4. A méréses ellenırzı kártyák szerkesztése A kártyákat háromféle módon alkalmazhatjuk. Az elızetes adatfelvétel során a fı feladat az eloszlás paramétereinek (µ és σ ) becslése a további ellenırzésekhez. Minthogy a gyártásközi ellenırzésnél éppen azt akarjuk vizsgálni, hogy a folyamat változatlanul stabil-e (csak véletlenszerő ingadozások vannak), elıször a fölvett folyamat stabilitásáról kell meggyızıdnünk. Az eljárás az, hogy a becsült adatokból elkészítjük a kártyát, és ellenırizzük a folyamatot. Ha nem stabil, megkeressük az okot. Ha sikerült azonosítani, a megfelelı mérési pontokat kihagyjuk, és újraszámoljuk a paramétereket, s.i.t. Itt tehát a fölvett adatsorból kell számolnunk a kártyán bejelölendı vonalak helyét és az ábrázolandó pontokat is. A gyártásközi ellenırzésnél az elızetes adatfelvétel során meghatározott paramétereket használjuk a kártya vonalainak kialakításához, tehát kész kártyát használunk. Az aktuális ellenırzésnél folyamatosan fölvett adatok az ábrázolandó pontokat adják. Azt döntjük el a vizsgálatnál, hogy a folyamat azonos-e azzal a folyamattal, amelyet az elızetes adatfelvétellel rögzítettünk. Kevésbé indokolt, de elıfordul, hogy a gyártásközi ellenırzésnél a kártya vonalait a külsı elıírások alapján határozzák meg, ekkor nem elsısorban a stabilitást, hanem legalább annyira a folyamat képességét vizsgálják. Az aktuális ellenırzésnél fölvett adatok itt is csak az ábrázolandó pontokat adják, azokat a paraméterek (középvonal, beavatkozási határok) kiszámításához nem használják. A problémára visszatérünk. Minthogy egy folyamat ellenırzésénél az ingadozás centruma és mértéke egyaránt fontos, másképpen fogalmazva a normális eloszlás mindkét (µ és σ ) paraméterét vizsgálni kívánjuk, a kártyákat páronként szokás használni, így beszélünk átlag-terjedelem, átlag-szórás, medián-terjedelem stb. kártyákról. Tehát kettıs nullhipotézisünk van. áadásul az átlag-kártyával σ állandóságának feltételezésével végezzük a próbát. Ezért is ellenıriznünk kell, hogy σ állandó-e. Az ingadozás centrumát vizsgáló kártyán, ha többelemő minta vehetı, annak átlagát célszerő ábrázolni, kevésbé alkalmas a medián. A kártyák beavatkozási határainak számításához szükség van az mért változó varianciájának becslésére. Három módszert szokás használni, a terjedelembıl, a szórásból, vagy a szórásnégyzetbıl végzik el a becslést. Az ingadozás mértékét vizsgáló kártyán a terjedelmet, a szórást, vagy a szórásnégyzetet ábrázolják, ha többelemő minták vehetık a folyamatból. A következıkben a leggyakrabban használt kártyapárokra ismertetjük az egyes kártyák szerkesztéséhez szükséges képleteket. A számítások illusztrációjára a 4-1. példában szereplı adatokat fogjuk használni. 4-1. példa 100
Pörköltkávé-adagoló automata töltötte csomagokból félóránként (összesen 0- szor) 5-elemő mintát vettek, tömegüket megmérték. A 4-1.táblázatban adjuk meg a mérések eredményeit. 101
4-1. táblázat i mintaelem átlag medián s s 1 51.5 49.67 50.15 50. 49.0 50.118 50.150 1.950 0.75 0.5407 47.56 49.84 51.04 49.47 50.5 49.6 49.840.480 1.968 1.6818 51.47 50. 50.07 50.1 50.7 50.45 50.0 1.400 0.5806 0.71 4 49.5 49.77 49.9 50.9 50.44 49.954 49.770 1.60 0,7087 0.50 5 49.09 51.09 48.14 48.51 50.90 49.546 49.090.950 1.671 1.8688 6 51.59 48.1 50.06 48.9 5.09 50.158 50.060.960 1.6910.8596 7 50.61 49.55 49. 49.61 51.9 50.078 49.610.160 0.8974 0.805 8 49.95 47.74 49.40 48.88 49.16 49.06 49.160.10 0.8196 0.6717 9 47.74 49.4 49.59 51.59 50.6 49.740 49.590.850 1.408 1.980 10 47.89 50.65 49.61 49.08 48.7 49.190 49.080.760 1.085 1.0578 11 49.6 50.08 51. 50.08 50.6 50.180 50.080 1.960 0.6990 0.4886 1 49.8 49.46 48.8 51.56 49.16 49.768 49.460.70 1.0676 1.199 1 50.6 50.10 51.68 50.6 48.78 50.56 50.60.900 1.011 1.061 14 50.71 50.6 50.18 49.47 50.7 50.68 50.60 1.50 0.5110 0.611 15 50.50 5.6 51.5 49.91 50.75 51.008 50.750.450 0.9514 0.9051 16 50.11 50.87 49.1 49.9 49.6 49.970 49.90 1.560 0.5879 0.456 17 48.81 49.65 48.08 50.57 51.48 49.718 49.650.400 1.549 1.857 18 49.90 49.81 50.59 50.8 50.74 50.84 50.80 0.90 0.41 0.1707 19 50.88 49.79 49.85 50.11 50.61 50.48 50.110 1.090 0.4790 0.94 0 49.7 48.61 50.64 49.4 49.60 49.510 49.40.00 0.747 0.598 átlag 49.955 49.850. 0.9181 0.964 10
