A karpántokról, a karpántos szerkezetekről V. rész Karpántos sorozatunk ezen úja részéen az I. részen táryalt. feladatot fejlesztjük tová. Elő azonan ey szóhasználatot tisztázunk. Mí koráan fejkötőkkel ellátott fakeret - ről írtunk, most inká a feszítőműves keretszerkezet, vay a karpántos keretszerkezet kifejezést alkalmazzuk. Ezekről ondoljuk azt, hoy jó mayar mefelelői lehetnek az [ ] - en is használt Rahmensprenwerk német kifejezésnek. A következőken olyan részfeladatokat oldunk me, melyekől viszonyla eyszerűen összerakható onyolulta yakorlati feladatok meoldása. Most tekintsük az. árát!. ára Itt eszéljük me a továiakan vizsált szerkezet általános jellemzőit és az alkalmazott jelöléseket. A szerkezet szimmetrikus kialakítású: a két oszlop, a erenda és a karpántok, valamint a mefoások olyanok, hoy a keret ey a erenda közepén átmenő füőlees szimmetriatenellyel ír. Ez azt is jelenti, hoy az oszlopok is, a karpántok is eyeznek párjukkal, anyauk és méreteik tekintetéen is, a erenda pedi meszakítás nélküli. 6. Feladat Először ey vízszintes W konentrált erő esetét vizsáljuk, mely a al oldali oszlopon működik, az alsó sukló felett maassáan. ára. Ennek hatására az A és A suklókan a hasonlóan jelölt, A és A naysáú reakióerők érednek. Az A és A vektorú reakióerőket vízszintes és füőlees összetevőikre ontjuk, az aláiak szerint: A, H V A H V, ( ) H X.
Minthoy a szerkezet a fix suklós metámasztások miatt külsőle statikaila eysze - resen határozatlan, ezért a támaszerők összetevőien ezt az ismeretlent az X jelöléssel domorítjuk ki. A. árán a szerkezetet terhelő külső aktív és reakió - erőket, valamint a karpántan éredő S és S naysáú dúerőket tüntettük fel, a szüksées eyé jelölésekkel eyütt.. ára A H és X vektorok irányát / nyílértelmét a W vektoréval ellentétesnek tételezzük fel. A számítás elve: ha ey szerkezet eyensúlyan van, akkor minden eyes része is eyensúlyan van. A reakiók mehatározásához eyensúlyi eyenleteket írunk fel. A M W V l, innen: V W. ( ) l F V V, Y innen: V V. ( ) Most ( ) és ( ) - mal: V W. ( 4 ) l Ezek szerint a V és V vektorok naysáa eyenlő, nyílértelmük az ára szerinti.
F W H X, X innen: H W X. ( 5 ) A dúerők naysáa: B M X h S sin, innen: h S X. sin Hasonlóan: B innen: S sin W h H h ; M H h W h S sin, felhasználva ( 5 ) - öt is: S sin W h WX h Xh W, innen: Xh W S. sin ( 6 ) ( 7 ) ( 6 ) és ( 7 ) összehasonlításáól adódik, hoy S S. Sőt: az is, hoy előjelük ellentétes is lehet. A fenti eyenletek közül tö tartalmazza X - et. Ennek értékét az alakváltozási poteniális eneria minimumának tételéől számítjuk ki. Most is sak a hajlítási eneria - részt vesszük fiyeleme. Ehhez szakaszonként fel kell írni a hajlítónyomatéki füvé - nyek eyenletét. A részleteket nem mayarázzuk; azok a koráiakól már ismerősek. Az alapeyenlet [ ] : M (x) dx. X ( 8 ) EI (hlh) A differeniálás után: (hlh) M(x) M(x, X). EI X ( 9 ) A hajlítónyomatéki füvények felírásához részeire ontjuk a szerkezetet. Először azt próáljuk meesülni, hoy mik a kapsolati erők helyes irányai.
