Gyakorló feladatok A sztochasztika alapjai kurzushoz

Gyakorló feladatok A sztochasztika alapjai kurzushoz 1. Kombinatorikus valószín ség 1.1. Egy vendégl egyik asztalánál 9 vendég ül, és mindenki rendel egy italt, összesen 3 sört, 4 vörös és 2 fehér bort. A pincér találomra osztja ki az italokat. Mennyi a valószín sége, hogy mindenki azt kapja, amit kért? 1.2. Két testvér ugyanabba a 27 f s osztályba jár. Egy gyors sorakozónál mindenki találomra áll be. Mi a valószín sége, hogy a két testvér egymás mellé kerül? Mennyi az esélye annak, hogy pontosan tizen állnak közöttük? 1.3. Bet kockákból kirakjuk a KÖRÖMPÖRKÖLT szót, majd a bet ket véletlenszer en összekeverjük. Mennyi annak a valószín sége, hogy az összekeverés után ismét csak a KÖRÖMPÖRKÖLT szót olvassuk le? Mi a valószín sége, hogy a PÖRKÖLT szó részszóként kiolvasható? 1.4. Magyarországon az autók rendszáma három bet b l és három számjegyb l áll. A bet k az angol ábécé 26 bet jéb l kerülnek ki, de az els bet nem lehet U, X és Y. (Az ezen bet kkel kezd d rendszámok a motorkerékpároknak, az utánfutóknak és a lassú járm veknek vannak fenntartva.) A számjegyekre nincsen semmilyen korlátozás. Ha véletlenszer en választunk egy lehetséges rendszámot, akkor mennyi annak a valószín sége, hogy ebben minden bet magánhangzó és minden számjegy páratlan? Mennyi annak az esélye, hogy a rendszámban minden bet magánhangzó vagy minden számjegy páratlan? 1.5. Hány különböz kimenetele van annak kísérletnek, hogy feldobunk két szabályos dobókockát? Mennyi annak a valószín sége, hogy a. két egyenl számot dobunk; b. két különböz számot dobunk; c. a dobott számok összege 7; d. legalább az egyik kockán 6-ost dobunk; e. a dobott számok összege 7, és az egyik dobás eredménye 6-os? 1.6. Feldobunk 6 dobókockát. Mekkora valószín séggel lesz a dobott számok összege pontosan 36? Mennyi az esélye, hogy a dobott számok összege nagyobb, mint 34? Mekkora a valószín sége annak, hogy a dobott számok között vannak azonosak? 1.7. Visszatevéssel húzunk egy olyan urnából, melyben 3 piros és 5 zöld golyó található. a. Mennyi annak a valószín sége, hogy az els piros golyót harmadikra húzzuk ki? Mennyi az esélye, hogy az n-edik húzásra kapjuk az els pirosat? b. Mennyi annak az esélye, hogy három húzás során kapunk legalább egy pirosat? Mi annak a valószín sége, hogy n húzásból kapunk pirosat? 1

c. Hányat húzzunk, ha az a célunk, hogy 95 százalékos valószín séggel a kihúzott golyók között legyen piros? 1.8. a. Hányszor dobjak fel egy szabályos pénzérmét, ha az a célom, hogy a dobások között 90% valószín séggel legyen fej? b. Hányszor dobjak fel egy szabályos dobókockát, ha az a célom, hogy a dobások között 90% valószín séggel legyen hatos? 1.9. A következ két kérdés a valószín ségszámítás egyik legrégebbi feladata, mely a XVII. századból származik, és a de Méré probléma néven szerepel a köztudatban. a. Egy szabályos dobókockával 4-szer dobva mekkora valószín séggel kapunk legalább egy hatost? b. Két szabályos dobókockával 24-szer dobva mekkora valószín séggel kapunk legalább egyszer dupla hatost? 1.10. Az ötöslottón mennyi az esélye annak, hogy a. minden nyer szám páratlan; b. kihúzzák a 12-es és a 80-as számot; c. kihúzzák a 12-es és a 80-as számot, és a 12 a második legkisebb nyer szám; d. öt egymást követ számot húznak ki? Ha egy szelvénnyel játszunk, akkor mi annak a valószín sége, hogy e. telitalálatot érünk el; f. pontosan k találatot érünk el (0 k 5 adott egész szám); g. nyerünk pénzt, tehát legalább 2 találatot érünk el? 1.11. Egy szelvénnyel játszunk a 13+1 mez s totó játékon. Mi az esélye annak, hogy a. 13+1 találatot érünk el; b. pontosan 10 találatot érünk el; c. pontosan 13 találatot érünk el; d. nyerünk pénzt, tehát legalább 10 találatot érünk el? (Feltehet, hogy minden mérk zésen 1/31/3 valószín séggel nyernek az egyes csapatok, illetve születik döntetlen eredmény.) 1.12. Egy 32 lapos kártyacsomagból kihúzunk 6 lapot. Mennyi annak a valószín sége, hogy a kihúzott lapok között a. pontosan 2 ász lesz; b. pontosan 3 piros, 2 zöld és 1 makk lesz; 2

c. lesz legalább egy ász; d. lesz ász vagy lesz piros; e. pontosan két különböz szín lesz, 2 illetve 4 lappal; Oldjuk meg a feladatot visszatevéssel és visszatevés nélkül is. 1.13. Piri néni nagyon szereti a kertjét, és különösképpen a tulipánjait. Žsszel a legszebb tulipánok közül kiválaszt 5 pirosat, 4 narancssárgát és 2 fehéret, és felszedi a hagymákat. Sajnos a hagymák a téli tárolás során összekeverednek. A következ tavasszal Piri néni véletlenszer en kiválaszt 5 hagymát, és kiülteti ket. Mennyi az esélye annak, hogy a kiválasztot hagymák között a. pontosan 2 piros, 2 narancssárga és 1 fehér lesz; b. pontosan 2 piros lesz; c. lesz fehér; d. pontosan két különböz szín fog majd el fordulni, és ezek 2 illetve 3 tulipánon jelennek meg? 1.14. Egy gyárban a makaront úgy csomagolják, hogy egy-egy dobozba két csokis, egy málnás és egy narancsos sütemény kerül. Anna a három barátn jével öt napon keresztül minden nap vásárol egy doboz makaront, és a süteményeket véletlenszer en kiosztják egymás között. Mennyi annak az esélye, hogy Anna az öt nap folyamán a. pontosan 3 csokis makaront kap; b. nem mindig málnásat kap; c. összesen 2 csokis, 2 málnás és 1 narancsos makaront kap? 1.15. Egy urnában 4 piros golyó található, melyhez hozzáteszünk néhány zöldet. Ezután kihúzunk két golyót. Hány zöld golyót kell tennünk az urnába, ha azt szeretnénk, hogy legfeljebb 0,1 legyen azon esemény valószín sége, hogy a. a kiválasztott golyók mindegyike piros; b. a kiválasztott golyók között van piros? Oldjuk meg a feladatot visszatevéses és visszatevés nélküli húzásra is. 1.16. Egy óvodás csoportba 9 gyerek jár, köztük egy testvérpár. Egy foglalkozáson a gyerekeket egy két-, egy három- és egy négyf s csoportba sorolják be. Ha véletlenszer a besorolás, akkor milyen valószín séggel fog a két testvér ugyanabba a csoportba kerülni? 3

