Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c = 0 másodfokú egyenlet valós gyökei a következő megoldó képlettel adhatóak meg: x 1, = b ± b 4ac. a Megjegyzés: Az ax + bx + c polinomban az a - t a polinom főegyütthatójának nevezzük. Amennyiben b = 0, vagy c = 0, akkor hiányos másodfokú egyenletről beszélünk. Mivel az egyenletet beszorozhatjuk, eloszthatjuk egy tetszőleges számmal, ezért a megoldóképlet felírása előtt célszerű megvizsgálnunk, hogy az egyenlet egyszerűbb alakra hozható - e. Az egyenletet célszerű úgy rendezni, hogy az x együtthatója pozitív legyen. A megoldóképlet használata során, ha a négyzetgyök értéke egy irracionális szám, akkor kerekített értékkel számolunk tovább. A megoldóképlet használata során, ha a négyzetgyök alatt 0 áll, akkor egy megoldása lesz az egyenletnek, ha pedig a négyzetgyök alatt egy negatív szám áll, akkor nem lesz megoldása az egyenletnek. Az egyenletek megoldására vannak további módszerek is (pl.: behelyettesítjük az alaphalmaz elemeit; szorzattá alakítunk, s egy szorzat értéke akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla; ábrázoljuk grafikusan a függvény képét teljes négyzetté alakítással), de ezek sokszor körülményesek és nem mindig alkalmazhatóak. Másodfokú függvény szélsőértéke: A szélsőérték meghatározásához előbb teljes négyzetté kell alakítanunk a másodfokú kifejezést: f(x) = ax + bx + c = a [(x + b a ) b 4a ] + c = a (x + b 1 a ) b 4a + c. Ha az a > 0, akkor a függvény képe egy felfelé nyíló parabola, így a szélsőérték minimum, ha az a < 0, akkor a függvény képe egy lefelé nyíló parabola, így a szélsőérték maximum. A szélsőérték helye x = b b, az értéke pedig y = + c. a 4a
1. Oldd meg a következő egyenleteket szorzattá alakítással! (Alaphalmaz: R) a) x + 7x + 10 = 0 b) x + x 4 = 0 Megoldás: A szorzattá alakításhoz úgy kell szétbontanunk az egyenlet tagjait, hogy ki tudjunk emelni bizonyos elemeket. a) x + 7x + 10 = 0 Alakítsuk át az egyenlet bal oldalát a következő módon: x + 7x + 10 = x + x + 5x + 10 = x (x + ) + 5 (x + ) = (x + ) (x + 5) Az egyenlet tehát felírható a következő alakban is: (x + ) (x + 5) = 0. Egy szorzat értéke akkor 0, ha valamelyik tényezője 0. Ezek alapján az egyenlet megoldásai a következők lesznek: x + = 0 x 1 = x + 5 = 0 x = 5 b) x + x 4 = 0 Alakítsuk át az egyenlet bal oldalát a következő módon: x + x 4 = (x + x 1) = (x + 4x 3x 1) = = [x (x + 4) 3 (x + 4)] = (x + 4) (x 3) Az egyenlet tehát felírható a következő alakban is: (x + 4) (x 3) = 0. Egy szorzat értéke akkor 0, ha valamelyik tényezője 0. Ezek alapján az egyenlet megoldásai a következők lesznek: x + 4 = 0 x 1 = 4 x 3 = 0 x = 3