Ezt úy tesszük, hoy felvázoljuk a tartó rualmas vonalának hozzávetőlees képét puskázva [ ] - ől, majd erről leolvassuk az eyes kapsolati erők valószínű nyílértelmét. 4. ára A. árán ey merev sarokkal író keretszerkezet vízszintes terhelés hatására létrejövő deformált alakját vázoltuk. Ez közeli rokona a mi szerkezetünknek, íy tanulhatunk tőle. A lelényeese informáió, hoy a W teher hatására a erenda úy örül, mintha az F és F képzelt erők hajlítanák. Ez azt is jelenti, hoy vélhetőle a dúerőink közül S nyomóerő, S pedi húzóerő lesz. Másfelől a erenda nyomatéki árája előjelet vált, hiszen az inflexiós pontan a hajlítónyomaték zérus értékű. Ezen tapasztalatok alapján a részeire ontott és a kapsolati erőkkel illetve azok vízszintes és füőlees összetevő - ivel is terhelt szerkezet a 4. ára szerinti. 4. ára
5 A dúerők összetevőinek naysáa: Sv S os, Sf S sin. Hasonlóan: Sv S os, Sf S sin. ( ) ( ) A B somóponti kapsolati erő összetevőinek naysáa az aláiak szerint alakul. Nyomatéki eyenlettel: B h S a W, v innen: v a Bv S W. h h v ( ) Most meváltoztatjuk S előjelét, hiszen ( 7 ) levezetésekor nyomóerőt tételeztünk fel, itt azonan már húzóerőt: WXh S *. sin ( ) Most ( / ) és ( ) szerint: WXh WXh Sv S * os os, sin t WXh S v ; t ( 4 ) most fiyeleme vesszük, hoy az. ára szerint: t h a, ( 5 ) íy ( 4 ) és ( 5 ) - tel: WXh h Sv W X, h a h a h a h Sv W X. h a h a ( 6 )
6 Majd ( ) és ( 6 ) - tal: a a h a Bv Sv W W X W h h h a h h a h h a a h a a a W X W X h h a h a h h a h a h a a W X W X, h h a h a h a h a a Bv W X. h a h a ( 7 ) Ezután vetületi eyenlettel: V S B, innen: f f B S V. ( 8 ) f f Majd ( / ) és ( ) szerint: WXh WXh h Sf S * sin S * sin W X, sin h S f W X. ( 9 ) Most ( 4 ), ( 8 ), ( 9 ) - el: h h Bf Sf V W X W W X, l l h Bf W X. l ( ) Ismét nyomatéki eyenlettel: B h S a, v innen: v a B S. h v v ( )
7 Most ( 6 ), ( / ) és ( 5 ) - tel: h h h Sv S os X os X X, sin t h a h Sv X. h a Majd ( ) és ( ) - vel: a h a a Bv Sv X X, h h a h h a a Bv X. h a ( ) ( ) Meint vetületi eyenlettel: V B S, f f innen: B S V. ( 4 ) f f Most ( 6 ) és ( / ) - vel: h h Sf S sin X sin X, sin h Sf X. ( 5 ) Majd ( ), ( 4 ) és ( 5 ) - tel: h Bf Sf V X W, l innen: h B f X W. l ( 6 ) Most összefolaljuk részeredményeinket, a jo áttekinthetősé kedvéért:
8 h h Sv W X ; Sf W X ; h a h a a h Bv W X ; Bf W X ; h a h a l h h Sv X ; Sf X ; h a a h Bv X ; Bf X W. h a l ( Ö ) Ellenőrzés a erendára alkalmazott nyomatéki eyenletekkel: B l S l S ; f f f ehelyettesítve ( Ö ) - ől: h W X l W X h l X h. l Hasonlóan: B ls l S ; f f f ehelyettesítve ( Ö ) - ől: h h X W l X l W X h. l Úy tűnik, ez idái jól doloztunk. A hajlítónyomatéki füvények a következők. Bal oldali oszlop: MI x H x ; x ; MII x H x Wx ; x a ; MIII x ' Bv x ' ; x ' h a. ( 7 )