4.1. Az átlag-terjedelem kártya (a variancia becslése a terjedelembıl) A minta terjedelme (range) = ma min, vagyis a mintán belüli legnagyobb és legkisebb érték közötti eltérés. Ha n=, a szórás és a terjedelem azonos. Amíg a mintaelemszám 10 alatt van, a terjedelem majdnem olyan hatásos becslése a varianciának, mint a szórásnégyzet. Minthogy az ellenırzı kártyákat elsısorban vizuális eszközként dolgozták ki, jóval a számítógépek (és a zsebszámológépek) megjelenése elıtt, a klasszikus alkalmazásoknál egyértelmően a terjedelmet használták, mert az üzemi helyszínen ez volt könnyen kiszámítható. Ma ez nem egyértelmően indokolt. Levezethetı, hogy egy normális eloszlású valószínőségi változó terjedelmének várható értéke E( ) = d σ, ahol d a mintaelemszámtól függı konstans, értékei a függelék V. táblázatában találhatók. A képlet azt is mutatja, hogy a terjedelem nem torzítatlan becslés (csak d =1 esetén lenne az). Ha az E() várható értéket a minták terjedelmének átlagával becsüljük, az normális eloszlású valószínőségi változóra vonatkozó σ becslése: 1. ɵσ =, ahol = d m i i Az átlag kártya (-bar chart) szerkesztése Az elôzetes adatfelvétel esetén a középsô vonal (CL) a minták átlagainak átlaga: CL = = 1 i (m a minták száma, i az i-edik minta átlaga). m i A beavatkozási határok (σ-ra a terjedelembıl számított becslést helyettesítve): UCL = + ɵ σ u u n = + α / α / LCL = ɵ σ u u n = α / α /, d n. d n Ha a ±σ konvenciót követjük, u α / =, és így UCL = + A d n = +, 10
LCL = A d n =, ahol A értékei d -éibôl adott n mintaelemszámhoz könnyen kiszámíthatók, és szintén a függelék. táblázatában láthatók. Gyártásközi ellenırzéshez a kártyát úgy készítjük el, hogy a középvonalat és a beavatkozási határokat az elızetes adatfelvételnél megállapított é s értékekkel szerkesztjük meg, így az ellenırzést folyamatosan, már az elsı mintától kezdve végezhetjük. Ha külsı elıírások alapján dolgozunk, a középvonal az átlag helyett az elıírt µ várható érték, a beavatkozási határokat a megadott σ-val számoljuk ki: UCL = µ + σ. n Ha µ és σ közül csak az egyik adott, a másik helyett az elızetes adatfelvételkor kapott becsült értéket használjuk. Szokás a beavatkozási határok mellett a kártyákon ún. figyelmeztetı határokat (UWL: upper warning limit; LWL: lower warning limit) is megjelölni, ezek a ±σ helyett ±kσ értékhez tartoznak. A k értéke legtöbbször vagy 1.5, ezeket a határokat a vizsgált jellemzı elıbb eléri, mint a beavatkozási határokat, így a vizsgálat érzékenyebb. Az is elıfordul, hogy a másodfajú hiba valószínőségét csökkentendı, magukat a beavatkozási határokat is ezekhez a ±kσ értékekhez teszik. Ekkor ugyan β csökken, de az elsıfajú hiba α valószínősége nı, aminek gyakoribb hamis riasztás a következménye. A terjedelem-kártya ( chart) szerkesztése Az elızetes adatfelvétel esetén a középsı vonal (CL) a minták terjedelmének átlaga: CL 1. = = i m i A beavatkozási határok számításához szükség van az terjedelem σ varianciájának becslésére, kézenfekvı, hogy ezt is a terjedelemre alapozzuk. Az terjedelem varianciájának négyzetgyöke az minıségi jellemzıébıl a következıképpen kapható meg: σ 104 = d σ, ahol d a mintaelemszámtól függı konstans, értékei a függelék V. táblázatában találhatók. σ becslése: d σɵ σɵ = d = = d ( D ) 4 1.
