a rendszer alkotó elemei, a kocsi, a súly, szilárdak, nem esnek ki belőlük darabok; f. a newtoni klasszikus fizikában gondolkodunk, a kísérlet során adott egy inercia rendszernek tekinthető vonatkoztatási rendszer. Ezek nagyon erős leegyszerűsítések. Viszonylag könnyű lenne figyelembe venni a kocsi és a csiga súrlódását, de a kötél tömegének a gyorsulás közben változó aránya tartozik az egyik illetve a másik tömeghez, és ez már bonyolulttá tenné a formulát. A kocsi tömege nyilvánvalóan nem lehet nagyon kicsi, pl. atomi, vagy nagyon nagy pl. csillagászati objektum méretű, ahol tökéletesen más fizikai törvények működnek, mint amit mi itten feltételezünk. A két tömeg egyszerre mozog, a gyorsulásuk egymásra merőleges irányú, de a kocsi és a súly gyorsulása skaláris értéke megegyezik, mert a kötél nem nyúlik meg. A kocsit előre húzó 1 A példát Walter Warwick Sawyer, Mi a matematikai analízis (What is Calculus About?), (1974) Gondolat, Bp.p.35. c. könyvéből vettem. A szerzőről: http://plus.maths.org/content/w-w-sawyer-passes-away - 8 -

Fizika és metafizika nehezék mindkét tömeget gyorsítja, ezért a gyorsulás így számítható ki Newton második törvényét alkalmazva: (1) a * (m 1 + m 2 ) = g * m 2 (2) a = g * m 2 / (m 1 + m 2 ) (3) a/g = m 2 / (m 1 + m 2 ) még világosabban: (4) a/g = 1 / (1+m 1 /m 2 ) Figyeljük meg mit mondanak nekünk a formulák. Ha a kocsi tömege (m 1 ) nulla vagy nagyon kicsi, illetve ha a súly (m 2 ) tömege sokkal nagyobb mint a kocsi tömege, akkor a gyorsulás a nehézségi gyorsulással lesz közel egyenlő. Ha viszont a súlyt leakasztjuk, azaz amikor a súly tömege nulla, akkor a kocsi meg sem mozdul, tehát a gyorsulás értéke is zérus. A második formulát átírjuk annak a figyelembe vételével, hogy a gyorsulás nem más, mint a kocsi helyváltozása mértéke (ami a sebesség) változása nagysága (ami a gyorsulás); matematikai nyelven fogalmazva a gyorsulás a kocsi út-idő függvényének második deriváltja mindenkori értéke. (Az első derivált a sebesség.) Tehát a kocsi sebessége az idő függvényében: s (t), ahol s(t) a kocsi sínen mért helye az idő függvényében, a kocsi gyorsulása pedig a második derivált, azaz s (t). A második formula ezek alapján így alakul: (5) s (t) = g * m 2 / (m 1 + m 2 ) ahol a= s (t) Innen az ismert módon következik a sebesség és út függvénye, melyet szokásosan v -vel jelölnek: (6) s (t) = a * t (7) s (t) = ½ * a * t 2-9 -

Fizika és metafizika Az alábbi ábra segít megérteni az eddigieket: Figure 1 Mindez elég a fizikus számára, a filozófiában viszont központi jelentőségű a metafizikailogikai tisztaság, hogy milyen fajta létezőről beszélünk és minek a létezését tételezzük fel. Ezért ezek a formulák a filozófia céljaira nem elegendőek, mert a számszerű összefüggésekre fókuszálnak, és nem a létezés kérdéseire. Filozófiai nézőpontból van ugyanis két időben állandónak feltételezett objektumunk a kocsi és a súly melyeket logikai szempontból név típusú kifejezések jelölnek, miközben a csigát és a kötelet elhanyagoltuk az egyszerűsítő feltevések megadása során. Azon kívül a következő fizikai jellemzők mérhető mennyiségek létezésében is hiszünk a két objektummal kapcsolatban: tömeg, idő, hely. Ezeket rendre a szokásos betűkkel, de a fizikától kicsit eltérő formulákkal fejezzük ki. Az eltérés lényege, hogy a fizikai jellemzőket tömeg, hely olyan függvényekkel írjuk le, amelyik minden egyes fizikai tárgyhoz megadják annak helyét és tömegét. A kocsit az egyszerűség kedvéért az k, a súlyt a l betű, a tömeget m, a helyet s, az időt meg a t betű jelöli. Filozófiai nézőpontból azonban az m,s,t betűk nem egyszerűen fizikai változók, hanem objektumok és az időpontok tartományán értelmezett függvények. Ezek alapján az k jelű kocsi helye t - 10 -