. Oldd meg grafikusan a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: R) a) x + 8x + 6 = 0 b) x 3x + = 0 Megoldás: Ahhoz, hogy az egyenlet bal oldalát ábrázolni tudjuk, át kell alakítanunk úgy, hogy az x függvény transzformációját kapjuk. Ehhez az első két tagot teljes négyzetté kell alakítanunk. a) x + 8x + 6 = 0 Alakítsuk teljes négyzetté az egyenlet bal oldalát a következő módon: x + 8x + 6 = (x + 4x + 3) = [(x + ) 4 + 3] = [(x + ) 1] = = (x + ). Az egyenlet tehát felírható a következő alakban is: (x + ) = 0. Ábrázoljuk az egyenlet bal oldalát a másodfokú függvény transzformációjaként: Az ábráról leolvasható a függvény x tengellyel vett két metszéspontja, s ezek az egyenlet megoldásai: x 1 = 3 és x = 1. 3
b) x 3x + = 0 Alakítsuk teljes négyzetté az egyenlet bal oldalát a következő módon: x 3x + = (x 3 ) 9 4 + = (x 3 ) 1 4 Az egyenlet tehát felírható a következő alakban is: (x 3 ) 1 4 = 0. Ábrázoljuk az egyenlet bal oldalát a másodfokú függvény transzformációjaként: Az ábráról leolvasható a függvény x tengellyel vett két metszéspontja, s ezek az egyenlet megoldásai: x 1 = 1 és x =. 4
3. Oldd meg a következő hiányos egyenleteket! (Alaphalmaz: R) a) x 11 = 0 b) 5x 0x = 0 Megoldás: a) x 11 = 0 A megoldás megkapható a megoldóképlet segítségével is, ekkor az egyenlet alapján a következő értékeket kapjuk: a = 1; b = 0; c = 11. Mivel az egyenlet hiányos (b = 0), ezért célszerű egy rövidebb megoldást alkalmazni. Rendezzük úgy az egyenletet, hogy csak x maradjon az egyik oldalon: x = 11 x 1 = 11 és x = 11. b) 5x 0 = 0 A megoldás megkapható a megoldóképlet segítségével is, ekkor az egyenlet alapján a következő értékeket kapjuk: a = 5; b = 0; c = 0. Mivel az egyenlet hiányos (c = 0), ezért célszerű egy rövidebb megoldást alkalmazni. Alakítsuk szorzattá az egyenlet bal oldalát kiemeléssel: 5x (x 4) = 0 Egy szorzat értéke akkor 0, ha valamelyik tényezője 0. 5x = 0 x 1 = 0 x 4 = 0 x = 4 5
4. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: R) a) 8x 8 = 1x b) 3 x 1 x = 5 c) (x + 1) (x ) = x + x 8 d) ( 8x + x ) + 6x 8 = (1 3x) + (1 + 5) (1 5) Megoldás: A megoldóképlet felírása előtt az egyenletet 0 - ra kell redukálnunk. a) 8x 8 = 1x x + 3x = 0 Az egyenlet alapján a következő értékeket kapjuk: a = ; b = 3; c =. x 1, = 3 ± 3 4 ( ) = 3 ± 5 4 = 3 ± 5 4 x 1 = 3 + 5 4 = 4 = 1 és x = 3 5 4 = b) 3 x 1 5 x = 10x 3x 30 = 0 Az egyenlet alapján a következő értékeket kapjuk: a = 10; b = 3; c = 10. x 1, = ( 3) ± ( 3) 4 10 ( 30) 10 = 3 ± 109 0 = 3 ± 34,77 0 x 1 = 3 + 34,77 0 1,89 és x = 3 34,77 0 1,59 6