2. A valószín ség általános tulajdonságai 2.1. Tekintsük azt a véletlen kísérletet, hogy feldobunk egy szabályos dobókockát. a. Mely kimenetelek esetén következnek be az alábbi események? A = páros számot dobunk; B = ötnél kisebbet dobunk; C = hétnél nagyobbat dobunk; D = pozitív számot dobunk. b. Fogalmazzuk meg szavakkal és írjuk fel halmazelméleti m veletekkel a következ eseményeket: A és B ; A vagy B ; A igen, de B nem; nem A. A megoldást illusztráljuk Venn-diagrammal is. c. Melyik halmazelméleti m velet felel meg a kizáró vagy logikai m veletnek? 2.2. Öt héten keresztül játszunk az ötöslottón. Jelölje A i azt az eseményt, hogy az i- edik héten nyerünk, tehát legalább két találatot érünk el. Fejezzük ki az alábbi eseményeket az A 1,..., A 5 események segítségével. Szavakkal fogalmazzuk meg a B 1,..., B 5 események tagadását is. a. B 1 = minden héten nyerünk; b. B 2 = egyik héten sem nyerünk; c. B 3 = az utolsó héten nyerünk el ször; d. B 4 = a második héten nyerünk, de a negyedik héten nem; e. B 5 = pontosan négyszer nyerünk. 2.3. Az A m, a B n és a C p esemény azt jelöli, hogy három könyvsorozat kötetei közül az els b l m, a másodikból n, a harmadikból pedig p darab könyvet veszünk, ahol m, n és p nemnegatív egészek. Hogyan lehet formalizálni a következ eseményeket? a. Az els sorozatból pontosan 1, a másodikból pontosan 3 könyvet veszünk. b. Egy könyvet sem veszünk. c. Veszünk könyvet az els sorozatból. d. Mindhárom sorozatból veszünk könyvet. e. Vagy veszünk legalább 2 könyvet az els sorozatból, vagy nem veszünk semmit. f. Pontosan 2 könyvet veszünk összesen a második és a harmadik sorozatból. g. Pontosan 2 könyvet veszünk összesen a három sorozatból. 2.4. Próbagyártás után két szempontból vizsgáljuk a késztermékeket. Tudjuk, hogy 0,25 annak a valószín sége, hogy egy véletlenszer en kiválasztott termék anyaghibás, míg 0,4 annak az esélye, hogy mérethibás. A gyártmányok 10 százaléka nem felel meg egyik szabványnak sem. Ha véletlenszer en kiválasztunk egy terméket, akkor mennyi annak a valószín sége, hogy 4

a. a termék anyaghibás, de megfelel a méretszabványnak; b. a kiválasztott terméknek van valamilyen hibája; c. a terméknek pontosan egyfajta hibája van; d. a termék hibátlan? 2.5. Legyen P (A)=0,7 és P (B)=0,8. Ezen információ birtokában meg tudjuk határozni egyértelm en a P (A B) és a P (A B) valószín séget? Ha nem, akkor adjunk alsó és fels korlátot ezekre a valószín ségekre. Illusztráljuk Venn-diagrammal, hogy a kapott eredmények mikor teljesülnek egyenl séggel. 2.6. Egy faluban három sportolási lehet ség van, foci, kosárlabda és pingpong. A lakosok 25%-a focizik, 40%-a kosárlabdázik, és 45%-a pingpongozik. Az els két sportot az emberek tizede, az els t és a harmadikat ötöde, a másodikat és harmadikat negyede zi. Mindhárom sportot a lakosság 5%-a zi. Véletlenszer en kiválasztunk egy lakost, és megkérdezzük t le, hogy melyik sporttevékenységet szokta végezni. Mennyi annak a valószín sége, hogy a megkérdezett ember a. focizik vagy pingpongozik; b. focizik, de nem kosárlabdázik; c. pontosan kett sportot z; d. semmit sem sportol? 2.7. Egy cég három különböz típust szállít egy adott termékb l a vele szerz désben álló boltoknak. Ebben a hónapban a boltok fele rendelt az 1. típusból, míg 57% nem rendelt a 2. típusból. A boltok 22%-a rendelt az 1. és a 2. típusból is, továbbá negyedrészük az 1. és a 3. típusú termékekb l is. Tudjuk, hogy a boltok 14%-a mindegyik típusból rendelt, míg 0,12 részük egyikb l sem. A boltok 6%-a rendelt a 2. és 3. típusból, de az 1.-b l nem. Mennyi annak a valószín sége, hogy egy véletlenszer en választott boltba kell szállítani a 3. típusból? A boltok hányad része rendelt csak az 1. típusból? Egy véletlenszer bolt esetén mennyi az esélye, hogy pontosan egy típust rendeltek a termékb l? 2.8. Egy dobozban 50 darab szabványos és 50 darab selejtes termék van, melyek közül véletlenszer en kiveszünk 20 terméket. Tekintsük a következ eseményeket: A = a mintában pontosan 10 hibás termék van, B = a mintában több a szabványos termék, mint a selejtes, C = a mintában több a hibás termék, mint a szabványos. Mennyi az A esemény valószín sége? Milyen összefüggés írható fel a három esemény valószín sége között? Melyiknek nagyobb a valószín sége, a B vagy a C eseménynek? Ezek alapján mennyi a B illetve a C esemény pontos valószín sége? 5

2.9. A kupongy jt problémája. Egy cég úgy próbálja népszer síteni az általa forgalmazott chipset, hogy a zacskókba a Micimackó cím mese guráit rejti el: Micimackót, Malackát, Tigrist és Fülest. Minden zacskóban pontosan egy gura található, és minden gurának azonos a gyakorisága. Addig vásáróljuk a terméket, míg meg nem kapjuk a teljes kollekciót, tehát míg végül mindegyik gurából lesz legalább egy darab. Mennyi annak az esélye, hogy ehhez elég 4 darab chipset kell megvenni? Mi annak a valószín sége, hogy elég 6 zacskót megvásárolni? 2.10. Mennyi annak a valószín sége, hogy a Totó játékban egy adott héten az 1, a 2 és az x találat is el fordul? 2.11. a. Tízszer feldobunk egy szabályos dobókockát. Mennyi a valószín sége, hogy a tíz dobás során az 1, 2, 3, 4, 5 és 6 érték mindegyike el fordul? b. Tízszer feldobunk két szabályos dobókockát. Mennyi a valószín sége, hogy a tíz dobás során az (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5) és (6,6) párok mindegyike el fordul? 2.12. A lovagok céhe nehéz feladatot kap, meg kell menteniük a király lányát a sárkány fogságából. A lovagok sorsolással döntik el, hogy kit küldjenek a feladat elvégzésére. Mint közismert, egy sárkányt háromféleképpen lehet legy zni: er sebbnek, fürgébbnek vagy ravaszabbnak kell nála lenni. A lovagok 19%-a er sebb, 25%-a gyorsabb és 28%-a ravaszabb a sárkánynál. A tagok egyhuszada egyszerre er sebb és gyorsabb, tizede er sebb és ravaszabb, nyolcada gyorsabb és ravaszabb a sárkánynál. A lovagok 3%-a er sebb, gyorsabb és ravaszabb is a szörnynél. Mennyi a valószín sége, hogy a kiválasztott lovag a. er sebb vagy gyorsabb a sárkánynál, de nem mindkett ; b. pontosan két módszerrel tudja legy zni a sárkányt, és ezek egyike a ravaszság; c. legalább kétféleképpen le tudja gy zni a sárkányt; d. semmilyen módszerrel sem tudja kiszabadítani a királylányt? 6