9 Most ( 5 ), ( 7 ) és ( 7 ) - tel: MI x W X x ; x ; MII x W Xx Wx ; x a ; a MIII x ' W X x ' ; x ' h a. h a h a Eyszerű alakan: MI x W Xx ; x ; MII x WX x ; x a ; a MIII x ' W X x ' ; x ' h a. h a h a ( 8 ) Ellenőrzés:? M x a M x ' h a ; II III M x a W X a ; II a MIII x ' h a W X h a WXa, h a h a tehát a szakaszhatáron a hajlítónyomatékok meeyeznek. Gerenda: MI x Bf x ; x ; MII x Bf x Sf x ; x l ; MIII x ' Bf x ' ; x '. ( 9 ) Most ( 9 ), ( ), ( 6 ) és ( 9 ) - el:
h MI x W X x ; x ; l h h MII x W X x W X x ; x l ; l h MIII x ' X W x ' ; x '. l Eyszerű alakan: h MI x W X x ; x ; l MII x WXh W x ; x l ; l h MIII x ' X W x ' ; x '. l ( ) Ellenőrzés:? M x l M x ' ; II III MII x l WXh W l W Xh ; l l h MIII x ' X W W Xh, l l tehát a szakaszhatáron a hajlítónyomatékok meeyeznek. Jo oldali oszlop: MI x X x ; x a ; MII x ' Bv x ' ; x ' h a. ( ) Most ( ) és ( ) - yel:
MI x X x ; x a ; a MII x ' X x ' ; x ' h a. h a ( ) Ellenőrzés:? M x a M x ' h a ; I II M x a X a ; I a M II x ' h a X h a Xa, h a tehát a szakaszhatáron a hajlítónyomatékok meeyeznek. Miután mevannak a hajlítónyomatéki szakaszfüvények, visszatérünk ( 9 ) - hez. Eszerint: (s) M(x) M(x, X) EI X a h a MI x MI x MII x M II x MIII x ' MIII x ' EI X EI X EI X dx dx dx ' M x M x M x M x M x ' M x ' dx dx dx ' l I I II II III III EI X EI X EI X M x M x M x ' M x ' dx dx '. a h a I I II II EI X EI X ( ) Lássunk neki a határozott interálok kiszámításának! Ehhez kellenek a hajlítónyomaték - füvények X szerinti pariális deriváltja. Összeyűjtjük az összetartozó kifejezéseket. Bal oldali oszlop: MI x M I x W Xx ; x ; X MII x M II x WXx ; x ; X a MIII x ' a M III x ' W X x ' ; x '. h a h a X h a ( 4 )
Gerenda: h MI x h MI x W X x ; x ; l X MII x MII x WXh W x ; h ; l X h MIII x ' h MIII x ' X W x ' ; x '. l X ( 5 ) Jo oldali oszlop: M I x MI x Xx ; x ; X a MII x ' a MII x ' X x ' ; x '. h a X h a ( 6 ) Most kiszámítjuk az interálokat ( ), ( 4 ), ( 5 ) és ( 6 ) felhasználásával. Bal oldali oszlop: Az I. szakaszon: MI x MI x dx W X x x dx EI X EI x W X W X W X x dx, EI EI EI M x M x WX dx. E I X E I ( 7 ) I I
A II. szakaszon: a a II II dx W X x x dx M x M x E I X E I a a a a x x W x dx X x dx W X EI E I W X a a, E I a MII x MII x W X dx a a. EI X EI ( 8 ) A III. szakaszon: ha MIII x ' MIII x ' EI X x ' W X a W X a h a EI W X a, ha dx ' ha a a W X x ' x ' dx ' EI h a h a h a a a W X x ' dx ' h a EI h a h a ha a h a EI a h a a h a EI
