Optikai alapogalmak A ény tulajdonságai A ény elektromágneses rezgés. Kettős, hullám-, illetve részecsketermészete van, ezért bizonyos jelenségeket hullámtani, másokat pedig kvantummechanikai tárgyalással lehet leírni. A ény hullámhossza: c v ahol λ c v a ény hullámhossza vákumban a ény terjedési sebessége vákuumban (közelítőleg: 3x10 a ény rekvenciája 8 m/s) A törésmutató és az Abbe-szám A sebesség vákumbanihoz képesti csökkenését egy viszonyszámmal, a törémutatóval ejezzük ki. c n v Az üveg törésmutatója is változik a ény színe szerint. Ernst Abbe-ról Abbe-számnak nevezzük a következő összeüggést: nd 1 v n n F A nevezőben a spektrum kék, illetve vörös színeire vonatkozó törésmutatók különbsége, a számlálóban pedig egy közepes (pl. e, vagy d ) színre vonatkozó törésmutató szerepel. Fermat-elv Két pont között a énysugár azokon az utakon halad, amelyek megtételéhez a legrövidebb időre van szükség más útvonalakkal szemben. A geometriai távolság és a közeg törésmutatójának szorzatát optikai úthossznak nevezzük. Vagyis a két pont között a énysugár olyan utakon og haladni, hogy azok mentén az optikai úthosszak összege egyenlő legyen. C 1
Fénytörés két közeg határán A Snellius Descartes-törvény nsin nsin A totálrelexió A totálrelexió A határszögnél nagyobb beesési szöggel érkező énysugarak nem tudnak kilépni a közegből, totálrelexiót szenvednek. A geometriai optika alaptörvényei 1. A ény egyenes vonalban terjed. Ez természetesen homogén, izotróp közegben érvényes. 2. Különböző közegek határain a énysugár megtörve olytatja útját. A énytörést a Snellius Descartes-törvény írja le. 3. Különböző közegek határán a ény egy része visszaverődik. Ezt a tükör-törvény írja le, miszerint a beeső, a visszavert énysugár és a beesési merőleges egy síkban ekszik, valamint a beesési és visszaverődési szög egyenlő. A szögeket a beesési merőlegestől mérjük, amely a énysugár döéspontjában a elület normálisa. 2
4. A énysugarak üggetlenségének elve kimondja, hogy a tér egy pontján keresztül akárhány énysugár haladhat egymás zavarása nélkül. E törvény nyilván nem érvényes pl. koherens lézerények találkozása esetén, amelyek egymásra hatásakor intererencia jön létre. 5. A énysugarak megordíthatóságának elve szerint ha ény a tér egyik pontjából egy bizonyos útvonalon halad a tér egy másik pontjába, akkor a visszaelé indított énysugár ugyanazon úton og haladni. Előjelszabályok (megállapodások) A sugármenet-rajzokat úgy vesszük el, hogy a énysugarak balról jobbra haladjanak. 1. Az optikai tengely mentén a gömbelülettől balra eső távolságok negatívok, a jobbra esőek pozitívok. 2. Az optikai tengely eletti távolságok (pl. h) pozitívok, a tengely alattiak pedig negatívok. A távolságok előjelei olyanok, mintha egy elvett koordináta-rendszer origója az S pontban lenne. 3. A énysugarak optikai tengellyel bezárt szögei (β, β ) akkor pozitívok, ha az optikai tengelyt a énysugárba az óramutató járásával ellentétes irányban lehet 90 -nál kisebb szöggel beorgatni. Ellenkező esetben a szögek negatívok. Eszerint az Ϭ ábrán: s és β előjele negatív, h, s, és Ϭ -é pedig pozitív. 1. A elület döéspontjában a énysugarak beesési (α), illetve törési (α ) szögei akkor pozitívok, ha a beesési merőlegest a énysugárba az óramutató járásával ellenkező irányba lehet 90 -nál kisebb szöggel beorgatni. Ellenkező esetben a szögek negatívok. Eszerint és pozitív. 2. A gömbelületek görbületi sugarai akkor pozitívok, ha a elület balról nézve konvex, és akkor negatívok, ha balról nézve konkáv. Eszerint r pozitív. 6. A ókusztávolság előjele pozitív gyűjtő-, negatív pedig szórólencse esetében. 3