Fizika és metafizika időpontban: s(k,t) a kocsi tömege m(k), a l (L betű) jelű súly tömege m(l), és g az állandónak feltételezett nehézségi gyorsulás. Az ábra alapján nyilván m 1 = m(k) és m 2 = m(l). Ezt a formulát kapjuk: (8) s (k,t) = g * m(l) / (m(k)+m(l)) Természetes nyelven ez azt jelenti, hogy az k-el jelölt objektum helyváltozása mértékének változása egyenlő a nehézségi gyorsulás szorozva a második objektum tömegével, és osztva a két tömeg összegével. Ha általánosítani akarjuk ezt a formulát tetszőleges x és y objektumra és t időpontra, akkor ezt így fejezhetjük ki: (x,y):= x,y tömegek alkotórészei a kísérleti rendszernek az a,b,c,d,e,f határfeltételek között (9) x y t: (x,y). s (x,t) = g * m(y) / (m(x)+m(y)) Ez a formula azt mondja, hogy ebben a rendszerben bármely x objektum gyorsulása konstans, melynek értéke az egyenlőségjel jobb oldalán lévő formulával számolható ki. Tetszőleges x kocsi helyét y súly esetén az alábbi formula írja le a t időpont függvényében: (10) x y t. (x,y).s(x,t) = ½ * g * t 2 * m(y) / (m(x)+m(y)) A fizikai jellemzőket függvényekként ábrázoló formális nyelv választása metafizikai döntést is magában foglal, azaz elköteleződést bizonyos fajta létezők mellett. Ebben a felfogásban az egyedi fizikai tárgyak mellett, mint amilyen a kocsi és a súly, ezek tömege és helye, sebessége és gyorsulása is létezik. Ezek nem triviális állítások. Kicsit részletesebben elmagyarázom. Tegyük fel, hogy a súly tömege éppen 1000 kg, amit így fejezhetünk ki: (11) 1000 kg = m(l) Azt, hogy a tömeg állandó, nem változik az időpontok T tartományában, ilyen módon könnyen kifejezhető, ha a tömeget relációs jellemzőnek tekintjük: (12) t.t T 1000 kg = m(l,t) Azaz, az idő T tartományán belül a l jelű objektum tömege minden esetben 1000 kg. Csakhogy (12) ből logikailag következi az alábbi formula: (13) t: t T y. y = m(l,t) - 11 -

Fizika és metafizika Azaz, a l jelű objektumnak a T idő tartományban mindig van tömege. Ez pedig már létezési állítás, annak az állítása, hogy létezik olyan mérési eredmény, mint az 1000kg. (Hogy miféle ontológiai kategóriába tartoznak a lehetséges mérési eredmények, azzal most nem kell foglalkozzunk.) Vannak filozófusok akik az ontológiailag sivár tájakat kedvelik pl. Quine és ezért olyan nyelvet használnak amelyik nem feltételezi a 1000 kg-osnak lenni tulajdonság létezésében való hitet. Ezek a filozófusok azt a tény, hogy a súly 1000 kg-os és ez nem változik T idő tartományon belül, egy R relációval fejezik ki ilyeténképpen: (14) t. t T R(l,t) ahol R(x,t):= x 1000 kg-os t időpontban Mi ennek a haszna filozófiai szempontból? Az, hogy nem kell feltételezzük a 1000 kg-os lehetséges mérési eredmény valójában egy tulajdonság létezését, hanem csak egy halmazt, amelyben az összes 1000 kg-os dolog benne van. Ebben a felfogásban 1000 kg-osnak lenni annyi, mint ezen halmaz eleme lenni. Amit azonban nyerünk a réven, elveszítjük a vámon. Ezen a nyelven nem kell föltételezni az egyedi fizikai tárgyak mellett azok fizikai jellemzőinek a létezését, viszont jóval bonyolultabb megfogalmazni a példa megoldását. Az meg egyenesen megmagyarázhatatlanná válik, hogy mitől tartozik az összes 1000 kg-os tömegű fizikai tárgy egy halmazba? Ezért nem használom ezt a felfogást, hanem a fizikai tárgyal mellett azok fizikai tulajdonságait is létezőnek tekintem olyan értelemben, hogy a fizikai tulajdonságok lehetséges mérési eredményekre vezethetőek vissza. Ezt a logikaimetafizikai döntést a formális nyelv választása mutatja. Jelen esetben a fizikai jellemzőket függvényekkel ábrázoltam. Pl. feltételeztem, hogy bármely x kocsinak van t időpontban helye és tömege, melyek nagyságát valós számokkal fejeztem ki. De valóban van-e annyiféle hely és tömeg, ahány valós szám van? Vajon bármilyen nagy vagy kicsi valós számnak megfelel egy tömeg, azaz lehetséges olyan fizikai tárgy amelynek éppen olyan kicsi vagy éppen olyan nagy a tömege? Nincs annyi féle fizikai jellemző, ahány valós szám van, mivel a fizikai jellemzők lehetséges mérési eredmények, és egy mérési eredmény mindig valamilyen tűréssel és a hozzá tartozó valószínűséggel értendő. Célszerű egyszerűsítés annak a feltételezése, hogy a kocsi helyének minden időpillanatban egyértelműen meghatározott helye és tömege van, melyet egy valós számmal fejezünk ki, de valójában mindig egy valószínűségi eloszlás tartozik a fizikai jellemzőkhöz. Az a feltételezés, hogy a mérések mögött van egy egyértelmű valós számmal rendelkező érték, és csak a mérés tulajdonsága a bizonytalanság forrása, egy lehetséges filozófiai álláspont, de tapasztalatilag nem igazolható. - 12 -