3. Feltételes valószín ség és geometriai valószín ségi mez k 3.1. Egy edénygyár egynapi tányértermelését a következ táblázat foglalja össze: leveses lapos salátás összesen hibátlan 470 540 380 1390 selejtes 30 60 20 110 összesen 500 600 400 1500 Véletlenszer en kiválasztunk egy terméket min ségellen rzésre. Jelölje A i azt az eseményt, hogy az i-edik típusú termékb l választottunk, és legyen B az az eseményt, hogy a kiválasztott termék selejtes. Értelmezzük és határozzuk meg a következ valószín ségeket: P (A 2 B); P (A 1 A 3 B); P (B A 2 ); P (B A 2 ). 3.2. a. Háromgyerekes családok körében vizsgáljuk, hogy hány ú és lány van a családban. Jelölje A azt az eseményt, hogy a vizsgált családban legfeljebb egy lány van, és legyen B az, hogy van ú és lány is. Feltehet, hogy a gyerekek azonos valószín séggel születnek únak vagy lánynak. Mennyi az A esemény valószín sége? Mennyi A valószín sége, ha tudjuk, hogy B bekövetkezik? Ezek alapján mit mondhatunk a két esemény kapcsolatáról? b. Válaszoljuk az el z pont kérdéseire négygyerekes családok esetén. 3.3. Piri néni véletlenszer sorrendben elültet egymás mellé 3 piros és 2 narancssárga tulipánt. Mennyi a valószín sége annak, hogy a sor valamelyik végére sárga tulipán kerül? Mennyi az esélye ugyanennek, ha a két sárga tulipán egymás mellé kerül? 3.4. Egy óvodás csoportba 9 gyerek jár, köztük egy testvérpár, egy ú és egy lány. Egy foglalkozáson véletlenszer en kiválasztanak 4 gyereket. Mennyi a valószín sége annak, hogy a. a testvérpár mindkét tagját kiválasztják; b. a testvérpár mindkét tagját kiválasztják feltéve, hogy a ú ki lett választva; c. a testvérpár mindkét tagját kiválasztják feltéve, hogy legalább az egyikük ki lett választva? 3.5. Az oktaéder egy olyan szabályos test, melynek 8 lapja van. Beszámozzuk a lapokat 1-t l 8-ig, és kapunk egy dobóoktaédert. Ha egyszer dobunk, akkor az alábbi események közül melyek függetlenek? A = párosat dobunk; B = prímszámot dobunk; C = 3-nál nagyobbat dobunk. 3.6. Egymástól függetlenül feldobunk két szabályos dobókockát. a. Mutassuk meg, hogy ekkor mind a 36 kimenetelnek azonos a valószín sége. 7

b. Határozzuk meg az A esemény feltétel nélküli valószín ségét, illetve a B-re vett feltételes valószín ségét. Milyen kapcsolat van az A és a B esemény között? A = az egyik dobás páratlan, B = a számok szorzata páratlan; A = dupla hatost dobunk, B = a számok szorzata páratlan; A = az egyik dobás kisebb, mint 3, B = a számok szorzata páratlan. 3.7. Tekintsünk egy tetsz leges véletlen kísérletet, és ehhez kapcsolódó A és B eseményeket, ahol P (B) > 0. Mennyi az P (A B) feltételes valószín ség értéke, ha a. A és B független események; b. A és B kizáró események; c. a B esemény maga után vonja az A eseményt? 3.8. Egy feladat a mobiltelefonok el tti id kb l. Barátunk egy adott estén 2/3 valószín - séggel tartózkodik kocsmában. Ha kocsmában van, akkor egyenl eséllyel található meg az öt környékbeli kocsma valamelyikében. Tegyük fel, hogy négyet már megnéztünk, de nem taláktuk. Mennyi az esélye, hogy az ötödikben lesz? 3.9. Ejt erny s ugrást hajtanak végre egy 500 m 2 -es mez n. Az ugrás akkor sikeres, ha az ugró a mez n kijelölt 10 m oldalhosszúságú négyzetben ér földet. Különdíjat kap az, aki a négyzet közepén megrajzolt 2 m sugarú körbe érkezik. Feltehet, hogy az érkezés helye a mez n megfelel az egyenletességi hipotézisnek. Mennyi a valószín sége annak, hogy az ugrás sikeres? Mennyi az esélye annak, hogy az ugró különdíjat is kap, ha az ugrása sikeres? 3.10. A vihar véletlenszer helyen elszakít egy 10 km hosszú légvezetéket, ezért a vezeték két végér l egy-egy keres csapat indul, hogy megkeresség a szakadás helyét. A nehéz terep miatt az egyik csapat 5, a másik 6 km/h sebességgel halad. Mennyi az esélye, hogy fél órán belül megtalálják a szakadás helyét? 3.11. Egy metróvonalon 10 perces követési id vel járnak a szerelvények. Ha egy véletlenszer id pontban megyünk ki az állomásra, akkor mennyi annak a valószín sége, hogy legfeljebb 5 percet kell várni? Mennyi az esélye ugyanennek, ha tudjuk, hogy a legutóbbi szerelvény már legalább 3 perce elment. 3.12. Véletlenszer en választunk egy x értéket a [0,1] intervallumon. Ez az érték egy x és egy 1 x hosszúságú szakaszra bontja az egységnyi hosszúságú intervallumot. Mennyi annak a valószín sége, hogy a. a kapott szakaszok hosszának szorzata nagyobb, mint 5/36; b. a szakaszok hosszának négyzetösszege kisebb, mint 13/18; (tetsz leges a és b számok esetén a két érték négyzetösszege a 2 +b 2 ) c. a rövidebb szakasz hoszabb, mint 1/3 egység? 8

3.13. Autóval végig akarunk menni egy 30 km hosszú egyenes útszakaszon, de balesetet szenvedünk egy véletlenszer helyen. A közelben egyetlen egy mobiltelefon átjátszó torony van, ez az út felénél az úttól 5 km távolságra található. A torony egy 10 km sugarú kör alakú területet képes kiszolgálni. Mennyi annak az esélye, hogy a baleset helye ebbe a körbe esik, és ezáltal telefonon segítséget tudunk hívni? 3.14. Véletlenszer en rálövünk egy 10 centiméter sugarú kör alakú céltáblára. Mennyi annak a valószín sége, hogy a céltáblát a középponttól legfeljebb 7 centiméterre találjuk el? Mennyi ugyanennek a valószín sége akkor, ha tudjuk, hogy a találat a középponttól legalább 5 centiméterre esik. 3.15. Véletlenszer en választunk egy pontot az 5 egység oldalhosszúságú négyzetben. Mennyi annak az esélye, hogy a pont a legközelebbi oldaltól legfeljebb 1 egységnyire lesz? Mennyi az esélye ugyanennek, ha tudjuk, hogy a pont az északi oldalhoz van a legközelebb? 3.16. Adott egy téglalap alakú város 6 és 10 kilométer oldalhosszúsággal. A város egyik sarkában található egy t zoltó állomás, amit akkor riasztanak, ha a t z az állomástól légvonalban legfeljebb 4 kilométerre üt ki. Ha a városban egy véletlenszer helyen üt ki t z, akkor mennyi annak az esélye, hogy ezt a t zoltó állomást fogják majd riasztani? Tegyük fel, hogy egy napon egymástól függetlenül két t zeset is történik a városban. Mennyi az esélye, hogy ezek közül az állomásnak pontosan egy esethez kell kivonulnia? 3.17. Párhuzamos egyeneseket húzunk síklapra egymástól váltakozva 2 cm és 8 cm távolságra. Ha véletlenszer en rádobunk egy 2,5 cm átmér j pénzérmét lapra, akkor mennyi annak a valószín sége, hogy az érme egyik egyenesbe sem metsz bele? Ha a pénzérme belemetsz valamelyik egyenesbe, akkor mennyi annak az esélye, hogy egyszerre kett be is belemetsz? 9