Egyetlen gömbelület képalkotása s n n n n s r Ha a gömbelületre párhuzamos énysugarak érkeznek (a tárgy a végtelenben van), akkor a énysugarak a képoldalon a ókuszpontban találkoznak. s és s helyettesítéssel: n n n r Ezt a mennyiséget törőértéknek nevezzük, és dioptriában adjuk meg: n n n r Kardinális elemek: ősíkok, őpontok, csomópontok A ősíkok az optikai rendszerbe a tengellyel párhuzamosan belépő énysugarak és a rendszert elhagyó megelelő énysugarak meghosszabbításainak metszéspontjai által kieszített elületek. (1.9. ábra.) A őpontok a ősíkoknak és az optikai tengelynek a döéspontjai ( H, H ). Minden optikai rendszernek két ősíkja (és őpontja) van: tárgyoldali és képoldali ősíkok (őpontok). 4
A ősíkok és a őpontok szerkesztése A ősíktól mérjük a ókusztávolságokat, a tárgytávolságot, illetve a képtávolságot. A csomópontok Egy optikai rendszer egyik csomópontjába (N) irányított énysugár a rendszert önmagával párhuzamosan hagyja el, úgy, mint ha a másik csomópontból (N ) indult volna (1.10. ábra). A csomópontok származtatása Ha az optikai rendszer tárgy-, és képtere azonos törésmutatójú (pl. levegő), akkor a csomópontok és a őpontok egybeesnek. A Newton-ormula Mérjük a tárgy illetve a kép távolságát a ókuszpontoktól (z illetve z ). A nagyítás (1.21) elhasználásával Newton-ormula: zz a Newton-ormula segítségével írhatók az alábbiak: 5
s s 1 Vázlat a Newton-ormulához Amennyiben a tárgy- és képtér is levegő (vagy azonos közeg) akkor és így 1 1 1 s s Vázlat a vékonylencse számításhoz 6
A vékony lencse egyenlete: 1 1 1 1 n 1 s s1 r1 r2 2 a vékony lencse ókuszképlete: 1 1 1 n 1 r1 r2 Nagyítások Lineáris nagyítás ( ) y y A lineáris nagyítás számítása Kiejezhető még a Newton-ormula segítségével: z s z s Szögnagyítás ( ) 7
A szögnagyítás számítása tg tg h tg s s tg h s s Számítsuk ki a lineáris és a szögnagyítás szorzatát: s s ha akkor s s 8
ha akkor 1 1 és Longitudinális nagyítás dz dz 2 Ha = akkor: 2 a lineáris és a szögnagyítás hányadosa Vékony lencsék eredője Két elemi vékony lencsét egymás mellé helyezve, dioptriáik, vagyis törőértékeik összeadódnak: 1 2 mivel azonos közegekben 1 ezért 1 1 1 1 2 -re kiejezve 9
1 2 1 2 vastag lencsék eredője 1 2 1 2 d illetve levegőben lévő lencsék összerakásakor: 1 1 1 d 1 2 1 2 Az (1.45.) összeüggés nevezőjében lévő kiejezést jelöljük -val. Ezt nevezzük optikai tubushossznak. 1 2 d 1 2 RAJZOT ELKÉSZÍTENI! 10
1 2 1 2 p 1 2 d p d Vastag lencse ókusza és ősíkjainak helye 1 1 1 1 1 n d n r1 r2 n r1 r2 Vázlat a vastag lencse ősíkjainak számításához 11
Több elületből álló lencserendszerek Eredő ókusztávolság: n n 1 k 1 2 3... sk s s s s s... s 2 3 k Eredő lineáris nagyítás: n n 1 k 1 2 3... sk s s s s s s... s 1 2 3 k ahol k a gömbelületek száma a tárgytér törésmutatója a képtér törésmutatója Kepler-távcső A rendszer szögnagyítása tg h tg 1 1 2 h 2 12
A Kepler-távcső negatív előjele a ordított állású képet jelzi Galilei-távcső (színházi vagy terresztikus távcső) A Galilei-távcső. A szögnagyítás (1.21. ábra) tg h 1 1 0 tg h 2 2 13
A Galilei távcső egyenes állású képet alkot. Optikai átviteli üggvények Optikai rendszereknél 2v. A v a térrekvencia, vagyis a milliméterenkénti periódusok száma. OTF v MTF v e iptf v Az OTF az MTF és a PTF jelölést a nemzetközi irodalom miatt tartjuk meg (optical transer unction, modulation transer unction, illetve phases transer unction), utóbbit szokás még egyszerűen vel jelölni. v Deinicíószerűen MTF(0) = 1 vagyis nulla térrekvencián a modulációs átviteli üggvény értéke egységnyi, míg PTF(0) = 0, vagyis a ázisátviteli üggvényérték ugyanott zérus. - A modulációs átviteli üggvény és a ázisátviteli üggvény 14
Aberrációmentes optikai rendszer átviteli üggvénye v határ 1 1,22 D 15