Fizika és metafizika Mint említettem további metafizikai kérdések is felmerülnek. Csak a kocsi tömege létezik, vagy létezik-e maga a tömeg, mint fizikai jellemző? Erre a kérdésre nem térek ki részletesebben ebben a könyvben, viszont a következő két kérdésre igen: 1. Igaz-e a gyorsulást meghatározó formulánk, vagy csak hasznos számítási eljárás? A gyorsulást meghatározó formula segítségével egyedi következtetéseket vonhatunk le, állíthatjuk azt, hogy a kocsi egy adott időpontban egy meghatározott távolságra van a kiinduló pontjától. Előre kiszámíthatjuk, hogy miként fog viselkedni a rendszer egy adott súly esetén, amit megfogalmazhatunk igaz vagy hamis állítással. Utána a kísérlet során méréssel ellenőrizhetjük, hogy amit jósoltunk, igaz-e. Van tehát egy mondatunk ami igaz vagy hamis, és ez a mondat következménye egy formulának. Ekkor azonban a formula is jelentéssel kell hogy bírjon, máskülönben nem következne belőle semmi. Tehát a példa megoldását nyújtó (10) formula nem csak hasznos segédeszköz, hanem igaz állítás. Mi az, ami nem következik abból, hogy igaz állítások következnek a formulából? Nem következik belőle, hogy a formula azonos egy fizikai természettörvénnyel. A megoldást jelentő formula nem maga a természettörvény, hanem egy modell, ami meghatározott határfeltételek között igaz, azon túl nem. Azon kívül egy modellnek nem kell feltétlenül matematikainak lennie. A valóságos vonat kocsi és az azt mozgató súly viselkedése olyan módon is megjósolható, hogy mind a kocsit, mind a súlyt arányosan lekicsinyítjük, és ennek az arányosan kicsinyített modellnek határozzuk meg méréssel a gyorsulását, és ez alapján következtetünk vissza arra, hogy mi fog történni a valóságban. A modell fogalmával foglalkozik a könyv második fejezete. 2. Amikor hiszünk abban, hogy a gyorsulást meghatározó formulánk igaz, akkor abban hiszünk, hogy általánosan alkalmazható az alkalmazási feltételei között. Ez azt jelenti, hogy: i. Állandóság: meghatározott két tömeggel elvégezve a kísérletet több időpontban ugyanazt a gyorsulás értéket kapjuk. Föltételezve fizikai törvények állandóságát, hiszünk abban, hogy bármelyik későbbi időpontban is ezt az eredményt kapjuk, és abban is hiszünk, hogy ha korábban elvégeztük volna a kísérletet, akkor korábban is ezt a kísérleti eredményt kaptuk volna. ii. Interszubjektivitás: a kísérletet más is elvégezheti, mondhat közben bűvös szavakat, erősen gondolhat arra, hogy ne gyorsulva mozogjon a kocsi, hanem egyenletesen vagy lassulva, mindez hiába, az eredményt nem befolyásolja. - 13 -

Fizika és metafizika iii. Általánosság: abban is hiszünk, hogy a természet egységes, azaz a kísérleti rendszert számos más helyére is elszállíthatjuk a Földnek, a gyorsulás értéke, a kísérlet eredménye azonos lesz. iiii. Megismételhetőség: a kísérleti elrendezést más inercia rendszerekben, hasonló eszközökkel fölépítve, más kocsival, más súlyokkal, más csigával és kötelekkel, az eredmény továbbra is változatlan. A fenti négy pontban megfogalmazott metafizikai hiteket megfogalmazhatjuk a kibernetika nyelvén. Kísérleti elrendezésünk megfelel egy automatának, melynek bemeneti jellemzői a kocsi és a súly tömege, kimeneti jellemzői, pedig a kocsi gyorsulása, pillanatnyi sebessége és helye. Figure 2 Az automatának, mint egyedi absztrakt létezőnek (absztrakt partikulárénak) minden egyes kísérleti megvalósítása az absztrakt partikuláré egy instanciája. Ez semmi mást nem jelent, mint hogy a szónak egy később precizírozott értelmében, mindezek az instanciák egyformák abból a szempontból, hogy a kísérlet a bemeneti értékek széles tartományán belül minden esetben megegyező mérési eredményt hoz létre. Mire használható a gyorsulást kiszámító formula? Arra, hogy előre kikövetkeztessünk egyedi eseményeket, azt hogy miképp fog mozogni a kocsi. A kocsi mozgását utólag megfigyelhetjük, és összevethetjük a formulából kiszámított értékkel. A formula lehetővé teszi, hogy akár a jövőbe, akár a múltba következtessünk a - 14 -

Fizika és metafizika kísérleti elrendezés határai között. A formula ebben az értelemben megelőzi az egyedi tapasztalatot, azt is mondhatjuk, hogy a priori. Ugyanakkor a formula egyáltalán nem logikaimatematikai, kibernetikai vagy nyelvhasználatot leíró igazság, a formula tehát nem analitikus igazság. 2 A formula természeti törvényt fogalmaz meg, ami egyedi eseményeket jósol általános érvénnyel, tehát szintetikus apriori igazság. 1 Lehetséges-e, hogy a kocsi egy meghatározott <a 1 > gyorsulással halad? Igen, ha tudunk olyan súlyt akasztani a kötél végére, amit ezt okozza. Mindez az automaták nyelvén azt jelenti, hogy lehetséges hogy az automata egyik kimenete a gyorsulás meghatározott értékű, ha van olyan bemeneti értéke az automatának, amire az adott kimeneti állapot az automata válasza. Szükségszerű-e, hogy a kocsi soha nem halad állandó sebességgel ebben a kísérleti elrendezésben? Igen szükségszerű, mert ez levezethető a formulából. Az automaták nyelvén ez azt jelenti, hogy bármely bemeneti hatásra érvényes lesz, hogy a sebességet jellemző kimenet soha nem konstans függvény. Mindennek az a tanulsága, hogy a formula nem csak igaz, hanem szükségszerűen igaz, és a következtetést megalapozó szerepe jelenti a (10) formula szükségszerű igazságát. Ezt a logikai szerepet az automata modell segítségével pontosan megfogalmazhatjuk, amivel a könyv utolsó tanulmányában foglalkozom. Ez részben arra a kérdésre is választ ad, hogy vajon az egyedi fizikai tárgyak és jellemzőiken kívül, az utóbbiak összefüggéseit leíró szükségszerűséget kifejező természettörvények is léteznek-e. A kocsi gyorsulva mozog az időben, de vajon a mozgását leíró formula mennyit fejez ki az idő természetéből? A harmadik fejezetben ezt a kérdést vizsgálom meg. Az időben egyre gyorsulva mozgó kocsi helye és sebessége is változik az időben. Vajon eközben azonos marad-e önmagával? A könyv ötödik tanulmánya erre keresi a választ. Azt írtam korábban, hogy a kocsi helyét adott feltételek között, adott pontossággal meghatározó (10) interpretált formula igaz, nem csak hasznos számítási eljárás. Azt jelenti az interpretáció, hogy nem puszta logikai-matematikai formuláról van itt szó, mivel a betűk egy részének matematikán kívüli jelentése van: s a megtett út, g a nehézségi gyorsulást, m a merev testek tömegét, t az időpontokat jelöli. A matematikán kívüli jelentésnek jelen 2 Az analitikus és szintetikus igazságok megkülönböztetésével kapcsolatos vitában egyetértek Grice és Strawson álláspontjával. Grice - Strawson, In Defense of a Dogma. (1956) The Philosophical Review, Vol.65, magyarul Egy dogma védelmében in. Herbert Paul Grice: Tanulmányok a szavak életéről, (2011) Gondolat, Bp. - 15 -