4. A teljes valószín ség tétele és több esemény függetlensége 4.1. Egy csomagolóüzembe négy termel szállít almát. A leadott gyümölcs tizede származik az els, három tizede a második, és két ötöde a harmadik termel t l. Az egyes termel k esetén a leadott mennyiség 40, 50, 20 illetve 100 százaléka els osztályú. Ha véletlenszer en kiválasztunk egy almát, akkor mi annak a valószín sége, hogy az alma els osztályú? Feltéve, hogy az alma másodosztályú, mennyi a valószín sége, hogy a harmadik termel szállította be? 4.2. Egy csoport 60%-a n. A n k 30%-ának, a férak 25%-ának van fels fokú nyelvvizsgája. Válaszoljunk az alábbi kérdésekre. Véletlenszer en kiválasztunk egy embert a csoportból. Mennyi a valószín sége annak, hogy a kiválasztott személy egy nyelvvizsgával nem rendelkez fér? Mennyi annak az esélye, hogy a kiválasztott személy nem endelkezik nyelvvizsgával? Ha tudjuk, hogy a kiválasztott személy nem rendelkezik nyelvvizsgával, mi annak a valószín sége, hogy fért választottunk? 4.3. Egy ritka betegséget tízezer emberb l átlagosan egy kap el. Adott egy teszt, ami 99%-os megbízhatóságú, azaz ekkora a valószín sége, hogy helyes eredményt ad, akár beteg valaki, akár egészséges. Egy ember megvizsgáltatja magát, és a teszt eredménye pozitív. Mennyi a valószín sége, hogy tényleg beteg? 4.4. A h t ben négy doboz tej van, ezek között van egy friss, egy egy hete lejárt, ami biztosan romlott, és van két doboz, ami egy napja járt le, ezek 0,3 valószín séggel romlottak. Véletlenszer en kiválasztunk egy doboz tejet. Mekkora az esélye, hogy ez a tej nem romlott? Ha megkóstoljuk a kivett tejet, és az romlottnak bizonyul, akkor mi a valószín sége annak, hogy az egy hete lejárt tejet vettük ki? 4.5. a. Egy vizsgán minden tesztkérdéshez három lehetséges válasz van megadva, melyek közül csak egy helyes. A vizsgázó 2/3 valószín séggel tudja a helyes választ a kérdésre, és megjelöli azt. A többi esetben a vizsgázó tippel, tehát véletlenszer en jelöl meg egy választ. A javítás során azt látjuk, hogy egy kérdésre a vizsgázó helyes választ adott. Mennyi a valószín sége, hogy a vizsgázó tippelt? b. Tegyük fel, hogy a vizsgáztató egy-egy kérdéshez n lehetséges választ ad meg. Hogyan függ n-t l annak a valószín sége, hogy a vizsgázó egy helyes válasznál csak tippelt? 4.6. Egy üzemben három gép van, az els adja a termelés felét, a második a 40%-át. Az els és a második gépnél is a termékek 3%-a selejtes. A harmadik gép esetében hány százalék a selejtarány, ha tudjuk, hogy az üzemben termelt selejtes termékek közül 32,5% készült a harmadik gépnél? 4.7. Egy útszakaszon egymás után három jelz lámpa irányítja a forgalmat. Az egyes lámpáknál egymástól függetlenül rendre 1/2, 2/3 illetve 3/4 valószín séggel kapunk pirosat. Mennyi az alábbi események valószín sége? a. Mindhárom lámpánál pirosat kapunk. 10

b. Egyik lámpánál sem kapunk pirosat. c. Az els lámpánál pirosat kapunk, de a harmadiknál nem. d. Pontosan két lámpánál kapunk pirosat. e. Legalább két lámpánál pirosat kapunk. f. Feltéve, hogy pontosan egy pirosat kapunk, mennyi annak az esélye, hogy ez az els lámpánál történik? g. Feltéve, hogy valamelyik lámpánál pirosat kapunk, mennyi annak a valószín - sége, hogy az els lámpánál zöld a jelzés. 4.8. Egy 1 m oldalhosszúságú négyzet alakú céltáblára rá van festve egy 20 cm sugarú kör. Többször egymás után véletlenszer en rálövünk a céltáblára, és akkor érünk el érvényes találatot, ha eltaláljuk a kört. Hány lövést adjunk le, ha az célunk, hogy legalább 95% valószín séggel legyen érvényes találatunk. (Feltehet, hogy a lövések függetlenek egymástól, és minden lövés eltalálja a céltáblát.) 4.9. Egy kaparós sorsjeggyel akkor lehet nyerni, ha a játékos mindhárom lekaparható mez n koronát talál. Az egyes mez k egymástól függetlenül 1/21/2 valószín séggel rejtenek koronát. Mennyi annak az esélye, hogy egy sorsjegyet vásárolva nyerünk? Mennyi a valószín sége annak, hogy n sorsjegyet vásárolva találunk legalább egy nyertes szelvényt? Hány sorsjegyet vásároljunk, ha az a célunk, hogy közöttük legalább 95 százalék valószín séggel legyen nyertes szelvény? 4.10. Egy vizsgán a hallgatók 10%-a bukott meg. A sikeres vizsgát tev hallgatók negyedrésze kapott jelest. Mekkora az esélye, hogy egy véletlenszer en kiválasztott hallgató jelest kapott? 4.11. Egy adott területen vegyszeres szúnyogírtást végeznek három egymás követ alkalommal. Az els permetezés után a szúnyogok 80%-a elpusztul, de az életben maradt rovaroknak n az ellenálló képessége a szerrel szemben. Ennek az a következménye, hogy a második permetezéskor az életben maradt szúnyogoknak már csak a 40%-a pusztul el, a harmadik írtásnál pedig csak a maradék 20%-a. Mennyi a valószín sége annak, hogy egy szúnyog túléli mindhárom permetezést? Feltéve, hogy egy szúnyog túlélte az els permetezést, mennyi a valószín sége annak, hogy a másodikat és a harmadikat is túléli? 4.12. Adott egy urna, benne pedig 3 piros és 2 zöld golyó. Visszatevés nélkül kihúzunk három golyót. a. Mennyi annak a valószín sége, hogy sorban egy pirosat, egy zöldet, és még egy pirosat kapunk? Mennyi annak az esélye, hogy a második golyó zöld? b. Feltéve, hogy a második golyó zöld, mi annak a valószín sége, hogy az els golyó piros volt? Függ az els golyó színe attól, hogy milyen szín a második? Válaszoljunk a kérdésekre azzal a módosítással is, hogy a golyókat visszatevéssel húzzuk ki. 11

5. Diszkrét valószín ségi változók 5.1. Mennyi legyen az a valós paraméter értéke, ha az a célunk, hogy az alábbi értékek valószín ségeloszlást alkossanak? a. p 0 = 0,1a, p 1 = 0,55a, p 2 = 0,25a, p 3 = 0,3a. b. p k = a0,6 k, k = 0,1,2,... 5.2. Egy iskolában tanuló 500 gyerek közül 130-nak nincs testvére, 200-nak van 1 testvére, 150-nek van 2 testvére, és 20-nak van 3 testvére. Legyen ξ egy véletlenszer en kiválasztott gyerek testvéreinek a száma. Adjuk meg ξ eloszlását, eloszlásfüggvényét, várható értékét és szórását. 5.3. Két szabályos dobókockát feldobva legyen ξ a dobott értékek nagyobbika. Adjuk meg a ξ változó eloszlását, eloszlásfüggvényét, várható értékét és szórását. 5.4. Feldobok egy szabályos pénzérmét. Ha az eredmény fej, akkor az érmét még egyszer, ha írás, akkor még kétszer dobom fel újra. Jelölje ξ az összesen dobott fejek számát. Adjuk meg a ξ valószín ségi változó eloszlását, eloszlásfüggvényét, várható értékét és szórását. Mennyi a ξ 3 változó várható értéke? 5.5. Egy biztosítótársaság az alábbi bonus-malus rendszert dolgozza ki a kötelez gépjárm felel sségbiztosításra. Minden új ügyfél a BONUS-0 kategóriában kezd. Ha a biztosított egy adott évben nem okoz balesetet, akkor egy biztosítási kategóriával feljebb (az alábbi táblázatban jobbra) lép, ha kis érték balesetet okoz, akkor marad a kategóriájában, ha nagy érték kárt okoz, akkor egy kategóriával lejjebb (balra) kerül. Az alábbi táblázat tartalmazza az éves biztosítási díjakat forintban. kategória MALUS-2 MALUS-1 BONUS-0 BONUS-1 BONUS-2 éves díj 50.000 37.000 30.000 25.000 22.000 Új ügyfélként biztosítást kötök ennél a biztosítónál. A vezetési szokásaimat tekintve egy-egy évben 0,4 valószín séggel okozok kis érték balesetet és 0,1 eséllyel nagy érték balesetet. Feltehet, hogy az elkövetkez két évben egymástól függetlenül fogok baleseteket okozni. Határozzuk meg, hogy két év elteltével mekkora valószín séggel leszek az egyes bonus-malus kategóriákban. Két év múlva várhatóan mekkora éves biztosítási díjat kell majd zetnem? 5.6. Véletlenszer en összekeverjük az ALMA szó bet it. Jelölje ξ azt, hogy az új karakterlánc hány helyen egyezik meg az eredeti ALMA szó bet ivel. Adjuk meg a ξ eloszlását és várható értékét. Mennyi az esélye, hogy legalább két egyezés lesz? 5.7. Egy terráriumban három hörcsög él, melyek egy adott id pontban egymástól függetlenül 0,5, 0,6 illetve 0,7 valószín séggel vannak ébren. Jelölje ξ azt, hogy egy adott id pontban hány hörcsög van ébren. 12