A beavatkozási határok a ±σ választás esetén: d UCL = + ɵσ = + = D4, d d LCL = ɵσ = = D. d Ha az LCL alsó beavatkozási határra negatív érték adódik, zérusra igazítjuk. A D és D 4 értékeket is a függelék V. táblázatából vehetjük. Látható a táblázatból, hogy n<7-re a alsó határ mindig zérus. Ez azért elınytelen, mert bármilyen terjedelem-adat az alsó határ fölött van, így nem vesszük észre, ha a variancia lecsökken. A terjedelem-kártyánál is meg lehet adni a beavatkozási határokat a ±σ konvenció helyett az elsıfajú hiba megengedett α valószínősége alapján, de ez nem nagyon szokás, a kérdésre a 4.4. pontban visszatérünk. Gyártásközi ellenırzéshez a kártyát úgy készítjük el, hogy a középvonalat és a beavatkozási határokat az elızetes adatfelvételnél megállapított értékkel szerkesztjük meg. Ha külsı elıírások alapján dolgozunk, a középvonalat és a beavatkozási határokat is a megadott σ-val számoljuk ki: CL = d σ, UCL = d + σ d σ, LCL d σ d σ. = A terjedelem-kártya mőködési jelleggörbéjét mutatja a 4-1. ábra. β 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0. 0. 0.1 0.0 5 7 9 1.00.00.00 4.00 5.00 6.00 ξ σ 1 /σ 0 n 105
4-1. ábra. A terjedelem-kártya mőködési jelleggörbéje, a STATISTICA programmal Leolvashatjuk az ábráról, hogy amennyiben a variancia négyzetgyöke kétszeresére nı, ötelemő minták esetén 0.6 a valószínősége, hogy ezt nem vesszük észre (a nullhipotézist fogadjuk el, amely szerint a variancia változatlan, tehát másodfajú hibát követünk el). A mintaelemszámot 9-re növelve e másodfajú hiba elkövetésének valószínősége már csak 0.7. Azt is jól látjuk, hogy a nagyobb másodfajú hiba (tehát hogy σ nagyobb mértékő megváltozását ne vegyük észre) elkövetésének kockázata ugyanazon mintaelemszámnál kisebb. Megjegyzendı, hogy az, ha a variancia a folyamatban lecsökken az elızetes adatfelvételhez képest, és emiatt a terjedelem az alsó beavatkozási határ alá csökken, csak a formális szóhasználatban "veszélyes hiba", ezért nem is kell beavatkozni, csak föl kell rá figyelni, hogy értékes tapasztalatként hasznosíthassuk. A minıségfejlesztési tevékenység során éppen az a leglényegesebb cél, hogy az ingadozás mértékét csökkentsük. 4-. példa Készítsünk átlag-terjedelem-kártyát a 4-1. példa adatainak elızetes adatfelvételként való felhasználásával! A -1. táblázatból az átlagok átlaga 49.955, az átlagos terjedelem.. Az átlag-kártya paraméterei: CL = = 49. 955 A függelék V. táblázatából n=5-höz A =0.577 UCL = + A = + = 49. 955 0. 577. 5101. LCL = A = = 49. 955 0. 577. 48. 609 A kapott átlag-kártya mőködési jelleggörbéje a 4-. ábra. 106
az elfogadás valószínûsége 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0. 0. 0.1 0.0 45.94 47.95 49.96 51.96 5.97 µ 4-. Ábra. Az átlag-kártya mőködési jelleggörbéje a 4-. példához, a STATISTICA programmal Leolvasható az ábráról, hogy 1 g eltolódást 0.78 valószínőséggel nem veszünk észre (a nullhipotézis elfogadási valószínősége 0.78), g eltolódást már csak kb. 0.07 valószínőséggel néznénk el. A terjedelem-kártya paraméterei: CL = =.. A függelék V. táblázatából d értéke 5 elemő minta esetén.6.. σ ɵ = = = 100. d. 6 A függelék V. táblázatából D =0, D 4 =.114. UCL = D = = 4 114.. 4. 9 LCL = D = = 0. 0 ɵ σ d = d = D 4 1 114. 1 =. = 0. 866 A terjedelem-kártya mőködési jelleggörbéje a 4-1. ábrán látható (az n=5-höz tartozó vonal). Az átlag-terjedelem kártyakombinációt mutatja a 4-4. ábra. 107
5 51 50 49 48 6 5 4 1 0 1 Átlag-kártya 10 0 Minta Terjedelem-kártya 1 5 10 15 0 Minta 51.01 49.955 48.609 4.9. 0.000 4-. ábra. Átlag-terjedelem-kártya a 4-. példához, a STATISTICA programmal 108