Fizika és metafizika esetben az az értelme, hogy ezeknek a fogalmaknak út, idő, tömeg fizikai mérések felnek meg. De nem minden fizikai jelenség esetén ilyen egyszerű a helyzet. Léteznek olyan mikrofizikai eseményeket leíró nagyon bonyolult matematikai formulák, melyek egyes alkatrészeinek közvetlenül nem feleltethetőek meg fizikai mérések. Sajnos e sorok írója nem nagy tudós, így ilyen bonyolult formulákkal nem fog találkozni ebben a könyvben az olvasó, és az ezzel kapcsolatos filozófia problémák vizsgálatára sem kerül sor. Viszont más sokat vitatott filozófiai kérdéseket még ez az egyszerű példa is fölvet. Mik az igazság értékek hordozói, bizonyos fajta mondatok, vagy azok a bizonyos kijelentő mondatok által kifejezett filozófusok által feltételezett létezők, melyeket kijelentésnek, vagy propozíció -nak neveznek? Egyazon kijelentést különböző nyelveken, és egyazon nyelven belül is különböző módokon kifejezhetünk. Erre akartam rámutatni amikor a (1).. (4) formulák közötti egyszerű átalakításokat felsoroltam. A logikai-filozófia kérdés a következő: az (1).. (4) interpretált formulák, melyek mondatok szabatos kifejezéseinek tekinthetőek, vajon egyazon propozíciót (kijelentést) fejezik ki, vagy négy különbözőt? Az első esetben a porpozíciókban, mint feltételezetett ideális létezőkben való hit megmagyarázhatatlanná teszi, hogy mi szükség van az egyenletek átalakítására, a második esetben, pedig fölfoghatatlan., hogy miképp lehet egy nyelvektől független propozíciónak matematikai-logikai szerkezete. Ezért e sorok írója azokkal a logikussokkal ért egyet pl. Quine, Tarski akik szerint igazságértékek hordozói bizonyos kijelentő mondatok, azok amelyek egyértelmű információ tartalommal rendelkeznek. A propozíciók feltételezése fölösleges, legfeljebb, mint mondatok ekvivalencia osztályainak nevei értelmezhetőek. Bizonyos esetekben ennek ellenére hivatkozni fogok a propozíciókra, mint egyes alkalmai mondatokkal adott helyzetben kifejezett igaz vagy hamis gondolati tartalomra. De akár perkeft kijelentő mondatokhoz, akár propozíciókhoz társítom is az igazságértéket, azt mindig időtlen jellemzőnek tekintem. Azt is írtam korábban, hogy a fizikai jellemzők lehetséges mérési eredmények. Filozófiai szempontból azonban ez az állítás meglehetősen homályos, mert nem nyilvánvaló, hogy mit értsünk lehetőség alatt. A tizedik fejezet ezzel foglalkozik, megkísérel bemutatni egy olyan lehetőség értelmezést a természettudományok körében, amelyik a világ természetének tulajdonítja a lehetőség és szükségszerűség fogalmát, nem pedig az emberi megismerés folyományának. A lehetőség és szükségszerűség ilyen értelmezését alethikus modalitás -nak nevezi a logikai-filozófiai irodalom. Ebben az értelemben a lehetséges mérési eredmény - 16 -

Fizika és metafizika fogalma nem feltételezi, hogy csak akkor van egy fizikai entitásnak valamilyen mérhető tulajdonsága, ha van valaki, aki éppen méri ezt a tulajdonságot. Nem azért mert gépek, automaták is végezhetnek méréseket és nem csak személyek, hanem azért, nézetem szerint a klasszikus fizikában fizikai jellemzőknek csak az értékét és nem a létezését befolyásolja a megismerés a kvantum jelenségek világában mindez másképp fest. Sokan nem értenek egyet ezzel az állásponttal. Némelyek szerint egy fizikai objektumnak pl. a kocsinak csak akkor van értelme a sebességéről beszélni, ha éppen mérjük, amikor nem mérjük, akkor a sebességére vonatkozó állítás értelmetlen. Mások szerint nem értelmetlen, hanem hamis. Azt is állítottan korábban, hogy a formulák alapján, ha ismerjük a kocsi fizikai jellemzőit a jelenben, akkor kiszámíthatjuk a helyét és sebességét a múltban és a jövőben is természetesen ésszerű határok között. Valójában ennél többet gondolok. Abban is hiszek, hogyha nem ismerjük, és nem is ismerhetjük valamilyen okból a kocsi mostani állapotát, a múltbéli vagy jövőbeni állapotára vonatkozó állításoknak akkor is van igaz vagy hamis igazságértéke. Ezt az un. ortodox klasszikus logikai álláspontot sokan bírálják, nézetem szerint tévesen. (E sorok írója az ortodox klasszikus logikai szemléletmódot képviseli.) Azon az alapon bírálják, hogy szerintük nem lehet igazságértéke egy olyan állításnak, melynek nem meghatározható vagy bizonyítható az igazságértéke, mert a múlt vagy jövő olyan tartományáról szól, amely hozzáférhetetlen, vagy olyan feltevés ami matematikailag bizonyítatlan. Csakhogy jól ismert logikai-matematikai tételek szerint több az igaz-vagy hamis mondatok számossága, mint az igazolható vagy bizonyítható mondatoké, így a bizonyíthatatlanságra alapozó érv a múlt vagy a jövő tekintetében sem elfogadható. A nyíl paradoxon Mielőtt búcsút mondunk ennek a fizika példának kitérek a példa egy másik tanulságára. A kocsi mozgását statikus ábrával írtam le, azaz valami mozdulatlannal írtam le a mozgást. Ez sokáig nagy fejtörést okozott és a filozófusoknak. Érdemes fölidézni ezzel kapcsolatban egy a mozgás lehetőségét tagadó kétezer éves paradoxont és a mostani kocsi példát, mint a paradoxonra adott választ értelmezni. A korábbi ábra három függvényt ábrázol: a kocsi út-idő függvényét, a kocsi sebesség-idő valamint a gyorsulás-idő függvényét. Ez a három függvény minden pillanatban megadja a kocsi helyét, az aktuális sebességét és gyorsulását is, ami történetesen állandó az időben. Az hogy ezek a függvények megadják ezeket az adatokat, állásfoglalást jelent azzal kapcsolatban - 17 -