a. Adjuk meg a ξ változó eloszlását, várható értékét és szórását. b. A hörcsögök sajnos zajosak. Ha x hörcsög van ébren, akkor azok 10x 3/2 decibel zajszintet okoznak. Határozzuk meg a terrárium átlagos zajszintjét. 5.8. Anna két mozijegyet kap egy vetítésre, ezért egymás után felhívja a három barátn jét, hogy egy partner találjon magának. Egészen addig hívja fel ket egymás után, míg valaki bele nem egyezik, hogy elkíséri, vagy míg el nem fogynak a barátn k. A három barátn je egymástól függetlenül 0,4 valószín séggel mond igent Anna meghívására. Jelölje ξ a lebonyolított telefonhívások számát. Adjuk meg a ξ valószín ségi változó eloszlását, eloszlásfüggvényét, várható értékét és szórását. Mennyi annak az esélye, hogy Annának legfeljebb két barátn jét kell majd felhívnia? 5.9. Adott egy fert z betegség, melyet az emberek 1% valószín séggel kapnak el. A betegségre kifejlesztettek egy tesztet, mely a vérben található antitestek alapján mutatja ki a betegség jelenlétét, de az eljárás drága, egy-egy tesztelés ezer dollárba kerül. Egy kórházban a következ módon végzik el a páciensek tesztelését. Nem egyesével tesztelik ket, hanem összevárnak tíz pácienst, és összeöntik a mintáikat. Ha az eredmény negatív, akkor egyik mintában sincs antitest, tehát mindeki egészséges. Ha a teszt eredménye pozitív, akkor ismét elvégzik a tesztet, de ezúttal már mind a tíz emberen külön-külön, hogy kiderüljön, kik a betegek közülük. a. Jelölje ξ azt, hogy hány teszt szükséges a tíz páciens letesztelésére ezzel az új módszerrel. Határozzuk meg ξ eloszlását és várható értékét. b. Ezzel a módszerrel átlagosan mennyibe kerül egy páciens letesztelése? 5.10. a. Péter és Pál a következ játékot játsza. Feldobnak két szabályos dobókockát, és ha a dobott számok összege páros, akkor Péter zet Pálnak 100 Ft-ot, míg ha a dobott számok összege páratlan, akkor Pál zet Péternek x forintot. Mennyi legyen x értéke, ha az a céljuk, hogy a játék igazságos legyen? b. Péter és Pál úgy módosítja a játékot, hogy nem a dobott számok összegét, hanem azok szorzatát nézik. Milyen x érték esetén lesz igazságos a játék? 5.11. Péter és Pál az úgynevezett szentpétervári játékot játsza, melynek a következ k a szabályai. Péter addig dob egy szabályos pénzérmével, míg fejet nem kap. Ha az els fej az n-dik dobásra jön, akkor Pál 2 n forintot zet Péternek. a. Jelölje ξ Péter nyereményét egy játék során. Határozzuk meg a ξ valószín ségi változó eloszlását és várható értékét. b. Péternek minden játék elején egy rögzített nagyságú díjért meg kell vásárolnia a játék jogát. Milyen ár esetén kedvez a játék Péternek illetve Pálnak? Milyen ár esetén lesz a játék igazságos? 13

6. Nevezetes diszkrét eloszlások 6.1. Egy ingatlanügynökségnél az eladott lakások 30%-át szokták a vev k hitel felvétele mellett kizetni. A következ hétre 6 lakás van eladásra el jegyezve. A ξ valószín - ségi változó jelölje a hitelkonstrukcióban értékesített lakások számát. a. Adjuk meg ξ eloszlását, várható értékét és szórását. Mi annak a valószín sége, hogy legfeljebb 4 lakáseladáshoz vesznek majd fel hitelt? Mennyi a P (1<ξ <5) valószín ség értéke? b. Milyen hitelfelvételi arány mellett teljesül legalább 0,95 valószín séggel az, hogy lesz olyan lakás, amit hitelkonstrukcióval adnak el? 6.2. A légitársaságok a kihasználtság érdekében több jegyet adnak el el vételben, mint amennyi hely van a repül gépen. Ezt arra alapozzák, hogy átlagosan a jeggyel rendelkez utasok 5 százaléka nem jelenik meg beszálláskor. Természetesen id nként el fordul, hogy valaki nem fér fel a gépre, ilyenkor t kárpótolják. Legyen adva egy 70 fér helyes gép, melyre 72 jegyet adott el a légitársaság. Adjuk meg a beszálláskor megjelen utasok számának eloszlását és várható értékét. Mennyi annak a valószín sége, hogy lesz olyan utas, akik már nem fér fel a gépre? 6.3. a. Tízszer feldobunk egy szabályos dobókockát. Jelölje ξ azt, hogy hányszor kaptunk páratlan számot. Határozzuk meg a ξ eloszlását, várható értékét és szórását. Mennyi annak a valószín sége, hogy a 10 dobásból pontosan annyi páratlan értéket kapok, mint párosat? b. Tízszer feldobok két szabályos dobókockát, és legyen ξ a kapott dupla dobások száma. (Egy dobást akkor nevezünk duplának, ha a két kockán azonos értéket kapunk.) Adjuk meg a ξ eloszlását és várható értékét. Hányszor dobjak, ha az a célom, hogy 90% valószín séggel legyen dupla a dobások között? 6.4. a. Egy kisú kosarazni tanul, ezért elhatározza, hogy csak akkor megy el ebédelni, ha sikerül dobnia egy kosarat. A dobások egymástól függetlenek, és 15% annak a valószín sége, hogy egy dobással betalál. Jelölje ξ az ebédig történt dobások számát. Adjuk meg ξ eloszlását és várható értékét. Mennyi annak a valószínusége, hogy az els kosárhoz legfeljebb kett t kell dobnia? b. Milyen találati arány mellett teljesül, hogy 40% eséllyel két dobás is elegend? c. A kisú bátyja már ügyesebb, 70% találati aránnyal dobja a kosarakat. Ž azt határozza el, hogy csak akkor megy ebédelni, ha már tíz kosarat dobott. Jelölje η az ehhez szükséges dobások számát. Határozzuk meg az η változó eloszlását és várható értékét. Mennyi az esélye, hogy 10 dobás elegend lesz? 6.5. Addig dobok fel két szabályos dobókockát újra és újra, míg duplát nem kapok. Mennyi annak az esélye, hogy az els duplát az ötödik dobásra kapom majd? Mi a valószín sége annak, hogy ötnél több dobás kell majd? Várhatóan hanyadik dobásra kapom majd az els duplát? 14