4 ha MIII x ' MIII x ' a h a dx ' W X a. EI X EI ( 9 ) Gerenda: Az I. szakaszon: MI x MI x h h dx W X x x dx EI X EI l x W X x dx W X h h h h EI l E I l h h h h W X W X, EI l E I l dx W X. MI x MI x h h EI X EI l ( 4 ) A II. szakaszon: M x M x l l II II dx W X h W x h dx EI X EI l l l h WX h dx W x dx EI l l h l x W X h x W EI l h WXhl W l ; EI l folytatva:
5 l M x M x EI X II II dx h W Xhl W l EI l h W Xhl W ll EI l h l h l WX h W W X h E I EI, M x M x h l l II II dx W X h. EI X EI ( 4 ) A III. szakaszon: MIII x ' MIII x ' EI X dx ' h h X W x ' x ' dx ' EI l x ' X W x ' dx ' X W h h h h EI l E I l h h h h X W X W, EI l EI l III III M x ' M x ' h h dx ' X W. E I X E I l ( 4 )
6 Jo oldali oszlop: Az I. szakaszon: a a a MI x MI x X dx X x x dx x dx EI X EI EI a a x X X X a x dx, EI EI EI a MI x MI x Xa EI X EI dx. ( 4 ) A II. szakaszon: ha ha MII x ' MII x ' a a EI X EI h a h a dx ' X x ' x ' dx ' ha ha x ' x ' dx ' X a X a EI h a EI h a X a X h a a h a, EI h a EI ha MII x ' MII x ' X dx ' a h a. ( 44 ) EI X EI Most a ( ), ( 7 ), ( 8 ), ( 9 ), ( 4 ), ( 4 ), ( 4 ), ( 4 ) és ( 44 ) képletekkel: (s) M(x) M(x, X) EI X
W X W X a h a EI EI EI h h hl W X W X h EI l E I h h Xa X X W a h E I l a. EI EI 7 a a WXa ( 45 ) Rendezve, a ( B ) al oldalon az X, a ( J ) jo oldalon a W tényezős taokkal az alái - ak állnak elő. X Xa Xa h a Xh B E I E I E I E I Xh l Xa h a Xh Xa EI EI EI EI tová rendezve: Xa h Xh Xh l B EI EI EI Xa h Xh Xh l EI EI EI a h h 4 X a h h l4 X l E I E I E I E I Xh a h l4, E I E I ; Xh a hl4 B. E I E I ( 46 ) Hasonlóan eljárva:
8 W a W W a h a h J W EI EI EI EI l Wh l h W ; EI l EI tová rendezve: W Wa Wah J EI EI EI h Wh l W EI l l EI W Wa Wah Wh Wh l 6EI 6EI EI EI EI W Wh a ah l6 6EI 6EI W Wh a ah l 4, 6EI 6EI W Wh J a ah l4. 6EI 6EI ( 47 ) Most ( 45 ) átrendezésének véeredményeként: B J, ( 48 ) íy ( 46 ), ( 47 ) és ( 48 ) szerint: hl4 a a h l 4. E I E I 6 EI 6E I Xh a W W h Ezt meoldva:
9 W Wh 6EI 6EI h a hl4 E I E I a a h l 4 X, vay a ah hl4 W EI EI X ; h a hl4 E I E I ( 49 ) tová alakítva: h l4 a a h EI W EI hl4 EI X h hl4 a EI EI h l4 EI a a h EI W hl 4 EI h a EI h l4 EI, a a h EI W hl4 EI h h l4 EI X. a EI Bevezetjük a a EI h l4 EI ( 5 ) ( 5 ) jelölést; most ( 5 ) és ( 5 ) - yel:
a a h a ah a W a W X h h a a a ah W, a h a a ah X W. a h ( 5 ) Az X kifejezés ( 5 ) szerinti alakja mefelel az [ ] munkáan találhatónak ld.: 594.o., ( 6 ) képlet!, ahol a levezetés némile másképpen alakult. A nyomatéki ára jellemző pontjai / értékei 4. ára : ~ a hajlítónyomaték a W erő támadáspontjának keresztmetszetéen, ( 5 ) - tel is: MW H W X ; ( 5 ) ~ a hajlítónyomaték a D keresztmetszeten: D M H a W a WX a W a WX a ; ( 54 ) ~ a hajlítónyomaték a D keresztmetszeten most már az előjelre is üyelve : M X a ; ( 55 ) D ~ a hajlítónyomaték a C keresztmetszeten, ( ) - szal is: h MC B f W X W Xh l l W lxh ; l ~ a hajlítónyomaték a C keresztmetszeten, ( 6 ) - tal is: h MC B f X W W Xh. l l A tartó összeezett nyomatéki árája W - re [ ] szerint az 5. árán látható. Itt szaatott vonallal árázoltuk a sarokmerev keret nyomatéki ára - alakját is, ezzel memutatva a kétféle szerkezet és ára közti hasonlósáokat / különséeket is. ( 56 ) ( 57 )
5. ára Speiális esetek: S. = eset, ( * ) vayis amikor a W vízszintes erő az A támaszra hat. Ekkor ( 5 ) és ( 5 ) szerint: X*, H * W X* W. ( 58 ) Látjuk, hoy ekkor a teljes vízszintes erőt a al oldali A fix sukló veszi fel. S. = a < h, ( ** ) vayis amikor a W vízszintes erő a karpánt esatlakozási keresztmetszetéen hat. Ekkor ( 5 ) és ( ** ) - al: a a ah a a ah a X ** W Wa a h a h a ah a h a h Wa Wa W a h a h h W a h W a h, h h h
W a h X**. h h ( 59 ) Az ( 59 ) képletől rötön kiolvasható, hoy a < h miatt X** < W /, vayis ( 5 ) szerint H > W /. Látjuk, hoy valóan fennáll, amit koráan, az. feladatnál mejeyeztünk; nevezete - sen, hoy a támaszerők a W vízszintes terhelésre izonyos eseteken nem eyenlők. Itt nyilván felvetődik a kérdés, hoy mikor lehet helyes a H = H feltevés a W teherre. Ezt az esetet az ( 5 ) képlet alapján nem tudjuk mevizsálni, mert az eddii eredmé - nyek sak a a tartományan érvényesek. Azonan a fentiekhez hasonló számítással memutatható, hoy a W terhelésre H = H, ha a < = h ld.:[ ]! Mejeyezzük, hoy a karpántos keretszerkezet és a neki mefelelő sarokmerev keret - szerkezet közti fente is memutatott rokonsáot kihasználva sok időt és eneriát takaríthatunk me, keretszámító képletyűjtemény használatával. Ey ilyen a [ ] mű is. Eől vettük az ideváó két eset szemléltetésére a 6. és 7. árákat. 6. ára 7. ára
Az utói árákon más etűjelzések találhatók, mint fente, ami a lényeet nem érinti. S. = a h, ( *** ) vayis amikor a karpánt esatlakozási keresztmetszete az oszlop vééhez közelít, azaz D B. Ha azt akarjuk elérni, hoy ennek során a karpánt is eyenletesen zsuorodjon, akkor iztosítani kell ( *** ) - on kívül a feltétel teljesülését is, de úy, hoy közen fennálljon a h a t áll. ( f ) feltétel is. Most ( 5 ) és ( 59 ) - el: a EI a EI a h a W hl4 EI W l4 EI X** ; a EI a EI h h h h l4 EI l4 EI Majd ( 6 ) és ( f ) - fel: a EI a h a l4 EI W t X** ; a EI h h a EI l4 t ( 6 ) ( 6 ) most érvényesítve a ( *** ) feltételt, ( 6 ) - ől kapjuk, hoy: h EI h W l E I W X ***, h EI h l E I W X ***. ( 6 ) ( 6 ) eyezik a 7. áráról leolvasható mefelelő eredménnyel. Vayis a ( *** ) eseten a karpánt a kiékelés szerepét játssza.