Fizika és metafizika is, hogy mi az ami van, mi az ami létezik. A függvények azt állítják, hogy van olyan, hogy a kocsi helye minden egyes időpillanatban, sőt azt is állítják, hogy van olyan, hogy a kocsi sebessége és gyorsulása a kocsi minden egyes vizsgált időpillanatában. A példa azt állítja, hogy létezik a kocsi pillanatnyi sebessége. Ez a létezési állítás filozófiai viták tárgya, úgy tűnik a kérdés, hogy létezik-e mozgás, ma is aktuális. A filozófiát nem győzi meg a mérés lehetősége akkor, ha a mozgás fogalmában ellentmondást fedez fel. Egy közelmúltban megjelent filozófiát népszerűsítő könyv így próbálja megoldani a problémát: Mihelyt eljutottunk egy valódi azaz per definitionem tovább nem osztható pillanathoz, akkor az idő olyan törtrészénél vagyunk, amelyikben nem történhet mozgás. Ez azonban azt jelenti, hogy sosem mozoghat a nyílvessző, mivel a nem mozgások összegéből nem lehet mozgás. Mivel a nyílvessző röppályájának egyetlen pontján sem mozog, ezért az egész röppályáján sem mozog. A nyílparadoxonnal a legkönnyebb elbánni az itt fölsoroltak közül. A mozgáshoz időre van szükség, így tehát nem meglepő, hogy az időt kiiktatva inkább pillanatokról beszélünk, azzal a mozgást is eltüntetjük. Jóllehet a nyílvessző esetleg egyetlen adott időpillanatban sem mozog, még mindig mozoghat, ha a mozgást valamely dolog más helyen, később felbukkanó látszatként határozzuk meg. 3 Kezdjük a végén. Ha a nyílvessző egyetlen időpillanatban sem mozog, akkor látszatként miért és hogyan mozogna, és miképpen megoldása ez a mozgás problémájának? Miképp értsük ebben az esetben a látszatot? A látszatot a valósággal szembeállítva szokták értelmezni. Pl. látszólag eltört a bot, ez azonban optikai csalódás, valójában a bot továbbra is egyenes. A bűvész látszólag kettéfűrészelte a nőt, de valójában mégsem, mert lám mosolyogva kiszáll a ládából. Ennek alapján így okoskodhatunk: látszólag mozog a nyíl, valójában mégsem mozog, hanem végig egyazon helyen van. Ez úgy történhet meg, hogy a nyílvessző egy asztalon fekszik, és mi kocsin ülve elgördülünk az asztal előtt, de úgy érzékeljük, hogy mi állunk, és az asztalon lévő nyílvessző halad. Vajon ez megoldja a mozgó nyíl rejtélyét? Olyan módon oldja meg, hogy most helyette a kocsi mozog, annak mozgását kéne megmagyarázzuk. Valójában tehát nem oldotta meg a problémát, csak tovább tolta. Úgy tűnik Zénón valóban ellentmondást talált a mozgás fogalmában, de nézzük meg ezt közelebbről. 3 Fearn Nicholas, Zénón és a teknősbéka - Avagy hogyan gondolkodjunk úgy, mint egy filozófus?, Akadémiai Kiadó, Bp., 2011, 37.o. - 18 -