6.6. Egy gyárban egy nap alatt 50 terméket készítenek, ebb l 15 selejtes. Min ségellen rzéskor véletlenszer en kivesznek egyszerre 5 terméket, és megvizsgálják ket. Jelölje ξ a mintában talált selejtes termékek számát. Határozzuk meg a ξ valószín - ségi változó eloszlását és várható értékét. Mennyi annak az esélye, hogy legfeljebb egy selejtes termék lesz a mintában? 6.7. Adott egy urna, benne pedig 4 piros és 6 zöld golyó. a. Visszatevéssel kihúzunk 3 golyót. Határozzuk meg a kihúzott piros golyók számának eloszlását és várható értékét. Mennyi annak az esélye, hogy pontosan két piros golyót húzunk majd ki? b. Oldjuk meg az a. feladatot visszatevés nélküli mintavételezéssel is. c. Addig húzunk visszatevéssel, míg piros golyót nem kapunk. Adjuk meg a szükséges húzások számának eloszlását és várható értékét. Mennyi annak a valószín sége, hogy az els piros pontosan a második húzásra jön majd? 6.8. A Skandináv lottó esetében 35 számból 7-et kell megjelölni. A számok két sorsoláson is részt vesznek, egy gépin és egy kézin, ez az úgynevezett ikersorsolás. Mindkét számsorsolás alkalmával 77 számot húznak ki. A játékos akkor nyer, ha bármelyik, vagy akár mindkét sorsoláson legalább 4 találata van. Egy szelvénnyel játszunk. a. Adjuk meg a gépi sorsoláson elért találatok számának az eloszlását és a várható értékét. Mennyi az esélye, hogy a gépi sorsoláson elérünk legalább 4 találatot? b. Mennyi annak a valószín sége, hogy az egyik sorsoláson pontosan 4, a másikon pontosan 5 találatot érünk el? Mennyi annak az esélye, hogy egyik sorsoláson sem nyerünk? Várhatóan hány találatot érünk el összesen a két sorsoláson? 6.9. Orvosi kutatások szerint az egységnyi nagyságú rádioaktív besugárzás véletlen számú mutációt okoz egy kromoszomán. A mutációk száma Poisson-eloszlást követ, és a besugárzások 13,5 százalékában nem történik egy mutáció sem. Az egységnyi nagyságó besugárzás átlagosan hány mutációt okoz? Mennyi annak az esélye, hogy a besugárzás hatására a várható értéknél több mutáció történik? 6.10. Egy adatszerverre óránként véletlen számú, átlagosan 5 lekérdezés érkezik. Feltehet, hogy az egy órára es lekérdezések száma Poisson-eloszlást követ, és a különböz órákban érkez lekérdezések száma független egymástól. Mennyi annak a valószín - sége, hogy egy adott óraban nem érkezik lekérdezés? Mennyi annak az esélye, hogy egy adott órában legalább három lekérdezés érkezik? 15

7. Folytonos valószín ségi változók 7.1. Azt mondjuk, hogy a ξ változó egyenletes eloszlású az [a, b] intervallumon, ha a s r ségfüggvénye { 1/(b a), a x b, f(x) = 0, különben. Ellen rizzük le, hogy az f valóban s r ségfüggvény, és számoljuk ki az egyenletes eloszlás eloszlásfüggvényét, várható értékét és szórását. 7.2. Milyen a érték esetén lesz az alábbi f függvény egy ξ valószín ségi változó s r ségfüggvénye? Mi a kapcsolatos ξ valószín ségi változó értékkészlete, illetve mekkora a P (2 ξ 5) és a P (ξ > 4) valószín ség? Határozzuk meg a ξ és a ξ 3 változó várható értékét illetve szórását. a. b. f(x) = f(x) = { ax 2, 10 x 10, 0, különben. { a/x, 1 x 5, 0, különben. c. f(x) = { a/x 3, x 3, 0, x < 3. 7.3. A TESCO-ban a narancsot a min ségt l függ en változó áron árulják. Feltehet, hogy az ár egyenletes eloszlást követ 200 és 400 forint között. a. Jelölje a ξ változó egy kilogramm narancs árát. Adjuk meg ξ s r ségfüggvényét és várható értékét. b. Tegyük fel, hogy a narancsot kilós kiszerelésben árulják, és jelölje η azt, hogy 1000 forintból hány kiló narancsot tudunk megvásárolni. Adjuk meg az η változó eloszlását és várható értékét. (A kiszerelés miatt csak egész kilogrammokat tudunk megvásárolni!) c. Tegyük fel, hogy a narancs nem kilós kiszerelés, tehát nem csak egész kilogrammokat, hanem tetsz leges mennyiséget megvásárolhatunk. Jelölje η ismét azt, hogy hány kiló narancsot tudok megvásárolni 1000 forintból. Mennyi annak az esélye, hogy az η változó értéke 3 és 4 közé esik? Határozzuk meg az η várható értékét és szórását. Írjuk fel az η változó eloszlás- és s r ségfüggvényét. 7.4. Magyarországon az éves búzatermés közelít leg egyenletes eloszlást követ 3,5 millió és 5,5 millió tonna között. A nagyobb termésmennyiség alacsonyabb piaci árat jelent. Amennyiben a teljes búzatermés x millió tonna, akkor a modellünkben a búza tonnánkénti felvásárlási ára legyen mondjuk 100 10x ezer forint. 16

a. Mennyi annak a valószín sége, hogy az éves búzatermés 4 és 4,5 millió tonna közé esik? Határozzuk meg az éves termés várható értékét és szórását. b. Jelölje η a búza tonnánkénti felvásárlási árát. Mekkora valószín séggel fog az η felvásárlási ár 62 ezer forint fölé menni? Határozzuk meg az η várható értékét. c. Hogyan írható fel ξ segítségével a teljes hazai búzatermés forintban kifejezett értéke? Határozzuk meg a teljes termés értékének a várható értékét. Ez a várható érték egyenl az a. és b. részben kapott várható értékek szorzatával? 7.5. Amikor telefonálok, a beszélgetések percekben kifejezett hosszúsága egy valószín - ségi változó, mely az alábbi s r ségfüggvénnyel írható le: { 0,5 0,08x, 0 x 2,5, f(x) = 0, különben. a. Ábrázoljuk az f függvényt, és ellen rizzük le, hogy valóban s r ségfüggvény. Határozzuk meg a telefonbeszélgetések hosszának várható értékét és szórását. b. Régebben olyan szerz désem volt a szolgáltatóval, hogy nem volt kapcsolási díj, és minden megkezdett percért 30 forintot kellett zetnem. Legyen η egy telefonhívás költsége. Írjuk fel az η eloszlását és várható értékét. c. Manapság a szolgáltatók már nem a megkezdett percek alapján, hanem másodperc alapon számláznak. Most egy olyan szerz désem van, hogy nincs kapcsolási díj, az els 30 másodperc ingyenes, de utána percenként 40 forintot kell zetnem. Átlagosan mennyibe kerül egy telefonhívás ezen feltételek mellett? (Tipp: Írjuk fel a hívás költségét a hívás hosszának függvényeként.) 7.6. Legyen p n, n=1,2,..., valószín ségeloszlás, tehát olyan valós számsorozat, melynek tagjai nemnegatívak, és a tagok összege pontosan 1. Tegyük fel, hogy számítógéppel tudunk olyan ξ valószín ségi változót generálni, mely egyenletes eloszlású a [0,1] intervallumon. Hogyan lehet számítógéppel olyan η pozitív egész érték valószín ségi változót generálni, melyre teljesül az, hogy P (η = n) = p n, n = 1,2,...? 7.7. Az 5.2 feladatban határozzuk meg a ξ 3 változó eloszlás- illetve s r ségfüggvényét. 7.8. Egy m szaki berendezés élettartama exponenciális eloszlást követ, a berendezések átlagos élettartama 5 év. Mennyi annak az esélye, hogy a berendezés kibír 1 évet? Mennyi annak az esélye, hogy egy 100 éves berendezés kibír még 1 évet? 7.9. A rádióaktív anyagok atomjainak élettartama exponenciális eloszlást követ. A 60-as tömegszámú kobalt izotóp felezési ideje 5,26 év, tehát ennyi id alatt bomlik le a részecskék fele. Mennyi a 60 Co atom élettartamának várható értéke? A részecskék mekkora hányada bomlik le 52,6 év alatt? Feltéve, hogy egy részecske nem bomlott le 52,6 év alatt mennyi annak az esélye, hogy a következ 5,26 év folyamán sem bomlik le? 17

