1 Ellipszis átszelése Adott egy a és b féltengely - adatokkal bíró ellipszis, melyet a befoglaló téglalapjának bal alsó sarkában csuklósan rögzítettnek képzelünk. Az ellipszist e C csukló körül forgatva az ezen áthaladó e vízszintes metsző egyenes az ellipszist különböző helyzetekben metszi át 1. ábra. 1. ábra Meghatározandó az így előálló ellipszis - szeletek T bal és T jobb területe. Eszerint a feladat kiírása az alábbi. Adott: a, b; ψ. Keresett: T bal,t jobb. A megoldáshoz tekintsük a 2. ábrát is, ahol a továbbiakban alkalmazott koordináta ~ rend - szereket és jelöléseket figyelhetjük meg. 2. ábra Erről azonnal megállapíthatjuk, hogy a bal oldali ellipszis - szelet területe így adódik:
2 vagyis a φ 1 és φ 2 szögekkel adott vezérsugarak határolta szektorterület és háromszög - terület különbségeképpen. Közvetlen feladatunk ( 1 ) jobb oldalának kiszámítása. Ezután a jobb oldali ellipszis - szelet területe: ( 2 ) ( 1 ) A továbbiakban szükségünk lesz az M 1 és M 2 metszéspontok helyzetére, amit azok koordinátáival adhatunk meg. Előkészületként tekintsük a 3. ábrát is! 3. ábra Ez az ellipszis kétkörös szerkesztését is bemutatja, valamint leolvashatók róla az alábbi fontos összefüggések is: ~ az ellipszis paraméteres egyenletrendszere: ( 3 ) ( 4 ) ( 5 )
3 ~ a t szögparaméter és a φ polárszög kapcsolata: A ( 6 ) képlet szerint általában fennáll, hogy t φ, ha a b. ( 6 ) A továbbiakban először meghatározzuk az M 1 és M 2 metszéspontok t 1 és t 2 paraméterét. Ehhez először felírjuk egy adott ellipszispont koordinátái közti kapcsolatot a két k. r. - ben 2. ábra: ( 7 ) ( 8 ) Továbbá az M 1,2 metszéspontokra fennáll, ( 3 ), ( 4 ), ( 7 ) és ( 8 ) felhasználásával, hogy ( 9 ) Most ismert trigonometriai azonosságokkal: ( 10 ) Majd ( 9 ) és ( 10 ) - zel: ( 11 ) Megoldva - re: innen:
4 ( 12 ) Hasonlóan, de mégis másként: ( 13 ) Erre a másféle felírásra azért volt szükség, mert így biztosítottuk, hogy t 2 > t 1 legyen. A következő lépés: felírni az ellipszis - szektorterület képletét. Egy paraméteres egyenlet - rendszerével adott görbe esetén [ 1 ] szerint: ( 14 ) Majd ( 3 ), ( 4 ) és ( 14 ) - gyel: ( 15 ) Ezután kiszámítjuk az OM 1 M 2 háromszög területét 2. ábra. Itt a következő jelöléseket alkalmazzuk még: ~ d: az M 1 és M 2 metszéspontok távolsága, ~ m d : az OM 1 M 2 háromszög d oldalához tartozó magassága. Ezekkel a keresett terület: ( 16 )
5 Részletezve: ( 17 ) ( 18 ) ahol ( 6 ) szerint: ( 19 ) Összefűzve a ( 16 ), ( 17 ), ( 18 ) és ( 19 ) képleteket: ( 20 ) ahol ( 3 ) és ( 4 ) szerint: ( 21 ) ( 22 ) Ezután ( 1 ), ( 15 ), ( 20 ), ( 21 ), ( 22 ) - vel: ( 23 ) Látjuk, hogy a végeredmény a t 1 és t 2 paraméterek függvénye, amelyek viszont az adott a, b, ψ paraméterektől függnek. Végül ( 2 ) és ( 23 ) szerint: ( 24 ) SZÁMPÉLDA Az ehhez választott adatok és egyes részeredmények a 4. ábrán láthatók. ( A 3. és 4. ábrákat a Graph ingyenesen letölthető szoftverrel rajzoltuk meg. ) 1.) t 1 és t 2 kiszámítása a ( 12 ) és ( 13 ) képletekkel és az adatokkal: ( a )
6 4. ábra ( b ) 2.) S kiszámítása a ( 15 ) képlettel, valamint ( a ) és ( b ) - vel: ( c ) 3. ) A metszéspontok koordinátáinak számítása a ( 21 ), ( 22 ) képletekkel, valamint ( a ) és ( b ) - vel: ( d ) ( e ) ( f ) ( g )
7 4.) Az M 1 metszéspont polárszögének számítása a ( 19 ) képlet és ( a ) alapján: ( h ) 5.) számítása a ( 20 ) képlet, valamint ( d ), ( e ), ( f ), ( g ) alapján: ( i ) 6.) T bal számítása ( 1 ), valamint ( c ) és ( i ) alapján: ( j ) 7. ) T jobb számítása ( 24 ) és ( j ) alapján: ( k ) Tehát az adott számpéldabeli ellipszis - szeletek területe: és Megjegyzések: M1. A Graph program numerikus területszámító funkciójának használatával gyakorlatilag ugyanezen eredmények adódtak. Ez vélhetőleg nem a véletlen műve. M2. A ( 20 ) képlet mintegy adja magát, szemléletessége miatt. Kevésbé szemléletes, ámde jóval egyszerűbb képlet - alakra jutunk az alábbiak szerint [ 2 ]. Egy háromszög területe, ha csúcsai P 1 ( x 1, y 1 ), P 2 ( x 2, y 2 ), P 3 ( x 3, y 3 ):. ( 25 ) E képlettel akkor kapunk pozitív értéket, ha a csúcsok körüljárási iránya az óramutató járásával ellenkező. Ez most teljesül, hiszen a t paraméter is így növekszik. Minthogy esetünkben x 3 = 0, y 3 = 0, így a ( 25 ) képletből egyszerűbb lesz: ( 26 )