Fizika és metafizika Kicsit alakítsuk át az eredeti problémát, repülő nyíl helyett sínen gördülő vonat kocsit vizsgáljunk. A lényeget nem érinti, hogy a repülő nyíl vagy egy vonat kocsi sínen való gördülését elemezzük. Legyen adott tehát egy merev test, egy vonat kocsi, amelyik hol mozog, hol áll a síneken. Fogalmozzuk át a paradoxont a vonat kocsira és fedjük fel a fenti érvelés logikai szerkezetét. Tegyük fel, hogy a kocsi mozog, amely feltevésünket (1)-el jelölöm, és a csillag arra utal, hogy ez puszta feltevés, nem pedig logikai igazság. Az újabb és újabb feltevéseket újabb csillag oszloppal jelölöm. A jobboldali zárójelbe tett szám azt mutatja, hogy miből következik a mondat. *(1) A kocsi t 1 időpillanatban mozog. **(2) A kocsi minden t időpillanatban a pálya meghatározott s helyén van. **(3) A kocsi t 1 időpillanatban s 1 helyen van. (2) ***(4) Ha a kocsi mozog, akkor egy időtartományban van. ***(5) Ha egy kocsi nem idő tartományban van, akkor nem mozog. (4) ****(6) Egy időpillanat soha nem egy idő tartomány. ****(7) A t 1 időpillanat nem időtartomány (6) ****(8) A kocsi t 1 időpillanatban nem időtartományban van. (7)) ****(9) A kocsi t 1 időpillanatban nem mozog. (5) (8) ****(10) A kocsi t 1 időpillanatban mozog és a kocsi t 1 időpillanatban nem mozog. (1) (9) Mivel t 1 időpillanat tetszőleges volt, bármely időpillanatra nézve ellentmondásra jutunk. Ellentmondásra jutottunk, tehát egy vagy több kiinduló föltevést premisszát el kell vessünk. Melyiket válasszuk? Vegyük sorra a csillaggal megjelölt új sorokat, azaz a premisszáinkat, melyeket most római számokkal jelöltem: (I.) A kocsi t 1 időpillanatban mozog. (II.) A kocsi minden t időpillanatban a pálya meghatározott s helyén van. (III.) Ha a kocsi mozog akkor egy időtartományban mozog. (IV.) Egy időpillanat soha nem egy idő tartomány. Az utolsó premissza cáfolhatatlannak tűnik. Miért? Azért mert az időpillanat egy már tovább nem osztható valami, az időtartomány viszont folytonos időt feltételezve, mindig tovább osztható. Valami tehát vagy időpillanat vagy időtartomány. Ez azonban nem zárja ki, hogy egy időtartomány időpillanatokból áll, csak a fogalmi különbségre utal. Diszkrét időt - 19 -

Fizika és metafizika feltételezve a legrövidebb időtartomány két egymást követő időpillanat, folytonos időt feltételezve viszont nem értelmezhető a valamely időpontra rákövetkező időpillanat. A második premissza is megingathatatlannak tűnik. Ha a kocsi pályáját valamely s függvény írja le az időben, akkor a függvény argumentum értékeire értelmezve van a függvény értéke, tehát minden t időpontra van olyan y, hogy y=s(t). A helyzet tehát a következő: vagy (i) et kell elvessük, és akkor Zénónnak igaza van, vagy (III.)-kell elvessük, ekkor Newton követői vagyunk. Vizsgáljuk meg közelebbről mit is állít (III.) Valójában azt állítja, hogy ha a kocsi t 1 időpillanatban s 1 helyen van, akkor a kocsi áll. Mielőtt ezt matematikai szempontból megvizsgáljuk, vizsgáljuk meg egy szemléletes példával. Az alábbi két ábra közül az egyik a t 1 helyen álló, a másik a t 1 helyen mozgó kocsit ábrázolja. Meg tudjuk-e mondani, hogy melyik a kettő közül a mozgó kocsi ábrája? ábra 1 ábra 2 Nem tudjuk, mert azt sem tudjuk megmondani, hogy melyik ábrázolja az állót. A probléma a következő. Egy pillanat alatt a kocsi semennyit sem tud előrehaladni, csakhogy ebből mégsem következik, hogy abban a pillanatban a kocsi sebessége nulla. Ez ellentmond a józan észnek, mégis igaz. Miképpen látható ez be? Kétféleképpen is elmondom. Elmondom általános iskolai ismereteket, és elmondom középiskolás ismereteket föltételezve is. Elemi iskolai tananyag, hogy: út = sebesség * idő. Ez így azért nem elég pontos, pontosabban így fest: a kocsi által megtett út = a kocsi sebessége * az eltelt idő. Képlettel: s=v * t. Zénón abból, hogy s=0 arra következtetett, hogy akkor v=0, azaz a kocsi áll. Ez azonban hibás következtetés, mert ez csak az egyik lehetőség, a másik lehetőség az, hogy az eltelt idő, azaz t=0 és a sebesség viszont nem nulla. Ezért téves volt a következtetése, de Zénón sem az ilyen formulákat, sem a sebesség fogalmát nem ismerte, így neki nem róható föl a tévedés. Középiskolás fokon még precízebben és általánosabban fogalmazhatunk. A kocsi helyét miden időpillanatban megadja az s út-idő függvény, de mi írja le a sebességét? A sebességét az s függvény s derivált függvénye írja le, amelyik minden időpillanatban megadja a kocsi sebességét, legalábbis a newtoni fizika szerint. Tehát igenis értelmezhető a kocsi sebessége - 20 -