c) (x + 1) (x ) = x + x 8 x 4x + x = x + x 8 x 5x + 6 = 0 Az egyenlet alapján a következő értékeket kapjuk: a = 1; b = 5; c = 6. x 1, = ( 5) ± ( 5) 4 1 6 1 = 5 ± 1 = 5 ± 1 x 1 = 5 + 1 = 6 = 3 és x = 5 1 = d) ( 8x + x ) + 6x 8 = (1 3x) + (1 + 5) (1 5) 4x + x + 6x 8 = 1 6x + 9x + 1 5 x 10x + 5 = 0 Az egyenlet alapján a következő értékeket kapjuk: a = 1; b = 10; c = 5. x 1, = ( 10) ± ( 10) 4 1 5 1 = 10 ± 0 = 10 ± 0 Ezek alapján az egyenlet megoldása a következő: x = 10 = 5 5. Oldd meg a következő törtes egyenleteket! (Alaphalmaz: R) a) b) 8x 5 x + 5 x + 4 x 4 = 4 3x + 10 3x + + x 4 x + 4 = 64 x 16 a) b) x 4 + 1 x 4 + x x x + x = 0 x 8 = 4x x 10 x 6 x 16x + 60 7
Megoldás: Törtes egyenletnél először feltételt kell írnunk: a nevező értéke nem lehet 0, mert a 0 val való osztást nem értelmezzük. Ezt követően az egyenlet megoldásához közös nevezőre kell hoznunk a törteket, melynek meghatározásához először a nevezőket szorzattá kell alakítanunk. Ezután a közös nevezővel való beszorzással eltüntethetjük a törteket, s rendezés után megoldhatjuk az egyenletet. Végül a kapott megoldást ellenőriznünk kell, hogy megfelel - e a feltételnek. a) 8x 5 3x + 10 = 4 x + 5 3x + Feltétel: x + 5 0 x 5 3x + 0 x 3 Az egyenlet megoldása: (8x 5) (3x + ) (x + 5) (3x + ) = 4 (3x + 10) (x + 5) (x + 5) (3x + ) (8x 5) (3x + ) = 4 (x + 5) (3x + ) (3x + 10) (x + 5) 4x + 16x 15x 10 = 4x + 16x + 60x + 40 6x 15x 0x 50 6x 45x = 0 x (6x 45) = 0 Egy szorzat értéke akkor 0, ha valamelyik tényezője 0. x 1 = 0 6x 45 = 0 x = 15 Mindkét eredmény megfelel a feltételnek. 8
b) x + 4 x 4 + x 4 x + 4 = 64 x 16 Feltétel: x 4 0 x 4 x + 4 0 x 4 x 16 0 (x 4) (x + 4) 0 x 4 és x 4 Az egyenlet megoldása: x + 4 + x 4 = 64 x 4 x + 4 (x 4) (x + 4) (x + 4) (x + 4) (x 4) (x + 4) + (x 4) (x 4) (x 4) (x + 4) = 64 (x 4) (x + 4) (x + 4) (x + 4) + (x 4) (x 4) = 64 x + 8x + 16 + x 8x + 16 = 64 x + 3 = 64 x = 16 x 1 = 4 és x = 4. Mivel egyik eredmény sem felel meg a feltételnek, így nincs megoldása az egyenletnek. c) + 1 + x 4 = 0 x 4 x x x + x Feltétel: x 4 0 (x ) (x + ) 0 x és x x x 0 x ( x) 0 x 0 és x x + x 0 x (x + ) 0 x 0 és x 9
Az egyenlet megoldása: + 1 + x 4 = 0 (x ) (x + ) x ( x) x (x + ) 1 + x 4 = 0 (x ) (x + ) x (x ) x (x + ) x x + (x 4) (x ) + = 0 x (x ) (x + ) x (x ) (x + ) x (x ) (x + ) x (x + ) + (x 4) (x ) = 0 x x + x x 4x + 8 = 0 x 5x + 6 = 0 Az egyenlet alapján a következő értékeket kapjuk: a = 1; b = 5; c = 6. x 1, = ( 5) ± ( 5) 4 1 6 1 = 5 ± 1 = 5 ± 1 x 1 = 5 + 1 = 6 = 3 és x = 5 1 = 4 =. Mivel az x nem felel meg a feltételnek, így az egyenlet megoldása: x = 3. d) x 8 = x 10 x 6 4x x 16x + 60 Feltétel: x 10 0 x 10 x 6 0 x 6 x 16x + 60 0 (x 6) (x 10) 0 x 6 és x 10 10
Az egyenlet megoldása: x 8 = x 10 x 6 4x (x 6) (x 10) x (x 6) (x 6) (x 10) 8 (x 10) (x 6) (x 10) = 4x (x 6) (x 10) x (x 6) 8 (x 10) = 4x x 6x 8x + 80 = 4x x 18x + 80 = 0 Az egyenlet alapján a következő értékeket kapjuk: a = 1; b = 18; c = 80. x 1, = ( 18) ± ( 18) 4 1 80 1 = 18 ± 4 = 18 ± x 1 = 18 + = 0 = 10 és x = 18 = 16 = 8 Mivel az x 1 nem felel meg a feltételnek, így az egyenlet megoldása: x = 8. 11