8. Valószín ségi változók összegének a tulajdonságai 8.1. a. Adott egy ξ valószín ségi változó, melynek az eloszlása ismeretlen, de tudjuk, hogy a változó nem vehet fel negatív számot értékül, továbbá E(ξ) = 4. Milyen becslést adhatunk a P (ξ 10) valószín ségre? b. Adott egy ξ valószín ségi változó, melynek az eloszlása ismeretlen, de tudjuk, hogy E(ξ) = 4 és D(ξ) = 1. Milyen becslést adhatunk annak a valószín ségére, hogy a változó legfeljebb két szórásnyival tér el a várható értékét l? 8.2. Feldobok 5 szabályos dobókockát. Mennyi a dobott számok összegének a várható értéke és a szórása? Adjunk becslést annak a valószín ségére, hogy a dobott számok összege legalább 24. Milyen becslést adhatunk annak az esélyére, hogy a dobott számok összege legalább 12, de legfeljebb 23? 8.3. Magyarországon az emberek testtömegének az átlaga 80kg, szórása 20kg. Egy liftbe beszáll 8 ember, akikr l feltehet, hogy egymástól független a testtömegük. a. Határozzuk meg a 8 ember együttes testtömegének várható értékét és szórását. b. A lift maximális teherbírása 800kg. Adjunk becslést annak a valószín ségére, hogy a 8 ember össztömege eléri a maximális teherbírást. 8.4. Szegeden az éves csapadékmennyiség átlagos értéke 550 mm, szórása 100 mm. Feltehet, hogy a csapadék mennyisége az egyes években független egymástól. Várhatóan mennyi csapadék fog hullani Szegeden a következ három évben összesen? Mennyi a három éves csapadékmennyiség szórása?adjunk becslést annak a valószín ségére, hogy a három év alatt 1800 mm-nél több csapadék fog majd hullani. Adjunk becslést annak a valószín ségére, hogy a három éves összes csapadék mennyisége legfeljebb 300 mm-rel tér el a várható értékt l. 8.5. A Tisza és a Maros vízhozama számunkra ismeretlen eloszlást követ. Azt tudjuk, hogy Szentesnél a Tisza vízhozamának a várható értéke 660m 3 /s, szórása 160m 3 /s, míg Makónál a Maros vízhozamának a várható értéke 200m 3 /s, szórása 50m 3 /s. Jelölje ξ a Tisza belvárosi hídnál mért vízhozamát. (A Tisza és a Maros vízhozama a fenti mérési pontok és Szeged között csak elhanyagolható mértékben n.) a. Határozzuk meg a ξ változó várható értékét és szórását, ha a két vízhozam független, ha a két vízhozam korrelációs együtthatója 0,4, illetve ha a korrelációs együttható 0,4. A három eset közül vajon melyik áll a legközelebb a valósághoz? Milyen jelent sége van a korrelációs együtthatónak az árvizi védekezés szempontjából? b. A korreláció függvényében írjuk fel formulával és ábrázoljuk a ξ változó várható értékét és varianciáját. 8.6. Két részvényb l állítunk össze egy portfóliót. Mindkett nek 1000 forint a jelenlegi ára, az els b l 700, a másodikból 300 darabot veszünk. Az els részvény év végére 18

várhatóan 1100 forintot fog majd érni, és az értékének a szórása 150 forint. A második részvény várhatóan 1300 forintot fog érni, a szórása 450 forint. a. Mennyi a portfóliónk jöv beli értékének a várható értéke? Befolyásolja ezt a várható értéket az, hogy milyen függ ségi kapcsolat van a két részvény jöv beli értéke között? b. Mennyi a portfóliónk jöv beli értékének a szórása, ha a két részvény értéke független egymástól? Mennyi ez a szórás, ha a jöv beli értékek közötti korreláció +0,5 illetve 0,5? c. A korreláció függvényében írjuk fel formulával és ábrázoljuk a portfólió jöv beli értékének várható értékét és varianciáját. Ezek alapján milyen jelent sége van a korrelációs együtthatónak? 8.7. Fizikusok szeretnének megmérni egy mennyiséget, melynek ismeretlen értékét jelölje a. Sajnos a mér berendezés véletlen nagyságú mérési hibát vét, és emiatt a mérés eredménye nem pontosan az a érték, hanem egy ξ valószín ségi változó. A gyári adatok szerint a mér m szer torzításmentesen mér, ami azt jelenti, hogy E(ξ) = a, továbbá ismert a mérés szórása is, D(ξ) = a/10. Ilyen esetekben a zikusok több egymástól független mérést szoktak elvégezni, (ezek eredményét jelölje ξ 1,..., ξ n,) és az a értéket a mérések â = (ξ 1 + +ξ n )/n számtani átlagával szokták becsülni. a. Mennyi az â becslés várható értéke illetve szórása? b. Hány mérést kell elvégezni, ha az a cél, hogy az ismeretlen a értéket 95%-os megbízhatósággal és 1%-os pontossággal megbecsüljük. Tehát, mekkora legyen az n értéke, ha azt akarjuk, hogy P ( â a a/100) 0,95? 8.8. Az X közvéleménykutató intézet szeretné felmérni az Y párt támogatottsági arányát a választásra jogosult lakosság körében. Az ismeretlen támogatottsági arányt jelölje p (0,1). Mivel minden választásra jogosult állampolgárt megkérdezni költséges és id igényes lenne, telefonos felmérés formájában n véletlenszer en és visszatevéssel(!) kiválasztott ember pártszimpátiáját kérdezik meg. Jelölje ξ azt, hogy az n megkérdezett emberb l hányan szavaznának az Y pártra. Ekkor az ismeretlen p támogatottsági arányt lehet becsülni a ˆp = ξ/n hányadossal. a. Határozzuk meg a ξ valószín ségi változó eloszlását. Ennek segítségével írjunk fel a ˆp becslés várható értékét és szórását az n és a p paraméter függvényeként. b. Hány embert kérdezzenek meg, ha az ismeretlen p értéket 90%-os megbízhatósággal és 0,03 pontossággal szeretnék megbecsülni? Tehát, mekkora legyen n értéke, ha az a cél, hogy P ( ˆp p 0,03) 0,9? (A számolások során érdemes felhasználni azt, hogy tesz leges p (0,1) esetén p(1 p) 1/4.) 19