Fizika és metafizika minden időpillanatban, nem csak egy időtartományban. A kocsinak van sebessége minden időpillanatban, és a kocsi akkor áll valamely t időpillanatban, ha a sebesség függvény értéke abban a t időpillanatban nulla, mozog más esetben. Ugyanakkor amennyiben csak egyetlen időpontban ismerjük a kocsi helyét, az alapján nem tudjuk meghatározni a pályáját leíró függvényt, és így a sebesség függvényét sem. Ha csak egyetlen hely-időpont értéket ismerünk, az alapján nem határozható meg a függvény abban a pontban lévő differenciál hányadosa, mivel nem meghatározható az ahhoz a függvény értékhez tartozó érintő. Ha nem határozható meg az érintő, akkor a sebesség sem határozható meg, azaz nem tudjuk, hogy a kocsi áll vagy mozog. Ezért nem tudunk a fenti két ábra között választani. 2 Mindebből az következik, hogy a nyíl paradoxon nem bizonyítja a mozgás ellentmondásos mivoltát, és föltéve, hogy az ellentmondásos fogalmak terjedelme üres, nem cáfolja meg a mozgás tulajdonságának létét. Hasonló érvelési stratégiát fogunk látni, az idő létezésével kapcsolatban is. Ha egy filozófus ellentmondásosnak találja az idő fogalmát, akkor tagadja annak létezését, nem törődve a józan ész álláspontjával vagy az órák ketyegésével. A piszkavasat tűzbe tesszük Tegyük fel, hogy a kályha a folyamatos energiatermelés miatt végtelen hőkapacitásúnak tekinthető a piszkavashoz képest, azaz állandó hőmérsékletű a kölcsönhatás során. Ekkor a piszkavas melegedése egy T(Δt)=T 0 -T 1 *e k*δt függvénnyel írható le, ahol: T a piszkavas pillanatnyi hőmérséklete, T 0 a kályha belső hőmérséklete ez egyben a piszkavas környezete amikor a tűzbe tesszük T 1 a piszkavas kezdeti hőmérséklete, k a piszkavas hőtani, felületi és a környezet hővezetési adataiból alakuló állandó, Δt a kölcsönhatás kezdetétől eltelt idő, és e az Euler féle szám. 4 A kocsi abban a pillanatban elkezd gyorsulni, amint a kötél végén elengedjük a súlyt, de nem így a piszkavas, ami fokozatosan melegszik föl egy maximális értekre, miután a tűzbe tettük. Vannak hatások, amelyek egy kísérleti elrendezésre azonnal hatnak, más rendszerekre a környezet fokozatosan fejti ki hatását. Korábban láttuk, hogy egy kísérleti elrendezésnek miként feleltethető meg egy fekete doboz, azaz egy automata. Ilyen megfeleltetés segítségével ezt a különbséget az analóg automaták (fekete dobok) két csoportja fejezi ki: a nem tárolós illetve a tárolós átviteli tagok. Előbbieken a hatás a bemeneti jel késleltetés nélkül áthalad, az utóbbiakon viszont időben eltolva, és csak fokozatosan érvényesül a hatása. Előbbire volt 4 A kísérlet fizikai magyarázatáért köszönettel tartozom Zimmermann Pál fizikusnak. - 21 -

Fizika és metafizika példa a kocsi-súly rendszer, utóbbira pedig a tűzbe tett piszkavas. A melegedés jelenségét különböző pontossággal írhatjuk le. Ábrázolhatjuk a valós számok tartományán analóg jellel, vagy az egész számok, vagy hányadosaik tartományán, digitális jellel. Ezt a két lehetőséget mutatja a piszkavas alábbi melegedési grafikonja. Figure 3 Miközben a piszkavas fölforrósodik, megváltozik a színe a vége izzani kezd és mivel kitágul, kis mértékben az alakja is megváltozik. Miért mondjuk mégis, hogy eközben megtartja önazonosságát, hiszek mások a tulajdonságai hidegen, mint forró, izzó állapotban? Egyáltalán le lehet ezt a változást ellentmondásmentesen írni? Ezzel a kérdéssel foglalkozik a könyv ötödik tanulmánya. Mit jelent a piszkavas hőmérsékletével kapcsolatos tapasztalati állítás igazsága pl. A piszkavas hőmérséklete t 1 időpontban 275 o C mondat igaz? Ezzel foglalkozik a könyv kilencedik fejezete. A piszkavasnak az a tulajdonsága, hogy fokozatosan melegszik és hűl le, nem pedig azonnal, késedelem nélkül, nem alkalmai, esetleges tulajdonsága a piszkavasnak, hanem minden esetben ez történik vagy történne. Még akkor is, ha soha nem tesszük a piszkavasat a tűzbe. - 22 -

Fizika és metafizika Ezt a hitünket úgy is kifejezhetjük, hogy szükségszerűen igaz, hogy a piszkavas tárolós átviteli tagot képvisel. Számtalan módon fölmelegedhet és lehűlhet a piszkavas attól függően, hogy milyen meleg a kályha, de nem bármilyen módon. Ezért számtalan, az ábrához hasonló függvénygörbe írja le a piszkavas összes lehetséges melegedését és lehűlését, de nem bármilyen görbe. A görbe meredekségét korlátozza a piszkavas tömege és anyagminősége. Hogy ne akadályozzanak a matematikai végetlennel kapcsolatos nehézségek, a piszkavas melegedését és lehűlését, azaz a piszkavas történetét közelítő pontossággal, lépcsőzetes grafikonokkal írjuk le, és az időnek csak egy véges tartományával foglalkozunk. Így is nagyon nagy számú lesz a piszkavas összes lehetséges hőmérsékleti grafikonja, de nem végtelen, mert az időt is diszkrét időpontok, ütemek sorozataként fogjuk fel. Ez lehetővé teszi, hogy a piszkavasat ne csak analóg automatákkal, hanem diszkrét időben működő és csak véges sok állapotú, véges automatákkal is szimulálhatjuk. A piszkavas összes lehetséges melegedési függvényét jelölje Ψ, ennek egy eleme a piszkavas valóságos történetét leíró φ reality függvény, amelyet azonban csak részben, a jelen pillanatig ismerünk. A jelen pillanatig tartó φ 0 függvény azonban szintén eleme Ψ-nek, mert egy a lehetséges függvények közül. Ψ-nek azt a szűkítését, amelyik pontosan azokat a függvényeket tartalmazza, melyek a jelen időpontig megegyeznek a piszkavas történetével, utána viszont az összes lehetséges melegedési vagy kihűlési függvényt tartalmazzák, Ψ*-val jelölöm. Tömören összefoglalva mindezeket a halmazelmélet nyelvén így fejezhetjük ki: (1) Ψ* Ψ és φ 0 Ψ* és φ reality Ψ Figyeljük meg jól, hogy ebben a felfogásban lehetőség az, ami valamilyen környezeti hatásra levezethető a piszkavas melegedési függvényéből, szükségszerűen igaz pedig az a piszkavasra vonatkozó fizikai kijelentés, amelyik a melegedési egyenlet alapján az összes lehetséges környezeti hatás esetén is igaz. A piszkavas egyenletét azonban valamiképp logikai nyelven kell megfogalmazzuk, hogy szabatos filozófiai állításokat tehessünk. Erre szolgál a piszkavas viselkedését szimuláló véges automata modell. Ilyen módon fogom visszavezetni a piszkavasra vonatkozó némely fizikai kijelentés szükségszerű igazságát a piszkavas tulajdonságaira. Hiszen szükségszerű, hogy a piszkavas késleltetve melegszik föl, és késleltetve hűl le. Ennek megértéshez nem kell a lehetséges világokban létező hasonló piszkavasakban hinnünk, ahogy David Lewis állítja. Ezzel a könyv utolsó tanulmánya foglalkozik. - 23 -