4 A 6. feladat meoldását itt nem folytatjuk tová. Láttuk, hoy az X ismeretlen meha - tározása után már minden szüksées mennyisé kiszámítható, íy a feladat talalása a továiakan önállóan folytatható. A 6. feladat: ey alapfeladat, melyet mint arra fente már utaltunk összetette esetek vizsálatához is használhatunk, ha az itteni feladat az összetette feladat ey részfeladatának tekinthető. Ekkor a szuperpozíió elvét alkalmazhatjuk. Észrevételek: E. S. - en azt mondtuk, hoy a fentiekhez hasonló számítással memutatható, hoy a W terhelésre H = H, ha a < = h. Ennek elátása a szemlélet alapján is metörténhet. Ehhez tekintsük a 8. árát! 8. ára Itt azt árázoltuk, hoy a W terhelést felontottuk két teherpárra. Eől az első teherpár a erendán önmaáan eyensúlyan van, és nem okoz támasz - reakiókat, ha feltesszük mint eddi is, hoy a rudak húzó - és nyomómerevsée vételen nay. A második teherpár már éreszt reakiókat, azonan a szerkezet szimmetriája miatt éppen az ára szerintieket. E. Az. feladat árája volt a 9. ára. 9. ára
5 Itt azzal a feltevéssel éltünk, hoy mindkét támaszerő vízszintes összetevőjének nay - sáa fele a teher naysáának. Most ey kisit közeleről is szemüyre vesszük, hoy mien áll itt a közelítés. Ehhez tekintsük a. árát is!. ára Itt azt szemléltettük, hoy a k > karon működő W erő esetéen más lesz a reakiók alakulása, mint k = esetén. Továá az ára arra is fiyelmeztethet, hoy a d adat naysáa izonyos eseteken lényetelen ilyen eset pl.: V, és V, mehatározása, más eseteken azonan már nem ilyen eset pl.: H, és H, mehatározása, v.ö: [ ]! Gondoljunk meint a szerkezet elemeinek deformált alakjára is! Visszatérve a 9. árá - hoz: azt mondhatjuk, hoy az. feladatan tett közelítés aan áll, hoy ~ elhanyaoltuk a H vízszintes külső teher hatásvonalának a erenda tenelyétől való maassái eltérését; ~ elhanyaoltuk a H erő szerkezete való evezetésének ténylees mejelenési módját. Ezek a közelítések mind a támaszerők, mind az ezzel összefüő első erők alakulására kihatnak. Továá elizonytalaníthatnak, illetve kétséeket éreszthetnek a szerkezet részletes méretezésének elvéezhetőséét illetően is. Úy tűnik, ey pontosa számítás esetén maát az alkalmazott erőtani modellt is élszerű lehet felülvizsálni. Persze, ey tankönyvi szemléltető feladatnak azért természetesen mé jó lehet e feladat és meoldá - sa. Ezt mindenki saját maa döntheti el, ízlésének, iényeinek mefelelően.
6 E. Ne feledkezzünk me arról sem, hoy az. feladattal kapsolatan létezhet ey másik nézőpont is: az összetett feladatot ey üyes foással ey a valósához közel - fekvő feltevéssel lényeesen leeyszerűsítette annak szerzője / közreadója. Erről az jut eszeme, hoy a nézőpontok különözősée is okozhatja azt a jelenséet, hoy erőtani számításaikat az emerek nem ritkán titkolják. Szerintem nem a titkolódzás, hanem a meeszélés viheti előre dolainkat. Ezért is van honlapunkon helye a vélemények mejelenítésének. E4. Ismét szóa kell hoznom eyik kedven témámat: a szakkönyveket. Az alái irodalomjeyzék német nyelvű darajai nem véletlenül értek me olyan sok kiadást: nayon jók, ezért erősen ajánlott a tanulmányozásuk és alkalmazásuk, ma is. Úy tűnhet, a számítóépesítés felesleessé teheti ezeket; ez azonan szerintem tévedés: amint lekapsolják a villanyt, nem marad más, mint ami azelőtt is volt: a könyv + papír + eruza - meoldás. ( Hoy maamat idézzem ) Irodalom: [ ] Rudolf Salier: Praktishe Statik 6. Auflae, Franz Deutike, Wien, 949. [ ] Muttnyánszky Ádám: Szilárdsátan Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 98. [ ] Adolf Kleinloel: Rahmenformeln 8. Auflae, Verla von Wilhelm Ernst und Sohn, Berlin, 99. Sződliet,. június. Összeállította: Galózi Gyula mérnöktanár