9. A normális eloszlás és a centrális határeloszlás-tétel 9.1. Az IQ teszteket úgy állítják össze, hogy az eredmény a feln tt populáción belül normális eloszlást kövessen 100 pont várható értékkel és 15 pont szórással. A népességen belül az emberek mekkora hányada rendelkezik 145 pont feletti IQ értékkel? Az eloszlástáblázat használata nélkül mondjunk egy olyan intervallumot, melyre teljesül, hogy közelít leg az emberek 95 százalékának ebbe az intervallumba esik az IQ pontszáma. 9.2. a. Magyarországon az emberek testtömege (közelít leg) normális eloszlást követ 80 kg várható értékkel és 20 kg szórással. Az emberek mekkora hányadának esik a testtömege 60 kg és 90 kg közé? Adjunk meg egy olyan intervallumot, melyre teljesül, hogy az emberek 95 százalékának a testtömege esik bele ebbe az intervallumba. b. Egy liftbe beszáll 8 ember, akikr l feltehet, hogy egymástól független a testtömegük. Határozzuk meg a 8 ember össztömegének eloszlását. Mennyi annak az esélye, hogy az össztömeg eléri a lift maximális teherbírását, ami 800 kg? (Hasonlítsuk össze ezt az eredményt a 8.3. feladat eredményével.) c. Mennyi a 8 ember átlagos testtömegének várható értéke és szórása? Adjunk meg egy olyan [a, b] intervallumot, melyre teljesül, hogy a 8 ember átlagos testtömege 90% megbízhatósággal ebbe az intervallumba esik. 9.3. Legyen ξ egy véletlenszer en kiválasztott feln tt ember szisztolés vérnyomása, és legyen η = lg ξ. A statisztikai adatok alapján a teljes populáción belül az η változó nomális eloszlást követ µ = 2 várható értékkel és σ = 0,3 szórással. Mennyi annak a valószín sége, hogy ξ értéke 90 Hgmm és 120 Hgmm közé esik? A teljes lakosság mekkora hányadának szenved magas vérnyomásban, tehát nagyobb a vérnyomása, mint 120 Hgmm? Tipp: vegyük észre, hogy tetsz leges a és b értékek esetén P ( a ξ b ) = P ( lg a η lg b ). 9.4. Angol tudósok azt vizsgálták, hogy a szavannán él majmok reggelente milyen eloszlás szerint ébrednek fel, és másznak le a fáról. A meggyelések alapján azt találták, hogy az ébredési id egy olyan valószín ségi változó, mely normális eloszlást követ 7 óra várható értékkel és 30 perc szórással. (Valós kutatás alapján.) a. Határozzuk meg a normális eloszlás paramétereit, tehát az ébredési id pont várható értékét és szórását. b. A majmok mekkora hányada kel fel 8 óra után? Adjunk meg egy olyan id intervallumot, melyre teljesül, hogy a majmok 90 százaléka ebben az id intervallumban mászik le a fáról. 9.5. Egy felmérés szerint a gyerekek 63 százaléka nem iszik elég folyadékot. 2000 gyereket megkérdezve várhatóan hány lesz közöttük olyan, aki nem iszik elég folyadékot. 20

Mekkora annak a valószín sége, hogy több, mint a felük nem iszik elég folyadékot? Mennyi annak az esélye, a kevés folyadékot fogyasztó gyerekek száma 700 és 800 közé esik? 9.6. Az emberek 85%-a gyermekkorában átesik a bárányhiml n. Megkérdezünk 1000 feln ttet, hogy átesett-e már ezen a betegségen. Várhatóan hányan fognak majd igent mondani? Mekkora a valószín sége, hogy a válaszadók legfeljebb 87%-a válaszol igennel? Mennyi annak az esélye, hogy az 1000 emberb l 120-nál többen, de 150-nél kevesebben válaszolnak nemmel? 9.7. Feldobok 500 szabályos dobókockát. a. Mennyi a kapott hatosok számának a várható értéke és szórása? Mennyi annak a valószín sége, hogy 100-nál több hatos kapok? Adjunk meg egy olyan intervallumot, melyre teljesül, hogy a hatosok száma 95% valószín séggel ebbe az intervallumba esik. b. Mennyi a dobott értékek összegének a várható értéke és szórása? Mennyi annak az esélye, hogy a dobott számok összege 1650 és 1850 közé esik? (Erre a valószín ségre milyen becslés adható a Csebisev-egyenl tlenséggel?) Adjunk meg egy olyan intervallumot, melyre teljesül, hogy a dobott számok összege 99,75% valószín séggel ebbe az intervallumba esik. 9.8. Egy biztosító társaságnál egy adott típusú biztosítás esetében a kárértékek egyenletes eloszlást követnek 200 és 400 ezer forint között. Egy adott hónapban 50 egymástól független kárbejelentés érkezik. Mennyi az össz kárérték várható értéke és szórása? Mennyi annak a valószín sége, hogy az össz kárérték ebben a hónapban 14 és 16 millió forint közé esik? Adjunk meg egy olyan [a, b] intervallumot, melyre teljesül, hogy az össz kárérték 95% megbízhatósággal ebbe az intervallumba esik. 9.9. Egy adatszerverre exponenciális id közönként, átlagosan 5 percenként érkeznek a lekérdezések. Feltehet, hogy a lekérdezések közötti id tartamok függetlenek egymástól. Várhatóan mennyi id alatt érkezik 50 lekérdezés a szerverre? Mennyi ennek az id nek a szórása? Mennyi annak az esélye, hogy ez az id 200 és 300 perc közé esik? Adjunk meg egy olyan [a, b] intervallumot, melyre teljesül, hogy ez az id 97% megbízhatósággal a megadott intervallumba esik. 21

10. Alapstatisztikák, kondencia intervallumok és a várható érték tesztelése 10.1. Egy ξ valószín ségi változó értékeit meggyelve a következ statisztikai mintát kapjuk: 6,5, 7,3, 5,4, 2,1, 6,5, 4,7. a. Ábrázoljuk a minta empirikus eloszlásfüggvényét, valamint számoljuk ki a következ statisztikákat: empirikus várható érték, korrigálatlan/korrigált empirikus variancia és empirikus szórás, standard hiba, medián. b. Tegyük fel, hogy a ξ háttérváltozó normális eloszlást követ D(ξ) = 2 szórással. Adjunk 99% megbízhatósági szint kondencia intervallumot a ξ várható értékére. Teszteljük 5%-os szignikancia szinten azt a nullhipotézist, hogy 6 az elméleti várható érték. c. Oldjuk meg a b. feladatot azzal a módosítással, hogy a ξ változó szórását a mintából becsüljük. 10.2. Bejelentés érkezik a Fogyasztóvédelmi F felügyel séghez, hogy az X tejgyár 1 literes kiszerelés dobozos teje a névleges tartalomnál kevesebbet tartalmaz. Tudni kell, hogy a tölt berendezések véletlen nagyságú hibával dolgoznak, így ténylegesen egyik dobozban sincs pontosan 1 liter tej. Feltehet, hogy a dobozokba töltött mennyiség egy ξ normális eloszlású változó, melynek 1 liter a várható értéke, ha a gép jól van beállítva. A fogyasztóvédelem emberei beszereznek hat doboz tejet, és azt találják, hogy ezek 975, 980, 985, 995, 1000, 1010 ml tejet tartalmaznak. (A dobozokban található tej mennyisége független egymástól.) a. Adjuk becslést a ξ változó várható értékére és szórására. Ábrázoljuk a minta empirikus eloszlásfüggvényét. b. A gyári adatok szerint a tejgyárban alkalmazott tölt berendezés 3 ml szórással adagolja a tejet. Ezek alapján adjunk 95% megbízhatósági szint kondencia intervallumot a ξ változó várható értékére. c. Teszteljük 5%-os szignikancia szinten az a nullhipotézist, hogy a tölt berendezés jól van beállítva, tehát a ξ változó várható értéke 1000 ml. d. Oldjuk meg a b. és a c. feladatrészt azzal a módosítással, hogy a szórást a mintából számoljuk, és nem a gyári adatot használjuk. 10.3. Régészek radiokarbonos kormeghatározással szeretnék meghatározni egy lel hely korát. Ismert, hogy a radiokarbonos módszert az egyazon ásatáson talált különböz leleteken alkalmazva nem pontosan ugyanazt a kort fogjuk megkapni minden lelet esetében, hanem a kapott korok (közelít leg) normális eloszlást követnek, melynek elméleti várható értéke a lel hely igazi kora. a. A radiokarbonos módszert hét leleten alkalmazva a következ korokat kapjuk: 1180, 1220, 1230, 1250, 1270, 1290 és 1340 év. Adjunk becslést a lel hely korára, 22