Fizika és metafizika Mielőtt elbúcsúzunk a két fizika példától, még röviden kitérek egy a fizikai törvények szükségszerű igazságával kapcsolatos érzelmileg motivált kérdésre. Vajon összeegyeztethetetlen-e a szükségszerűség imént fölvázolt felfogása a csodákban való hittel? A válasz a látszat ellenére nem triviális, mert attól függ miféle csodákban hisz valaki. Az hogy erős hittel fölfüggeszthet-e valaki egy természettörvényt, kísérletileg ellenőrizhető, és ha igazolást nyerne bizonyosan újabb, másfajta természeti törvények keresésére indítaná a kísérletező természettudományt. Az a hit azonban, hogy egyszer valaki valahol a vízen járt, mivel: i. nem állandó, senki sem állítja, hogy most is képes valaki a vízen járni; ii. nem interszubjektív, senki nem állítja, hogy bárki más pl. aki nem hiszi a csodákat képes lett volna vízen járni; iii. nem általános, szó sincs arról, hogy a vízen járás a természetes, az elsüllyedés pedig csoda; iiii. nem megismételhető, semmilyen módon nem tudjuk visszahívni ama személyt, hogy ismételje meg előttünk a kísérletet. Ezért egy ilyen csoda olyannyira izolált esemény, hogy amennyiben szavahihető beszámolónk van a megtörténtéről, nem tudjuk megcáfolni, hiszen a törvények általános érvényességére való hivatkozás körbefogó érvelés volna, előre feltételezi, amit bizonyítani kíván. Amit tehetünk, hogy körülhatároljuk a természeti szükségszerűség érvényességi körét. - 24 -

Modellek matematikán innen és túl Modellek matematikán innen és túl 5 A fogalom általam használt értelme jelentősen eltér a filozófiában szokásostól, ezért külön fejezetben foglalkozom a szó jelentésével. A filozófiában és a logikai szemantikában a modell az igazság fogalmával kapcsolatos. Egy példa megvilágítja, hogy mi is ennek a lényege. Annak a mondatnak, hogy Szókratész bölcs. a legegyszerűbb fordítása a klasszikus elsőrendű logikai formulák nyelvére, hogy F(a), ahol az F predikátum a bölcs fogalomnak, az a individuum név, pedig Szókratésznek felel meg. A bölcs fogalom terjedelmét képviselje egy H halmaz, melynek elemei mindazok, és csak azok a személyek, akik bölcsek. (Föltesszük, hogy csak személyek lehetnek bölcsek.) Azt a tényt, hogy Szókratész bölcs ezen a halmazelméleti módon úgy tudjuk kifejezni, hogy a piszeorrú filozófus is eleme a bölcsek halmazának. Nevezzük interpretációnak egy olyan függvény megadását, amelyik megadja az F predikátum terjedelmét, és azt a dolgot, amit az a individuum név jelöl. Amennyiben az a jelölte dolog eleme a F terjedelmének, azaz H halmaznak, akkor az F(a) formulának modellje ez a halmazelméleti struktúra, ha nem eleme, akkor nem a modellje. Könnyű belátni, hogy az F(a) formulának van modellje, nevezetesen egy olyan nem üres halmaz, amelyiknek eleme az a jelölte dolog, és a halmaz azonos az F predikátum terjedelmével. Vegyük azonban azt az összetett mondatot, hogy Szókratész nem bölcs és bölcs egyszerre: ~F(a) & F(a). Ahol &=és; ~=nem; F=bölcs; a=szókratész. Vajon ennek a formulának van-e modellje? Akkor lenne, ha találnánk olyan elemet, amelyik eleme H-nak meg nem is eleme H-nak. Ez azonban lehetetlen, így ennek az összetett formulának nincs modellje, másképp mondva a ~F(a) & F(a) összetett formula logika hamisság. Ezzel szemben az F(a) formula nem logika hamisság, mert van modellje, de nem is logikai igazság, mert a tagadásának ~F(a)- nek is van modellje, mondjuk az, amikor Szókratész nem bölcs, hanem buta fecsegő. Ez a lényege vázlatosan a modell szokásos logikai-filozófiai fogalmának, melyet pl. az idő létezésével kapcsolatos fejezetben én is használni fogok. Most azonban egy ennél szélesebb értelmezést szeretnék bemutatni. Anyagi modellek Mint a legtöbb köznapi beszédben használt kifejezés, a modell szó is a képlékeny, sokértelmű szavak közé tartozik. Különféle dolgok különféle kapcsolatát fejezzük ki a modell szó különféle használatával. A festő vagy szobrász és modellje közötti viszony ami rokon a mostani vizsgálódás irányával. Egy épülő városrész makettje és a majdan felépült 5 A Magyar Tudomány 2007. novemberi számában megjelent szöveg kissé módosított változata. - 25 -