8 Most ( 21 ), ( 22 ) és ( 26 ) - tal: ( 27 ) Majd ( 1 ), ( 15 ) és ( 27 ) - tel: ( 28 ) A számpélda adataival: ( j ) - vel egyezően. M3. Megeshet, hogy valaki ódzkodik a fenti hosszabb számításoktól, és helyettük egy közvetlenebb geometriai megközelítést alkalmazna. Ilyet is találtunk [ 3 ]. Ennek lénye - ge, hogy az ellipszis - szeletet egy körszelet vetületének tekinti, és így hozza ki az általunk is nyert ( 28 ) eredményt. M4. Megemlítjük, hogy találtunk az interneten olyan online calculator - t, amely más képlettel dolgozott [ 4 ]. Egy ilyen képernyőkép - részlet látható az 5. ábrán. 5. ábra
9 Ha ezt összevetjük a 3. ábrával, akkor látjuk, hogy φ 2, φ 1 helyére most θ 1, θ 0 írandó. Utóbbiak polárkoordináták. Továbbá az itteni számpéldabeli határ - szögek számításához alkalmazandó a ( 6 ) képlet: ( 6 / 1 ) ezzel, valamint ( a ) és ( b ) - vel: ( l ) ( m ) Ámde ( m ) - hez ( n ) szög tartozik, ami a 4. ábra szerint sem lehet jó. Ellenben a ( o ) szög már jó lehet; ( l ) és ( o ) - val dolgozva adta ki a kalkulátor a 12,729 cm 2 eredményt, az 5. ábra szerint. Ez megegyezik az általunk kapottal. Sajnos, ez az egyezés még mindig nem teljesen meggyőző: vannak még kétségeink. Ugyanis nekünk, polárkoordinátákkal dolgozva, az ellipszis - szektor területére ( 29 ) adódott. Minthogy ( 6 ) - ból: ( 30 ) így ( 29 ) és ( 30 ) - cal: egyezésben ( 15 ) - tel. Úgy is fogalmazhatunk, hogy nekünk a szektorterület primitív függvénye, az 5. ábra jelöléseivel: ( 31 ) - nak az 5. ábráról leolvasott kifejezésével: ( 32 )
10 Ha a kalkulátor képlete jó, akkor fenn kell állnia a primitív függvények azonosságának; azaz - val: vagyis: ( A ) A többlet - feladat most az ( A ) azonosság igazolása. Tegyük fel, hogy ( A ) fennáll! Először képezzük az ( A ) egyenlet mindkét oldalának tangensét! Ekkor: ( A1 ) a bal oldal: ( A2 ) a jobb oldal: ( A3 ) ahol: ( A4 ) Most B( A1 ) = J( A1 ) miatt, ( A2 ) és ( A3 ) - mal: ( A5 ) Egy ismert trigonometriai azonossággal: ( A6 ) Eszerint kifejtve ( A5 ) jobb oldalát: ( A7 ) Majd ( A5 ) és ( A7 ) - tel: ( A8 )
11 Rendezve: innen: ( A9 ) Ha tehát az ( A ) azonosság fennáll, akkor f (θ) - nak az ( A9 ) egyenlet szerintinek kell lennie. Ezután átalakítjuk f (θ) ( A4 ) szerinti kifejezését: ( A10 ) ehhez ismét trigonometriai azonosságokkal: ( A11 ) ( A12 ) ( A13 ) most ( A10 ), ( A11 ), ( A12 ), ( A13 ) - mal: ( A14 ) Azt találtuk, hogy f (θ) ( A4 ) szerinti kifejezése ( A14 ) alakban is felírható. Minthogy f (θ) kétféle úton nyert kifejezése ( A9 ) és ( A14 ) szerint egyenlők, így az ( A ) azonosság valóban fennáll. Eszerint a kalkulátor képlete jó. Ne feledjük, hogy nálunk S az ellipszis - szektor, a kalkulátornál pedig az ellipszis - szelet területét jelöli! A ( 32 ) képletet megtaláltuk az [ 5 ] anyagban is. M5. Fentiek extra hozadéka az
12 ( 33 ) illetve az, ( 34 ) trigonometriai azonosságok belátása is. M6. Megismételjük azon korábbi figyelmeztetésünket, hogy felhasználás előtt mindenki tesztelje le ismert és helyes eredményekkel az internetes segédleteket! Ez, természetesen, a mi írásainkra is vonatkozik. Ezt mi megkönnyítjük kidolgozott szám - példa közlésével, valamint más források eredményeire való rámutatással. Források: [ 1 ] Szerk. Gáspár Gyula: Műszaki matematika II. kötet, 3. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest,1977., 251. o. [ 2 ] I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv 2. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1963., 250. o. [ 3 ] http://www.cut-the-knot.org/generalization/cavalieri2.shtml [ 4 ] http://keisan.casio.com/exec/system/1343722709 [ 5 ] http://www.geometrictools.com/documentation/areaintersectingellipses.pdf Sződliget, 2016. 06. 18. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár